[教学设计]《数列的极限》精品教案
最新高三教案-数列的极限1 精品
数列的极限教案一、教育目标(一)知识教学点：理解数列极限的定义，即“ε—N定义”；能说出ε、N的涵义；懂得n与N的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变化趋势．(二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思维方法，会依据“ε—N定义”求简单数列的极限．(三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点．二、教学分析1．重点：数列极限“ε—N定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性描述”；运用类比方法，引进ε、N，用不等式来进行定量描述．2．难点：ε与N的涵义，n与N的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决．3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明．三、活动设计1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习．2．教具：投影仪(或小挂图．)四、教学过程1．数列变化趋势的定性描述：考察两个实例：即两个无穷数列；为直观起见，把两个数列中的前n项分别在数轴上表示出来：容易看出：当项数n无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于1，数列(2)中的项无限趋近于0．特别注意：在“增大”与“趋近”之前添加“无限”二字的意义：①表示项数n的增大与项的趋近都在无限过程中进行的；②表示数列(1)的项不仅趋近于1，而且是无限趋近于1，数列(2)也一样趋近于零，而且是无限趋近于0．(出示投影一)数列(1)中各项与1的差的绝对值如下表：2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影1．引进ε、N，即怎样定量描述“数一项，使得这一项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这一项后面的所有项，不等式：皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当n＞3时，不等式恒成立．再给定ε=0.000001，情形怎样呢？学生1回答．此时，存在自然数N＝6，当n＞N时，不等式恒成立．类比分析，从具体到抽象，得出：“无论预先给多么小的正数ε，总存在着这样的自然数N，当n＞N时，不等式恒成立．”事实上，无论预先给定多么小的正数ε，确实存在着这样的自然数N(怎样找N，后面再讲)．这时，可以说数列(1)的极限是1．{a n}的极限．上述定义可简述为：“即ε－N定义”于”，“∞”表示“无穷大”，“n→∞”表示“n趋向于无穷大”，也就是n无限4．举例数ε？(3)确定这个数列的极限．学生2答：面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．例2．求常数数列，－a，－a，－a，…的极限．解：任意给定ε＜0，总存在自然数N(不妨取N＝1)，当n＞N时，不等式：|－a －(－a)|=0＜ε恒成立，5．关于“ε—N定义”的两点说明(1)ε与N的关系：从例1、例3可以看出，对于预先任意给定ε＜0，为找到1的差的绝对值小于任意给定的正数ε，解不等式意义上说，可以把N看作ε的函数，所以有时把N记作N(ε)．数列{－7}．6．与代数运算的区别求极限也是一种运算，与代数运算的区别，前者是无限运算，后者是有限运算．7．消除疑点ε的绝对任意性和相对的确定性：(1)就极限的全过程来说，ε必须具有绝对的就极限全过程的某一阶段来说，ε又是具体给定的，即相对确定性，如取ε＝0.1，无限多个相对确定性表示出来的．8．数列极限的存在性并不是每个数列都有极限．反例：①如数例{n}不存在极限，因为当项数n无限9．总结对照板书的设计内容，强调讲述：(1)数列极限的“ε—N定义”．(3)ε的绝对任意性和相对确定性的辩证关系的理解．(4)会依据“ε—N”定义，求证简单数列的极限．五、布置作业(2)第几项后面所有项与4的差绝对值都小于0.01？都小于任意指定的正数ε？(3)确定这个数列的极限．所有项与4的差的绝对值都小于0.01．差的绝对值都小于任意指定的正数ε．(3)由(2)可知，这个数列的极限为4．(1)把这个数列的5项在数轴上表示出来；＜ε．(4)确定这个数列的极限．解：(1)略．(3)填表：(4)这个数列的极限是1．(2)先求数列{0.11…1}的极限，再用“ε—N定义”证明．下面用ε－N定义证明之六、板书设计。
高三数学《数列的极限》教案
数列的极限·教案目的要求使学生能从数列的变化趋势理解数列极限的概念；会判断一些简单数列的极限．内容分析1．极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一．因为微积分中其他重要的基本概念(如导数、微分、积分等)都要用极限概念来表述，并且它们的运算和性质也都要用极限的运算和性质来论证．2．为了让学生能尽早进入微积分的主体部分(本书后续内容)的学习，本章不重在理论研究．考虑到中学生理解极限的严格定义(ε－N定义和ε－δ定义)有一定难度，教科书只对极限的定义进行直观描述，教学中一定要注意把握分寸，恰当掌握教科书的深度和广度．3．数列的极限是最简单的一种极限，它可以看作是自变量以取正整数的形式趋向于无穷时的特殊函数极限．(1)数列的极限虽简单但却是重要的极限，后面讲函数极限即是由此引入的．正因为它可视为特殊的函数极限，就以它的四则运算法则纳入函数极限四则运算法则之中介绍．(2)建议新课导入从引言刘徽的“割圆术”说起，引入数列的极限．“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这正是极限概念和思想的要点．它具有承上启下的作用，能激发学生对后续内容的学习兴趣．(3)数列的极限的直观描述方式的定义，强调的是从变化趋势来理解数列极限的概念，通过观察三个具体数列，归纳出它们共同的特性：随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某一个常数a(即|a n－a|无限地接近于0)．由此给出数列极限的直观描述性定义．“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n趋近于a是在无限过程中进行的，即随n的增大，a n越来越接近于a；另一方面，a n不是一般地趋近于a，而是“无限”地趋近于a，即|a n－a|随n的增大而无限地趋近于0．(4)由于当n无限增大时，常数数列的项a n始终保持不变，因此有任何常数数列的极限都是这个常数本身．(5)例3是一道开放性的题目．学生需要通过运用计算器计算，并观察分析所得结果进行猜想．通过特殊到一般，在教师的引导下，猜想出只要求记住并会应用．4．本节的重点是数列极限的概念，难点是如何从变化趋势的角度来正确理解极限概念．在讲授时，注意结合数列例子，通过比较数值的变化以及数轴上点的变化，讲清“无限趋近”的意义，找出它们的共同特性，归纳出数列极限的直观描述性定义．5．结合引言内容，通过对刘徽“割圆术”的介绍，对学生进行爱国主义思想教育，激发学生的学习热情和民族自豪感．对极限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的，而是需要一个较长的过程．通过极限内容的教学，树立运动变化的观点．教学过程1．新课导入，引出课题从引言第61页刘徽“割圆术”说起(可提前布置学生预习)，提出问无限趋近于圆周长2πR呢(让学生从图形上看这种变化趋势)？回答是肯定的，可以用极限的知识来证明．在数学中，极限的概念和思想是非常重要的．它是微积分中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量在无限变化中的变化趋势．我们在高二数学第二册(下)中讲授球体积和表面积公式的推导时，用到了极限的思想方法．今天就来学习如何求数列的极限(导出课题)．2．特例分析，归纳特性考察教科书第76页三个数列①、②、③，当n无限增大时，项a n的变化趋势：(1)随着n的增大，从数值变化趋势上看，a n有三种变化方式：数列①是递减的，②是递增的，③是正负交替地无限趋近于a．(2)随着n的增大，从数轴上观察项a n表示的点的变化趋势，也有三种变化方式：①是从点a右侧，②是点左侧，③是从点a两侧交替地无限趋近于a．(3)随着n的增大，从差式|a n－a|的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n无限趋近于a．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于常数a(即|a n－a|无限地接近于0)”．引出数列极限的定义．3．形成概念，加深理解(1)数列极限的直观描述性定义(板书)．注意：①着重从变化趋势上理解数列极限的概念，它是一种定性的研究．②“无限趋近”的意义有两个方面．(2)讲解例1，学生完成教科书第76页的练习．(3)讲授极限的符号表示方法，明确符号的意义和读法．4．计算观察，得到结论C(C为常数)．(2)讲解例3．让学生先猜{0.99n}的极限，再用计算器分别算0.991000、0.995000、0.9910000、0.9920000，并分析数列变化趋势得出极限，从而得5．课堂学习，知识拓广学生板演教科书第77页练习1、2，教师讲评后针对练习2(4)可提先将学生分成两组分别讨论问题①、②，然后教师收集结果．6．归纳小结(1)理解数列极限的定义及项a n的三种变化方式．(2)理解数列极限的符号表示方法和它的意义．(3)掌握数列极限的一个性质和一个重要结论，并且会用．布置作业教科书第78页习题第1、2、3题．。
人教版高中数学数列的极限教案2023
人教版高中数学数列的极限教案2023（注：本文为某位高中数学老师为2023年准备的一份数列极限教案，供参考学习之用。
）人教版高中数学数列的极限教案2023第一节：教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.了解数列的概念和基本性质；2.掌握求数列极限的方法，并能运用所学方法解题。
第二节：教学重点1.数列极限的定义和性质；2.极限与数列的关系；3.常用的数列极限定理。
第三节：教学方法1.教师讲授法：结合丰富的例题，引导学生熟悉并理解数列的概念和性质，掌握求数列极限的方法。
2.微课堂法：以教师录制的微课为主要教学方式，让学生在课前学习相关内容，课堂上加强练习和提问。
第四节：教学内容1.数列的概念和性质（1）概念：数列是按照一定顺序排列的一系列数。
（2）性质：①有限项数列和无限项数列；②数列有通项公式；③数列有公比或公差。
2.极限与数列的关系（1）定义：若存在一个常数a，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总能找到某一项之后的所有项，使其与常数a的距离小于ε，则称常数a是该数列的极限，记作lim an=a(n→∞)。
（2）性质：①数列极限唯一；②收敛数列有界；③有界数列必有收敛子数列。
3.常用的数列极限定理（1）夹逼定理：设数列{an}，{bn}，{cn}，如果an≤bn≤cn，且lim an=lim cn=a，那么{bn}的极限存在且等于a。
（2）单调有界定理：单调递增有上界（下界）的数列必收敛，单调递减有下界（上界）的数列也必收敛。
第五节：教学后记通过本节课的学习，学生对数列及其极限有了更深入的了解，能够掌握求解数列极限的方法，并能够运用所学方法解决实际问题。
同时，通过微课堂的教学方式，学生的主动学习能力得到了锻炼，教学效果得到了提升。
《数列的极限》教学设计精品
《数列的极限》教学设计精品《数列的极限》教学设计南海市桂城中学邝满榆(一)教材分析数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。
(二)教学对象学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长Pn 不断增大，并越来越接近于圆的周长C。
在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。
这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。
但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。
讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。
(三)教学媒体：投影仪 (四)教学目标⑴掌握数列极限的定义。
⑵应用定义求证简单数列的极限，或从数列的变化趋势找到简单数列的极限。
⑶通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义和辩证唯物主义的教育。
(五)重点、难点理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。
(六)教学方法：启发分析，讲练结合。
(七)教学过程一、定义的引进 1. 复习提问⑴ |a| 的几何意义：表示数a的点与原点的距离。
⑵ |x-A| 的几何意义：表示数x 的点及数A的点之间的距离。
⑶设ε>0，解不等式 |x-A|A-ε A A+ε X2. 启发引导：当学生按照上述结果回答完问题后，指出满不等式 |x-A|3. 定义的引进本节课的课题是“数列的极限”(板书)，极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列：1111 ,,,......,n,......;这是一个无穷数列(\万世不竭\)2482把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来：①11111 0 32 16842 1从图形容易看出，不论项数n怎样大， 2 n永不为0，只是0 1?的近似值，但当n无限增大时，数列 2 n ? 的项就无限趋近于0。
数列的极限教学设计
课题： 数列的极限一、教学内容分析极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要. 二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力. 三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 难点：数列极限的定义的理解. 四、教学流程设计五、教学过程设计（一）、引入1、创设情境，引出课题1. 观察 举例：[A] 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰 日取其半 万世不竭.[B] 三国时的刘徽提出的“割圆求周” 的方法。
他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分······ 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
（二）、学习新课 2、观察归纳，形成概念实例引入概念 符号数列的极限几何 理解运用与深化(例题解析、巩固练习)课堂小结并布置作业（1）直观认识请同学们考察下列几个数列的变化趋势 A.ΛΛ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数0B.ΛΛ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n可以“无限趋近于”常数1C.ΛΛ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数0概念辨析归纳数列极限的描述性定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．问题拓展给出数列极限的N -ε定义：一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →.讲授例题【例1】.已知数列 1146512,,,,,.....,1(1),...2356n n++-1)写出这个数列的各项与1的差的绝对值; 2)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于0.1?都小于0.001? 都小于0.0003? 3)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于任何预先指定的正数ε? 4)1是不是这个数列的极限?【例2】考察下面的数列，写出它们的极限：1) 31111,,,,,827n⋅⋅⋅⋅⋅⋅2) 56.5,6.95,6.995,,7,,10n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅3)1111,,,,,248(2)n--⋅⋅⋅⋅⋅- 【例3】求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．【例4】当a 满足什么条件时，0lim nn a →∞=？试举例验证。
数列极限的教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
数列极限的教学设计引言数列是数学中的重要概念，也是数学学科的基础。
数列极限作为数列理论的核心内容，对于学生的数学思维能力的培养和数学学科的进一步发展具有重要意义。
本篇文档就如何进行数列极限的教学设计进行探讨。
一、知识背景的梳理数列是数学中的一种重要概念，定义为按一定顺序排列的实数或复数构成的无穷序列。
数列极限是数列理论的重要内容，用于研究数列趋于无穷时的性质。
通过数列极限的研究，可以理解数列的发散和收敛的特性，并在实际问题中应用数列极限的概念和性质。
二、教学目标的确定通过数列极限的教学，使学生能够：1. 理解数列极限的概念，能够准确描述数列的极限；2. 掌握计算数列极限的方法，能够灵活运用数列极限的定义和性质求解问题；3. 培养数学思维能力，提高学生的逻辑推理和问题解决能力；4. 培养学生的数学建模能力，能够将数列极限的概念和方法应用于实际问题中。
三、教学内容的设计1. 数列极限的概念介绍- 引导学生回顾数列的基本概念，解释数列极限的概念；- 以一些具体的实例引导学生理解数列极限的概念，例如递推数列、利用递推公式可以定义数列等；- 给出数列极限的定义，并进行讲解和讨论。
2. 数列极限的性质与运算法则- 引导学生发现数列极限的性质，如数列极限的唯一性、有界性、保序性等；- 引导学生探究数列极限的运算法则，如极限和的性质、极限差的性质、极限积的性质等；- 给出数列极限运算法则的定义和证明过程，并进行讲解和讨论。
3. 数列极限的计算方法- 引导学生了解数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界数列极限、递推数列极限等；- 通过具体的实例或习题，让学生理解数列极限计算方法的应用；- 针对不同类型的数列极限计算方法，进行详细的讲解和演示。
4. 数列极限的应用- 引导学生了解数列极限在实际问题中的应用，如金融领域中的年利润增长率、自然科学领域中的动态模拟等；- 针对具体的应用问题，让学生探索数列极限的解决方法，并进行讨论和分析；- 结合实际应用问题的解决过程，培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
数列的极限教案大学
课程名称：高等数学授课对象：大学本科生课时安排：2课时教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握数列极限的定义、性质和运算法则，并能运用这些知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过小组讨论、案例分析等方式，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学重点：1. 数列极限的定义和性质。
2. 数列极限的运算法则。
教学难点：1. 数列极限定义的理解和应用。
2. 数列极限运算法则的应用。
教学准备：1. 教学课件2. 数列极限相关习题3. 小组讨论问题教学过程：第一课时一、导入1. 回顾数列的定义，引导学生思考数列极限的概念。
2. 提出问题：如何判断一个数列的极限是否存在？如何求一个数列的极限？二、新课讲解1. 介绍数列极限的定义：当n趋向于无穷大时，数列{an}的项an趋向于一个确定的数A，记作lim(an) = A。
2. 讲解数列极限的性质：数列极限的保号性、保序性、唯一性等。
3. 介绍数列极限的运算法则：和、差、积、商的极限运算法则。
三、案例分析1. 给出几个数列，引导学生判断其极限是否存在，并求出其极限。
2. 通过案例分析，帮助学生理解数列极限的定义和性质。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质和运算法则。
2. 提出课后思考题，引导学生进一步巩固所学知识。
第二课时一、复习1. 复习上节课所学内容，检查学生对数列极限定义、性质和运算法则的掌握情况。
2. 针对学生的疑问进行解答。
二、小组讨论1. 将学生分成若干小组，每组讨论以下问题：（1）如何判断一个数列的极限是否存在？（2）如何求一个数列的极限？2. 各小组汇报讨论结果，教师进行点评。
三、课堂练习1. 布置课后作业，要求学生独立完成。
2. 针对作业中的问题，进行讲解和答疑。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质和运算法则的应用。
2. 提出课后思考题，引导学生进一步巩固所学知识。
数列的极限教案
数列的极限教案教案标题：数列的极限教案教案目标：1. 理解数列的概念和基本性质。
2. 掌握数列极限的定义和计算方法。
3. 能够应用数列极限解决实际问题。
教学资源：1. 教科书或课件：包含数列的定义、基本性质和极限的计算方法。
2. 习题集：包含不同难度层次的数列极限计算题目。
3. 实际问题：包含数列极限应用的实际问题，如金融、物理等领域。
教学步骤：引入：1. 通过提问或展示实例，引发学生对数列的兴趣，例如：什么是数列？数列的应用有哪些？2. 引导学生思考数列的特点和规律，以激发他们对数列极限的好奇心。
探究：3. 解释数列极限的定义：当数列的项逐渐趋近于某个常数L时，我们说数列的极限是L。
4. 讲解数列极限的计算方法：a. 若数列是等差数列或等比数列，可直接根据公式计算极限。
b. 若数列不是等差数列或等比数列，可通过递推关系或数学归纳法推导极限。
实践：5. 给予学生一些简单的数列极限计算练习题，以巩固他们对极限计算方法的理解和应用能力。
6. 引导学生分析实际问题，并将其转化为数列极限问题，例如：一个投资人每年投资1000元，年利率为5%，求他的总投资额极限是多少？7. 提供一些实际问题的解决方法，帮助学生将数列极限与实际问题相结合。
拓展：8. 提供一些挑战性的数列极限计算题目，以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
9. 鼓励学生自主探究其他数列极限的计算方法，并进行讨论和分享。
总结：10. 总结数列极限的概念和计算方法，强调数列极限在实际问题中的应用意义。
11. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识，并提供必要的辅导和指导。
评估：12. 设计一些评估题目，测试学生对数列极限概念的理解和计算方法的掌握程度。
13. 通过学生的表现和答案，评估教学效果，并根据需要进行针对性的复习和强化训练。
备注：教案的具体内容和教学步骤可根据不同教育阶段的要求进行调整和适应。
在教学过程中，教师应根据学生的实际情况和学习能力，灵活运用不同的教学方法和教学资源，以提高教学效果。
数列的极限教案
因为 ,且 当 时,都有 .
取正整数
由此证明 .
注意：若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定是发散的.
如：
四、课堂小结
（1）数列极限的概念
（2）学会利用数列极限的定义去进行简单的证明
（3）收敛数列的性质
三、理解收敛数列的相关性质
并尝试进行证明
四、与教师一起总结
即
对于上述
,
即
取
注意：上述结论的逆不成立，但是有下述结论：
设 且存在自然数N，当
（2）（收敛数列的保号性）如果 ,且 ,那么存在正整数 ,当 时,都有 .
（3）设 则存在自然数N，
4.收敛数列与其子列间的关系
设 是一严格单调递增的无穷数列，则数列 称为数列 的子数列，简称子列，显然一个数列有无穷多个子列.如果数列 收敛于a，则它的任何子列都收敛，且收敛于a.
一、针对于所提出的问题进行分析讨论,并作出回答
1.一根长为一尺的木棒,为什么每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去？
2.分析以下数列的变化
趋势
教学过程
二、讲授新课,引出数列极限的概念
1.描述性定义
（1）当 无限增大时，如果 无限趋近于某一确定的数值 ，则称 趋近于无穷大时数列 的极限。
例如： 的极限为0。
例如：数列 和 为收敛数列,其极限为 , 和 为发散数列.
（3）注意： 的任意性； 的相应性；几何意义.
3.举例说明数列极限
例1：证明数列 的极限是1.
证明：
为了使 小于任意给定的正数
即 .
二、
1.与教师共同分析描述性定义,并得到数列极限的精确定义
2.能够对定义中所涉及的知识点解决
数列的极限_教学设计
数列的极限_教学设计标题：数列的极限教学目标：1.理解数列的概念和性质。
2.掌握计算数列极限的方法和技巧。
3.能够用数列的极限解决实际问题。
教学准备：1. PowerPoint课件。
2.数列的题目集。
3.学生小组讨论活动准备。
教学过程：Step 1: 引入（15分钟）1.引导学生回顾数列的定义，解释数列的概念和性质。
2.引导学生思考一个问题：“数列的极限是什么，它有什么意义？”鼓励学生展示自己的观点。
Step 2: 数列极限的定义和计算方法（30分钟）1.展示数列的极限的定义和计算方法，用图示和公式两种方式解释。
2.给学生提供一些简单的数列，帮助他们通过计算极限来理解定义的意义。
3.演示一些复杂的数列，引导学生运用计算方法计算极限。
Step 3: 数列极限的性质和应用（30分钟）1.介绍数列极限的性质，如唯一性和保序性。
2.展示数列极限的应用，如在实际问题中求解极限。
3.提供一些实际问题，引导学生运用数列极限来解决这些问题。
Step 4: 小组讨论活动（20分钟）1.将学生分成小组，每个小组讨论一个数列相关的问题。
2.每个小组选一名代表分享讨论结果，并得到其他小组的反馈和讨论。
3.鼓励学生从不同角度思考问题，培养团队合作和表达能力。
Step 5: 总结与评价（15分钟）1.总结数列的极限的概念、性质和计算方法。
2.让学生回答一些问题，检测他们对于数列极限的理解和应用能力。
3.鼓励学生提出自己的疑惑和思考，给予评价和指导。
教学拓展：1.引导学生练习更多的数列极限计算题目，巩固他们的计算能力。
高中数学数列的极限教案
高中数学数列的极限教案
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数列的极限的概念，理解数列的极限的定义
及性质，掌握计算数列的极限的方法，并能够应用数列的极限解决实际问题。
教学重点：数列的极限的概念、定义、性质及计算方法。
教学难点：应用数列的极限解决实际问题。
教学准备：教师准备好教材、教具、课件等教学资源；学生准备好课本、笔记和计算器等
学习工具。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾数列的定义及常见数列的概念，然后提出数列的极限是什么，为什么要
研究数列的极限。
二、讲解（15分钟）
1. 数列的极限的定义：引导学生理解数列的极限是指随着项数n趋近于无穷时，数列中的项的极限值。
讲解数列的极限的定义及符号表示。
2. 数列的极限的性质：讲解数列极限的唯一性、保号性、夹逼定理等性质。
3. 计算数列的极限方法：介绍常见数列的极限计算方法，例如等差数列、等比数列的极限。
三、练习（20分钟）
教师设计一些练习题，让学生独立或小组合作进行解答，提高学生对数列极限的计算能力。
四、应用（10分钟）
引导学生通过实际问题，应用数列的极限来解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
五、总结（5分钟）
对本节课的重点内容进行总结，强调数列的极限的重要性，并鼓励学生在课后继续进行练
习提高自己的能力。
教学反思：本节课通过讲解数列的极限的概念、定义、性质及计算方法，引导学生理解并
掌握数列的极限知识，同时通过练习和应用，培养学生的数学解决问题的能力。
在教学过
程中，需要适当引导学生，激发他们对数学的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
高中数学《数列的极限》教学设计
高中数学《数列的极限》教学设计一、教学目标1.知识与能力目标①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。
②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。
③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。
2.过程与方法目标培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。
3.情感、态度、价值观目标使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
二、教学重点和难点教学重点：数列极限的概念和定义。
教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。
三、教学对象分析这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。
极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an 与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。
但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。
因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。
使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。
四、教学策略及教法设计本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。
通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。
然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。
数列极限教案
数列极限教案第一篇：数列极限教案数列的极限教案授课人：###一、教材分析极限思想是高等数学的重要思想。
极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。
二、教学重点和难点教学重点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画。
教学难点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。
三、教学目标1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。
2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。
四、授课过程1、概念引入例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。
.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正6⨯2n-1形的面积为An.A1,A2,A3......An......→圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断1接近圆的面积。
例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。
第一天的长度1第二天的剩余长度第二天的剩余长度第四天的剩余长度 8.....第n天的剩余长度n-1. (2)随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。
这里蕴含的就是极限的概念。
总结：极限是变量变化趋势结果的预测。
例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：111⎧1⎫（1）⎨⎬: 1，,......； 23n⎩n⎭⎧(-1)n⎫1111:-1，-，-,......；（2）⎨⎬n2345⎩⎭（3）n2:1,4,9,16,......；（4）(-1):-1,1,-1,1,......,(-1),......； nn{}{}我们接下来讨论一种数列{xn}，在它的变化过程中，当n趋近于+∞时，xn不断接近于某一个常数a。
如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）（4）中的数列却没有这样的特征。
(完整版)《数列的极限》教学设计
《高等数学》——数列极限教学设计教学过程设计A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。
2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。
教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。
B 、【组织教学】 检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟）C 、【复习回顾】 数列的定义（2分钟）D 、【教学内容、方法和过程】接下表教师活动学 生 活 动设计意图(一) 结合实际，情景导入(时间4分钟）导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极限思想，今天我们来学习数列极限。
【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。
(二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟）1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征.（1）１，21，31，41…n1…递减 （2）递增（3）摆动学生参与，思考，感 受学生参与，思 考问题，在老师的引导下对数列极限知识有一个形象化的了解。
通过讨论，学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而体会发现数列极限的过程通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。
（一）概念探索阶段”在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以2．解决问题：[共同特征]不论这些变化趋势如何，随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近于常数.（即无限地接近于0）3．强化认识：（学生回答）观察下面三个数列：分析当n无限增大时，下列数列的项的变化趋势（1）1，（2）0.9, 0.99, 0.999, 0.9999………(3) ，，，…，，…；提出问题：当n无限增大时，上述数列趋近常数的方式有哪几种类型？4.概念形成：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数（即无限地接近0），那么就说数列以为极限或者说是数列的极限. 记作：读作：“当趋向于无穷大时，的极限等于a.”注意：（1）是无穷数列.（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的(三)尝试探究，深化概念:(时间10分钟）例1．考察下面的数列，写出它们的极限（1）（2）6.5，6.95，6.995，…，（3）解：（1）数列的项随的增大而减小，但大于0，且当无限这一阶段的教学中，采取“启发式谈话法”与“启发式讲解法”，注意不“一次到位”通过讨论，在教师的引导下，使学生得到结论师生共同解决例（1），第（2）（3）学生分析完成.学生合作讨论，发挥教师的引导，学生的主体作用，前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；②使学生形成对数列极限的初步认识；（二）概念建立阶段归纳共同点，是锻炼学生分析和总结的思维能力。
数列的极限_教学设计
数列的极限_教学设计第一篇：数列的极限_教学设计数列的极限教学设计西南位育中学肖添忆一、教材分析《数列的极限》为沪教版第七章第七节第一课时内容，是一节概念课。
极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为极限理论是微积分学中的基础理论，它的产生建立了有限与无限、常量数学与变量数学之间的桥梁，从而弥补和完善了微积分在理论上的欠缺。
本节后续内容如：数列极限的运算法则、无穷等比数列各项和的求解也要用到数列极限的运算与性质来推导，所以极限概念的掌握至关重要。
课本在内容展开时，以观察n→∞时无穷等比数列an=列an=qn,(|q|<1)与an=1的发展趋势为出发点，结合数n21的发展趋势，从特殊到一般地给出数列极限的描述性定义。
在n由定义给出两个常用极限。
但引入部分的表述如“无限趋近于0，但它永远不会成为0”、“不管n取值有多大，点（n，an）始终在横轴的上方”可能会造成学生对“无限趋近”的理解偏差。
二、学情分析通过第七章前半部分的学习，学生已经掌握了数列的有关概念，以及研究一些特殊数列的方法。
但对于学生来说，数列极限是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡的阶段。
由于已有的学习经验与不当的推理类比，学生在理解“极限”、“无限趋近”时可能产生偏差，比如认为极限代表着一种无法逾越的程度，或是近似值。
这与数学中“极限”的含义相差甚远。
在学习数列极限之前，又曾多次利用“无限趋近”描述反比例函数、指数函数、对数函数的图像特征，这又与数列中“无限趋近”的含义有所差异，学生往往会因为常数列能达到某一个常数而否定常数列存在极限的事实。
三、教学目标与重难点教学目标：1、通过数列极限发展史的介绍，感受数学知识的形成与发展，更好地把握极限概念的来龙去脉；2、经历极限定义在漫长时期内发展的过程，体会数学家们从概念发现到完善所作出的努力，从数列的变化趋势，正确理解数列极限的概念和描述性定义；3、会根据数列极限的意义，由数列的通项公式来考察数列的极限；掌握三个常用极限。
(完整版)《数列的极限》教学设计.docx
章节、内容授课时间及班级授课周次教具教材地位教材分析教学重点教学难点教学关键知识目标能力目标教学目标分析情感目标学生知识现状分析教学方法教法分析分析学法分析教学过程设计《高等数学》——数列极限教学设计§1.2 极限（数列极限）2017 年 6 月 2 日 1、2 节电子技师 3 班第 14 周授课时间 1 课时 45 分钟三角板、圆规众所周知，数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识，另外，极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变。
数列极限的概念。
如何从变化趋势的角度，来正确理解数列极限的概念。
教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）。
从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。
1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。
2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点，感受“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。
1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。
2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发学生的学习积极性，优化学生的思维品质。
授课对象为二年级学生，有部分高中毕业生、大多数是初中毕业生、学生基础层次差距较大；多数学生欠缺学习方法，不善于自己分析探究，习惯于教师的讲授；另外数学语言表达存在一定问题。
但已具备一定的初等数学基础知识。
根据本节课的内容和学生的实际水平，整节课以教师为主导、学生为主体、启发思维为主线；并采用班内“隐性”分层教学，接合讲授法、演示法、讨论法、探究法等方法。
1、自主学习：学生自己通过预习，了解所学知识2、探究合作学习：通过教师的引导，学生合作探究，互相交流，解决教学中出现的问题。
数列的极限教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义。
（2）学会运用数列极限的定义解决实际问题。
（3）掌握数列极限的性质，能够判断数列的收敛性和发散性。
2. 过程与方法目标：（1）通过观察、分析、归纳等方法，发现数列极限的性质。
（2）通过实例分析，培养学生的逻辑推理能力。
（3）通过小组讨论、合作学习，提高学生的团队协作能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生对数学知识的热爱。
（2）培养学生严谨、求实的科学态度。
（3）培养学生的创新意识和终身学习能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）数列极限的定义。
（2）数列极限的性质。
2. 教学难点：（1）理解数列极限的定义。
（2）运用数列极限的定义解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课通过回顾数列的概念，引导学生思考数列的变化趋势，引出数列极限的定义。
2. 教学内容（1）数列极限的定义通过实例分析，讲解数列极限的定义，让学生理解数列极限的概念。
（2）数列极限的性质通过观察、分析、归纳等方法，发现数列极限的性质，如单调有界准则、夹逼准则等。
（3）数列极限的判断讲解如何判断数列的收敛性和发散性，包括单调有界准则、夹逼准则等。
3. 练习与巩固布置一些练习题，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
4. 小组讨论与合作组织学生进行小组讨论，让学生在合作中学习，共同解决问题。
5. 总结与反思引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。
四、教学评价1. 课堂表现评价观察学生在课堂上的参与程度、回答问题的准确性等。
2. 作业完成情况评价检查学生作业的完成情况，了解学生对知识的掌握程度。
3. 课堂练习评价通过课堂练习，评价学生对数列极限的定义、性质等知识的掌握情况。
五、教学反思1. 教学过程中，注意引导学生理解数列极限的定义，避免死记硬背。
2. 在讲解数列极限的性质时，注重实例分析，帮助学生更好地理解。
《数列的极限》高等数学教学案例
《数列的极限》高等数学教学案例一、教材分析两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。
二、学情分析一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。
三、教学目标根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为：教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限；（2）过程与方法：提升学生的自学意识，培育学生投影、观测、概括、举一反三等方面的能力；（3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
教学重点与难点：重点：重要极限公式及其变形式难点：的有效率应用领域四、教法与学法的选择本节课我就是以学案为载体，使用启发式、讨论式以及讲练融合的教学方法，通过问题唤起学生求知欲，并使学生主动参予数学课堂教学活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下辨认出、分析和解决问题。
学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的`问题弄清。
五、教学环节的设计（1）课前尝试利用学案导学，使学生明晰课前必须搞的作业，课堂使用的方法，须要达至的建议，在尝试练中，使学生通过练，投影，导入新课。
（2）课堂探究通过学生探究探讨得出结论第一个关键音速以及这个音速公式的特点，再由学生举例说明这个关键音速相似的其他形式去正视它的结构特征，传授这个关键音速的应用领域时，使学生自己尝试举例，从而并使学生达至能娴熟应用领域举一反三的目的。
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《数列的极限》教学设计
(一)教材分析
数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。
(二)教学对象
学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长P n不断增大，并越来越接近于圆的周长C。
在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。
这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。
但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。
讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。
(三)教学媒体：投影仪
(四)教学目标
⑴掌握数列极限的定义。
⑵应用定义求证简单数列的极限，或从数列的变化趋势找到简单数列的极限。
⑶通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义和辩证唯物主义的教育。
(五)重点、难点
理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。
(六)教学方法：启发分析，讲练结合。
(七)教学过程
一、定义的引进
1.复习提问
⑴ |a| 的几何意义：表示数a 的点与原点的距离。
⑵ |x-A| 的几何意义：表示数x 的点及数A 的点之间的距离。
⑶设ε>0，解不等式 |x-A|<ε，并且在数轴上表示出它的解集。
2. 满不等式 |x-A|<ε的点x 全部落在区间(A-ε,A+ε)内，要使点x 与点A 的距离即 |x-A| 无限制地小，ε要怎样变化？引导学生说出ε是一个任意小的正数。
3. 定义的引进 本节课的课题是“数列的极限”(板书)，极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列： 把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来： ①
0 从图形容易看出，不论项数n 怎样大， 永不为0，只是0 的近似值，但当n 无限增大时，数列 的项就无限趋近于0。
即当n →∞时， →0。
再看无穷数列②：0.9,0.99,0.999,……， ，…… 0 0.9 0.99 1
当项数无限增大时②中的项无限趋近于1，即n →∞时， →1。
“无限增大”、“无限趋近”怎样利用数量来刻划呢？
如图由,||εεε+<<-⇒<-A x A A x )"(",......;21,......,81,41,21万世不竭这是一个无穷数列n 321161814121n
21{}n 21n
21
n
1011-n 1011-n 21
让学生读定义，对定义中的字母和记号逐字逐句体会： ① 定义中的数列 {a n } 是什么数列？
②“存在一个常数A ”是什么意思？
③“无论预先指定多么小的正数ε”，这个ε具有什么特征？
④找出一项a N ，这个项数N 是否存在，有多少个？
⑤ |a n -A|<ε恒成立，这里的绝对值是什么意思？
学生回答后，教师用下列表格小结：(用投影仪打出)
n n 的过程，这种过程在有限的时间内无法完成，只能近似地趋近于A ，只有当项数n 趋于无穷时，量变到质变，引起质的飞跃，得到了极限A 。
二、应用
1. 例题： ⑴写出这个数列的各项与0的差的绝对值； ⑵第n 项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.1？都小于0.001？都小于0.0003？
⑶第n 项后面的所有项与0的差的绝对值都小于任何预先的正数ε？ ⑷ 0是不是这个数列的极限？
⑴计算 |a n -1|； ⑵第n 项后的所有项与1的差的绝对值都小于 ？都小于任
意指定的正数ε？
⑶确定这个数列的极限。
讲例1、2前先让学生在数轴上表示出这两个数列的前n 项，由数列的变化趋势找到它们的极限。
,......1)1(,......,41,31,21,1:11n n +---已知数列例,......1,......,43,32,21:2+-n n 已知数列例1001
教师讲解例1，然后小结：
当给定任意小的正数ε以后，要找N ，一般可以通过解不等式 |a n -A|<ε找出N 0，大于N 0的N 1都可作为N 。
确定极限的存在关键是对任给的ε>0，保证N 的存在。
例1的(3)实际上就是用定义证明了数列 的极限是0。
例2由学生阅读，然后让学生总结用定义证明数列极限的步骤：
① 由证题者给出任意小的正数ε>0；
② 使 |a n -A|<ε，找出N ，当n>N 时有 |a n -A|<ε。
例3：求常数数列 –7,-7,-7,…… 的极限。
证明：对任意小的正数ε，任取自然数N ，当n>N 时不等式 |-7-(-7)|=0<ε恒成立。
n →∞
小结：任何一个常数数列的极限都是这个常数本身。
2.练习：(用投影仪打出)
Ⅰ. 是非题：
⑴数列极限定义中的ε是一个很小很小的正数。
⑵数列极限定义中的N 有无穷多个，但只要找一个就够了。
⑶一个数列如果有极限，那么极限是唯一的。
⑷与 |a n -A|<ε等价的是a n ∈(A-ε,A+ε)。
⑸ (1-ε,1+ε)内存在有穷多项，(1-ε,1+ε)外存在无穷多项。
⑹无穷数列都有极限。
⑺有穷数列一定没有极限。
Ⅱ. 观察下列数列的变化趋势找出它们的极限：
可见：数列{a n }趋近于极限A 有三种情况：a n 大于A 而趋向于A ；a n 小于A 而趋向于A ；a n 时而小于A 时而大于A 而趋向于A 。
三、本节内容小结
⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n 1)1(17)7lim(-=-∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+1)1()1()1(n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n )1()2({}
n n )1()3(-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-n n 1)1(1)4(⎭⎬⎫⎩⎨⎧+2)5(n n
n =A 四、作业：
课本P72习题十九1,2。
⑴求证：这两个数列的极限分别是5和1； ⑵作一个无穷数列使它各项为这两个数列的对应项的和，验证所得数列的极限等于这两个数列极限的和。
为下节四则运算作好铺垫。
2
,......,53,42,3125,......,515,410,35:++n n n n 和已知数列思考题。