高数课件数列的极限

通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只要 n 100时,
有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
的项, xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn } .
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n } 1
{2n }
1,1,1,,(1)n1 ,;
{(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 , 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2. 已知
证明
证: xn 0
1 (n 1)2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要
1 ,
n 1
即 n
1 1.
取
N [ 1 1] ,
则当 n N 时, 就有
xnห้องสมุดไป่ตู้ 0 ,
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0
也可由
xn 0
1 (n1)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取
N
1
1
不一定取最小的故N也. 可取
N
[
1
]
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N
1
ln
ln q
, 则当 n > N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
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例4 设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以
lim
n
xn
C.
说明 常数列的极限等于同一常数.
小结 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
二、收敛数列的性质
1 唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
n
习题解答
则对 0,N [1],使得n N时,恒有n 1 ,
从而 | xn 0 | .
cos n
故
lim
n
xn
lim
n
2 0. 2
当 0.001时,整数N [ 1 ] 1000.
0.001
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习题解答 P 31 3题(3)
2 用数列极限的定义证明
lim n2 a 2 1.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意 1 不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2 N与任意给定的正数有关.
N定义
lim
n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
xn a 1, 从而有
xn a a 1 a
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有
xn M ( n 1, 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
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4 子数列
定义 在数列 xn中任意抽取无限多项并保持这些 项 在 原 数 列 x n 中 的 先 后 次 序 ， 这 样 得到 的 一 个 数 列称为原数列xn的子数列（或子列）．
N1
时,
从而
xn
ab 2
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
从而
xn
ab 2
矛盾取. 故Nb假2a设ma不xxn真Nba1!, 因Nbb222此aa,收则敛当数n列3a>a2的2bNb极时x限nx, nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
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第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 三、小结 习题
一、数列极限的定义
1 概念的引入
（1）割圆术
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
n
n
n
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作业 P30-31 1 (2) , (4) , (6) , (8)
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xn
a
;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2 ,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2. 上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
证法二: 用反证法. 假设
及
且a b.
取
因
lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
注意
xn1 , xn2 ,, xnk ,
在子数列 xnk 中，一般项xnk 是第k 项，而
xnk 在原数列xn中却是第nk 项，显然，nk k.
三、小结 习题
数列 研究其变化规律;
数列极限 数列极限的“ – N ”定义；
收敛数列的性质 有界性、唯一性、保号性; 子数列的定义.
习题解答 P31 2题
cos n
1 设数列xn的一般项xn
2 n
,问
lim
n
xn
?
求出N ,使当n N时, xn与其极限之差的绝对值
小于正数 .当 0.001时,求出整数N .
n
cos
解 lim 2 0. 事实上,要使
n n
n
cos
| xn 0 ||
2 | ,
n
只要 1 , 即要 n 1 , 取 N [ 1 ],
2 有界性
定义 对数列 xn, 若存在正数M , 使得一切自 然数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界,
否则, 称为无界.
例如,
数列 xn
n; n1
有界
数列 xn
2n.无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
定理2 收敛的数列必定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有
xn 1 成立.
定义 设{xn }为一数列，对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 N ,使得当n N
时,不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是 数列 xn 的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为
（2）截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
2 数列的定义
定义 按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn
1
n
(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
n
n
证
因为 |
n2 a2 1 |
n2 a2 n
n
n
n
a2 n2 a2 n
a2 n2 ,
所以 0,| n2 a 2 1 | ,
n
习题解答
只要
a2 n2
,
即要 n | a |.
取 N [| a |], 则当n N时,恒有n | a |.
从而 | n2 a 2 1 | , 所以 lim n2 a 2 1.