《高数》数列极限.ppt
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《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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12数列极限精品PPT课件
23
n
n
注意1. 数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动 点在数轴上依次取x1, x2, ···, xn, ···
x3 x1 x2 x4 xn
注意2. 数列是整标函数, 即定义在正整数集合Z+ 或自然集合N上的函数 xn = f (n).
三、数列的极限
观察数列
xn
1
n
当n→∞时的变化趋势
播放
得证
lim
n
xn
0.
利用定义验证数列极限, 遇到的不等式| xn–a |<
不易考虑时, 往往采用把 | xn–a | 适当放大的方法. 若
能放大到较简单的式子, 就能从一个比较简单的不等
式较容易寻找项数指标N. 放大的原则
① 放大后的式子较简单; ② 放大后的式子以0为极限.
例2:设xn
0,且 lim n
数n, 恒有| xn | M 成立, 则称数列{xn}为有界的, 否则
称数列{xn}为无界的.
例如,
数列 xn
n n1
有界,
数列
xn
2n
无界.
在数轴上, 对应于有界数列{xn}的点都必须落在闭 区间[–M, M]上.
定理1: 收敛的数列必定是有界的.
证: 设
lim
n
xn
a , 由定义,
取
=1,
则
求的N不是唯一的. 用定义验证 xn 以 a 为极限时, 关键
在于设法由给定的 , 求出一个相应的 N, 使当 n>N时, 不等式| xn–a |< 成立。
四、数列极限的几何意义
若
lim
n
xn
a, 则 >0, N, 使得N项以后的所有项
数列极限-PPT精选文档
2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 （2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平 面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q
高数课件数列的极限
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 , 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2. 已知
证明
证: xn 0
1 (n 1)2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要
1 ,
n 1
即 n
1 1.
取
N [ 1 1] ,
2 有界性
定义 对数列 xn, 若存在正数M , 使得一切自 然数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界,
否则, 称为无界.
例如,
数列 xn
n; n1
有界
数列 xn
2n.无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
定理2 收敛的数列必定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
的项, xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn } .
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,1 4,Fra bibliotek1 8
,,
1 2n
,;
{2n } 1
{2n }
1,1,1,,(1)n1 ,;
{(1)n1 }
高数 第二章 第一节 数列极限课件
二、数列极限的运算法则
数列运算法则：
如果lim n
an
A,
lim
n
bn
B,则有:
(1) nlim(an
bn )
lim
n
an
lim
n
bn
A
B;
(2) nlim(an
• bn )
lim
n
an
•
lim
n
bn
A• B;
(3) lim(C n
•
an )
C
lim
n
an
C
•
A(C为常数）;
(4) lim
an
lim
n
an
A (B
0).
n bn
lim
n
bn
B
法则（1）（2)可以推广到有限个 具有极限的数列的情形。
【例
2】已知
lim
n
an
3，lim n
bn
8.求：
（1）nlim（3an
5b
n
)（ ; 2）lim n
an
an • bn . 2bn 5
【解】
（1）nlim（3an
5bn )
lim
n
3an
lim
n
2n
（3）当n无限增大时，an=n2 也无限增大，不能趋近于个确定 的常数，因此，这个数没有极限。
常数的极限为本身：
注意！
不是任何无穷数列都有极限。
如数列｛2n｝，当n无限增大时，2n也无限增大，不能无限地趋近于一个确定 的常数，因此，这个数列没有极限。
又如，数列｛(-1)n｝,当n无限增大时，(-1)n 在1与-1两个数上来回跳动，不 能无限地趋近于一个确定的常数，因此，这个数列也没有极限。
数列极限ppt课件
例4 由前面我当 们 n无 看限 到 时 增 ： , 大
1 2n
0
1 (1)n 0 n
n n 1
1
数列极限的直观定义—定性描画
普通地, 假设数列{xn} 当 n 时,
xn 可以无限地趋近某个常数 a, 那么称数
列{xn} 当 n 时以 a 为极限, 记
为
nl imxn a.
此时, 也称数列是收敛的.
极限描画的是变量的变化趋势.
讨论数列
(1)n
10 n
当 n无限增大时的变化趋势.
容易看出:
当 n无限增大时,
(1)n 10n
无限地趋近于. 零
U(O,) 0
U(O1,) 1
x1 x3 x2n-1
x2n x4 x2
(
1 10
••• (••• ••••(••• *•••)•••• •••)• • •
数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 M 0 ,使 x I 时 得 ,有 |f ( x ) | M 当 成 , 则称 f(x)在 函区 I数 上间 .有界
y yf(x) M
yM
I (
O
) x
M yM
数列的有界性的定义
若 M 0 ,使 |x n | M 得 ,n N 成 , 立 则称 { x n } 有 数 .否 界 列 { 则 x n } 是 称 无 . 界
若 { x n } 满 x 1 x 2 足 x n ,则 {xn}严格单, 调 记{ 增 为 xn} 加 .
单调减少 若 { x n } 满 x 1 x 2 足 x n ,则 {xn}单调 , 也 增 { 记 xn} 加 .为
高等数学教学课件 第二节 数列的极限
A n 6 2 n 1 1 2 R 2 s6 i 2 2 n n 1 3 2 n 1 R 2 s6 i 2 2 n n 1 R2
4/18
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖 X1 长 12;为 第二天截下的为 杖 X2长 12总 212和 ;
例如 2,4,8,,2n,;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
6/18
1,1,1,,(1)n1,; {(1)n1}
2,1,4,,n(1)n1,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
13/18
例2
证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
14/18
四、收敛数列的性质
证明: nl im xn a
对于 a0,正整 N数 0,
2
当 nN时 ,有 xnaa 2
从 而a0 a0
xxnnaaa2a23a22a00.
刻划它. 我们知,两 道个数之间的接 可近 以程 用度 这两个
数之差的绝对值， 来差 度值 量越小越. 接近
xn1(1)n1
1 n
1 n
9/18
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
4/18
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖 X1 长 12;为 第二天截下的为 杖 X2长 12总 212和 ;
例如 2,4,8,,2n,;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
6/18
1,1,1,,(1)n1,; {(1)n1}
2,1,4,,n(1)n1,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
13/18
例2
证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
14/18
四、收敛数列的性质
证明: nl im xn a
对于 a0,正整 N数 0,
2
当 nN时 ,有 xnaa 2
从 而a0 a0
xxnnaaa2a23a22a00.
刻划它. 我们知,两 道个数之间的接 可近 以程 用度 这两个
数之差的绝对值， 来差 度值 量越小越. 接近
xn1(1)n1
1 n
1 n
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给定 1 , 100
由1 1 , n 100
高数课件数列的极限
斐波那契数关系
1 无穷小量
数列的极限为0的数列。
2 与极限的关系
如果数列的极限存在，那么它不可能是无穷 小量；反之亦然。
极限计算的方法
1 代入法
将无穷趋近于某个数值的变量代入数列的公式，计算极限。
2 夹逼法
通过比较数列和两个已知数列的大小关系，计算极限。
前两项之和确定后续项的数列，如0，1，1， 2，3。
数列的通项公式
1 等差数列
通项公式为an=a1+(n-1)d。
3 阶乘数列
通项公式为an=(n-1)!。
2 等比数列
通项公式为an=a1*r^(n-1)。
4 斐波那契数列
通项公式为an=((1+sqrt(5))/2)^n/sqrt(5)。
数列极限的定义
3 定理法
利用极限的运算性质及数列的特点，应用极限定理计算极限。
数列在实际问题中的应用
数列可以用来描述有规律的事物的变化，比如计算物体的路径、增长率等。 应用数列可以为各行业提供决策支持，解决问题。
1 收敛数列
如果存在一个实数L，使得数列的所有项都无限接近L，那么这个数列就收敛于L。
2 发散数列
如果数列没有收敛的极限，那么它是发散的。
常见数列的极限
等差数列
当公差不为零时，极限为无穷大或无穷小。
阶乘数列
阶乘数列的极限为无穷大。
等比数列
当公比大于1时，极限为无穷大；当公比大于0 小于1时，极限为0。
高数课件数列的极限
数列是数学中的重要概念，通过本课件你将学习到什么是数列，如何表示数 列以及各种数列的极限等知识。
数列的分类
1 等差数列
公差相等的数列，如1，3，5，7，9。
1 无穷小量
数列的极限为0的数列。
2 与极限的关系
如果数列的极限存在，那么它不可能是无穷 小量；反之亦然。
极限计算的方法
1 代入法
将无穷趋近于某个数值的变量代入数列的公式，计算极限。
2 夹逼法
通过比较数列和两个已知数列的大小关系，计算极限。
前两项之和确定后续项的数列，如0，1，1， 2，3。
数列的通项公式
1 等差数列
通项公式为an=a1+(n-1)d。
3 阶乘数列
通项公式为an=(n-1)!。
2 等比数列
通项公式为an=a1*r^(n-1)。
4 斐波那契数列
通项公式为an=((1+sqrt(5))/2)^n/sqrt(5)。
数列极限的定义
3 定理法
利用极限的运算性质及数列的特点，应用极限定理计算极限。
数列在实际问题中的应用
数列可以用来描述有规律的事物的变化，比如计算物体的路径、增长率等。 应用数列可以为各行业提供决策支持，解决问题。
1 收敛数列
如果存在一个实数L，使得数列的所有项都无限接近L，那么这个数列就收敛于L。
2 发散数列
如果数列没有收敛的极限，那么它是发散的。
常见数列的极限
等差数列
当公差不为零时，极限为无穷大或无穷小。
阶乘数列
阶乘数列的极限为无穷大。
等比数列
当公比大于1时，极限为无穷大；当公比大于0 小于1时，极限为0。
高数课件数列的极限
数列是数学中的重要概念，通过本课件你将学习到什么是数列，如何表示数 列以及各种数列的极限等知识。
数列的分类
1 等差数列
公差相等的数列，如1，3，5，7，9。
高数数列的极限.ppt
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
例4 证明数列xn = (1)n1是发散的.
证
设
lim
n
xn
=
a,
由定义, 对于 = 1 , 2
则N ,使得当n N时, 即当n N时, xn (a
有 1, 2
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 = 1.
n
n
证
xn 1
=
xn a a 1),
2
1 成立, 2 区间长度为1.
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上,{xn }是有界的, 但却发散.
3、 收敛数列的保号性.
定理3 若
时, 有 证: 对 a > 0 , 取
且
( 0),
( 0).
推论: 若数列从某项起
( 0)
n
xn
=
A
则由递推公式有
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn
=
a
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2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn1 , 即
(1 ) 1
单调增, 又
(1
1 a1 )(1
ak )
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]1
n
n
给定 1 , 100
由 1 1 解不等式得, n 100
只要
n 100时,
有
xn
1
1; 100
给定 1 , 由 1 1 解不等式得, 1000 n 1000
只要 n 1000时,
有
1 xn 1 1000 ;
8
上下
给定 1 , 由 1 1 解不等式得, 10000 n 10000
注意：
1. 不等式 xn a刻画了xn 和a 的“无限接近”，
必须是可以任意小的，不能只是局限于某些个别的；
2. N与 有关， 通常随着 的不 同而变化； 但对于固定的 ， 又N是不唯一的！
3. n N刻画了变标 的变n化程度， 与 N无关！n
10
上下
➢几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
b
b
2
a
xn
a
2
b
ab xn 2
矛盾. 故收敛数列极限唯一.
15
上下
二、收敛数列的性质
2.有界性 【定理2】 收敛的数列必定有界.
证：设
lim
n
xn
a,
由定义, 对于 1,
则N 0, 使得当n N时恒有 xn a 1,
即有 xn xn a a xn a a 1 a
1
上下
第一章 函数与极限
第2节 数列的极限
一、数列极限定义 二、收敛数列的性质
3
一、数列极限定义
❖ 数列：如果按照某一法则，对每一个 n N ,对应着
一个确定的实数xn，这些实数 xn 按照下标n从小
到大排列得到的一个序列
x1 , x2 , x3 , , xn ,
就叫数列，记为 xn .
➢ 可视 xn 为一种定义域为正整数的函数；
xn f (n)
➢数列的两种几何表示：
f (n)
xn
数列对应着数轴上一个点列.
x
x2 x1 xN 1 x3 xN 2
在直线上：
上下
1234567 … n
在平面上： 4
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
寻
13
上下
例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 .
证: 若q 0,
则limqn lim0 0;
n
n
若0 q 1, 因为 xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N
1
ln
ln q
, 则当 n > N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
14
上下
数列极限定义:
a 设 xn 为一数列，如果存在常数 ，
对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在
正整数 N,使得当 n 时 N,不等式
xn a
都成立,那么就称常数 a是数列 的xn 极 限,或者称数列 xn
收敛于 a,记为
lim
n
x或n
a,
xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
上下
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通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
直观印象:
若当n 无限增大时, xn无限接近于某一 确定的数值 a，就称当n，{xn}的极限 为a.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻画它.
分析: 我们用这两个数差的绝对值来表示两点的 距离；用绝对值可以任意小来描述“无限 接近”。
只要 n 10000时,有
xn
1
1 10000
;
给定
0, 由
xn
1
1 n
解不等式得,
只要 n [ 1 ]时,
有 xn 1 成立.
在n 的过程中的一个时刻,记之为N .
当 n 无限增大时,
任意给定 0,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于 1.
N 0, 使得n N时， xn 1 9
6
上下
以下说法是等价的：
xn无限接近数值 a 点xn 与点a距离要多近有多近 |xn-a|要多小有多小 ？
即：要使|xn-a|，只需n>？
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
7
上下
当 n 无限增大时, xn 1 数列与固定常数1的距离
(1)n1 n
无限接近于1.
(1)n1
1
xn 1 [1
n
n
证:
xn 1
n (1)n1 1 1
n
n
任给 0,
欲使 xn 1
,
只要 1 ,
n
或n 1 ,
所以, 取N [1]
则当n N时,
就有
n (1)n1 n
1
，即lim n (1)n1
n
n
1.
12
上下
例2.
已知
xn
(1)n (n 1)2
,
证明
lim
n
xn
0.
证: xn 0
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个)落在其外.
➢.符号定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,当n N时,有 xn a .
任意给定 存在
冰冷的美丽和火热的思考.
11
上下
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1. 证明lim n (1)n1 1.
4.三角函数 y sin x y cos x y tan x y cot x y sec x y csc x
5.反三角函数 y arcsin x y arccos x
y arctan x y arccot x
四、初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次复合所构成且可有一个式子表达的函数
1 (n 1)2
1 n 1
0(设 1),
欲使
只要
1 ,
n 1
即 n
1 1.
取
N [ 1 1] ,
则当 n N 时, 就有
xn 0 ,
故
lim
n
xn
lim
说明: N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N .
小找相结应:的N用；定但义不证必数要列求极故最限也小存的可在N取时. ,关N 键是[ 1任]意给定
上下
二、收敛数列的性质
1.唯一性
【定理1】 收敛的数列极限唯一.
证：
设
lim
n
xn
a
,
又
lim
n
xn
b,
不妨设 a b
由定义, 0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1, N2,
及
ba 2
则当n N时有
b
2
a
xn
a
b
2
a
b
2
a
xn
预备知识
一、区间与邻域概念 二、函数（两要素、4种特性、运算）
请参考 第1节内
容
三、基本初等函数（16个） 1.幂函数 y x ( 是常数) 特： y=C（常数）
2.指数函数 y a x (a 0, a 1) 特： y=ex
3.对数函数 y loga x (a 0, a 1) 特： y=lnx