正弦交流电路的相量图求解

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大学物理学第2章正弦交流电路_02

解法2: 利用相量图分析求解
设 U AB为参考相量,
I1 10A
I2 100 5 5
2 2
j10Ω
I
I1
A
A
I 1 超前 U AB 90
10 2A,
I2
C1
B
5Ω j5Ω
V
画相量图如下：
I 2滞后UAB 45°
由相量图可求得： I =10 A
UL= I XL =100V U L超前I 90°
I1 Z2 j400 I 0.5 33 A Z1 Z 2 100 j200 j400
0.89 - 59.6 A
同理：
I
I2
Z1 I Z1 Z 2
100 j200 0.5 33 A 100 j200 j400 0.5 93.8 A
UL
I1 100 10
U
由相量图可求得： V =141V
45° I 45°
I2
U AB
10 2
2.5 正弦稳态电路的功率
2.5.1 功率
一、瞬时功率
I +
i = Im sinωt U u = Umsin (ωt + ) － p = u i = UmImsin(ωt + ) sinωt = U I cos + U I cos ( 2ωt + )
S =√P2 + Q2 = 190 V· A
例2 如图所示是测量电感线圈参数R和L的实验电路，已知电压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表的读数为30W，电源的频率f=50Hz。试求R和L的值。 ﹡ I 解：根据图中3个仪表的读数, A W ﹡ + 可先求得线圈的阻抗电 R 感 Z | Z | R jL V U 线圈 L U | Z | 50 I 功率表读数表示线圈吸收的有功功率，故有 P UI cos 30W 30 arctan( ) 53.130 UI 从而求得

10.正弦交流电路的相量表示法

I 2＝ 1590 0 j15(V )
＝100 20 100 2 (V ) U
指数表示法：
复数形式：
I cos jI sin I i i
I (cos j sin ) I i i
j
欧拉公式：
e
cos j sin
j i I Ie
课前提问
1、什么是旋转矢量？为什么提出旋转矢量？ 2、什么是相量和相量图？ 3、复数的四种表示方法是什么？
正弦量的相量表示法
教学任务： • 会画相量图
• 能够用复数的三种形式表示正弦量
回顾正弦交流电路的描述方法：
1. 瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
Im

2. 波形图法：

6

旋转矢量的加法
化简：一个电路中只有一种频率。要素。三要素退化为两个固定位置
B A
C
i
i
正弦量
t
对应
相量图
I m
i
初始相量
相量：电工学中用来表示正弦量大小和相位的矢量。记作 I
相量图表示法：
314t 48)V ，例：已知： u1 (t ) 100sin(
求：
有理数
复数：
a bj I
极坐标表示法：
最大值：有效值：

I I m m i
o
i
I m
i(t ) 2 I sin( t i ) I I i
有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位
优点：方便乘除运算。
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )

正弦稳态交流电路相量的研究（单相交流电路实验）[详细讲解]

正弦稳态交流电路相量的研究（单相交流电路实验）一、实验目的1.研究正弦稳态交流电路中电压、电流相量之间的关系2.掌握日光灯线路的接线。

3.理解改善电路功率因数的意义并掌握其方法。

二、原理说明1.在单相正弦交流电路中,用交流电流表则得各支中的电流值,用交流电压表测得回路各元件两端的电压值,它们之间的关系满足相量形式的基尔霍夫定律,即i =∑0 和U =∑2.如图13-1 所示的RC 串联电路,在正弦稳态信号 U 的激励下,R U 与 U C 保持有90°的相位差,即当阻值Ｒ改变时, U R 的相量轨迹是一个半圆, U 、 U C 与 U R三者形成一个直角形的电压三角形。

Ｒ值改变时,可改变φ角的大小,从而达到移相的目的。

图 13-13.日光灯线路如图13-2 所示,图中Ａ是日光灯管,Ｌ是镇流器,Ｓ是启辉器,Ｃ是补偿电容器,用以改善电路的功率因数（cos φ值）。

图 13-2有关日光灯的工作原理请自行翻阅有关资料。

三、实验设备四、实验内容(1)用两只15W /220V的白炽灯泡和4.7µf/450V电容器组成加图13-1所示的实验电路,经指导老师检查后，接通市电220V电源，将自藕调压器输出调至220V。

记录U、U R、U C 值,验证电压三角形关系。

(2)日光灯线路接线与测量图13-3按图13-3组成线路,经指导教师检查后按下闭合按钮开关,调节自耦调压器的输出,使其输出电压缓慢增大,直到日光灯刚启辉点亮为止,记下三表的指示值。

然后将电压调至220Ｖ,,,等值,验证电压、电流相量关系。

测量功率Ｐ,电流Ｉ,电压U UUL A(3)并联电路——电路功率因数的改善按图13-4组成实验线路图13-4经指导老师检查后,按下绿色按钮开关调节自耦调压器的输出调至220V,记录功率表,电压表读数,通过一只电流表和三个电流取样插座分别测得三条支路的电流,改变电容值,进行三次重复测量。

五、实验注意事项1.本实验用交流市电220V，务必注意用电和人身安全。

正弦交流电路的相量表示法

220
23
3
220 [cos( ) j sin( )] (110 j 190 .5)V
3
3
I
100 / 6
/3
220
U
u 正弦量
对应
相量图 U
t

例4
已知： u1(t) 100sin(314t 48)V ，
u2 (t) 50sin(314t 45)V
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴

2、相量式的书写方式：
模用最大值表示，则用符号：Um 、Im、E. m 模用有效值表示，则用符号： U 、I、E.
3注.3 意正弦：量在的实相量际表应示用法中，模更多采用有效值表示
U I
注意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量 u Umsin(ωt ψ)
相量表示:
U Uejψ Uψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
或
Um Umejψ Umψ
相量的模=正弦量的最大值相量辐角=正弦量的初相角
U• 220 45？
4 2 sin (ω t 30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
4.已知：
U m 220 ？ e45
U 100 15V
2.已知：I 1060A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
U 100V ？负号？ U 100 ej15 V
+j
b
A

正弦交流电的相量表示法(2)

电工基础
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r

0
1
r a 2 b2

复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1

正弦电路的相量分析法

jX
一般地，无源线性支路既有电阻元件，又有电抗元件。
X
例题电路工作在正弦稳态下，求R、L、C串联电路的阻抗。
解： U U R UC U L
U RI jLI 1 I
U I
R
j(
L
1
C
)
j C
U I
u
i
U I
ui
U
I
R U R
C
L
U
C
U L
所以电路的等效阻抗为
Z
U I
R2 (L 1 C
+j
ICm
U Cm
90 u
O
+1
相量图
X
电容单容位抗元：：欧X件C姆伏(1C安) 关系的相量 UU模CCm型j1jC1CICICm
容抗表现电容的阻抗特性，体现了电容对其引线上通过的正弦交流电流有阻碍作用。容抗具有频率特性，即容抗大小与电容元件的工
作频率有关：
, XC ; , XC ; 0 直流信号，电容开路；“隔直流通交流” 电容相当于一条短路线。
导纳表示的模型。
U abm
j1 U sm 0.5 j0.5
j1
uS
I1m j1 (U sm U abm )
i1 (t ) 2F 2
I1m
i(t)
1F ri1(t) u(t)
I1m a
U OCm I1m U abm 2120V
j(U sm U abm ) jU sm (1 j)
UjUabsmm 0.5 j1.5
b
X
解（续）
Im
U sm Z
400 2.536.9
Im 1.5 a 1
ILm

15、正弦交流电的相量表示法cos

思考：
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式时数： 2 学时要求：会用相量图和复数表示正弦交流电，并能运用相量进行两个正弦量的四则运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫定律相量形式及欧姆定律相量形式的内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相量图法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5

正弦交流电路中的R、L、C特性

T0
P UI
1
T
UI(1 cos2 t)dt UI
T0
3-4.2 电感元件的交流电路
基本关系式： u L di dt
i uL
设 i 2 I sin t
则 u L di 2 I L cost
dt
2 I L sin(t 90 )
2 U sin(t 90 )
电感电路中电流、电压的关系
复数形式的欧姆定律
U IR U I( j X L) U I( j XC )
电阻电路
电感电路
电容电路
3.简单正弦交流电路的关系(以R-L电路为例）
* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏
定律。
i
u
R
uR
u uR uL iR L di
L uL
dt
* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏
T0
3. 无功功率 Q
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
p UI sin 2t
Q UI
（电容性无功取负值）
例求电容电路中的电流
i
u
C
已知： C ＝1μF
u 70.7 2sin(314 t )
求：I 、i
6
解：X C
1
C
1 314106
3180
电流有效值 I U 70.7 22 . 2 mA X C 3180
p i u 2UI sin t cost UI sin 2t
i uL
p i u UI sin 2t
u
i
t
i
i
i
i
u uuu
p
可逆的能量转换
过程
+
P <0

正弦稳态交流电路相量的研究实验报告

一、实验目的1．研究正弦稳态交流电路中电压、电流相量之间的关系。

2. 掌握日光灯线路的接线。

3. 理解改善电路功率因数的意义并掌握其方法。

二、原理说明 1. 在单相正弦交流电路中，用交流电流表测得各支路的电流值，用交流电压表测得回路各元件两端的电压值，它们之间的关系满足相量形式的基尔霍夫定律，即。

图4-1 RC 串联电路2. 图4-1所示的RC 串联电路，在正弦稳态信号U 的激励下，U R 与U C 保持有90º的相位差，即当 R 阻值改变时，U R 的相量轨迹是一个半园。

U 、U C 与 U R 三者形成一个直角形的电压三角形，如图4-2所示。

R 值改变时，可改变φ角的大小，从而达到移相的目的。

3. 日光灯线路如图4-3所示，图中 A 是日光灯管，L 是镇流器， S 是启辉器，C 是补偿电容器，用以改善电路的功率因数（cos φ值）。

有关日光灯的工作原理请自行翻阅有关资料。

图4-3 日光灯线路序号名称数量备注1 电源控制屏（调压器、日光灯管） 1 DG01或GDS-012 交流电压表 1 D36或GDS-113 交流电流表 1 D35或GDS-124 三相负载 1 DG08或GDS-06B5 荧光灯、可变电容 1 DG09或GDS-096 起辉器、镇流器、电容、电门插座DG09或GDS-097 功率表 1 D34或GDS-13220VL S A CRjXcUcU R IU RU U cI φֹ四、实验内容1. 按图4-1接线。

R为220V、15W的白炽灯泡，电容器为4.7μF/450V。

经指导教师检查后，接通实验台电源，将自耦调压器输出(即U)调至220V。

记录U、U R、U C值，验证电压三角形关系。

2. 日光灯线路接线与测量。

图4-4（1）按图4-4接线。

（2）经指导教师检查后接通实验台电源，调节自耦调压器的输出，使其输出电压缓慢增大，直到日光灯刚刚启辉点亮为止，记下三表的指示值。

电路原理正弦稳态电路的计算

j10Ω I
A
A
I1
I2 C1
B
5Ω j5Ω V
分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数
求总电流和电压解题方法有两种： (1) 用相量(复数)计算
(2) 利用相量图分析求解
15
j10Ω I
A
I1
A I2 C1
B
5Ω j5Ω V
已知：I1= 10A、 UAB =100V，
求：A、V 的读数
解法1: 用相量计算
•
US 1
+
•
U s1 -
j
X
L
I2
I3
R
•
US
2
- I1 I2 I3 0
- j2I1 5I3 100
j5I2 5I3 j100
R
•
I3
②
3.6.2图(b)
•
I2 +
•
U s2 -
8
(2)回路电流法
•
I
1
jX C
jX L
+
•
•
U s1
Ia
-
•
Ib
R
•
I3
R - j X C
Ia
RIb
IC2 UC1
IR2 UR1 1
U2C 2 I1 C 1
U2 R2
I1 R1
•
I1
R1
C1
•
IC2
U + +
•
U1
•
-
3
R2
C2
•
+ •
U2
-
I R2
-
3.6.4例5图(a)
•

正弦交流电路_单一参数的正弦交流电路

电压超前于电流90°
iL
+
uL
L
−
u 波形图0
i
U•
相
t
量图
I• 0°
第二章正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）大小关系
uL L Im sin( t 90 ) U m sin( t 90 )
最大值： U m L I m 有效值： U ω L I
定义： X L L ——感抗
第二章正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I 0 U U 9 0 X L I 90 0 X L 90 I 0 jX L I
U jX L I j L I
u
i
0
t
第二章正弦交流电路
2.功率（1）瞬时功率
p ui
U m I m s in t s in t 90
（能量的吞吐）。
0
t
p
第二章正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率为了同电感的无功功率相
p u i UI sin 2t
比较，设电流 i I m s in t
u
i
为参考量，则： u U m sin( t 90 )
p uHale Waihona Puke U I sin 2 t0
t
储放储放储放能能能能能能
p
0
t
u
i
第二章正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
2. 功率
平均功率（有功功率） P 1 T pdt U I I 2 R U 2
T0
R
平均功率衡量电路中所消耗的电能，也称有功功率。

第五节正弦交流电路的相量图求解

根据相量图计算：
I I 2 I 12 202 102 17032A UR2 R 2 I 2 5 20 100 V UR2 UR2 100 UC 115.47 cos 2 I I 2 17.32 20 UX 2 U 2 C U 2 R2 115.472 1002 57.74V UC 115.47 XC 11.55 I1 10 UX 2 57.74 X2 2.89 I2 20 UR U UC 220 115.47 104.53V
U U U R C
因此得到直角三角形ＯＡＢ，所以
2 2 U UR UC 82 112 13.60V
电压表读数为 13.60V ．
得此题的相量图也可按比例画出，用尺子量 U 的长度即为电压表读数．
U0V，（b）此电路图为ＲＬ并联电路，设电压 U I 90 且由ＫＣＬ得 I 考虑到 R 和 U 同相， L 滞后 U
U U U U R L C
U LU 可定性画出相量图如图4－36，当时为图 C 超前，即 0 4－36（a）所示，这时 U 的相位为的电路为感性电路；当 U LU C 时 I 0 ，为电阻性电路如图4－36（b）所示； U LU C 时， 0 ，为电容电路，如图4－36（c）所示.
I R X 2 及 XC 。求：
2200 同相，设 U 分析：由题中给出的条件 I 与U
为参考相量画相量图。
同相，且 C U U R 由相量图 R 与 U U 根据题意可知 I U
C 。在电容元件上 I1 超前U 2 I I ， C 90 ，且 I 可求得 U
1
1 及 I R 与 I 2 相同， 2 。在 R 2 上U 从而画出 I R 和 U X U C U R ，可画出 U X 。又U

正弦交流电表示法

正弦交流电的表示法2.1.2 正弦量的相量表示法如前所述，一个正弦量由幅值、角频率和初相位三个要素确定，而正弦量的这些特征，可以用正弦波和三角函数表示出来。

除此之外，还可以用相量表示，复数是相量的基础。

（1）复数如图2-6所示，一复数A，a1为其实部，a2为其虚部，a为其长度，则复数A可用四种形式来表示：图2-6 复平面上表示复数A①代数式A=a1+j a2（2-8）为虚单位。

②三角函数式令复数A的模|A|=a，φ角是复数A的辐角，有A=｜A｜（cosφ+jsinφ）=a（cosφ+jsinφ）（2-9）式中，，，③指数式根据欧拉公式e jφ=cosφ+jsinφA=a e jφ（2-10）④极坐标式极坐标式是复数指数式的简写，这四种复数的表示形式，可以相互转换。

复数的指数形式（或极坐标形式）与复数的三角函数式之间可以通过欧拉公式进行转换，指数形式（或极坐标形式）要变换成代数式可以通过欧拉公式进行转换；代数式变换成指数形式（或极坐标形式）可以通过式（2-9）进行转换。

（2）正弦量的相量表示用复数来表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法，即用复数的模来表示正弦量的幅值（最大值或有效值），用复数的辐角来表示正弦量的初相位。

只有同频率的正弦量用相量进行分析计算才有意义，它使得正弦交流电路的分析和计算变得更为简单。

在线性正弦交流电路中，各部分的电流和电压都是同频率的正弦量。

因为频率不变，所以可以用相量来表示正弦量。

正弦量的相量形式是用大写字母上面加小圆点表示。

例如，“”“”“”等。

同理，可自行写出和相量。

相量、、称为有效值相量，、、称为最大值相量或幅值相量。

相量在复平面上的几何图形叫做相量图，如图2-7所示。

图2-7 正弦量的相量图同频率的正弦量，由于它们之间相位的相对位置不变，即相位差不变，因此可以将它们的相量画在同一个坐标上。

不同频率的正弦量，用相量表示时，不能画在同一相量图上。

（3）相量运算相量的运算规则符合复数运算中的交换律、结合律和分配律等。

电工基础正弦交流电路的相量分析法5.5 相量分析法

３.ＫＣＬ和ＫＶＬ的相量形式注意：第１点是相量图是否存在的主要依据，
第２、３点是如何正确画出相量图的主要依据．
二.用相量图法求解电路
１.参考相量的选择（１）对于串联电路，选电流为参考相量（２）对于并联电路，选电压为参考相量（３）对于混联电路，参考相量选择比较灵活，可根
据已知条件综合考虑（４）较复杂的混联电路，常选末端电压或电流为参考相量．
(b)设： U U0V，先画出参考相量 U ，依据
Ｒ、Ｌ、Ｃ各元件电压电流相位关系，依次画出
可I分R 别、I定L 性、I画C 出相如量图，4由-36IL(a)I
C,IL
、(b)
IC及IL IC 三种情况、(c)所示相量
图，最后电路ＫＣＬ方程 I IR IL IC
I IR IL
画出相量图如图4－35(b)所示．由直角三角形
ＯＡＢ可得
IL
I2

I
2 R

52 32 4A
电流表读数为４Ａ．
此题也可按比例用几何方法画出相量图，然后用量尺
测出 IL 的长度值即为电流表读数．
例 4-14 定性画出ＲＬＣ串联电路和ＲＬＣ并联电路的相量图，它们的电路相量图模型如图4-36(a)和图
根据题意可知 I UR 与 U 同相，且UC U UR 由相量图
可求得 UC 。在电容元件上 I1 超前UC90，且 I2 I I1 ，
从而画出 I1 及 I2 。在 R2 上UR2与 I2 相同，
又 UX 2 UC UR2 ，可画出 UR2 和 UX 2 。
cos 2 I I 2 17.32 20
UX 2
U
2 C
U
2 R2

正弦稳态交流电路相量实验报告

正弦稳态交流电路相量实验报告正弦稳态交流电路相量实验报告导言：在电路实验中，正弦稳态交流电路是一种常见且重要的电路。

它由电源、电阻、电感和电容等元件组成，能够实现电能的传输和转换。

本实验旨在通过实际操作，探究正弦稳态交流电路中的相量特性，并分析其对电路性能的影响。

实验目的：1. 了解正弦稳态交流电路的基本原理和特性；2. 学习如何使用相量法分析电路；3. 掌握相量法在电路分析中的应用。

实验仪器和材料：1. 交流电源2. 电阻、电感、电容等元件3. 示波器4. 万用表实验步骤：1. 搭建正弦稳态交流电路，包括电源、电阻、电感和电容等元件。

确保电路连接正确，并注意安全。

2. 使用示波器测量电路中的电压和电流波形，并记录数据。

3. 利用万用表测量电路中的电压和电流值，并记录数据。

4. 根据测量数据，计算电路中的功率、电阻、电感和电容等参数。

5. 使用相量法分析电路，绘制电压和电流的相量图，并进行相量运算。

6. 分析实验结果，探讨电路中各元件对电路性能的影响。

实验结果与分析：通过实验测量和计算，得到了电路中的电压、电流、功率等参数。

利用相量法分析电路，绘制了电压和电流的相量图，并进行了相量运算。

通过对实验结果的分析，可以得出以下结论：1. 电阻对电路的电压和电流波形没有相位差，且大小与电流成正比。

2. 电感对电路的电压和电流波形存在90度的相位差，且电压超前电流90度。

3. 电容对电路的电压和电流波形存在90度的相位差，且电流超前电压90度。

4. 电路中的功率是电压和电流的乘积，且功率因数是功率与视在功率的比值。

结论：通过本次实验，我们深入了解了正弦稳态交流电路的相量特性，并学会了使用相量法分析电路。

实验结果表明，电路中的电阻、电感和电容等元件对电路的电压、电流和功率等参数有着不同的影响。

掌握了这些特性和方法，我们能够更好地设计和优化电路，提高电路的性能和效率。

展望：正弦稳态交流电路是电路学习中的重要内容，本实验只是对其进行了初步的探究。