正弦交流电的相量表示法

有效值 I =16.8 A
2.已知： I 10 60A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
例1: 将 u1、u2 用相量表示
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
u2 110 2 sin(ω t 45) V +j
12.7 30A
I2 11 60A
I I1 I2 12.7 30A 11 60A
12.7(cos 30 jsin 30 )A 11(cos 60 jsin 60 )A
(16.5 - j3.18)A 16.8 10.9A
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
• 相量 A 乘以 e j90 ，
A
A 将逆时针旋转 90，得到 B
• 相量 A 乘以 e-j90 ，
ψ
o
+1
A 将顺时针旋转 90 ，得到C
C
正误判断
1.已知：
3.已知：
u 220 sin(ω t 45)V I 4 ej30A 复数
•
U
220
45V？
2
有效值
j45
Um 220 ？ e45V
u
波形图
O
ωt
瞬时值表达式 u Umsin( t )
相量 U Uψ
必须 小写
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
2.正弦量用旋转有向线段表示
设正弦量: y
u
Umsin(
t ψ)
u
u0ω
O
x
u1
U
O
m
ψ
ω t1
ωt
若:有向线段长度 = Um
有向线段与横轴夹角 =
初相位
有向线段以速度ω 按逆时针方向旋转
解: (1) 相量式
U 2
U 1
U1 220 20V U2 110 45 V
45
20
+1
(2) 相量图 U 1 落后于U 2
U 2
超前 落后
U 1
？
例2: 已知 i1 12 .7 2 sin (314 t 30 )A
i2 11 2 sin(314t 60)A
求：i
I1
i1 i2 。
则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示
相应时刻正弦量的瞬时值。
3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量 复数表示形式
设A为复数: (1) 代数式A =a + jb
+j
b
r
0
A
a +1
式中: a r cos ψ b r sin ψ
(2) 三角式
r ψ
a2 b2 arctan
b
复数的模 复数的辐角
a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
欧拉公式
ej ψ cosψ jsin ψ
(3) 指数式 A r ej ψ (4) 极坐标式 A r ψ
A a jb r cos j r sin rejψ r ψ
相量: 表示正弦量的复数称相量
设正弦量:u Umsin( ω t ψ)
• 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、I
如：已知 u 220 sin(ω t 45)V
则U m 220e j45V或 U 220 e j45V 2
⑥“j”的数学意义和物理意义
e 旋转 90 因子： j90
ej90 cos 90 jsin90 j
设相量 A rejψ B
+j
相量表示:
U Ue j ψ U ψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
或：
Um Umejψ Um ψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
注意:
电压的幅值相量
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
？ i Imsin(ω t ψ) = Ime jψ Im ψ
②只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。
③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
I
U
④相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ U ψ U( cos百度文库ψ jsin ψ)
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
I
U
⑤相量的书写方式
• 模用最大值表示 ，则用符号：U m 、Im
ui u
i
O
ωt
ψ1 ψ2 90 电流超前电压90
ui u i
O
ωt
90°
ψ1 ψ2 180
电压与电流反相
ui u i
O
ωt
注意:
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。
i i1
i2
O
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
3.3 正弦量的相量表示法
１.正弦量的表示方法
相位差
两同频率的正弦量之间的初相位之差。
如：u Umsin( ω t ψ1 )
i Imsin( ω t ψ2 )
( t 1) ( t 2 )
ψ1 ψ2
ui u i
若 ψ1 ψ2 0
O
电压超前电流
ωt
ψ1 ψ2 0 电流超前电压
ui i
u
O
ωt
电压与ψ电1 流ψ同2 相 0