正弦交流电路的向量表示法

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交流电的向量表示法

2j
U a jb
U(cos j sin) 代数式
U e j
指数式
U
极坐标形式
HOME
10
设a、b为正实数
U a jb U e j U a jb U e j
在第一象限在第二象限
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
U a jb U e j U a jb U e j
在第三象限在第四象限
在三、四象限，一般取值：0° -180 °
HOME
11
U2 j
U1
2=120°
1=60° +1
3= -120°
U3
HOME
12
例计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：
U 3 j4
U 3 j4 U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1)
2
相量的书写方式
最大值
Um 或 U
有效值
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
3
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
i1 100 2 sin(6280t 60) A
i2 10 2 sin(6280t 30) A
HOME
18
小结：正弦波的四种表示法
波形图瞬时值相量图
i
Im
t
T
u Um sin t
U
I
复数符号法
U a jbUej U

10.正弦交流电路的相量表示法

I 2＝ 1590 0 j15(V )
＝100 20 100 2 (V ) U
指数表示法：
复数形式：
I cos jI sin I i i
I (cos j sin ) I i i
j
欧拉公式：
e
cos j sin
j i I Ie
课前提问
1、什么是旋转矢量？为什么提出旋转矢量？ 2、什么是相量和相量图？ 3、复数的四种表示方法是什么？
正弦量的相量表示法
教学任务： • 会画相量图
• 能够用复数的三种形式表示正弦量
回顾正弦交流电路的描述方法：
1. 瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
Im

2. 波形图法：

6

旋转矢量的加法
化简：一个电路中只有一种频率。要素。三要素退化为两个固定位置
B A
C
i
i
正弦量
t
对应
相量图
I m
i
初始相量
相量：电工学中用来表示正弦量大小和相位的矢量。记作 I
相量图表示法：
314t 48)V ，例：已知： u1 (t ) 100sin(
求：
有理数
复数：
a bj I
极坐标表示法：
最大值：有效值：

I I m m i
o
i
I m
i(t ) 2 I sin( t i ) I I i
有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位
优点：方便乘除运算。
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )

正弦交流电路的相量表示法

03
相量表示法的应用
相量与复数的关联
01
相量是复数的一种表示形式，其实部表示电压或电流的有效值，虚部表示其相位角。
02
通过复数运算，可以方便地计算正弦交流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
相量在电路分析中的应用
利用相量图，可以直观地分析正弦交流电路中的电压、电流和阻抗之间的关系。
通过相量法，可以简化正弦交流电路的计算过程，提高计算效率和精度。
02
正弦交流电路的基本概念
正弦交流电的产生
交流发电机
通过机械能转换为交流电，发电机转子旋转产生磁场，定子切割磁力线产生感应电动势，从而产生正弦交流电。
交流调压器
通过改变磁通量或改变匝数来调节输出电压，从而产生正弦交流电。
正弦交流电的特性
01
02
03
周期性
正弦交流电的电压、电流等参数随时间按正弦规律变化，具有周期性。
通过相量图，可以直观地理解电路的相位关系和阻抗的性质。
03
02
简化了正弦交流电路的分析过程，使得计算变得直观和方便。
04
局限性
相量法仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统，相量法不再适用。
05
06
对于多频输入信号，相量法可能无法准确描述信号的频谱特性。
未来研究方向
01
深入研究非线性电路和时变系统的相量表示法，以扩展相量法的应用范围。
VS
电动机的启动和制动
利用相量法，可以研究电动机的启动和制动过程，为电动机的控制提供理论支持。
滤波器问题
滤波器的频率响应
通过相量法，可以分析滤波器的频率响应特性，从而设计出符合要求的滤波器。

浅议用向量法解决正弦交流电路的有关问题

第２７卷总第３２期５２００９年第８期（半月）上
物
理
教
学
探
讨
Ｖ０．７Ｎｏ３２１２．５
ＪｕｎｌｏＰｈｓｃＴｅｃｉｇｏｒａｆｙｉｓａｈｎ
（ｓ）８２０．０９
．３．７
浅议用向量法解决正弦交流电路的有关问题
，
电漉有效值向量为Ｉ＝Ｉ仇。向量图为图３。
２用向量法解决正弦交流电路问题
向量 —— 表示正弦量的复数。
Ｖｏ．７Ｎｏ３２１２．５
物理教学探
讨
第２７卷总第３２期５
：！！：一．：
数的辐角可以表示正弦量的初相位，即一个复数可以表示正弦量三要素中的两个要素。由于在正弦交流电路中，有电压、所电流都是同频率的正
弦波，频率常常是已知的。因而，给定一个角频率
∞ 就可以用复数完全地确定一个正弦量。，为了区别一般复数，代表正弦量的复数上加一点。：在如电压最大值向量，电压有效值Ｄ，电流最大值
众所周知，含有正弦电源的电路即为正弦交
流电路。在正弦交流电路中，电压和电流等都是
按照正弦规律变化的，称为正弦量。统正弦交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物理现象。因此，掌握其解决问题的方法尤
关问题进行了较详细的论述。首先介绍了向量的概念．然后阐述了如何用向量法解决正弦交流电路的问题－以实例说并明了向量法解决正弦交流电路的优越性，最后指出了应用向量法的注意事项。

3.2相量表示法

设相量 A rejψ A 将相顺量时针A 乘旋以转e9-0j9，0 得，到C
例已知正弦电量的瞬时值表达式分别为
，
e 180 2 sin(t 60) V i 10 2 sin(t 30) A
要求（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
（2）画出各正弦量对应相量的相量图。
方法2：用图解法求总电流i
① 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出对应的相量表
达式。

I1

630
A

I 2 8 60 A

② 画出 I1 I 2 ，用矢
量求和法作出电流的相量
图，如图（b）所示。由
相量图确定正弦电流的有
效值和初相位
I 10 A 23.1
③ 写出电流对应的相量表达式
最大值
3.已知：
I 4 e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？？ U 100 ej15 V
负号
3.2.3相量的计算
（1）复数的加减运算设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，
② 用复数符号法求和，得到电流i对应的相量表达式

I I1 I2
(5.196 j3) (4 j6.928)

I 10 23.1A
9.296 j3.928 10 23.1A
③写出电流i的瞬时值表达式。
i 10 2 sin(t 23.1)A
解：（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。

用向量法证明正弦定理

用向量法证明正弦定理正弦定理又称为正弦法则，是指在任意三角形中，三条边的长度之间的关系可以用正弦函数表示。

具体地，如果在三角形 ABC 中，a、b、c 分别表示三条边的长度，A、B、C 分别表示三个角，则其正弦定理可以表述为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$下面我们使用向量法来证明正弦定理。

假设向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 分别表示三条边的方向和长度，则三角形的三个顶点可以用向量表示为：$$\vec{A}=\vec{0}$$$$\vec{B}=\vec{a}$$$$\vec{C}=\vec{a}+\vec{b}$$根据三角形余弦定理可得：$$\cosA=\frac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|}=\frac {(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}|\cdot|\vec {a}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{ a}+\vec{b}|\cdot|\vec{a}|}$$移项得：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos A-|\vec{a}|^2$$同理，可以得到：$$\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\cos B-|\vec{b}|^2$$$$\vec{c}\cdot\vec{a}=|\vec{c}|\cdot|\vec{a}|\cdot\cos C-|\vec{a}+\vec{b}|^2$$将三个式子分别代入正弦定理中：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$得到：$$\frac{|\vec{a}|}{\sin A}=\frac{|\vec{b}|}{\sinB}=\frac{|\vec{c}|}{\sin C}$$由于 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 可以任意选取方向，因此可以将它们都转化为长度相等的单位向量。

电工基础3、3正弦量的相量表示法

1、复数的几种表示方法
复数的代数表达式为： A=a+jb
复数的三角形式为： A=rcos θ +jrsin θ
复数的极坐标形式为： A=r θ
复数的指数形式为: A=re j θ
2、加减运算
•A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)
3、乘除运算
A·B=r1r2 θ1+θ2
A r1 1 2
A
数A的幅角； A在实轴上的投影a是它的实部； b
r

A在虚轴上的投影b称为其虚部。 0 a
＋1
复数A的代数表达式为：A=a+jb 由图又可得出复数A的模r和幅角θ分别为：
r a2 b2 极坐标形式： A=r θ
arctan b
a
＋j
br

0 a
A 由图还可得出复数A与模 a r cos
Z1Z2 3 00 ×3 -900 = 9 -900
Z1 Z2
3-j3
3 2 -450
= 2.12 -450
1. 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、 A-B、A×B、A÷B。
2. 已知复数A=30 30°，B=40 60°。试求A+B、A-B、A×B、A÷B。
A+B=（4+6）+j（5-2）=10+j3≈10.4 16.70
3.3.1
1、复数的图形表示
1）复数用点表示
A1=1+j A2=-3 A3=-3-j2 A4=3-j
复数及其运算规律
+j
3
2
A2
1
A1
-3 -2 -1 0 1 2 3 +1

正弦量的基本特征及相量表示法KCLCVL及元件伏安关系的-精选文档

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3.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度
初相：t=0时的相位相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如
u U sin( t ) m u
相位差为：
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i I sin( t ) m i
代数型
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三角函数型
指数型
极坐标型
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复数的四则运算： a ja a 设两复数为： A 1 2 1
B b jb b 1 2 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B 。 (2)加减运算： A B ( a b ) j ( a b ) 1 1 2 2
根据有效值的定义有： I
2 T2 RT 0i Rdt
周期电流的有效值为： I
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1 T 2 0 i dt T
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对于正弦电流，因
i ( t ) I sin t ( ) m i
所以正弦电流的有效值为：
I

3.1 正弦量的基本概念及其相量表
示法
Biblioteka 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振
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3.1 正弦量的基本概念及其相量表示法
第3章正弦交流电路学习要点

(正弦交流电的基本概念及相量表示法)

（t ）：正弦波的相位角或相位
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t
说明：给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差(初相差)
i1 i2
t
1
2
i1 Im1 sin t 1 i2 Im2 sin t 2 t t 1 21
复数
瞬时值
正误判断
已知： i 10 sin( t 45 )
？ I 10 45 2
j45
有效值
？ Im 10 e45
正误判断
已知： u 2 10 sin ( t 15 )
则：
U 10 ？
15
？ U 10 e j15
正误判断
已知： I 100 50
则： i 100 sin ( t 50 )？
1000 rad/s f 1000 159 Hz
2 2
初相位： 30
二、正弦波的相量表示方法
正弦波的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i sin1000 t 30
相量
重点
必须小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
概念：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有
向线段在纵轴上的投影值来表示。
i
波形图
Im t
T
瞬时值相量图
u Um sin t
U
I
复数符号法
U a jb U e j U
提示计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1)
U 3 j4 u 5 2 sin( t 53 1)

电路3-2正弦量的向量表示法

u的相量为
U U1 U 2 4 j 4 3 3 3 j3 9.2 j3.9 1023.10 V

所以
u 10 2 sin(t 23.10 )V
电
路
3．2 正弦量的相量表示法
一、相量的概念 I 只反映正弦量的两个要素，而隐含着第三个要素的一个旋转矢量叫做相量。用大写字母上方加一个点来表示。如表示电流的有效值相量。而 U 和 U 则表示电压的有效值相量和最大值相量。

m
电
路
对正弦量
u=Umsin(ωt+Ψ)
最大值相量
对应的相量为

电
路
例3.2.3 u1= 8sin（ωt+60°）V ， u2= 6sin （ωt-30°）V ，试用相量法求电压u=u1+u2 。解：u1的相量为
U1 8600 8cos 600 j8sin 600 4 j4 3 V
u2的相量为

U 2 6 300 6cos(300 ) j 6sin(300 ) 3 3 j3 V
U m U m
U U

电
路
如果
I m 10300
i=10sin(ωt+30°)

则它表示的正弦量为
二、相量图为了计算的方便，经常用图形来表示相量，只有同频率的正弦量其相量才能画在同一复平面上，画在同一复平面上的表示相量的图称为相量图。。
电
下图就是的相量图
路
I m 1030

正弦交流电的表示方法

解：工频电的角频率：314
电压瞬时值表达式为：u2202sin(314t60) 电流瞬时值表达式为：i222sin(314t30) 相位差为：60(30)90
所以电压超前电流 9 0 ，二者相位关系为正交。
例：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为1000 Hz的正弦电流其相量形msint I m I m 0 0 电阻的电压
则 u R R m isI i t U n m si tn与电流瞬时值
最大值、有效值 UmRIm 或
Um

U

U
R
m
Im I

U
m
0 0 、有效值、最
大值都满足欧姆定律。
2. 电压电流的相位关系
1.电压、电流关系
uC
瞬时值设：uUms iω nt
则 i C du U 最m i大值C Im ω 、CU 1有ωm 效c 值Im ω o XtC dt I s m s X容C抗ω i(t n 1C)9 ) (电最姆0 电流大定容有值律的效满形电值足式压、欧。与
正弦交流电路的表示方法有瞬时值表示法和相量表示法。
2.1.1 正弦交流电的瞬时值表示法
正弦量：正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。
规定电流参考方向如图
i
iR
a
b
i Im si n t ( i)
+
0
i
t
振幅
角频率
正半周：初相角电流实际方向与参考方向相同
正弦量的三要素
负半周：
我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
二、瞬时值、幅值、有效值
描述正弦量数值大小的参数：

正弦交流电路的向量表示法

解 A1的模 r1 42 (3)2 5
辐角
1
arctan
3 4
36.9
（在第四象限）
则A1的极坐标形式为 A1=5 -36.9°
A2的模 r2 (3)2 42 5
辐角
2
arctan 4 3
126.9
(在第二象限)
则A2的极坐标形式为 A2 5/126.9
例
写出复数A=100 30°的三角形式和代数形式。解：三角形式A=100（cos30°+jsin30°
＋1
图4.9 复数相加减矢量图
复数及四则运算（四）
(2) 复数的乘除法
A B r1 1 r2 2 r1 r2 1 2
A r1 1 r1 B r2 2 r2
1 2
例
求复数A=8+j6 , B=6-j8之和A+B及积 A·B。
解： A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2 A·B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9°·10
思考题（一）
1、写出下列各正弦量对应的向量，并绘出向量图。
(1) u1 220 2 sin(t 100 )V
(2) u2 110 2 sin(t 240 )V (3) i1 10 2 cos(t 30 ) A (4) i2 14.14sin(t 90 ) A
思考题（二）
2、写出下列向量对应的解析式（f=50Hz)。
代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50
复数及四则运算（三）
3. 复数的四则运算
＋j A1＋A2
(1) 复数的加减法
A1 a1 jb1 r1 1 A2 a2 jb2 r2 2

正弦交流电的表示法

绘制相量图时，需要确定原点、幅值和角度（相位），将正弦交流电的瞬时值与极坐标系中的点对应起来。
相量表示法的应用
相量表示法在交流电路分析中具有广泛应用，可以用于计算阻抗、感抗和容抗等参数，简化正弦交流电路的分析过程。
通过相量图，可以直观地分析正弦交流电在电路中的相位关系，有助于理解交流电路的工作原理。
相量表示法的定义
相量表示法是一种用于描述正弦交流电的方法，通过将正弦交流电的幅度和相位用复数（相量）表示，可以简化电路分析和计算。
相量表示法中，正弦交流电的三要素（幅值、频率和相位）被整合到一个复数中，使得正弦波的数学描述更加简洁明了。
相量图及其绘制方法
相量图是一种用于表示正弦交流电相量关系的图形，通过在复平面（极坐标系）上绘制相量，可以直观地展示各正弦波之间的相位关系。
极坐标表示法
极坐标表示法是一种通过极角和极幅来表示正弦交流电的方法。
在极坐标系中，正弦交流电的电压和电流可以表示为：$e = E(cosalphacosbeta + sinalphasinbeta)$，其中$E$是幅值，$alpha$是初相角，$beta$是相位角。
极坐标表示法可以直观地展示出正弦交流电的幅值和相位信息，方便理解和计算。
相量表示法还可以用于交流电路的稳定性分析，预测系统的动态响应和稳定性。
04
正弦交流电的功率和能量
有功功率和无功功率
有功功率
表示实际消耗的功率，用于转换和利用能量，单位是瓦特（W）。
无功功率
表示与实际消耗无关的功率，用于维持磁场和电场，单位是乏（var）。
视在功率和功率因数
视在功率
表示电源提供的总功率，是有功功率和无功功率的矢量和，单位是伏安（VA）。

电工电子技术正弦交流电路

复数的四种形式
(1)复数的代数形式 (2) 复数的三角形式 (3) 复数的指数形式 (4) 复数的极坐标形式
A a jb
A r cos jrsin
A re j
A r
复数的运算法则
设有两个复数分别为：A a a a1 ja2
B b b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时运算公式如下：
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正弦量之间的加、减运算及其电路分析。举例如下：
已知u1 2U1 sin t 1 ，u2 2U2 sin t 2 ，求u u1 u2。
利用相量图辅助分析，根据平行四边形法则，由相
U 量图可以清楚地看出：根据直角三角
U2
U1sinψ1+U2sinψ2 形的勾股弦定理：
A B (a1 b1) j(a2 b2 )
A B (a1 b1) j(a2 b2 )
A • B ab a b
A B
a b
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
三角函数运算由几何分析运算所替代，化复杂为简单！
如何把代数形式变换成极坐标形式？
极坐标形式又如何化为代数形式？
相量等于正弦量的说法对吗？正弦量的解析式和相量式之间能用等号吗？
利用几何图形关系，如 6 j8 62 82 arctan8 1053.1
6
利用三角函数关系，如 1053.1 10 cos53.1 j10 sin 53.1

《电路》第八章_向量法

I m I m Ψ I m e

jwt
)]
２.
正弦波与旋转相量:

jy
旋转相量

Im e
+1
jw t
i Re[I m e
jt
]
ω
Im
O
t1 t2 t1 t2
+j
O
T
t
正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。
三. 相量的运算
1. 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) u2 ( t ) 2 U 1 cos(w t Ψ 1 ) Re( 2 U 1 e
O
+1
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
2、减法用代数形式进行，设 F a jb 1 1 1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义
+j
F1 F2
F2
§8-2 正弦量
一. 正弦量 1、振幅Im
i(t)=Imcos(w t+y i)
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 2、角频率ω i T 相位变化的速度，反映正弦量 Im 变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2
O
T
2
wt
频率f ：赫兹（Hz） yi 周期T：秒（s）如：f =50Hz, T = 0.02s，ω =314 rad/s
2
3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，正弦量复数
实际是变换的思想

正弦量的相量表示法

4－１正弦交流电路的分析方法一、用向量表示正弦量表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。

一、正弦量的旋转矢量表示1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量，称为相量。

如：•m I 、•m U 、•m E 。

有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。

如：•I 、•U 、•E 。

2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。

二、同频率正弦量的加、减确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。

１、相量作图法的步骤：先用出相量1•I 和2•I ，而后以1•I 和2•I 为邻边作一平行四边形，其对角线即为合成电流i 的相量•I 。

•I 的长度为有效值，•I 与横轴正方向的夹角即为初相ψ。

２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。

例如： •••••-+=-=)(2121I I I I I３、三角形法求矢量加、减两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。

两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。

多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。

三、相量的复数表示式把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。

jb a I +=•其中，a----实部，b----虚部ψψsin ,cos I b I a ==则：()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=•，式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角a b tg b a I =+=ψ,22复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：ψψ∠==•I Ie I j复数和正弦量之间也是一一对应的关系，表示正弦量的复数称为相量表示式，也简称相量，以后述及相量，若进行运算指复数运算，若作图指位置在初始时间的相量图。