2.1正弦交流电及其相量表示(精)
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简述正弦交流电的三种表示方法
简述正弦交流电的三种表示方法1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式编写:引言部分是文章的开篇，目的是为读者提供对后续内容的整体了解。
在这篇文章中，我们将讨论正弦交流电的三种表示方法。
正弦交流电是工程技术领域中常见的电信号类型之一，广泛应用于电力系统、电子电路和通信系统等领域。
正弦交流电具有周期性的特点，可以表示为周期性变化的信号。
对于正弦交流电的表示方法，研究者们提出了多种不同的方式。
本文将详细介绍其中的三种主要表示方法，分别是：1. 直角坐标系表示法：通过在直角坐标系中绘制电压或电流随时间的变化曲线，来表示正弦交流电的变化规律。
这种方法直观且易于理解，可以清晰展示电压或电流的振幅、频率和相位等重要参数。
2. 极坐标系表示法：将正弦交流电视为一个旋转的向量，通过描述其振幅和相位差来表示。
极坐标系表示法适用于描述相位关系的问题，对于分析电路中的相位差和频率变化等现象非常有用。
3. 复数表示法：利用复数的实部和虚部，将正弦交流电转化为复数形式进行表示。
这种表示方法在电路分析和计算中非常高效，可以通过简单的复数运算得到电流和电压的各种参数，极大地简化了电路分析的过程。
本文将分别对上述三种表示方法进行详细阐述，分析其优缺点以及适用场景，旨在让读者全面了解正弦交流电的不同表示方法，并为进一步深入研究和应用提供参考。
接下来，我们将介绍文章的结构以及各个章节的具体内容。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构是指整篇文章内容的组织和安排方式，它包括了引言、正文和结论三个主要部分。
通过清晰的文章结构，读者可以更好地理解文章的内容，把握文章的逻辑关系和主旨。
引言部分为文章提供了一个引人注目的开篇，引发读者的兴趣，并对正文的内容进行简单概述。
在这个部分，我们将对正弦交流电的三种表示方法进行简要的介绍。
正文部分是文章的重点，用来详细阐述正弦交流电的三种表示方法。
在正文中，我们将分别介绍第一种、第二种和第三种表示方法，详细讲解它们的原理、特点和应用场景。
第六讲 正弦交流电的基本概念及
I= √2
Im
U= √2
Um
E=
返回
Em
√2
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Байду номын сангаас
2.1.(1) 分析计算正弦交流电时是否也与直流电一样 是从研究它们的大小和方向着手？ 【答】不是，应从研究它们的频率、大小和相位着手。
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例2-2 已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率及周期T。 解：角频率为 =2f=2×50=100 =314rad/s
【答】（a）式中 ( a ) i
10 30
10 sin( t 30 ) A 是瞬时表达式，
是相量表达式，二者不等；（b）式中I为有效值， 5 45 A U 20 60 V 是相量，二者不等；（c）式中 是相量表达式， 是瞬时值表达式，二者不等。 )V 20 2 sin( t 60
2.2 正弦量的相量表示法
一、相量法
正弦交流电动势 e E m sin( t ) 的相量式为：
E E (cos j sin ) E
说明： （1）相量是表示正弦量的一种方式，相量不是时间 函数。
（2）相量是正弦量的复数表示形式，但不是正弦量。
（3）相量的加减只能是同频率正弦量的相加或相减
相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。
i = 100 sin（314 t +30O）A u = 311sin（314 t－60O）V
= u － i = －60O －30O = －90O
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交流电相位差分析
e1 = Em1sin（ ωt + 1 ） e2= Em2sin（ ωt + 2）
电工第2章 正弦交流电路
函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
正弦交流电的相量图表示法
HOME
u= u1 +u2 = 2U sin t
U2 U
t 2 u2 2U2 sin
t 1 u1 2U1 sin
同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
HOME
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 3. 一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆
时针转动的角度为正，反之为负。
4. 用相量表示正弦交流电后，它们的加减运算可按 平行四边形法则进行。
HOME
小结：正弦波的四种表示法
i
波形图
Im
T
t
瞬时值
u U sin t m
U
相量图
I
j
复数
符号法
U a jb U e U
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0
x
A=r/
r a b a r cos 变换关系为： b 或： arctg brs in a
2 2
5.2
正弦交流电的相量图表示法
在纵轴上的投影值来表示。
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
u U sin t m
52正弦交流电的相量图表示法矢量长度mu?矢量与横轴夹角初相位矢量以角速度按逆时针方向旋转??????tuumsin??mut?home?有效值1
5.2
正弦交流电的相量图表示法
正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三 要素表示出来。 • 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
u= u1 +u2 = 2U sin t
U2 U
t 2 u2 2U2 sin
t 1 u1 2U1 sin
同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
HOME
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 3. 一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆
时针转动的角度为正，反之为负。
4. 用相量表示正弦交流电后，它们的加减运算可按 平行四边形法则进行。
HOME
小结：正弦波的四种表示法
i
波形图
Im
T
t
瞬时值
u U sin t m
U
相量图
I
j
复数
符号法
U a jb U e U
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0
x
A=r/
r a b a r cos 变换关系为： b 或： arctg brs in a
2 2
5.2
正弦交流电的相量图表示法
在纵轴上的投影值来表示。
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
u U sin t m
52正弦交流电的相量图表示法矢量长度mu?矢量与横轴夹角初相位矢量以角速度按逆时针方向旋转??????tuumsin??mut?home?有效值1
5.2
正弦交流电的相量图表示法
正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三 要素表示出来。 • 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
正弦交流电的表示方法
我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标准 频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
二、瞬时值、幅值、有效值
i
描述正弦量数值大小的参数：
振幅 Im
瞬时值:正弦量任意瞬间的值 称为瞬时值，用小写字母表示 0
i、u、e
Ｔt
振幅:正弦量在一个周期内的 最大值，用带有下标m的大写字母表示: Im、Um、Em
相量
（用复数表示正弦量）
一个复数由模和幅角两个特征量确定。
一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。
在分析计算线性电路时，电路中各部分
电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频
率是已知的，计算时可不必考虑。
如： i i1 i2
角频率 不变
Im1 sin( t 1 ) Im2 sin( t 2 )
正弦交流电路的表示方法有瞬时值表示法和相 量表示法。
2.1.1 正弦交流电的瞬时值表示法
正弦量： 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。
规定电流参考方向如图
i
iR
a
b
i Im sin( t i )
+
0
i
t
正半周： 振幅 角频率 初相角 电流实际方向与参考方向相同
正弦量的三要素
负半周： 电流实际方向与参考方向相反
3. 正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系 （正弦交流电是时间的函数）。
4. 可推广到多个同频率的正弦量运算。
i 0 I 0 u 0 U 0
基尔霍夫 定律的相
量形式
2.2 单一参数的 交流电路
2.2.1 电阻电路 2.2.2 电感电路 2.2.3 电容电路
2.2.1 电阻电路
例： i1 70.7sin(314 t 300 )A 求： i i1 i2
正弦交流电路的相量表示法
03
相量表示法的应用
相量与复数的关联
01
相量是复数的一种表示形式，其 实部表示电压或电流的有效值， 虚部表示其相位角。
02
通过复数运算，可以方便地计算 正弦交流电路中的电压、电流和 阻抗等参数。
相量在电路分析中的应用
利用相量图，可以直观地分析正弦交 流电路中的电压、电流和阻抗之间的 关系。
通过相量法，可以简化正弦交流电路 的计算过程，提高计算效率和精度。
02
正弦交流电路的基本概念
正弦交流电的产生
交流发电机
通过机械能转换为交流电，发电 机转子旋转产生磁场，定子切割 磁力线产生感应电动势，从而产 生正弦交流电。
交流调压器
通过改变磁通量或改变匝数来调 节输出电压，从而产生正弦交流 电。
正弦交流电的特性
01
02
03
周期性
正弦交流电的电压、电流 等参数随时间按正弦规律 变化，具有周期性。
通过相量图，可以直观地理解电路的相位 关系和阻抗的性质。
03
02
简化了正弦交流电路的分析过程，使得计算 变得直观和方便。
04
局限性
相量法仅适用于线性时不变系统，对于非 线性或时变系统，相量法不再适用。
05
06
对于多频输入信号，相量法可能无法准确 描述信号的频谱特性。
未来研究方向
01
深入研究非线性电路和时变系统的相量表示法，以扩展相量法 的应用范围。
VS
电动机的启动和制动
利用相量法，可以研究电动机的启动和制 动过程，为电动机的控制提供理论支持。
滤波器问题
滤波器的频率响应
通过相量法，可以分析滤波器的频率响应特 性，从而设计出符合要求的滤波器。
正弦交流电的基本概念、相量表示法
在复平面中，以实轴为电阻轴，虚轴为感抗和容抗之和，将阻抗的相量标在图上，形成阻抗相量 图。
04
交流电路的分析
交流电路的元件
01
02
03
电阻元件
在交流电路中，电阻元件 的阻抗不随时间变化，其 值由电阻的物理性质决定。
电感元件
在交流电路中，电感元件 的感抗随频率变化，其值 由电感的物理性质决定。
电容元件
幅角
相量与实轴正方向的夹角，表示正弦交流电的 相位。
相量运算
加标法题
将•两个文同字频内率容的相量 • 文字内容
按•平行文四字边内形容法则进 • 文行字合内成容。
减法
将一个相量减去另一 个相量，等于将一个 相量的起点平移到另 一个相量的终点后再
进行加法运算。
数乘
一个标量与一个相量 的乘积，表示该标量 乘以相量的模长和幅
表示发电机或变压器的输出功率与输入功 率的比值，反映了设备本身的损耗。
THANKS
角。
比例关系
对于两个同频率的相 量，其比值等于相应 正弦量的比值，即电 压与电流的比值为电 阻，电压与感抗的比 值为电感，电流与容 抗的比值为电容。
03
正弦交流电的相量表示
电压的相量表示
电压的相量表示法
将正弦交流电压的幅度和初相角用复数表示，即$U = U_{m}angletheta$。其 中，$U_{m}$表示电压的幅度，$theta$表示电压的初相角。
电压相量图
在复平面中，以实轴为幅度轴，虚轴为相位轴，将电压的相量标在图上，形成 电压相量图。
电流的相量表示
电流的相量表示法
将正弦交流电流的幅度和初相角用复 数表示，即$I = I_{m}angletheta$。 其中，$I_{m}$表示电流的幅度， $theta$表示电流的初相角。
04
交流电路的分析
交流电路的元件
01
02
03
电阻元件
在交流电路中，电阻元件 的阻抗不随时间变化，其 值由电阻的物理性质决定。
电感元件
在交流电路中，电感元件 的感抗随频率变化，其值 由电感的物理性质决定。
电容元件
幅角
相量与实轴正方向的夹角，表示正弦交流电的 相位。
相量运算
加标法题
将•两个文同字频内率容的相量 • 文字内容
按•平行文四字边内形容法则进 • 文行字合内成容。
减法
将一个相量减去另一 个相量，等于将一个 相量的起点平移到另 一个相量的终点后再
进行加法运算。
数乘
一个标量与一个相量 的乘积，表示该标量 乘以相量的模长和幅
表示发电机或变压器的输出功率与输入功 率的比值，反映了设备本身的损耗。
THANKS
角。
比例关系
对于两个同频率的相 量，其比值等于相应 正弦量的比值，即电 压与电流的比值为电 阻，电压与感抗的比 值为电感，电流与容 抗的比值为电容。
03
正弦交流电的相量表示
电压的相量表示
电压的相量表示法
将正弦交流电压的幅度和初相角用复数表示，即$U = U_{m}angletheta$。其 中，$U_{m}$表示电压的幅度，$theta$表示电压的初相角。
电压相量图
在复平面中，以实轴为幅度轴，虚轴为相位轴，将电压的相量标在图上，形成 电压相量图。
电流的相量表示
电流的相量表示法
将正弦交流电流的幅度和初相角用复 数表示，即$I = I_{m}angletheta$。 其中，$I_{m}$表示电流的幅度， $theta$表示电流的初相角。
第 章 正弦交流电路教案
•
I 2 = 10╱-45ºA=[10cos(- 45º)+10jsin(- 45º)]A=（7.07–j7.07 ）A
合成电流的相量为
•
•
•
I = I 1 + I 2 =（5╱30º+10╱-45º）A=[(4.33+7.07)+j(2.5–7.07)]A
= 11.42 + 4.532 ╱arctan - 4.53 A=12.27╱-21.65ºA 11.4
正弦交流电的三个特征量——三要素。
波形图如图 2-1 所示。
30
图 2-1 正弦交流电的波形图
1．正弦交流电的周期、频率和角频率——表示交流电变化快慢 周期：正弦交流电量重复变化一次所需的时间，单位是秒（s），或者是毫秒（ms）和 微秒（µs）。1ms=10-3s，1µs=10-6s。 频率：正弦交流电在每秒钟内变化的周期数，用 f 表示，单位是赫[兹]（Hz），1Hz 表示 每秒变化一个周期，周期和频率的关系是
±1800 之间，故采用后一角度。
•
•
方法 2。用相量图求合成电流的幅值和幅角，作图如图 2-6 所示，合成电流是 I 1 和 I 2 ，
两相量所作平行四边形的对角线，它与横轴正方向的夹角即为初相位。
第二次课：
图 2-6 例 2-4 相量图
2.2 单一参数交流电路
2.2.1 纯电阻电路
如果电路中电阻作用突出，其他参数的影响可忽略不计，则此电路称为纯电阻电路。 1． 电压和电流的关系 将纯电阻接入交流电源，并设电流和电压的正方向相同，如图 2-7 所示。为方便起见， 现选择电流为参考量，即设
U1m = 2U1 = (1.41× 220) V ≈ 311V
2015第2章电工电子学
知识点及重点
1、正弦交流电的三要素、相位差、有效值和相量表示 法。 2、掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法
3、掌握有功功率、功率因数、无功功率和视在功率的 概念和计算方法。
4、提高功率因数的方法及意义 5、正弦交流电路串联谐振和并联谐振的条件。
2
第2章 正弦交流电路 2.1 正弦交流电的基本概念
15
2.2.2 正弦量的相量表示
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2I sin (t )
相量为有 效值相量
2Ie
jt
j(t )
2 Ie e
复常数
j
jt
2 Ie
I I i
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
i(t ) 包含了三要素：I、 、 ，相量包含了I ,
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念
2.2 正弦交流电的相量表示法 2.3 单一参数的正弦交流电路
2.4 正弦交流电路的分析 2.4.1基尔霍夫定律的相量形式 2.4.2正弦交流电路的串联电路 2.4.3正弦交流电路的电压、电流分析 2.5 正弦交流电路的功率
2.6 电路的谐振
1
第2章 正弦交流电路
24
2.3.2 电感元件的正弦交流电路
（2）.波形图及相量图：
uL O
pL i
2
UL
t
电压超前电 流900
I
i
电感电压与电流波形为同频率，电感的电压相 位要比电流的相位超前。
25 返回 上一节 下一节 上一页 下一页
2.3.2 电感元件的正弦交流电路
2.功率关系 u i (1) 瞬时功率 p=ui = Umcosωt Im sinωt O ωt = U I sin 2ωt 2 3 2 (2) 平均功率 ( 有功功率) 2 p 1 T P = T ∫ p0 dt = 0 (3) 无功功率 O ωt Q = U I = XLI2 3 2 2 2 2 = U (var) 发出 XL 发出 结论：纯电感不消耗能量， 取用 取用 只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。26
1、正弦交流电的三要素、相位差、有效值和相量表示 法。 2、掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法
3、掌握有功功率、功率因数、无功功率和视在功率的 概念和计算方法。
4、提高功率因数的方法及意义 5、正弦交流电路串联谐振和并联谐振的条件。
2
第2章 正弦交流电路 2.1 正弦交流电的基本概念
15
2.2.2 正弦量的相量表示
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2I sin (t )
相量为有 效值相量
2Ie
jt
j(t )
2 Ie e
复常数
j
jt
2 Ie
I I i
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
i(t ) 包含了三要素：I、 、 ，相量包含了I ,
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念
2.2 正弦交流电的相量表示法 2.3 单一参数的正弦交流电路
2.4 正弦交流电路的分析 2.4.1基尔霍夫定律的相量形式 2.4.2正弦交流电路的串联电路 2.4.3正弦交流电路的电压、电流分析 2.5 正弦交流电路的功率
2.6 电路的谐振
1
第2章 正弦交流电路
24
2.3.2 电感元件的正弦交流电路
（2）.波形图及相量图：
uL O
pL i
2
UL
t
电压超前电 流900
I
i
电感电压与电流波形为同频率，电感的电压相 位要比电流的相位超前。
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2.3.2 电感元件的正弦交流电路
2.功率关系 u i (1) 瞬时功率 p=ui = Umcosωt Im sinωt O ωt = U I sin 2ωt 2 3 2 (2) 平均功率 ( 有功功率) 2 p 1 T P = T ∫ p0 dt = 0 (3) 无功功率 O ωt Q = U I = XLI2 3 2 2 2 2 = U (var) 发出 XL 发出 结论：纯电感不消耗能量， 取用 取用 只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。26
2.1.2正弦交流电的表示方法
u (t ) 10sin(2 50t ) 3 10sin(100 t ) 3
例2、某正弦交流电电流的波形如图所示，那么该正弦交流电 的周期T=（ ）s；电流最大值Im=（ ）A；初相角=（ ）； 当t=0时刻时，u=（ ）V。
4 i/A
t -/2 0 /2 3/2 2 5/2 t/s 0.02s -4 解： 由图可知 T=0.02s =- /2
正弦交流电的表示方法
一、正弦交流电的三要素 表示正弦交流电的三组物理量： 1、周期、频率、角频率 2、最大值、有效值、瞬时值
3、相位、初相位、相位差
正弦交流电的三要素： 频率 最大值 初相位
正弦交流电的表示方法
二、正弦交流电的表示方法
要领：任何一种表示方法，都必须准确描述正弦 交流电的三要素。 1、解析式表示法 （1）利用正弦函数表达式形式表示正弦交流电的方 法。 （2）表示形式： u=Umsin(t+)或i=Imsin(t+)。
（c） i=100sin(314t-450) = 100sin[314t+(-450)]
所以 = -450
i=Imsin(t + ) i=100sin(314t-450)
正弦交流电的表示方法
【例】某正弦电压的最大值Um=310V,初相 u=300; 某正弦电流的最大值Im=14.1A,初相 i=-600。它 们的频率均为50Hz。（1）分别写出电压和电流 的瞬时值表达式。（2）正弦电压和电流的相位 差。
i1=102sin(314t+90o)A i2=52sin(314t-45o)A
4、画出相量
i 50sin(314t 300 ), u 100sin(314t 600 )
例2、某正弦交流电电流的波形如图所示，那么该正弦交流电 的周期T=（ ）s；电流最大值Im=（ ）A；初相角=（ ）； 当t=0时刻时，u=（ ）V。
4 i/A
t -/2 0 /2 3/2 2 5/2 t/s 0.02s -4 解： 由图可知 T=0.02s =- /2
正弦交流电的表示方法
一、正弦交流电的三要素 表示正弦交流电的三组物理量： 1、周期、频率、角频率 2、最大值、有效值、瞬时值
3、相位、初相位、相位差
正弦交流电的三要素： 频率 最大值 初相位
正弦交流电的表示方法
二、正弦交流电的表示方法
要领：任何一种表示方法，都必须准确描述正弦 交流电的三要素。 1、解析式表示法 （1）利用正弦函数表达式形式表示正弦交流电的方 法。 （2）表示形式： u=Umsin(t+)或i=Imsin(t+)。
（c） i=100sin(314t-450) = 100sin[314t+(-450)]
所以 = -450
i=Imsin(t + ) i=100sin(314t-450)
正弦交流电的表示方法
【例】某正弦电压的最大值Um=310V,初相 u=300; 某正弦电流的最大值Im=14.1A,初相 i=-600。它 们的频率均为50Hz。（1）分别写出电压和电流 的瞬时值表达式。（2）正弦电压和电流的相位 差。
i1=102sin(314t+90o)A i2=52sin(314t-45o)A
4、画出相量
i 50sin(314t 300 ), u 100sin(314t 600 )
(正弦交流电的基本概念及相量表示法)
（t ）：正弦波的相位角或相位
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t
说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差(初相差)
i1 i2
t
1
2
i1 Im1 sin t 1 i2 Im2 sin t 2 t t 1 21
复数
瞬时值
正误判断
已知： i 10 sin( t 45 )
？ I 10 45 2
j45
有效值
？ Im 10 e45
正误判断
已知： u 2 10 sin ( t 15 )
则：
U 10 ？
15
？ U 10 e j15
正误判断
已知： I 100 50
则： i 100 sin ( t 50 )？
1000 rad/s f 1000 159 Hz
2 2
初相位： 30
二、正弦波的相量表示方法
正弦波的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i sin1000 t 30
相量
重点
必须 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
概念：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有
向线段在纵轴上的投影值来表示。
i
波形图
Im t
T
瞬时值 相量图
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jb U e j U
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1)
U 3 j4 u 5 2 sin( t 53 1)
正弦交流电路的相量表示法
2. 复数的表示方法
设A为一复数: 在右图的复平面上有如下关系：
+j
注意:正弦量 并不等于复 数
b
A
1) 代数式 A =a + jb 2) 三角式
r
0
a +1
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
3) 指数式 A r e jψ
4) 极坐标式 A rψ
求： u u1 u2
U1
解： 瞬时值相加很繁琐
采用相量图法计算：
U
48
45
结果：u Um sin(t )
U 2
同频率正弦量相加---平行四边形法则，见下页
3.2 正弦量的相量表示法
例5： 同频率正弦量相加 --平行四边形法则
u1 2U1 sin t 1
相量式
【练习与思考】
用有效值相量表示下列正弦量
i1( t ) 10 2 sin(t 60 ) A
i2( t ) 15 2 cos( 314t 57 ) A
u( t ) 200sint V
解： I1＝10－60( A)
I2＝15147(V )
U＝100 20(V )
解析式 波形图
1、相量图
相 量
2、相量式
法 （复数 符号法）
i Im sin t
i
Im
t
T
U
.
I a jb
I (cos j sin )
I
具体见下页内容：
1.复数的实部、虚部和模
1 叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工 中i代表电流，所以改用 j 代表虚单位，即 j = 1
第2章 正弦交流电路
eU Em sin t eV Em sin(t 120 ) eW Em sin(t 120 )
（2-31）
相应的波形图、相量图如图2-16（a）、 （b）所示。
图2-16 三相对称电动势
2．三相电源的星形联结
（1）星形联结
把上述三相绕组的末端U2、V2和W2连在一 起，就构成星形联结，如图2-17所示。
UR U 311 2 V 220V
【例2-4】
根据式（2-10），电流有效值为
P 100W IR 0.455A U R 220V
2.2.2 纯电感电路
1．电压和电流的关系
纯电感电路如图2-10（a）所示，电感电
流与电压参考方向一致，设电感电流为
iL 2 I L sin t
2.3.1 电压和电流关系 2.3.2 电路的功率和能量转换
2.3.1 电压和电流关系
RLC串联电路如图2-12所示，取电压和电 流的参考方向一致。 为便于分析，电路中各量均采用相量表 示，各元件也采用相量化模型。
图2-12 RLC串联电路
用相量法分析电路如下。
（1）作相量图
图2-13 相量图
（2）求相量和
IL IP
【例2-8】三相电源作星形联结，线电压是 380V，负载是额定电压为220V的电灯组，问： （1）三相负载采用什么联结方式； （2）若三相负载的等效电阻 R1=R2=R3=510 ， 求相电流、线电流和中线电流； （3）若三相负载的等效电阻分别为 R1=510 ， R2=510，R3=2k，求中线电流。
QC UC IC 50 0.157 var 7.85var
当 f 5 000Hz 时，
XC IC 1 1 3.19 2π fC 2 3.14 5 000 10 106
正弦交流电表示法
正弦交流电的表示法2.1.2 正弦量的相量表示法如前所述，一个正弦量由幅值、角频率和初相位三个要素确定，而正弦量的这些特征，可以用正弦波和三角函数表示出来。
除此之外，还可以用相量表示，复数是相量的基础。
（1）复数如图2-6所示，一复数A，a1为其实部，a2为其虚部，a为其长度，则复数A可用四种形式来表示：图2-6 复平面上表示复数A①代数式A=a1+j a2（2-8）为虚单位。
②三角函数式令复数A的模|A|=a，φ角是复数A的辐角，有A=｜A｜（cosφ+jsinφ）=a（cosφ+jsinφ）（2-9）式中，，，③指数式根据欧拉公式e jφ=cosφ+jsinφA=a e jφ（2-10）④极坐标式极坐标式是复数指数式的简写，这四种复数的表示形式，可以相互转换。
复数的指数形式（或极坐标形式）与复数的三角函数式之间可以通过欧拉公式进行转换，指数形式（或极坐标形式）要变换成代数式可以通过欧拉公式进行转换；代数式变换成指数形式（或极坐标形式）可以通过式（2-9）进行转换。
（2）正弦量的相量表示用复数来表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法，即用复数的模来表示正弦量的幅值（最大值或有效值），用复数的辐角来表示正弦量的初相位。
只有同频率的正弦量用相量进行分析计算才有意义，它使得正弦交流电路的分析和计算变得更为简单。
在线性正弦交流电路中，各部分的电流和电压都是同频率的正弦量。
因为频率不变，所以可以用相量来表示正弦量。
正弦量的相量形式是用大写字母上面加小圆点表示。
例如，“”“”“”等。
同理，可自行写出和相量。
相量、、称为有效值相量，、、称为最大值相量或幅值相量。
相量在复平面上的几何图形叫做相量图，如图2-7所示。
图2-7 正弦量的相量图同频率的正弦量，由于它们之间相位的相对位置不变，即相位差不变，因此可以将它们的相量画在同一个坐标上。
不同频率的正弦量，用相量表示时，不能画在同一相量图上。
（3）相量运算相量的运算规则符合复数运算中的交换律、结合律和分配律等。
电工技术：正弦交流电的相量表示法
求：
U 2 U 1
+1
u ( t ) u1 ( t ) u 2 ( t ) u (t ) u1 (t )-u 2 (t )
首尾相接法 根据几何关系求得相加后的电压有效值和初相角：
平行四边形法
+1
U 10 53 o V u ( t ) u1 ( t ) u 2 (t ) 10 2sin(314t 53o ) V
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
方法一：同频率的正弦量相加减运 算，变成对应的相量相加减运算。 例:题2： 已知 求：
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u 2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V u ( t ) u1 ( t ) u 2 ( t )
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如
i
-Im
O
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin ( t 1 )
？
4.已知： U 100 15V
I 1060 0 A
U 100 V
i 10 sin ( ω t 60 )A
写最大值
？
？
负号
j15 U 100 e V
？
二、相量图
相量图：在复平面上，按照各个正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形。
22030 V U
U 2 U 1
+1
u ( t ) u1 ( t ) u 2 ( t ) u (t ) u1 (t )-u 2 (t )
首尾相接法 根据几何关系求得相加后的电压有效值和初相角：
平行四边形法
+1
U 10 53 o V u ( t ) u1 ( t ) u 2 (t ) 10 2sin(314t 53o ) V
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
方法一：同频率的正弦量相加减运 算，变成对应的相量相加减运算。 例:题2： 已知 求：
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u 2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V u ( t ) u1 ( t ) u 2 ( t )
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如
i
-Im
O
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin ( t 1 )
？
4.已知： U 100 15V
I 1060 0 A
U 100 V
i 10 sin ( ω t 60 )A
写最大值
？
？
负号
j15 U 100 e V
？
二、相量图
相量图：在复平面上，按照各个正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形。
22030 V U
电工电子技术)课件
技能 ：会正确使用仪表测量正弦交流电流、电压及能
量。
电工电子技术(少学时)
高职高专 ppt 课件
第2章
正弦交流电路
2.1 正弦交流电量及基本概念
2.1.1 正弦交流电量
图 2-1几种电压和电流的波形
a)图中，电压和电流的大小与方向都不随时间的变化而变化， 是恒定的，统称为直流电量。b)～d)图中，电压和电流的大小与 方向都随时间的变化而变化，是交变的，统称为交流电量。而在 图d)中，电压和电流的大小与方向都随时间按正弦规律变化，故 这种交流电量称为正弦交流电，简称为正弦量。
. .
(3)无功功率 Q = UI = I 2XL = U 2/XL 2.3.4 纯电容电路 1.电压电流的关系
从该式可得如下结论：
图2-13 纯电容电路
1）电压和电流有效值关系为U = XCI。
2）电压在相位上滞后电流900 。 纯电容电路波形图和相量图如图2-14a、b所示。
第2章
正弦交流电路
I 1 T
T
0Hale Waihona Puke [ I m sin(t i )]2 dt
E
Im 2
Em 2
同理，交流电动势有效值为: 交流电压的有效值为:
U
Um 2
在交流电路中，一般所讲电压或电流的大小都是指有效值。
电工电子技术(少学时) 高职高专 ppt 课件
第2章
正弦交流电路
3．相位差 两个同频正弦量相位之差，用表示。设同频正弦电压u和电 流i，其波形图如图2-3所示，其数学表达式分别为: u = Um sin(ωt + u) i = Imsin(ωt + i) 则u、i的相位差 = (ωt + u)-(ωt - i) = u - i (2-8) 可见，相位差亦为它们的初相位之差，与时间无关。
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1 f T
角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数。单位：弧度/秒 （ rad/s）。 角频率与周期及频率的关系：
2 2 f T
项目二
交流电路
3.相位、初相位和相位差 相位：正弦量的角度 (ωt + ) 初相位（初相）：t=0时的相位
Im
T
t
(t ) t 0
× i 5 2 sin( t 60) 560 1030 I × i 1030 i 10 2 sin( t 30) × u 100cos45 j100sin45
u 100 2 sin( t 45)
16
项目二
交流电路
正弦交流电的基本概念
= u i = /2， u与i 同相位正交。
项目二
交流电路
不同频率正弦信号的相位关系？
i1 I m1 sin2 t
i1
2
1
i2
i 2 I m 2 sin t
1 2
t
不同频率的正弦信号不能进行相位比较。
11
项目二
交流电路
练习与思考：
6280t 在某电路中， i 100sin(
正弦电压、电流是在通讯、无线电技术以及电力系统中最 基本、最常见的激励信号。
5
项目二
交流电路
正弦交流电的三要素
i I m sin t
Im
T
Im：幅值（最大值）
t
三要素:
ω：角频率
：初相
项目二
交流电路
1.幅值与有效值
t i I m sin
瞬时值 小写字母表示 幅值（最大值） 大写字母表示,下标加 m
相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的 初相之差。如
i u
u
i
u Um sin( t u )
t
i I m sin( t i )
相位差为： (t u ) (t i ) u i
项目二
交流电路
两种正弦信号的相位关系 = u i =0， u与i 同相位； = u i 0， u超前i ，或 i 滞后于u ； = u i=， u与i 反相位；
(5.196 j 3) (4 j 6.928) 9.296 j 3.928 10 23.1 A
I 1
i 10 2 sin( t 23.1)A
I
I 2
19
项目二
交流电路
小结：
•相量是一个与时间t 无关的复值常数。它包含着该正弦量的振 幅和初相位，但不能确定其频率 。只要给定频率 ，由它就 可以完全地确定一个正弦量。 •在单一频率正弦信号激励下的稳态电路中，电压、电流是与 信号同频率的正弦量，所以角频率往往是已知的，故相量是 一个足以表示正弦量的复值常数。 •因为由相量不能确定该正弦量的频率，所以进行相量的数学 计算时，必须注意：只有在代表同频率的各相量中才能进行。
u3 180 2 sin( 314t 120 )
解： u u u u ??? 1 2 3 引入相量的原因：简化计算。
13
项目二 交流电路 正弦交流电的相量表示
正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值 来表示。 +j i I m sin t ω Im Im
18
项目二
例2.2
交流电路
解： I 630 5.196 j 3 A 1
1 2
i1 6 2 sin( t 30)A 已知： i2 8 2 sin( t 60)A 求：i = i1 + i2
i i1 相量图：
30 23.1 60
i2
8 60 4 j 6.928A I 2 I I I
u
u
t
T T
t
u t
T
项目二
交流电路
正弦交流电：随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正 弦交流电，也称为正弦量。 表达式：
u Um sin( t u ) i I m sin( t i )
方向：正弦量正半周的方向。 正弦交流电路：是指含有正弦电源（激励）而且电路中各部 分所产生的电压和电流（响应）均按正弦规律变化的电路。
4
)mA
（1)试指出它的频率、周期、角频率、幅值、有效值及初 相位各为多少？（2)画出波形图。 解：
6280rad / s
1 1 T 1ms f 1000
6280 f 1000H Z 2 2
i 100 ωt
i 100sin(6280t )mA 4
I m 100mA
基尔霍夫定律的相量形式
在单一频率信号作用下的正弦交流电路中，各支 路电流、电压都是同频率的正弦量，所以可将KCL 和KVL转换为相量形式。
0 I KCL： ik 0 k 在正弦交流电路中，对任一结点，流出（或流 入）该结点的各支路电流相量的代数和恒为零。
KVL： uk 0
0 U k
I I m 100 70.7mA 2 2
12
4
rad 或 45
项目二 交流电路 正弦交流电的相量表示
引入相量的原因：
+ u1 + + u2 u + u3 求u＝？
若： u1 220 2 sin( 314t 30 )
u2 380 2 sin( 314t 45 )
在正弦交流电路中，沿任一回路各支路电压相量 的代数和恒等于零。
17
项目二
交流电路
3、正弦量的相量图表示法
I I
I i
注意 1) 只有同频率的正弦量才能用相量表示并一起参与 运算或者出现在一个相量图中； 2) 正弦交流电路中，只有瞬时值、相量满足KCL、 KVL，最大值、有效值一般不满足KCL、KVL。
项目二
交流电路
Chapter 2
正弦交流电路
项目二
交流电路
主要内容
• • • •
正弦交流电及其相量表示 单一元件正弦交流电路 RLC串联电路 三相正弦交流电路
2
项目二
交流电路
任务1 正弦交流电及其相量表示
项目二
交流电路
交流电：大小和方向随时间作周期性变化，并且在一个周期 内的平均值为零的电压、电流和电动势统称为交流电（u，i， e）。
•相量作为一个复值常数，可用相量图来描述。
20
用相量表示正弦量前，一般要把正弦量化成标准 形式，再用相量表示。 标准形式：
i Im sin t
项目二
交流电路
例2.1
判断下列各式是否正确？
× I 1030 × U 100sin( t 45)
1030 I u 100 sin( t 45)
为确切反映正弦电量在电路转换能量方面的效应，在工 程应用中常用有效值表示幅度。 常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量 的有效值。 对正弦电量
Im I 2
项目二
交流电路
2. 周期与频率
Im
T
t
周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。单位：秒 （s）。
频率f：正弦量在单位时间内变化的周数。单位：赫兹 （Hz ）。 周期与频率的关系：
+1
ωt正弦量Fra bibliotek相量i I m sin(t i )
Im Imi I I i
2I sin(t i )
项目二
交流电路
注意：
相量只包含正弦量的有效值（或幅值）和初相位， 因此相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。
i Im sin t
I I