数列极限的定义
大学数列的极限知识点归纳总结
大学数列的极限知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念之一，它含有很多有趣而具有挑战性的性质。
其中，数列的极限是数学分析中的重要内容之一，它在微积分、实变函数等领域中有广泛的应用。
本文将对大学数列的极限知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、数列的定义及性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一串数字。
2. 数列的记法：一般用 {an} 表示数列，其中 an 表示数列的第n项。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的。
二、数列极限的概念1. 数列极限的定义：对于数列 {an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，那么称数列的极限为A，记作lim (n→∞) an = A。
2. 数列极限的几何解释：数列的极限可以理解为当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于某个常数。
三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：对于一个数列，如果其极限存在，则该极限是唯一的。
2. 数列极限与数列项的关系：如果数列的极限存在，那么对于任意大于极限的数M，存在正整数N，使得当n>N时，an>M。
3. 数列极限与数列的有界性的关系：如果数列的极限存在，那么这个数列一定是有界的。
四、常见数列的极限1. 等差数列的极限：对于等差数列 {an} = a1, a1+d, a1+2d, ...，其中a1为首项，d为公差，其极限为lim (n→∞) an = a1。
2. 等比数列的极限：对于等比数列 {an} = a1, a1r, a1r^2, ...，其中a1为首项，r为公比（r≠0），其极限存在的条件是|r|<1，极限为lim(n→∞) an = 0。
3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列 {Fn} = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，其中每一项等于前两项之和。
斐波那契数列的极限不存在，即lim (n→∞) Fn 不存在。
数列的极限
数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.注：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n limn1=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;∞→n lim（a n ·b n ）=a ·b ; ∞→n limnnb a =ba （b ≠0）.●点击双基1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0③∞→n limnnn n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数）D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51） (1)21+n ）］等于 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51） (1)21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim22+n n=2. 答案:C ●典例剖析【例1】 求下列极限： （1）∞→n lim757222+++n n n ;（2） ∞→n lim （nn +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n +…+22nn ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因nn +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）∞→n lim757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++=52.（2）∞→n lim （nn +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21.（3）原式=∞→n lim22642n n++++ =∞→n lim2)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n 2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误： ①∞→n lim （nn +2－n ）=∞→n limnn +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limnn +2－∞→n lim n =∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误.【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ； （2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c nn 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim nnn n c c 323211+---.①当c =2时，原式＝－41;②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim ccc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim11)2(32)2(31--⋅+-n n cc c ＝21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】 已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）2=1,抛物线ϕ:y =（x －1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，求∞→n lim22||||CD AB .剖析:要求∞→n lim22||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d ,则d 2=1)1(22+-n n .又r =1,∴|AB |2=4（1－d 2）=218n n +.设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2），由⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x ⇒nx 2－（2n +1）x +n =0, ∴x 1+x 2=nn 12+, x 1·x 2=1.∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=214n n +,（y 1－y 2）2=（n x 1－nx 2）2=414nn +,∴|CD |2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2 =41n （4n +1）（n 2+1）.∴∞→n lim22||||CD AB =∞→n lim225)1)(14(8++n n n =∞→n lim2)11)(14(8nn ++=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22||||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N *,a n 与a n +1恰为方程x 2－b n x +c n =0的两根,其中0＜|c |＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n ∈N *,a n ·a n +1=c n 恒成立.∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =nn a a 2+=nn cc 1+=c .又a 1·a 2=a 2=c .∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c ,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N *,a n +a n +1=b n 恒成立.∴nn b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c .又b 1=a 1+a 2=1+c ,b 2=a 2+a 3=2c ,∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c ,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c ,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞→n lim （b 2+b 4+…）=c c -+11+cc-12≤3.解得c ≤31或c ＞1.∵0＜|c |＜1,∴0＜c ≤31或－1＜c ＜0.故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,31］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.●闯关训练 夯实基础 1.已知a 、b 、c是实常数，且∞→n lim cbn can ++=2, ∞→n lim bcn cbn --22=3,则∞→n limacn can ++22的值是 C.21解析:由∞→n limcbn c an ++=2,得a =2b .由∞→n lim bcn cbn --22=3,得b =3c ,∴c =31b .∴ca =6.∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22nac n ca ++=ca =6.答案:D 2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.2411B.2417C.2419D.2425 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n n n nn n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n nn∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）. ∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（na ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =__________________.解析:由题意得na －1-n a =3 （n ≥2）.∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3.∴na =3+（n －1）·3=3n .∴a n =3n 2.∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3.答案:34.（2004年 上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_________________.解析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38.∴a 1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim（a 1+a 2+…+a n ）等于 A.52 B.72 C.41D.254 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n56]+a n . ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）.∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0.∴∞→n lim a n =0. 答案:C6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）.（1）求{b n }的通项公式； （2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值.解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1.n =2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n . ①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立. ②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立.那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1）=11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1）.∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2. （2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］=41∞→n lim［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83. 培养能力7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limnn b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值.解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2. 又∞→n limnn b a =∞→n lim21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1,∴d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2. ∴nn b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）. ∴原式=∞→n lim41（1－121+n ）=41. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ,其中p ＞q 且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞→n lim1-n nS S .解:S n =p p a n --1)1(1+qq b n --1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qq b p p a q q b p p a S S n n n n n n--+----+--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜pq ＜1,上式分子、分母同除以p n －1，得.1])(1[1)11(1)1(1)1(11111111111qp q pb p p a q pq p b p p p a S S n n n n nn n n n --+----+--=-------∴∞→n lim1-n n S S =p .当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞→n lim 1-n n S S =qbp a q bp a -+--+-11111111=1.探究创新9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =221--+n n a a ,求∞→n lim a n .解:由a n =221--+n n a a ,得2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2. ∴a n －32=－21（a n －1－32）.∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32的等比数列.∴a n －32=－32×（－21）n －1.∴a n =32－32×（－21）n －1.∴∞→n lim a n =32. ●思悟小结1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.2.熟练掌握如下几个常用极限：（1） ∞→n lim C =C （C 为常数）; （2） ∞→n lim （n1）p =0（p ＞0）; （3） ∞→n lim dcn b an k k ++=c a （k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）; （4） ∞→n lim q n =0（|q |＜1）.●教师下载中心教学点睛1.数列极限的几种类型：∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.拓展题例【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求首项a 1的取值范围. 解: ∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在.∴0＜|q |＜1或q =1. 当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3. 当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q . ∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠21. 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3.。
数列的极限
数列的极限
一，数列极限定义
简单来讲就是：一个数列随着序数的增加最终会趋于或等于一个数，这个数就是数列的极限。
证明题要结合书上的公式
二，收敛数列的性质
1唯一性：收敛数列只有一个极限
2有界性：收敛数列一定有界。
(收敛数列最终都会趋于或等于一个数，所以有界)但有界数列不一定就是收敛数列，如-1，1，-1，1……,这个数列就是发散的，因为它同时趋于-1和1。
（有界是因为它的绝对值小于等于1，可参考上节所讲如何判定数列有界）这个数列同时说明了发散数列不一定无界。
3保号性：就是有一个数列，当其中一个数从它开始大于零，那么它之后的数都大于零。
推论：当一个数列存在某一个数大于零，那么这个数列的极限也大于零
4收敛数列与其子数列间的关系：如果一个数列收敛于A，那么它的任意子数列也收敛于A，但子数列收敛，原数列不一定收敛；子数列收敛于A，原数列不一定收敛于A，有可能原数列不收敛，可参考我在有界性中提到的例子，同时这个例子也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列。
数列极限
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
lim （2） 求 n
2n1 an 的值 2n an1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
lim C C （C为常数）
n
lim 1 0 n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平
2）“趋近”和“无限趋近”是不同的概念，无限趋近是指随n 的无
限增大，数列中的项与常数a的距离可以任意小；
3）若数列{an}的极限为a，则可以是从大于a的方向无限趋近 于a，也可以是从小于a的方向无限趋近于a，还可以是从a 的两侧摆动地无限趋近于a。
2.几个重要极限：
lim C C （C为常数） lim 1 0
数列的极限
１、数列极限的定义
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an} 的项an无限地趋近于某个常数a（即an-a无限地接近 于0），那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列 {an}的极限。
记为: nliman=a. 也可记为：当n 时，an a。 注：1）数列的极限是仅对于无穷数列而言的；
(3) lim(
n
2 n2
4 n2
.....
2n ) n2
(4) lim ...........n
an (1 a) (1 an1 an1(1 a) (1 an
) )
(a
1)
例2：已知
lim n
(
3n2 an2
cn bn
1
4n)
5
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
数列的极限
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步骤：首先给出数列的定义然后证明数列的极限存在
定义法：通过定义来证明数列极限的方法
例子：例如证明数列{n}的极限为可以通过定义法证明
注意事项：在使用定义法证明数列极限时需要注意数列的定义和极限的定义是否一致以及证明过程中是否使用了正确的数学符号和公式。
柯西收敛准则：如果数列{_n}满足对任意ε>0存在N使得当n>N时|_n-|<ε则称数列{_n}收敛于
极限的夹逼性：如果数列的极限存在那么数列的任何子列的极限也存在且极限值相同。
极限的连续性：如果数列的极限存在那么数列的任何子列的极限也存在且极限值相同。
极限的加法性质：lim(x->) [f(x) + g(x)] = lim(x->) f(x) + lim(x->) g(x)
极限的减法性质：lim(x->) [f(x) - g(x)] = lim(x->) f(x) - lim(x->) g(x)
极限的乘法性质：lim(x->) [f(x) * g(x)] = lim(x->) f(x) * lim(x->) g(x)
极限的除法性质：lim(x->) [f(x) / g(x)] = lim(x->) f(x) / lim(x->) g(x)
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极限存在准则的应用：可以用来判断数列的极限是否存在以及计算极限的值
极限的表示：极限通常用符号lim表示如lim(x→x0)f(x)=。
极限的性质：极限具有保号性、保序性、保连续性等性质。
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
数列极限定义
数列极限定义数列极限是数学中一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。
数列极限的定义是指在某一序列中，当最大值或最小值不断接近某确定的值，最终在整个序列中被认为是收敛的，那么这个确定的值就叫做此序列的极限值。
首先要解释的是，极限是一种抽象概念，即无限接近某个特定值，而且在数列中不可能达到这个特定值。
即使数字在接近时不断变化，但它也不可能达到这个特定值。
而且，在任何一个具体极限值之前，必须先存在一种极限概念，它必须经过一定的程序才能到达最终的极限值。
不仅如此，在计算极限时，还必须考虑数列中的渐进现象。
渐进现象指的是数列中的值在接近最终值时不断变化，但是最终还是会达到最终值。
而当数列中的值不断变化时，极限值就会出现。
在计算极限时，还需要考虑以下情况：（1）对称性：对称性是指，如果两个数的差距越来越窄，那么它们的差距最终也可以假定为零。
（2）连续性：连续性是指在连续数列中，每一项的和和上一项的和之差也越来越小，最终可以假定为零。
（3）可数性：可数性是指当一个数列重复某一特定值时，它们的差距最终会变为零。
（4）可计算性：可计算性是指在只有有限个值的数列中，当它们的差距越来越小时，最终会变为零。
（5）极限类型的定义：只有当指定的数列重复接近某一定值时，才可以将其定义为极限。
例如，当一个数列的值接近但不等于零时，这个数列可以被定义为极限。
数列极限定义中还包括了一些其他概念，如极小、极大以及极大临界数，它们都是以极限为基础，能够帮助我们更好地了解数列。
极小就是指极限值降低，极大就是指极限值增加，而极大临界数就是极大值到达最大值的点，就像一个可以逆转数列的垂直线一样。
总的来说，数列极限定义是一个重要的概念，它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。
此外，在计算极限时，还必须考虑的一系列其他概念，如对称性、连续性、可数性和可计算性，这些概念可以帮助我们更深入地理解数列。
数列极限定义
数列极限定义
，
数列极限定义是指从一组数的序列出发，当数列中的每一项都趋
向某个特定的数时，这个特定的数就被称为该数列的极限。
例如，设
有一组数据序列 1,2,3...，当我们对其进行求和操作时，求和结果将
不断逼近某个数，这个极限数即定义为该数列的极限。
从几何角度来看，极限有一种共性——它总是出现在两个离散点
连接上边界上，这也是极限的共有定义。
动态地，极限可以被视作一
类特殊函数，可以用来表示不同的数据过程的最终趋势或模式。
有了
极限的定义，我们可以利用它来更好地理解数据的数学规律，有助于
精准地把握数据的变化趋势，从而可以更有效地进行数据分析。
极限也具备一个重要特点—非唯一性，即一个数列可以有多个极限。
I这意味着，当不同的序列求和时，有可能出现完全不同的最终
结果，但它们也可以有相似的极限。
这个特点在一定程度上也决定了
数据分析的具体步骤，同时也提示了我们要注意结果的真实性。
总的来说，极限有很多应用，它的定义不仅有助于理解数据的趋势，而且也提醒我们要时刻关注结果的真实性。
只有精确地分析数据，才可以对数据进行有效的分析。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
数列极限的定义证明
数列极限的定义证明一、引言数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，数列极限是数列理论中的基本概念之一。
在数学分析中，数列极限的定义是数学推理的重要基础，也是许多数学定理的核心。
二、数列极限的定义数列极限的定义是指当数列的项趋向于某个值时，数列的极限就是这个值。
换句话说，对于数列{an}，如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么数列的极限就是a。
三、数列极限的重要性1. 在微积分中，数列极限是导数和积分的基础。
在求导和积分的过程中，我们需要用到极限的性质和定义来推导出相应的公式和定理。
2. 在数学分析中，数列极限是许多重要定理的基础，如泰勒级数展开、函数极限和级数收敛等。
3. 数列极限的概念也被广泛应用于物理学、工程学和经济学等应用科学领域，用于描述各种现象和模型。
四、数列极限的例子1. 递推数列：考虑递推数列{an}，其中an=an-1+2，且a0=1。
我们想要求出数列的极限。
根据递推关系，我们可以得到a1=3，a2=5，a3=7，以此类推。
显然，数列的项随着n的增大而无限增大，所以数列没有极限。
2. 有界数列：考虑数列{an}，其中an=(-1)^n/n。
我们想要求出数列的极限。
当n为偶数时，an=1/n；当n为奇数时，an=-1/n。
显然，数列的项在n趋于无穷大时趋近于0，所以数列的极限是0。
3. 收敛数列：考虑数列{an}，其中an=1/n。
我们想要求出数列的极限。
对于任意给定的正实数ε，我们可以找到一个正整数N=1/ε，使得当n>N时，|an-0|<ε。
因此，数列的极限是0。
五、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：如果一个数列的极限存在，那么它是唯一的。
2. 数列极限的保号性：如果数列的极限大于（小于）0，那么数列中的项大于（小于）0的项的索引之后的所有项。
3. 数列极限的有界性：如果数列的极限存在，那么数列是有界的，即存在正整数M，使得对于所有的n，|an|<M。
数列极限定义
数列极限定义极限是数学中一个重要的概念，在高等数学课程中，我们会经常遇到极限的概念。
大多数时候，极限通常指的是“数列极限”。
它是用来表示一个数列中某个数值的概念，也就是说，它是用来表示某个数列以及其所有元素的极限。
比如，如果一个数列的某个数字是a，那么它的极限就是a。
而它的极限，则是指当n趋近于无穷大的时候，a的趋势仍然是稳定的，也就是说a的值不会有太大的变化。
这样，如果我们对一个数列求极限，就是求这个数列在n趋近于无穷大的时候，a的值最终会稳定在什么地方。
具体来说，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2,a3, ..., an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。
下面是一个关于数列极限的数学证明。
设给定的数列为：a1, a2, a3,, an，那么当n无限大的时候，极限L存在，设L = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an - an-1)，则有：L = a1 + [a2 - a1 + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a2) + + (an-1 - an-1)] + (an - an-1)= a1 + (an - an-1)= L由上述公式可知，当n无限大的时候，极限L存在，而且有L = a1 + (an - an-1) 。
再考虑极限的定义，极限L应当是数列中所有元素的极限，即当n趋近于无穷大的时候，所有的元素的值都会趋近于L。
由以上证明可知，当n趋近于无穷大的时候，数列的极限L存在，并且有极限L = a1 + (an - an-1) 。
因此，可以得出结论，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2, a3,, an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。
数列极限的名词解释
数列极限名词解释数列极限是高等数学中的一个重要概念，它描述了一个数列在无穷远处的趋势和特征。
数列极限的定义如下：定义设{x n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N 时，有以下不等式成立：|x n−a|<ε则称数列{x n}收敛于a，常数a称为数列{x n}的极限，并记作limn→∞x n=a如果数列{x n}没有极限，则称{x n}不收敛，或称{x n}发散。
例子下面给出一些数列极限的例子：数列x n=1n的极限为0，即lim n→∞1n=0这是因为对于任意给定的正数ε，只要取N=[1ε]+1（其中[⋅]表示向下取整），则当n>N时，有|1 n −0|=1n<1N<ε数列x n=(−1)n的极限不存在，即limn→∞(−1)n 不存在这是因为对于任意给定的正数ε<2，无论取多大的正整数N，总有n>N时，使得|(−1)n−(−1)n+1|=2>ε这说明数列x n=(−1)n在无穷远处没有固定的趋向值，而是在-1和1之间无限地摆动。
几何意义数列极限的几何意义可以用数轴上的点来表示。
设a=lim n→∞x n，则对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有x n落在以a为中心、以ε为半径的开区间(a−ε,a+ε)内。
也就是说，当n足够大时，x n与a之间的距离可以任意小。
数列极限具有以下一些基本性质：唯一性：如果一个数列收敛，则它的极限是唯一确定的。
也就是说，如果lim n→∞x n=a1且lim n→∞x n=a2，则必有a1=a2。
有界性：如果一个数列收敛，则它是有界的。
也就是说，如果lim n→∞x n=a，则存在正数M>0，使得对于任意n=1,2,…都有|x n|≤M保号性：如果一个数列收敛，则它从某项起保持同号。
也就是说，如果lim n→∞x n=a>0（或a<0），则存在正整数N，使得当n>N时，有x n>0（或x n<0）。
数列极限的概念及其性质证明
数列极限的概念及其性质证明数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
而数列极限是数列理论中的核心概念之一，它描述了数列在无限项下的趋势和性质。
本文将探讨数列极限的概念及其性质证明。
一、数列极限的概念数列极限是指当数列的项数趋向无穷大时，数列中的数值逐渐趋近于某个固定的值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε成立，那么称数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞)an = a。
二、数列极限的性质证明1. 唯一性性质首先，我们来证明数列极限的唯一性性质。
假设数列{an}的极限既为a又为b，且a ≠ b。
根据极限的定义，我们可以取ε = |a - b|/2，那么存在正整数N1和N2，使得当n > N1时，有|an - a| < ε，当n > N2时，有|an - b| < ε。
考虑n > max(N1, N2)，那么根据三角不等式，有：|a - b| = |(a - an) + (an - b)| ≤ |a - an| + |an - b| < ε + ε = |a - b|。
这与|a - b| < |a - b|矛盾，因此假设不成立，数列极限的唯一性得证。
2. 有界性性质接下来，我们证明数列极限的有界性性质。
假设数列{an}的极限为a，则存在正整数N，使得当n > N时，有|an - a| < 1。
令M = max{|a| + 1, |a1|, |a2|, ..., |aN|}，那么对于任意的n > N，有：|an| = |an - a + a| ≤ |an - a| + |a| < 1 + |a| ≤ |a| + 1 ≤ M。
因此，数列{an}是有界的。
3. 单调性性质最后，我们证明数列极限的单调性性质。
数列极限及其应用
数列极限及其应用数列是数学中重要的概念之一，数列极限是数学分析中的重要内容。
在本文中，我们将探讨数列极限的定义、性质以及其在数学和现实生活中的应用。
一、数列极限的定义和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列通常表示为{a₁,a₂, a₃, ......, aₙ}，其中a₁、a₂、a₃等是数列中的项。
数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的项趋近于确定的常数L。
这一定义可以表示为：lim{n→∞} aₙ = L数列极限的性质包括：1. 唯一性：数列的极限只有唯一的值。
2. 有界性：若数列存在极限，则数列必定有界，即存在上界和下界。
3. 保号性：若数列存在极限且其极限为正（或负）数，则数列从某项起，总是正（或负）号。
4. 夹挤性：若数列的每项均位于两个收敛数列的中间，则该数列也是收敛的，并有相同的极限。
二、数列极限的应用1. 数学分析中的应用：数列极限在微积分中有着重要的应用。
利用数列极限的概念，我们可以定义导数和积分，并研究函数的连续性和各种变化规律。
数列极限的概念是微积分的基础之一，它为我们理解和深入研究函数的性质提供了便利。
2. 数列极限在无穷级数求和中的应用：无穷级数是由无穷个项按照一定规律排列而成的数列。
利用数列极限的概念，我们可以判断无穷级数是否收敛，以及求出其和。
例如，经典的几何级数可以通过数列极限的方法求和，从而得到其和为有理数的结论。
3. 数列极限在金融投资中的应用：在金融投资中，数列极限可以用于计算投资回报率。
通过考察投资金额随时间增长的趋势，我们可以得到不同投资方案的回报率，并作出合理的投资决策。
4. 数列极限在物理学中的应用：在物理学中，数列极限可以用于描述物体运动的速度和加速度。
例如，通过分析质点在无穷小时间间隔内的位移变化，我们可以定义速度和加速度，并利用数列极限的概念来研究物体的运动轨迹和变化规律。
5. 数列极限在市场预测中的应用：数列极限可以用于分析市场行情和预测未来的趋势。
数列极限的解释
数列极限的解释
在数学中，数列极限是一种重要的概念，用来描述数列中的值如何无限接近某个特定的值。
数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的列表。
数列极限的定义是：对于给定的数列，如果随着数列项的无限增多，数列中的值趋近于一个特定的值，我们就说这个特定的值是该数列的极限。
可以将这种趋近视为无限接近特定值的过程。
通常，数列的极限可以通过数学表达式或符号来表示。
当我们说数列{1，1/2，1/3，1/4，...}的极限为0时，可以用数学符号表示为lim(1/n) = 0，其中lim代表极限，n代表数列的索引。
数列极限的概念有助于我们研究数列中的趋势和性质。
在数学和应用领域中，数列极限的研究具有重要的意义。
它可以帮助我们预测数列的未来行为，解决各种实际问题，以及推导出其他数学定理。
数列极限的理解与实际生活中一些有趣的现象相似，当我们不断增加一个球的弹跳次数时，每一次弹跳的高度都会趋近于某个极限值。
这个极限值可以被视为数列的极限。
数列极限定义
数列极限定义数列极限定义是数学中一个基本的概念，它是很多抽象概念的基础，比如有限数列之和、级数之和、不动点定理等等等等。
本文将介绍数列极限定义的概念、性质、求解方法、应用，以及更深入地理解它。
一、数列极限定义数列极限定义是指将数列中的每一项定义为到一个特定的值的近似，例如$ a_{n} = L $其中L是一个常数，表示数列中每一项都接近L。
例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$a_{n}$的极限值是0，即$lim_{n to infty} a_{n} = 0$。
二、性质数列极限定义具有若干特性：1.数列中的每一项都连续变化时，数列的极限值等于数列中最后一项的值。
例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$lim_{n to infty} a_{n} = 0$，也就是说，数列的极限值等于最后一项的值。
2.果数列中的每一项都收敛到一个固定的值，则数列的极限值也是这个固定的值。
例如，令$a_{n} = 5$，即每一项都收敛到值5，则数列的极限值也是5，即$lim_{n to infty} a_{n} = 5$。
三、求解方法要求数列极限定义，可以使用三种方法：1.接法：这种方法比较简单，只要直接判断数列中最后一项的值，就可以确定数列的极限值。
2.推法：这种方法更为精确，即求解数列的每一项的值，然后通过这些值推出数列的极限值。
3.殊数列法：这种方法特别适用于某些特定的数列，比如几何数列、调和数列等，通过将数列中的一些特定项代入求解，可以更加准确地求解极限。
四、应用数列极限定义可以应用于众多领域，例如:1.以用来判断一个数列是否收敛或者是否存在极限值。
2.以用来求解微积分中的不定积分和定积分。
3.以用来求解概率论中的极限定理。
4.以用来判断某一类函数是否连续，以及连续函数的极限值。
五、更深入理解数学家们经常借助数列极限定义来分析函数的性质，这是因为函数的变化可以看作是某一数列的连续变化。
数列极限的通俗理解
数列极限的通俗理解1. 导言数列是指从一个自然数开始，按照某一个法则依次列出的一串数字。
而数列极限是指随着数列中的数字不断增多，最终趋于一个确定的数值。
本文将从通俗易懂的角度讲解数列极限的概念以及其背后的原理。
2. 数列极限的定义一个数列的极限定义为当数列中的数值趋近于某个确定的值时，这个确定的值即为该数列的极限。
比如，数列：1，2，3，4，5……它的极限为无穷大（∞），因为这个数列中的数值不断增大，但没有达到一个确定的值。
3. 实例分析现在我们来看一个例子：1/2，2/3，3/4，4/5，5/6……这个数列中的数值逐渐逼近1，那么我们可以说这个数列的极限为1。
为什么数列的极限是1呢？我们可以用小学数学知识来解释，因为这个数列中的每一个数值都是比前一个稍微大一点，而且永远比1小，所以我们可以确定这个数列的极限是1。
4. 数列极限的重要性数列的极限在数学中是一个非常重要的概念，因为它很好地解释了一些复杂的数学现象。
比如在微积分中，导数和积分这两个概念都和极限息息相关。
同样，极限还能用来解决一些物理问题，如速度和加速度问题等。
5. 数列极限的思考数列极限和普通的数学概念不同，它需要我们更加深入地去思考。
在计算数列的极限时，我们需要明确数列中的每一个数值是否满足某种规律，并从中寻找这个数列的极限。
这在一定程度上对我们的逻辑思维能力提出了挑战。
6. 结语总之，数列极限是数学中一个重要而有趣的概念，它在现代数学和物理学中都占有着重要的地位。
在计算数列极限时，需要我们不断去思考、尝试，这也正是数学研究的魅力所在。
数列极限的定义怎么理解
数列极限的定义怎么理解
常考数列极限定义怎么去理解？正在学习这个知识点的考生可以看看，下面小编为你准备了“数列极限的定义怎么理解”，仅供参考，祝大家阅读愉快！
数列极限的定义怎么理解
极限就是当n无限增大时,an无限接近某个常数A；
也就是n足够大时,|an-A|可以任意小,小于我给定的正数E；
也就是当n大于某个正整数N时,|an-A|可以小于给定的正数E；
即:对于任意E>0,存在正整数N,当n>N时,|an-A|。
拓展阅读：数列极限定义与性质
数列极限定义
定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|Xn - a|<ε都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。
记为lim Xn = a 或Xn→a(n→∞)。
数列极限的性质
1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的;
2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。
几个常用数列的极限：
an=c 常数列极限为c；
an=1/n 极限为0；
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0。
数列极限存在的条件
数列极限存在的条件
1. 数列极限的定义：
数列极限是指当一组数的k项的取值趋向于一个值时，此数列的k项称为极限值。
2. 数列极限存在的条件：
(1) 数列项具有确定的规律性：求极限必须有一个已知的数列，该数列必须具有一个确定的规律性或者说，必须是数系。
(2) 导数存在：不存在极限的情况通常是由于数列函数无法在某一点求得它的导数，或者说导数为正无限大、负无限大或无穷大。
(3) 无穷多项式存在：无穷项数列的极限应存在，这样的函数往往可以简化为无穷多项式的形式。
(4) 左右极限存在：左右极限的存在是数列极限存在的充要条件，即对于任意一个数列，其任意一点处必须具有左右极限才能满足数列极限存在条件。
(5) 极限算法存在：若数列满足上述条件，那么就可以通过极限算法来计算极限的值。
(6) 原函数的准确性：在计算极限的值时，数列函数的准确性也非常重要，原函数需要能够准确的表达该数列的趋势。
数列极限的定义和性质
数列极限的定义和性质数列是指按照一定规律排列的一系列数，而数列极限是数列理论中的重要概念之一。
在本文中，我们将探讨数列极限的定义和性质，并对其应用进行简要介绍。
一、数列极限的定义在数列中，当它的项逐渐趋于某个值时，我们称这个值为该数列的极限。
形式化地说，设有数列{an}，若对于给定的数ϵ（ϵ>0），总存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an与极限值之差的绝对值|an - A|<ϵ都成立，则称极限A为数列{an}的极限，记为lim(an) = A。
要注意的是，数列的极限并不一定要存在，可能是有限的，也可能是无穷的。
二、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它是唯一的，即一个数列只能有一个极限。
2. 数列收敛的必要条件：若数列{an}收敛，那么它是有界的。
即如果一个数列存在极限，那么它必然是有上下界的。
3. 数列极限的保号性：若数列{an}的极限为A，并且A>0（或A<0），那么当n充分大时，数列的每一项an也大于0（或小于0）。
4. 收敛数列的四则运算性质：设有两个收敛数列{an}和{bn}，它们的极限分别为A和B，则：(1) 数列和的极限：lim(an + bn) = A + B(2) 数列差的极限：lim(an - bn) = A - B(3) 数列积的极限：lim(an * bn) = A * B(4) 数列商的极限（假设B≠0）：lim(an / bn) = A / B5. 数列极限与数列项的关系：若数列{an}的极限为A，则对于任意正整数m，都有：lim(an) = Alim(am) = A三、数列极限的应用1. 数列极限在微积分中的应用：数列极限是极限的概念之一，而极限是微积分中的基本概念。
在微积分中，我们经常使用数列极限来定义导数和积分等重要概念。
2. 数列极限在数学分析中的应用：数列极限是数学分析中的重要内容，它也是许多数学定理的基础。
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(1)n
n
:
1
(1)n
1, , L ,
,L
2
n
(3)
an :
0, 1 , 0, 1 , 0, 1 , L 4 16 64
例
(4)
n
n1:源自0, 1 , 2 , L , n 1 , L
23
n
(5)
1 (1)n
2
:
0, 1, 0, 1, L
(6)
2( 1)n n
:
11 , 4, , 16, L
例 1, 2, 3, L , 10, 1 , 1 ,L , 1 , L 11 12 n
因此，一个数列去掉或添加有限项
不影响其敛散性与其极限值．
Note:
（4）如何证
lim
n
an
a
方法： 某个 0>0 ，使 N N ，
比较
总有 n0 N ，使 an0 a 0
0, N N , n N , 恒有 an a .
的一般项
n
(1)n1 1 n 当n
无 (限1增n)n大1 时越，来a越n 无接限近接于近常于数常1数.
1，
an 1 无a限 •2 接近a•4于零a•6．
O
1 3 51
2 46
a5
•
a• 3
64
53
a1
•
2x
an
n (1)n1 n
1
(1)n1 n
，
an
1
1 n
，
an
1
1 n
任 给 总存在正整数 使当
A 表示半径为 R 的圆的面积，
An 圆内接正62n1 边形的面积
62n1
1 2
R 2 s in622n1
，
R
圆内接正62n1 边形的面积数列为：
A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，A n ，…，
n 无限增大时，圆内接正 62n1 边形无限地接近于圆， An 就无限地接近于常数 AR2 ．
例 2 自由落体运动的瞬时速度
分段函数
在定义域的不同子区间上用不同的表达式
表示的对应规律．
例
sin x, x 0, f ( x) 2x 1, x 0.
常见的分段函数
（1）符号函数
1,
sgn
x
0,
1,
x 0, x 0, x 0.
（2）取整函数 y [x] N
当 n x n1， n 0, 1, 2,L 时， y [x] n N
恒有
1 4 1 100 1 1000
4 100 1000
n4 n 100
n1000
1 an 1 4
1 an 1 100
1 an 1 1000
0
N?
n N an 1
Def 1. （ N 定义）
设an为一数列， a --定常数．若对 0 ，
总 正整数 N ，使得当 n N 时，恒有
V (t ) 2.05 g 2.005 g 2.0005 g 2.00005 g 2.000005 g
§2 数列的极限
数列 按自然数顺序排列的一列数：
a1, a2 , L , an , L ， 记为an ．
数列分为无穷数列和有限数列
例
(1)
1 2n
:
11
1
, 2
, 4
L,
2n ,
L
(2)
n2
lim
n
a
n
0
(a 1) ．
an a ，
则称数列an以 a 为极限，或称 an 收敛于 a ，记作
lim
n
an
a
或
an a ( n ) ．
Note:
(1)
一般情况下，用定义证
lim
n
an
a
0 ，去找 N ， 可从 an a 出发解不等式．
(2) 0 , N 的取法不唯一．未必要取到最小的 N
(3)一个数列收敛与否，与前面有限项无关．
Ch1 一元函数
一、基本初等函数（5 类）
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数．
二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算， 且只能用一个解析表达式表示的函数．
如
xes i nx ln(1 x )2
y
x5 x4 1
三、非初等函数 高数中常见的非初等函数： 分段函数．
已知 S 1 g t 2 ，求在 t 2 时的瞬时速度V (2) ． 2
落体在[2, t] 上的平均速度：
V (t) S(t) S(2) 1 g(t 2) ， t2 2
当 t 无限地接近于2 时，V (t) 无限地接近于V (2)2g ．
t 2.1
2.01
2.001 2.0001 2.00001
再解不等式 bn 来确定 N ．
① 原理： A B, B C A C
② bn 不能放得太大，要保证bn 0，且 bn 要比较简单．
例 4 证 an (1)n 发散．
证
lim
n
an
a
方法： 某个 0>0 ，使 N ，
总有 n0 N ，使 an0 a 0 ．
例5
证
（3）Dirichlet（狄利克雷）函数 1, x Q,
D(x) 0, x Q.
十分经典的函数
是不是所有的周期函数都有最小的正周期？
Ch2 一元函数的极限与连续性
§1 问题的提出
例1 圆的面积
两个实例
正六边形
正十二边形
割圆术： 割之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而无所失也。
28
极限存在：n 无限增大时， an 无限地接近于某个常数 a
极限不存在（或发散）： 1．振荡 2．发散到
如n : 1, 2, 3, L ,
当 n 时， an n ；
如n : 1, 2, L ,
当 n 时， an n ．
如何描述数列的极限
例，
n
无限增大时，数列
n(
1)n1 n
lim
n
an
a.
例 1 用定义证 l i mqn 0 n 0 ， 去找 N
q( 1 )常用
可从 an a 出发解不等式．
例 2 证 lim n a 1 ( a 0 ) 常用 n
例
2例证3 lim证n n
alim1 n
2nn22(a31n
0)1
2
．常用
法 2 提供了一种求 N 的技巧．将 an a 适当放大，使 an a bn ， ――― 插项