《高数》数列极限.ppt

4.三角函数 y sin x y cos x y tan x y cot x y sec x y csc x
5.反三角函数 y arcsin x y arccos x
y arctan x y arccot x
四、初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次复合所构成且可有一个式子表达的函数
只要 n 10000时,有
xn
1
1 10000
;
给定
0, 由
xn
1
1 n
解不等式得,
只要 n [ 1 ]时,
有 xn 1 成立.
在n 的过程中的一个时刻,记之为N .
当 n 无限增大时,
任意给定 0,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于 1.
N 0, 使得n N时， xn 1 9
注意：
1. 不等式 xn a刻画了xn 和a 的“无限接近”，
必须是可以任意小的，不能只是局限于某些个别的；
2. N与 有关， 通常随着 的不 同而变化； 但对于固定的 ， 又N是不唯一的！
3. n N刻画了变标 的变n化程度， 与 N无关！n
10
上下
➢几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
n
n
证:
xn 1
n (1)n1 1 1
n
n
任给 0,
欲使 xn 1
,
只要 1 ,
n
或n 1 ,
所以, 取N [1]
则当n N时,
就有
n (1)n1 n
1
，即lim n (1)n1
n
n
1.
12
上下
例2.
已知
xn
(1)n (n 1)2
,
证明
lim
n
xn
0.
证: xn 0
1
上下
第一章 函数与极限
第2节 数列的极限
一、数列极限定义 二、收敛数列的性质
3
一、数列极限定义
❖ 数列：如果按照某一法则，对每一个 n N ,对应着
一个确定的实数xn，这些实数 xn 按照下标n从小
到大排列得到的一个序列
x1 , x2 , x3 , , xn ,
就叫数列，记为 xn .
➢ 可视 xn 为一种定义域为正整数的函数；
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个)落在其外.
➢.符号定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,当n N时,有 xn a .
任意给定 存在
冰冷的美丽和火热的思考.
11
上下
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1. 证明lim n (1)n1 1.
上下
二、收敛数列的性质
1.唯一性
【定理1】 收敛的数列极限唯一.
证：
设
lim
n
xn
a
,
又
lim
n
xn
b,
不妨设 a b
由定义, 0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1, N2,
及
ba 2
则当n N时有
b
2
a
xn
a
b
2
a
b
2
a
xn
6
上下
以下说法是等价的：
xn无限接近数值 a 点xn 与点a距离要多近有多近 |xn-a|要多小有多小 ？
即：要使|xn-a|，只需n>？
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
7
上下
当 n 无限增大时, xn 1 数列与固定常数1的距离
(1)n1 n
无限接近于1.
(1)n1
1
xn 1 [1
]1
n
n
给定 1 , 100
由 1 1 解不等式得, n 100
只要
n 100时,
有
xn
1
1; 100
给定 1 , 由 1 1 解不等式得, 1000 n 1000
只要 n 1000时,
有
1 xn 1 1000 ;
8
上下
给定 1 , 由 1 1 解不等式得, 10000 n 10000
1 (n 1)2
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1 n 1
0(设 1),
欲使
只要
1 ,
n 1
即 n
1 1.
取
N [ 1 1] ,
则当 n N 时, 就有
xn 0 ,
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0
说明: N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N .
小找相结应:的N用；定但义不证必数要列求极故最限也小存的可在N取时. ,关N 键是[ 1任]意给定
预备知识
一、区间与邻域概念 二、函数（两要素、4种特性、运算）
请参考 第1节内
容
三、基本初等函数（16个） 1.幂函数 y x ( 是常数) 特： y=C（常数）
2.指数函数 y a x (a 0, a 1) 特： y=ex
3.对数函数 y loga x (a 0, a 1) 特： y=lnx
xn f (n)
➢数列的两种几何表示：
f (n)
xn
数列对应着数轴上一个点列.
x
x2 x1 xN 1 x3 xN 2
在直线上：
上下
1234567 … n
在平面上： 4
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
寻
13
上下
例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 .
证: 若q 0,
则limqn lim0 0;
n
n
若0 q 1, 因为 xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N
1
ln
ln q
, 则当 n > N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
14
上下
数列极限定义:
a 设 xn 为一数列，如果存在常数 ，
对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在
正整数 N,使得当 n 时 N,不等式
xn a
都成立,那么就称常数 a是数列 的xn 极 限,或者称数列 xn
收敛于 a,记为
lim
n
x或n
a,
xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
上下
播放 5
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
直观印象:
若当n 无限增大时, xn无限接近于某一 确定的数值 a，就称当n，{xn}的极限 为a.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻画它.
分析: 我们用这两个数差的绝对值来表示两点的 距离；用绝对值可以任意小来描述“无限 接近”。
b
b
2
a
xn
a
2
b
ab xn 2
矛盾. 故收敛数列极限唯一.
15
上下
二、收敛数列的性质
2.有界性 【定理2】 收敛的数列必定有界.
证：设
lim
n
xn
a,
由定义, 对于 1,
则N 0, 使得当n N时恒有 xn a 1,
即有 xn xn a a xn a a 1 a