高数数列的极限

]2
n
n
n
n
而
xn 2n
xn 1n1 无极限
我们称有极限的数列为收敛数列，
无极限的数列为发散数列。
22
例如,
1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn

n n 1
1
(n )
收
敛
xn

n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
n

都是有界的， 而数列 1 n 2n 是无界的。
17
( 2） 单调性
若 xn 的项 xn 随着项数 n 的增大而增大，即满足
x1 x2 x3 xn
则称此数列是单调增加的；反之若
x1 x2 x3 xn
则称此数列是单调减少的。

ba 2

xn

a

ba 2
3ab 2

xn

ab 2

ba 2

xn
b

ba 2
ab 2

xn

3ba 2
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不等式
矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
46
2. 收敛数列一定有界.
n
xn

a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn

ab 2
,
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
从而
xn

. ab 2

ba 2

xn

a

ba 2
3ab 2

xn

ab 2

ba 2

xn

b

ba 2
ab 2

xn

3ba 2
45
xn
xn

1 1
在－1 与 1 之间跳动
观察可见：xn 的变化趋势只有两种：不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
由此，得到数列极限的初步定义如下：
20
定义2
若当 n 时，一般项 xn 无限地接近于某个
确定的常数 A , 则称 A 为数列 xn 的极限，记作
38
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
39
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
40
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
41
例2. 已知
证明
证: xn 0

(n
1 1) 2

1 n 1
(0,1), 欲使
称为数列的项数。
数列简记为 xn 或 x n (n 1,2, )
15
数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴
上依次取 x1, x2, x3, xn
x3 x1 x4 x2
xn x
数列是整标函数 xn f n n 1,2,
如 xn 2n f (x) 2x , x N
3n 2 2n 1

3 2
证：
xn
a

3n 2 3 2n 1 2
1
22n 1

1
2n 1
1 n
0
只要
1 ,
n
即当
n

1

时，恒有
xn
a

取
N

1

则对
0 当n N 时
恒有
3n 2 3
2n 1 2
100
即从101 项起以后的所有点 x101, x102, x103 xn
1 与 2 的距离小于 100 即有
xn
2
1 100
取
1
10000
只要
n 10000 N
即从10001 项起以后的所有点 x10001, x10002, xn
1 与 2 的距离小于 10000
例如:
n n 1
是单调增加数列;
1
n

是单调减少数列
单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列。
其特点是 数列的点作定向移动，单增向右，
单减向左。
18
二、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .

如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
——刘徽
5
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
6
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
7
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
lim xn A
n
或
xn A (n )
（读作 n 趋向无穷大时，xn 趋向于 A ）.
若当 n 时， xn 不接近于任何确定常数A ,
则称数列 xn 没有极限。
21
例如： lim 1 n1 0
n n
lim
2n 1n1
lim[ 2
1 n1

[
1

]
42
例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N


1

ln
ln q

, 则当 n > N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
43
例4 求证
lim n
16
2、 数列的性质
设已知数列 xn
（1） 有界性
若存在 M >0 , 对于一切 n 都有 xn M 则称数列
xn 是有界的；否则，若不存在这样的正数 M，则称
xn 是无界的。
例如：数列

1 n
,
1 n1 ,
2n 1 n

数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
An S
19
引例
观察下列数列的变化趋势 n
1.
xn

1n1
1 n
xn 0
2.
xn
2n 1 n1
n
2 (1)n n
xn 2
3. xn 2n
4. xn 1n1
lim 2n 1 n1 2 0
欲使
n
n
xn 2
2n 1 n1 2
n
1 n1 1
nn
25
xn
2

2n 1 2
n
由 1
n1
n

1 n1 1
nn
取 1 只要 n 100 N
1
28
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
29
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
30
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
31
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
32
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
——刘徽 正六边形的面积 A 1
正十二边形的面积 A 2

正 6 2 n1 边形的面积 A n
A1, A2 , A3, , An , S
播放
R
3
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
4
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
(1 q)Sn a1 a1qn
当 q 1 时
Sn

a1(1 qn ) 1 q
14
1、数列的定义 定义1 按照一定的法则，依次排列的一列无穷多个数：
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列，其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn
称为数列的一般项（或通项），下标 n (n 1,2, )
13
等比数列的前n 项和的公式
设等比数列
a1 , a1q, a1q2 , L , a1qn1,L
等比数列的前n 项之和，
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1 (1)
上式两边同时乘以q 有：
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn (2)
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
33
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
34
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
35
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
36
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
37
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产
生的。变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是
经常遇到，这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对 稳定的状态。也就是说它在变化的过程中无限的接近 于某一确定的常数。
2
一、数列
1、割圆术：
“割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可 割，则与圆周合体而无 所失矣”
只要
1 ,
n 1
即 n
1 1.

取
N
[ 1 1] ,

则当
n
N
时, 就有
xn 0 ,
故
lim
n
xn

lim
n
(1)n (n 1)2

0
也可由
xn 0

1 (n1)2
说明: N 与 有关, 但不唯一.
取
N
1

1

不一定取最小的故N也.可取
N
即有
xn
2
1 10000
26
高等数学
第三讲
主讲教师: 王升瑞
27
例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
xn 1

1 (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n

1

因此 ,
取
N
[1 ],

则当
n
N
时, 就有
1 (1)n 1
n
故
lim
n
xn

lim n (1)n n n
——刘徽
11
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
12
引例2： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰，第一次去其一半，第二次再去所余
之半，如此分割下去问： 共去棒长多少？
解：
01 1 1
1
84 2
把所去之半排列起来：
1 2
成立

lim n
3n 2 2n 1

3 2
注：1、化简 xn a （必要时适当地放大）
2、用倒推法得到与n 有关的一系列不等式
n （）（（）中不含 n, 仅是 的函数） 44
三、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因
lim
——刘徽
8
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
9
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
10
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
1 22
1
1
23 2n
此是公比为 q 1 2
共去棰长
sn
1 2
的等比数列
1 22


1 2n

1 2
பைடு நூலகம்
1 2n
(1
1
0
1 2
n
)

1
1

n

1

n

1
2
2
Sn
a1 a1q a1q2 L
a1qn
a1(1 qn ) 1 q
24
几何解释 : a xn a ( n N )
(
)
x1 a xN 1 a xN 2 a x2 xN 1
当 n > N 时, 总有
为具体的说明 n 与 之间的关系 考察一般项为
xn

2n

1n1
n

2
1 n 1
n
数列，
当 n 无限增大时 xn 与 2的距离无限的小.
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
1
极限概念前言 极限概念是高等数学中最基本的概念，这个概念 贯串着整个数学分析，并在数学的其它领域中起重要 作用。因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表 达。微分、积分都可用极限运算来描述。掌握极限的 概念和运算很重要。
散
xn (1)n1 趋势不定 23
为了精确的反映 xn 接近 a 的程度与 n 之间的关系给出
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn

a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
a xn a ( n N ) 即 xn ( a , ) ( n N )