大学物理课件 29 光的衍射

波长越长，越易衍射；波长越短，越难衍射。
声波几十米，电波几百米甚至更长，易衍射，能绕 过通常的障碍物甚至绕过高山。超声波几毫米、微波几 毫米，常视为直线传播。光波长 —105cm，一般障碍物、 缝孔尺寸远大于波长，通常视为直线传播。如果缝孔尺 寸极小，与光波长数量级相差不大，则衍射显著。
锡纸用大头针 穿小孔，手指缝， 看远处电灯，可以 观察到衍射现象。
第二章 光的衍射 2-1 光的衍射现象与基本原理
一、光的衍射现象
衍射——波在传播过程中遇到障碍物时，能 绕过障碍物继续前进的现象（如水波、声波、 无线电波等）
阴影
缝较大
直线传播
缝较小
衍射，偏离 直线传播
缝、孔较大：屏 幕上为清晰的缝、 孔像
缝、孔较小时， 缝孔像轮廓不清， 有扩展条纹，白光 照射为彩色。
x中
2f
a
x f
a
P328:
设宽度a的狭缝上的总振幅为A0,
,
单位宽度上的振幅：A0 a
宽度dx的窄条上的振幅为：A0dx
A
a
该窄条光振动：dE0
A0dx a
cost
a
dx
x处的子波传播到屏上相位差： B
2 x sin
dxsin
P
O
f
狭缝上不同点对应的光振动： dE A0dx co（s t 2 x sin）
n r
P
dEP
C
K( )
r
cos(t
r ）dS c
EP
dEP
C
K( )
r
cos(t
r ）dS c
S
n
dS r
P
光强即振幅的平方。上式积分困难。 解释衍射强度
分布、衍射条
衍射本质：无限多子波相干叠加
纹形成
（本质上是干涉）
三、两类衍射
按观察方式或数学处理不同，可以分为两类衍射：
1、菲涅耳衍射（近场衍射）
222
a sin , 2, 3 暗条纹
a sin 3 , 5 , 7 明条纹 亮度逐渐降低
222
x
k
暗
asin (2k 1)
2
明
k 1, 2,3
A
a
C B
a sin
P
x
O
f
讨论
x
（1）衍射的实质仍然 是干涉，但它是无限多子 波线之间的干涉。
两相干光之间仍然满足：
A
a
C B
=4.84106 rad =5500 Ao
D
2-3. 光栅衍射
杨氏双缝干涉、牛顿环、单缝衍射等实验都可以 用来测定光波长，但不精确。原因是干涉或单缝衍射 条纹很宽，条纹中心位置难准确测定，误差大。
利用光栅可以得到非常尖锐的衍射条纹，条纹中 心位置能准确确定。因而用光栅衍射可以准确地测定 光波长。
K=0
O
K=1
——光栅方程
K=2
f
该方向出现干涉主极大（最关心）。
但光栅衍射光强度分布受单缝衍射影响（缝有宽度，
不是一束光），各主极大强度将不等。
每逢发生单缝衍射
若缝间无干涉，各单缝衍射 重合，强度相加。
实际上，各缝之间有干涉。单缝衍射条纹较宽， 在每个单缝衍射明纹之间将包含多个干涉极大。
总效果：各干涉主极大 受单缝衍射包络或调制
实验：明暗相间，中央明条纹最亮最宽，两侧明 条纹约为中央一半宽，亮度逐渐下降。如何计算明暗 条纹位置？
当 0时：
该方向所有子波线 同位相，汇于O点，干 涉加强。中央明纹
当 0时：？
分析采用半波带法：
a
2 2
I
x Px
O 中央明
f
当 0时：
缝处波面分成窄带。
A
每个窄带上下边缘子波线 a
C
光程差=半个波长。这种 窄带叫做半波带。
核心思想：子波相干叠加决定衍射强度。
表述：波面S前方空间某点P的振动由 S面上各面元dS发出的子波在该点引 起的振动的叠加。
S
dS
原理认为：dEP
dS,
1 r
, 且与 有关
dEP
C
K( )
r
cos(t
r ）dS c
, K( ) ; , K( ) 0(子波不后退）
2
0，法向（正前方）K(）最大
4
1N 2k(N 1) 该 方向明纹称为主极大 暗纹（极小）位置？
可以证明：
两主极大之间，有N-1个极小，还有N-2个次极大
两主极大之间，有N-1个 d sin k
极小，还有N-2个次极大 N很大时，主极大尖
N 2
杨氏
锐清晰。主极大中心位
N 3
置可以准确定位。
以上未考虑每一缝的单 N 4
缝衍射。但每一狭缝有一定
B 22
A、B两点子波线光程差 BC a sin
x Px
O 中央明
f
a sin 2
2
暗条纹
两半波带对应光线光程差为 ，位相差为 2
在 P 点叠加抵消。
a sin 3 明条纹
2
x
P
相邻两半波带在 P 点 a
O
叠加抵消，剩下一半波带
未被抵消，形成明纹。但 强度低于中央明纹。
2
22
f
a sin 4 暗条纹
两根细丝相距3mm。问相距多远时，会把两丝看成一 丝？
解： 1.22
D
得 1
L S1S2 13.6m
例题2：
两星对望远镜角距离 4.84106 rad ，接收其发出的光
波长为 5500Ao 。问望远镜孔径 D ? 时，才能分辨两
星。
解： 1.22
D
D 1.22 13.8cm
1.22
可见，提高分辨率的途径： D
例如：天文望远镜孔径D越大，分辨率越高
西德天文望远镜，D=5米；世界上最大的天文望 远镜在智利，直径16米，美国最大的望远镜直径为200 英寸，在帕洛玛山。
光学显微镜紫光照明（ 短）。
电子显微镜， Ao, 分辨率极高（数百万倍），研 究物质微观结构和形貌的重要手段。
宽度，发出的不是一根光线， N很大
而是无限多子波线，故存在
基本暗区
单缝衍射。
实际上是单缝衍射与多缝干涉的 结合。考虑单缝衍射时，对干涉主极 大有何影响？
3.光栅衍射光强度分布
方向相邻缝 对应点光程差
a
（a b)sin b
当 （a b)sin k
k 0,1, 2,3
d ab
x
K=2
x K=1
D大
哈勃望远镜可看到“可测”宇宙中97％的天体。
地面观测
用哈勃望远镜观测
哈勃望远镜观察 到新星的诞生
小 电子束照明 电子显微镜拍摄的物质结构照片 Ao,
小
扫描隧道显微镜拍摄的照片
硅表面硅原子的排列
碘原子在铂晶体上的吸附
砷化镓表面砷原子 的排列
例题1： 人眼瞳孔直径D=3mm，取 5500Ao, 现窗户上有
缝、孔较大 缝、孔较小
孔较小
所以，光波遇到障碍物 时，将偏离直线传播进入几 何阴影，在屏幕上呈现光强 分布不均匀分布现象，称为 光的衍射。
衍射程度决定于障碍物、缝、孔线度d 与波长 的对比。
d d
直线传播明显 衍射显著
d
d
d
缝
d
d
d
孔
d
d
d
圆盘
几何光学是波动光学在d 时的极限情况。
d sin
k
(2k 1)
明 暗
2
k 0,1, 2,3
d
I
d sin
（每缝视为只一束光线）
N 2,多缝干涉 d sin k 明 k 0,1, 2,3
相邻光束位相差 2k
1
d 2
d sin
相邻光束光程差 12 23 34 k
3
13 2k 14 3k 1N k(N 1)
光栅常数d（空间周期）
d ab
刻痕
单位宽度缝数：N N 1
b
b a
l ab a
如a b 0.2cm, N 5cm1
精致光栅 N 104 cm1, a b 106 m
还有反射光栅，右图
每缝的光单缝衍射
当平行光照射透射光栅：
缝与缝间的光干涉
2.多光束干涉
先考虑缝与缝之间光的干涉
x
N=2 双缝干涉
数学处理复杂
衍
射
屏
物
S
有限
有限
或两者之一有限
2、夫琅和费衍射（远场衍射或平行光衍射）
数学处理较简单
衍
屏
射
S
物
无限
无限
2-2 夫琅和费衍射
一、单缝夫琅和费衍射
用惠更斯-菲涅
I
耳原理积分复杂。
此处用惠更斯-菲涅耳原理的思想：子波相干叠 加。采用近似方法（菲涅耳半波带法）分析衍射条 纹中心位置，结果与实验一致。
sin 1
1
a
O
sin
x xk+1 xk f (tgk1 tgk )
x f f
a
a
( 5o, 0.087rad )
xk —条纹坐标位置
x
f
I
单峰衍射相 对光强：
总之：
I
3 2 aa a
2 3 a aa
sin
中央条纹最亮，两侧光强逐渐降低
中央明纹角宽度为其余条纹角宽度的两倍。
a sin
P
x
O
f
k 明
(2k 1) 暗
2
与上面单缝衍射公式看似相 反，实质相同（不矛盾）
（2）衍射光强分布特征
asin
k
(2k 1)
暗 明
2
k 1, 2,3
中央明纹
a sin
sin 1
1
a
a sin
两第一级暗纹之间：
a sin1 a1=
明纹亮度逐渐降低
x
（2）衍射光强分布特征
重合 刚能分辨
另一爱里斑的边缘
80%的峰值光强
能 分 辨
恰 能 分 辨
δφ
不 能 分 辨
瑞利判据：
能
恰
分
能
辨
分
辨
80%的峰值光强
不 能 分 辨
δφ
最小分辨角
——刚能分辨时， 两物点 S1、S2 对透 镜中心的张角。
张角 ，
则不能分辨
显然：
1
1.22
D
分辨率：
R 1 D
1.22
分辨率 R 1 D
x
P
2
偶数个半波带在 P 点
a
O
相互抵消，形成暗条纹。
2
2
22
f
a sin 2 暗条纹
2
a sin 3 明条纹
2 a sin 4 2 暗条纹
2
A
a
C B
a sin
x
P
x
O
f
类推得到：
a sin 2
, 4
, 6
(, 2, 3 )
暗条纹
222
a sin 3 , 5 , 7 明条纹 亮度逐渐降低
1
sin 1
0.61
R
1.22
D
D ,1 0
衍射消失 几何光学
2.光学仪器分辨本率
按几何光学，物点通过光学仪器（透镜）成像后应是一 点。实际上(因衍射)是一个斑点，以至模糊难分辨。
如车灯(经眼睛 成像)：
车灯由远至近 刚能分辨
什么情况下刚能分辨呢？ 由瑞利判据确定
瑞利判据：
一个爱里斑的中心
asin
k
(2k 1)
暗 明
5o
2
x ftg
f sin
f
1
x中 2x1
2 ftg1
2 f 1
2f
a
Hale Waihona Puke Baidua sin
a sin1 a1= 暗
明纹亮度逐渐降低
x
k
明
asin
k 1, 2,3
(2k 1) 暗
x
x
2
x ftg f sin f
tg x
f
sin 1 sin2
光栅是一种重要的精密光学元件。在近代物理中，光 栅光谱仪可以用来测定原子、分子光谱，是研究物质结构 的重要仪器。
一、光栅 多光束干涉
1.光栅 光栅——具有空间周期性的衍射物。有平面光栅
（透射光栅、反射光栅），空间光栅（晶格）。
最常见的是透射光栅：透明玻璃上刻有大量平行 等距离刻痕（打毛），相当于由一系列的平行等宽的 狭缝构成。未刻部分透光，刻痕因打毛漫反射不透光。
中央明纹
a
a sin
asin k （暗纹）
某k： a 衍射显著，反之不显著。
a ,sin 0 无衍射
所以，几何光学是波动光学的极限
a
asin k （暗纹）
x 白光（彩色条纹，中央白）
两侧明纹从紫到红，
中
央
高级次重叠
白
x
f
上下平移缝，透镜 不动则条纹不变。
斜射
a(sin sin)
k
(2k 1)
2
二、圆孔衍射 光学仪器分辨本领
1.衍射图样 多数光学仪器中的透
镜、光栏（光圈）都是圆 形。研究圆孔衍射有实际 意义。
在单缝夫琅禾费衍射装 置中，用一小圆孔代替狭 缝，在屏上可观察到圆孔 夫琅禾费衍射花样：
中央是一较亮的圆斑，外围是明暗相间的同心圆环。
a
对整个狭缝积分,得到 屏上P点的光振动： AP
A0
sin(a sin )
a sin
A0
sin u u
u a sin
光强分布：
sin 2 u IP I0 u2
（3）asin
k
(2k 1)
k 0, k （1 正整数）k 1, 2,3
k
0, a sin
2
0、a sin
属于中央明纹
2
（4）影响因素
sin
D
1
f
中央亮斑叫爱里斑，其光强占入射光强的84%。
sin
D
1
f
理论上计算可得：
爱里斑半角宽
1
sin 1
0.61
R
1.22
D
爱里斑半径
ftg1
f 1 1.22 f
D
对照单缝：a
sin 1
a1 =，1
=
a
I 圆孔衍射 光强分布
爱里斑
sin
0
由第一暗环围成的光斑-爱里斑， 占整个入射光束总光强的84%。
二、惠更斯——菲涅耳原理 回顾：惠更斯原理可以粗略解释波的衍射现象。
“波前上每一点都是子波源，各自发出球面子波。这 些子波包迹就是下一时刻的波前。”
核心思想：子波概念 作用：可以定性解释衍射现象（波绕过障碍物） 缺陷：不能描述衍射强度分布、衍射条纹形成；
不能解释波不倒退的现象
菲涅耳在惠更斯原理基础上，对子波位相、振幅做了规定。 提出了惠更斯——菲涅耳原理。
单缝衍射条纹宽
多缝干涉条纹尖锐
单缝衍射和多缝干涉谱线比较
双缝干涉实为双缝衍射
双缝干涉
单缝衍射与双缝衍射（干涉）
P328:
设宽度a的狭缝上的总振幅为A0,
,
单位宽度上的振幅：A0 a