圆中考经典试题精选剖析
浙江省杭州市中考数学试题分类解析 专题11 圆
浙江省杭州市中考数学试题分类解析 专题11 圆一、选择题1. (2002年浙江杭州3分)过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ,最短的弦长为4cm .则OM 的长为【 】. (A )3cm (B )5cm(C )2cm(D )3cm【答案】B 。
【考点】垂径定理,勾股定理。
【分析】⊙O 内一点M 的最长的弦是过点M 的直径;最短的弦是过点M 垂直于过点M 的直径的弦。
如图,AB 是最长的弦,CD 是最短的弦,连接OC 。
∵AB=6cm,CD=4cm ;∴OC=OA=3cm,CM=2cm 。
∴2222OM OC CM 325=-=-=(cm )。
故选B 。
2. (2003年浙江杭州3分)如图,点C 为⊙O 的弦AB 上的一点,点P 为⊙O 上一点,且OC⊥CP,则 有【 】(A )OC 2=CA•CB (B )OC 2=PA•PB (C )PC 2=PA•PB (D )PC 2=CA•CB【答案】D。
【考点】垂径定理,相交弦定理。
【分析】延长PC交圆于D,连接OP,OD。
根据相交弦定理,得CP•CD=CA•CB。
∵OP=OD,OC⊥PC,∴PC=CD。
∴PC2=CA•CB。
故选D。
3. (2004年浙江杭州3分)如图,三个半径为3的圆两两外切,且ΔABC的每一边都与其中的两个圆相切,那么ΔABC的周长是【】(A)12+63(B)18+63(C)18+123(D)12+123【答案】B。
【考点】相切圆的性质,等边三角形、矩形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】∵三圆两两相切,∴外切的△ABC为等边三角形(证明略)。
如图,连接 BO 2,CO 3,分别过点O 1,O 2作BC 的垂线,垂足为D ,E 。
∴BO 2平分∠ABC,∠O 2BC =30° 。
∵O 2D⊥BD ,∴22O D 3tan O BC tan30BD 3∠︒===。
∵O 2D=3,∴2O D 3BD 33333===。
初三数学圆试题答案及解析
初三数学圆试题答案及解析1.已知⊙O的周长为9π,当PO= 时,点P在⊙O上.【答案】4.5【解析】根据圆上点,圆内点和圆外点到圆心的距离与圆的半径的大小关系,可以确定点P的位置.解:∵⊙O的周长为9π,∴⊙O的半径为4.5,∵圆上点到圆心的距离等于半径,所以当PO=4.5时,P点在圆上.故答案为:4.5.点评:本题考查的是点与圆的位置关系,把点到圆心的距离与圆的半径进行大小比较,得到点与圆的位置关系.2.如图所示:在平面直角坐标系中,△OCB的外接圆与y轴交于A(0,),∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC= .【答案】1+【解析】连接AB,由圆周角定理知AB必过圆心M,Rt△ABO中,易知∠BAO=∠OCB=60°,已知了OA=,即可求得OB的长;过B作BD⊥OC,通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长,进而由OC=OD+CD求出OC的长.解:连接AB,则AB为⊙M的直径.Rt△ABO中,∠BAO=∠OCB=60°,∴OB=OA=×=.过B作BD⊥OC于D.Rt△OBD中,∠COB=45°,则OD=BD=OB=.Rt△BCD中,∠OCB=60°,则CD=BD=1.∴OC=CD+OD=1+.故答案为:1+.点评:此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力,能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键.3.△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=8,以C为圆心,r为半径作圆,使点A在圆内,点B在圆外,则半径r的取值范围为.【答案】5<r<8【解析】当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径,点B在圆外时点B到圆心的距离应该大于圆的半径,据此可以得到半径的取值范围.解:当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径,即:r>5;点B在圆外时点B到圆心的距离应该大于圆的半径,即:r<8;故答案为:5<r<8点评:本题考查了点与圆的位置关系,解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系.4.在△ABC中,∠ACB=90°.AC=2cm,BC=4cm,CM是斜边中线,以C为圆心以cm长为半径画圆,则A、B、M三点在圆的外是,在圆上的是.【答案】点B,点M【解析】先求出AB的长,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求得CM的长;再由点与圆的位置关系,确定出点三点与⊙C的位置关系.解:∵∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,∴AB==2,∵CM是中线,∴CM=AB=,∵2<<4∴在圆外的是点B,在圆上的是点M.故答案为:点B,点M.点评:本题考查了点与圆的位置关系:①点P在⊙O上;②点P在⊙O内;③点P在⊙O外,及勾股定理的运用.5.一点到圆周上点的最大距离为18,最短距离为2,则这个圆的半径为.【答案】10或8【解析】分点在圆内和圆外两种情况,当点在圆内时,最大距离与最小距离的和等于直径,然后求出半径;当点在圆外时,最大距离与最小距离的差等于直径,然后求出半径.解:当点在圆内时,圆的直径为18+2=20,所以半径为10.当点在圆外时,圆的直径为18﹣2=16,所以半径为8.故答案是:10或8.点评:本题考查的是点与圆的位置关系,根据点到圆的最大距离和最小距离,求出圆的直径,然后得到圆的半径.6.两个圆的直径比是2:5,这两个圆的周长之比是,面积比是.【答案】2:5;4:25【解析】利用所有的圆都相似得到直径比为2:5的两圆的相似比为2:5,据相似多边形的性质可以求得其周长之比和面积之比.解:∵直径比是2:5的两个圆相似,∴相似比为2:5,∵相似多边形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方,∴两圆的周长之比为2:5,面积的比等于4:25,故答案为2:5;4:25.点评:本题考查了圆的认识,解题的关键是判定两圆相似并利用相似多边形的性质得到面积之比和周长之比.7.一副斜边相等的直角三角板(∠DAC=45°,∠BAC=30°),按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形.A,B,C,D四点在同一个圆上吗?请说明理由.【答案】A、B、C、D能在同一个圆上【解析】取AC的中点O,连接OB,OD,根据直角三角形斜边上中线性质得出OB=OD=AC=OA=OC,根据对圆的认识得出答案.解:A、B、C、D能在同一个圆上,理由是:取AC的中点O,连接OB,OD,∵∠B=∠D=90°,∴OD=AC=OA=OC,BO=AC=OA=OC,∴OA=OB=OC=OD,∴A、B、C、D在以O为圆心,以OA为半径的圆上,即A、B、C、D能在同一个圆上.点评:本题考查了直角三角形斜边上中线性质和对圆的认识的应用,注意:直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.8.如何在操场上画出一个很大的圆?说一说你的方法.作图说明:已知点AB=4cm,到点A的距离小于2cm,到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形.【答案】【解析】根据圆的定义解答即可.解:在操场上用一根很长的绳子,固定一头,拉紧后另一头旋转一周即可得到一个很大的圆.阴影部分就是到点A的距离小于2cm,到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形点评:本题考查了圆的认识,关键是了解圆的定义.9.如图,△ABC和△ABD都为直角三角形,且∠C=∠D=90゜.求证:A、B、C、D四点在同一个圆上.【答案】见解析【解析】取弦AB的中点O,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得OA=OB=OC=OD后即可求证A、B、C、D四点在同一个圆上.证明:取弦AB的中点O,连接OC,OD,∵△ABC和△ABD都为直角三角形,且∠C=∠D=90゜∴DO,CO分别为Rt△ABD和Rt△BCD斜边上的中线,∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D四点在同一个圆上.点评:本题考查了圆的认识,求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等.10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.【答案】见解析【解析】先作△ABC的外接圆⊙O,并作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OP、OQ、OB、OA,证出BE=AF,OE=OF,再证Rt△OPF≌Rt△OQE,得到∠P=∠Q即可得到答案.证明:作△ABC的外接圆⊙O,并作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OP、OQ、OB、OA,∵O是△ABC的外心,∴OE=OF,OB=OA,由勾股定理得:BE2=OB2﹣OE2,AF2=OA2﹣OF2,∴BE=AF,∵AP=BQ,∴PF=QE,∵OE⊥AB,OF⊥AC∴∠OFP=∠OEQ=90°,∴Rt△OPF≌Rt△OQE,∴∠P=∠Q,∴O、A、P、Q四点共圆.即:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.点评:本题主要考查了四点共圆,勾股定理,全等三角形的性质和判定,确定圆的条件等知识点,作辅助线构造全等三角形证∠P=∠Q是解此题的关键.11.(2009•武汉模拟)如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1,D,E分别为AB,AC的中点,则sin∠BAC的值等于线段()A.BC的长B.DE的长C.AD的长D.AE的长【答案】B【解析】本题需将∠BAC构建到直角三角形中求解,过B作⊙O的直径,交⊙O于点F,由圆周角定理,知∠F=∠A;在Rt△BCF中,易求得sin∠F==,而DE是△ABC的中位线,即DE=,由此得解.解:过B作⊙O的直径BF,交⊙O于F,连接FC,则∠BCF=90°,Rt△BCF中,sin∠F==,∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,即DE=,∴sin∠A=sin∠F==DE.故选B.点评:本题主要考查的是三角形中位线定理、圆周角定理等知识点.12.下列命题中,真命题的个数是()①经过三点一定可以作圆;②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C【解析】在同一直线上三点不能作圆,即可判定①;一个圆可以作无数个圆,判断②即可;每个三角形都有一个外接圆,外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点,该点到三角形的三个顶点距离相等,即可判断③④.解:经过不在同一条直线上三点可以作一个圆,∴①错误;任意一个圆一定有内接三角形,并且有多个内接三角形,∴②错误;任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆,∴③正确;三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点,到三角形的三个顶点距离相等,∴④正确.故选C.点评:本题考查了确定圆的条件和三角形的外接圆与外心的应用,主要考查学生运用性质进行说理的能力,题目比较好,但是一道比较容易出错的题目.13.已知点P到⊙O的最长距离是3,最短距离是2,则⊙O的半径是()A.2.5B.0.5C.2.5或0.5D.无法确定【答案】C【解析】分两种情况进行讨论:①点P在圆内;②点P在圆外,进行计算即可.解:①点P在圆内;如图,∵AP=2,BP=3,∴AB=5,∴OA=2.5;②点P在圆外;如图,∵AP=3,BP=2,∴AB=1,∴OA=0.5.故选C.点评:本题考查了点和圆的位置关系,分类讨论是解此题的关键.14.已知⊙O的圆心在坐标原点,半径为5,点P的坐标为(﹣2,﹣4),则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O外C.点P在⊙O上D.不能确定【答案】A【解析】根据两点间的距离公式求出OP的长,再与半径比较确定点A的位置.解:OP==2<5,所以点P在⊙O内.故选A.点评:本题考查的是点与圆的位置关系,知道O,P的坐标,求出OP的长,与圆的半径进行比较,确定点P的位置.15.⊙O的半径R=5cm,点P与圆心O的距离OP=3cm,则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.不确定【答案】C【解析】已知圆的半径是r,点到圆心的距离是d,点和圆的位置关系有三种:当r=d时,点在圆上,当r>d时,点在圆内,当r<d时,点在圆外,根据进行判断即可.解:∵⊙O的半径R=5cm,点P与圆心O的距离OP=3cm,5>3,∴点P与⊙O的位置关系是点P在圆内,故选C.点评:本题考查了点与圆的位置关系的应用,注意:当圆的半径是r,点到圆心的距离是d时,点和圆的位置关系有三种:①当r=d时,点在圆上,②当r>d时,点在圆内,③当r<d时,点在圆外.16.直角三角形两直角边长分别是,,那么它的外接圆的直径是()A.B.4C.2D.【答案】D【解析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是2,再根据其外接圆直径就是斜边的长度进行计算即可.解:∵直角三角形两直角边长分别是,,∴该直角三角形的斜边长是:=2,∴该直角三角形的外接圆的直径是2.故选D.点评:本题综合考查了勾股定理、三角形外接圆圆心.解决此题的关键在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心,斜边长是圆的直径.17.已知⊙O的半径为4cm,A为线段OP的中点,当OP=6cm时,点A与⊙O的位置关系是()A.A在⊙O内B.A在⊙O上C.A在⊙O外D.不能确定【答案】A【解析】知道OP的长,点A是OP的中点,得到OA的长与半径的关系,求出点A与圆的位置关系.解:因为OP=6cm,A是线段OP的中点,所以OA=3cm,小于圆的半径,因此点A在圆内.故选A.点评:本题考查的是点与圆的位置关系,根据OP的长和点A是OP的中点,得到OA=3cm,与圆的半径相等,可以确定点A的位置.18.已知点A的坐标为A(3,4),⊙A的半径为5,则原点O与⊙A的位置关系是()A.点O在⊙A内B.点O在⊙A上C.点O在⊙A外D.不能确定【答案】B【解析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系,即当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;点在圆外;当d<r时,点在圆内;来确定点与圆的位置关系.解:∵点A的坐标为A(3,4),∴OA==5,∴根据点到圆心的距离等于半径,则知点在圆上.故选B.点评:本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质,能够根据勾股定理求得点到圆心的距离,根据数量关系判断点和圆的位置关系.19.①直径是弦;②过三点一定可以作圆;③三角形的外心到三个顶点的距离相等;④半径相等的两个半圆是等弧.以上四种叙述正确的有()个.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】根据直径、弦的定义即可判断①,根据不在同一直线上的三点一定可以作圆即可判断②,根据三角形外接圆的定义即可判断③;根据等弧的定义即可判断④.解:直径是弦,①正确;过不在同一直线上的三点一定可以作圆,②错误;三角形的外心到三个顶点的距离相等,③正确;半径相等的两个半圆是等弧,④正确;即正确的有3个,故选C.点评:本题考查了三角形的外接圆,圆的有关概念,确定圆的条件的应用,主要考查学生的理解能力和辨析能力,题目比较典型,但是比较容易出错.20.已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点,则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为()A.在⊙O内B.在⊙O外C.在⊙O上D.不能确定【答案】C【解析】圆是轴对称图形,直径所在的直线就是对称轴,从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解.解:∵圆是轴对称图形,直径所在的直线就是对称轴,∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为:在⊙O上,故选C.点评:本题考查了点与圆的位置关系,利用了圆的对称性求解.。
中考数学-圆经典必考题型中考试题集锦(附答案)解答题
中考数学圆经典必考题型中考试题(附答案)解答题1.(已知:如图,△ ABC 内接于O O 过点B 作的切线,交 CA 的延长线于点 E / EB & 2① 求证:AB= AC1AB ② 若tan / ABE=丄,(i )求 的值;(ii )求当 AC= 2时,AE 的长. 2BC=4cm 求O o 的半径.2.如图,PA 为O O 的切线, A 为切点,O 0的割线PBC 过点0与O O 分别交于B 、C, PA= 8cm PB3.已知:如图,BC 是O 0的直径,AC 切O 0于点C AB 交O 0于点D,若AD : DB= 2 : 3, AC= 10,求 sin B 的值.4.如图,PC 为O 0的切线,C 为切点,PAB 是过0的割线,1若tan B= _ , PC= 10cm 求三角形BCD的面积.25•如图,在两个半圆中,大圆的弦MNW小圆相切,D为切点,且MN AB MN a, ON CD分别为两圆的半径,求阴影部分的面积.6.已知,如图,以△ ABC的边AB作直径的O O分别并AC BC于点D E,弦FG// AB S A CDE S△ ABC= 1 : 4, DE= 5cm FG= 8cm,求梯形AFG啲面积.7.如图所示:PA为O O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA= 10, PB= 5,求:(1)O O的面积(注:用含n的式子表示);(2)cos / BAP的值.参考答案1.( 1)v BE 切O O 于点 B ,「. / ABE=Z C./ EBC= 2/ C,即 / ABH / ABC= 2/C,/ C +Z ABO 2 / C,/ ABC=Z C, ••• AB= AC.(2)①连结AO 交BC 于点F ,AB- AC, AOL BC 且 BF = FC.AF 在 Rt A ABF 中, =tan / ABF BF1 又 tan / ABF= tan C = tan / ABE=2 AF = 1 BF.AB AB .5BC 2BF4 ②在△ EBA M^ ECB 中 ,^EA 2- EA- (EA^ AC ),又 EA M 0 , 5 11EA= AC EA= — x 2 = 10 .5 11 11 22 •设O 的半径为r ,由切割线定理,得 PA = PB- PCAC 切O O 于点C,线段ADB 为O O 的割线,2AC = AD- ABAB= AM DB= 2k + 3k = 5k ,2 210 = 2k X 5k,••• k = 10,AB= AF 2 * * * BF 2BF 2 AF = 1BF 2/ E =Z E , / EBA=Z ECB△ EBA^A ECBEAEBBE 2 AB BC ,解之,得 EA ECk> 0,「. k= 10 .AB= 5k= 10 .AC切O O于C, BC为O O的直径,ACL BC在Rt A ACB中, sin B=虫10 10 .AB 5 屁5CD L AB于点D,/ADC=Z BD= 90°,/ 2= 90°—/ BAC=Z B.1tan B=2tan / 2=—.2AD CD 1 ACCD DB 2 CB .设AD= x (x > 0), CD= 2x, DB= 4x, AB= 5x .•/ PC切O O于点C,点B在O O上,• / 1 = / B./ P=/ P,「. △ PAC^ PCBPA AC 1PC CB 2 .PC= 10,「. PA= 5,PC 切O O 于点C, PAB 是O 0的割线,2PC = PA- PB210 = 5 (5 + 5 x ).解得 x = 3.AD= 3, CD= 6, DB= 12.1 1S ^BCD = CD" DB= — x 6X 12 = 36.2 22即三角形BCD 的面积36cm .PA= 10,二 PB= 20.2由切割线定理,得 PC = PA- PBA 內 DB= x + 4x = 15,解得 x = 3,CD= 2x = 6, DB= 4x = 12.S A BCD = ^CD- DB= 1 x 6X 12= 36.2 22即三角形BCD 的面积36cm .5.解:如图取 MN 的中点E 连结OE解法二:同解法一,由△ PAC^A PCB 得 PA PC AC CBPB 101220 AB= PB- PA= 15,2 2 2 a在 Rt A NOE 中 NO- OE = EN =2 6.解:T / CDE=/ CBA / DCE=/ BCA /• △ CDE^A ABC2S CDEDE S ABC AB DE = S CDE =任=1AB S ABC ' 42 ' 51 即 ,解得 AB= 10 (cm ,AB 2作OML FG 垂足为M11 则 FM= ^FG=丄^ 8= 4 (cm),22连结OF 11 OA= AB= — x 10= 5 (cm ).2 2OF= OA= 5 (cm ).在Rt A OMF 中由勾股定理,得 OM = . OF 2 FM 2 = -52 42 = 3 (cm ).A B FG10 Q 2 ••• 梯形 AFG 啲面积= -------------- • OM= -------- x 3 = 27 (cm ).2 27. 2 1 a n2 n ・ — =—a 2 2 8 2 2 1n( NO — OE ) 2 (平方单位). (2) CBAP AC PA △ ACP^A BAP —— P P AB PBAC 2AB 1S阴影 ⑴PA 是。
初三数学圆试题答案及解析
初三数学圆试题答案及解析1.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC.(1)求证:∠AEC=90°;(2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由;(3)若DC=2,求DH的长.【答案】(1)证明见解析;(2)四边形AOCD为菱形;(3)DH=2.【解析】(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长.试题解析:(1)连接OC,∵EC与⊙O切点C,∴OC⊥EC,∴∠OCE=90°,∵点CD是半圆O的三等分点,∴,∴∠DAC=∠CAB,∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)∴∠AEC+∠OCE=180°,∴∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.理由是:∵,∴∠DCA=∠CAB,∴CD∥OA,又∵AE∥OC,∴四边形AOCD是平行四边形,∵OA=OC,∴平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.∵四边形AOCD为菱形,∴OA=AD=DC=2,∵OA=OD,∴OA=OD=AD=2,∴△OAD是等边三角形,∴∠AOD=60°,∵DH⊥AB于点F,AB为直径,∴DH=2DF,在Rt△OFD中,sin∠AOD=,∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=,∴DH=2DF=2.【考点】1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.2.如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上一点,,则 °.【答案】20.【解析】∵AB是⊙O的直径,∴.∵OA=OC,,∴.∴.【考点】1.圆周角定理;2.等腰三角形的性质.3.已知一个圆锥的底面半径为3 cm,母线长为10 cm,则这个圆锥的侧面积为 ()A.15π cm2B.30π cm2C.60π cm2D.3cm2【答案】B【解析】圆锥的侧面积=π×3×10=30π cm2.故选B.4.如图,⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM:OC=3:5,则AB的长是A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm【答案】C.【解析】连接OB;∵CD=10cm,∴OC=5cm;∵OM:OC=3:5,∴OM=3cm;Rt△OCP中,OC=OA=5cm,OM=3cm;由勾股定理,得:所以AB=2AM=8cm,故选C.考点: 1.垂径定理;2.勾股定理.5.如图,点A是半圆上一个三等分点,点B是的中点,点P是直径MN上一动点,若⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值是.【答案】.【解析】本题是要在MN上找一点P,使PA+PB的值最小,设A′是A关于MN的对称点,连接A′B,与MN的交点即为点P.此时PA+PB=A′B是最小值,可证△OA′B是等腰直角三角形,从而得出结果.试题解析:作点A关于MN的对称点A′,连接A′B,交MN于点P,则PA+PB最小,连接OA′,AA′.∵点A与A′关于MN对称,点A是半圆上的一个三等分点,∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′,∵点B是弧AN^的中点,∴∠BON=30°,∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°,又∵OA=OA′=1,∴A′B=.∴PA+PB=PA′+PB=A′B=.考点: 1.垂径定理;2.勾股定理;3.圆心角、弧、弦的关系;4.轴对称-最短路线问题.6.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(秒)(0≤t<3),连结EF,当t值为________秒时,△BEF是直角三角形.【答案】t=1或或.【解析】∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°.∵∠ABC=60°,∴∠A=30°.又BC=3cm,∴AB=6cm.则当0≤t<3时,即点E从A到B再到O(此时和O不重合).若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;当∠BEF=90°时,则BE=BF=,此时点E走过的路程是或,则运动时间是s或s.故答案是t=1或或.【考点】圆周角定理.7.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,⊙O的半径为1,则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为(结果保留π)【答案】.【解析】如图,根据正方形和圆的对称性,上方的小扇形与下方的红色小扇形面积相等,所以图中阴影部分两个小扇形的面积之和为四分之一半径为1的圆的面积,即.【考点】1.网格问题;2. 正方形和圆的对称性;3. 扇形的面积;4.转换思想的应用.8.如图,从A地到B地有两条路可走,一条路是大半圆,另一条路是4个小半圆.有一天,一只猫和一只老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半圆行走,它不敢与猫同行(怕被猫吃掉),就沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同,那么下列结论正确的是A.猫先到达B地;B.老鼠先到达B地;C.猫和老鼠同时到达B地;D.无法确定.【答案】C.【解析】以AB为直径的半圆的长是:•AB;设四个小半圆的直径分别是a,b,c,d,则a+b+c+d=AB.则老鼠行走的路径长是:a+b+c+d=(a+b+c+d)=•AB.故猫和老鼠行走的路径长相同.故选C.【考点】弧长公式.9.如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,半径为5 ㎝,过O作OC AB求点O与AB的距离.【答案】3cm.【解析】连接OA.根据垂径定理求得AC的长,再进一步根据勾股定理即可求得OC的长.试题解析:连接OA.如图:∵OC⊥AB,弦AB长为8cm,∴AC=4(cm).根据勾股定理,得OC=考点: 1.垂径定理;2.勾股定理.10.如图所示,内接于,,,则______.【答案】.【解析】由圆周角定理知:,由于,得到,所以:.故答案是.【考点】圆周角定理.11.如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.【答案】(1)详见解析;(2)6【解析】(1)连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO=90°,则CD为⊙O的切线;(2)过O作OF⊥AB,则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,设AD=x,在Rt△AOF中,由勾股定理得(5-x)2+(6-x)2=25,从而求得x的值,由勾股定理得出AB的长.试题解析:(1)连接OC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO,∴∠DAC=∠OCA,∴PB∥OC,∵CD⊥PA,∴CD⊥OC,CO为⊙O半径,∴CD为⊙O的切线;(2)过O作OF⊥AB,垂足为F,∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,∴四边形DCOF为矩形,∴OC=FD,OF=CD.∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x,∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x,在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5-x)2+(6-x)2=25,化简得x2-11x+18=0,解得x1=2,x2=9.∵CD=6-x大于0,故x=9舍去,∴x=2,从而AD=2,AF=5-2=3,∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6.【考点】1.切线的判定和性质;2.勾股定理;3.矩形的判定和性质4.垂径定理12.如图MN=10是⊙O的直径,AE⊥MN于E,CF⊥MN于F,AE=4,CF=3,(1)在MN上找一点P,使PA+PC最短;(2)求出PA+PC最短的距离。
人教中考数学与圆的综合有关的压轴题含答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,CD 为⊙O 的直径,点B 在⊙O 上,连接BC 、BD ,过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ,AEO C =∠∠,OE 交BC 于点F . (1)求证:OE ∥BD ;(2)当⊙O 的半径为5,2sin 5DBA ∠=时,求EF 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)EF 的长为212【解析】试题分析:(1)连接OB ,利用已知条件和切线的性质证明; (2)根据锐角三角函数和相似三角形的性质,直接求解即可.试题解析:(1)连接OB , ∵CD 为⊙O 的直径 , ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线,∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径,∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠,∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD . (2)由(1)可得sin ∠C = ∠DBA=25,在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5, 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠,∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CDBO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ,CO =OD , ∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=2.已知:如图,在矩形ABCD 中,点O 在对角线BD 上,以OD 的长为半径的⊙O 与AD ,BD 分别交于点E 、点F ,且∠ABE=∠DBC .(1)判断直线BE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若sin ∠ABE=33,CD=2,求⊙O 的半径.【答案】(1)直线BE 与⊙O 相切,证明见解析;(2)⊙O 的半径为32. 【解析】分析:(1)连接OE ,根据矩形的性质,可证∠BEO =90°,即可得出直线BE 与⊙O 相切; (2)连接EF ,先根据已知条件得出BD 的值,再在△BEO 中,利用勾股定理推知BE 的长,设出⊙O 的半径为r ,利用切线的性质,用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值. 详解:(1)直线BE 与⊙O 相切.理由如下:连接OE ,在矩形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠ADB =∠DBC . ∵OD =OE ,∴∠OED =∠ODE . 又∵∠ABE =∠DBC ,∴∠ABE =∠OED , ∵矩形ABDC ,∠A =90°,∴∠ABE +∠AEB =90°,∴∠OED +∠AEB =90°,∴∠BEO =90°,∴直线BE 与⊙O 相切;(2)连接EF ,方法1:∵四边形ABCD 是矩形,CD =2,∴∠A =∠C =90°,AB =CD =2. ∵∠ABE =∠DBC ,∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠= ∴23DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中,∵CD =2,∴22BC =. ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ,∴2222DC AE AEAE BC AB ,,==∴=, 由勾股定理求得6BE =在Rt △BEO 中,∠BEO =90°,EO 2+EB 2=OB 2.设⊙O 的半径为r ,则222623r r +=-()(),∴r =32, 方法2:∵DF 是⊙O 的直径,∴∠DEF =90°. ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠C =90°,AB =CD =2. ∵∠ABE =∠DBC ,∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=. 设3DC x BD x ==,,则2BC x =.∵CD =2,∴22BC =. ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ,∴2222DC AE AEAE BC AB ,,=∴=∴=, ∴E 为AD 中点.∵DF 为直径,∠FED =90°,∴EF ∥AB ,∴132DF BD ==,∴⊙O 的半径为32.点睛:本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点,具有较强的综合性,有一定的难度.3.如图,O 是△ABC 的内心,BO 的延长线和△ABC 的外接圆相交于D ,连结DC 、DA 、OA 、OC ,四边形OADC 为平行四边形. (1)求证:△BOC ≌△CDA . (2)若AB =2,求阴影部分的面积.【答案】(1)证明见解析;(2433π-. 【解析】分析: (1)根据内心性质得∠1=∠2,∠3=∠4,则AD=CD ,于是可判断四边形OADC 为菱形,则BD 垂直平分AC ,∠4=∠5=∠6,易得OA=OC ,∠2=∠3,所以OB=OC ,可判断点O 为△ABC 的外心,则可判断△ABC 为等边三角形,所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°,BC=AC ,再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°,AD=OC ,CD=OA=OB ,则根据“SAS”证明△BOC ≌△CDA ;(2)作OH ⊥AB 于H ,如图,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°,根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1,再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=33BH=33,OB=2OH=233,然后根据三角形面积公式和扇形面积公式,利用S 阴影部分=S 扇形AOB-S △AOB 进行计算即可. 详解:(1)证明:∵O 是△ABC 的内心,∴∠2=∠3,∠5=∠6, ∵∠1=∠2,∴∠1=∠3, 由AD ∥CO ,AD =CO ,∴∠4=∠6, ∴△BOC ≌△CDA (AAS )(2)由(1)得,BC =AC ,∠3=∠4=∠6, ∴∠ABC =∠ACB ∴AB =AC∴△ABC 是等边三角形 ∴O 是△ABC 的内心也是外心 ∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点,BE 垂直平分AC . 在Rt △OCE 中,CE=12AC=12AB=1,∠OCE=30°, ∴23∵∠AOC=120°, ∴=AOBAOB S S S -阴影扇=2120231323602π-⨯ =433π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.4.如图,已知AB为⊙O直径,D是BC的中点,DE⊥AC交AC的延长线于E,⊙O的切线交AD的延长线于F.(1)求证:直线DE与⊙O相切;(2)已知DG⊥AB且DE=4,⊙O的半径为5,求tan∠F的值.【答案】(1)证明见解析;(2)2.【解析】试题分析:(1)连接BC、OD,由D是弧BC的中点,可知:OD⊥BC;由OB为⊙O的直径,可得:BC⊥AC,根据DE⊥AC,可证OD⊥DE,从而可证DE是⊙O的切线;(2)直接利用勾股定理得出GO的长,再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值.试题解析:解:(1)证明:连接OD,BC,∵D是弧BC的中点,∴OD垂直平分BC,∵AB 为⊙O的直径,∴AC⊥BC,∴OD∥AE.∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∵OD为⊙O的半径,∴DE 是⊙O的切线;(2)解:∵D是弧BC的中点,∴DC DB,∴∠EAD=∠BAD,∵DE⊥AC,DG⊥AB且DE=4,∴DE=DG=4,∵DO=5,∴GO=3,∴AG=8,∴tan∠ADG=84=2,∵BF是⊙O的切线,∴∠ABF=90°,∴DG∥BF,∴tan∠F=tan∠ADG=2.点睛:此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识,正确得出AG,DG的长是解题关键.5.如图.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=30cm,点P在AB上,AP=10cm,点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动,同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动,点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动,在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧,设点E、F运动的时间为t (s)(0<t<20).(1)当点H落在AC边上时,求t的值;(2)设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.①试求S关于t的函数表达式;②以点C为圆心,12t为半径作⊙C,当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值.【答案】(1)t=2s或10s;(2)①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩;②100cm2.【解析】试题分析:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2;如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10;(2)分四种切线讨论a、如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2.b、如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN.c、如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN.d、如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形EFGH.分别计算即可;②分两种情形分别列出方程即可解决问题.试题解析:解:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意得:AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10.综上所述:t=2s或10s时,点H落在AC边上.(2)①如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(3t)2﹣12(5t﹣10)2=﹣72t2+50t﹣50.如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(20﹣t)2﹣12(30﹣3t)2=﹣72t2+50t﹣50.如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形EFGH,S=(20﹣t)2=t2﹣40t+400.综上所述:S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩.②如图7中,当0<t≤5时,12t+3t=15,解得:t=307,此时S=100cm2,当5<t<20时,12t+20﹣t=15,解得:t=10,此时S=100.综上所述:当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值为100cm2点睛:本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意不能漏解,属于中考压轴题.6.阅读:圆是最完美的图形,它具有一些特殊的性质:同弧或等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”,再利用圆的性质将问题进行转化,往往能化隐为显、化难为易。
中考数学《圆(一)》专题练习含答案解析
圆(一)一、选择题1.如图,⊙O的直径AB=2,弦AC=1,点D在⊙O上,则∠D的度数是()A.30°B.45°C.60°D.75°2.如图,在⊙O中,=,∠AOB=50°,则∠ADC的度数是()A.50°B.40°C.30°D.25°3.如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是()A.55°B.60°C.65°D.70°4.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB且相交于点E,则下列结论中不成立的是()A.∠A=∠D B.=C.∠ACB=90°D.∠COB=3∠D5.如图,AB为⊙O直径,已知∠DCB=20°,则∠DBA为()A.50°B.20°C.60°D.70°6.如图,△ABD的三个顶点在⊙O上,AB是直径,点C在⊙O上,且∠ABD=52°,则∠BCD等于()A.32°B.38°C.52°D.66°7.如图,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C=25°,则∠BOD的度数是()A.25°B.30°C.40°D.50°8.如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠A=72°,则∠BCO的度数为()A.15°B.18°C.20°D.28°9.如图,△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=90°,则∠AOC的大小是()A.30°B.45°C.60°D.70°10.如图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=()A.80°B.90°C.100° D.无法确定11.△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80°B.160°C.100° D.80°或100°12.如图所示,MN是⊙O的直径,作AB⊥MN,垂足为点D,连接AM,AN,点C为上一点,且=,连接CM,交AB于点E,交AN于点F,现给出以下结论:①AD=BD;②∠MAN=90°;③=;④∠ACM+∠ANM=∠MOB;⑤AE=MF.其中正确结论的个数是()A.2 B.3 C.4 D.513.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,已知∠AOB=100°,那么∠ACB的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°14.如图,圆O是△ABC的外接圆,∠A=68°,则∠OBC的大小是()A.22°B.26°C.32°D.68°15.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,分别连接AC、BC、CD、OD.若∠DOB=140°,则∠ACD=()A.20°B.30°C.40°D.70°16.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD的度数为()A.50°B.80°C.100° D.130°17.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=45°,则∠B的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°18.如图A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于()A.50°B.80°C.100° D.130°二、填空题19.如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°,给出以下五个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧是劣弧的2倍;⑤AE=BC,其中正确的序号是.20.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使顶点C在半圆上,点A、B的读数分别为100°、150°,则∠ACB的大小为度.21.如图所示,A、B、C三点均在⊙O上,若∠AOB=80°,则∠ACB=°.22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径是4,sinB=,则线段AC的长为.23.如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=48°,则∠C的度数为.24.如图,点O为所在圆的圆心,∠BOC=112°,点D在BA的延长线上,AD=AC,则∠D=.25.如图,点A,B,C是⊙O上的点,AO=AB,则∠ACB=度.三、解答题(共5小题)26.已知:如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.(1)求BD的长;(2)求图中阴影部分的面积.27.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;(2)求证:∠1=∠2.28.如图,⊙O的半径为1,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.(1)判断△ABC的形状:;(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;(3)当点P位于的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.29.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,FO⊥AB,垂足为点O,连接AF 并延长交⊙O于点D,连接OD交BC于点E,∠B=30°,FO=2.(1)求AC的长度;(2)求图中阴影部分的面积.(计算结果保留根号)30.如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)求的长.(2)求弦BD的长.圆(一)参考答案与试题解析一、选择题1.如图,⊙O的直径AB=2,弦AC=1,点D在⊙O上,则∠D的度数是()A.30°B.45°C.60°D.75°【考点】圆周角定理;含30度角的直角三角形.【专题】几何图形问题.【分析】由⊙O的直径是AB,得到∠ACB=90°,根据特殊三角函数值可以求得∠B的值,继而求得∠A和∠D的值.【解答】解:∵⊙O的直径是AB,∴∠ACB=90°,又∵AB=2,弦AC=1,∴sin∠CBA=,∴∠CBA=30°,∴∠A=∠D=60°,故选:C.【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质,比较简单,但在解答时要注意特殊三角函数的取值.2.如图,在⊙O中,=,∠AOB=50°,则∠ADC的度数是()A.50°B.40°C.30°D.25°【考点】圆周角定理;垂径定理.【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°,再由圆周角定理即可得出结论.【解答】解:∵在⊙O中,=,∴∠AOC=∠AOB,∵∠AOB=50°,∴∠AOC=50°,∴∠ADC=∠AOC=25°,故选D.【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.3.如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是()A.55°B.60°C.65°D.70°【考点】圆周角定理.【分析】连接OB,要求∠BAO的度数,只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案,利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°,然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得.【解答】解:连接OB,∵∠ACB=25°,∴∠AOB=2×25°=50°,由OA=OB,∴∠BAO=∠ABO,∴∠BAO=(180°﹣50°)=65°.故选C.【点评】本题考查了圆周角定理;作出辅助线,构建等腰三角形是正确解答本题的关键.4.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB且相交于点E,则下列结论中不成立的是()A.∠A=∠D B.=C.∠ACB=90°D.∠COB=3∠D【考点】圆周角定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.【分析】根据垂径定理、圆周角定理,进行判断即可解答.【解答】解:A、∠A=∠D,正确;B、,正确;C、∠ACB=90°,正确;D、∠COB=2∠CDB,故错误;故选:D.【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,也考查了圆周角定理,解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理.5.如图,AB为⊙O直径,已知∠DCB=20°,则∠DBA为()A.50°B.20°C.60°D.70°【考点】圆周角定理.【专题】计算题.【分析】先根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°,再利用互余得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°,然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解.【解答】解:∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°,∴∠DBA=∠ACD=70°.故选D.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.6.如图,△ABD的三个顶点在⊙O上,AB是直径,点C在⊙O上,且∠ABD=52°,则∠BCD等于()A.32°B.38°C.52°D.66°【考点】圆周角定理.【分析】由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,即可求得∠ADB的度数,继而求得∠A的度数,又由圆周角定理,即可求得答案.【解答】解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠ABD=52°,∴∠A=90°﹣∠ABD=38°;∴∠BCD=∠A=38°.故选:B.【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.7.如图,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C=25°,则∠BOD的度数是()A.25°B.30°C.40°D.50°【考点】圆周角定理;垂径定理.【专题】压轴题.【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C,得到答案.【解答】解:∵在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,∴=,∴∠DOB=2∠C=50°.故选:D.【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.8.如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠A=72°,则∠BCO的度数为()A.15°B.18°C.20°D.28°【考点】圆周角定理.【专题】计算题.【分析】连结OB,如图,先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数.【解答】解:连结OB,如图,∠BOC=2∠A=2×72°=144°,∵OB=OC,∴∠CBO=∠BCO,∴∠BCO=(180°﹣∠BOC)=×(180°﹣144°)=18°.故选B.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰三角形的性质.9.如图,△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=90°,则∠AOC的大小是()A.30°B.45°C.60°D.70°【考点】圆周角定理.【专题】计算题.【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC,由于∠ABC+∠AOC=90°,所以∠AOC+∠AOC=90°,然后解方程即可.【解答】解:∵∠ABC=∠AOC,而∠ABC+∠AOC=90°,∴∠AOC+∠AOC=90°,∴∠AOC=60°.故选:C.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.10.如图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=()A.80°B.90°C.100° D.无法确定【考点】圆周角定理;坐标与图形性质.【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,根据圆周角定理,即可求得∠ACB=∠AOB=90°.【解答】解:∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,∴∠AOB=∠ACB,∵∠AOB=90°,∴∠ACB=90°.故选B.【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单,解题的关键是观察图形,得到∠AOB 与∠ACB是优弧AB所对的圆周角.11.△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80°B.160°C.100° D.80°或100°【考点】圆周角定理.【分析】首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠ABC的度数.【解答】解:如图,∵∠AOC=160°,∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°,∵∠ABC+∠AB′C=180°,∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°.∴∠ABC的度数是:80°或100°.故选D.【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解.12.如图所示,MN是⊙O的直径,作AB⊥MN,垂足为点D,连接AM,AN,点C为上一点,且=,连接CM,交AB于点E,交AN于点F,现给出以下结论:①AD=BD;②∠MAN=90°;③=;④∠ACM+∠ANM=∠MOB;⑤AE=MF.其中正确结论的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【考点】圆周角定理;垂径定理.【专题】压轴题.【分析】根据AB⊥MN,垂径定理得出①③正确,利用MN是直径得出②正确,==,得出④正确,结合②④得出⑤正确即可.【解答】解:∵MN是⊙O的直径,AB⊥MN,∴AD=BD,=,∠MAN=90°(①②③正确)∵=,∴==,∴∠ACM+∠ANM=∠MOB(④正确)∵∠MAE=∠AME,∴AE=ME,∠EAF=∠AFM,∴AE=EF,∴AE=MF(⑤正确).正确的结论共5个.故选:D.【点评】此题考查圆周角定理,垂径定理,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识.13.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,已知∠AOB=100°,那么∠ACB的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°【考点】圆周角定理.【专题】计算题;压轴题.【分析】根据图形,利用圆周角定理求出所求角度数即可.【解答】解:∵∠AOB与∠ACB都对,且∠AOB=100°,∴∠ACB=∠AOB=50°,故选C【点评】此题考查了圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.14.如图,圆O是△ABC的外接圆,∠A=68°,则∠OBC的大小是()A.22°B.26°C.32°D.68°【考点】圆周角定理.【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数,再根据等腰三角形的性质即可得出结论.【解答】解:∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角,∠A=68°,∴∠BOC=2∠A=136°.∵OB=OC,∴∠OBC==22°.故选A.【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.15.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,分别连接AC、BC、CD、OD.若∠DOB=140°,则∠ACD=()A.20°B.30°C.40°D.70°【考点】圆周角定理.【分析】根据∠DOB=140°,求出∠AOD的度数,根据圆周角定理求出∠ACD的度数.【解答】解:∵∠DOB=140°,∴∠AOD=40°,∴∠ACD=∠AOD=20°,故选:A.【点评】本题考查的是圆周角定理,掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.16.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD的度数为()A.50°B.80°C.100° D.130°【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质.【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系,求出∠BAD的度数;然后根据圆内接四边形的对角互补,用180°减去∠BAD的度数,求出∠BCD的度数是多少即可.【解答】解:∵∠BOD=100°,∴∠BAD=100°÷2=50°,∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选:D.【点评】(1)此题主要考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,要熟练掌握.(2)此题还考查了圆内接四边形的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).17.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=45°,则∠B的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°【考点】圆周角定理.【分析】先根据OA=OC,∠ACO=45°可得出∠OAC=45°,故可得出∠AOC的度数,再由圆周角定理即可得出结论.【解答】解:∵OA=OC,∠ACO=45°,∴∠OAC=45°,∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°,∴∠B=∠AOC=45°.故选D.【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.18.如图A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于()A.50°B.80°C.100° D.130°【考点】圆周角定理.【分析】首先在上取点D,连接AD,CD,由圆周角定理即可求得∠D的度数,然后由圆的内接四边形的性质,求得∠ABC的度数.【解答】解:如图,在优弧上取点D,连接AD,CD,∵∠AOC=100°,∴∠ADC=∠AOC=50°,∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°.故选D.【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.二、填空题19.如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°,给出以下五个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧是劣弧的2倍;⑤AE=BC,其中正确的序号是①②④.【考点】圆周角定理;等腰三角形的判定与性质;弧长的计算.【专题】压轴题.【分析】根据圆周角定理,等边对等角,等腰三角形的性质,直径对的圆周角是直角等知识,运用排除法逐条分析判断.【解答】解:连接AD,AB是直径,则AD⊥BC,又∵△ABC是等腰三角形,故点D是BC的中点,即BD=CD,故②正确;∵AD是∠BAC的平分线,由圆周角定理知,∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°,故①正确;∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD,故④正确;∵∠EBC=22.5°,2EC≠BE,AE=BE,∴AE≠2CE,③不正确;∵AE=BE,BE是直角边,BC是斜边,肯定不等,故⑤错误.综上所述,正确的结论是:①②④.故答案是:①②④.【点评】本题考查了圆周角定理,等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等.利用了圆周角定理,等边对等角,等腰三角形的性质,直径对的圆周角是直角求解.20.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使顶点C在半圆上,点A、B的读数分别为100°、150°,则∠ACB的大小为25度.【考点】圆周角定理.【专题】计算题.【分析】连接OA,OB,根据题意确定出∠AOB的度数,利用圆周角定理即可求出∠ACB 的度数.【解答】解:连接OA,OB,由题意得:∠AOB=50°,∵∠ACB与∠AOB都对,∴∠ACB=∠AOB=25°,故答案为:25【点评】此题考查了圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.21.如图所示,A、B、C三点均在⊙O上,若∠AOB=80°,则∠ACB=40°.【考点】圆周角定理.【专题】计算题.【分析】直接根据圆周角定理求解.【解答】解:∠ACB=∠AOB=×80°=40°.故答案为40.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径是4,sinB=,则线段AC的长为2.【考点】圆周角定理;解直角三角形.【专题】计算题.【分析】连结CD如图,根据圆周角定理得到∠ACD=90°,∠D=∠B,则sinD=sinB=,然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长.【解答】解:连结CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∵∠D=∠B,∴sinD=sinB=,在Rt△ACD中,∵sinD==,∴AC=AD=×8=2.故答案为2.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.23.如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=48°,则∠C的度数为42°.【考点】圆周角定理.【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数,再进一步根据圆周角定理求解.【解答】解:∵OA=OB,∠OBA=48°,∴∠OAB=∠OBA=48°,∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°,∴∠C=∠AOB=42°,故答案为:42°.【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理.解决本题的关键是熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.24.如图,点O为所在圆的圆心,∠BOC=112°,点D在BA的延长线上,AD=AC,则∠D=28°.【考点】圆周角定理;等腰三角形的性质.【分析】由AD=AC,可得∠ACD=∠ADC,由∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D,可得∠BAC的度数,由∠D=∠BAC即可求解.【解答】解:∵AD=AC,∴∠ACD=∠ADC,∵∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D,∴∠BAC=∠BOC=×112°=56°,∴∠D=∠BAC=28°.故答案为:28°.【点评】本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质,解题的关键是找出∠D与∠BOC 的关系.25.如图,点A,B,C是⊙O上的点,AO=AB,则∠ACB=150度.【考点】圆周角定理;等边三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质.【分析】根据AO=AB,且OA=OB,得出△OAB是等边三角形,再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°,解答即可.【解答】解:∵点A,B,C是⊙O上的点,AO=AB,∴OA=OB=AB,∴△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠BAC+∠ABC=30°,∴∠ACB=150°,故答案为:150【点评】此题考查了圆心角、圆周角定理问题,关键是根据AO=AB,且OA=OB,得出△OAB是等边三角形.三、解答题26.已知:如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.(1)求BD的长;(2)求图中阴影部分的面积.【考点】圆周角定理;勾股定理;扇形面积的计算.【分析】(1)由AB为⊙O的直径,得到∠ACB=90°,由勾股定理求得AB,OB=5cm.连OD,得到等腰直角三角形,根据勾股定理即可得到结论;(2)根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论.【解答】解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵BC=6cm,AC=8cm,∴AB=10cm.∴OB=5cm.连OD,∵OD=OB,∴∠ODB=∠ABD=45°.∴∠BOD=90°.∴BD==5cm.(2)S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2.【点评】本题考查了圆周角定理,勾股定理,等腰直角三角形的性质,扇形的面积,三角形的面积,连接OD构造直角三角形是解题的关键.27.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;(2)求证:∠1=∠2.【考点】圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系.【专题】计算题.【分析】(1)根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°,再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°,所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°;(2)根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE,再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE,则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD,加上∠BAE=∠CBD,所以∠1=∠2.【解答】(1)解:∵BC=DC,∴∠CBD=∠CDB=39°,∵∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°;(2)证明:∵EC=BC,∴∠CEB=∠CBE,而∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE=∠1+∠CBD,∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD,∵∠BAE=∠BDC=∠CBD,∴∠1=∠2.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰三角形的性质.28.如图,⊙O的半径为1,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.(1)判断△ABC的形状:等边三角形;(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;(3)当点P位于的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.【考点】圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;垂径定理.【分析】(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,从而可判断△ABC的形状;(2)在PC上截取PD=AP,则△APD是等边三角形,然后证明△APB≌△ADC,证明BP=CD,即可证得;(3)过点P作PE⊥AB,垂足为E,过点C作CF⊥AB,垂足为F,把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算,当点P为的中点时,PE+CF=PC从而得出最大面积.【解答】证明:(1)△ABC是等边三角形.证明如下:在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角,∠ABC与∠APC是所对的圆周角,∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,又∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形;(2)在PC上截取PD=AP,如图1,又∵∠APC=60°,∴△APD是等边三角形,∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°.又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,∴∠ADC=∠APB,在△APB和△ADC中,,∴△APB≌△ADC(AAS),∴BP=CD,又∵PD=AP,∴CP=BP+AP;(3)当点P为的中点时,四边形APBC的面积最大.理由如下,如图2,过点P作PE⊥AB,垂足为E.过点C作CF⊥AB,垂足为F.=AB•PE,S△ABC=AB•CF,∵S△APB=AB•(PE+CF),∴S四边形APBC当点P为的中点时,PE+CF=PC,PC为⊙O的直径,∴此时四边形APBC的面积最大.又∵⊙O的半径为1,∴其内接正三角形的边长AB=,=×2×=.∴S四边形APBC【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质,正确作出辅助线,证明△APB≌△ADC是关键.29.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,FO⊥AB,垂足为点O,连接AF 并延长交⊙O于点D,连接OD交BC于点E,∠B=30°,FO=2.(1)求AC的长度;(2)求图中阴影部分的面积.(计算结果保留根号)【考点】圆周角定理;全等三角形的判定与性质;扇形面积的计算.【分析】(1)解直角三角形求出OB,求出AB,根据圆周角定理求出∠ACB,解直角三角求出AC即可;(2)求出△ACF和△AOF全等,得出阴影部分的面积=△AOD的面积,求出三角形的面积即可.【解答】解:(1)∵OF⊥AB,∴∠BOF=90°,∵∠B=30°,FO=2,∴OB=6,AB=2OB=12,又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC=AB=6;(2)∵由(1)可知,AB=12,∴AO=6,即AC=AO,在Rt△ACF和Rt△AOF中,∴Rt△ACF≌Rt△AOF,∴∠FAO=∠FAC=30°,∴∠DOB=60°,过点D作DG⊥AB于点G,∵OD=6,∴DG=3,∴S△ACF +S△OFD=S△AOD=×6×3=9,即阴影部分的面积是9.【点评】本题考查了三角形的面积,全等三角形的性质和判定,圆周角定理,解直角三角形的应用,能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键.30.如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)求的长.(2)求弦BD的长.【考点】圆周角定理;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形;弧长的计算.【分析】(1)首先根据AB是⊙O的直径,可得∠ACB=∠ADB=90°,然后在Rt△ABC中,求出∠BAC的度数,即可求出∠BOC的度数;最后根据弧长公式,求出的长即可.(2)首先根据CD平分∠ACB,可得∠ACD=∠BCD;然后根据圆周角定理,可得∠AOD=∠BOD,所以AD=BD,∠ABD=∠BAD=45°;最后在Rt△ABD中,求出弦BD的长是多少即可.【解答】解:(1)如图,连接OC,OD,,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△ABC中,∵,∴∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°,∴的长=.(2)∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD,∴∠ABD=∠BAD=45°,在Rt△ABD中,BD=AB×sin45°=10×.【点评】(1)此题主要考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,要熟练掌握.(2)此题还考查了含30度角的直角三角形,以及等腰直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.(3)此题还考查了弧长的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①弧长公式:l=(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R).②在弧长的计算公式中,n是表示1°的圆心角的倍数,n和180都不要带单位.。
中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理,圆周角定理及其推论,圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系;切线的判定,切线的性质,切线长定理,弧长及扇形面积的计算,求阴影部分的面积等.对圆的考查在中考中以客观题为主,考查题型多样,关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查,切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查;圆在中考中的比重约为10%~15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想,方程思想和数形结合思想;常用的数学方法有分类讨论法,设参数法等.【知识结构】【典例精选】如图,⊙O的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点,连结OP,若OP =4,∠APO=30°,则弦AB的长为( )A.2 5 B. 5C.213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP,连结OB,根据OP=4,∠APO=30°,求出OC的值,在Rt△BCO中,根据勾股定理求出BC的值,进而得出AB的值.【解析】如图,过点O作OC⊥AP于点C,连结OB,∵OP=4,∠APO=30°,∴OC=4×sin 30°=2.∵OB=3,∴BC=OB2-OC2=32-22=5,∴AB=2 5.故选A.答案:A规律方法:利用垂径定理进行证明或计算,通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中,利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图,从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,将剪下的扇形围成一个圆锥,圆锥的高是( )A.4 2 m B.5 m C. 30 m D.215 m【思路点拨】首先连结AO,求出AB,然后求出扇形的弧长BC,进而求出扇形围成的圆锥的底面半径,最后应用勾股定理求出圆锥的高即可.【解析】如图,连结AO,∵AB=AC,点O是BC的中点,∴AO⊥BC.又∵∠BAC=90°,∴∠ABO=∠ACO=45°,∴AB=2OB=2×(8÷2)=42(m).∴l BC=90π×42180=22π(m).∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π=2(m).∴圆锥的高是422-22=30(m).故选C.答案:C规律方法:解决圆锥的相关问题,可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程,利用方程解决问题.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是AB的中点,以E为圆心、ED 为半径作半圆,交A,B所在的直线于M,N两点,分别以MD,ND为直径作半圆,则阴影部分的面积为( )A.9 5 B.18 5 C.36 5 D.72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN 的面积-大半圆的面积,MN为半圆的直径,从而可知∠MDN=90°,在Rt△MDN 中,由勾股定理可知MN2=MD2+DN2,从而可得到两个小半圆的面积=大半圆的面积,故此阴影部分的面积=△DMN的面积,在Rt△AED中,ED=AD2+AE2=62+32=35,所以MN=65,然后利用三角形的面积公式求解即可.【解析】根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积-大半圆的面积.∵MN为大半圆的直径,∴∠MDN=90°.在Rt△MDN中,MN2=MD2+DN2,∴两个小半圆的面积和=大半圆的面积.∴阴影部分的面积=△DMN 的面积.在Rt△AED中,ED=AD2+AE2=62+32=35,∴阴影部分的面积=△DMN的面积=12MN·AD=12×65×6=18 5.故选B.答案:B规律方法:求阴影部分的面积,一般是将所求阴影部分进行分割组合,转化为规则图形的和或差.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连结CD.(1)求证:∠A=∠BCD.(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?并说明理由.【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC=90°,根据直角三角形的性质可得∠A+∠ACD=90°,再由∠DCB+∠ACD=90°,可得∠A=∠BCD;(2)当点M是BC的中点时,直线DM与⊙O相切.连结DO,证明∠ODM =90°,进而证得直线DM与⊙O相切.【自主解答】(1)证明:∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD.(2)解:当点M是BC的中点时,直线DM与⊙O相切.理由如下:如图,连结DO,∵DO=CO,∴∠1=∠2.∵∠BDC=90°,点M是BC的中点,∴DM=CM,∴∠4=∠3.∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°,∴直线DM与⊙O相切.规律方法:在判定一条直线是圆的切线时,如果这条直线和圆有公共点,常作出经过公共点的半径,证明这条直线与经过公共点的半径垂直,概括为“连半径,证垂直,得切线”.【能力评估检测】一、选择题1.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AE是⊙O的切线,A为切点,连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC=80°,则∠ADB的度数为( B )A.40° B.50° C.60° D.20°2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=60°,AB=AC=2,则弦BC的长为( C )A. 3 B.3 C.2 3 D.43.如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( A )A.25° B.50° C.60° D.30°4.如图,直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时,则∠ABP 的度数为( B )A.15° B.30° C.60° D.90°5.如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形DAB的面积为( D )A.6 B.7 C.8 D.96.如图,已知AB为⊙O的直径,AD切⊙O于点A,EC=CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A.BA⊥DA B.OC∥AEC.∠COE=2∠CAE D.OD⊥AC7.如图,菱形ABCD的对角线BD,AC分别为2,23,以B为圆心的弧与AD,DC相切,则阴影部分的面积是( D )A.23-33π B.43-33πC.43-π D.23-π8.如图,正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母,点P是FA延长线上的点,在A,P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线,一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线,把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动),则点P运动的路径长为( B )A .13π cmB .14π cmC .15π cmD .16π cm9.如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =5,AD ,AB ,BC 分别与⊙O 相切于E ,F ,G 三点,过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ,切点为N ,则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D .2 5 解:如图,连接OE ,OF ,ON ,OG .∵AD ,AB ,BC 分别与⊙O 相切于E ,F ,G 三点,∴∠AEO =∠AFO =∠OFB =∠BGO =90°.∴四边形AFOE ,FBGO 都是正方形.∴AF =BF =AE =BG =2.∴DE =3.∵DM 是⊙O 的切线,∴DN =DE =3,MN =MG . ∴CM =5-2-MN =3-MN .在Rt △DMC 中,DM 2=CD 2+CM 2,∴(3+MN )2=(3-MN )2+42.∴NM =43.∴DM =3+43=133.故选A. 答案:A二、填空题10.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,则直线y =x +2与以O 点为圆心,1为半径的圆的位置关系为 相切.11.如图,圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ,F ,且∠A =55°,∠E =30°,则∠F =40° .12.如图,正三角形ABC 的边长为2,点A ,B 在半径为2的圆上,点C 在圆内,将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转,当点C 第一次落在圆上时,点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′,连结OA ,OB ,OC ′,则OA =OB = 2.又∵AB =2,∴OA 2+OB 2=AB 2,∴∠AOB =90°,∴∠OAB =45°,同理∠OAC ′=45°,∴∠BAC ′=90°.∵△ABC 为等边三角形,∴∠CAB =60°,∴∠CAC ′=30°,∴点C 运动的路线长为30π×2180=π3.故答案为π3. 答案:π3 13.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =5 cm ,AC =2 cm ,将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置,则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中,BC =AC 2+AB 2=29(cm),S 扇形BCB 1=45π×292360=29π8(cm 2),S △CB 1A 1=12×5×2=5(cm 2),S 扇形CAA 1=45π×22360=π2(cm 2),故S 阴影部分=S 扇形BCB 1+S △CB 1A 1-S △ABC -S 扇形CAA 1=29π8+5-5-π2=25π8(cm 2). 答案:25π8三、解答题14.如图,AB 是⊙O 的直径,BC 切⊙O于点B ,OC 平行于弦AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,连结AC ,与DE 交于点P .求证:(1)PE =PD ;(2)AC ·PD =AP ·BC .证明:(1)∵AB 是⊙O 的直径,BC 是切线,∴AB ⊥BC ,∵DE ⊥AB ,∴DE ∥BC ,∴△AEP ∽△ABC ,∴EP BC =AE AB .又∵AD ∥OC ,∴∠DAE =∠COB ,∴△AED ∽△OBC ,∴ED BC =AE OB =AE 12AB =2AE AB .∴ED =2EP ,∴PE =PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径,BC 是切线,∴AB ⊥BC ,∵DE ⊥AB ,∴DE ∥BC ,∴△AEP ∽△ABC ,∴AP AC =PE BC .∵PE =PD ,∴AP AC =PD BC,∴AC ·PD =AP ·BC . 15.如图,在△OAB 中,OA =OB =10,∠AOB =80°,以点O 为圆心,6为半径的优弧MN 分别交OA ,OB 于点M ,N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角),将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′,求证:AP =BP ′;(2)点T 在左半弧上,若AT 与弧相切,求点T 到OA 的距离;(3)设点Q 在优弧MN 上,当△AOQ 的面积最大时,直接写出∠BOQ 的度数.(1)证明:如图,∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP,∴∠AOP=∠BOP′.又∵OA=OB,OP=OP′,∴△AOP≌△BOP′.∴AP=BP′.(2)解:如图,连结OT,过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切,∴∠ATO=90°.∴AT=OA2-OT2=102-62=8.∵12OA·TH=12AT·OT,即12×10×TH=12×8×6,∴TH=245,即点T到OA的距离为245.(3)10°,170°.16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AC=3,∠B=30°.①求⊙O的半径;②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD,BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π).解:(1)直线BC与⊙O相切.理由如下:如图,连结OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D,∴∠CAD=∠OAD,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切.(2)①设OA=OD=r,∵在Rt△BDO中,∠B=30°,∴OB=2r,∴在Rt△ACB中,∠B=30°,∴AB=2AC=6,∴3r=6,解得r=2.②∵在Rt△ODB中,∠B=30°,∴∠BOD=60°,∴S扇形ODE=60π×22360=23π,∴阴影部分面积为S△BOD-S扇形ODE=23-23π.11。
人教中考数学圆的综合-经典压轴题附详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,在⊙O 中,直径AB ⊥弦CD 于点E ,连接AC ,BC ,点F 是BA 延长线上的一点,且∠FCA =∠B .(1)求证:CF 是⊙O 的切线; (2)若AE =4,tan ∠ACD = 12,求AB 和FC 的长.【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 , 403CF =【解析】 分析:(1)连接OC ,根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可;(2)通过正切值和圆周角定理,以及∠FCA =∠B 求出CE 、BE 的长,即可得到AB 长,然后根据直径和半径的关系求出OE 的长,再根据两角对应相等的两三角形相似(或射影定理)证明△OCE ∽△CFE ,即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解:⑴证明:连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4,tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA =∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB ∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛:此题主要考查了圆的综合知识,关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质,结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解,利用数形结合和方程思想是解题的突破点,有一定的难度,是一道综合性的题目.2.函数是描述客观世界运动变化的重要模型,理解函数的本质是重要的任务。
(1)如图1,在平面直角坐标系中,已知点A 、B 的坐标分别为A (6,0)、B (0,2),点C (x ,y )在线段AB 上,计算(x+y )的最大值。
圆的真题汇编含解析
圆的真题汇编含解析一、选择题1.如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动),当正方形连续翻动8次后,正方形的中心O经过的路线长是()cm.A.82B.8 C.3πD.4π【答案】D【解析】【分析】由题意可得翻转一次中心O经过的路线长就是1个半径为1,圆心角是90°的弧长,然后进行计算即可解答.【详解】解:∵正方形ABCD的边长为2cm,∴对角线的一半=1cm,则连续翻动8次后,正方形的中心O经过的路线长=8×901180π⨯=4π.故选:D.【点睛】本题考查了弧长的计算,审清题意、确定点O的路线和长度是解答本题的关键.2.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,且CD⊥AB,BC=3,AC=4,则sin∠ABD的值是()A.43B.34C.35D.45【答案】D【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC,再根据勾股定理求得AB=5,即可求sin∠ABD【详解】∵AB 是⊙O 的直径,CD ⊥AB ,∴弧AC=弧AD ,∴∠ABD=∠ABC .根据勾股定理求得AB=5,∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45. 故选D . 【点睛】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论,熟悉锐角三角函数的概念.3.如图,AC BC ⊥,8AC BC ==,以BC 为直径作半圆,圆心为点O ;以点C 为圆心,BC 为半径作»AB ,过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ,则图中阴影部分的面积是( )A .20833π- B .20833π+ C .20833π- D .20433π+ 【答案】A【解析】【分析】 如图,连接CE .图中S 阴影=S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE .根据已知条件易求得OB =OC =OD =4,BC =CE =8,∠ECB =60°,OE =43,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解:如图,连接CE .∵AC ⊥BC ,AC =BC =8,以BC 为直径作半圆,圆心为点O ;以点C 为圆心,BC 为半径作∴∠ACB=90°,OB=OC=OD=4,BC=CE=8.又∵OE∥AC,∴∠ACB=∠COE=90°.∴在Rt△OEC中,OC=4,CE=8,∴∠CEO=30°,∠ECB=60°,OE=43,∴S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE=2260811-4-443 36042ππ⨯⨯⨯⨯=20-83 3π故选:A.【点睛】本题考查了扇形面积的计算.不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算.4.如图,在扇形OAB中,120AOB∠=︒,点P是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),C、D分别是弦AP,BP的中点.若33CD=,则扇形AOB的面积为()A.12πB.2πC.4πD.24π【答案】A【解析】【分析】如图,作OH⊥AB于H.利用三角形中位线定理求出AB的长,解直角三角形求出OB即可解决问题.【详解】解:如图作OH⊥AB于H.∵C、D分别是弦AP、BP的中点.∴CD是△APB的中位线,∴AB=2CD=∵OH⊥AB,∴BH=AH=∵OA=OB,∠AOB=120°,∴∠AOH=∠BOH=60°,在Rt△AOH中,sin∠AOH=AH AO,∴AO=6 sinAHAOH==∠,∴扇形AOB的面积为:2120612360ππ=g g,故选:A.【点睛】本题考查扇形面积公式,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.5.已知某圆锥的底面半径为3 cm,母线长5 cm,则它的侧面展开图的面积为()A.30 cm2B.15 cm2C.30π cm2D.15π cm2【答案】D【解析】试题解析:根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得:S=RLπ=15π故选D.6.下列命题是假命题的是()A.三角形两边的和大于第三边B.正六边形的每个中心角都等于60oC.半径为RD.只有正方形的外角和等于360︒【答案】D【解析】【分析】根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.【详解】A 、三角形两边的和大于第三边,A 是真命题,不符合题意;B 、正六边形6条边对应6个中心角,每个中心角都等于360606︒︒=,B 是真命题,不符合题意;C 、半径为R 的圆内接正方形中,对角线长为圆的直径2R ,设边长等于x ,则:222(2)x x R +=,解得边长为2x R :=,C 是真命题,不符合题意;D 、任何凸3n n ≥()边形的外角和都为360︒,D 是假命题,符合题意, 故选D.【点睛】本题考查了真假命题,熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.7.如图,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形.延长AB 与DC 相交于点G ,AO ⊥CD ,垂足为E ,连接BD ,∠GBC=50°,则∠DBC 的度数为( )A .50°B .60°C .80°D .90°【答案】C【解析】【分析】 根据圆内接四边形的性质得:∠GBC =∠ADC =50°,由垂径定理得:··CMDM =,则∠DBC =2∠EAD =80°.【详解】如图,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,∴∠GBC =∠ADC =50°.∵AE ⊥CD ,∴∠AED =90°,∴∠EAD =90°﹣50°=40°,延长AE 交⊙O 于点M .∵AO ⊥CD ,∴··CMDM =,∴∠DBC =2∠EAD =80°. 故选C .【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,还考查了垂径定理的应用,属于基础题.8.如图,用半径为12cm,面积272cmπ的扇形无重叠地围成一个圆锥,则这个圆锥的高为()A.12cm B.6cm C.6√2 cm D.63 cm【答案】D【解析】【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角,再利用周长公式计算出底面圆的周长,得出半径.再构建直角三角形,解直角三角形即可.【详解】72π=212 360 nπ⨯解得n=180°,∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm.围成一个圆锥后如图所示:因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm,即OB=6cm根据勾股定理得OC=22126=63-cm ,故选D .【点睛】本题综合考查了弧长公式,扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长,及勾股定理等知识,所以学生学过的知识一定要结合起来.9.如图,⊙O 中,弦BC 与半径OA 相交于点D ,连接AB ,OC ,若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C 的度数是( )A .25°B .27.5°C .30°D .35°【答案】D【解析】 分析:直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B 以及∠ODC 度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.详解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,∴∠AOC=2∠B=50°,∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D .点睛:此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC 度数是解题关键.10.如图,ABC ∆是一块绿化带,将阴影部分修建为花圃.已知15AB =,9AC =,12BC =,阴影部分是ABC ∆的内切圆,一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为( ).A .16 B .6π C .8π D .5π【答案】B【解析】【分析】由AB=5,BC=4,AC=3,得到AB 2=BC 2+AC 2,根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形,于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1,求得直角三角形的面积和圆的面积,即可得到结论.【详解】解:∵AB=5,BC=4,AC=3,∴AB 2=BC 2+AC 2,∴△ABC 为直角三角形,∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1, ∴S △ABC =12AC•BC=12×4×3=6, S 圆=π,∴小鸟落在花圃上的概率=6π , 故选B .【点睛】本题考查几何概率,直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理,解题关键是熟练掌握公式.11.如图,O e 中,若66OA BC AOB ⊥∠=o 、,则ADC ∠的度数为( )A .33°B .56°C .57°D .66°【答案】A【解析】【分析】 根据垂径定理可得»»ACAB =,根据圆周角定理即可得答案. 【详解】∵OA ⊥BC ,∴»»ACAB =,∵∠AOB=66°,∠AOB 和∠ADC 分别是»AB和»AC 所对的圆心角和圆周角, ∴∠ADC=12∠AOB=33°, 故选:A .【点睛】 本题考查垂径定理及圆周角定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的两条弧;在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;熟练掌握相关定理是解题关键.12.下列命题中哪一个是假命题( )A .8的立方根是2B .在函数y =3x 的图象中,y 随x 增大而增大C .菱形的对角线相等且平分D .在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项.【详解】A 、8的立方根是2,正确,是真命题;B 、在函数3y x 的图象中,y 随x 增大而增大,正确,是真命题;C 、菱形的对角线垂直且平分,故错误,是假命题;D 、在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确,是真命题,故选C .【点睛】考查了命题与定理的知识,能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键.13.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,OC 交⊙O 于点D ,若∠ABD =24°,则∠C 的度数是( )A .48°B .42°C .34°D .24°【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质求出∠OAC,结合∠C=42°求出∠AOC,根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO,根据三角形外角性质求出即可.【详解】解:∵∠ABD=24°,∴∠AOC=48°,∵AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴∠C=90°﹣48°=42°,故选:B.【点睛】考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,解此题的关键是求出∠AOC的度数,题目比较好,难度适中.14.如图,3个正方形在⊙O直径的同侧,顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上,正方形ABCD的顶点A在⊙O上,顶点D在PC上,正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG 上,正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上.若BC=1,GH=2,则CG的长为()A.125B6C21D.22【答案】B【解析】【分析】【详解】解:连接AO、PO、EO,设⊙O的半径为r,OC=x,OG=y,由勾股定理可知:22222222211{22r xr x x yr y=++=++=++()①()②()③,②﹣③得到:x2+(x+y)2﹣(y+2)2﹣22=0,∴(x+y)2﹣22=(y+2)2﹣x2,∴(x+y+2)(x+y﹣2)=(y+2+x)(y+2﹣x).∵x+y+2≠0,∴x+y﹣2=y+2﹣x,∴x=2,代入①得到r2=10,代入②得到:10=4+(x+y)2,∴(x+y)2=6.∵x+y>0,∴x+y6,∴CG=x+y=6.故选B.点睛:本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识,解题的关键是设未知数列方程组解决问题,难点是解方程组,利用因式分解法巧妙求出x的值,学会把问题转化为方程组,用方程组的思想去思考问题.15.如图,点A、B、C、D、E、F等分⊙O,分别以点B、D、F为圆心,AF的长为半径画弧,形成美丽的“三叶轮”图案.已知⊙O的半径为1,那么“三叶轮”图案的面积为()A.π+33B.π-33C.33π+D.33π-【答案】B【解析】【分析】连接OA、OB、AB,作OH⊥AB于H,根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB,根据扇形面积公式计算.【详解】连接OA、OB、AB,作OH⊥AB于H,∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点,∴∠AOB=60°,又OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OB=1,∠ABO=60°,∴OH=2211()2-=32, ∴“三叶轮”图案的面积=(2601360π⨯⨯-12×1×32)×6=π-332, 故选B .【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算,掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键.16.如图,有一圆锥形粮堆,其侧面展开图是半径为6m 的半圆,粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B 处,它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程长为( )A .3mB .33mC .35mD .4m【答案】C【解析】【分析】【详解】 如图,由题意得:AP =3,AB =6,90.BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.17.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点M ,若CD =8 cm ,MB =2 cm ,则直径AB 的长为( )A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB,可得DM=4.设半径OD=Rcm,则可求得OM的长,连接OD,在直角三角形DMO中,由勾股定理可求得OD的长,继而求得答案.【详解】解:连接OD,设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,∴DM=12CD=4cm,OM=R-2,在RT△OMD中,OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得:R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm.故选B.【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.18.如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为()A.23B.13C.4 D.32【答案】B【解析】【分析】如下图,作AD⊥BC,设半径为r,则在Rt△OBD中,OD=3-1,OB=r,BD=3,利用勾股定理可求得r.【详解】如图,过A作AD⊥BC,由题意可知AD必过点O,连接OB;∵△BAC是等腰直角三角形,AD⊥BC,∴BD=CD=AD=3;∴OD=AD-OA=2;Rt△OBD中,根据勾股定理,得:OB= 22BD OD13+=故答案为:B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用,解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.19.如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上,且OA=OB.点P为⊙C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最小值为()A.4 B.3 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】连接OC,交⊙C上一点P,以O为圆心,以OP为半径作⊙O,交x轴于A、B,此时AB的长度最小,根据勾股定理和题意求得OP=2,则AB的最小长度为4.【详解】解:如图,连接OC,交⊙C上一点P,以O为圆心,以OP为半径作⊙O,交x轴于A、B,此时AB的长度最小,∵C(3,4),∴OC=2234=5,∵以点C为圆心的圆与y轴相切.∴⊙C的半径为3,∴OP=OC﹣3=2,∴OP=OA=OB=2,∵AB是直径,∴∠APB=90°,∴AB长度的最小值为4,故选:A.【点睛】本题考查了圆切线的性质、坐标和图形的性质、圆周角定理、勾股定理,找到OP的最小值是解题的关键.20.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC 的长为()A.25cm B.45 cm C.25cm或45cm D.23cm或43cm【答案】C【解析】连接AC,AO,∵O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时,∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,∴==3cm,∴CM=OC+OM=5+3=8cm,∴==;当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,∴MC=5−3=2cm,在Rt△AMC中==cm.故选C.。
九年级《圆》经典例题分析总结
《圆》经典例题分析总结经典例题透析1.垂径定理及其应用在圆这一章中,涉及垂径定理的有关知识点很多,如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等,也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.1.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需要确定管道圆形截面的半径,如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图;(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.总结升华:在解答有关圆的问题时,常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系,从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息,从而达到解决问题的目的,此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等.举一反三:【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表示为:如图所示,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为( )A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸2.圆周角及其应用圆周角与圆心角是本章中最常用的角,在中考中经常出现,一般单独考查它的题目不多,都是隐含在其他题目中.2.如图所示,△ABC内接于⊙O,点D是CA延长线上一点,若∠BOC=120°,∠BAD等于( )A.30°B.60°C.75°D.90°举一反三:【变式1】如图所示,⊙O的内接四边形ABCD中,AB=CD,则图中与∠1相等的角有________________.【变式2】如图所示,已知AB为⊙O的直径,AC为弦,OD∥BC,BC=4cm.(1)说明AC⊥OD;(2)求OD的长.3.切线的性质及判定涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现,主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力,所以应认真理解有关切线的内容,并能用来解答实际问题.3.如图所示,直线MN是⊙O的切线,A为切点,过A的作弦交⊙O于B、C,连接BC,证明∠NAC=∠B.举一反三:【变式1】如图所示,DB切⊙O于点A,∠AOM=66°,则∠DAM=________________.【变式2】如图所示,AB是⊙O的直径,是⊙O的切线,C是切点,过A、B分别作的垂线,垂足分别为E、F,证明EC=CF.4.如图所示,EB、BC是⊙O是两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,那么∠A的度数是________________.答案:99°.解析:由EB=EC,∠E=46°知,∠ECB= 67°,从而∠BCD=180°-67°-32°=81°,在⊙O中,∠BCD与∠A互补,所以∠A=180°-81°=99°.举一反三:【变式1】如图所示,已知在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.求证:DE∥OC;4.两圆位置的判定在各地中考试题中,单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主,在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标,这部分内容不仅考查基础知识,而且考查综合运用能力.5.填空题(1)已知圆的直径为13 cm,圆心到直线的距离为6cm,那么直线和这个圆的公共点的个数是______.(2)两个圆内切,其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是_______________.【变式2】已知两圆的圆心距为3,的半径为1.的半径为2,则与的位置关系为________.【变式3】在平面直角坐标系中如图所示,两个圆的圆心坐标分别是(3,0)和(0,-4),半径分别是和,则这两个圆的公切线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条5.弧长的计算及其应用6.如图所示,在正方形铁皮下剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型,设圆的半径为r,扇形半径为R,则圆的半径与扇形半径之问的关系为( )A. B. C. D.6.图形面积的计算及其应用与圆有关的图形面积计算问题有圆的面积、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积.考查题型以选择题、填空题、解答题为主,考查重点是对有关公式的灵活运用.其中是不规则图形面积的计算,应首先将其转化为规则图形,然后再进行.7.沈阳市某中学举办校园文化艺术节,小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”,图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆,如图所示,则图中阴影部分的面积为( )A. B.72 C.36 D.727.圆与其他知识的综合运用8.如图所示,已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁,一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向,向正东航行8海里到达C处后,又测得该灯塔在北偏东30°的方向,渔船如果不改变方向,继续向东航行,有没有触的礁危险?思路点拨:若渔船在向东航行的过程中的每一位置到A点的距离都大于7海里,则不会进入危险区域,所以只要计算航线上到A点最近的点与A点的距离.解:过点A作AD⊥BC交直线BC于D,设AD=x海里.∵∠ABD=90°-60°=30°,∠ACD=90°-30°=60°,∴AB=2x,AC=2CD.∴,,∴,.∵,∴,.即.这就是说当渔船航行到点D时,在以A为圆心、以7海里为半径的圆形暗礁内.所以,若不改变航向继续向正东航行,有触礁的危险.总结升华:解这类实际问题,只需求其最小值或最大值,与已知数据进行比较,从而得出正确的结论.9.小明要在半径为1 m、圆心角为60°的扇形铁皮中剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮,小明在扇形铁皮上设计如图1和图2所示的甲、乙两种剪取方案,请你帮小明计算一下,按甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积,并估算哪个正方形的面积较大.(估算时取1.73,结果保留两个有效数字).思路点拨:要比较甲、乙两方案剪取的正方形的面积大小,关键在于求出边长.解:方案甲:如图,连接OH,设EF=x,则OE=2OF,,∴.在Rt△OGH中,OH2=GH2+OG2,即,解得.方案乙:如图所示,作于M,交于N,则M、N分别是和的中点,,连接.设,则,在中,,即,∴.若取,则,.∴x2>y2,即按甲方案剪得的正方形面积较大.总结升华:此类问题是生活中的一个实际问题,解决此类问题时,应先将实际问题转化为数学问题.10.已知射线OF交⊙O于B,半径OA⊥OB,P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合),直线AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形,请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形,点P在移动过程中,△DPE的边、角或形状存在某些规律,请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中,设∠DEP的度数为x,∠OAP的度数为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.思路点拨:如图所示,连接OD,因为DE是⊙O的切线,故∠ODE=90°,又OA=OD,故∠A=∠ODA,∠OAP+∠OPD=90°,∠ODA+∠ADC=90°,故∠OPD=∠ADC=∠EDP,△DEP是等腰三角形.解:(1)在BF上取点P,连AP交⊙O于点D,过D作⊙O切线,交OF于E,如图即为所求.(2)∠EDP=∠DPE,或ED=EP或△PDE是等腰三角形.(3)根据题意,得△PDE是等腰三角形,∴∠EDP=∠DPE,∴,在Rt△OAP中,,∴,自变量x的取值范围是且.。
备战中考数学圆的综合-经典压轴题含答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C ,D 在⊙O 上,BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°.点E 在⊙O 外,做直线AE ,且∠EAC=∠D .(1)求证:直线AE 是⊙O 的切线.(2)求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2)25-504π. 【解析】 分析:(1)根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°,即可得到AE 是⊙O 的切线; (2)连接OD ,用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解:证明:(1) ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,即∠BAC+∠ABC=90°,∵∠EAC=∠ADC ,∠ADC=∠ABC ,∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°,即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线;(2)连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形= =90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= (2cm )点睛:此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质,关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质,结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解,注意数形结合思想的应用.2.已知,如图:O1为x轴上一点,以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点,交y轴于M、N两点,∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E,AB是弦,且AB∥CD,直线DM的解析式为y=3x+3.(1)如图1,求⊙O1半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EF⊥BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD,试问:BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系?请写出你的结论,并证明.(3)在(2)的条件下,EF交⊙O1于点G,问弦BG的长度是否变化?若不变直接写出BG 的长(不写过程),若变化自画图说明理由.【答案】(1)r=5 E(4,5)(2)BF+CF=AC (3)弦BG的长度不变,等于2【解析】分析:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1,可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC,从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r.在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.由AB∥DC可证到BD=AC,易证四边形O1PFQ是矩形,从而有O1P=FQ,∠PO1Q=90°,进而有∠EO1P=∠CO1Q,从而可以证到△EPO1≌△CQO1,则有PO1=QO1.根据三角形中位线定理可得FQ=12BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.易证EF∥BD,则有∠GEB=∠EBD,从而有BG=ED,也就有BG=DE.在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED,就可解决问题.详解:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1.∵ME平分∠SMC,∴∠SME=∠EMC.∵∠SME=∠ECD,∠EMC=∠EDC,∴∠ECD=∠EDC,∴∠EO1D=∠EO1C.∵∠EO1D+∠EO1C=180°,∴∠EO1D=∠EO1C=90°.∵直线DM的解析式为y=3x+3,∴点M的坐标为(0,3),点D的坐标为(﹣1,0),∴OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r,则MO1=DO1=r.在Rt△MOO1中,(r﹣1)2+32=r2.解得:r=5,∴OO1=4,EO1=5,∴⊙O1半径为5,点E的坐标为(4,5).(2)BF+CF=AC.理由如下:过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC,∴AD=BC BD∴,=AC,∴BD=AC.∵O1P⊥EG,O1Q⊥BC,EF⊥BF,∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°,∴四边形O1PFQ是矩形,∴O1P=FQ,∠PO1Q=90°,∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q.在△EPO1和△CQO1中,111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EPO1≌△CQO1,∴PO1=QO1,∴FQ=QO1.∵QO1⊥BC,∴BQ=CQ.∵CO1=DO1,∴O1Q=12 BD,∴FQ=12BD.∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,∴BF+CF=BD=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.∵DC是⊙O1的直径,∴∠DBC=90°,∴∠DBC+∠EFB=180°,∴EF∥BD,∴∠GEB=∠EBD,∴BG=ED,∴BG=DE.∵DO1=EO1=5,EO1⊥DO1,∴DE=52,∴BG=52,∴弦BG的长度不变,等于52.点睛:本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识,综合性比较强,有一定的难度.而由AB∥DC证到AC=BD是解决第(2)小题的关键,由EG ∥DB 证到BG =DE 是解决第(3)小题的关键.3.如图,⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(3,﹣1),点A 的坐标为(﹣2,3),点B 的坐标为(﹣3,0),点C 在x 轴上,且点D 在点A 的左侧. (1)求菱形ABCD 的周长;(2)若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t (秒),当⊙M 与BC 相切,且切点为BC 的中点时,连接BD ,求:①t 的值;②∠MBD 的度数;(3)在(2)的条件下,当点M 与BD 所在的直线的距离为1时,求t 的值.【答案】(1)8;(2)①7;②105°;(3)t=633 【解析】 分析:(1)根据勾股定理求菱形的边长为2,所以可得周长为8;(2)①如图2,先根据坐标求EF 的长,由EE '﹣FE '=EF =7,列式得:3t ﹣2t =7,可得t 的值;②先求∠EBA =60°,则∠FBA =120°,再得∠MBF =45°,相加可得:∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°;(3)分两种情况讨论:作出距离MN 和ME ,第一种情况:如图5由距离为1可知:BD 为⊙M 的切线,由BC 是⊙M 的切线,得∠MBE =30°,列式为3t 3=2t +6,解出即可; 第二种情况:如图6,同理可得t 的值.详解:(1)如图1,过A 作AE ⊥BC 于E .∵点A 的坐标为(﹣23),点B 的坐标为(﹣3,0),∴AE 3,BE =3﹣2=1,∴AB 22AE BE +2231+()=2. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD =2,∴菱形ABCD 的周长=2×4=8;(2)①如图2,⊙M 与x 轴的切点为F ,BC 的中点为E .∵M (3,﹣1),∴F (3,0).∵BC =2,且E 为BC 的中点,∴E (﹣4,0),∴EF =7,即EE '﹣FE '=EF ,∴3t ﹣2t =7,t =7;②由(1)可知:BE =1,AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3,∴∠EBA=60°,如图4,∴∠FBA=120°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°.∵BC是⊙M的切线,∴MF⊥BC.∵F是BC的中点,∴BF=MF=1,∴△BFM是等腰直角三角形,∴∠MBF=45°,∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°;(3)连接BM,过M作MN⊥BD,垂足为N,作ME⊥BC于E,分两种情况:第一种情况:如图5.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠CBD=60°,∴∠NBE=60°.∵点M与BD所在的直线的距离为1,∴MN=1,∴BD为⊙M的切线.∵BC是⊙M的切线,∴∠MBE=30°.∵ME=1,∴EB=3,∴3t+3=2t+6,t=6﹣3;第二种情况:如图6.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠DBC=60°,∴∠NBE=120°.∵点M与BD所在的直线的距离为1,∴MN=1,∴BD为⊙M的切线.∵BC是⊙M的切线,∴∠MBE=60°.∵ME=MN=1,∴Rt△BEM中,tan60°=MEBE,EB=160tan︒=3,∴3t=2t+6+3,t=6+3;综上所述:当点M与BD所在的直线的距离为1时,t=6﹣3或6+33.点睛:本题是四边形和圆的综合题,考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题,此类问题比较复杂,弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系,并与方程相结合,找等量关系,求出时间t的值.4.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2,0),B(0,23),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为;(2)若点C(1,2),点D在直线y=5上,以CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD 表达式;(3)⊙O的半径为2,点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.【答案】(1)60°;(2)y=x+1或y=﹣x+3;(3)1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析:(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°;(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D(4,5)或(﹣2,5),易得直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4,同理可得结论.详解:(1)∵点A(2,0),B(0,23),∴OA=2,OB=23.在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB=22()=4,∴∠ABO=30°.223∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABC=2∠ABO=60°.∵AB∥CD,∴∠DCB=180°﹣60°=120°,∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为:60°;(2)如图2.∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.过点C作CE⊥DE于E,∴D(4,5)或(﹣2,5),∴直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3.∵⊙O的半径为2,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD=2OQ'=2,∴P'D=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,5),∴当1≤m≤5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4.∵⊙O的半径为2,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD=2OQ'=2,∴BD=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,﹣1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,﹣5),∴当﹣5≤m≤﹣1时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;综上所述:m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1.点睛:本题是一次函数和圆的综合题,考查了菱形的性质、正方形的性质、点P,Q的“坐标菱形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意一题多解,属于中考创新题目.5.如图,AB是⊙O的直径,D、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD交AD的延长线于点E,且CE=CF.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)连接CD、CB,若AD=CD=a,求四边形ABCD面积.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)连接OC,AC,可先证明AC平分∠BAE,结合圆的性质可证明OC∥AE,可得∠OCB=90°,可证得结论;(2)可先证得四边形AOCD为平行四边形,再证明△OCB为等边三角形,可求得CF、AB,利用梯形的面积公式可求得答案.【详解】(1)证明:连接OC,AC.∵CF⊥AB,CE⊥AD,且CE=CF.∴∠CAE=∠CAB.∵OC=OA,∴∠CAB=∠OCA.∴∠CAE=∠OCA.∴OC∥AE.∴∠OCE+∠AEC=180°,∵∠AEC=90°,∴∠OCE=90°即OC⊥CE,∵OC是⊙O的半径,点C为半径外端,∴CE是⊙O的切线.(2)解:∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA=∠CAB,∴DC∥AB,∵∠CAE=∠OCA,∴OC∥AD,∴四边形AOCD是平行四边形,∴OC=AD=a,AB=2a,∵∠CAE=∠CAB,∴CD=CB=a,∴CB=OC=OB,∴△OCB是等边三角形,在Rt△CFB中,CF=,∴S四边形ABCD=(DC+AB)•CF=【点睛】本题主要考查切线的判定,掌握切线的两种判定方法是解题的关键,即有切点时连接圆心和切点,然后证明垂直,没有切点时,过圆心作垂直,证明圆心到直线的距离等于半径.6.如图,在直角坐标系中,⊙M经过原点O(0,0),点A(6,0)与点B(0,-2),点D 在劣弧OA上,连结BD交x轴于点C,且∠COD=∠CBO.(1)求⊙M的半径;(2)求证:BD平分∠ABO;(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为⊙M的切线,求此时点E的坐标.【答案】(1)M的半径r2;(2)证明见解析;(3)点E的坐标为262).【解析】试题分析:根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度,根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度,然后得出半径;根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ,然后结合已知条件得出角平分线;根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ,从而得出BH=BA=22,从而求出OH 的长度,即点E 的纵坐标,根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数,从而得出∠CBO 的度数,然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度,即点E 的横坐标.试题解析:(1)∵点A 为(6,0),点B 为(0,-2) ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得:AB=22∴M 的半径r=12AB=2. (2)根据同弧所对的圆周角相等可得:∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO(3)如图,由(2)中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22-2=2在Rt △AOB 中,3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中,HE=2633BH =∴点E 的坐标为(263,2)考点:勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.7.如图, Rt △ABC 中,∠B=90°,它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F , (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r =12(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD; (3)若r=310, PD =18, PC=272. 求△ABC 各边长.【答案】(1)证明见解析(2)45°(3)1010,1510,12【解析】【分析】(1)根据切线长定理,有AE=AF,BD=BF,CD=CE.易证四边形BDOF为正方形,BD=BF=r,用r表示AF、AE、CD、CE,利用AE+CE=AC为等量关系列式.(2)∠CPD为弧DH所对的圆周角,连接OD,易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°,所以∠CPD=45°.(3)由PD=18和r=310,联想到垂径定理基本图形,故过圆心O作PD的垂线OM,求得弦心距OM=3,进而得到∠MOD的正切值.延长DO得直径DG,易证PG∥OM,得到同位角∠G=∠MOD.又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G,即得到∠ADB的正切值,进而求得AB.再设CE=CD=x,用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出x.【详解】解:(1)证明:设圆心为O,连接OD、OE、OF,∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,AE=AF,BD=BF,CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r,CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得:r=12(a+b-c)(2)取FH中点O,连接OD ∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F,∴FH为圆的直径,即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°(3)设圆心为O ,连接DO 并延长交⊙O 于点G ,连接PG ,过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM =3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ,∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴10∴10−10=10设CE=CD=x ,则10+x ,10+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴10)2.10+x)2=10+x)2解得:10∴10,10∴△ABC 各边长10,10,10【点睛】本题考查切线的性质,切线长定理,正方形的判定,圆周角定理,垂径定理,勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键,而在不能直接求得线段长的情况下,利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.8.已知:如图,四边形ABCD为菱形,△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D,交AC于点E.(1)判断⊙O与BC的位置关系,并说明理由;(2)若CE=2,求⊙O的半径r.【答案】(1)相切,理由见解析;(2)2.【解析】试题分析:(1)根据切线的性质,可得∠ODC的度数,根据菱形的性质,可得CD与BC 的关系,根据SSS,可得三角形全等,根据全等三角形的性质,可得∠OBC的度数,根据切线的判定,可得答案;(2)根据等腰三角形的性质,可得∠ACD=∠CAD,根据三角形外角的性质,∠COD=∠OAD+∠AOD,根据直角三角形的性质,可得OC与OD的关系,根据等量代换,可得答案.(1)⊙O与BC相切,理由如下连接OD、OB,如图所示:∵⊙O与CD相切于点D,∴OD⊥CD,∠ODC=90°.∵四边形ABCD为菱形,∴AC垂直平分BD,AD=CD=CB.∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上,∵OD=OB,OC=OC,CB=CD,∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC=90°,又∵OB为半径,∴⊙O与BC相切;(2)∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD.∵AO=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠COD=∠OAD+∠AOD,∠COD=2∠CAD.∴∠COD=2∠ACD又∵∠COD+∠ACD=90°,∴∠ACD=30°.∴OD=12OC,即r=12(r+2).∴r=2.【点睛】运用了切线的判定与性质,利用了切线的判定与性质,菱形的性质,直角三角形的性质.9.如图,AB是⊙O的直径,∠ACB的平分线交AB于点D,交⊙O于点E,过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P,连接AE.(1)求证:PC=PD;(2)若AC=5cm,BC=12cm,求线段AE,CE的长.【答案】(1)见解析172132【解析】试题分析:(1)如图1中,连接OC 、OE .利用等角的余角相等,证明∠PCD =∠PDC 即可;(2)如图2中.作EH ⊥BC 于H ,EF ⊥CA 于F .首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ,推出AF =BH ,设AF =BH =x ,再证明四边形CFEH 是正方形,推出CF =CH ,可得5+x =12﹣x ,推出x =72,延长即可解决问题; 试题解析:(1)证明:如图1中,连接OC 、OE .∵AB 直径,∴∠ACB =90°,∴CE 平分∠ACB ,∴∠ECA =∠ECB =45°,∴AE =BE ,∴OE ⊥AB ,∴∠DOE =90°.∵PC 是切线,∴OC ⊥PC ,∴∠PCO =90°.∵OC =OE ,∴∠OCE =∠OEC .∵∠PCD +∠OCE =90°,∠ODE +∠OEC =90°,∠PDC =∠ODE ,∴∠PCD =∠PDC ,∴PC =PD .(2)如图2中.作EH ⊥BC 于H ,EF ⊥CA 于F .∵CE 平分∠ACB ,EH ⊥BC 于H ,EF ⊥CA 于F ,∴EH =EF ,∠EFA =∠EHB =90°.∵AE =BE ,∴AE =BE ,∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ,∴AF =BH ,设AF =BH =x .∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°,∴四边形CFEH 是矩形.∵EH =EF ,∴四边形CFEH 是正方形,∴CF =CH ,∴5+x =12﹣x ,∴x =72,∴CF =FE =172,∴EC 2CF 172,AE 22EF AF +2217722()()+132 点睛:本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.10.如图,AB 为⊙O 的直径,DA 、DC 分别切⊙O 于点A ,C ,且AB =AD .(1)求tan ∠AOD 的值.(2)AC,OD交于点E,连结BE.①求∠AEB的度数;②连结BD交⊙O于点H,若BC=1,求CH的长.【答案】(1)2;(2)①∠AEB=135°;②2 CH=【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得∠BAD=90°,由题意可得AD=2AO,即可求tan∠AOD的值;(2)①根据切线长定理可得AD=CD,OD平分∠ADC,根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC,AE=CE,根据圆周角定理可求∠ACB=90°,即可证∠ABC=∠CAD,根据“AAS”可证△ABC≌△DAE,可得AE=BC=EC,可求∠BEC=45°,即可求∠AEB的度数;②由BC=1,可求AE=EC=1,BE2=,根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC,可证△ABE∽△HBC,可求CH的长.【详解】(1)∵DA是⊙O切线,∴∠BAD=90°.∵AB=AD,AB=2AO,∴AD=2AO,∴tan∠AODADAO==2;(2)①∵DA、DC分别切⊙O于点A,C,∴AD=CD,OD平分∠ADC,∴DO⊥AC,AE=CE.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,且∠BAC+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠CAD,且AB=AD,∠ACB=∠AED=90°,∴△ABC≌△DAE(AAS),∴CB=AE,∴CE=CB,且∠ACB=90°,∴∠BEC=45°=∠EBC,∴∠AEB=135°.②如图,∵BC=1,且BC=AE=CE,∴AE=EC=BC=1,∴BE2=.∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ABD=45°,且∠EBC=45°,∴∠ABE=∠HBC,且∠BAC=∠CHB,∴△ABE∽△HBC,∴BC CHEB AE=,即12CH=,∴CH22=.【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,锐角三角函数,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质等知识,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.。
中考数学专题练——专题11 圆(试题精选,含答案)
专题十一圆一、单选题1.(2019·高新模拟)如图,O为圆心,是直径,是半圆上的点,是上的点.若,则的大小为()A. B. C. D.2.(2020·南通模拟)如图,点A,B,C,D都在⊙O上,BD为直径,若∠A=65°,则∠DBC的值是( )A. 65°B. 25°C. 35°D. 15°3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( )A. B. 2 C. 6 D. 84.(2020九上·奉化期末)如图,在菱形ABCD中,已知AB=4,∠B=60°,以AC为直径的⊙O与菱形ABCD 相交,则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D.5.(2019九上·温州月考)如图,△ABC内接于⊙O中,AB=AC,=60°,则∠B=( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°6.(2020九上·中山期末)如图,AD是半圆的直径,点C是弧BD的中点,∠ADC=55°,则∠BAD等于()A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°7.(2020九上·海曙期末)平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标为(-4,-5),半径为5,那么⊙P与y轴的位置关系是()A. 相交B. 相离C. 相切D. 以上都不是8.(2019九上·驻马店期末)如图,直径AB为3的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B到了点B′处,则图中阴影部分的面积是()A. 3πB.C. 6πD. 24π9.(2020九上·北仑期末)下列四个结论,不正确的是()①过三点可以作一个圆;②圆内接四边形对角相等③平分弦的直径垂直于弦;④相等的圆周角所对的弧也相等A. ②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④10.(2020九上·诸暨期末)如图,是圆内接四边形的一条对角线,点关于的对称点在边上,连接.若,则的度数为()A. 106°B. 116°C. 126°D. 136°11.(2019九上·武汉月考)如图,O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB 于点C,则△ABC的最大面积是()A. B. C. D.12.如图,在⊙O中,点C在优弧AB上,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若⊙O的半径为,AB=8,则BC的长是()A. B. C. D.13.(2019九上·如皋期末)如图,▱ABCD中,,,,是边AB上的两点,半径为2的过点A,半径为1的过点、E、F分别是边CD,和上的动点则的最小值等于A. B. 6 C. D. 914.(2019·武汉模拟)点G为△ABC的重心(△ABC三条中线的交点),以点G为圆心作⊙G与边AB,AC相切,与边BC相交于点H,K,若AB=4,BC=6,则HK的长为()A. B. C. D.15.(2019·武汉模拟)如图,⊙O内切于正方形ABCD,边AD,CD分别与⊙O切于点E,F,点M、N 分别在线段DE,DF上,且MN与⊙O相切,若△MBN的面积为8,则⊙O的半径为()A. B. 2 C. D. 216.(2020·长兴模拟)如图,AB为☉O的直径,P为弦BC上的点,∠ABC=30°,过点P作PD⊥OP交☉O 于点D,过点D作DE∥AB交AB的延长线于点E.若点C恰好是的中点,BE=6,则PC的长是()A. -8B. -3C. 2D. 12-17.(2019九上·宜兴月考)在平面直角坐标系中,直线经过点A(-3,0),点B(0,),点P的坐标为(1,0),与轴相切于点O,若将⊙P沿轴向左平移,平移后得到(点P的对应点为点P′),当⊙P′与直线相交时,横坐标为整数的点P′共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个18.(2019·海州模拟)如图,菱形ABCD的边AB=5,面积为20,∠BAD<90°,⊙O与边AB、AD都相切,AO=2,则⊙O的半径长等于()A. B. C. D.19.(2019·高台模拟)如图,AB与⊙O相切于点C,OA=OB,⊙O的直径为6cm,AB=6 cm,则阴影部分的面积为()A. B. C. D.20.(2019九下·深圳月考)如图,△ABC内接于圆O,∠BOC=120°,AD为圆O的直径.AD交BC于P 点且PB=1,PC=2,则AC的长为( )A. B. C. 3 D. 2二、填空题21.(2019·嘉定模拟)如图,的半径长为5cm,内接于,圆心O在的内部,如果,cm,那么的面积为________cm22.(2019九上·黄石期末)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠BAC=25°.求∠P的度数________.23.(2020九上·东台期末)如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ABO=40°,则∠ACB的大小为________.24.(2019·台江模拟)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是________.25.(2019九上·道里期末)如图,已知,在中,,,,是ABC的内切圆,则这个圆的半径是________.26.(2020九上·北仑期末)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠B=45°,DE⊥AC于E交AB 于F,若BC=2CD,AE=2,则线段BF=________。
备战中考数学易错题精选-圆的综合练习题及答案解析
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,BD=BA,BE⊥DC交DC的延长线于点E(1) 求证:BE是⊙O的切线(2) 若EC=1,CD=3,求cos∠DBA【答案】(1)证明见解析;(2)∠DBA3 5【解析】分析:(1)连接OB,OD,根据线段垂直平分线的判定,证得BF为线段AD的垂直平分线,再根据直径所对的圆周角为直角,得到∠ADC=90°,证得四边形BEDF是矩形,即∠EBF=90°,可得出结论.(2)根据中点的性质求出OF的长,进而得到BF、DE、OB、OD的长,然后根据等角的三角函数求解即可.详解:证明:(1) 连接BO并延长交AD于F,连接OD∵BD=BA,OA=OD∴BF为线段AD的垂直平分线∵AC为⊙O的直径∴∠ADC=90°∵BE⊥DC∴四边形BEDF为矩形∴∠EBF=90°∴BE是⊙O的切线(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点∴OF=12CD=32∵BF=DE=1+3=4∴OB=OD=35422-=∴cos∠DBA=cos∠DOF=332552OFOD==点睛:此题主要考查了圆的切线的判定与性质,关键是添加合适的辅助线,利用垂径定理和圆周角定理进行解答,注意相等角的关系的转化.2.如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.(1)求证:AE=BF;(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA;(3)连接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面积.【答案】(1)(2)见解析;(3)9【解析】分析:(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形,求出∠A与∠C的度数,根据AB 为圆的直径,利用圆周角定理得到∠ADB为直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD=12AC,进而确定出∠A=∠FBD,再利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;(2)连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD全等,得到ED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形,利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行,再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等,即可得出结论;(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中,利用勾股定理求出EF的长,利用锐角三角形函数定义求出DE的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似,由相似得比例,求出GE的长,由GE+ED求出GD的长,根据三角形的面积公式计算即可.详解:(1)连接BD.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,∴∠A=∠C=45°.∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,∴AD=DC=BD=12AC,∠CBD=∠C=45°,∴∠A=∠FBD.∵DF⊥DG,∴∠FDG=90°,∴∠FDB+∠BDG=90°.∵∠EDA+∠BDG=90°,∴∠EDA=∠FDB.在△AED和△BFD中,A FBDAD BDEDA FDB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AED≌△BFD(ASA),∴AE=BF;(2)连接EF,BG.∵△AED≌△BFD,∴DE=DF.∵∠EDF=90°,∴△EDF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°.∵∠G=∠A=45°,∴∠G=∠DEF,∴GB∥EF,∴∠FEB=∠GBA.∵∠GBA=∠GDA,∴∠FEB=∠GDA;(3)∵AE=BF,AE=2,∴BF=2.在Rt△EBF中,∠EBF=90°,∴根据勾股定理得:EF2=EB2+BF2.∵EB=4,BF=2,∴EF=2242+=25.∵△DEF为等腰直角三角形,∠EDF=90°,∴cos∠DEF=DEEF.∵EF=25,∴DE=25×22=10.∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED,∴△GEB∽△AED,∴GEAE=EBED,即GE•ED=AE•EB,∴10•GE=8,即GE=410,则GD=GE+ED=910.∴1191011092252S GD DF GD DE=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=.点睛:本题属于圆综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解答本题的关键.3.如图,AB是圆O的直径,射线AM⊥AB,点D在AM上,连接OD交圆O于点E,过点D作DC=DA交圆O于点C(A、C不重合),连接O C、BC、CE.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若圆O的直径等于2,填空:①当AD=时,四边形OADC是正方形;②当AD=时,四边形OECB是菱形.【答案】(1)见解析;(2)①1;②3.【解析】试题分析:(1)依据SSS证明△OAD≌△OCD,从而得到∠OCD=∠OAD=90°;(2)①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;②依据菱形的性质得到OE=CE,则△EOC为等边三角形,则∠CEO=60°,依据平行线的性质可知∠DOA=60°,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析:解:∵AM⊥AB,∴∠OAD=90°.∵OA=OC,OD=OD,AD=DC,∴△OAD≌△OCD,∴∠OCD=∠OAD=90°.∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.(2)①∵当四边形OADC是正方形,∴AO=AD=1.故答案为:1.②∵四边形OECB是菱形,∴OE=CE.又∵OC=OE,∴OC=OE=CE.∴∠CEO=60°.∵CE∥AB,∴∠AOD=60°.在Rt△OAD中,∠AOD=60°,AO=1,∴AD=.故答案为:.点睛:本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定,特殊锐角三角函数值的应用,熟练掌握相关知识是解题的关键.4.如图,已知在△ABC中,∠A=90°,(1)请用圆规和直尺作出⊙P ,使圆心P 在AC 边上,且与AB ,BC 两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明).(2)若∠B=60°,AB=3,求⊙P 的面积.【答案】(1)作图见解析;(2)3π【解析】【分析】(1)与AB 、BC 两边都相切.根据角平分线的性质可知要作∠ABC 的角平分线,角平分线与AC 的交点就是点P 的位置.(2)根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径,然后求圆的面积.【详解】解:(1)如图所示,则⊙P 为所求作的圆.(2)∵∠ABC=60°,BP 平分∠ABC ,∴∠ABP=30°,∵ ∠A=90°,∴BP=2APRt △ABP 中,AB=3,由勾股定理可得:AP=3,∴S ⊙P =3π5.如图所示,AB 是半圆O 的直径,AC 是弦,点P 沿BA 方向,从点B 运动到点A ,速度为1cm/s ,若10AB cm ,点O 到AC 的距离为4cm .(1)求弦AC 的长;(2)问经过多长时间后,△APC 是等腰三角形.【答案】(1)AC=6;(2)t=4或5或145s 时,△APC 是等腰三角形;【解析】【分析】(1)过O作OD⊥AC于D,根据勾股定理求得AD的长,再利用垂径定理即可求得AC的长;(2)分AC=PC、AP=AC、AP=CP三种情况求t值即可.【详解】(1)如图1,过O作OD⊥AC于D,易知AO=5,OD=4,从而AD==3,∴AC=2AD=6;(2)设经过t秒△APC是等腰三角形,则AP=10﹣t①如图2,若AC=PC,过点C作CH⊥AB于H,∵∠A=∠A,∠AHC=∠ODA=90°,∴△AHC∽△ADO,∴AC:AH=OA:AD,即AC: =5:3,解得t=s,∴经过s后△APC是等腰三角形;②如图3,若AP=AC,由PB=x,AB=10,得到AP=10﹣x,又∵AC=6,则10﹣t=6,解得t=4s,∴经过4s后△APC是等腰三角形;③如图4,若AP=CP,P与O重合,则AP=BP=5,∴经过5s后△APC是等腰三角形.综上可知当t=4或5或s时,△APC是等腰三角形.【点睛】本题是圆的综合题,解决问题利用了垂径定理,勾股定理等知识点,解题时要注意当△BPC是等腰三角形时,点P的位置有三种情况.6.如图,⊙O的直径AB=8,C为圆周上一点,AC=4,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E.(1)求∠AEC的度数;(2)求证:四边形OBEC是菱形.【答案】(1)30°;(2)详见解析.【解析】【分析】(1)易得△AOC是等边三角形,则∠AOC=60°,根据圆周角定理得到∠AEC=30°;(2)根据切线的性质得到OC⊥l,则有OC∥BD,再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°,则∠EAB=30°,可证得AB∥CE,得到四边形OBE C为平行四边形,再由OB =OC,即可判断四边形OBEC是菱形.【详解】(1)解:在△AOC中,AC=4,∵AO=OC=4,∴△AOC是等边三角形,∴∠AOC=60°,∴∠AEC=30°;(2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l.∴OC ∥BD .∴∠ABD =∠AOC =60°.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AEB =90°,∴△AEB 为直角三角形,∠EAB =30°.∴∠EAB =∠AEC .∴CE ∥OB ,又∵CO ∥EB∴四边形OBEC 为平行四边形.又∵OB =OC =4.∴四边形OBEC 是菱形.【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法.7.如图,在ABC △中,10AC BC ==,3cos 5C =,点P 是BC 边上一动点(不与点,A C 重合),以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为D ,过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P 与边BC 相切时,求P 的半径;()2联结BP 交DE 于点F ,设AP 的长为x ,PF 的长为y ,求y 关于x 的函数解析式,并直接写出x 的取值范围;()3在()2的条件下,当以PE 长为直径的Q 与P 相交于AC 边上的点G 时,求相交所得的公共弦的长. 【答案】(1)409;(2))25880010x x x y x -+=<<;(3)105- 【解析】【分析】 (1)设⊙P 与边BC 相切的切点为H ,圆的半径为R ,连接HP ,则HP ⊥BC ,cosC=35,则sinC=45,sinC=HP CP =R 10R -=45,即可求解;(2)PD∥BE,则EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+-=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=GP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=35,sinC=HPCP=R10R-=45,解得:R=409;(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,设AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,过点B作BH⊥AC,则BH=ACsinC=8,同理可得:CH=6,HA=4,5tan∠()2284x+-2880x x-+25,则525,如下图所示,PA=PD ,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β,tanβ=2,则cosβ=5,sinβ=5, EB=BDcosβ=(45-25x )×5=4-25x , ∴PD ∥BE ,∴EB PD =BF PF ,即:2248805x x x y x --+-=, 整理得:y=()25x x 8x 800x 103x 20-+<<+; (3)以EP 为直径作圆Q 如下图所示,两个圆交于点G ,则PG=PQ ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D ,GD 为相交所得的公共弦,∵点Q 时弧GD 的中点,∴DG ⊥EP ,∵AG 是圆P 的直径,∴∠GDA=90°,∴EP ∥BD ,由(2)知,PD ∥BC ,∴四边形PDBE 为平行四边形,∴AG=EP=BD ,∴5设圆的半径为r,在△ADG中,AD=2rcosβ=5,DG=5,AG=2r,5+2r=45,解得:2r=51,则:DG=5=10-25,相交所得的公共弦的长为10-25.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.8.我们知道,如图1,AB是⊙O的弦,点F是AFB的中点,过点F作EF⊥AB于点E,易得点E是AB的中点,即AE=EB.⊙O上一点C(AC>BC),则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”.(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF⊥AC于点E,求证:点E是“折弦ACB”的中点,即AE=EC+CB.(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若成立说明理由;若不成立,那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系?直接写出,不必证明.(3)如图4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2,过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H,交AB于点M,当∠PAB=45°时,求AH的长.【答案】(1)见解析;(2)结论AE=EC+CB不成立,新结论为:CE=BC+AE,见解析;(3)AH 的长为3﹣1或3+1.【解析】【分析】(1)在AC 上截取AG =BC ,连接FA ,FG ,FB ,FC ,证明△FAG ≌△FBC ,根据全等三角形的性质得到FG =FC ,根据等腰三角形的性质得到EG =EC ,即可证明.(2)在CA 上截取CG =CB ,连接FA ,FB ,FC ,证明△FCG ≌△FCB ,根据全等三角形的性质得到FG =FB ,得到FA =FG ,根据等腰三角形的性质得到AE =GE ,即可证明. (3)分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论.【详解】解:(1)如图2,在AC 上截取AG =BC ,连接FA ,FG ,FB ,FC ,∵点F 是AFB 的中点,FA =FB ,在△FAG 和△FBC 中,,FA FB FAG FBC AG BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAG ≌△FBC (SAS ),∴FG =FC ,∵FE ⊥AC ,∴EG =EC ,∴AE =AG+EG =BC+CE ;(2)结论AE =EC+CB 不成立,新结论为:CE =BC+AE ,理由:如图3,在CA 上截取CG =CB ,连接FA ,FB ,FC ,∵点F 是AFB 的中点,∴FA =FB , FA FB =,∴∠FCG =∠FCB ,在△FCG 和△FCB 中,,CG CB FCG FCB FC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCG ≌△FCB (SAS ),∴FG =FB ,∴FA =FG ,∵FE ⊥AC ,∴AE =GE ,∴CE =CG+GE =BC+AE ;(3)在Rt △ABC 中,AB =2OA =4,∠BAC =30°, ∴12232BC AB AC ===,, 当点P 在弦AB 上方时,如图4,在CA 上截取CG =CB ,连接PA ,PB ,PG ,∵∠ACB =90°,∴AB 为⊙O 的直径,∴∠APB =90°,∵∠PAB =45°,∴∠PBA =45°=∠PAB ,∴PA =PB ,∠PCG =∠PCB ,在△PCG 和△PCB 中, ,CG CB PCG PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCG ≌△PCB (SAS ),∴PG =PB ,∴PA =PG ,∵PH ⊥AC ,∴AH =GH ,∴AC =AH+GH+CG =2AH+BC ,∴22AH =+,∴1AH =,当点P 在弦AB 下方时,如图5, 在AC 上截取AG =BC ,连接PA ,PB ,PC ,PG∵∠ACB =90°,∴AB 为⊙O 的直径,∴∠APB =90°,∵∠PAB =45°,∴∠PBA =45°=∠PAB ,∴PA =PB ,在△PAG 和△PBC 中,,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAG ≌△PBC (SAS ),∴PG =PC ,∵PH ⊥AC ,∴CH =GH ,∴AC =AG+GH+CH =BC+2CH ,∴22CH ,=+∴1CH =,∴)11AH AC CH =-==, 即:当∠PAB =45°时,AH11.【点睛】考查弧,弦的关系,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质等,综合性比较强,注意分类讨论思想方法在解题中的应用.9.如图,已知AB 是⊙O 的直径,直线CD 与⊙O 相切于C 点,AC 平分∠DAB . (1)求证:AD ⊥CD ;(2)若AD =2,AC=6,求⊙O 的半径R 的长.【答案】(1)证明见解析(2)32【解析】试题分析:(1)连接OC ,由题意得OC ⊥CD .又因为AC 平分∠DAB ,则∠1=∠2=12∠DAB .即可得出AD ∥OC ,则AD ⊥CD ; (2)连接BC ,则∠ACB =90°,可证明△ADC ∽△ACB .则2AD AC AC R ,从而求得R . 试题解析:(1)证明:连接OC ,∵直线CD 与⊙O 相切于C 点,AB 是⊙O 的直径,∴OC ⊥CD .又∵AC 平分∠DAB ,∴∠1=∠2=12∠DAB . 又∠COB =2∠1=∠DAB ,∴AD ∥OC ,∴AD ⊥CD .(2)连接BC ,则∠ACB =90°,在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2,∠3=∠ACB =90°,∴△ADC ∽△ACB .∴2AD AC AC R= ∴R =2322AC AD =10.已知AB ,CD 都是O 的直径,连接DB ,过点C 的切线交DB 的延长线于点E . ()1如图1,求证:AOD 2E 180∠∠+=;()2如图2,过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ,过点D 作DG AB ⊥,垂足为点G ,求证:DG CF =;()3如图3,在()2的条件下,当DG 3CE 4=时,在O 外取一点H ,连接CH 、DH 分别交O 于点M 、N ,且HDE HCE ∠∠=,点P 在HD 的延长线上,连接PO 并延长交CM 于点Q ,若PD 11=,DN 14=,MQ OB =,求线段HM 的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)37【解析】【分析】(1)由∠D +∠E =90°,可得2∠D +2∠E =180°,只要证明∠AOD =2∠D 即可;(2)如图2中,作OR ⊥AF 于R .只要证明△AOR ≌△ODG 即可;(3)如图3中,连接BC 、OM 、ON 、CN ,作BT ⊥CL 于T ,作NK ⊥CH 于K ,设CH 交DE 于W .解直角三角形分别求出KM ,KH 即可;【详解】()1证明:如图1中,O 与CE 相切于点C ,OC CE ∴⊥,OCE 90∠∴=,D E 90∠∠∴+=,2D 2E 180∠∠∴+=,AOD COB ∠∠=,BOC 2D ∠∠=,AOD 2D ∠∠=,AOD 2E 180∠∠∴+=.()2证明:如图2中,作OR AF ⊥于R .OCF F ORF 90∠∠∠===,∴四边形OCFR 是矩形,AF//CD ∴,CF OR =,A AOD ∠∠∴=,在AOR 和ODG 中,A AOD ∠∠=,ARO OGD 90∠∠==,OA DO =,AOR ∴≌ODG ,OR DG ∴=,DG CF ∴=,()3解:如图3中,连接BC 、OM 、ON 、CN ,作BT CL ⊥于T ,作NK CH ⊥于K ,设CH 交DE 于W .设DG 3m =,则CF 3m =,CE 4m =,OCF F BTE 90∠∠∠===,AF//OC//BT ∴,OA OB =,CT CF 3m ∴==,ET m ∴=, CD 为直径,CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===,E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=,tan E tan CBT ∠∠∴=,BT CT ET BT∴=, BT 3m m BT∴=, BT 3m(∴=负根已经舍弃),3m tan E 3∠∴== E 60∠∴=,CWD HDE H ∠∠∠=+,HDE HCE ∠∠=,H E 60∠∠∴==,MON 2HCN 60∠∠∴==,OM ON =,OMN ∴是等边三角形,MN ON ∴=,QM OB OM ==,MOQ MQO ∠∠∴=,MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=,MQO P 180H 120∠∠∠+=-=, PON P ∠∠∴=,ON NP 141125∴==+=,CD 2ON 50∴==,MN ON 25==,在Rt CDN 中,CN 48==,在Rt CHN 中,CN 48tan H HN HN∠===HN ∴=在Rt KNH 中,1KH HN 2==NK 24==,在Rt NMK 中,MK 7===,HM HK MK 7∴=+=.【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,添加常用辅助线,构造全等三角形或直角三角形解题的关键.。
中考数学10道经典题型分析
中考数学10道经典题型分析跟大家分享一下近期初三数学总复习的一些好的题目,相信总有一款题目你会感兴趣。
第1题、第2题:阿氏圆的经典题目。
这是最值经常见的题目,确定动点的运动轨迹,构造母子相似三角形解决线段的系数,三点共线时距离最短。
具体技巧请参加题目解答与分析。
经典题目1:阿氏圆经典题目。
经典题目2:阿氏圆问题。
第3题:费马点问题。
费马点问题也是最值问题最常见的题型,三线线段之和最短,通过旋转构造全等三角形,实现线段的转换(移到同一直线上),四点共圆时,线段之和最短。
经典题目3:胡不归问题。
第4题:胡不归问题。
胡不归问题同样的线段最值常见问题,AB+kCD的最值问题,首先要解决其中一条线段的K值,阿氏圆通常采用构造母子相似三角形来解决这个问题,而胡不归通常采用三角函数来解决这个问题。
这道综合题还是很不错的,值得练一练。
经典题目4:胡不归问题。
第5,6题:二次函数中的a,b,c问题。
在选择题中,这也算是比较有点难度的问题了,而且考试的频率往往非常高,需要熟练掌握。
基本的技巧我已经在下面列出了。
经典题目5:二次函数多结论问题。
经典题目7:二次函数多结论问题。
第7题:相似三角形综合题目。
这是一次模拟测验的倒数第2题,三角形综合题。
这道题比较好,是因为它不只一种解法,尤其是在第3问中,有不同的作辅助线的方法,有点意思。
经典题目7:三角形综合题。
第8题:中考压轴题模拟题。
这是深圳南山区联考模拟卷的压轴题,最后一问其实并不难,根据题意不难理解,动点的运动轨迹是某个圆的一段弧,在同一个圆中,同弧(弦)所对的圆周角相等,从而可以确定动点的运动轨迹,三点共线时,由距离最短。
具本思路和过程可参照下面答案。
经典题目8:中考压轴题目。
第9题:平行四边形的存在性问题。
这道题目真的很不错,弄懂这道题目,平行四边形的存在性问题就基本弄懂了。
我在参考答案中列举了三种常见的方法,其中包括点的坐标平移法,中点坐标(平行四边形对角顶点坐标之间的关系要熟练掌握)等。
中考数学圆的综合综合经典题含详细答案
中考数学圆的综合综合经典题含详细答案一、圆的综合1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接AE的延长线交BC于点F,交⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.(1)求证:直线DM是⊙O的切线;(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC,再根据∠BDM=∠DBC,即可判定BC∥DM,进而得到OD⊥DM,据此可得直线DM是⊙O的切线;(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DF•DA,据此解答即可.【详解】(1)如图所示,连接OD.∵点E是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∴BD CD=,∴OD⊥BC.又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,∴∠BDM=∠DBC,∴BC∥DM,∴OD⊥DM.又∵OD为⊙O半径,∴直线DM是⊙O的切线.(2)连接BE.∵E为内心,∴∠ABE=∠CBE.∵∠BAD=∠CAD,∠DBC=∠CAD,∴∠BAD=∠DBC,∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC,即∠BED=∠DBE,∴BD=DE.又∵∠BDF=∠ADB(公共角),∴△DBF∽△DAB,∴DF DBDB DA=,即DB2=DF•DA.∵DF=2,AF=4,∴DA=DF+AF=6,∴DB2=DF•DA=12,∴DB=DE=23.【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心,圆周角定理以及垂径定理的综合应用,解题时注意:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.(1)求证:∠G=∠CEF;(2)求证:EG是⊙O的切线;(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG =34,AH=33,求EM的值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)253 8.【解析】试题分析:(1)由AC∥EG,推出∠G=∠ACG,由AB⊥CD推出AD AC=,推出∠CEF=∠ACD,推出∠G=∠CEF,由此即可证明;(2)欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可;(3)连接OC.设⊙O的半径为r.在Rt△OCH中,利用勾股定理求出r,证明△AHC∽△MEO,可得AH HCEM OE=,由此即可解决问题;试题解析:(1)证明:如图1.∵AC∥EG,∴∠G=∠ACG,∵AB⊥CD,∴AD AC=,∴∠CEF=∠ACD,∴∠G=∠CEF,∵∠ECF=∠ECG,∴△ECF∽△GCE.(2)证明:如图2中,连接OE.∵GF=GE,∴∠GFE=∠GEF=∠AFH,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∵∠AFH+∠FAH=90°,∴∠GEF+∠AEO=90°,∴∠GEO=90°,∴GE⊥OE,∴EG是⊙O的切线.(3)解:如图3中,连接OC .设⊙O 的半径为r .在Rt △AHC 中,tan ∠ACH =tan ∠G =AH HC =34,∵AH =33,∴HC =43,在Rt △HOC 中,∵OC =r ,OH =r ﹣33,HC =43,∴222(33)(43)r r -+=,∴r =2536,∵GM ∥AC ,∴∠CAH =∠M ,∵∠OEM =∠AHC ,∴△AHC ∽△MEO ,∴AH HC EM OE =,∴33432536EM =,∴EM =2538. 点睛:本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,正确寻找相似三角形,构建方程解决问题吗,属于中考压轴题.3.如图,AB 为O 的直径,弦//CD AB ,E 是AB 延长线上一点,CDB ADE ∠=∠. ()1DE 是O 的切线吗?请说明理由;()2求证:2AC CD BE =⋅.【答案】(1)结论:DE 是O 的切线,理由见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD ,只要证明OD DE ⊥即可;(2)只要证明:AC BD =,CDB DBE ∽即可解决问题.【详解】()1解:结论:DE 是O 的切线.理由:连接OD .CDB ADE ∠=∠,ADC EDB ∴∠=∠,//CD AB ,CDA DAB ∴∠=∠,OA OD =,OAD ODA ∴∠=∠,ADO EDB ∴∠=∠, AB 是直径,90ADB ∴∠=,90ADB ODE ∴∠=∠=,DE OD ∴⊥,DE ∴是O 的切线.()2//CD AB ,ADC DAB ∴∠=∠,CDB DBE ∠=∠,AC BD ∴=,AC BD ∴=,DCB DAB ∠=∠,EDB DAB ∠=∠,EDB DCB ∴∠=∠,CDB ∴∽DBE ,CD DB BD BE∴=, 2BD CD BE ∴=⋅,2AC CD BE ∴=⋅.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,准确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.4.如图,已知四边形ABCD是矩形,点P在BC边的延长线上,且PD=BC,⊙A经过点B,与AD边交于点E,连接CE .(1)求证:直线PD是⊙A的切线;(2)若PC=25,sin∠P=23,求图中阴影部份的面积(结果保留无理数).【答案】(1)见解析;(2)20-4π.【解析】分析:(1)过点A作AH⊥PD,垂足为H,只要证明AH为半径即可.(2)分别算出Rt△CED的面积,扇形ABE的面积,矩形ABCD的面积即可.详解:(1)证明:如图,过A作AH⊥PD,垂足为H,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∠PCD=∠BCD=90°,∴∠ADH=∠P,∠AHD=∠PCD=90°,又PD=BC,∴AD=PD,∴△ADH≌△DPC,∴AH=CD,∵CD=AB,且AB是⊙A的半径,∴AH=AB,即AH是⊙A的半径,∴PD是⊙A的切线.(2)如图,在Rt△PDC中,∵sin∠P=23CDPD,5,令CD=2x,PD=3x,由由勾股定理得:(3x)2-(2x)252,解得:x=2,∴CD=4,PD=6,∴AB=AE=CD=4,AD=BC=PD=6,DE=2,∵矩形ABCD的面积为6×4=24,Rt△CED的面积为12×4×2=4,扇形ABE的面积为12π×42=4π,∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛:本题考查了全等三角形的判定,圆的切线证明,三角形的面积,扇形的面积,矩形的面积.5.如图,已知⊙O 的半径为1,PQ 是⊙O 的直径,n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列,所有正三角形都关于PQ 对称,其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合,第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点,…,最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上.如图1,当n=1时,正三角形的边长a 1=_____;如图2,当n=2时,正三角形的边长a 2=_____;如图3,正三角形的边长a n =_____(用含n 的代数式表示).38313 24313n+ 【解析】 分析:(1)设PQ 与11B C 交于点D ,连接1B O ,得出OD=1A D -O 1A ,用含1a 的代数式表示OD ,在△O 1B D 中,根据勾股定理求出正三角形的边长1a ;(2)设PQ 与2B 2C 交于点E ,连接2B O ,得出OE=1A E-O 1A ,用含2a 的代数式表示OE ,在△O 2B E 中,根据勾股定理求出正三角形的边长2a ;(3)设PQ 与n B n C 交于点F ,连接n B O ,得出OF=1A F-O 1A ,用含an 的代数式表示OF ,在△O n B F 中,根据勾股定理求出正三角形的边长an . 本题解析:(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ,则A 2O =1-h ,连结B 2O ,设B 2C 2与PQ 交于点F ,则有OF =2h -1. ∵B 2O 2=OF 2+B 2F 2,∴1=(2h -1)2+2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h 32,∴1=32-1)2+14a 22, 解得a 283 . (3)同(2),连结B n O ,设B n C n 与PQ 交于点F ,则有B n O 2=OF 2+B n F 2,即1=(nh -1)2+212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h =32 a n ,∴1=14a n 2+2312n na ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 解得a n =24331n n + .6.如图1,已知AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的弦,过O 点作OF ⊥AB 交⊙O 于点D ,交AC 于点E ,交BC 的延长线于点F ,点G 是EF 的中点,连接CG(1)判断CG 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)求证:2OB 2=BC •BF ;(3)如图2,当∠DCE =2∠F ,CE =3,DG =2.5时,求DE 的长.【答案】(1)CG 与⊙O 相切,理由见解析;(2)见解析;(3)DE =2【解析】【分析】(1)连接CE ,由AB 是直径知△ECF 是直角三角形,结合G 为EF 中点知∠AEO =∠GEC =∠GCE ,再由OA =OC 知∠OCA =∠OAC ,根据OF ⊥AB 可得∠OCA +∠GCE =90°,即OC ⊥GC ,据此即可得证;(2)证△ABC ∽△FBO 得BC AB BO BF =,结合AB =2BO 即可得; (3)证ECD ∽△EGC 得EC ED EG EC =,根据CE =3,DG =2.5知32.53DE DE =+,解之可得.【详解】解:(1)CG 与⊙O 相切,理由如下:如图1,连接CE ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =∠ACF =90°,∵点G 是EF 的中点,∴GF =GE =GC ,∴∠AEO =∠GEC =∠GCE ,∵OA =OC ,∴∠OCA =∠OAC ,∵OF ⊥AB ,∴∠OAC +∠AEO =90°,∴∠OCA +∠GCE =90°,即OC ⊥GC ,∴CG 与⊙O 相切;(2)∵∠AOE =∠FCE =90°,∠AEO =∠FEC ,∴∠OAE =∠F ,又∵∠B =∠B ,∴△ABC ∽△FBO , ∴BC AB BO BF=,即BO •AB =BC •BF , ∵AB =2BO ,∴2OB 2=BC •BF ;(3)由(1)知GC =GE =GF ,∴∠F =∠GCF ,∴∠EGC =2∠F ,又∵∠DCE =2∠F ,∴∠EGC =∠DCE ,∵∠DEC =∠CEG ,∴△ECD ∽△EGC , ∴EC ED EG EC=, ∵CE =3,DG =2.5, ∴32.53DE DE =+,整理,得:DE2+2.5DE﹣9=0,解得:DE=2或DE=﹣4.5(舍),故DE=2.【点睛】本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点.7.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=23.过点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若∠BAC=60°,DE=7,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析;(2)32π.【解析】【分析】(1)连结OD,根据垂径定理得到OD⊥BC,根据平行线的性质得到OD⊥DF,根据切线的判定定理证明;(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,证明△OBD为等边三角形,得到∠ODB=60°,3PE,证明△ABE∽△AFD,根据相似三角形的性质求出AE,根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明:(1)连结OD,∵AD平分∠BAC交⊙O于D,∴∠BAD=∠CAD,∴BD CD,∴OD⊥BC,∵BC∥DF,∴OD⊥DF,∴DF为⊙O的切线;(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,∵∠BAC=60°,AD 平分∠BAC ,∴∠BAD=30°,∴∠BOD=2∠BAD=60°,∴△OBD 为等边三角形,∴∠ODB=60°,3 ,∴∠BDF=30°,∵BC ∥DF ,∴∠DBP=30°,在Rt △DBP 中,PD=123 ,3, 在Rt △DEP 中,∵37∴22(7)(3)- =2,∵OP ⊥BC ,∴BP=CP=3,∴CE=3﹣2=1,∵∠DBE=∠CAE ,∠BED=∠AEC ,∴△BDE ∽△ACE ,∴AE :BE=CE :DE ,即AE :5=17 ,∴AE=577∵BE ∥DF , ∴△ABE ∽△AFD , ∴BE AE DF AD= ,即5757125DF = , 解得DF=12,在Rt △BDH 中,BH=123, ∴阴影部分的面积=△BDF 的面积﹣弓形BD 的面积=△BDF 的面积﹣(扇形BOD 的面积﹣△BOD 的面积)=22160(23)3123(23)23604π⨯⨯-3﹣2π.【点睛】考查的是切线的判定,扇形面积计算,相似三角形的判定和性质,圆周角定理的应用,等边三角形的判定和性质,掌握切线的判定定理,扇形面积公式是解题的关键.8.如图,在Rt △ABC 中,90C ∠=︒,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,点O 在AB 上,⊙O 经过A 、D 两点,交AC 于点E ,交AB 于点F .(1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径是2cm ,E 是弧AD 的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)【答案】(1)证明见解析 (2)233π- 【解析】【分析】 (1)连接OD ,只要证明OD ∥AC 即可解决问题;(2)连接OE ,OE 交AD 于K .只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD .∵OA =OD ,∴∠OAD =∠ODA .∵∠OAD =∠DAC ,∴∠ODA =∠DAC ,∴OD ∥AC ,∴∠ODB =∠C =90°,∴OD ⊥BC ,∴BC 是⊙O 的切线.(2)连接OE ,OE 交AD 于K .∵AE DE =,∴OE ⊥AD .∵∠OAK =∠EAK ,AK =AK ,∠AKO =∠AKE =90°,∴△AKO ≌△AKE ,∴AO =AE =OE ,∴△AOE是等边三角形,∴∠AOE =60°,∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604π⋅⋅=-⨯22233π=. 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.9.如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是BA 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,CD ⊥AB ,垂足为D .(1)求证:∠PCA =∠ABC ;(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,交CD 于点F ,交BC 于点M ,若∠CAB =2∠B ,CF =3,求阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析;(2)6334π-. 【解析】【分析】(1)如图,连接OC ,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ,利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.(2)先求出△OCA 是等边三角形,在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值,分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值,利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形,然后通过计算即可解答.【详解】解:(1)证明:连接OC ,如图,∵PC 切⊙O 于点C ,∴OC ⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC ;(2)连接OE ,如图,∵△ACB 中,∠ACB =90º,∠CAB =2∠B,∴∠B =30º,∠CAB =60º,∴△OCA 是等边三角形,∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD =∠CAD +∠ABC =90º,∴∠ACD =∠B =30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA =∠CAE =30º,∴FC=FA,同理,CF =FM,∴AM =2CF=23,Rt △ACM 中,易得AC=23×32=3=OC, ∵∠B =∠CAE =30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点,如图所示,∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO =3∵△CDO ≌△EDO(AAS),∴332 ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯= 同样,易求93AOE S ∆=, 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力,综合性较强,有一定难度,熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.10.如图1,等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,过点A ,C 的圆交AB 于点D ,交BC于点E ,连结DE(1)若AD=7,BD=1,分别求DE ,CE 的长(2)如图2,连结CD ,若CE=3,△ACD 的面积为10,求tan ∠BCD(3)如图3,在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD (点P 与点E 不重合),连结PD ,且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ,说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ,PF=b ,PD=c ,若(a-2c )(b-2c )=8,求△CPF 的内切圆半径长.【答案】(1)DE=1,CE=32;(2)tan ∠BCD=14;(3)①135°;②2. 【解析】【分析】 (1)由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解;(2)找∠BDF 与∠ODA 为对顶角,在⊙O 中,∠COD=2∠CAD ,证明△OCD 为等腰直角三角形,从而得到∠EDC+∠ODA=45°,即可证明∠CDF=135°;(3)过点D 做DH CB ⊥于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D 切线PF 交CB 的延长线于点F ,结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°,再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点,得出∠CPF=90°,然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒,最后再根据三角形内角和定理即可求解;证明∠DCF+∠CFD=45°,从而证明∠CPF 是直角,再求证四边形PKDN 是正方形,最后以△PCF 面积不变性建立等量关系,结合已知(a-2c )(b-2c )=8,消去字母a ,b 求出c 值,即求出△CPF 的内切圆半径长为22c . 【详解】(1)由图可知:设BC=x .在Rt △ABC 中,AC=BC .由勾股定理得:AC 2+BC 2=AB 2,∵AB=AD+BD ,AD=7,BD=1,∴x 2+x 2=82,解得:x=42. ∵⊙O 内接四边形,∠ACD=90°,∴∠ADE=90°,∴∠EDB=90°,∵∠B=45°,∴△BDE 是等腰直角三形.∴DE=DB ,又∵DB=1,∴DE=1,又∵CE=BC-BE ,∴CE=42232-=.(2)如图所示:在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ,设BE=y ,则DM=12y , 又∵CE=3,∴BC=3+y ,∵S △ACB =S ACD +S DCB , ∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯, 解得:y=2或y=-11(舍去).∴EM=1,CM=CE+ME=1+3=4,又∵∠BCD=∠MCD ,∴tan ∠BCD=tan ∠MCD , 在Rt △DCM 中,tan ∠MCD=DM CM =14, ∴tan ∠BCD=14. (3)①如下图所示:过点D 做DH CB ⊥于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D 切线PF 交CB的延长线于点F .∵∠CAD=45°,∴∠CPD=∠CAD=45°,又∵点D 是CPF ∆的内心,∴PD 、CD 、DF 都是角平分线,∴∠FPD=∠CPD =45°,∠PCD=∠DCF ,∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°,即∠CDF 的度数为135°.②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ,DM ⊥CF ,DN ⊥PF 于直线PC ,CF 和PF 于点K ,M ,N 三点, 设△PCF 内切圆的半径为m ,则DN=m ,∵点D 是△PCF 的内心,∴DM=DN=DK ,又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°,∠FDC=45°,∴∠DCF+∠CFD=45°,又∵DC ,DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线,∴∠PCF=2∠DCF ,∠PFC=2∠DFC ,∴∠PCF+∠PFC=90°,∴∠CPF=90°.在四边形PKDN 中,∠PND=∠NPK=∠PKD=90°,∴四边形PKDN 是矩形,又∵KD=ND ,∴四边形PKDN 是正方形.又∵∠MBD=∠BDM=45°,∠BDM=∠KDP ,∴∠KDP=45°.∵PC=a ,PF=b ,PD=c ,∴PN=PK=C 2,∴NF=b c 2-,CK=a c 2-, 又∵CK=CM ,FM=FN ,CF=CM+FM ,∴CF=a b +,又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ,∴1111ab a c b c (a b 222222=⨯+⨯++-)×c 2,化简得:)2a b c c +-------(Ⅰ),又∵若(c )(c )=8化简得:()2ab a b 2c 8++=------(Ⅱ), 将(Ⅰ)代入(Ⅱ)得:c 2=8,解得:c =c =-∴2==, 即△CPF 的内切圆半径长为2.【点睛】本题考查圆的内接四边形性质,圆的内心,圆心角、圆周角,同弧(或等弧)之间的相互关系,同时也考查直角三角形,勾股定理,同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式,正方形,对顶角和整式的运算等知识点;难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长.11.如图,已知AB 是⊙O 的直径,BC 是弦,弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ,弦DE ⊥AB 于H ,交AC 于G .①求证:AG =GD ;②当∠ABC 满足什么条件时,△DFG 是等边三角形?③若AB=10,sin∠ABD=35,求BC的长.【答案】(1)证明见解析;(2)当∠ABC=60°时,△DFG是等边三角形.理由见解析;(3)BC的长为145.【解析】【分析】(1)首先连接AD,由DE⊥AB,AB是O的直径,根据垂径定理,即可得到AD AE=,然后根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,证得∠ADE=∠ABD,又由弦BD平分∠ABC,可得∠DBC=∠ABD,根据等角对等边的性质,即可证得AG=GD;(2)当∠ABC=60°时,△DFG是等边三角形,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质,易求得∠DGF=∠DFG=60°,即可证得结论;(3)利用三角函数先求出tan∠ABD34=,cos∠ABD=45,再求出DF、BF,然后即可求出BC.【详解】(1)证明:连接AD,∵DE⊥AB,AB是⊙O的直径,∴AD AE=,∴∠ADE=∠ABD,∵弦BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,∵∠DBC=∠DAC,∴∠ADE=∠DAC,∴AG=GD;(2)解:当∠ABC=60°时,△DFG是等边三角形.理由:∵弦BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=30°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°﹣∠ABC=30°,∴∠DFG=∠FAB+∠DBA=60°,∵DE⊥AB,∴∠DGF=∠AGH=90°﹣∠CAB=60°,∴△DGF 是等边三角形;(3)解:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =∠ACB =90°,∵∠DAC =∠DBC =∠ABD ,∵AB =10,sin ∠ABD =35, ∴在Rt △ABD 中,AD =AB•sin ∠ABD =6,∴BD =22AB BD -=8,∴tan ∠ABD =34AD BD =,cos ∠ABD =4=5BD AB , 在Rt △ADF 中,DF =AD•tan ∠DAF =AD•tan ∠ABD =6×34=92, ∴BF =BD ﹣DF =8﹣92=72, ∴在Rt △BCF 中,BC =BF•cos ∠DBC =BF•cos ∠ABD =72×45=145. ∴BC 的长为:145.【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用,注意辅助线的作法.12.如图,AB 是O 的直径,弦CD AB ⊥于点E ,过点C 的切线交AB 的延长线于点F ,连接DF .(1)求证:DF 是O 的切线;(2)连接BC ,若30BCF ∠=︒,2BF =,求CD 的长.【答案】(1)见解析;(2)3【解析】【分析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线,得CF=DF,∠CDF=∠DCF,由∠CDO=∠OCD,再证∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°,可得OD⊥DF,结论成立.(2) 由∠OCF=90°, ∠BCF=30°,得∠OCB=60°,再证ΔOCB为等边三角形,得∠COB=60°,可得∠CFO=30°,所以FO=2OC=2OB,FB=OB= OC =2,在直角三角形OCE中,解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE.【详解】(1)证明:连接OD∵CF是⊙O的切线∴∠OCF=90°∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD∴CE=ED,即OF为CD的垂直平分线∴CF=DF∴∠CDF=∠DCF∵OC=OD,∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°∴OD⊥DF∴DF是⊙O的切线(2)解:连接OD∵∠OCF=90°, ∠BCF=30°∴∠OCB=60°∵OC=OB∴ΔOCB为等边三角形,∴∠COB=60°∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB∴FB=OB= OC =2在直角三角形OCE中,∠CEO=90°∠COE=60°CE3∠==sin COEOC2∴CF3==∴CD=2 CF23【点睛】本题考核知识点:垂径定理,切线,解直角三角形. 解题关键点:熟记切线的判定定理,灵活运用含有30°角的直角三角形性质,巧解直角三角形.13.如图,AB是半圆⊙O的直径,点C是半圆⊙O上的点,连接AC,BC,点E是AC的中点,点F是射线OE上一点.(1)如图1,连接FA,FC,若∠AFC=2∠BAC,求证:FA⊥AB;(2)如图2,过点C作CD⊥AB于点D,点G是线段CD上一点(不与点C重合),连接FA,FG,FG与AC相交于点P,且AF=FG.①试猜想∠AFG和∠B的数量关系,并证明;②连接OG,若OE=BD,∠GOE=90°,⊙O的半径为2,求EP的长.【答案】(1)见解析;(2)①结论:∠GFA=2∠ABC.理由见解析;②PE=36.【解析】【分析】(1)证明∠OFA=∠BAC,由∠EAO+∠EOA=90°,推出∠OFA+∠AOE=90°,推出∠FAO=90°即可解决问题.(2)①结论:∠GFA=2∠ABC.连接FC.由FC=FG=FA,以F为圆心FC为半径作⊙F.因为AG AG,推出∠GFA=2∠ACG,再证明∠ACG=∠ABC.②图2﹣1中,连接AG,作FH⊥AG于H.想办法证明∠GFA=120°,求出EF,OF,OG即可解决问题.【详解】(1)证明:连接OC.∵OA=OC,EC=EA,∴OF⊥AC,∴FC=FA,∴∠OFA=∠OFC,∵∠CFA=2∠BAC,∴∠OFA=∠BAC,∵∠OEA=90°,∴∠EAO+∠EOA=90°,∴∠OFA+∠AOE=90°,∴∠FAO=90°,∴AF⊥AB.(2)①解:结论:∠GFA=2∠ABC.理由:连接FC.∵OF垂直平分线段AC,∴FG=FA,∵FG=FA,∴FC=FG=FA,以F为圆心FC为半径作⊙F.∵AG AG,∴∠GFA=2∠ACG,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵CD⊥AB,∴∠ABC+∠BCA=90°,∵∠BCD+∠ACD=90°,∴∠ABC=∠ACG,∴∠GFA=2∠ABC.②如图2﹣1中,连接AG,作FH⊥AG于H.∵BD=OE,∠CDB=∠AEO=90°,∠B=∠AOE,∴△CDB≌△AEO(AAS),∴CD=AE,∵EC=EA,∴AC=2CD.∴∠BAC =30°,∠ABC =60°,∴∠GFA =120°,∵OA =OB =2,∴OE =1,AE =,BA =4,BD =OD =1, ∵∠GOE =∠AEO =90°,∴OG ∥AC , 323DG OG ∴==, 22221AG DG AD ∴=+=, ∵FG =FA ,FH ⊥AG ,∴AH =HG 21∠AFH =60°, ∴AF =27sin 603AH ︒=, 在Rt △AEF 中,EF 2213AF AE -=, ∴OF =OE +EF =43 , ∵PE ∥OG , ∴PE EF OG 0F=, ∴134233=, ∴PE 3. 【点睛】圆综合题,考查了垂径定理,勾股定理,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.14.设C 为线段AB 的中点,四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形,以B 为圆心,BD 长为半径的⊙B 与AB 相交于F 点,延长EB 交⊙B 于G 点,连接DG 交于AB 于Q 点,连接AD .求证:(1)AD 是⊙B 的切线;(2)AD =AQ ;(3)BC 2=CF×EG .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】()1连接BD ,由DC AB ⊥,C 为AB 的中点,由线段垂直平分线的性质,可得AD BD =,再根据正方形的性质,可得90ADB ∠=;()2由BD BG =与//CD BE ,利用等边对等角与平行线的性质,即可求得122.52G CDG BDG BCD ∠=∠=∠=∠=,继而求得67.5ADQ AQD ∠=∠=,由等角对等边,可证得AD AQ =; ()3易求得67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠,90DCF E ∠=∠=,即可证得Rt DCF ∽Rt GED ,根据相似三角形的对应边成比例,即可证得结论.【详解】证明:()1连接BD ,四边形BCDE 是正方形,45DBA ∴∠=,90DCB ∠=,即DC AB ⊥,C 为AB 的中点,CD ∴是线段AB 的垂直平分线,AD BD ∴=,45DAB DBA ∴∠=∠=,90ADB ∴∠=,即BD AD ⊥,BD 为半径,AD ∴是B 的切线;()2BD BG =,BDG G ∴∠=∠,//CD BE ,CDG G ∴∠=∠,122.52G CDG BDG BCD ∴∠=∠=∠=∠=, 9067.5ADQ BDG ∴∠=-∠=,9067.5AQB BQG G ∠=∠=-∠=, ADQ AQD ∴∠=∠,AD AQ ∴=;()3连接DF ,在BDF 中,BD BF =,BFD BDF ∴∠=∠,又45DBF ∠=,67.5BFD BDF ∴∠=∠=,22.5GDB ∠=, 在Rt DEF 与Rt GCD 中,67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠,90DCF E ∠=∠=,Rt DCF ∴∽Rt GED ,CF CD ED EG∴=, 又CD DE BC ==,2BC CF EG ∴=⋅.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.15.如图1,D 是⊙O 的直径BC 上的一点,过D 作DE ⊥BC 交⊙O 于E 、N ,F 是⊙O 上的一点,过F 的直线分别与CB 、DE 的延长线相交于A 、P ,连结CF 交PD 于M ,∠C =12∠P . (1)求证:PA 是⊙O 的切线;(2)若∠A =30°,⊙O 的半径为4,DM =1,求PM 的长;(3)如图2,在(2)的条件下,连结BF 、BM ;在线段DN 上有一点H ,并且以H 、D 、C 为顶点的三角形与△BFM 相似,求DH 的长度.【答案】(1)证明见解析;(2)PM =43﹣2;(3)满足条件的DH 的值为632- 或122311+. 【解析】【分析】(1)如图1中,作PH ⊥FM 于H .想办法证明∠PFH=∠PMH ,∠C=∠OFC ,再根据等角的余角相等即可解决问题;(2)解直角三角形求出AD ,PD 即可解决问题;(3)分两种情形①当△CDH ∽△BFM 时,DH CD FM BF =. ②当△CDH ∽△MFB 时,DH CD FB MF=,分别构建方程即可解决问题; 【详解】(1)证明:如图1中,作PH ⊥FM 于H .∵PD ⊥AC ,∴∠PHM =∠CDM =90°,∵∠PMH =∠DMC ,∴∠C =∠MPH ,∵∠C =12∠FPM ,∴∠HPF =∠HPM , ∵∠HFP+∠HPF =90°,∠HMP+∠HPM =90°,∴∠PFH =∠PMH ,∵OF =OC ,∴∠C =∠OFC ,∵∠C+∠CMD =∠C+∠PMF =∠C+∠PFH =90°,∴∠OFC+∠PFC =90°,∴∠OFP =90°,∴直线PA 是⊙O 的切线.(2)解:如图1中,∵∠A =30°,∠AFO =90°,∴∠AOF =60°,∵∠AOF =∠OFC+∠OCF ,∠OFC =∠OCF ,∴∠C =30°,∵⊙O 的半径为4,DM =1,∴OA =2OF =8,CD =3DM =3 ,∴OD =OC ﹣CD =4﹣3 ,∴AD =OA+OD =8+4﹣3 =12﹣3 ,在Rt △ADP 中,DP =AD•tan30°=(12﹣3 )×33 =43 ﹣1, ∴PM =PD ﹣DM =4 3﹣2.(3)如图2中,由(2)可知:BF =12BC =4,FM 3BF =3,CM =2DM =2,CD 3 , ∴FM =FC ﹣CM =3﹣2, ①当△CDH ∽△BFM 时,DH CD FM BF = , ∴34432=- ,∴DH =632 ②当△CDH ∽△MFB 时,DH CD FB MF =, ∴34432DH =-,∴DH 1223+ , ∵DN ()22443833--=-,∴DH <DN ,符合题意,综上所述,满足条件的DH 的值为62- 或1211+. 【点睛】 本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会用分类讨论的思想思考问题.。
中考数学 圆的综合 综合题含答案解析
中考数学 圆的综合 综合题含答案解析一、圆的综合1.如图,AB 为⊙O 的直径,点E 在⊙O 上,过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ,连接BE ,过点O 作BE 的平行线,交⊙O 于点F ,交切线于点C ,连接AC(1)求证:AC 是⊙O 的切线;(2)连接EF ,当∠D= °时,四边形FOBE 是菱形.【答案】(1)见解析;(2)30.【解析】【分析】(1)由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌,根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. (2)根据四边形FOBE 是菱形,得到OF=OB=BF=EF ,得证OBE ∆为等边三角形,而得出60BOE ∠=︒,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】(1)证明:∵CD 与⊙O 相切于点E ,∴OE CD ⊥,∴90CEO ∠=︒,又∵OC BE P ,∴COE OEB ∠=∠,∠OBE=∠COA∵OE=OB ,∴OEB OBE ∠=∠,∴COE COA ∠=∠,又∵OC=OC ,OA=OE ,∴OCA OCE SAS ∆∆≌(), ∴90CAO CEO ∠=∠=︒,又∵AB 为⊙O 的直径,∴AC 为⊙O 的切线;(2)解:∵四边形FOBE 是菱形,∴OF=OB=BF=EF ,∴OE=OB=BE ,∴OBE ∆为等边三角形,∴60BOE ∠=︒,而OE CD ⊥,∴30D ∠=︒.故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.2.如图,已知△ABC 中,AB=AC ,∠A=30°,AB=16,以AB 为直径的⊙O 与BC 边相交于点D ,与AC 交于点F ,过点D 作DE ⊥AC 于点E .(1)求证:DE 是⊙O 的切线;(2)求CE 的长;(3)过点B 作BG ∥DF ,交⊙O 于点G ,求弧BG 的长.【答案】(1)证明见解析(2)33)4π【解析】【分析】(1)如图1,连接AD ,OD ,由AB 为⊙O 的直径,可得AD ⊥BC ,再根据AB=AC ,可得BD=DC ,再根据OA=OB ,则可得OD ∥AC ,继而可得DE ⊥OD ,问题得证;(2)如图2,连接BF ,根据已知可推导得出DE=12BF ,CE=EF ,根据∠A=30°,AB=16,可得BF=8,继而得DE=4,由DE 为⊙O 的切线,可得ED 2=EF•AE ,即42=CE•(16﹣CE ),继而可求得CE 长;(3)如图3,连接OG ,连接AD ,由BG ∥DF ,可得∠CBG=∠CDF=30°,再根据AB=AC ,可推导得出∠OBG=45°,由OG=OB ,可得∠OGB=45°,从而可得∠BOG=90°,根据弧长公式即可求得»BG的长度. 【详解】(1)如图1,连接AD ,OD ;∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,即AD ⊥BC ,∵AB=AC ,∴BD=DC ,∵OA=OB ,∴OD ∥AC ,∵DE ⊥AC ,∴DE ⊥OD ,∴∠ODE=∠DEA=90°,∴DE 为⊙O 的切线;(2)如图2,连接BF ,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AFB=90°,∴BF ∥DE ,∵CD=BD ,∴DE=12BF ,CE=EF , ∵∠A=30°,AB=16,∴BF=8,∴DE=4,∵DE 为⊙O 的切线,∴ED 2=EF•AE , ∴42=CE•(16﹣CE ),∴CE=8﹣43,CE=8+43(不合题意舍去);(3)如图3,连接OG ,连接AD ,∵BG ∥DF ,∴∠CBG=∠CDF=30°,∵AB=AC ,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠OBG=75°﹣30°=45°,∵OG=OB ,∴∠OGB=∠OBG=45°,∴∠BOG=90°,∴»BG 的长度=908180π⨯⨯=4π.【点睛】本题考查了圆的综合题,涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等,正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.3.如图,AB 为⊙O 的直径,点D 为AB 下方⊙O 上一点,点C 为弧ABD 的中点,连接CD,CA.(1)求证:∠ABD=2∠BDC;(2)过点C作CH⊥AB于H,交AD于E,求证:EA=EC;(3)在(2)的条件下,若OH=5,AD=24,求线段DE的长度.【答案】(1)证明见解析;(2)见解析;(3)92 DE=.【解析】【分析】(1)连接AD,如图1,设∠BDC=α,∠ADC=β,根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α,由AB为⊙O直径,得到∠ADB=90°,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据已知条件得到∠ACE=∠ADC,等量代换得到∠ACE=∠CAE,于是得到结论;(3)如图2,连接OC,根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB,等量代换得到∠COB=∠ABD,根据相似三角形的性质得到OH=5,根据勾股定理得到AB=22AD BD+=26,由相似三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)连接AD.如图1,设∠BDC=α,∠ADC=β,则∠CAB=∠BDC=α,∵点C为弧ABD中点,∴¶AC=¶CD,∴∠ADC=∠DAC=β,∴∠DAB=β﹣α,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴α+β=90°,∴β=90°﹣α,∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣(β﹣α),∴∠ABD=2α,∴∠ABD=2∠BDC;(2)∵CH⊥AB,∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°,∵∠CAB=∠CDB,∴∠ACE=∠ADC,∵∠CAE=∠ADC,∴∠ACE=∠CAE,∴AE=CE;(3)如图2,连接OC,∴∠COB=2∠CAB,∵∠ABD=2∠BDC,∠BDC=∠CAB,∴∠COB=∠ABD,∵∠OHC =∠ADB =90°,∴△OCH ∽△ABD ,∴12OH OC BD AB ==, ∵OH =5,∴BD =10,∴AB =22AD BD +=26,∴AO =13,∴AH =18, ∵△AHE ∽△ADB ,∴AH AE AD AB =,即1824=26AE ,∴AE =392,∴DE =92.【点睛】本题考查了垂径定理,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.4.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C ,D 在⊙O 上,BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°.点E 在⊙O 外,做直线AE ,且∠EAC=∠D .(1)求证:直线AE 是⊙O 的切线.(2)求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2)25-504π. 【解析】 分析:(1)根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°,即可得到AE 是⊙O 的切线; (2)连接OD ,用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解:证明:(1) ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,即∠BAC+∠ABC=90°,∵∠EAC=∠ADC ,∠ADC=∠ABC ,∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°,即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线;(2)连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形==90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= (2cm )点睛:此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质,关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质,结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解,注意数形结合思想的应用.5.如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥BC 垂足为H ,∠ABC =2∠CAD .(1)如图1,求证:AB =BC ;(2)如图2,过点B 作BM ⊥CD 垂足为M ,BM 交⊙O 于E,连接AE 、HM ,求证:AE ∥HM; (3)如图3,在(2)的条件下,连接BD 交AE 于N ,AE 与BC 交于点F ,若NH =25,AD =11,求线段AB 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AB 的长为10.【解析】分析:(1)根据题意,设∠CAD=a ,然后根据直角三角形的两锐角互余的关系,推导出∠BAC=∠ACB ,再根据等角对等边得证结论;(2)延长AD 、BM 交于点N ,连接ED.根据圆周角定理得出∠N=∠DEN=∠BAN ,进而根据等角对等边,得到DE=DN,BA=BN,再根据等腰三角形和直角三角形的性质,求得MH∥AE;(3)连接CE,根据(2)的结论,由三角形全等的判定与性质证得HF=HC,然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8,最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解:(1)证明:设∠CAD=a,则∠ABC=2a,∠C=90°-a,∠BAD=90°-2a,∴∠BAC=90°-2a+a=90°-a∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC(2)证明:延长AD、BM交于点N,连接ED.∵∠DEN=∠DAB,∠N=∠BCD,∠BCD=∠BAN∴∠N=∠DEN=∠BAN∴DE=DN,BA=BN又∵BH⊥AN,DM⊥EN∴EM=NM,HN=HA,∴MH∥AE(3)连接CE.∠BDA=∠BCA,∠BDM=∠BAC,由(1)知∠BCA=∠BAC∴∠BDA=∠BDM,∴△BDM≌△BDH,∴DH=MH,∠MBD=∠HBD,∴BD⊥MH又∵MH∥AE,∴BD⊥EF,∴△FNB≌△ENB,同理可证△AFH≌△ACH,∴HF=HC,又∵FN=NE∴NH∥EC,EC=2NH,又∵NH=25∴EC=45∠EAC=2∠AEC=2a=∠ABC,可证弧AC=弧EC,∴AC=EC=5设HD=x,AH=11-x,∵∠ADC=2∠CAD,翻折△CHD 至△CHG,可证CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又∵AC 2-AH 2=CD 2-DH 2,∴(45)2-(11-x)2=(11-2x)2-x 2∴x 1=3,x 2=272(舍去)∴CD=5,CH=4,AH=8. 又∵tan2AH CH a BH DH==,∴BH=6 ∴AB=22226810BM AH +=+= 点睛:此题主要考查了圆的综合,结合圆周角定理,勾股定理,全等三角形的判定与性质,解直角三角形的性质,综合性比较强,灵活添加辅助线,构造方程求解是解题关键.6.如图,已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上,过点C 作CD ⊥AB ,分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ,AE 交半圆O 于点F ,连接CF .(1)判断直线DE 与半圆O 的位置关系,并说明理由;(2)若半圆O 的半径为6,求¶AC 的长.【答案】(1)直线CE 与半圆O 相切(2)4π【解析】试题分析:(1)结论:DE 是⊙O 的切线.首先证明△ABO ,△BCO 都是等边三角形,再证明四边形BDCG 是矩形,即可解决问题;(2)只要证明△OCF 是等边三角形即可解决问题,求AC 即可解决问题.试题解析:(1)直线CE 与半圆O 相切,理由如下:∵四边形OABC 是平行四边形,∴AB ∥OC.∵∠D=90°,∴∠OCE=∠D=90°,即OC ⊥DE ,∴直线CE 与半圆O 相切.(2)由(1)可知:∠COF=60°,OC=OF ,∴△OCF 是等边三角形,∴∠AOC=120°∴¶AC 的长为1206180π⨯⨯=4π.7.已知:AB 是⊙0直径,C 是⊙0外一点,连接BC 交⊙0于点D ,BD=CD,连接AD 、AC .(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C 作CF ⊥AB 于点F,交⊙0于点E,延长CF 交⊙0于点G.过点作EH ⊥AG 于点H ,交AB 于点K,求证AK=2OF ;(3)如图3,在(2)的条件下,EH 交AD 于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL 的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12105 【解析】试题分析:(1)由直径所对的圆周角等于90°,得到∠ADB =90°,再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论;(2)连接BE .由同弧所对的圆周角相等,得到∠GAB =∠BEG .再证△KFE ≌△BFE ,得到BF =KF =BK .由OF =OB -BF ,AK =AB -BK ,即可得到结论. (3)连接CO 并延长交AG 于点M ,连接BG .设∠GAB =α.先证CM 垂直平分AG ,得到AM =GM ,∠AGC +∠GCM =90°.再证∠GAF =∠GCM =α.通过证明△AGB ≌△CMG ,得到BG =GM =12AG .再证明∠BGC =∠MCG =α.设BF =KF =a , 可得GF =2a ,AF =4a . 由OK =1,得到OF =a +1,AK =2(a +1),AF = 3a +2,得到3a +2=4a ,解出a 的值,得到AF ,AB ,GF ,FC 的值.由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =, AK =6,可以求出 AH 的长.再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ,利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD∠+∠-∠⋅∠,得到∠GAD =45°,则AL =2AH ,即可得到结论.试题解析:解:(1)∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB =90°,∴∠ADC =90°.∵BD =CD ,∠BDA =∠CDA ,AD =AD ,∴△ABD ≌△ACD ,∴∠BAD =∠CAD .(2)连接BE .∵BG =BG ,∴∠GAB =∠BEG .∵CF ⊥AB ,∴∠KFE =90°.∵EH ⊥AG ,∴∠AHE =∠KFE =90°,∠AKH =∠EKF ,∴∠HAK =∠KEF =∠BEF .∵FE =FE ,∠KFE =∠BFE =90°,∴△KFE ≌△BFE ,∴BF =KF =BK .∵ OF =OB -BF ,AK =AB -BK ,∴AK =2OF .(3)连接CO 并延长交AG 于点M ,连接BG .设∠GAB =α.∵AC =CG , ∴点C 在AG 的垂直平分线上.∵ OA =OG ,∴点O 在AG 的垂直平分线上, ∴CM 垂直平分AG ,∴AM =GM ,∠AGC +∠GCM =90°.∵AF ⊥CG ,∴∠AGC +∠GAF =90°,∴∠GAF =∠GCM =α.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AGB = 90°,∴∠AGB =∠CMG =90°.∵AB =AC =CG ,∴△AGB ≌△CMG ,∴BG =GM=12AG . 在Rt △AGB 中, 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== . ∵∠AMC =∠AGB = 90°,∴BG ∥CM , ∴∠BGC =∠MCG =α.设BF =KF =a , 1tan tan 2BF BGF GF α∠===,∴GF =2a ,1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ,AF =4a .∵OK =1,∴OF =a +1,AK =2OF =2(a +1),∴AF =AK +KF =a +2(a +1)=3a +2,∴3a +2=4a ,∴a =2, AK =6,∴AF =4a =8,AB =AC =CG =10,GF =2a =4,FC =CG -GF =6. ∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =,设KH =m ,则AH =2m ,∴AK 22(2)m m +=6,解得:m 65,∴AH =2m 125.在Rt △BFC 中,1tan 3BF BCF FC ∠== .∵∠BAD +∠ABD =90°, ∠FBC +∠BCF =90°,∴∠BCF =∠BAD ,1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ,∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯,∴∠GAD=45°,∴HL=AH,AL=2AH= 1210.58.如图,AN是⊙M的直径,NB∥x轴,AB交⊙M于点C.(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是⊙M的切线.【答案】(1) B(,2).(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)在Rt△ABN中,求出AN、AB即可解决问题;(2)连接MC,NC.只要证明∠MCD=90°即可试题解析:(1)∵A的坐标为(0,6),N(0,2),∴AN=4,∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8,∴由勾股定理可知:NB=,∴B(,2).(2)连接MC,NC∵AN是⊙M的直径,∴∠ACN=90°,∴∠NCB=90°,在Rt△NCB中,D为NB的中点,∴CD=NB=ND,∴∠CND=∠NCD , ∵MC=MN , ∴∠MCN=∠MNC , ∵∠MNC+∠CND=90°, ∴∠MCN+∠NCD=90°, 即MC ⊥CD .∴直线CD 是⊙M 的切线.考点:切线的判定;坐标与图形性质.9.如图,在Rt △ABC 中,90C ∠=︒,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,点O 在AB 上,⊙O 经过A 、D 两点,交AC 于点E ,交AB 于点F . (1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径是2cm ,E 是弧AD 的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)【答案】(1)证明见解析 (2)233π【解析】 【分析】(1)连接OD ,只要证明OD ∥AC 即可解决问题;(2)连接OE ,OE 交AD 于K .只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题. 【详解】 (1)连接OD .∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠OAD=∠DAC,∴∠ODA=∠DAC,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC,∴BC是⊙O的切线.(2)连接OE,OE交AD于K.∵¶¶AE DE=,∴OE⊥AD.∵∠OAK=∠EAK,AK=AK,∠AKO=∠AKE=90°,∴△AKO≌△AKE,∴AO=AE=OE,∴△AOE是等边三角形,∴∠AOE=60°,∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE26023360π⋅⋅=-⨯22233π=-.【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.10.如图,等边△ABC内接于⊙O,P是弧AB上任一点(点P不与A、B重合),连AP,BP,过C作CM∥BP交PA的延长线于点M,(1)求证:△PCM为等边三角形;(2)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积.【答案】(1)见解析;(2153 4【解析】【分析】(1)利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角,进而判定△PCM为等边三角形;(2)利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等,进而利用△PCM为等边三角形,进而求得PH的长,利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可.【详解】(1)证明:作PH⊥CM于H,∵△ABC是等边三角形,∴∠APC=∠ABC=60°, ∠BAC=∠BPC=60°, ∵CM ∥BP , ∴∠BPC=∠PCM=60°, ∴△PCM 为等边三角形;(2)解:∵△ABC 是等边三角形,△PCM 为等边三角形, ∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA , ∴∠BCP=∠ACM , 在△BCP 和△ACM 中,BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BCP ≌△ACM (SAS ), ∴PB=AM ,∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3, 在Rt △PMH 中,∠MPH=30°, ∴PH=332,∴S 梯形PBCM =12(PB+CM )×PH=12×(2+3)×332=1534.【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法,是一道比较复杂的几何综合题.11.如图,四边形为菱形,且,以为直径作,与交于点.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留作图痕迹)(1)在如图中,过点作边上的高. (2)在如图中,过点作的切线,与交于点.【答案】(1)如图1所示.(答案不唯一),见解析;(2)如图2所示.(答案不唯一),见解析.【解析】【分析】(1)连接AC交圆于一点F,连接PF交AB于点E,连接CE即为所求.(2)连接OF交BC于Q,连接PQ即为所求.【详解】(1)如图1所示.(答案不唯一)(2)如图2所示.(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图,菱形和圆的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.12.如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的弦,过O点作OD⊥BC,交⊙O的切线CD于点D,交⊙O于点E,连接AC、AE,且AE与BC交于点F.(1)连接BD,求证:BD是⊙O的切线;(2)若AF:EF=2:1,求tan∠CAF的值.【答案】(1)证明见解析;(2)3 3.【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°,根据切线的判定定理即可得到结论; (2)根据已知条件得到AC ∥DE ,设OD 与BC 交于G ,根据平行线分线段成比例定理得到AC :EG=2:1,EG=12AC ,根据三角形的中位线的性质得到OG=12AC 于是得到AC=OE ,求得∠ABC=30°,即可得到结论. 【详解】证明:(1)∵OC=OB ,OD ⊥BC , ∴∠COD=∠BOD , 在△COD 与△BOD 中,OC OB COD BOD OD OD ===⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, ∴△COD ≌△BOD , ∴∠OBD=∠OCD=90°, ∴BD 是⊙O 的切线;(2)解:∵AB 为⊙O 的直径,AC ⊥BC , ∵OD ⊥CB , ∴AC ∥DE , 设OD 与BC 交于G , ∵OE ∥AC ,AF :EF=2:1, ∴AC :EG=2:1,即EG=12AC , ∵OG ∥AC ,OA=OB , ∴OG=12AC , ∵OG+GE=12AC+12AC=AC , ∴AC=OE ,∴AC=12AB , ∴∠ABC=30°,∴∠CAB=60°,∵¼¼CE BE=,∴∠CAF=∠EAB=12∠CAB=30°,∴tan∠CAF=tan30°=33.【点睛】本题考查了切线的判定和性质,垂径定理,全等三角形的判定与性质,三角形的中位线的性质,三角函数的定义,正确的识别图形是解题的关键.13.如图,已知△ABC,AB=2,3BC=,∠B=45°,点D在边BC上,联结AD,以点A 为圆心,AD为半径画圆,与边AC交于点E,点F在圆A上,且AF⊥AD.(1)设BD为x,点D、F之间的距离为y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;(2)如果E是»DF的中点,求:BD CD的值;(3)联结CF,如果四边形ADCF是梯形,求BD的长.【答案】(1) 2442y x x=-+45; (3) BD的长是11+5.【解析】【分析】(1)过点A作AH⊥BC,垂足为点H.构造直角三角形,利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度.联结DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度,在Rt△ADF中,利用锐角三角形函数的定义求得DF的长度,易得函数关系式.(2)由勾股定理求得:22AH DH+.设DF与AE相交于点Q,通过解Rt△DCQ和Rt△AHC推知12DQCQ=.故设DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DC的长度,结合图形求得线段BD的长度,易得答案.(3)如果四边形ADCF是梯形,则需要分类讨论:①当AF∥DC、②当AD∥FC.根据相似三角形的判定与性质,结合图形解答.【详解】(1)过点A作AH⊥BC,垂足为点H.∵∠B =45°,AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===. ∵BD 为x ,∴1DH x =-.在Rt △ADH 中,90AHD ∠=︒,∴22222AD AH DH x x =+=-+.联结DF ,点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度.∵点F 在圆A 上,且AF ⊥AD ,∴AD AF =,45ADF ∠=︒. 在Rt △ADF 中,90DAF ∠=︒,∴2442cos ADDF x x ADF==-+∠∴2442y x x =-+.()03x ≤≤ ;(2)∵E 是DF 的中点,∴AE DF ⊥,AE 平分DF . ∵BC=3,∴312HC =-=.∴225AC AH HC +=.设DF 与AE 相交于点Q ,在Rt △DCQ 中,90DQC ∠=︒,tan DQDCQ CQ∠=. 在Rt △AHC 中,90AHC ∠=︒,1tan 2AH ACH HC ∠==. ∵DCQ ACH ∠=∠,∴12DQ CQ =. 设,2DQ k CQ k ==,AQ DQ k ==, ∵35k =5k =,∴2253DC DQ CQ =+=.∵43BD BC DC =-=,∴4:5BD CD =. (3)如果四边形ADCF 是梯形则①当AF ∥DC 时,45AFD FDC ∠=∠=︒.∵45ADF ∠=︒,∴AD BC ⊥,即点D 与点H 重合. ∴1BD =. ②当AD ∥FC 时,45ADF CFD ∠=∠=︒. ∵45B ∠=︒,∴B CFD ∠=∠.∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠,∴BAD FDC ∠=∠. ∴ABD ∆∽DFC ∆.∴AB ADDF DC=. ∵2DF AD =,DC BC BD =-.∴2AD BC BD =-.即()222-23x xx +=-,整理得 210x x --=,解得 152x ±=(负数舍去). 综上所述,如果四边形ADCF 是梯形,BD 的长是1或1+5. 【点睛】此题属于圆的综合题,涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识,综合性较强,解答本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.14.如图,AB 是O e 的直径,DF 切O e 于点D ,BF DF ⊥于F ,过点A 作AC //BF 交BD 的延长线于点C . (1)求证:ABC C ∠∠=;(2)设CA 的延长线交O e 于E BF ,交O e 于G ,若¼DG的度数等于60o ,试简要说明点D 和点E 关于直线AB 对称的理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)作辅助线,连接OD ,由DF 为⊙O 的切线,可得OD ⊥DF ,又BF ⊥DF ,AC ∥BF ,所以OD ∥AC ,∠ODB=∠C ,由OB=OD 得∠ABD=∠ODB ,从而可证∠ABC=∠C ;(2)连接OG ,OD ,AD ,由BF ∥OD ,»GD =60°,可求证»BG =»»GD AD ==60°,由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°,由垂径定理便可得出结论. 【详解】 (1)连接OD , ∵DF 为⊙O 的切线, ∴OD ⊥DF . ∵BF ⊥DF ,AC ∥BF , ∴OD ∥AC ∥BF . ∴∠ODB=∠C . ∵OB=OD ,∴∠ABD=∠ODB.∴∠ABC=∠C.(2)连接OG,OD,AD,DE,DE交AB于H,∵BF∥OD,∴∠OBG=∠AOD,∠OGB=∠DOG,∴»»GD AD==»BG.∵»GD=60°,∴»BG=»»GD AD==60°,∴∠ABC=∠C=∠E=30°,∵OD//CE∴∠ODE=∠E=30°.在△ODH中,∠ODE=30°,∠AOD=60°,∴∠OHD=90°,∴AB⊥DE.∴点D和点E关于直线AB对称.【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理,解答此题的关键是作出辅助线,利用数形结合解答.15.如图,在⊙O中,直径AB垂直弦CD于E,过点A作∠DAF=∠DAB,过点D作AF的垂线,垂足为F,交AB的延长线于点P,连接CO并延长交⊙O于点G,连接EG.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若AD=DP,OB=3,求»BD的长度;(3)若DE=4,AE=8,求线段EG的长.【答案】(1)证明见解析(2)π(3)213【解析】试题分析:(1)连接OD,由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO,再由已知条件得出∠ADO=∠DAF,证出OD∥AF,由已知DF⊥AF,得出DF⊥OD,即可得出结论;(2)易得∠BOD=60°,再由弧长公式求解即可;(3)连接DG,由垂径定理得出DE=CE=4,得出CD=8,由勾股定理求出DG,再由勾股定理求出EG即可.试题解析:(1)证明:连接OD,如图1所示:∵OA=OD,∴∠DAB=∠ADO,∵∠DAF=∠DAB,∴∠ADO=∠DAF,∴OD∥AF,又∵DF⊥AF,∴DF⊥OD,∴DF是⊙O的切线;(2)∵AD=DP∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0∴∠P+∠DAF+∠DAB =3x o=90O∴x0=300∴∠BOD=60°,∴»BD的长度=(3)解:连接DG,如图2所示:∵AB⊥CD,∴DE=CE=4,∴CD=DE+CE=8,设OD=OA=x,则OE=8﹣x,在Rt△ODE中,由勾股定理得:OE2+DE2=OD2,即(8﹣x)2+42=x2,解得:x=5,∴CG=2OA=10,∵CG是⊙O的直径,∴∠CDG=90°,∴DG=2222-=-=6,108CG CD∴EG=2222+=+=213.DG DE64。
初三圆经典真题及答案详解
圆经典重难点真题一.选择题(共10小题)1.(2015•安顺)如右图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为()A.2 B.4 C.4D.82.(2015•酒泉)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80°B.160°C.100°D.80°或100°3.(2015•兰州)如右图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=()A.80°B.90°C.100°D.无法确定4.(2015•包头)如右图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积为()A.πB.πC.πD.π5.(2015•黄冈中学自主招生)如右图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的正弦值为()A.B.C.D.6.(2015•黄冈中学自主招生)将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是()A.3 B.8 C. D.27.(2015•齐齐哈尔)如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是()A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤58.(2015•衢州)如右图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是()A.3 B.4 C.D.9.(2014•舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为()A.2 B.4 C.6 D.810.(2015•海南)如右图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为()A.45°B.30°C.75°D.60°二.填空题(共5小题)11.(2015•黔西南州)如右图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为.12.(2015•宿迁)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=130°,则∠BOD=°.13.(2015•南昌)如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为.14.(2015•青岛)如图,圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠A=55°,∠E=30°,则∠F=.15.(2015•甘南州)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,则弦AB的长是.三.解答题(共5小题)16.(2015•永州)如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.17.(2015•安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.18.(2015•滨州)如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)求的长.(2)求弦BD的长.19.(2015•丹东)如图,AB是⊙O的直径,=,连接ED、BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA=CD=2,求阴影部分的面积;(2)求证:DE=DM.20.(2014•湖州)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.(2015•安顺)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD 的长为()A.2 B.4 C.4D.8【考点】垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理.【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°,由于⊙O的直径AB垂直于弦CD,根据垂径定理得CE=DE,且可判断△OCE为等腰直角三角形,所以CE=OC=2,然后利用CD=2CE进行计算.【解答】解:∵∠A=22.5°,∴∠BOC=2∠A=45°,∵⊙O的直径AB垂直于弦CD,∴CE=DE,△OCE为等腰直角三角形,∴CE=OC=2,∴CD=2CE=4.故选:C.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理.2.(2015•酒泉)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80°B.160°C.100°D.80°或100°【考点】圆周角定理.【分析】首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠ABC的度数.【解答】解:如图,∵∠AOC=160°,∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°,∵∠ABC+∠AB′C=180°,∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°.∴∠ABC的度数是:80°或100°.故选D.【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解.3.(2015•兰州)如图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=()A.80°B.90°C.100°D.无法确定【考点】圆周角定理;坐标与图形性质.【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,根据圆周角定理,即可求得∠ACB=∠AOB=90°.【解答】解:∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,∴∠AOB=∠ACB,∵∠AOB=90°,∴∠ACB=90°.故选B.【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单,解题的关键是观察图形,得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角.4.(2015•包头)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积为()A.πB.πC.πD.π【考点】扇形面积的计算;勾股定理的逆定理;旋转的性质.【分析】根据AB=5,AC=3,BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状,根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积,得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积,根据扇形面积公式计算即可.【解答】解:∵AB=5,AC=3,BC=4,∴△ABC为直角三角形,由题意得,△AED的面积=△ABC的面积,由图形可知,阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积,∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==,故选:A.【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理,根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键.5.(2015•黄冈中学自主招生)如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B 是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的正弦值为()A.B.C.D.【考点】圆周角定理;坐标与图形性质;锐角三角函数的定义.【分析】首先连接AC,OA,由直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),可得△OAC 是等边三角形,继而可求得∠OAC的度数,又由圆周角定理,即可求得∠OBC的度数,则可求得答案.【解答】解:连接AC,OA,∵点C(0,5)和点O(0,0),∴OC=5,∵直径为10,∴AC=OA=5,∴AC=OA=OC,∴△OAC是等边三角形,∴∠OAC=60°,∴∠OBC=∠OAC=30°,∴∠OBC的正弦值为:sin30°=.故选A.【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的知识.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.6.(2015•黄冈中学自主招生)将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是()A.3 B.8 C. D.2【考点】圆周角定理;翻折变换(折叠问题);射影定理.【专题】计算题.【分析】若连接CD、AC,则根据同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等,求得AC=CD;过C作AB的垂线,设垂足为E,则DE=AD,由此可求出BE的长,进而可在Rt△ABC中,根据射影定理求出BC的长.【解答】解:连接CA、CD;根据折叠的性质,知所对的圆周角等于∠CBD,又∵所对的圆周角是∠CBA,∵∠CBD=∠CBA,∴AC=CD(相等的圆周角所对的弦相等);∴△CAD是等腰三角形;过C作CE⊥AB于E.∵AD=4,则AE=DE=2;∴BE=BD+DE=7;在Rt△ACB中,CE⊥AB,根据射影定理,得:BC2=BE•AB=7×9=63;故BC=3.故选A.【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理;能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形,是解答此题的关键.7.(2015•齐齐哈尔)如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是()A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤5【考点】直线与圆的位置关系;勾股定理;垂径定理.【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长.连接过切点的半径和大圆的一条半径,根据勾股定理和垂径定理,得AB=8.若大圆的弦AB与小圆有公共点,即相切或相交,此时AB≥8;又因为大圆最长的弦是直径10,则8≤AB≤10.【解答】解:当AB与小圆相切,∵大圆半径为5,小圆的半径为3,∴AB=2=8.∵大圆的弦AB与小圆有公共点,即相切或相交,∴8≤AB≤10.故选:A.【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理.此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长,再进一步分析有公共点时的弦长.8.(2015•衢州)如图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是()A.3 B.4 C.D.【考点】切线的性质.【专题】压轴题.【分析】首先连接OD、BD,判断出OD∥BC,再根据DE是⊙O的切线,推得DE⊥OD,所以DE⊥BC;然后根据DE⊥BC,CD=5,CE=4,求出DE的长度是多少;最后判断出BD、AC的关系,根据勾股定理,求出BC的值是多少,再根据AB=BC,求出AB的值是多少,即可求出⊙O的半径是多少.【解答】解:如图1,连接OD、BD,,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴BD⊥AC,又∵AB=BC,∴AD=CD,又∵AO=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥BC,∵DE是⊙O的切线,∴DE⊥OD,∴DE⊥BC,∵CD=5,CE=4,∴DE=,∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2,∴5BD=3BC,∴,∵BD2+CD2=BC2,∴,解得BC=,∵AB=BC,∴AB=,∴⊙O的半径是;.故选:D.【点评】此题主要考查了切线的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.9.(2014•舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为()A.2 B.4 C.6 D.8【考点】垂径定理;勾股定理.【专题】计算题.【分析】根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中,由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长.【解答】解:∵CE=2,DE=8,∴OB=5,∴OE=3,∵AB⊥CD,∴在△OBE中,得BE=4,∴AB=2BE=8.故选:D.【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握.10.(2015•海南)如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为()A.45°B.30°C.75°D.60°【考点】圆周角定理;含30度角的直角三角形;翻折变换(折叠问题).【专题】计算题;压轴题.【分析】作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB,如图,根据折叠的性质得OD=CD,则OD=OA,根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°,接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°,然后根据圆周角定理计算∠APB的度数.【解答】解:作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB,如图,∵将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,∴OD=CD,∴OD=OC=OA,∴∠OAD=30°,而OA=OB,∴∠CBA=30°,∴∠AOB=120°,∴∠APB=∠AOB=60°.故选D.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质.二.填空题(共5小题)11.(2015•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为.【考点】垂径定理;勾股定理.【分析】连接OC,由垂径定理得出CE=CD=2,设OC=OA=x,则OE=x﹣1,由勾股定理得出CE2+OE2=OC2,得出方程,解方程即可.【解答】解:连接OC,如图所示:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴CE=CD=2,∠OEC=90°,设OC=OA=x,则OE=x﹣1,根据勾股定理得:CE2+OE2=OC2,即22+(x﹣1)2=x2,解得:x=;故答案为:.【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程;熟练掌握垂径定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.12.(2015•宿迁)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=130°,则∠BOD=100°.【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质.【专题】计算题.【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°,然后根据圆周角定理求∠BOD.【解答】解:∵∠A+∠C=180°,∴∠A=180°﹣130°=50°,∴∠BOD=2∠A=100°.故答案为100.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了圆内接四边形的性质.13.(2015•南昌)如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为110°.【考点】圆周角定理.【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°,进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°,然后根据邻补角求得∠ADC的度数.【解答】解:∵∠A=50°,∴∠BOC=2∠A=100°,∵∠B=30°,∠BOC=∠B+⊂BDC,∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°,∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°,故答案为110°.【点评】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质,圆心角和圆周角的关系是解题的关键.14.(2015•青岛)如图,圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠A=55°,∠E=30°,则∠F=40°.【考点】圆内接四边形的性质;三角形内角和定理.【专题】计算题.【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°,再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°,然后再根据三角形外角性质求∠F.【解答】解:∵∠A=55°,∠E=30°,∴∠EBF=∠A+∠E=85°,∵∠A+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°﹣55°=125°,∵∠BCD=∠F+∠CBF,∴∠F=125°﹣85°=40°.故答案为40°.【点评】本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.也考查了三角形外角性质.15.(2015•甘南州)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,则弦AB的长是6.【考点】垂径定理;勾股定理.【专题】压轴题.【分析】连接AO,得到直角三角形,再求出OD的长,就可以利用勾股定理求解.【解答】解:连接AO,∵半径是5,CD=1,∴OD=5﹣1=4,根据勾股定理,AD===3,∴AB=3×2=6,因此弦AB的长是6.【点评】解答此题不仅要用到垂径定理,还要作出辅助线AO,这是解题的关键.三.解答题(共5小题)16.(2015•永州)如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.【考点】垂径定理;勾股定理;菱形的判定.【分析】(1)证明△ABD≌△ACD,得到∠BAD=∠CAD,根据等腰三角形的性质即可证明;(2)菱形,证明△BFE≌△CDE,得到BF=DC,可知四边形BFCD是平行四边形,易证BD=CD,可证明结论;(3)设DE=x,则根据CE2=DE•AE列方程求出DE,再用勾股定理求出CD.【解答】(1)证明:∵AD是直径,∴∠ABD=∠ACD=90°,在Rt△ABD和Rt△ACD中,,∴Rt△ABD≌Rt△ACD,∴∠BAD=∠CAD,∵AB=AC,∴BE=CE;(2)四边形BFCD是菱形.证明:∵AD是直径,AB=AC,∴AD⊥BC,BE=CE,∵CF∥BD,∴∠FCE=∠DBE,在△BED和△CEF中,∴△BED≌△CEF,∴CF=BD,∴四边形BFCD是平行四边形,∵∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,∴四边形BFCD是菱形;(3)解:∵AD是直径,AD⊥BC,BE=CE,∴CE2=DE•AE,设DE=x,∵BC=8,AD=10,∴42=x(10﹣x),解得:x=2或x=8(舍去)在Rt△CED中,CD===2.【点评】本题主要考查了圆的有关性质:垂径定理、圆周角定理,三角形全等的判定与性质,菱形的判定与性质,勾股定理,三角形相似的判定与性质,熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.17.(2015•安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【考点】圆周角定理;勾股定理;解直角三角形.【专题】计算题.【分析】(1)连结OQ,如图1,由PQ∥AB,OP⊥PQ得到OP⊥AB,在Rt△OBP中,利用正切定义可计算出OP=3tan30°=,然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=;(2)连结OQ,如图2,在Rt△OPQ中,根据勾股定理得到PQ=,则当OP的长最小时,PQ的长最大,根据垂线段最短得到OP⊥BC,则OP=OB=,所以PQ长的最大值=.【解答】解:(1)连结OQ,如图1,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan∠B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==;(2)连结OQ,如图2,在Rt△OPQ中,PQ==,当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了勾股定理和解直角三角形.18.(2015•滨州)如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)求的长.(2)求弦BD的长.【考点】圆周角定理;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形;弧长的计算.【分析】(1)首先根据AB是⊙O的直径,可得∠ACB=∠ADB=90°,然后在Rt△ABC中,求出∠BAC的度数,即可求出∠BOC的度数;最后根据弧长公式,求出的长即可.(2)首先根据CD平分∠ACB,可得∠ACD=∠BCD;然后根据圆周角定理,可得∠AOD=∠BOD,所以AD=BD,∠ABD=∠BAD=45°;最后在Rt△ABD中,求出弦BD的长是多少即可.【解答】解:(1)如图,连接OC,OD,,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△ABC中,∵,∴∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°,∴的长=.(2)∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD,∴∠ABD=∠BAD=45°,在Rt△ABD中,BD=AB×sin45°=10×.【点评】(1)此题主要考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,要熟练掌握.(2)此题还考查了含30度角的直角三角形,以及等腰直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.(3)此题还考查了弧长的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①弧长公式:l=(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R).②在弧长的计算公式中,n是表示1°的圆心角的倍数,n和180都不要带单位.19.(2015•丹东)如图,AB是⊙O的直径,=,连接ED、BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA=CD=2,求阴影部分的面积;(2)求证:DE=DM.【考点】切线的性质;扇形面积的计算.【专题】证明题.【分析】(1)连接OD,根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形,得到∠DOC=45°,根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可;(2)连接AD,根据弦、弧之间的关系证明DB=DE,证明△AMD≌△ABD,得到DM=BD,得到答案.【解答】(1)解:如图,连接OD,∵CD是⊙O切线,∴OD⊥CD,∵OA=CD=2,OA=OD,∴OD=CD=2,∴△OCD为等腰直角三角形,∴∠DOC=∠C=45°,∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π;(2)证明:如图,连接AD,∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=∠ADM=90°,又∵=,∴ED=BD,∠MAD=∠BAD,在△AMD和△ABD中,,∴△AMD≌△ABD,∴DM=BD,∴DE=DM.【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算,掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键,注意辅助线的作法.20.(2014•湖州)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.【考点】垂径定理;勾股定理.【专题】几何综合题.【分析】(1)过O作OE⊥AB,根据垂径定理得到AE=BE,CE=DE,从而得到AC=BD;(2)由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,再根据勾股定理求出CE及AE 的长,根据AC=AE﹣CE即可得出结论.【解答】(1)证明:过O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,AE=BE,∴BE﹣DE=AE﹣CE,即AC=BD;(2)解:由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,∴OE=6,∴CE===2,AE===8,∴AC=AE﹣CE=8﹣2.【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.学习好资料欢迎下载。
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圆中考经典试题精选一、选择题1.若两圆相切,圆心距是7,其中一圆的半径为10,则另一个圆的半径为__________. 【答案】3或172. 已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根,两圆的圆心距为1,两圆的位置关系是A .外离B .内切C .相交D .外切 【答案】B3.已知⊙O 1与⊙O 2相切,⊙O 1的半径为3 cm ,⊙O 2的半径为2 cm ,则O 1O 2的长是 A .1 cm B .5 cmC .1 cm 或5 cmD .0.5cm 或2.5cm【答案】C4.已知两圆的半径分别为3cm ,5 cm ,且其圆心距为7cm ,则这两圆的位置关系是(A )外切 (B )内切 (C )相交 (D )相离 【答案】C5.⊙O 1的半径为3cm ,⊙O 2的半径为5cm ,圆心距O 1O 2=2cm ,这两圆的位置关系是 A .外切 B .相交 C .内切 D .内含 【答案】C6. 两圆的半径分别为3和5,圆心距为7,则两圆的位置关系是(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)外离 【答案】B7.如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1, ⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水 平线),⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm ,弧AB 的 最低点到l 1的距离为30 mm ,公切线l 2与l 1间的 距离为100 mm .则⊙O 的半径为( )A.70 mmB.80 mmC.85 mmD.100 mm【答案】B8.已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =,若两圆相交,则圆心距O 1O 2可能取的值是( ).A 、2B 、4C 、6D 、8 【答案】B .AB单位:mml 1l 29.外切两圆的半径分别为2 cm 和3cm ,则两圆的圆心距是A .1cmB .2cmC .3cmD .5cm【答案】D10.已知两圆的半径分别是3和2,圆心的坐标分别是(0,2)和(0,-4),那么两圆的位置关系是( )A.内含B.相交C.相切D.外离 【答案】D11.已知两圆内切,它们的半径分别为3和6,则这两圆的圆心距d 的取值满足 ()A .9d >B . 9d =C . 39d <<D .3d = 【答案】D12.如图在边长为1的小正方形组成的网格中,半径为2的1O 的圆心1O 在格点上,将一个与1O 重合的等圆向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到2O ,则2O 与1O 的位置关系是( )A .内切B .外切C .相交D .外离【答案】C13.已知圆O 1、圆O 2的半径不相等,圆O 1的半径长为3,若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3,则圆O 1与圆O 2的位置关系是( )A .相交或相切B .相切或相离C .相交或内含D .相切或内含 【答案】A14.两圆的圆心距为7cm ,半径分别为5cm 和2cm ,则两圆的位置关系是( )A .内切B .外切C .外离D .内含 【答案】B15.已知两圆的半径分别是2㎝和4㎝,圆心距是6㎝,那么这两圆的位置关系是A . 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B16.如图,在8×4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中,⊙A 的 半径为1,⊙B 的半径为2,将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后, ⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是( ).A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】D17.若两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则两圆的位置关系为A.外离B.外切C.相交D.内切 【答案】B18.已知两圆的半径分别是4和6,圆心距为7,则这两圆的位置关系是( ) (A )相交 (B )外切 (C )外离 (D )内含 【答案】A19.已知⊙O 1的半径为5㎝, ⊙O 2的半径为6㎝,两圆的圆心距O 1 O 2=11㎝,则两圆的位置关系为( )A .内切B . 外切C .相交D .外离 【答案】B20.如图,两圆相交于A ,B 两点,小圆经过大圆的圆心O ,点C ,D 分 别在两圆上,若100ADB ∠=︒,则ACB ∠的度数为 A .35︒B .40︒C .50︒D .80︒【答案】B 21.已经⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5cm,、8cm ,且他们的圆心距为8cm ,则⊙O 1与⊙O 2的位置关系为( )A .外离B .相交C .相切D .内含 【答案】B22.已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2cm 和3cm ,两圆的圆心距为5cm ,则两圆的位置关系是( ) A .外切 B .外离 C .相交 D .内切 【答案】A23.有四个命题:①两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等;③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形;④两圆的半径分别是3和4,圆心距为d ,若两圆有公共点,则.71<<d 其中正确的命题有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】A24.已知方程0452=+-x x 的两根分别为⊙1与⊙2的半径,且O 1O 2=3,那么两圆的位置关系是( ) A .相交 B .外切 C .内切 D .相离【答案】C25.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为2和3,两圆相交,则两圆的圆心距m 满足( )A .m =5B .m =1C .m >5D .1<m <5 【答案】DA B26.已知两圆的半径分别为R 和r (R >r ),圆心距为d .如图,若数轴上的点A 表示R -r ,点B 表示R +r ,当两圆外离时,表示圆心距d 的点D 所在的位置是(A )在点B 右侧 (B )与点B 重合(C )在点A 和点B 之间 (D )在点A 左侧 【答案】A27.已知大圆的半径为5,小圆的半径为3,两圆圆心距为7,则这两圆的位置关系为( ) A .外离 B .外切 C.相交 D .内含 【答案】C28.在数轴上,点A 所表示的实数是-2,⊙A 的半径为2,⊙B 的半径为1,若⊙B 与⊙A 外切,则在数轴上点B 所表示的实数是: ( )A .1B .-5C .1或 -5D .―1或―3 【答案】C29.如图,两圆相交于A ,B 两点,小圆经过大圆的圆心O ,点C ,D 分 别在两圆上,若100ADB ∠=︒,则ACB ∠的度数为( )A .35︒B .40︒C .50︒D .80︒【答案】B30.已知两圆半径分别为4和7,圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是( ) A.内含 B.内切 C.相交 D.外切【答案】B31.两圆的半径分别为2和1,圆心距为3,则反映这两圆位置关系的为图( )。
【答案】B 32.、已知1o 和2o 的半径分别是3cm 和5cm ,若12o o =1cm ,则1o 与2o 的位置关系是( )A . 相交 B. 相切 C. 相离 D. 内含 【答案】D33.已知两圆的半径分别为1和4,圆心距为3,则两圆的位置关系是( )A.外离B.外切C.相交D.内切 【答案】D.34.生活处处皆学问.如图,自行车轮所在两圆的位置关系是 A. 外切 B. 内切BC. 外离D. 内含【答案】C35.已知两圆的半径分别为3cm 和4cm ,两个圆的圆心距为8cm ,则两圆的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外离 D.外切 【答案】C 36.若⊙O 1的半径为2cm ,⊙O 2的半径为3cm ,圆心距O 1O 2的长是5cm ,则⊙O 1与⊙O 2的位置关系为( )A .外离B .外切C .相交D .内切 【答案】B 二、填空题1.如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为(a ,0),半径为5,如果两圆内含,那么a 的取值范围是_________.【答案】3<a <72如果半径为3cm 的⊙O 1与半径为4cm 的⊙O 2内切,那么两圆的圆心距O 1O 2=cm . 【答案】13 如图在68⨯的网格图(每个小正方形的边长均为1个单位长度)中,⊙A 的半径为2个单位长度,⊙B的半径为1个单位长度,要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切,应将⊙B 由图示位置向左平移 个单位长度.【答案】4或64.⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程27110x x -+=的两根,如果两圆外切,那么圆心距a 的值是【答案】7yx53(a ,0)O5.两圆的圆心距5d =,它们的半径分别是一元二次方程2540x x -+=的两个根,这两圆的位置关系是 . 【答案】外切6.已知:⊙A 的半径为2cm ,AB=3cm .以B 为圆心作⊙B ,使得⊙A 与 ⊙B 外切,则⊙B 的半径是cm .【答案】17.如图,⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和2,连接O 1 O 2,交⊙O 2于点P ,O 1 O 2=5,若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°,则⊙O 1与⊙O 2共相切 次【答案】38.如图,AB 是⊙O 1的直径,AO 1是⊙O 2的直径,弦MN ∥AB ,且MN 与⊙O 2相切于C 点,若⊙O 1的半径为2,则O 1B 、BN ⌒ 、NC 与CO 1⌒ 所围成的阴影部分的面积是 . 【答案】23112++π(或121236++π)三、解答题1.计算:如图,直径为a 的三等圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切,切点分别为A 、B 、C ,求O 1A 的长(用含a 的代数式表示).O 1O 2(2)探索:若干个直径为a 的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放,探索并求出这两种方案中n 层圆圈的高度n h 和(用含n 、a 的代数式表示).(3)应用:现有长方体集装箱,其内空长为5米,宽为3.1米,高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米,底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管,你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多?并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管?(3≈1.73) 【答案】解(1)∵⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切,∴O 1O 2=O 2O 3=O 1O 3=a又∵O 2A= O 3A∴O 1A ⊥O 2O 3 ∴O 1A=2241a a + =a 23(2) n h =n a=()a a n +-123, 方案二装运钢管最多。
即:按图③的方式排放钢管,放置根数最多. 根据题意,第一层排放31根,第二层排放30根,…… 设钢管的放置层数为n,可得()1.31.01.0123≤+⨯-n 解得68.35≤n∵ n 为正整数 ∴n =35钢管放置的最多根数为:31×18+30×17=1068(根)2.如图,已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ,AO 1是⊙O 2的切线,⊙O 1交O 1O 2于点B 连结AB 并延长交⊙O 2于点C ,连结O 2C .(1)求证:O 2C ⊥O 1O 2;(2)证明:AB ·BC =2O 2B ·BO 1;(3)如果AB ·BC =12,O 2C =4,求AO 1的长.【答案】解:(1)∵AO 1是⊙O 2的切线,∴O 1A ⊥AO 2 ∴∠O 2AB +∠BAO 1=90° 又O 2A =O 2C ,O 1A =O 1B ,∴∠O 2CB =∠O 2AB ,∠O 2BC =∠ABO 1=∠BAO 1 ∴∠O 2CB +∠O 2BC =∠O 2AB +∠BAO 1=90°,∴O 2C ⊥O 2B ,即O 2C ⊥O 1O 2 (2)延长O 2O 1交⊙O 1于点D ,连结AD .∵BD 是⊙O 1直径,∴∠BAD =90° 又由(1)可知∠BO 2C =90°∴∠BAD =∠BO 2C ,又∠ABD =∠O 2BC ∴△O 2BC ∽△ABD ∴2O B BCAB BD=∴AB ·BC =O 2B ·BD 又BD =2BO 1 ∴AB ·BC =2O 2B ·BO 1(3)由(2)证可知∠D =∠C =∠O 2AB ,即∠D =∠O 2AB ,又∠AO 2B =∠DO 2A ∴△AO 2B ∽△DO 2A ∴2222AO O BDO O A= ∴AO 22=O 2B ·O 2D ∵O 2C =O 2A∴O 2C 2=O 2B ·O 2D ①又由(2)AB ·BC =O 2B ·BD ②由①-②得,O 2C 2-AB ·BC = O 2B 2 即42-12=O 1B 2 ∴O 2B =2,又O 2B ·BD =AB ·BC =12 ∴BD =6,∴2AO 1=BD =6 ∴AO 1=33.在△ABC 中,分别以AB 、BC 为直径⊙O 1、⊙O 2,交于另一点D. ⑴证明:交点D 必在AC 上;⑵如图甲,当⊙O 1与⊙O 2半径之比为4︰3,且DO 2与⊙O 1相切时,判断△ABC 的形状,并求tan ∠O 2DB 的值;⑶如图乙,当⊙O 1经过点O 2,AB 、DO 2的延长线交于E ,且BE =BD 时,求∠A 的度数.【答案】。