平面向量题型及方法

平面向量方法、题型、及应试技巧总结

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

已知A （1,2），B （4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是AB

a _____（答：（3,0））

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

03．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是AB

)；||

AB AB ±

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，a b 记作：∥，规定零向量和任何向量平行。a b 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有)；

④三点共线共线；A B C 、、⇔ AB AC

、

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如

a a 下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点a

b = a b =

相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边

AB DC =

ABCD ABCD 形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是AB DC = ,a b b c == a c = //,//a b b c //a c

_______

（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；AB 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

a b c 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，

x y i 为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的j a (),a xi y j x y =+=

(),x y a 坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标a (),x y a 与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平

面内的任一向量a ，有且只有一对实数、，使a =e 1＋e 2。如

1λ2λ1λ2λ（1）若，则______

(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=-

c = （答：）；

132

2

a b - （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. B. 12(0,0),(1,2)e e ==- 12(1,2),(5,7)

e e =-=

C.

D. 12(3,5),(6,10)e e ==

1213(2,3),(,)

24

e e =-=-

（答：B ）；

（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向

,AD BE ABC ∆,BC AC ,AD a BE b == BC

量表示为_____

,a b

（答：）；

2433

a b + （4）已知中，点在边上，且，，则ABC ∆D BC −→−−→−=DB CD 2−→

−−→

−−→−+=AC s AB r CD 的值是___

s r +（答：0）

四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规

λa λa 定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，()()1,2a a λλ=

λλa a λλ

的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。a a λ0a λ=

λa 五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，a b ,OA a OB b ==

AOB θ

∠=称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，

()0θπ≤≤a b θa b θπa b 当＝

时，，垂直。θ2

π

a b 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量a b θ叫做与的数量积（或内积或点积）

，记作：，即＝。||||cos a b θ a b a ∙b a ∙b cos a b θ

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

（1）△ABC 中，，，，则_________

3||=−→−AB 4||=−→

−AC 5||=−→

−BC =⋅BC AB （答：－9）；

（2）已知，与的夹角为，则等于____

11(1,),(0,),,22

a b c a kb d a b ==-=+=- c d 4

π

k （答：1）；

（3）已知，则等于____

2,5,3a b a b ===- A a b +

）；

（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____

,a b a b a b ==-

与a a b + （答：）

30 3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如

b a ||cos b θ

已知，，且，则向量在向量上的投影为______

3||=→

a 5||=→

b 12=⋅→

→b a →

a →

b （答：

）5

12

4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。

a ∙

b a ∙b a ||a

b a 5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：a b θ①；

0a b a b ⊥⇔∙=

②当，同向时，＝，特别地，；当与反向

a b a ∙b a b 22,a a a a a =∙== a b 时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的a ∙b a b

θa ∙b a b 、

0a b ⋅> θ