高等数学 第一章 第二节 数列的极限
高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）
高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）第一篇：高等数学说课稿《数列极限》《数列极限》说课稿袁勋这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。
这部分内容在课本第18页至20页。
下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。
一、关于教学目的的确定：众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。
体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，根据两节。
在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛；‚概念建立阶段‛；‚概念巩固阶段‛。
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；②使学生形成对数列极限的初步认识；③使学生了解学习数列极限概念的必要性。
2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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大学一年级 1(2)数列的极限
数列的极限
定理2(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 定理2(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 2(收敛数列的有界性 的数列必定有界 证 设 lim x n = a ,
n→ ∞
由定义, 由定义
取ε = 1,
则∃N , 使得当 n > N 时恒有 x n − a < 1,
即有 a − 1 < x n < a + 1.
只 要 n > 5000, 就 有 S n
1 Sn − < ε ? 3 1 1 只要n > ,就 有 Sn − < ε 2ε 3
14
数列的极限
定义5
数列极限的 ε − N
定义
设
{u n } 为 一 数 列 ,
如 果 存 在 常 数 A,
不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小 不论它多么小 总存在正数N, 总存在正数
2
数列的极限
刘徽(三世纪 的 割圆术”中说: 刘徽 三世纪)的“割圆术”中说 三世纪 “割之弥细 所失弥少 割之又割 以至不可 割之弥细,所失弥少 割之又割,以至不可 割之弥细 所失弥少.割之又割 则与圆周合体,而无所失矣 割,则与圆周合体 而无所失矣 则与圆周合体 而无所失矣.”
意思是:设给定半径为 尺的圆 从圆内接正 边 设给定半径为1尺的圆 从圆内接正6边 设给定半径为 尺的圆,从圆内接正
5
数列的极限
如
1 1 1 1 : 1, , , L , , L 2 3 n n n n 1 2 3 , , L, ,L : n +1 n + 1 2 3 4
(−1) n 1 1 1 (−1) n n : − , , − L, n ,L 2 4 8 2 2
【精品】高等数学1-2-数列的极限
(1) x n
1 3n
(3)
xn
(1)n
1 n
n 1 (5) x n n 1
(7) x n
cos
1 n
(2)
xn
( 1) n
1 n
n
(4) xn sin 2
(6) xn 2(1)n
(8)
xn
ln
1 n
解 (1) 0; (2) 0; (5) 1; (7) 1; (3) (4) (6) (8) 都不存在.
二、数列极限的性质
定理1（极限的唯一性） 如果数列{ xn } 收敛，那
么它的极限唯一.
证 用反证法. 设数列有两个极限 xn a, 及
xn b, 且 a < b.
取 ba .
2
ln im xna,N10,当 nN1时，不等
都成立.
xn
a
ba 2
（2-2）
又 ln im xnb, N20,当 nN2时，不等
以
xn
1 (1)n1 n
为例.
ln im xn 1
（1）用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程 度：
用 xn 1 表示数列与常数值的距离，另用正数
ε 表示两者接近的程度.
xn
11
(1)n1 n
1 (1)n1 1 会越来越小.
n
(n1)2
(n1)2 (n1)2
1 1 n 1 n
0 ，要 xa使 sinn1
n
(n1 )2 n
取 N [ 1 ] ，则当n > N时，就有
sinn 0
高等数学 第一章 第二节 数列的极限
第一章 第一节 数列极限A 组 一、选择题：1. 数列{}n x 有界是数列lim n n x →∞存在的【 】A. 充分必要条件B. 充分条件C. 必要条件D. 既非充分条件又非必要条件 2. 下列命题正确的是【 】 A. 有界数列一定收敛 B. 无界数列一定收敛C. 若数列收敛，则极限唯一D. 若函数(sin )y f x =在()f x 处的左右极限都存在，则()f x 在此点处的极限存在3. 下面命题正确的是【 】A. 若{}n u 有界，则{}n u 发散B. 若{}n u 有界，则{}n u 收敛C. 若{}n u 单调，则{}n u 收敛D. 若{}n u 收敛，则{}n u 有界4. 观察下列数列的变化趋势，其中极限是1的数列是【 】A.1n n x n =+ B. 2(1)nn x =-- C. 13n x n=+D. 211n x n =- 5、⎪⎩⎪⎨⎧=-为偶数当为奇数当n n n x n ,10,17则 。
（A ）;0lim =∞→n n x （B ）;10lim 7-∞→=n n x（C ）;,10,,0lim 7⎩⎨⎧=-∞→为偶数为奇数n n x n n (D) 不存在n n x ∞→lim6、下列数列n x 中，收敛的是 。
（A ）n n x nn 1)1(--=（B ）1+=n n x n （C ）2sin πn x n =（D ）nn n x )1(--= 7．下列命题：（1）设a u n n =∞→lim ，b v n n =∞→lim ，且b a >，则必有n n v u >（ ，，，321=n ）；（2）设n n v u >（ ，，，321=n ），且a u n n =∞→lim ，b v n n =∞→lim ，则必有b a >；（3）设n n n v x u ≤≤（ ，，，321=n ），且0)(lim =-∞→n n n v u ，则n n x ∞→lim 必存在． 正确的个数为( ) ． （A ） 零个； （B ） 1个； （C ） 2个； （D ）3个．8、数列{}n x 无界是数列发散的【 】A. 充分必要条件B. 充分条件C. 必要条件D. 既非充分条件又非必要条件10.设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（）(A)存在且等于零 (B)存在但不一定等于零 (C)不一定存在 (D) 一定不存在 11.设=1>0,,nn n kk a n Z S a+∈=∑，则数列{}n a 有界是数列{}n S 收敛的（）(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）即非充分地非必要条件. 12. 设有两个数列{}{}lim()0n n n n n a b b a →∞-=，，且则（A ）{}{}n n a b ，必都收敛，且极限相等 （B ）{}n a 收敛，{}n b 发散（C ）{}{}n n a b ，必都收敛，且极限不相等 （D ）{}{}n n a b ，可能收敛，也可能发散 13、下列说法正确的是：（A ）如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。
高等数学第一章公式
高等数学公式与定理（第六版上册）第一章 函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。
定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。
定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论 如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节 无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。
高等数学1-1 数列的极限
概念的引入 数列的概念 数列极限的概念 收敛数列的性质 小结 思考题 作业
©
第一章 函数1与极限
数列的极限
一、概念的引入
极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注 数列极限的定义通常是用来进行推理
和证明极限,而不是用来求极限, 因为这里
需要预先知道极限值是多少.
©
例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
欲使
因此 , 取
则当
即
只要
时, 就有
故
©
例2. 设
的极限为 0 .
证:
证明等比数列
欲使 亦即
只要
即
(q 0)
因此 , 取
可看作一动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x1 x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
xn f (n) 整标函数或下标函数
©
数列的极限
(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是平面上一串分离的点. xn
o ·1 2·3·4
n
注 不可将这串点·连成曲线.
©
数列的极限
三、数列极限的概念
问题 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定? 研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势.
n 1 1, 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ,
2345 即 2, 1 , 4 , 3 , 6
高等数学(第五版)同济大学主编 1-2节数列极限
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
高等数学上册 02 极限的概念
li m （ x ） = A 或 （ x ） A （ x x 0） . f f
如 果 这 样 的 常 数 A 不 存 在 ，则 说 当 x x 0时 （ x ） f 没 有 极 限 . 为 了 方 便 ， 常 表 述 为 “ l im （ x ） 不 存 在 ” . f
x x0
1 x
无 限 接 近 于 0， 故 有
y
y
1 x
x
O
的水平渐近线（如右图）.
x
直 线 y 0 是 曲 线 （ x） f
y
2
y= arctBiblioteka n xOx
2
例 4 、从 反 正 切 函 数 y= arctan x 的 图 形 可 观 察 到 lim arctan x
2
x
3
一 般 地 ， 若 要 xn 1
1 n
1 10
k
，只 要 n 1 0 .
k
由 此 可 见 ，无 论 要 求 x n 与 0 多 么 接 近 ，只 要 n 足 够 大 后 ，就 可 以 使 x n 与 0 有 那 么 接 近 ，这 就 是 "当 n 无 限 增 大 时 ， x n 接 近 于 常 数 1 "的 含 义 . n -1 ） （ n
x 1 解 ： （ x ） 在 x = 1 处 没 有 定 义 ， 但 （ x ） 当 x 1时 的 极 限 f f
x
2
的极限.
与 （ 1 ） 是 否 存 在 没 有 关 系 . 由 于 （ x） = f f 当 x 1时 ， （ x ） 无 限 接 近 于 2 . 因 此 有 f lim x
x
大一高等数学 第一章第二节 数列的极限
极限的定义
数列极限：数列的极限是指当n趋于无穷大时，数列的项趋于一个固定的数 极限的定义：如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，数列的 项与这个固定的数之差的绝对值小于ε，那么我们就说数列的极限是这个固定的数 极限的性质：极限具有唯一性、保号性、保序性、保积性等性质
斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 几何级数：1, 2, 4, 8, 16, 32, ... 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... 幂级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
自然对数的底数e的实例
自然对数的定义： e=lim(n→∞)(( 1+1/n)^n)
自然对数的性质： e是自然对数的 底数，是一个无 理数，约等于 2.71828
自然对数的应用： 在数学、物理、 工程等领域有着 广泛的应用
自然对数的极限： e=lim(n→∞)(( 1+1/n)^n)， 这是一个数列极 限的实例
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汇报人：儿
证明数列收敛的方法
单调有界准则：数列单调且存 在上界或下界，则数列收敛
夹逼准则：数列的两个子数列 分别收敛于同一极限，则数列 收敛
柯西准则：数列满足柯西条件， 则数列收敛
极限定义法：直接利用极限的 定义证明数列收敛
证明数列发散的方法
单调有界准则：如果数列单调有界，则 数列收敛
夹逼准则：如果数列的两个子数列分 别收敛于不同的极限，则数列发散
优化物理模型：数列极限可以用来优化物理模型，如优化电路设计、 优化机械结构等
数列极限在经济中的应用
预测经济趋势：通过数列极限分 析，预测未来经济走势
《高等数学》笔记-知识归纳整理
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。
否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
高等数学上册 1.2 数列的极限
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
高等数学1-2
2. N的取法与预先任意给定 的正数 ε有关 .
ε N定义: lim xn = a n→∞
ε > 0, N > 0, 使n > N时, 恒有xn a < ε.
其中 : 每一个或任给的 ; : 至少有一个或存在 . 几何解释: 几何解释
aε
x 2 x1 x N + 1
2ε
a
a+ } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
播放
通过上面演示实验的观察得知: 通过上面演示实验的观察得知 n1 (1) (1) 当n 无限增大时 xn = 1+ , 1 无限接近于 . n 上述“ 无限增大时” 上述“当n无限增大时”指的是“当n→∞ 无限增大时 指的是“ →∞ 时”. 问题: 无限接近1”意味着什么 意味着什么? 问题 “xn无限接近 意味着什么 如何用数学 语言刻划它? 语言刻划它 “xn无限接近 是指 n-1|可以小于预先任意给 无限接近1”是指 是指|x 可以小于预先任意给 定的很小的正数. 定的很小的正数
2、数列 如果对每一个正整数n， 如果对每一个正整数 ，按照某一个法则都能 得到唯一确定的数x 得到唯一确定的数 n, 那么将这些数有次序地排列 起来(x 排在第n个位置上 个位置上). 起来 n排在第 个位置上 这样有次序排列的一 列数： 列数：
x1 , x 2 , L , x n , L
(1)
1 1 = n n
1 1 1 , 即 < 要想 x n 1 < , 只要 n > 100即可； 即可； 100 n 100
1 , 要想 x n 1 < 1000
即可； 只要 n > 1000即可；
1
高等数学1_2数列极限(含weierstrass定理以及单调递增
xn0,只要
1 n 1
,
即
1 n
1
.
取
N [11],
则当
nN时, 就有
xn0,
故 nl im xnnl im (n(11)n)20 也可由 xn0(n11)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N11
x 不n一0 定 取n1 最1 小1 n 的, 故N 也. 可取
设{ x n } 为一数列 如果存在常数 a , 对于任意给定 的正数 ， 总存在正整数 N , 使得当 n 时N 总有
xn a 成立 则称常数 a 是数列{ x n } 的极限 或者称数列{ x n } 收敛于 a ， 记为
lim
n
xn
a,
或
xn a(n ).
•极限定义的简记形式
所以
(1 1), n1
11
1
lim
1.
n 12 23 n(n1)
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三.收敛准则
定理2.5 单调有界数列必有极限 单调增，上有界数列必有极限 单调减，下有界数列必有极限
anan1,anM
a1
a3
a2
A
aN
M
o an
m
bn1bn,mbn
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数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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数列的极限
观察数列
高等数学第六版第一章第二节数列的极限
3) 绝对值不等式
| xn a | a xn a ,( n N )
则表明 xn 与a可以无限接近.
4) lim xn a 的几何意义: n a 2
x2
x1
a
xN 2
x
xN 1
a
x3
当n > N 所有的点
xn
都将落在 (a , a ) 内，
1. xn 1
n 1 1
n
n 1
xn 0
(1) n 2 n
2n 1 2. xn n 3. xn 2n
xn 2 xn
4. xn 1n1
xn 在－1 与 1 之间跳动
xn 的变化趋势只有两种： 观察可见： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
上式两边同时乘以q 有：
(1)
(2)
qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q) S n a1 a1q n a1 (1 q ) 当 q 1 时 Sn 1 q
n
12
引例3 观察下列数列的变化趋势: 当n 时
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列， 其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项（或通项）， 下标 n (n 1,2,) 表示数列的项数。 数列简记为
xn 或 x n (n 1,2,)
5
数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴 上依次取 x1, x2, x3, xn
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
《高等数学》第一章函数与极限第二节 数列的极限
所失矣”
——(魏晋)刘徽
5
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
n 1
R
正62
形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
刘徽从圆内接正六边形开始，逐次边数加倍到 正3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
6
第1 章 函数与极限
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
三、数列极限的定义
定义 已知数列 xn , A是一个常数. 如果当n无限增大时,
也称数列 xn收敛于A.
记作
n
xn无限接近于A, 则称当n 时, 数列 xn的极限为A,
lim xn A 或 xn A (n )
说明 这是数列极限的描述性定义。按照定义，通过观察
n n
证
任给 0,
lim xn a ,
n
N 使得当n N时, 恒有 xn a ,
从而有
n
xn a
xn a xn a
xn a a
a
故 lim xn a .
23
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
四、极限存在的两个准则 准则Ⅰ 夹逼准则
如果数列 xn, yn , zn 满足条件：
(1) xn yn zn ( n 1, 2, 3 ) (2) lim xn A, lim zn A
n n
yn A 那么数列 yn 收敛, 且 lim n
24
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
1 1 1 1 1 1 xn 2 2 1 2 2 3 nn 1 2! 3! n! 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
高等数学电子版
高等数学电子版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章极限与连续第一节 数列的极限一、数列极限的概念按照某一法则，对于每一个+∈N n ，对应一个确定的实数n x ，将这些实数按下标n 从小到大排列，得到一个序列,,,,21n x x x称为数列，简记为数列}{n x ，n x 称为数列的一般项。
例如： ,1,,43,32,21+n n ,2,,8,4,2n ,21,,81,41,21n ,)1(,,1,1,11+--n ,)1(,,56,43,34,21,21n n n --+ 一般项分别为1+n n ，n 2，n 21，1)1(+-n ，n n n 1)1(--+ 数列}{n x 可看成自变量取正整数n 的函数，即)(n f x n =，+∈N n 设数列n n x n n 1)1(--+=，来说明数列}{n x 以1为极限。
为使100111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ，只需要100>n ，即从101项以后各项都满足1001|1|<-n x ， 为使100000111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ，只需要100000>n ，即从100001项以后各项都满足1000001|1|<-n x ， 为使ε<=--+=--n n n x n n 11)1(|1|1（ε是任意给定的小正数），只需要ε1>n ，即当ε1>n 以后，各项都满足ε<-|1|n x 。
令]1[ε=N ，当N n >时，ε1>n ，因此有ε<-|1|n x ，即任意给定小正数ε，总存在正整数]1[ε=N ，当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ，则 定义：设}{n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n >时的一切n x 都满足不等式ε<-||a x n则说常数a 是数列}{n x 的极限，或者说数列}{n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim 或 a x n →)(∞→n 如果不存在这样的常数a ，则说数列}{n x 没有极限，或者说数列}{n x 发散。
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一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知
当 n 无限增大时, 数学语言描述:
无限逼近 S (刘徽割圆术) , 当 n > N 时, 总有
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作 或
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
几何解释 :
即
例如,
收 敛
发 散 趋势不定
例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
欲使
因此 , 取
例如，
发散 !
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .
1. 夹逼准则 (准则1) (P49)
证: 由条件 (2) , 当
当 令
时,
时, 则当
由条件 (1)
即
故
时, 有
例5. 证明 证: 利用夹逼准则 .由
且
2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) ( 证明略 )
则
使当
时, 有
因此 “充分性” 证明从略 .
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则
思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列;
及
且
取
因
故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
从而
同理, 因
故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
从而
则当 n > N 时, 满足的不等式
矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列
收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
则存在 N , 使当 n > N 时 , 有
推论: 若数列从某项起 (用反证法证明)
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
若
则
当
时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有
*********************
从而有
由此证明
说明:
由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
则当
即
只要
时, 就有
故
例2. 已知
证明
证:
欲使
只要
即
取
则当
时, 就有
故
也可由
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取
不一定取最小的故N也. 可取
例3. 设 的极限为 0 .
证:
证明等比数列
欲使
只要
即
亦即
因此 , 取
, 则当 n > N 时, 就有
故
二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
例6. 设 极限存在 . (P52～P54)
证: 利用二项式公式 , 有
证明数列
大
比较可知 又
大
正
又
根据准则 2 可知数列 记此极限为 e , 即
有极限 .
e 为无理数 , 其值为
*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55)
数列
极限存在的充要条件是:
存在正整数 N , 使当
时,
有
证: “必要性”.设
但因 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
内, 因此该数列发散 .
2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取
从而有
则
当
时, 有
取
则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列
虽有界但不收敛 .
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有 证: 对 a > 0 , 取
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2. 已知
,求
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设
由递推式两边取极限得
不对! 此处
作业 P30 3 (2) , (3) , 4 , 6 P56 4 (1) , (3) 4 (3) 提示:
可用数学归纳法证
备用题
1.设 求
解：
,且 利用极限存在准则
∴数列单调递减有下界，故极限存在，设 则由递推公式有
故
2. 设 证: 显然
证明下述数列有极限 .
即
单调增, 又
“拆项相消” 法
存在