数列的极限教学教材
《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
《数列极限》课件
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
《数列的极限》教学设计精品
《数列的极限》教学设计精品《数列的极限》教学设计南海市桂城中学邝满榆(一)教材分析数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。
(二)教学对象学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长Pn 不断增大，并越来越接近于圆的周长C。
在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。
这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。
但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。
讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。
(三)教学媒体：投影仪 (四)教学目标⑴掌握数列极限的定义。
⑵应用定义求证简单数列的极限，或从数列的变化趋势找到简单数列的极限。
⑶通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义和辩证唯物主义的教育。
(五)重点、难点理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。
(六)教学方法：启发分析，讲练结合。
(七)教学过程一、定义的引进 1. 复习提问⑴ |a| 的几何意义：表示数a的点与原点的距离。
⑵ |x-A| 的几何意义：表示数x 的点及数A的点之间的距离。
⑶设ε>0，解不等式 |x-A|A-ε A A+ε X2. 启发引导：当学生按照上述结果回答完问题后，指出满不等式 |x-A|3. 定义的引进本节课的课题是“数列的极限”(板书)，极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列：1111 ,,,......,n,......;这是一个无穷数列(\万世不竭\)2482把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来：①11111 0 32 16842 1从图形容易看出，不论项数n怎样大， 2 n永不为0，只是0 1?的近似值，但当n无限增大时，数列 2 n ? 的项就无限趋近于0。
数列的极限_教学设计
数列的极限_教学设计标题：数列的极限教学目标：1.理解数列的概念和性质。
2.掌握计算数列极限的方法和技巧。
3.能够用数列的极限解决实际问题。
教学准备：1. PowerPoint课件。
2.数列的题目集。
3.学生小组讨论活动准备。
教学过程：Step 1: 引入（15分钟）1.引导学生回顾数列的定义，解释数列的概念和性质。
2.引导学生思考一个问题：“数列的极限是什么，它有什么意义？”鼓励学生展示自己的观点。
Step 2: 数列极限的定义和计算方法（30分钟）1.展示数列的极限的定义和计算方法，用图示和公式两种方式解释。
2.给学生提供一些简单的数列，帮助他们通过计算极限来理解定义的意义。
3.演示一些复杂的数列，引导学生运用计算方法计算极限。
Step 3: 数列极限的性质和应用（30分钟）1.介绍数列极限的性质，如唯一性和保序性。
2.展示数列极限的应用，如在实际问题中求解极限。
3.提供一些实际问题，引导学生运用数列极限来解决这些问题。
Step 4: 小组讨论活动（20分钟）1.将学生分成小组，每个小组讨论一个数列相关的问题。
2.每个小组选一名代表分享讨论结果，并得到其他小组的反馈和讨论。
3.鼓励学生从不同角度思考问题，培养团队合作和表达能力。
Step 5: 总结与评价（15分钟）1.总结数列的极限的概念、性质和计算方法。
2.让学生回答一些问题，检测他们对于数列极限的理解和应用能力。
3.鼓励学生提出自己的疑惑和思考，给予评价和指导。
教学拓展：1.引导学生练习更多的数列极限计算题目，巩固他们的计算能力。
比赛课件(说课授课)：数列的极限
问卷调查结果分析
7
数列的极限——说课
▪物理学、物理应用 ▪ 教学目标 ▪接触过描述性定义
▪ 萌芽 发展
▪ 产生 完善
教材 分析
学情 分析
教法 分析
教学 过程
▪ 地位与作用 ▪ 重点与难点
▪ 演示法、探究法 ▪ 新
▪ 讲解法
8
教学过程
萌芽——截杖问题
推陈出新
发现并提出问题
产生——描述性定义
温故知新
• 发现 问题的观察能力 • 分析 问题的思考能力 • 解决 问题的实践能力
• 理解 极限的“e -N ”定义
• 会 判断简单数列的极限
4
数列的极限——说课
▪物理学、物理应用 ▪ 教学目标 ▪接触过描述性定义
教材 分析
学情 分析
教法 分析
教学 过程
▪ 地位与作用 ▪ 重点与难点
5
问卷调查结果分析
n>N时，恒有|xn-a|<e 成立, 则称a是数列{xn}的极限，
或称{xn}收敛于a，记作:
lim
n
xn
a
否则称数列{xn}发散。
Any Exist
d
lim
n
xn
a e
0, N Z+ , 当 n
N时, 恒有
xn - a
e
18
d
lim
n
xn
a e
0, N Z+ , 当 n
N时, 恒有
lim
n
xn
a
否则称数列{xn}发散。
15
拉丁文limis（极限） 英文limit(极限) 读音
lim
n
xn
高等数学(第二版)上册课件：数列的极限
n
n
若 0< q 1, 要使 xn 0
,只要 | q |n 即可
取自然对数，得n ln | q | ln ,
因 | q | 1, 故 n
ln
取 N 1
ln | q
则
,
|
则当n N 时 | q
lim q n 0
若数列 xn 收敛，则数列 xn 有界.
定理2
如
2,
3 4
n1
, ,...,
2 3
n
推论
无界数列必发散.
如 2, 4,8, , 2n ,
定理3（保号性） 若 lim xn a，a 0 （或a 0），则
n
正整数 N 0，当n N 时有 xn 0 （或xn 0）.
如 lim q n 0, 其中 | q | 1.
n
定义1.3 设有数列 xn ，若M 0，使对一切n 1, 2, ,
有 xn M，则称数列 xn 是有界的，否则称它为无界的.
1
例如数列 2
(-1)n 有界，数列n 2 无界.
、
n 1
定义1.2’
如果对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N ,使得对于 n N 的
一切
xn
,都有不等式
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxn A | 成立，则称常数A为数列
x n 当 n 时的极限，或称数列{xn } 收敛于A，记作
lim xn A
n
，或者 x A n
数列极限的几何意义：
n
2
1
1
又如 xn n , xn 0, lim n 0
人教版高中数学课件：高二数学课件-数列的极限
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
第三节 数列的极限课件
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
例2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
4、常用的极限
1 0. 例1 lim n n
1、利用判定定理来证明极限 的存在性 2、利用极限的定义证明等式 成立。
证
xn
1 n
xn ,
任以, 取N [ ], 则当n N时, 1 1 lim 0. n n n
1 或n ,
3、极限存在的判定准则
1、数列的上界和下界 如果存在实数M，使得对于数列{ xn } 的一切项都有：
| xn | M (| xn | M )
则称数列有上界(下界).
2、单调数列
如果数列 { xn }有如下性质：
x1 x2
xn ( x1 x2
xn )
那么数列称为单调上升（下降的）
3、判定准则：单调上升且有上界的数列以及单 调下降且有下界的数列有极限。
用处：判定某个数列是否存在极限 缺点：不能用来求数列的极限。
练习1、利用极限存在原理证明数列的存在性
n (1) lim n n 1
(2) lim( n 1 n )
n
练习2：证明数列的极限存在，2, 2 2 , 2 2 2 , 并求之.
lim q n 0.
n
ln n , ln q
就有 q n 0 ,
数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
高等数学教学课件 第二节 数列的极限
4/18
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖 X1 长 12;为 第二天截下的为 杖 X2长 12总 212和 ;
例如 2,4,8,,2n,;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
6/18
1,1,1,,(1)n1,; {(1)n1}
2,1,4,,n(1)n1,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
13/18
例2
证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
14/18
四、收敛数列的性质
证明: nl im xn a
对于 a0,正整 N数 0,
2
当 nN时 ,有 xnaa 2
从 而a0 a0
xxnnaaa2a23a22a00.
刻划它. 我们知,两 道个数之间的接 可近 以程 用度 这两个
数之差的绝对值， 来差 度值 量越小越. 接近
xn1(1)n1
1 n
1 n
9/18
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
7.7数列的极限(第2课时)
7.7数列的极限（第2课时）【教案】 教学目标：1．理解数列极限的概念，会求一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，提高概括、抽象思维能力. 教学重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 教学难点：数列极限的定义的理解.教学过程：一、情景引入：复习回顾：什么是数列极限的定义？一般地，在n 无限增大的变化过程时，如果无穷数列{}n a 中的项na 无限趋近于某一个常数a ，那么a 叫做数列{}n a 的极限.二、概念形成：提问1：在定义中，如何理解“无限趋近于某一个常数a ”？ 提问2：用什么来体现这种无限趋近的过程呢？ 思考并讨论给出结论：用n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0现在以数列n na nn )1(-=为例说明这种过程观察：距离量化：nn a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n 1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n 充分的大，都有n1比给定的正数小. 三、概念应用： 已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来. ②写出n 1-n a 的解析式. ③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 中的第几项以后的所有项都满足10011<-n a ④指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 的极限.四、课堂反馈例 判断下列命题的真假：（1）数列 ,2)1(1,,1,0,1,0n-+的极限是0和1． （2）数列 ,21)1(,,21,21,21,11132-+⋅---n n 的极限是0．（3）数列 ,1sin ,,31sin ,21sin ,1sin n 的极限不存在．（4）数列10000231,,31,31,1 的极限是0．分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势．解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题．（2）随着n 无限增大，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--+1121)1(n n 的项无限趋近于0，因此它的极限是0，是真命题．（3）随着n 无限增大，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的项无限趋近于0，因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1sin 无限趋近于0，是假命题．（4）有穷数列无极限，是假命题． 说明：（3）中容易认为极限不存在．（4）容易错误认为是真命题，尽管数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-131n 随着n 的增大而逐渐趋近于0，但由于数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限．五、课堂小结1.如何理解极限定义中的“无限趋近”2.如何由定义来判断数列有无极限六、作业布置：课本P39页 练习7.2（2）第1、2、3、4题【情景资源】情景1：冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮。
数列的极限_教学设计
数列的极限_教学设计第一篇：数列的极限_教学设计数列的极限教学设计西南位育中学肖添忆一、教材分析《数列的极限》为沪教版第七章第七节第一课时内容，是一节概念课。
极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为极限理论是微积分学中的基础理论，它的产生建立了有限与无限、常量数学与变量数学之间的桥梁，从而弥补和完善了微积分在理论上的欠缺。
本节后续内容如：数列极限的运算法则、无穷等比数列各项和的求解也要用到数列极限的运算与性质来推导，所以极限概念的掌握至关重要。
课本在内容展开时，以观察n→∞时无穷等比数列an=列an=qn,(|q|<1)与an=1的发展趋势为出发点，结合数n21的发展趋势，从特殊到一般地给出数列极限的描述性定义。
在n由定义给出两个常用极限。
但引入部分的表述如“无限趋近于0，但它永远不会成为0”、“不管n取值有多大，点（n，an）始终在横轴的上方”可能会造成学生对“无限趋近”的理解偏差。
二、学情分析通过第七章前半部分的学习，学生已经掌握了数列的有关概念，以及研究一些特殊数列的方法。
但对于学生来说，数列极限是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡的阶段。
由于已有的学习经验与不当的推理类比，学生在理解“极限”、“无限趋近”时可能产生偏差，比如认为极限代表着一种无法逾越的程度，或是近似值。
这与数学中“极限”的含义相差甚远。
在学习数列极限之前，又曾多次利用“无限趋近”描述反比例函数、指数函数、对数函数的图像特征，这又与数列中“无限趋近”的含义有所差异，学生往往会因为常数列能达到某一个常数而否定常数列存在极限的事实。
三、教学目标与重难点教学目标：1、通过数列极限发展史的介绍，感受数学知识的形成与发展，更好地把握极限概念的来龙去脉；2、经历极限定义在漫长时期内发展的过程，体会数学家们从概念发现到完善所作出的努力，从数列的变化趋势，正确理解数列极限的概念和描述性定义；3、会根据数列极限的意义，由数列的通项公式来考察数列的极限；掌握三个常用极限。
(完整版)《数列的极限》教学设计.docx
章节、内容授课时间及班级授课周次教具教材地位教材分析教学重点教学难点教学关键知识目标能力目标教学目标分析情感目标学生知识现状分析教学方法教法分析分析学法分析教学过程设计《高等数学》——数列极限教学设计§1.2 极限（数列极限）2017 年 6 月 2 日 1、2 节电子技师 3 班第 14 周授课时间 1 课时 45 分钟三角板、圆规众所周知，数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识，另外，极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变。
数列极限的概念。
如何从变化趋势的角度，来正确理解数列极限的概念。
教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）。
从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。
1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。
2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点，感受“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。
1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。
2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发学生的学习积极性，优化学生的思维品质。
授课对象为二年级学生，有部分高中毕业生、大多数是初中毕业生、学生基础层次差距较大；多数学生欠缺学习方法，不善于自己分析探究，习惯于教师的讲授；另外数学语言表达存在一定问题。
但已具备一定的初等数学基础知识。
根据本节课的内容和学生的实际水平，整节课以教师为主导、学生为主体、启发思维为主线；并采用班内“隐性”分层教学，接合讲授法、演示法、讨论法、探究法等方法。
1、自主学习：学生自己通过预习，了解所学知识2、探究合作学习：通过教师的引导，学生合作探究，互相交流，解决教学中出现的问题。
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
高数数列的极限ppt课件
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
6
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
28
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 . 19
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
20
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
21
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
11
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
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则n 当 N时 ,
有qn 0 , lim qn0. n
17
数列的极限
四、收敛数列的性质
1. 有界性
定义 对数列xn,若存在正数M, 使得一切自然
数n,恒有 | xn|M成立 ,则称数列 x n 有界; 否则,
称为无界.
如,
数
列xn
n n1
有界; 数列 xn2n 无界.
数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在
0,要 xn1,
只要1 n
,
或
n
1
所以, 取N
1,
则当 nN时,
有n(1)n1 1 即lim n(1)n11.
n
n
n
14
数列的极限
例 证 极用 定明 限定数.义0列证,寻x 数找n列 N,n 极1但c限不o存n 必2s在要(时求n ,最关1、 小键2、 的是3 N任） .意以给0为
证
0,要使
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明 常数列的极限等于同一常数.
16
数列的极限
例 证li明 q m n0 ,其0 中 q1 . n
证 0(不妨 0设 1),
为了使 xn0qn,只需使 nlnqln,
n ln , ln q
取N
[ ln ], lnq
N定义 0, N0,当nN时,
有xna.
12
数列的极限
数列极限的几何意义 a 2
xna
a x n a
(nN)
即 xn U (a,)
a
(nN)
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN时, 所有的点xn 都落在(a , a )内,
只 有 有 (至限 多个 N 只 个 )落 有在.其 外
第二节 数列的极限
概念的引入 数列的概念 数列极限的概念 收敛数列的性质 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
1
数列的极限
一、概念的引入
极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭
总存在正整数N,使得对于nN时的一切 x n ,
不等式
xn a
成立. 那末就称常数a是数列 x n 的极限(limit), 或称数列 x n 收敛于a (converge to a) .
记为 或
ln i mxn a,
xn a(n ).
如果数列没有极限, 就说数列发散(diverge).
11
数列的极限
注
(1) 不等式 xn a 刻划了xn 与a的无限接近;
(2) 正数是任意给定, 但的是一旦给出之后,
它就是确定了;
(3) N与给定 有的 关 ,一般地说, 越小, N将越大;
(4) {xn}有没有极限, “前面” 的有限项不起作用, 主要看“后面”的无穷多项.
采用逻辑符号将 lnim xn a的定义可缩写为:
注 数列极限的定义通常是用来进行推理
和证明极限,而不是用来求极限, 因为这里
需要预先知道极限值是多少.
13
数列的极限
例 证l明 im n(1)n11. n n
证时个,对找虽于x出n然给使是定1不可的等n以式,任总成(n意暂立1小时)n的的认1N正为. 1解数它不,是但n1等固使式定用的定,义按证照题这
8
数列的极限
研究{数 1( 列 1)n1}当n时的变.化 n
当n无限增大时, x n无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
| xn1|
(1(1)n1
1)1 n
1 n
xn1可以要多么小就多么小,只要n充分大, 则要看 xn1小到什么要求.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1, 100
xn
0
1cons0 n2
.
由于
1 cos n 0 1 cos n
n2
n2
1 n
只为要了n1简化,或解不n 等1式, 的取运N 算 [,常1 ], 则当 nN时,
常把 有
x1n coasn作适0当地放. 大即 . lim1cons 0
n2
nn 2
15
数列的极限
例 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
由
1 n
1, 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,有 0 xn
1 1 , 1000
给定101000, 只要 n100时 0,有 0xn
1 1 , 10000
给定 0,只要 nN([1]时 ) ,有xn1成.立
10
数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
闭区间[M,M]上.
18
数列的极限
定理1 收敛的数列必定有界. 证 设 ln i m xna, 由定义, 取1,
意思是:一”尺. 长的棍子, 第一天取其一半, 第二
天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一 半, 这样永远也取不完.
2
数列的极限
刘徽(三世纪)的“割圆术”中说: “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可
割,则与圆周合体,而无所失矣.”
意思是: 设给定半径为1尺的圆, 从圆内接正6边
形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出 正12边形、正24边形. ……等等正多边形的边长, 边数越多, 圆内接正多边形越与圆接近, 最后与 圆周重合, 则正多边形周长与圆周长就没有误 差了.
(1)数列对应着数轴上一个点列.
可看作一动点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , .
x1
x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
xn f(n) 整标函数或下标函数
6
数列的极限
(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是平面上一串分离的点. xn
o ·1 2·3·4
n
注 不可将这串点·连成曲线.
7
数列的极限
三、数列极限的概念
问题 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定?
研究{数 1( 列 1)n1}当n时的变.化趋 n
11,11,11,11,11, 2345
即 2, 1 , 4, 3, 6
2 345
当n无限增大时, x n 无限接近于1.
3
数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A 2
正62n1形的面积 A n A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n , S
R
4
数列的极限
1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1 , ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
23
n
n
数列的(两种)几何表示法: