用向量法表示电路
电路向量图的原理和应用
电路向量图的原理和应用1. 什么是电路向量图？电路向量图（Circuit Vector Diagram）是一种在电路分析中常用的工具，用于表示电路中各个元件之间的相对位置和方向关系。
它以向量的形式来描述电路中各个元件的位置、大小和方向，使得电路的分析更加直观和简洁。
2. 电路向量图的基本原理电路向量图的基本原理是使用向量表示电路元件的位置、大小和方向。
以下是电路向量图的基本原理和规则：•使用箭头来表示电流的方向，箭头指向电流的流向。
•使用带箭头的线段来表示电压的方向，箭头指向电压的正极。
•元件内部的箭头表示电流的流向，指向电流的流出端。
•并联元件之间的箭头指向同一个交流电源。
•串联元件之间的箭头相连。
•根据电路的实际情况，可以添加标记表示电流、电压、电阻等数值。
3. 电路向量图的应用3.1 电路分析电路向量图在电路分析中起到了关键的作用。
通过绘制电路向量图，可以直观地了解各个电路元件的相对位置和方向关系，从而方便进行电路分析。
通过观察电路向量图，可以确定电路的串并联关系，求解电流和电压的分布情况，以及计算电路中的功率和能量等。
3.2 电路设计在电路设计中，电路向量图可以帮助工程师更好地理解电路拓扑结构，从而进行更加精确和可靠的电路设计。
通过电路向量图，可以直观地看到各个元件之间的连接关系，帮助工程师合理选择电路元件和设计电路布局。
3.3 电路教学电路向量图作为一种直观和简洁的图示工具，也被应用于电路教学中。
学习者通过绘制和观察电路向量图，可以更加清晰地理解电路中各个元件之间的关系，加深对电路原理的理解。
4. 电路向量图的优势和局限性4.1 优势•直观简洁：电路向量图用直观的箭头和线段表示电流、电压等信息，使电路分析更加直观和简洁。
•灵活性强：电路向量图可以灵活地画出各种电路拓扑结构，满足不同电路分析和设计的需求。
•易于理解：对于初学者来说，电路向量图相较于其他表达方式更易于理解和掌握。
4.2 局限性•信息有限：电路向量图主要关注电流、电压等基本信息，对于一些复杂电路参数和特性的分析不够全面。
向量法的用途
向量法的用途向量法是数学中一个重要的分支，具有广泛的应用。
它在物理学、几何学、工程学、计算机图形学、金融学等领域均有重要的用途。
下面将详细介绍向量法在这些领域的具体应用。
在物理学中，向量法是非常重要的工具。
物理学中的许多问题可以用向量来描述。
例如，在运动学中，物体的运动状态可以用位置向量、速度向量和加速度向量来表示。
利用向量的加法和减法可以求得物体的位移、速度和加速度等信息。
在动力学中，力可以表示为矢量。
利用力的合成和分解定理，可以计算物体所受合力的大小和方向。
在静力学中，平衡条件可以用向量的几何法来解决。
向量法在这些物理学的分支领域中有着广泛的应用。
在几何学中，向量法也有重要的应用。
通过向量的定义和运算，可以建立几何空间中的坐标系，将几何问题转化为向量的代数问题。
例如，在平面几何中，可以利用向量的模、方向和位置来确定直线和圆的方程，解决直线的相交和垂直问题，计算线段和向量的交点等。
在立体几何中，可以利用向量的点乘和叉乘来计算平面的法向量，判断直线和平面的关系，求两条直线的夹角等。
向量法为几何学提供了一种简洁而有效的解决问题的工具。
在工程学中，向量法也有着重要的应用。
例如，在土木工程中，利用向量法可以计算力的合成和分解，分析桥梁和建筑物的结构系统。
在电子工程中，可以利用向量法来描述电场、磁场和电流等的分布和变化，分析电路中的电流和电压等。
在机械工程中，可以利用向量法来描述力和力矩的作用，计算机械系统的运动学和动力学量等。
向量法在这些工程学的分支领域中为工程师提供了解决问题和设计方案的重要依据。
在计算机图形学中，向量法是一个基础概念。
图形学中的图像可以用向量来表示。
例如，二维图形可以用顶点的坐标形成的向量表示，三维图形可以用顶点坐标和法向量形成的向量表示。
通过向量的运算，可以进行图形的变换、旋转、缩放和投影等操作。
向量法在计算机图形学中为图形的生成、编辑和呈现提供了基础。
在金融学中，向量法也有广泛的应用。
《电路向量法》课件
《电路向量法》PPT课件
欢迎阅读本《电路向量法》PPT课件！在本课件中，我们将探讨电路向量法的 概述、电路元件描述、基本电路分析方法、电路向量法分析流程以及与SPICE 软件的比较。
电路向量法概述
什么是电路向量法
电路向量法是一种电路分析 方法，通过使用向量和矩阵 来描述电路中的元件和信号。
电路向量法的优点
求解线性方程组
通过数值计算或符号计算等方法求解矩阵方程，得到电路中各元件的电压和电流。
解算过程示例
通过一个实际电路的示例，演示电路向量法的求解过程。
电路向量法与SPICE软件的比较
电路向量法和SPICE软件的优缺点
电路向量法提供更直观的分析结果，但SPICE软件能够模拟更复杂的电路行为。
两种方法的应用场景比较
电阻
电阻是电路中阻碍电 流流动的元件，常用 符号为R。
电容
电容是一种可以储存 电荷的元件，常用符 号为C。
基本电路分析方法
1
电压分割和电流分配
2
电压分割和电流分配法可用于计算电路中的电压和电源自值。3超级网路分析法
4
超级网路分析法是一种用于求解包含多 个电压和电流源的复杂电路的方法。
KVL和KCL定律
基尔霍夫定律(KVL)和基尔霍夫定律(KCL) 是分析电路中电压和电流分布的基本方 法。
超级节点分析法
超级节点分析法是一种分析复杂电路的 方法，可以简化电路分析过程。
电路向量法分析流程
基本思路
将电路中的元件和信号转化为向量和矩阵的形式，建立电路方程。
构建矩阵方程
根据电路拓扑结构和元件特性，构建表示电路方程的矩阵。
电路向量法适用于小规模电路的分析，而SPICE软件适合大规模电路的模拟和验证。
电路向量图的原理及应用
电路向量图的原理及应用1. 什么是电路向量图电路向量图是一种用于表示电路中各个元件之间关系的图形表示方法。
通过使用向量表示元件的连接关系，可以直观地表示电路的结构和工作方式。
2. 电路向量图的原理电路向量图的原理基于向量代数和电学原理。
在电路向量图中，电路中的每个元件都被表示为一个向量，向量的方向表示电流的方向，向量的长度表示电流的大小。
通过将各个元件的向量按照电路连接的方式进行叠加，可以得到整个电路的向量图。
3. 电路向量图的应用3.1 电路分析与设计电路向量图在电路分析和设计中起到了重要的作用。
通过电路向量图，可以直观地理解电路的结构和工作原理，便于分析和计算电路中的电流、电压和功率等参数。
同时，电路向量图也能够帮助设计者快速调整电路结构，实现电路性能的优化。
3.2 电路故障检测和诊断电路向量图还可以用于电路故障的检测和诊断。
通过比较实际电路的向量图和预期的向量图，可以发现电路中的故障元件或连接问题。
根据向量图的变化情况，可以判断哪些元件可能存在问题，并进行进一步的故障分析和修复。
3.3 电路教学和学习电路向量图在电路教学和学习中也有广泛的应用。
通过绘制电路向量图，可以帮助学生理解电路的工作原理和特性。
同时，学生也可以通过分析电路向量图，学习电路分析和设计的方法和技巧。
4. 电路向量图的绘制方法电路向量图可以用多种方法进行绘制，下面列举了几种常用的方法：•手工绘制：使用纸张和铅笔等传统工具进行绘制。
这种方法简单直观，适合小型电路和初学者使用。
•计算机绘图：使用专业的电路设计软件或绘图工具进行绘制。
这种方法可以实现电路向量图的自动绘制和编辑，并且可以进行更加复杂的电路分析和仿真。
•模型拼接：通过使用电路元件的模型进行拼接，形成电路向量图。
这种方法适合于进行复杂电路的物理模型实验和教学。
5. 电路向量图的注意事项在使用电路向量图时，需要注意以下几点：•元件的方向：在电路向量图中，电流的方向由向量的方向表示，需要正确标注元件的方向，以保证电路分析的准确性。
电路关于向量法的研究
内蒙古师范大学本科生学年论文题目：相量法在电路中的应用分析学号：20101106316姓名：王菲菲专业：电子信息科学与技术指导教师：张珏2011年5月15日物理与电子信息学院学年论文相量法在电路中的应用分析王菲菲（学号：20101106316）（物理与电子信息学院 10级电子信息科学与技术班,内蒙古呼和浩特 010022）指导老师：张珏摘要：在线性电路的分析中，有很多问题是求电路的稳态解。
相量分析法就是为了简化正弦稳态电路的分析计算而引入的一种电路求解方法。
相量分析法不仅适用于本章只有一种频率的正弦交流电路的分析与计算，同时，它也可推广应用于多个不同频率的正弦激励的线性电路。
关键词：相量分析法；欧姆定律；复功率；复数；正弦中图分类号：TM131.4相量分析法的数学基础是复数运算，因此在研究相量分析法之前，应简要复习复数的概念及其运算法则，并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系，为应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。
1 复数的概念1.1虚数单位参见图1给出的直角坐标系复数平面。
在这个复数平面上定义虚数单位为虚数单位j又叫做90°旋转因子。
向量法在电路中的应用分析图1在复平面上显示复数1.2复数的表达式一个复数Z有以下四种表达式：1.2.1 直角坐标式(代数式)式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。
任意一个复数都可以在复平面上表示出来。
例如复数A=3+j2在复平面上的表示如图1所示。
1.2.2 三角函数式在图1中，复数Z与x轴的夹角为θ，因此可以写成式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即：θ叫作复数Z的辐角，从图1中可以看出复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。
1.2.3 指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即物理与电子信息学院学年论文1.2.4 极坐标式 (相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。
《电路向量法》课件
相量图与波形图的转换
1 2
将相量图转换为波形图
根据相量图的长度和角度，绘制各元件的电压和 电流波形图。
将波形图转换为相量图
根据电压和电流的波形图，确定各元件的相量图 。
3
分析转换结果
比较相量图和波形图的计算结果，验证电路分析 的正确性。
06
习题与解答
习题一：向量法基础知识
题目
什么是向量？向量有哪些基本性质？
向量的基本概念
详细描述
向量可以用几何表示法和代数表 示法来表示，几何表示法包括有 向线段和向量模，代数表示法则 使用坐标和分量表示。
总结词：向量的定义、向量的表 示方法、向量的模。
向量定义为具有大小和方向的量 ，通常用有向线段表示，箭头表 示方向，长度表示大小。
向量的模是指向量的长度或大小 ，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$ 。
标明向量长度和角度
根据电压和电流的实际值，标明向量图的长度和角度。
向量图的分析与计算
计算电压和电流
01
根据向量图的长度和角度，计算各元件的电压和电流。
分析功率
02
根据向量图，分析各元件的功率关系，判断是否符合能量守恒
定律。
判断电路状态
03
通过向量图的分析，判断电路的工作状态，如是否处于稳态或
暂态。
稳态工作状态。
相量法
将正弦波表示为复数形式，即 相量，用于简化分析和计算。
阻抗
正弦稳态下，电路中的元件对 电流的阻碍作用，用复数表示 。
功率
正弦稳态下，电路中元件吸收 或发出的功率，计算公式为 P
= I * V * cos(theta)。
功率计算与功率因数
功率因数
浅谈交流电的向量表示法
浅谈交流电的向量表示法开封市供电公司、电工进网作业培训班辅导教师胡慈丹我们都知道，当我们用交流电压表测量两相对地220V 之间的交流电压时，是380 V。
测量两点电压，相当于两点对地（或对公共线）电压相减，这里为什么“220-220≠0”而是380呢？这要从交流电的向量谈起。
1．什么是向量。
向量也称矢量，就是带方向的量，我们平常所用的是算术量或代数量，是不带方向的。
举个例子。
某人从家中（图1中A 点）向北走3公里到 B点，然后再向西走4公里到C点，如果问他走了多少路，那么：3+4=7，他走了7公里，这是算术量，但如果问他从家到停止的地方移动了多少距离，即位移多少，那么就“3+4≠7”了。
我们用比例尺量一下AC两点的长度，是5公里。
图中带箭头的线段AB、BC、AC就是向量。
2．交流电的向量。
众所周知，交流电是随时间按正弦规律变化的，图2（a）以交流电压为例，表现了这一特性。
图2左边圆形中，纵直径表示电压的比例尺，横直径从圆心O向右是开始轴。
带箭头的线段，以U m为半径，以不变的角速度，以逆时针方向旋转，它与横轴的夹角跟着变化，它的垂直高度（线段在纵轴上的投影，就是正弦）代表的瞬时值也在变化，每经过一个时间t，就有相应的角度和瞬时值与之对应。
如此往复下去，向右展开为一条无限长的曲线，就是正弦曲线。
图中“带箭头的线段”既有长度（U m），又有方向（角度），所以就是向量。
交流电的向量是旋转向量，向量每旋转一周360º的时间称为一个周期，用T表示。
每秒钟包含的周期数称为频率，用f表示。
图中不同箭头表示了一个向量的不同角度。
向量旋转的角度又称为相位。
向量在一个时间起点下所处的相位称为初相位。
比如图2（a）中当开始（时间在0秒）时向量处在OA 位置，那么这个向量初相位就是0，对应于右边图2（a）的曲线。
当开始（时间在0秒）时向量处在OB位置，那么这个向量初相位就是ψ，曲线示于图2（b）。
表达式是：u=U m sin(ωt+Ψ)其中，u为瞬时值，U m为峰值，ω=2πf为角速度，f为频率，我国为每秒50周（50赫芝），2π相当于一周360 ，t为时间秒，Ψ为初相位。
动态电路的向量分析法
动态电路的向量分析法1.向量表示法：动态电路中的电流和电压被表示为向量形式。
电流向量和电压向量具有幅值和相位，分别表示电流和电压的大小和相对于其中一参考点的相位差。
电压向量通常用复数表示，电流向量则可以用复数或者矩阵形式表示。
2.向量运算：向量运算是向量分析法的基础。
向量的加法和减法用于分析电路中的并联和串联元件；向量的乘法用于分析电路中的电压和电流之间的关系。
向量运算可以用几何方法或者代数方法进行计算。
3.时域分析：向量分析法主要在时域范围内进行电路分析。
时域分析考虑电流和电压随时间的变化，通过对电流和电压的向量表示进行运算，可以求解电路中各个元件的电流和电压。
4.网络方程：动态电路中的元件通常由电阻、电感和电容构成，其行为可以由线性方程描述。
向量分析法通过建立电路的等效电路方程组，求解电路中各个节点和回路上的电压和电流。
5.哈密顿方法：向量分析法中的哈密顿方法是一种常用的求解电路方程组的方法。
它通过构建能量函数和广义坐标，将电路方程转化为哈密顿方程，然后通过求解哈密顿方程来得到电路中的电流和电压。
动态电路的向量分析法在分析复杂的动态电路时具有一定的优势。
它可以直观地描述电流和电压之间的相互关系，通过建立方程组求解的方法，可以求解电路中各个元件的电流和电压。
此外，向量分析法还可以方便地进行时域仿真和参数设计。
然而，动态电路的向量分析法也有一些限制和不足之处。
由于向量分析法主要针对线性电路进行分析，对于非线性电路可能需要采用其他方法。
此外，向量分析法在求解电路方程组时可能会涉及到复杂的数学计算，需要一定的数学基础。
总的来说，动态电路的向量分析法是一种有效的分析方法，可以用于求解动态电路中的电流和电压。
它通过向量的运算和分析，建立电路的方程组并求解，为电路设计和分析提供了有力的工具。
4-3电路定律的向量形式
I
u i
U
3）电阻的uR (t )的相位 iR (t ) 的相位同相；
4 ) 振幅关系 U Rm RI Rm
u (t )
i (t )
R
时域模型
例2：在正弦稳态电路中，
i ( t ) 2cos(100t 30 )A 流过10Ω电阻的电流
求： u (t )
10 2 cos(100t 30 )V
k 1 k
n
对于线性时不变的正弦稳态电路（单一频率激 励）各支路电压、电流为同频率的正弦量。 设：
n
jωt ik (t ) I km cos(ωt ik ) Re[ I km e ]
n
n jωt jωt ik (t ) Re[I km e ] Re I kme k 1 k 1 k 1
0 I
元件 电阻 电感 相量模型
I
0 U
伏安关系 相量图
R
U
I
jL
U
I
1 jC
电容
U
例 4：
u (t )
4H电感端电压 u (t ) 8 2cos(t 50 )V 100rad/s 求 i (t )
i(t )
解：1）画出电路的相量模型
i3
i1 i2
求：
i3 (t )
解：方法1）由KCL的时域形式： 1060
0
6.236.2
10 60 5 90 I3 I1 I 2
5 90
相量图
10 cos 60 10 j sin 60 j5
5 j3.66 6.236.2 A
向量法电路分析 - 基尔霍夫定律应用举例
Rn R2 Ra R1 ( 1)2 2 Vg 2 R1 Rc R1 Rc
Ra Rn Vg 1 N c Rn Rb Vg 2 ( 1)1 3 Vg 1 R1 R2 0
向量法电路分析 - 基尔霍夫定律应用举例
【例题 1】如下图，已知 Vg1 ,Vg2 ,R1 ,R2 ,R3 ,Rl ,Rn 用向量法求解所标电压，电流。
Rl + + Ia loop1 R1 V1 IL1 Vg 1 Ic In Rn R3 V3 - loop3 + I loop2 b Vg 2 R2 V2 IL2 Rl 解析：本题关键是求出三个独立环路的电流 Ia、Ib 和 Ic，求出这三个电流，其它量都可以迎 刃而解。 列出环路方程 Kirchhoff 电压定律（绕环路一周压降=0，电压升为”‐“，降为”+”） ： 环路 1： Vg 1 I a Rl ( I a I c )R1 ( I a Ib )Rn 0 环路 2： Vg 2 ( Ib I a )Rn ( Ib I c )R2 Ib Rl 0 环路 3： ( I c I a )R1 I c R3 ( I c Ib )R2 0 这是一个三元一次方程组，为便于观察，整理将变量对齐，得到
( R1 Rl Rn )I a Rn Ib R1I c Vg 1 I a Rn ( R1 Rl Rn )Ib R2 I c Vg 2 I R I R ( R R R )I 0 1 2 3 c a 1 b 2
解这个三元一次方程组可以用中学时的消元法，但比较麻烦。 下面用克莱姆法则求解，变量系数比较复杂，为了简化计算，记
电路向量图方法解析-天师总结
四 谐振 2012 年下午卷 13 题。
解： 令 L=1Mh ， C1=10uF , C2=1.25uF 。 对于 w=10000 的正弦波，有： XL=wL=10 , XC= C =10 . 电感和电容支路 Z=j10+(-j10)=0 因此 ，电感和电容，串联谐振，发生短路。所以电容 C2 两端电压为 0。 对于 w=30000 的正弦波，有： XL=30 , XC1= , 支路一的阻抗 Z=j30+(-j )=j Xc2= 因此，在 w=30000 的正弦波的情况下，这段电路发生并联谐振，为开路。电源电压全部 加在电路两端。 因此答案为：A。
一 基本概念公式
电路向量图
张天师友பைடு நூலகம்总结 2014-7-10
电阻 电感 电容
阻抗 ZR=R ZL=jXL 。XL=wL ZC=-jXC .XC= C
二 向量图例图 如图，以电流为参考方向。则必有：
电压和电流同相 电压超前电流 90° 电压滞后电流 90°
其中，UL 的相位，超前电流 I 的相位 90°。 并且，电压源的电压等于三个电压的向量和 US=UR+UL+UC 。
2012 年下午卷 21 题
如题： 因为电路发生谐振，所以电流和电压同相位。 以两端电压为参考方向，画出向量图。 1 I1 和 U 同相位 2 I2 滞后电压 90° 3 I3 超前电压一定角度。 以为 I2 和 I3 的向量和就是 I1， I2=6，I3=10。 所以 I1=8。 分析：考题中出现谐振的电路时很常见的，要正确画出电路图，选择参考向量。
三 例题 2009 年下午第二题。
电路3-2正弦量的向量表示法
u的相量为
U U1 U 2 4 j 4 3 3 3 j3 9.2 j3.9 1023.10 V
所以
u 10 2 sin(t 23.10 )V
电
路
3．2 正弦量的相量表示法
一、相量的概念 I 只反映正弦量的两个要素，而隐含着 第三个要素的一个旋转矢量叫做相量 。 用大写字母上方加一个点来表示 。如 表示电流的有效值相量。 而 U 和 U 则表示电压的有效值相量 和最大值相量。
m
电
路
对正弦量
u=Umsin(ωt+Ψ)
最大值 相量
对应的相量为
电
路
例3.2.3 u1= 8sin（ωt+60°）V ， u2= 6sin （ωt-30°）V ，试用相量法求电压u=u1+u2 。 解：u1的相量为
U1 8600 8cos 600 j8sin 600 4 j4 3 V
u2的相量为
U 2 6 300 6cos(300 ) j 6sin(300 ) 3 3 j3 V
U m U m
U U
电
路
如果
I m 10300
i=10sin(ωt+30°)
则它表示的正弦量为
二、相量图 为了计算的方便，经常用图形来表示相 量，只有同频率的正弦量其相量才能画 在同一复平面上，画在同一复平面上的 表示相量的图称为相量图。 。
电
下图就是 的相量图
路
I m 1030
电路理论课件-向量法
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej=–1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8. 4 正弦量的相量表示
两个正弦量
i1
i2
w
w
Im1
Im2
1
2
i1+i2 i3
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) 20 j5
19.2427.9 7.21156.3
180.2 j126.2
20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536 (3) 旋转因子：
i
R2
2U ω2 L2
sin(ωt
Ψu
tg1
ωRL ) R
8. 5, 6 电阻、电感和电容元件的正
弦电压电流及相量关系
一. 电阻
时域形式：
i(t)
已知 i(t) 2I sin(ωt Ψi )
Im A2
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
O
加减法可用图解法。
A1 Re
8. 3 复数复习
(2) 乘除运算——极坐标
若 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2
则 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2
A1 | A1 |θ 1 | A1 | e jθ1 | A1 | e j(θ1θ2 ) | A1 |
W2=I 2RT
I 2 RT T i 2 (t )Rdt 0
用向量法表示电路
>0， u超前i角 ，或i 落后u角 (u 比i先到达最大值)；
u, i
u
i
O
u
wt
i <0， i 超前u角 ，或u 滞后 i角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
= (180o ) ，反相：
u, i u iw t
19.2427.9 7.211 56.3 解 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
jwt
可得其相量关系为：
U U U 1 2
U
i1 i2 = i 3
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
I I I 1 2 3
例
u1 (t ) 6 2cos(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2cos(314t 60o ) V
I
0 +1
j
j
cos( ) j sin( ) j 2 2 I
jI
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
j +j
F1 F1/F2
1 1 - 2
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
复数乘除的图解法：
a
+1
或
a | F | cos b | F | sin
图解法 +j F2
2.复数运算
电路理论课件 第8章 向量法
在电路中，对于任意闭合路径，电压降矢量和电压升矢量在数值上相等，方向 相反。
欧拉公式及其在电路中的应用
欧拉公式
将复数表示为三角形式，即 $z = r(cos theta + i sin theta)$，其中 $r$ 是模，$theta$ 是幅角。
在电路中的应用
利用欧拉公式可以将正弦稳态电路中 的电压和电流表示为复数形式，从而 方便计算和分析。
在电机控制中，向量法可以用于分析电机的转矩控制、速度控制和位置控制等。通过向量化处理，可 以将电机的物理量转化为数学表达式，便于分析和计算。同时，向量法还可以用于电机的故障诊断和 性能评估，提高电机的可靠性和稳定性。
无功补偿装置的向量分析
无功补偿装置是电力系统中用于改善功率因数、减少无功损 耗的重要设备。向量法在无功补偿装置的分析中也有着重要 的应用价值。
向量模表示法
通过向量模表示电压和电流的大小，可以方便地计算功率和 能量。
交流电路的分析方法
相量法
利用复数表示电压和电流，通过代数运算分析电路。
阻抗三角形法
利用阻抗三角形分析阻抗、电感和电容之间的关系。
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复杂电路的向量分析
串联和并联电路的向量分析
串联电路的向量分析
在串联电路中，各电压源的向量相加等于总电压的向量，各电流源的向量相等且等于总电流的向量。
通过向量法，可以对无功补偿装置的电容、电感等元件进行 向量化分析和计算。同时，向量法还可以用于分析无功补偿 装置在不同运行状态下的性能表现，为无功补偿装置的优化 设计和运行提供依据。
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三相电路的向量分析
三相电源和负载
三相电源由三个相位差为120度的正 弦波组成，三相负载则分为对称和不 对称两类。
《电路》第八章向量法
i Im
2π O
π
yi
i(t)=Imcos(w t+y i)
2π
ωt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
i(t)=Imcos(w t+y i)
0
wt
y i=－/2
y i =0
yi =
例 i
100 50
0 t1
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1 。
0
wt
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) j 3 4 ( 2) 5 4
i2(t) 10cos(100 t 2)
j 5 4 2 3 4
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10cos(100t 1050 )
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10 /135°，求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°=10（cos135°+j sin135°) = -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 ) = - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143°
i
相位变化的速度，反映正弦量
T
变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2 T 频率f ：赫兹（Hz）
周期T：秒（s）
Im O
yi
电路原理向量法的应用背景
电路原理向量法的应用背景引言电路原理是电气工程中的重要基础课程，主要研究电路的基本原理和分析方法。
在电路原理的学习过程中，向量法作为一种重要的分析方法得到了广泛的应用。
本文将介绍电路原理向量法的应用背景，包括其在电路分析中的优势和应用范围。
同时，我们还将讨论向量法在电路工程中的实际应用，并举例说明其具体应用场景。
电路原理向量法的优势电路原理向量法是一种基于向量的分析方法，其最大的优势在于对电路的复数形式进行描述和计算。
与传统的复数方法相比，向量法更加直观和易于理解。
以下是电路原理向量法的几个优势：1.直观的图形化表示通过使用向量表示电流和电压，可以直观地观察电路中各个元件之间的关系。
通过将向量按照磁场的方式叠加，可以得到电路中总电流和总电压的方向和大小。
2.方便的计算处理向量法将电流和电压表示为向量，利用向量的性质进行运算和计算，使得复杂的分析问题变得简单化。
通过向量法可以方便地计算电路中各个分支的电流和电压，并通过向量相加得到总电流和总电压。
3.适用于频域分析向量法在频域分析中有较好的适用性。
电路中的电流和电压往往是随时间变化的，通过向量法可以将其转化为随频率变化的复数形式，并通过相位和幅度来描述电流和电压的特征，从而方便地进行频域分析。
4.广泛的应用范围向量法适用于各种不同类型的电路，包括直流电路、交流电路和混合电路等。
无论是简单的电路还是复杂的电路系统，向量法都可以有效地进行分析和计算。
电路原理向量法的应用电路原理向量法在电路工程中有着广泛的应用。
以下是向量法在电路分析、电路设计和电路故障诊断中的具体应用：1.电路分析向量法在电路分析中起着重要的作用。
通过绘制电路中各个元件的电流和电压向量，可以直接观察到电路的分布情况。
通过对向量的运算和计算，可以方便地求解电路中各个分支的电流和电压，从而得到电路的工作状态和性能参数。
2.电路设计在电路设计中，向量法可以帮助工程师快速设计出满足特定要求的电路。
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| F1 | | F2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
例1. 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657 ) (9.063 j4.226 ) 12.47 j0.569 12.48 2.61
例2.
首尾相接
+j
U
+j
U
U2
U2
U1
U1
60
41.9
41.9
60 30
+1
30
+1
2 . 正弦量的微分，积分运算
i 2I cos(w t i ) I Ii
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
dt dt
Re 2I jw e jw t
反之，从相量直接写出 相对应的正弦量时，必 须给出正弦量的
角频率w。不必经过上述变换步 骤。
例1 已知
解
i 141.4 cos(314t 30o )A
•
I
10030o
A
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
•
U 220 60o V
•
例2 已知I 5015A, f 50Hz。
称这3个量为正弦量的三要素。正弦量随时间变化的图形称
为正弦波。
一、周期、频率和角频率
1、周期T ：正弦量变化一个循环所需的时间。单位：s，秒
2、频率f ：正弦量每秒重复变化的次数。单位：Hz，赫(兹)
3、角频率(angular frequency)w: 正弦量的相位
随时间变化的角速度，即： w d (wt i )
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1 F2
F1 e j1 F2 e j2
F1
F e j(12 ) 2
乘法：模相乘，角相加。
F1 F2 1 2
F1 F2
| F1 |θ1 | F2 |θ2
| |
F1 F2
| |
e jθ1 e jθ 2
| F1 | e j(θ1θ2 ) | F2 |
300 (150 0 ) 120 0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符
号，且在主值范围比较。
§8－3 相量法的基础
一. 用相量表示正弦量
无物理意义
1、相量式 设函数 A(t) 2Ie j(wt)
是一个正弦量
有物理意义
2Icos(wt ) j 2Isin(wt Ψ )
对A(t)取实部： Re[ A(t)] 2Icos(w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i
2Icos(w t Ψ ) A(t)
j(w tΨ )
2Ie
A(t)还可以写成
A(t) 2Ie j ejwt 2Iejwt
A(t)包含了三要素：I、 、w ， 复常数 复常数包含了I , 。
2.复数运算
a | F | cos
或
b | F | sin
+j
图解法
(1)加减运算 ——采用代数形式
F2
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2
0
则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
F1 +1
(2) 乘除运算 ——采用极坐标形式
cos
j sin
j
I
2
2
2
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)j
0
+1
2
2
2 I
j I
, e j cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1
都可以看成旋转因子。
复数乘除的图解法：
第8章 相量法
重点： 1. 正弦量的表示，三要素； 2. 正弦量的相量表示； 3. 电路定理的相量形式。
§8-1 复 数
1. 复数及其表示形式
F=a+jb
复数F的表示形式
+j
b
F
(j 1 为虚数单位 )
+j
b
F
|F|
0
a +1
F a jb
0
a +1
F | F | e j
182 .5 j132 .5 225 .536 +j
F• ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
F
0
+1
F• ej 相当于F逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
几种不同值时的旋转因子
+j
j I
,
j
e2
dt
w 2 f 2 T 单位： rad/s，弧度 /秒
i
T
i
T
O
t
i
i Im cos(ωt ψi)
Im
O
2 twt
Im sin (ωt ψi)
二、幅值和有效值
1、瞬时值:正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字
母表示，如 i、u，e 。
2、幅值（最大值）：瞬时值中的最大的值称为幅值或最大 值，用带下标m的大写字母表示，如Im、Um、Em。 图中，i max Im,i min Im,i max i min 2Im 称为正弦量的峰峰值。
U2 460o V
U U1 U2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2 (t) 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
也可借助相量图计算
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
T0
注意： 上式适用于周期变化的量，不能用于非周期量。
同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ i )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos2
(
w
t
Ψi
220 35 (17 j9) (4 j6) ? 20 j5
解
原式
180 .2
j126 .2
19.2427.9 7.21156.3 20 .62 14 .04
180 .2 j126 .2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
三、初相位
设：i Im cosw t i 2I cosw t i
1、相位（相位角）： 随时间变化的
2u
角度（ w t i ）称为正弦量的相位，
或称相位角。
1i
2、初相位： 正弦量在t=0时刻的相 位，称为正弦量的初相位（角），
O
ωt
简称初相，即
w t i t0 i (rad或度）
可见，
的大小与计时起点的确定有关。
i
3、相位差： 两个同频率正弦量的相位之差或初相位之差，即
设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i) 则 相位差 ： = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i
注意： 研究不同频率正弦量的相位差无意义。
jwt
)
Re(
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jwt
)
可得其相量关系为： U U1 U2
U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3 I1 I2 I3
例 u1(t) 6 2cos(314t 30) V
U1 630o V
u2 (t) 4 2cos(314t 60o ) V
) dt
T cos2 ( w t Ψi ) dt T 1 cos2(w t Ψi ) dt 1 t T 1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψi ) 2I cos(w t Ψi )
3 4 ( 2) 5 4 2 5 4 3 4
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2 (t) 10sin(100 t 150 )
i2 (t) 10 cos(100t 105 0 )
300 (105 0 ) 135 0
j +j
F1
F1/F2
1 1 - 2
F2
O
+ 2
i
§8-2 正弦量
电路中按正弦规律 变化的电压和电流，统称为正弦量。正 弦量的表示方法：①三角函数式；②波形图；③相量法。
在图示电流i的参考方向下， i
i(t)=Imcos(w t + i )
+ u_
Im,w, i 这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，
称