数列的极限
3、、数列的极限
3、数列的极限数列的极限是数学中的一个重要概念，它描述了一个数列在无限趋近于某个点时，其数值的演变趋势。
这个概念在数学分析、实数理论、函数极限等许多领域都有广泛的应用。
定义：对于一个数列 {an}，如果存在一个实数 A，使得当 n 趋于无穷大时，an 趋于 A，那么我们称数列 {an} 的极限为 A，记为 lim(an)=A。
这里有几个需要注意的地方：1.极限是唯一的，即如果数列 {an} 的极限存在，那么它只能收敛到唯一的A。
2.极限是客观存在的，即当 n 趋于无穷大时，an 必须无限接近于 A。
3.极限是性质，不是定义。
也就是说，极限是一种性质，而不是一个数值。
它描述了数列在无限趋近于某个点时的变化趋势，而不是该点的具体数值。
数列极限的性质：1.极限具有唯一性。
如果数列 {an} 的极限存在，那么它只能收敛到唯一的A。
2.极限具有客观存在性。
当 n 趋于无穷大时，an 必须无限接近于 A。
3.极限具有传递性。
如果数列 {an} 的极限为 A，数列 {bn} 的极限为 B，且an=bn，则数列 {an+bn} 的极限为 A+B。
4.极限具有局部有界性。
如果数列 {an} 的极限为 A，则存在一个正整数 N，使得当 n>N 时，|an-A|<1。
5.极限具有保序性。
如果数列 {an} 的极限为 A，且 an<=bn 对所有正整数 n都成立，则 A<=B。
6.极限具有不等式性质。
如果数列 {an} 的极限为 A，且 an<=A 对所有正整数 n 都成立，则 A=0。
7.极限具有四则运算性质。
如果数列 {an} 和 {bn} 的极限都存在，且 an=bn对所有正整数 n 都成立，则数列 {an+bn} 和 {anbn} 的极限也分别等于A+B 和A×B。
除了以上的基本性质外，数列的极限还具有许多重要的定理和公式。
例如，单调有界定理、夹逼定理、海涅定理等。
这些定理和公式为我们研究数列的收敛性和应用提供了重要的工具。
《数列极限》课件
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列极限是高等数学中非常重要的一部分内容，它在微积分、数学分析和实数理论等领域有着广泛的应用。
数列极限可以用来描述数列中的数值趋于无穷大或趋于某个确定值的性质。
本文将对数列极限的概念、性质及相关定理进行归纳总结。
一、数列极限的概念数列极限是指当数列的项趋于无穷大或趋于某个确定值时，数列中的数值会有怎样的变化规律。
数列极限可以分为两种情况：当数列的项趋于无穷大时，称为正无穷大极限；当数列的项趋于某个确定值时，称为有限极限。
二、正无穷大极限正无穷大极限是指当数列的项趋于正无穷大时，数列中的数值也趋于正无穷大。
对于正无穷大极限的数列，常常使用符号∞表示。
正无穷大极限的数列具有以下特点：1. 当数列的项趋于正无穷大时，数列中的每一项都大于任意给定的正数。
2. 正无穷大极限的数列不存在有限极限，即数列中的数值不会趋于某个确定值。
三、有限极限有限极限是指当数列的项趋于某个确定值时，数列中的数值也趋于该确定值。
有限极限的数列具有以下特点：1. 当数列的项趋于某个确定值时，数列中的每一项都无限接近于该确定值。
2. 有限极限的数列不一定是递增或递减的，它可以在趋近确定值的过程中有往复波动的情况。
四、数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，这些性质对于研究数列的收敛性和发散性非常有帮助。
下面列举了一些常见的数列极限性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列的极限存在，那么它是唯一的，也就是说数列的极限值不会有多个。
2. 数列极限的保序性：如果一个数列的所有项都大于（或小于）另一个数列的所有项，并且这两个数列都有极限，那么它们的极限值也满足同样的大小关系。
3. 数列极限的有界性：如果一个数列的极限存在，那么该数列是有界的，即存在一个正数M，使得数列的所有项的绝对值都不大于M。
4. 数列极限与四则运算的关系：如果两个数列都有极限，那么它们的和、差、积和商（除数不为零）也都有极限，并且极限值满足相应的运算规律。
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
数列极限的定义和判定方法
数列极限的定义和判定方法数列是数学中的重要概念，它在许多数学领域中都有广泛的应用。
在数列中，极限是一个关键的概念，它可以帮助我们更好地理解数列的变化趋势和性质。
本文将介绍数列极限的定义和判定方法，希望能够对读者有所帮助。
一、数列极限的定义数列的极限是指随着数列项的无限增加，数列的值逐渐趋近于一个常数。
数列极限的定义可以用以下形式来描述：对于给定的实数L，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n大于N时，数列的项a_n满足不等式|a_n - L| < ε，那么我们说数列的极限为L。
在这个定义中，L表示数列的极限值，ε表示误差范围，N表示某个正整数。
二、数列极限的判定方法1. 数列极限的定义判定法根据数列极限的定义，我们可以通过判断数列是否满足定义来确定其极限。
具体步骤如下：（1）根据给定的极限值L和误差范围ε，找到对应的正整数N。
（2）验证对于任意大于N的整数n，数列的项a_n是否满足不等式|a_n - L| < ε。
（3）如果满足上述条件，则数列的极限为L；否则，数列不存在极限。
这种判定方法较为直接，但需要根据具体的数列和极限值进行具体的推导分析。
2. 数列极限的基本性质判定法数列极限的判定方法中，除了直接根据定义判断外，还有一些基本性质可以用来帮助判断。
以下是常用的基本性质：（1）有界性：如果数列有界，即存在一个常数M，使得对于所有的正整数n，都有|a_n| ≤ M，那么数列必存在极限。
（2）单调性：如果数列单调递增且有上界（或递减且有下界），那么数列必存在极限。
（3）夹逼准则：如果存在两个数列{a_n}和{b_n}，使得对于所有的正整数n，都有a_n ≤ c_n ≤ b_n，且数列{a_n}和{b_n}的极限都为L，那么数列{c_n}的极限也为L。
（4）递推公式：如果数列通过递推公式来定义，且递推公式能够收敛到一个常数L，那么数列的极限也为L。
根据上述性质，我们可以利用数列的特点和性质，通过分析数列的变化趋势来判定其极限。
数列极限
a n 2 n；
1 1 1 ( 2) 1, , , , , 2 3 n
1 { }； n
{a n }；
(3) 0, 1, 0, 2,,0, n,
1 an ； n a2 k 1 0， k 1, 2, a 2 k k，
整序函数： 数列是以正整数集合 N { 1,2,} 为定义域的一个 函数，若记此函数为 f ( n)，则数列可以记为 a1 f (1) , a2 f ( 2) ,, an f ( n) ,, 或 {an } , 每个数an 称为数列的项 。
注： 1. 如果an an1 (an an1 )，则称数列为严格单调 增加（减少） 数列。
二. 数列极限
观察：
1 {1 } n 3 4 5 n1 2, , , ,, , 2 3 4 n 1 1 1 1, 0, , 0, , 0 , , 3 5 7
n
1
n sin 2 } { n
1
例 3 对于数列{q n }，试证当| q | 1 时为收敛数列 , 且有
n
lim q n 0 .
n
证明
n 若 q 0， 则恒有 q n 0， lim q 0．
若 0 | q | 1， 则必存在 a 0，使 | q |
0， 要使
n n
1 ． 1 a
1
所以 lim 1
n
1 1。 n
( 1)n 例 2 已知 an ， 证明数列 {an } 的极限为 0． 2 ( n 1)
证明 0 1， 要使
| an 0 |
1 1 2 ( n 1) n 1
1 则 n 1， 可取 N 1 ．
高等数学12数列的极限
数列极限的保序性〔保号性〕
定理 设
3
〔保序性〕假
lni m xna,lni m ynb，且
a b，那 N N , nN ,有 xn yn .
么
证明：
lni m xna,lni m ynb，且 a b.
取 a b , 由极限定义知：
2
a b a b N 1 N , n N 1 ,|x n a |2 x n2
lim 1 1
y n n
b
证明略。
数列收敛的判别准那么
准那么 I. (夹逼定理/两边夹定理) 有三个数列，假
设 (1) yn xn zn ( n 1, 2, L)
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1 0, N2 0,
当 n N1 时, yn a ; 当 nn NN22 时, zznnaa ; .
定理6 也称为连续性公理。
单调数列
定义 4 如果数列{ x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递增数列。 如果数列 { x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递减数列。 这两种数列统称单调数列。
令 N max N1 , N2, 那么当n N 时, 有
a yn a , a zn a , 由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a ,
故
lim
n
xn
a
.
例： 证明 lim ( 1 1 1 )存在，
n n2 1 n22
数列的极限
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
步骤：首先给出数列的定义然后证明数列的极限存在
定义法：通过定义来证明数列极限的方法
例子：例如证明数列{n}的极限为可以通过定义法证明
注意事项：在使用定义法证明数列极限时需要注意数列的定义和极限的定义是否一致以及证明过程中是否使用了正确的数学符号和公式。
柯西收敛准则：如果数列{_n}满足对任意ε>0存在N使得当n>N时|_n-|<ε则称数列{_n}收敛于
极限的夹逼性：如果数列的极限存在那么数列的任何子列的极限也存在且极限值相同。
极限的连续性：如果数列的极限存在那么数列的任何子列的极限也存在且极限值相同。
极限的加法性质：lim(x->) [f(x) + g(x)] = lim(x->) f(x) + lim(x->) g(x)
极限的减法性质：lim(x->) [f(x) - g(x)] = lim(x->) f(x) - lim(x->) g(x)
极限的乘法性质：lim(x->) [f(x) * g(x)] = lim(x->) f(x) * lim(x->) g(x)
极限的除法性质：lim(x->) [f(x) / g(x)] = lim(x->) f(x) / lim(x->) g(x)
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
极限存在准则的应用：可以用来判断数列的极限是否存在以及计算极限的值
极限的表示：极限通常用符号lim表示如lim(x→x0)f(x)=。
极限的性质：极限具有保号性、保序性、保连续性等性质。
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
数列极限
定理5 柯西收敛准则 数列{xn}收敛的充分必要条件是:对任意>0,存在正整
数N,对任意m,n>N有
| xn xm | .
或等价地: 数列{xn}收敛的充分必要条件是:对任意>0,存在正整 数N,对任意n>N及任意正整数p,有
| xn p xn | .
数学分析选讲
多媒体教学课件
多媒体教学课件
多媒体教学课件
数学分析选讲
2011年上期
数学分析选讲
多媒体教学课件
一、数列极限的定义 定义 设{an}是一个数列,a是一个常数,若对任意>0, 存在正整数N,当n>N时,有
| an a |
则则称n时数列{an}收敛, a称为{an}的极限.记作
lim an a .
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理7 设f(x)把[a,b]映到[a,b],且对任意x,y [a,b]
| f ( x ) f ( y ) | | x y |,(0 1)
对任意x1 [a,b],定义
1 xn1 ( xn f ( xn )), n 1, 2, 2
定理6 设f(x)在[a,b]上可积,把[a,b]分成n个等长的小区间
k 1 k [a (b a ), a (b a )]( k 1, 2, , n) n n
lim
n k 1 n b k ba f (a (b a ) f ( x )dx . a n n
由介值定理,f(x)在[a,b]上存在不动点.
数学分析选讲
多媒体教学课件
两个不动点x , x ,则
| x x || f ( x) f ( x) | | x x || x x | .
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限是指当数列中的项无限接近某个特定值时，该特定值就是该数列的极限。
数列的极限可以通过一些运算法则来求解，这些运算法则包括以下几个方面。
1. 线性运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么对于任意
实数c，数列{can}的极限为cA，数列{an+bn}的极限为A+B，数列{an-bn}的极限
为A-B。
2. 乘法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{anbn}的极限为AB。
3. 除法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，且B不等于0，那么数列{an/bn}的极限为A/B。
4. 幂运算法则：如果数列{an}的极限为A，且m是一个正整数，那么数列{an^m}的极限为A^m。
5. 复合函数运算法则：如果函数f(x)在x=A处连续，并且数列{an}的极限为A，那么数列{f(an)}的极限为f(A)。
6. 夹逼准则：如果数列{an}，{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}的极限都为A，那么数列{bn}的极限也为A。
7. 极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么该极限是唯一的。
这些运算法则可以帮助我们计算数列的极限，使得我们能够更加方便地求解数列的极限问题。
但需要注意的是，这些运算法则只适用于满足一定条件的数列，例如乘法运算法则中要求乘积数列的每一项都存在，除法运算法则中要求除数数列的每一项都不为0等。
在应用运算法则时，我们需要仔细分析数列的性质，确保运算的合理性。
数列极限知识点
数列极限知识点数列极限是高等数学中的重要概念。
在微积分、数学分析等各个领域都有着广泛的应用。
本文将对数列极限的相关概念、性质及其在实际问题中的应用进行详细阐述。
一、数列极限的定义首先，了解数列极限的定义是非常关键的。
一个数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中每一项都趋于某个常数L，这个常数L就是这个数列的极限。
具体的数学表达式如下：lim an = L (n → ∞)其中，an为数列中的第n项，L为这个数列的极限。
二、数列极限的性质了解数列极限的性质，可以更好地理解它在实际问题中的应用。
下面，介绍数列极限的一些性质：1.极限的唯一性当数列极限存在时，它在数轴上的值是唯一的。
也就是说，在数列的所有子数列中，都只存在一个极限值。
2.局部有界性如果一个数列有有限的极限，那么它在数轴上一定是有界的，也就是说，存在一个范围，可以将这个范围内的所有数列项都包含在内。
3.保号性如果一个数列的极限是正数，那么数列中所有的项都是正数。
如果极限是负数，那么数列中所有的项都是负数。
4.夹逼定理对于任意一个数列，如果它的所有项都被夹在两个趋向于同一个极限值的数列之间，那么这个数列的极限也趋向于这个极限值。
5.单调有界定理如果一个数列是单调递增（或递减）且有界的，那么它的极限就存在。
三、数列极限的应用数列极限在实际问题中有着广泛的应用。
其中一些典型应用包括：1.距离、速度、加速度等模型在物理学、工程学等领域，常常需要通过数学模型来描述距离、速度、加速度等概念。
这些数学模型往往可以表示为数列的形式，以此来描述运动、变化等现象。
2.统计学中的统计量在统计学中，常常需要对一组数据进行分析，计算各种统计量（如平均数、标准差等）。
这些统计量也往往可以表示为数列的形式，以此来描述数据的分布情况。
3.经验分布函数经验分布函数是一种描述随机变量分布的函数形式，它的计算也经常涉及到数列极限的概念。
四、结语数列极限是高等数学中的重要概念，掌握了数列极限的相关概念和性质，以及应用范围，可以更好地理解和应用它。
高等数学数列的极限
高等数学：数列的极限一、引言在高等数学中，数列是极为重要的概念之一。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
而数列的极限则是指在数列中的某种规律性趋势下，数列中的项逐渐接近一个确定的数。
本文将深入探讨高等数学中数列的极限这一概念。
二、数列的定义数列是由一系列有序的数按确定的规律排列而成的序列。
一般来说，数列可以表示为 $a_1, a_2, a_3, \\ldots$，其中a a表示数列的第a项。
数列可以有无穷多项，也可以有有限项。
三、数列极限的定义考虑一个数列 $a_1, a_2, a_3, \\ldots$，如果数列中的项a a随着a的增大趋近于一个常数a，那么我们称常数a是该数列的极限，记作 $\\lim_{n\\to\\infty} a_n = A$。
简单来说，数列的极限就是数列中的项在逐渐接近一个确定的值。
四、数列极限的性质在研究数列的极限时，我们可以利用一些性质来简化计算或判断。
以下是一些常用的数列极限性质：1.数列极限的唯一性：若数列的极限存在，那么极限是唯一的。
2.数列加减乘除的极限性质：若$\\lim_{n\\to\\infty}a_n = A$，$\\lim_{n\\to\\infty} b_n = B$，则$\\lim_{n\\to\\infty} (a_n \\pm b_n) = A \\pm B$，$\\lim_{n\\to\\infty} a_n b_n = A \\cdot B$，$\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{a_n}{b_n} =\\frac{A}{B}$（当a aa0时）。
五、数列的极限计算方法计算数列的极限通常可以通过分析数列的规律性和使用一些极限运算法则来进行。
以下是一些常用的数列极限计算方法：1.利用等式化简：有时数列的极限可以通过等式化简来得到。
例如，将复杂的数列分解成更简单的形式，进而计算极限。
2.利用夹逼准则：对于某些比较复杂的数列，我们可以利用夹逼准则来证明数列的极限值。
理学21数列极限
lim
n
xn
a
或
xn a (n 时)
如不存在这样的常数 a,则称数列{xn }发散，或不收敛，也可
以说极限
lim
n
xn不存在。
例 求以下数列的极限： 数列的项不一定取到它的极限值.
(1) 2, 4, 8, L , 2n , L 2n 无限增大; lim 2n不存在， 记为 lim 2n
数列极限严格的数学定义： N语言
0 , 若 N 0 ,使当 n N 时,
| xn a | 成立, 则称数 a 为数列{xn}当n 时的极限,
记为
lim
n
xn
a,
或
xn a
(n ) .
几何意义： 0,N, 使得 N 项以后的所有项
xN 1, xN 2 , xN 3 ,
3、随着n的无限增大，数列的变化趋势可大致分为两类： 一类，无限接近某个常数， 另一类，不趋近某个常数。
问题 当 n 的无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的 数值，如果是，如何描述之？
数列极限的定义：
当n无限增大时,数列xn的通项 xn 无限趋于一个确定
的常数 a,则称数列xn收敛于a，或称 a 为数列xn
(1)n n
无限接近于0;
(5) 1 , 2 , 3 , L , n , L
234
n1
通项 :
n
xn
n
. 1
n
n
1
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x
0
1 2
2 3
3 4
…
n n 1
…
1
由图可知,当n无限增大时, 表示数列(5)的点逐渐密集
第一节数列的极限
只要 n1
0时 0,有xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n10时 0,0有xn
1
1, 1000
给定
1 , 只要 n100时 0,0有xn
10000
1
1, 10000
引入符号N和来刻划无限增大和无限接近。 任意给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成立 .
证： xn 1
n2n6
n1
n25
1 n25
2 n
0,
取N
2
1,
当n N时,
就有n2n2 n561
即ln im n2n2 n561.
注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从不等式
出发,由>0,找到使不等式成立的N(并不在乎N 是否最小).
证： 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时 当恒 xna 有 a,
从而x有 n a
xna xn a
xn a a
a
a
ln im xn a.
二、 收敛数列的性质
1.唯一性
定理1 每个收敛的数列有且只有一个极限. 证：设 ln i x m na ,又 ln i x m nb , 由定义,
定理2 收敛的数列必定有界. 证：设ln im xna, 由定义, 取1,
则 N ,使 得 nN 时 当恒 xna 有 1 ,
即a有 1xna1. 记 M m x 1 a , ,x x N ,a { 1 ,a 1 },
则 对 一 切n自 ,皆然 有 xn数 M, 故xn有界 .
三、数列极限的四则运算
定 6理 若 ln i a m na,ln i b m nb ， 则 ln i [m a nb n]ln i a m nln i b m n; ln i m kankln i m an;(k为 常 ) 数
2数列的极限
问 : 数 { xn } {(1)n1 }有 , 它 敛 ? 题 列 界 收 吗
定理3. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且
( 0 ) ,
( 0 ) .
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0 )
( 0 ) . (用反证法证明)
从数列 : x1, x2 , x3 , , xn ,
此时 取 M max x1 , x2 , , x N , 1 a xn xn a a xn a a 1 a .
,
那么 xn M 对一切 xn成立 . x1 , x 2 , , x N , x N 1 , x N 2 ,
例:自 数 { xn } {n} 无 , 所 它 收 然 列 界 以 不 敛 . (由 否 理 ) 逆 定
x n无限接近 a 的数学描述 :
对于任意给定的正数 (不论它多么小), xn a 总能变得比 还小 : xn a .
注意 :
1. 由 的任意性可知, xn a 要多小, 就能变得有多小.
例如, 取 10 4 , 则 xn a 可以变得 10 4 , 再取 10 7 , xn a 也可以变得 10 7 ,
故
n
lim q n 1 0
二、收敛数列的性质
定理1. 数列xn 的极限如果存在, 必唯一. 说明 : 通项 xn 不能同时向两个不同的数无限接近 .
*证明 : 反证法. 设 xn 有两个极限 a 和 b, 且 a b. 取 ba, 2 由于 lim xn a, 必存在 N1, 当 n N1 时, a xn a .
n
n
高数课件数列的极限
1 无穷小量
数列的极限为0的数列。
2 与极限的关系
如果数列的极限存在，那么它不可能是无穷 小量；反之亦然。
极限计算的方法
1 代入法
将无穷趋近于某个数值的变量代入数列的公式，计算极限。
2 夹逼法
通过比较数列和两个已知数列的大小关系，计算极限。
前两项之和确定后续项的数列，如0，1，1， 2，3。
数列的通项公式
1 等差数列
通项公式为an=a1+(n-1)d。
3 阶乘数列
通项公式为an=(n-1)!。
2 等比数列
通项公式为an=a1*r^(n-1)。
4 斐波那契数列
通项公式为an=((1+sqrt(5))/2)^n/sqrt(5)。
数列极限的定义
3 定理法
利用极限的运算性质及数列的特点，应用极限定理计算极限。
数列在实际问题中的应用
数列可以用来描述有规律的事物的变化，比如计算物体的路径、增长率等。 应用数列可以为各行业提供决策支持，解决问题。
1 收敛数列
如果存在一个实数L，使得数列的所有项都无限接近L，那么这个数列就收敛于L。
2 发散数列
如果数列没有收敛的极限，那么它是发散的。
常见数列的极限
等差数列
当公差不为零时，极限为无穷大或无穷小。
阶乘数列
阶乘数列的极限为无穷大。
等比数列
当公比大于1时，极限为无穷大；当公比大于0 小于1时，极限为0。
高数课件数列的极限
数列是数学中的重要概念，通过本课件你将学习到什么是数列，如何表示数 列以及各种数列的极限等知识。
数列的分类
1 等差数列
公差相等的数列，如1，3，5，7，9。
数列极限的定义和性质
数列极限的定义和性质数列是指按照一定规律排列的一系列数，而数列极限是数列理论中的重要概念之一。
在本文中，我们将探讨数列极限的定义和性质，并对其应用进行简要介绍。
一、数列极限的定义在数列中，当它的项逐渐趋于某个值时，我们称这个值为该数列的极限。
形式化地说，设有数列{an}，若对于给定的数ϵ（ϵ>0），总存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an与极限值之差的绝对值|an - A|<ϵ都成立，则称极限A为数列{an}的极限，记为lim(an) = A。
要注意的是，数列的极限并不一定要存在，可能是有限的，也可能是无穷的。
二、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它是唯一的，即一个数列只能有一个极限。
2. 数列收敛的必要条件：若数列{an}收敛，那么它是有界的。
即如果一个数列存在极限，那么它必然是有上下界的。
3. 数列极限的保号性：若数列{an}的极限为A，并且A>0（或A<0），那么当n充分大时，数列的每一项an也大于0（或小于0）。
4. 收敛数列的四则运算性质：设有两个收敛数列{an}和{bn}，它们的极限分别为A和B，则：(1) 数列和的极限：lim(an + bn) = A + B(2) 数列差的极限：lim(an - bn) = A - B(3) 数列积的极限：lim(an * bn) = A * B(4) 数列商的极限（假设B≠0）：lim(an / bn) = A / B5. 数列极限与数列项的关系：若数列{an}的极限为A，则对于任意正整数m，都有：lim(an) = Alim(am) = A三、数列极限的应用1. 数列极限在微积分中的应用：数列极限是极限的概念之一，而极限是微积分中的基本概念。
在微积分中，我们经常使用数列极限来定义导数和积分等重要概念。
2. 数列极限在数学分析中的应用：数列极限是数学分析中的重要内容，它也是许多数学定理的基础。