高数课件数列的极限

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《高数》数列极限课件PPT

《高数》数列极限课件PPT

定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值,因此,函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具, 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在,而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例,即当自变 量n趋于无穷大时,函数值趋于一个常数, 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理,如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关, 如导数、定积分等。通过数列极限,我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ,微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一,数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限,可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如,利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中,我们可以绘制数列的图 像,通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点,而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像,我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件,它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套,则该数列收敛。

1-3数列的极限(高等数学课件)

1-3数列的极限(高等数学课件)
n

任给 0 , 对于一切自然数
n,
xn C C C
0 成立 ,
所以,
lim x n C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0 , 寻找N,但不必要求最小的N.
例3
证明 lim q
n
n
n1
, ;
n1
{( 1)
{
n 1
}
n 1
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
3, 3 3 , ,
, ;
3
n ( 1) n
}
3

3 ,
注意: 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , , x n , .
n n1
; 有界
数列 x n 2 . 无界
n
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点xn 都 落 在 闭 区 间
[ M , M ]上 .
定理1 证
收敛的数列必定有界.
n
设 lim x n a ,
由定义,
取 1,
则 N , 使得当 n N 时恒有 x n a 1 ,
n
1 n
, 或 n 1 ,
任给 0 , 要 x n 1 , 只要
所以, 取 N [ ],

1
则当 n N 时 ,
就有
n ( 1) n
n1
1
即 lim
n ( 1) n
n1
n
1.
例2 设 x n C ( C 为常数 ), 证明 lim x n C .

《高数》数列极限》课件

《高数》数列极限》课件

详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和,帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列,可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$,其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ,数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在,则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界,则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列,如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用, 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$,存在 正整数$N$,使得当$n,m>N$时 ,有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限,包 括将函数展开为幂级数,并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ,如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。

高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt

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2024/9/27
17
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从使用情况来看,闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ,但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ,在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 .
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时,
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势? 我们知道,两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量( | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离),| b a | 越小,a 与 b 就越接近.为此,“数
从使用情况来看,闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ,但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ,在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N.
2024/9/27
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从使用情况来看,闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ,但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ,在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
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高三数学高等数学极限部分数列极限PPT课件

高三数学高等数学极限部分数列极限PPT课件

xn
(a , a ) 内, 而此区间外至多只有有限
个点即
x1 , x2 ,
, xN 1, xN .
17
第17页/共30页
例 设 | q | 1, 证明: lim qn 0 . n
分析 对于 0, 要使 qn 0 ,
即要使 qn q n , n ln q ln ,
即:n ln , (先设q不为零) 取 0 1, 使得
定义
(数列极限的
N 数量化定义)

{
x } 为一数列, n
若存在定数 a,
0, N Z , 使得 n N,
恒有 xn a , 则称 a 为数列
的极限,
{ x } 或称数列
收敛于 a, 并记为
n
{ xn }
lim
n
xn
a,
或记为
xn a,(n ).
15
第15页/共30页
若不存在这样的定数 a,
12
第12页/共30页

an 1
1 1 2n
1
1 2n
1 10
只要项号 n 满足
n4
要使
an
1
1 2n
1 100
只要项号 n 满足
n7
就有
1 27
1 128
1 100
而要使
an 1
1 2n
1 10000
13
第13页/共30页
( 1)
( N1)
( 2)
( N2)
( 3)
2n 10000 n lg 2 lg10000
ln q
ln 1,
ln q
于是只要取
N
ln
ln | q

高等数学第一章第二节数列的极限课件.ppt

高等数学第一章第二节数列的极限课件.ppt

1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n}
1 {2n }
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性、子列的收敛性
练习题
一、利用数列极限的定义证明:
1、lim 3n 1 3 ; n 2n 1 2
2、lim0.999....9 1 n
二、设数列
xn
有界,又lim n
yn
0,
有 xn 1 成立.
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn A 都成立,那末就称常数 A 是数列
xn的极限,或者称数列 xn收敛于 A,记为
lim
n
xn
A,
或 xn A (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
四、数列极限的性质
性质1 如果数列有极限,则极限是唯一的.

《高数教学课件》第二节之一1.数列的极限

《高数教学课件》第二节之一1.数列的极限

05
习题与解答
习题部分
02
01
03
判断下列数列哪些是收敛的,哪些是发散的 数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 数列1, -1, 1, -1, 2, 3, 4, ...
02
数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
求下列数列的极限
03
习题部分
数列n的平方加3,n从1到 无穷大
《高数教学课件》第二节之一 1.数列的极限

CONTENCT

• 数列极限的定义 • 极限的求解方法 • 极限的应用 • 数列极限的性质 • 习题与解答
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于无穷大时,数列的项x_n趋于 某一固定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序性、局部可加性和局部可乘 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在,则称该数列收 敛,其极限值称为该数列的极限。
发散
如果数列的极限不存在,则称该数列 发散。
极限的四则运算
01
02
极限的四则运算法则是: 加减乘除,先算括号内的 ,再从高阶到低阶依次计 算。
加法法则:lim(x>a)[f(x)±g(x)]=lim(x>a)f(x)±lim(x->a)g(x)
数列n的平方减5,n从1到 无穷大
数列n的平方,n从1到无 穷大
01
03 02
答案及解析
对于第一个数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...,这是一个收敛的数列, 因为它的通项公式为1/n,当n 趋向于无穷大时,通项公式趋 向于0。
对于第二个数列1, -1, 1, -1, ..., 这是一个发散的数列,因为它 的通项公式没有趋向于一个确 定的数值。

数列极限-PPT精选文档

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2.几个重要极限:
1 0 limC C (C为常数) lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3.我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数,对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论?
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A,
n
n 1
例2:已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3.已知数列{ an }是由正数构成的数列, a1=3,且满足于lgan =lgan-1 +lgc,其中 n 是 大于1的整数,c 是正数
(1)求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1:求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 (2) lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算,要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限:
limC C (C为常数)
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数,平 面几何、三角、解析几何中的综合应用, a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q

高等数学《数列的极限》课件

高等数学《数列的极限》课件
则有唯一极限 a 存在 .

则存在 N ,
但因
交替取值 1 与-1 ,
内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时, 有
因此该数列发散 .
2. 收敛数列一定有界.
证: 设



时,
从而有

则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立.
例如,
虽有界但不收敛 .
欲使

只要
因此 , 取
则当
时, 就有

例2. 已知
证明
证:
欲使
只要


则当
时, 就有

故也可取
也可由
N 与 有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
说明:

例3. 设
证明等比数列
证:
欲使
只要

亦即
因此 , 取
, 则当 n > N 时,
就有

的极限为0 .
二、收敛数列的性质
证: 用反证法.
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
一、数列极限的定义
第二节
数列的极限
数学语言描述:
一 、数列极限的定义
引例.
设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
当 n 无限增大时,
无限逼近 S .
当 n > N 时,
用其内接正 n 边形的面积
总有
(刘徽割圆术)
他对数学的贡献主要集中
在微积分学,

高等数学(第二版)上册课件:数列的极限

高等数学(第二版)上册课件:数列的极限
n
n
n
若 0< q 1, 要使 xn 0
,只要 | q |n 即可
取自然对数,得n ln | q | ln ,
因 | q | 1, 故 n
ln
取 N 1
ln | q


,

|
则当n N 时 | q
lim q n 0
若数列 xn 收敛,则数列 xn 有界.
定理2

2,
3 4
n1
, ,...,
2 3
n
推论
无界数列必发散.
如 2, 4,8, , 2n ,
定理3(保号性) 若 lim xn a,a 0 (或a 0),则
n
正整数 N 0,当n N 时有 xn 0 (或xn 0).
如 lim q n 0, 其中 | q | 1.
n
定义1.3 设有数列 xn ,若M 0,使对一切n 1, 2, ,
有 xn M,则称数列 xn 是有界的,否则称它为无界的.
1
例如数列 2
(-1)n 有界,数列n 2 无界.


n 1
定义1.2’

如果对于任意给定的正数 ,总存在正整数 N ,使得对于 n N 的
一切
xn
,都有不等式
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxn A | 成立,则称常数A为数列
x n 当 n 时的极限,或称数列{xn } 收敛于A,记作
lim xn A
n
,或者 x A n
数列极限的几何意义:
n
2
1
1
又如 xn n , xn 0, lim n 0

高数课件-数列的极限

高数课件-数列的极限
大於1的ε上述項數指標N仍合乎定義要求。
2.1.3 數列極限的性質
2021-10-3
定理2.1.1(唯一性) 如果數列收斂,則其極 限必惟一。


lim
n
xn
a,

lim
n
xn
b,
由定義,
0,正整数N1, N2.使得当n
N
时恒有n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2 ,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
定义 2.1.3 从数列{xn} 中任选出无限多项,并按下
标从小到大排成一列,记作
xk1 , xk2 , , xkn , ,
称此数列{xkn } 为数列{xn} 的一个子数列,其中 xkn 为 数列{xn} 的第 kn 项,为数列{xkn } 的第 n 项。 特别地,分别称数列{x2n1} 和数列{x2n} 为数列{xn}
xn b xn a 2. 上式仅当a b时才能成立., 故收斂數列極限唯一.
21-1
2021-10-3
定理2.1.2(有界性) 如果數列收斂,則必有界.
即存在正数 M,使得对于一切 n=1,2,…,恒有|xn|≤M.


lim
n
xn
a,
由定義,
取 1,
则N ,使得当n N时恒有 xn a 1,
則不要求它們一定成立
數列極限的幾何意義
0,N , 使得 N 項以後的所有項
xN 1 , xN 2 , xN 3 ,
a ε 都落在 點的 鄰域
(a ,a )内
因而在這個鄰域之外至多能有數列中的有限個點

人教版高中数学课件:高二数学课件-数列的极限

人教版高中数学课件:高二数学课件-数列的极限
在研究数列的极限时,需要特别关注 初始项的选择,以确保数列的收敛性 和收敛速度。
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性,即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性,即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动,不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性,即如果 一个数列收敛到极限a,那么对 于任何正整数n,都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限,我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中,如果一个数列的极限值存在,那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如,对于等差数列,其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限,可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质,即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值,那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要, 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界, 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件,则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$,存在正整 数N,使得当$n, m > N$ 时,有$|a_n - a_m| < varepsilon$,则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法

高等数学教学课件 第二节 数列的极限

高等数学教学课件 第二节 数列的极限
A n 6 2 n 1 1 2 R 2 s6 i 2 2 n n 1 3 2 n 1 R 2 s6 i 2 2 n n 1 R2
4/18
2、截丈问题:
“一尺之棰,日截其半,万世不竭”
第一天截下的杖 X1 长 12;为 第二天截下的为 杖 X2长 12总 212和 ;
例如 2,4,8,,2n,;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
6/18
1,1,1,,(1)n1,; {(1)n1}
2,1,4,,n(1)n1,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意:1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
13/18
例2
证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
14/18
四、收敛数列的性质
证明: nl im xn a
对于 a0,正整 N数 0,
2
当 nN时 ,有 xnaa 2
从 而a0 a0
xxnnaaa2a23a22a00.
刻划它. 我们知,两 道个数之间的接 可近 以程 用度 这两个
数之差的绝对值, 来差 度值 量越小越. 接近
xn1(1)n1
1 n
1 n
9/18
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
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n
习题解答
则对 0,N [1],使得n N时,恒有n 1 ,
从而 | xn 0 | .
cos n

lim
n
xn
lim
n
2 0. 2
当 0.001时,整数N [ 1 ] 1000.
0.001
[返回习题]
习题解答 P 31 3题(3)
2 用数列极限的定义证明
lim n2 a 2 1.
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 , 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2. 已知
证明
证: xn 0
1 (n 1)2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要
1 ,
n 1
即 n
1 1.

N [ 1 1] ,
N1
时,
从而
xn
ab 2
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
从而
xn
ab 2
矛盾取. 故Nb假2a设ma不xxn真Nba1!, 因Nbb222此aa,收则敛当数n列3a>a2的2bNb极时x限nx, nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
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n
n
n
[返回习题]
作业 P30-31 1 (2) , (4) , (6) , (8)
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
xn a 1, 从而有
xn a a 1 a

M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有
xn M ( n 1, 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xn
a
;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2 ,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2. 上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
证法二: 用反证法. 假设

且a b.


lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意 1 不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2 N与任意给定的正数有关.
N定义
lim
n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
n
n

因为 |
n2 a2 1 |
n2 a2 n
n
n
n
a2 n2 a2 n
a2 n2 ,
所以 0,| n2 a 2 1 | ,
n
习题解答
只要
a2 n2
,
即要 n | a |.
取 N [| a |], 则当n N时,恒有n | a |.
从而 | n2 a 2 1 | , 所以 lim n2 a 2 1.
所以
lim
n
xn
C.
说明 常数列的极限等于同一常数.
小结 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
二、收敛数列的性质
1 唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限.
证法一:

lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
欲使
只要

亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,

N
1
ln
ln q
, 则当 n > N
时,
就有
qn1 0

lim qn1 0
nபைடு நூலகம்
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例4 设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
(2)截丈问题
“一尺之棰,日截其半,万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
2 数列的定义
定义 按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 三、小结 习题
一、数列极限的定义
1 概念的引入
(1)割圆术
“割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
通过上面演示实验的观察:

n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只要 n 100时,

xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,

xn
1
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n

xn
1
n
(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
习题解答 P31 2题
cos n
1 设数列xn的一般项xn
2 n
,问
lim
n
xn
?
求出N ,使当n N时, xn与其极限之差的绝对值
小于正数 .当 0.001时,求出整数N .
n
cos
解 lim 2 0. 事实上,要使
n n
n
cos
| xn 0 ||
2 | ,
n
只要 1 , 即要 n 1 , 取 N [ 1 ],
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,

xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,

xn 1 成立.
定义 设{xn }为一数列,对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 N ,使得当n N
时,不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是 数列 xn 的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
的项, xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn } .
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n } 1
{2n }
1,1,1,,(1)n1 ,;
{(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
2 有界性
定义 对数列 xn, 若存在正数M , 使得一切自 然数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界,
否则, 称为无界.
例如,
数列 xn
n; n1
有界
数列 xn
2n.无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
定理2 收敛的数列必定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
则当 n N 时, 就有
xn 0 ,

lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0
也可由
xn 0
1 (n1)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取
N
1
1
不一定取最小的故N也. 可取
N
[
1
]
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
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