一元二次方程专题知识点归纳常考典型题型
(完整版)一元二次方程知识点和经典例题
一元二次方程一.基本概念定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：ac x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程： x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x（4）用公式法解一元二次方程：○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值范围.解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：ab 2x 1x -=+； a 2x 1xc =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：12x x p +=-； 12x x q =注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。
专题08 一元二次方程(4大考点)2022-2024年中考数学真题分类汇编
专题08 一元二次方程（4大考点）【考点归纳】一、考点01 解一元二次方程-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02 一元二次方程根的判别式------------------------------------------------------------------------------------------------------2三、考点03 根与系数的关系-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3四、考点04 一元二次方程的实际应用------------------------------------------------------------------------------------------------------4考点01 解一元二次方程一、考点01 解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．123．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．3D ．3-4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（ ）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．136．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（ ）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为 ．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．考点02 一元二次方程根的判别式二、考点02 一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m的取值范围是（ ）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（ ）A ．9-B ．4C ．1-D ．116．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．1620．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ．23．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为 ．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是 ．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c = ．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．考点03 根与系数的关系三、考点03 根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．134．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为 ．36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是 ．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a+=-，12c x x a =．材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，∴1,1m n mn +==-．则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ，，则12x x +=___________，12x x =___________；(2)类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ，n ，求22m n +的值；(3)提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t +-=+-=，且s t ≠，求11s t-的值．考点04 一元二次方程的实际应用四、考点04 一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（ ）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x +=C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()67012780x ⨯+=B ．()26701780x ⨯+=C ．()26701780x ⨯+=D ．()6701780x ⨯+=43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m ）的矩形鸭舍，其面积为215m ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门（由其它材料制成），则BC 长为（ ）A ．5m 或6mB ．2.5m 或3mC ．5mD ．3m45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（ ）A ．()136x x ++=B ．()2136x +=C ．()1136x x x +++=D ．2136x x ++=46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x 步，根据题意列方程正确的是（ ）A ．22(12)864x x ++=B ．22(12)864x x ++=C ．(12)864x x -=D ．(12)864x x +=47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x 米，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．()6720x x -=B ．()6720x x +=C ．()6360x x -=D ．()6360x x +=48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m，则小路的宽是（）A．5m B．70m C．5m或70m D．10m49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．950．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x-+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为2S．cm(1)求y与,x s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm，若能，求出x的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．55．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 的篱笆围成．生态园的面积能否为240m ？如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由．57．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？58．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中21000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y （单位；元/2m ）与其种植面积x （单位：2m ）的函数关系如图所示，其中200700x ≤≤；乙种蔬菜的种植成本为50元/2m ．(1)当x =___________2m 时，35y =元/2m ；(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？(3)学校计划今后每年在这21000m 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下a，当a为何值时，2025降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降%年的总种植成本为28920元？59．（2022·山东德州·中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．(1)若扩充后的矩形绿地面积为2800m，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3．求新的矩形绿地面积．60．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．专题08 一元二次方程（4大考点）（解析版）【考点归纳】一、考点01 解一元二次方程----------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02 一元二次方程根的判别式----------------------------------------------------------------------------------------------5三、考点03 根与系数的关系--------------------------------------------------------------------------------------------------------16四、考点04 一元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------------------------------------22考点01 解一元二次方程一、考点01 解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【详解】解∶ 220x x -=，∴()20x x -=，∴0x =或20x -=，∴12x =，20x =，故选∶B ．2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++-=可得240a -=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++-=是关于x 的一元二次方程，20a ∴+≠，即2a ≠-①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++-=，可得240a -=，解之得2a =±；②由①②得2a =；故选A3．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．3D ．3-【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．把1x =代入一元二次方程得到130++=m ，求解即可得出m 的值．【详解】解：把1x =代入方程230x mx +=+得：130++=m ，解得：4m =-．故选：B ．4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（ ）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得13x =，27x =，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．6．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（ ）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或1【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当10m +>时和当10+<m ，根据一次函数性质列出关于m 的一元二次方程，求解即可得出答案．【详解】解：当10m +>即1m >-时，一次函数y 随x 的增大而增大，∴当5x =时，6y =，即25(1)16m m +++=，整理得：250m m +=解得：0m =或5m =-（舍去）当10+<m 即1m <-时，一次函数y 随x 的增大而减小，∴当2x =时，6y =，即22(1)16m m +++=，整理得：2230m m +-=解得：3m =-或1m =（舍去）综上，0m =或3m =-，故选：A8．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为 ．【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将2y x =代入22330x y x -+-=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解．【详解】解：∵20y x -=，∴2y x =，将2y x =代入22330x y x -+-=得，2330x x x -+-=，即：2230x x --=，()()310x x -+=，∴3x =或=1x -，∵20y x =≥，∴=1x -舍，∴3x =，故答案为：3．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．【答案】11x =，25x =【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2650x x -+=，()()150x x --=，10x -=或50x -=，11x =，25x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．二、考点02 一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-的意义得到20m -≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有实数根，20m ∴-≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠【答案】D【分析】由于关于x 的一元二次方程2210mx x ++=有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知0∆≥，且0m ≠，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，440m -≥，且0m ≠，解得，1m £，且0m ≠.故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，一元二次方程没有实数根．14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x -1=0有两个不相等的实数根，∴a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，解得：a ＞-1且a ≠0，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根．15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（ ）A ．9-B ．4C ．1-D ．1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=，解得：1c =，故选：D ．16．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，∴()()22410m ∆=--+>，解得：0m <，10m +≠ ，1m ∴≠-，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠-．故选：A ．17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k 的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x k ++-=无实数根，∴()Δ4410k =--<，解得：0k <，则函数y kx =的图象过二，四象限，18．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=-=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=-时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=-⨯⨯-=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意；D ．()2Δ64190=--⨯⨯= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c -+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==-=，∴()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=，∴416c =，解得4c =．故选C ．2690x x -+=20．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ．【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=->；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=；没有实数根，则24<0b ac ∆=-．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=-=--⨯⨯=，解得：2k =故答案为：223．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是 ．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c = ．【答案】1【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根，可得240b ac ∆=-=进而可解答．【详解】解：∵220x x c ++=有两个相等的实数根，∴24440b ac c ∆=-=-=，∴1c =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．【答案】1k <【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据根的判别式的意义得到()2240k -->，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得()2240k ∆=-->，解得1k <．故答案为：1k <．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)11m =或22m =-．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=-x x m ，进行变形后代入即可求解．【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m ⎡⎤=-+-⨯⨯-=+⎣⎦，∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m -++-=的两个实数根，∴122x x m +=+，121⋅=-x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +-=+-=+--=，解得：11m =或22m =-．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．【答案】(1)证明见解析(2)m 的值为1或2-【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】（1）证明：∵()()22Δ21410m m m ⎡⎤=-+-⨯+=>⎣⎦，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵()22210x m x m m -+++=的两个实数根为,a b ，∴221,a b m ab m m +=+=+．∵()()2220a b a b ++=，∴2224220a ab b ab +++=，22()20a b ab ++=．∴222(21)20m m m +++=．即220m m +-=．解得1m =或2m =-．∴m 的值为1或2-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．三、考点03 根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．1【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，∴2112022x x -=，122022x x =-，121x x =+321122022-+x x x ()()()2222211212121220222122022x x x x x x x x x =-+=+=+-=-⨯-4045=故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．34．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为 ．【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是 ．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．【答案】(1)1k >(2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k -+-+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．。
一元二次方程知识点总结及相关练习题
一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
它的一般形式为ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。
它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x=-a±b；当b<0时，方程没有实数根。
2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。
3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。
4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法。
这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤是：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。
5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。
韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
在题目中，XXX定理是很常用的。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b^2-4ac。
《一元二次方程》各节知识点及典型例题
第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax2是，a是，bx是，b是，c 是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x2= -1B. 2x（x-1）+1=2x2C. x2+3x=2xD. ax2+bx+c-02、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（ ） A. 1，0 B. -1，0 C. 1，-1 D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b--的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的方法，叫做因式分解法。
一元二次方程知识点总结和例题
知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
一元二次方程的解法（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x （4）因式分解法一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆一元二次方程根与系数的关系abx x -=+21，a c x x =21。
例题：6、已知关于x 的一元二次方程220x kx +-= 的一个解与方程131x x +=-的解相同。
（1） 求k 的值；（2） 求方程220x kx +-=的另一个解。
7、设12,x x 是关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根，121,1x x ++是关于x 的一元二次方程20x qx p ++=的两个根，则,p q 的值分别等于多少？知识点.一元二次方程的四种解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解； （3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是x =()240b ac -≥；（4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。
《一元二次方程》知识梳理及经典例题
《一元二次方程》知识梳理及经典例题【知识梳理】考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a≠0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2=m(m≥0),⇒x=±√m对于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法:(x−x1)(x−x2)=0⇒x=x1,或x=x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c)，x2+2ax+a2=0类型三、配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+b2a )2=b2−4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
类型四、公式法⑴条件：(a≠0,且b2−4ac≥0)⑵公式：x=−b±√b2−4ac2a,(a≠0,且b2−4ac≥0)类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
.考点四、根的判别式b2−4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
考点五、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题考点六、根与系数的关系⑴前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足①a≠0、②Δ≥0时，才能用韦达定理。
⑵主要内容：x1+x2=−ba ,x1x2=ca⑶应用：整体代入求值。
一元二次方程的应用(7种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
一元二次方程的应用（7种题型）【知识梳理】1、数字问题：对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x、y、z，那么这个三位数则可以表示为10010x y z++．2、增长率问题基本公式：()21a x b+=，a表示增长前的数，x表示增长率，b表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出a、b．如果是降低率，则为()21a x b−=．3、利润问题：总利润=单件利润⨯总件数；总利润=总售价−总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．4、几何面积问题：x表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．5、双循环问题送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了1x−张，总共有x个人所以列式为()1930x x−=；6、单循环问题握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为(1)1052x x−=．这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．7、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】题型一：数字问题例1.有一个两位数等于它各位数字积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．【答案】24．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是2−x ，由题意可得：()()x x x x 23210−=+−，整理可得：0201732=+−x x ，解：41=x ，352=x （不是整数，舍去）∴这个两位数为24．【总结】本题主要考查一元二次方程在数字问题中的运用．【变式1】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．【答案】36．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是3−x ．根据题意可得：()()32310−=+−x x x x ， 整理得：0301722=+−x x ，()()0652=−−x x ， 解得：61=x ，252=x （不是整数，舍去）．答：这个两位数为36．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式2】已知两个连续奇数的积是323，求这两个数．【答案】17，19或1719−−，．【解析】解：设这两个连续奇数为2x x +，，则(2)323x x +=， 整理得：223230x x +−=， 解得：121719x x ==−，， 所以12+219+217x x ==−，．答：这两个数是17，19或1719−−，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式3】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是35或53．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是x −8．根据题意可得：()[]()[]1855810810=−++−x x x x ，整理得：01357292=+−x x ．分解得：()()05279=−−x x ，解得：31=x ，52=x ．答：原来的两位数是35或53． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．题型二：增长率问题例2．受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程（ ）A ．()20012500+=xB ．()50012200−=xC ．()22001500+=xD ．()25001200−=x 【答案】C【分析】若平均每季度的增产率是x ，经过两次增长后应该为()22001x +，建立方程即可． 【详解】解：若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程()22001500+=x 故本题选择C【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键．【变式1】某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x ，则根据题意可得方程为（ ）A ．280(1)340x +=B ．8080(1)80(12)340x x ++++=C ．380(1)340x +=D ．28080(1)80(1)340x x ++++= 【答案】D【分析】由一月份口罩产值以及月平均增长率分别求出二月份、三月份的口罩产值，再根据第一季度总产值达340万元列方程即可．【详解】二月份口罩产值：80(1)x +万元，三月份口罩产值：280(1)x +万元，∴28080(1)80(1)340x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解增长率的概念并灵活运用是解题关键．【变式2】某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到129.6万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．【答案】20％【解析】三、四月份平均每月销售额增长的百分率是x ，则根据题意可得：()()6.12911011002=+−x ％， 解：2.0=x （负值舍去）．答：三、四月份平均每月销售额增长的百分率是20％．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．【变式3】某工厂1月份产品数是50万件，要求第1季度总产品数达到183.705万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）【答案】设该工厂每月的平均增长率是x ，则根据题意可得：()()705.183********=++++x x ． 【解析】注意第一季度为1、2、3月份产品数之和．【变式4】某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率x ，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是x ，己知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率x 的值．【答案】增长率x 的值为50%【分析】根据“第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%”列出方程即可求出结论．【详解】解：由题意可得40×15（1＋x ）2=600×6（1＋x ）×25%整理，得（x ＋1）（x －0.5）=0解得：1=0.5x =50%，21x =−（不符合实际，舍去）答：增长率x 的值为50%．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．题型三：利润问题例3．某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P (件)与每件的销售价X (元)满足关系：1002P X =−，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【答案】每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【解析】由题意列方程得：()()200210030=−−X X ，整理可得：01600802=+−X X ，解得：40=X20801002100=−=−=X P答：每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产X 只熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与X 的关系式分别为=500+30R X ，1702P X =−． （１） 当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？（２） 若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？【答案】（1）当日产量为25时每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【解析】设利润为W 元，则()()50014023050021702−+−=+−−=x x x x x W ．当每日获得的利润为1750元时，则1750=W ．则175050014022=−+−x x ，解得：251=x ，452=x ．∵每日最高产量为40只， ∴45=x 舍去． ∴当日产量为25时每日获得的利润为1750元．（2）当每日获得的利润为1950元时，则1950=W ，则195050014022=−+−x x ，解得：3521==x x ． ∴当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式2】某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？【答案】60元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()8000105004050=−−+x x ，整理可得：0300402=+−x x ， 解得：101=x ，302=x ．当101=x 时，50010400x −=； 当302=x 时，50010200x −=．因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元．【总结】本题中主要考查对减少库存的理解．【变式3】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】5元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()60002050010=−+x x ，整理可得：050152=+−x x ， 解得：101=x ，52=x ，要使顾客得到实惠，需涨价少，则5=x ．∴每千克应涨价5元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式4】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【答案】20元．【解析】设每件童装应降价x 元，则根据题意可得：()()120022040=+−x x ，整理可得：0200302=+−x x ， 解得：101=x ，202=x ．要减少库存，则要使()x 220+的值比较大，则20=x ．∴每件童装应降价20元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式5】工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售共工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可售出该工艺品4件，如果既要每天要获得的利润4800元，又要使消费者得到实惠，问每件工艺品降价多少元出售？（3）请商场如何定价可以使每天获得最高利润？【答案】（1）该商品的每件标价为200元，进价为155元；（2）每件工艺品降价15元出售；（3）当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元【分析】（1）设标价为x，则进价为x-45，根据“标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”列方程求解即可；（2）设工艺品降价m元，根据“总利润=单件利润×件数”列出方程即可求出结论；（3）设工艺品定价为a元，可根据总利润=单件利润×件数、配方法及平方的非负性即可求出结论．【详解】解：（1）设标价为x，则进价为x-45，8[0.85x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，整理得360-1.2x=120，即1.2x=240，解得：x=200，则每件进价为：200-45=155（元）答：该商品的每件标价为200元，进价为155元．（2）设工艺品降价m元，则(45-m)(100+4m)=4800解得：m1=5，m2=15∵要使消费者得到实惠∴m=15答：每件工艺品降价15元出售．（3）设工艺品定价为a元，总利润为：(a－155)[ 100+4（200－a）]=-4a2＋1520a －139500=-4(a-190)2+4900，∵(a-190)2≥0∴-4(a-190)2≤0∴-4(a-190)2+4900≤4900，即总利润最大值为4900，此时a=190答：当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用配方法和平方的非负性求最值．题型四：几何面积问题：例4．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，按下列要求，分别求长方形的两条邻边的长.（1）长方形的面积是1152平方米（2）长方形的面积是1800平方米（3）长方形的面积是2000平方米【答案】（1）长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）长方形的长为60米，宽为30米.（3）此时的长方形不存在.【分析】本题可根据题意分别用x 表示垂直于墙的一边的长或平行于墙的一边的长，再根据面积公式列出方程求解即可．【详解】设垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边为（120-2x ）米．（1）根据题意得x （120-2x ）=1152．2605760x x −+=()()12480x x −−=解得1212,48x x ==当12x =时，120212021296x −=−⨯=；当48x =时，120212024824x −=−⨯=；答：长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）x （120-2x ）=1800212021800x x −=2212018000x x −+=2609000x x −+=()2300x −=，解得30x =当30x =时，120212023060x −=−⨯=答：长方形的长为60米，宽为30米.（3）x （120-2x ）=2000212022000x x −=2212020000x x −+=26010000x x −+=∵()26041000360040004000=−−⨯=−=−△＜∴方程无实数根.故此时的长方形不存在.【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要注意靠墙的那面不需要栅栏，不要把平行于墙的一边算成是12（120-2x ）．【变式1】如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？【答案】宽为10米，长为15米．【解析】设鸡场的宽为x ，则长为x x 2352233−=−+．根据题意可得：()150235=−x x ，整理可得：()()010152=−−x x ， 解得：2151=x ，102=x ． 当215=x 时，1820215235235>=⨯−=−x ，舍去．∴宽为10米，长为15米． 【总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分析．【变式2】如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形ABCD 的面积为216平方米，求,AB BC 边各为多少米？【答案】AB 边为12米，BC 边为18米【分析】设AB 的长为x 米，根据题意列出一元二次方程，求解并找到符合题意的解即可．【详解】设AB 的长为x 米，根据题意得()5133216x x +−=， 解得126,12x x ==，当6x =时，513363625BC =+−⨯=>，不符合题意，故舍去；当12x =时，5133121825BC =+−⨯=<，符合题意，∴12,18AB BC ==，∴AB 边为12米，BC 边为18米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并找到合适的解是关键．【变式3】如图，要建一个面积为 140 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为 18 米，在 与墙垂直的一边要开一扇 2 米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长 为 32 米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？【答案】长和宽分别为14米和10米.【分析】首先设这个仓库的长为x 米， 则宽表示为1(322)2x +−，再根据面积为 140 平方米的仓库可得1(322)1402x x +−=，再解一元二次方程即可 ．【详解】解： 设这个仓库的长为x 米， 由题意得：1(322)1402x x +−=，解得：120x =，214x =， 这堵墙的长为 18 米，20x ∴=不合题意舍去，14x ∴=， 宽为：1(32214)102⨯+−=（米)．答： 这个仓库的宽和长分别为 14 米、 10 米 ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用， 关键是正确理解题意， 正确表示出长方形的长和宽 ．【变式4】如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为2594m ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．【答案】人行通道的宽度为1米．【分析】设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为(30-3x)m ，宽为(24-2x)m ，根据矩形绿地的面积为594m2，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出x 的值，经检验后得出x=21不符合题意，此题得解．【详解】解：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为()303x m −，宽为()242x m −， 由已知得：()()303x 242x 594−⋅−=， 解得：1x 1=，2x 21=，当x 21=时，303x 33−=−，242x 18−=−，不符合题意舍去，即x 1=．答：人行通道的宽度为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．【变式5】如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽【答案】花边的宽为1米.试题分析：可以设花边的宽为x .【详解】解：设花边的宽为x 米，列方程为(26)(23)40x x ++=，解之得12111,2x x ==−（舍去）答：花边的宽为1米. 考点：实际问题与一元二次方程题型五：双循环问题例5．圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出930张，求昂立共有师生多少人？【答案】31人．【解析】设昂立共有师生x 人，由题意可得：()9301=−x x整理得：09302=−−x x ，解得：311=x ，302−=x （负值舍去）．答：昂立共有师生31人．【总结】本题主要考查互送卡片问题，由于每人都要送到，因此不用除2．【变式1】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？【答案】14．【解析】设这个小组共有x 名同学，由题意可得：()1821=−x x整理得：01822=−−x x ，解得：141=x ，132−=x （负值舍去）．答：这个小组共有14名同学．【总结】本题主要考查传播问题中的互送问题，由于每个成员各赠送一件，因此不用除2．【变式2】某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有___________人．【答案】12【分析】先找出题目中的等量关系为：人数×（人数-1）=132，通过列一元二次方程计算求得正数解即可．【详解】解：设这个小组共有x 人．x （x-1）=132，解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）．故答案为: 12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，得到照片总张数的等量关系是解决本题的关键，重点是理解2个人之间要互送出2张照片．题型六：单循环问题例6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？【答案】10．【解析】设共有x 个队参加比赛，由题意可得：()4521=−x x整理得：0902=−−x x ，解得：101=x ，92−=x （负值舍去）．答：共有10个队参加比赛．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每两队之间都进行一场比赛，因此不用除2．【变式1】一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x 人，则可列出方程___________________ ．【答案】()11202x x −=【分析】先根据题意可得每个人都要与()1x −个人握一次手，再根据“共计握手120次”建立方程即可得．【详解】由题意，可列方程为()11202x x −=，故答案为：()11202x x −=．【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．【变式2】某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．【答案】3．【分析】设共有x 个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设共有x 个班级参加比赛， 根据题意得：(1)62x x −=，整理得：260x x −−=，即(3)(2)0x x −+=，解得：3x =或2x =−（舍去）．则共有3个班级球队参加比赛．故答案为：3．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”．【变式3】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？【答案】21．【解析】设参加第一轮比赛的共有x 名选手由题意可得：()10521=−x x ，整理得：02102=−−x x ，解得：115x =，214x =−（负值舍去）．答：参加第一轮比赛的共有21名选手．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每队只参加一场，因此要除2．题型七：利率问题例7．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％；∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【变式1】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，1.038=）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x，由题意可列方程：()44.107795110002=+x％，则()07744.19512=+x％，解：038.1951±=+x％（负值舍去），04.0=x．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x％9511000+，而不是()x+11000．【变式2】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【答案】设第一次存款时的年利率为x，则可列方程为：()[]()53090150011000=+−+xx％．【解析】注意年利率的变化．【变式3】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x，则可列方程为()[]()1308143511500=+−+xx，化简可得：0818555002=−+xx，分解可得：()()0910095=−+xx，解：591−=x（负值舍去），09.02=x．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级月考）同学聚会，大家见面，所有人互赠小礼物，共有礼物90件．设x人参加聚会，列方程为（）A．B．C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了x（x﹣1）件礼物解决问题即可．【解答】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有（x﹣1）件礼物，依题意，得x（x﹣1）＝90．故选：D．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都互赠了一件礼物”的条件，类似于球类比赛的双循环赛制．2．（2022秋•宝山区校级期中）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精多少升（）A．10或96B．10C．96D．26【分析】设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下60×升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据题意得：•[60﹣（x+14）]＝60×，解得：x1＝10，x2＝96（不符合题意，舍去），∴第一次倒出了酒精10升．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022秋•宝山区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为16.2元，且两次降价的百分比均为x，那么可列方程为（）A．16.2（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x）2＝16.2C．20（1﹣x）2＝20﹣16.2D．20（1﹣2x）＝16.2【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022春•庐阳区校级期中）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x﹣1400＝0B．x2+65x﹣350＝0C．x2﹣130x﹣1400＝0D．x2﹣65x﹣350＝0【分析】根据矩形的面积＝长×宽，得出本题的等量关系是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）＝整个挂图的面积，由此可得出方程．【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，（80+2x）（50+2x）＝5400，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．5．（2022秋•徐汇区校级期末）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式可列出方程．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．6．（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（）A．300（1+x）2＝2100B．300+300（1+x）2＝2100C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可．【解答】解：设这个百分数为x，根据题意得出：300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．二．填空题（共12小题）7．（2023春•奉贤区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为．【分析】利用连续两次降价后的售价＝原价×（1﹣每次平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：30（1﹣x）2＝24.3．故答案为：30（1﹣x）2＝24.3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为．【分析】根据各边之间的关系，可得出长方形的长为（33+2﹣2x）米，根据围成的养鸡场的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵竹篱笆的总长度为33米，且垂直于墙的长方形的宽为x米，∴垂直于墙的长方形的长为（33+2﹣2x）米，依题意得：x（33+2﹣2x）＝150．故答案为：x（33+2﹣2x）＝150．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2023春•浦东新区期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比。
《一元二次方程》各节知识点及典型例题
第二章 一元二次方程第一节 一元二次方程 第二节 一元二次方程的解法 第三节 一元二次方程的应用 第四节 一元二次方程根与系数的关系 五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有 未知数，并且未和数的 是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
2、能使一元二次方程 的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为 的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax 2是 ，a 是 ，bx 是 ，b 是 ，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a 为何值时，关于x 的方程（a-1）x |a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．-1D ．-1或1例2、已知多项式ax 2-bx+c ，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b 的值（2）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2-（k+1）x-2=0（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
巩 固 练 习1、下列方程中，是一元二次方程的为（ ）A. x 2= -1B. 2x （x-1）+1=2x 2C. x 2+3x=2x D. ax 2+bx+c-0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m-1)x-1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值 6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（ ）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b --的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。
一元二次方程常见题型总结
一元二次方程常见题型总结一元二次方程常见题型总结题型1：一元二次方程的概念1.若方程$(a-1)x^2-3x+2=0$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的取值范围为【】（A）$a\neq1$（B）$a>1$（C）$a\neq1$（D）$a>1$答案：$a\neq1$2.若$1-3$是方程$x^2-2x+c=0$的一个根，则$c$的值为【】（A）$-2$（B）$4/3$（C）$3/2$（D）$4$答案：$4/3$3.已知关于$x$的一元二次方程$(k+4)x^2+3x+k^2+3k-4=0$的一个根为$0$，且$k$的值为【】答案：$k=-4$或$k=1$题型2：一元二次方程的解法4.一个等腰三角形的底边长是$6$，腰长是一元二次方程$x^2-7x+12=0$的一个根，则此三角形的周长是【】（A）$12$（B）$13$（C）$14$（D）$12$或$14$答案：$14$5.方程$(x+3)^2=5(x+3)$的解为__________。
答案：$x=-2$或$x=2$6.用适当的方法解下列方程：1）$4x^2-144=0$；（2）$2x^2+3x=3$；（3）$x^2-2x-24=0$；（4）$x(2x-5)=4x-10$。
题型3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系定理7.已知$a,b,c$为常数，点$P(a,c)$在第二象限，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是【】（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）无法判断答案：$B$8.若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k^2-1=0$没有实数根，则$k$的取值范围为__________。
答案：$k1$9.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有两个不相等的实数根。
1）求$k$的取值范围；2）设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，当$k=1$时，求$x_1^2+x_2^2$的值。
专题01一元二次方程(3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法)(原卷版)
专题01一元二次方程（3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）知识点2一元二次方程的一般形式（重点）知识点3一元二次方程的解（重点）【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值题型三：一元二次方程新定义问题题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论题型五：一元二次方程与完全平方公式综合【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件易错点2在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值考法2根据实际问题列一元二次方程【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．例1．（2022秋•镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．B．x2+2x+3＝x（x+1）C．2x+3y＝6D．x2﹣2x+3＝0知识点2一元二次方程的一般形式（重点）（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．例2．（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝0例3．（2022秋•镇江期中）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（）A．x2﹣x＝2B．x2+x+2＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0例4．（2022秋•新北区校级月考）将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）+8化为一般形式为．例5．（2022秋•海州区校级月考）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是．例6．（2022秋•常州期中）若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于．例7．（2021秋•淮安区期中）若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m的值．知识点3一元二次方程的解（重点）（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．例8．（2021春•射阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值1．（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（）A．m≠0B．m≠3C．m＝0D．m＝32．（2023•睢宁县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a≠0C．a＝1D．a≥0题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值3．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023B．2022C．2021D．20204．（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣35．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为．6．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为．7．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．8．（2022•广陵区校级开学）已知x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，求代数式÷（x+3﹣）的值．题型三：一元二次方程新定义问题9．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．10．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．11．（2017秋•句容市月考）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝，把x＝，代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论12．（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．13．（2020秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0；（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．题型五：一元二次方程与完全平方公式综合14．（2020秋•句容市月考）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件15．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为．易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式16．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值17．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．18．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝．19．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．20．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022B．0C．2022D．404421．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．考法2根据实际问题列一元二次方程22．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常2100px q +=，可列表如下：则方程A ． 1.073-B ． 1.089-C ． 1.117-D ． 1.123-二、填空题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为三、解答题。
新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结
一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。
(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。
解一元二次方程(公式法4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
解一元二次方程（公式法4种题型）【知识梳理】一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca −≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b aca −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x 2x =20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．【考点剖析】题型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程： （1）2270x x −+=；（2）211042x x −=．【答案】（1）27,021==x x ；（2）2,021==x x ．【解析】（1）0,7,2==−=c b a ，则4942=−ac b ，则477−±−=x ，∴27,021==x x ；（2）0,21,41=−==c b a ，则4142=ac b ，则212121±=x ，∴2,021==x x ．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x 的运用．例2.用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==．【解析】（1）132a b c ===−，，，则1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴12x x ==．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x 的运用．例3.用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x −=−；（2）2(53)(1)(1)5x x x −+=++．【答案】（1）122222x x −+−==；（2）123322x x ==−，． 【解析】（1）方程可化为：05422=−+x x ，245a b c ===−，，，则5642=−ac b ，则41424±−=x ，∴122222x x −−==；（2）方程可化为：2490x −=，则123322x x ==−，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解． 例4.用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +−=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +−−+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12122x x ==−，． 【解析】（1）方程可化为2224130x x +−=，13,24,2−===c b a ，则68042=−ac b ，则4170224±−=x ，∴12x x =（2）两边同时乘以10，方程可化为02322=−−x x ，2,3,2−=−==c b a ，则2542=−ac b ， 则453±=x ，∴12122x x ==−，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解． 例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x =；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x =；（2）22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型2解系数中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列关于x 的方程：220ax x ++=（0a ≠）．【解析】220ax x ++=（0a ≠），则22−=+x ax ，整理得：a x a x 212−=+，配方可得：22248141221a a a a a x −=+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 当81≤a 时，a a x 21811−−=，a a x 21812−−−=，当81>a 时，方程无实数根．【总结】注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论． 例7.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c −−=；（2）2100.1ax a −−=． 【解析】（1）∵c b 42+=∆，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +−=；当042<+c b 时，原方程无实数根；原方程可化为：22100x a −=，∵2222400a b a ∆=+≥，∴原方程的解为：12x +=，22x a=．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．题型3根的判别式例8.选择：（1） 下列关于的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）（B ） （C ）（D ）（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4）一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根； B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ； （2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例9.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=；（2）22430x x ++=；x 012=+x 0122=++x x 0322=++x x0322=−+x x（3）223x +=； （4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根； （2）2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；（3）2a =，b =−，3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根； （4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．例10.关于x 的方程2(1)0x m x m +−−=（其中m 是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【答案】一定有．【解析】∵1a =，1b m =−，c m =−，∴()()()22241410b ac m m m ∆=−=−−⨯−=+≥恒成立，可知方程一定有实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，只需要对最终的∆的值与0的大小关系，进而确定方程根的情况． 例11.已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =，∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠， 由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例12.已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩，此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．例13.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >． 【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例14.当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大题型5根的判别式的应用例15.证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根． 【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−，则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立， 由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．例16.当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >． 【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根；（3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例17.已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围． 【答案】32m ≥−且1m ≠−．【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．例18.如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =，则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立， 由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．例19.已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围． 【答案】32m ≥−． 【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； （2）当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程， 其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．【过关检测】一、单选题【答案】B【分析】根据关于x 的一元二次方程20x x k −−=有实数根得到140k ∆=+≥，解不等式即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程20x x k −−=有实数根，∴()()2141140k k ∆=−−⨯⨯−=+≥，解得14k ≥−，故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程0∆≥时有实数根是解题的关键． 2．（2023春·广东潮州·九年级潮州市金山实验学校校考期末）如果关于x 的一元二次方程2(5)410a x x −−−=有两个不相等的实数根，则a 满足条件是（ ）A ．5a ≠B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．1a ≥【答案】B【分析】由二次项系数非零及根的判别式0∆>，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(5)410a x x −−−=有两个不相等的实数根，∴()()()25044510a a −≠⎧⎪⎨−−⨯−⨯−>⎪⎩，解得：1a >且5a ≠， 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．（2023·浙江温州·统考三模）若关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个相等的实数根，则正数b 的值是（ ） A ．8B ．8−C ．4D ．4−【答案】A【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个相等的实数根，∴22441160b ac b ∆=−=−⨯⨯=，∴264b =，∴8b =±， ∵b 是正数， ∴8b =， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−＞，则原方程有两个不相等的实数根；若240b ac ∆=−=，则原方程有两个相等的实数根；若240b ac ∆=−＜，则原方程没有实数根．【答案】C【分析】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．【详解】解：当12a =时，方程为28120x x −−=，解得4x =±A 选项不符合题意；当16a =时，方程为28160x x −−=，解得4x =±B 选项不符合题意；当20a =时，方程为28200x x −−=，解得10x =或2x =−是整数，故C 选项符合题意；当24a =时，方程为28240x x −−=，解得4x =±D 选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．5．（2023·安徽安庆·校考三模）如果关于x 的一元二次方程260x x a −+=无实数根，那么a 的值可以为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】A【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：Δ0<, 从而列不等式可得答案．【详解】解：∵一元二次方程260x x a −+=无实数根，∴()2246410b ac a ∆−−−⨯⨯==<，解得：>9a ，只有选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6．（2023·河南商丘·统考三模）方程229x x −=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有一个实数根 D ．有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵229x x −=，即2290x x −−=，1,2,9a b c ==−=−，∴24436400b ac ∆=−=+=>，∴方程229x x −=有两个不相等的实数根，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．7．（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x bx +−=的较大的一根小于1，则实数b 的取值范围是（ ） A ．一切实数 B ．2b >C ．1b >D ．0b >【答案】D【分析】用公式法求出方程的解，根据题意得出关于b 的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：解方程210x bx +−=得：x =，∵一元二次方程210x bx +−=的较大的一根小于1，∴1<，2b +，两边平方得：2244b b b +<+4+，∴0b >， 故选：D ．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据题意得出关于b 的不等式是解题的关键． 8．（2022·浙江·九年级自主招生）满足方程22419151x xy y −+=的整数对(),x y 有（ ） A ．0对 B ．2对 C ．4对 D ．6对【答案】C【分析】利用一元二次方程有解判断出y 的范围，根据y 是整数求出y 的值，进而求出x 的值，利用x 也是整数判断即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为()224191510x yx y −+−=，∵方程22419151x xy y −+=有实数根，∴()222164191516041510y y y ∆=−−=−+⨯≥，∴21511101515y ≤=，∵y 是整数，∴=3y −，2−，1−，0，1，2，3，当0y =时，原方程可化为2151x =，∴x =x 为整数，所以舍去），当1y =时，原方程可化为241320x x −−=，∴2x =±（由于x 为整数，所以舍去），当1y =−时，原方程可化为241320x x +−=，∴2x =−±x 为整数，所以舍去），当2y =时，原方程可化为28750x x −−=，∴4x =x 为整数，所以舍去），当=2y −时，原方程可化为28750x x +−=，∴4x =−x 为整数，所以舍去），当3y =时，原方程可化为212200x x −+=，∴2x =或10x =，当=3y −时，原方程可化为212200x x ++=，∴2x =−或10x =−，∴原方程的整数解为：23x y =⎧⎨=⎩或103x y =⎧⎨=⎩或23x y =−⎧⎨=−⎩或103x y =−⎧⎨=−⎩，即：方程22419151x xy y −+=的整数对(),x y 为()2,3、()10,3、()2,3−−，()10,3−−共四对，故选：C ．【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解．二、填空题9．（2023·上海杨浦·统考三模）如果关于x 的方程220x x m −+=有两个相等的实数根，那么m 的值是________． 【答案】1【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x m −+=有两个相等的实数根，∴()2240m ∆=−−=，解得1m = 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在()240x −+=的括号中添加一个关于x 的一次项，使方程有两个相等的实数根，这个一次项可以是______． 【答案】4x ±【分析】设方程为240x kx −+=，根据方程有两个相等的实数根可知0∆=，据此列式求解即可．【详解】设方程为240x kx −+=，由题意得2160k −=，∴4k =±， ∴一次项为4x ±． 故答案为4x ±．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．11．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于x 的一元二次方程()21210m x x −−−=有两个实数根，则实数m 的取值范围是________． 【答案】0m ≥且1m ≠【分析】根据一元二次方程根的判别式0∆≥以及一元二次方程的定义得出10m −≠，即可求解． 【详解】解：依题意()244410b ac m ∆=−=+−≥，且10m −≠，解得：0m ≥且1m ≠， 故答案为：0m ≥且1m ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键．12．（2023·山东东营·校考二模）如果关于x 的一元二次方程234x x m ++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________． 【答案】254m <【分析】先把这个一元二次方程变成一般式，再根据一元二次方程根的判别式计算即可．【详解】234x x m ++=，∴2340x x m ++−=．关于x 的一元二次方程234x x m ++=有两个不相等的实数根，∴()2243440b ac m ∆=−=−−>∴4250m −+> ∴254m <．故答案为：254m <．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式性质，准确计算是解本题的关键．13．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于x 的一元二次方程()222210x m x m +++−=．两实数根分别为12x x 、，且满足221258x x +=，则实数m 的值为_____________．【答案】2【分析】先由一元二次方程根的判别式得到关于m 的不等式，解不等式即可得到m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得：()1222x x m +=−+，2121x x m =−，代入()2221212122x x x x x x +=+−得到关于m 的一元二次方程，解方程并根据（1）中的m 的取值范围即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()222210x m x m +++−=有实数根， ∴()()22242241b ac m m ⎡⎤∆=−=+−−⎣⎦16200m =+≥，解得：54m ≥−，即m 的取值范围是54m ≥−；∵由根与系数的关系可得：()21212221x x m x x m +=−+=−，，∴()2221212122x x x x x x +=+−()()222221m m ⎡⎤=−+−−⎣⎦221618m m =++，∵221258x x +=，∴22161858m m ++=，即28200m m +−=，∴()()2100m m −+=，解得110m =−或22m =，∵54m ≥−，∴2m =， 故答案为：2．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确计算是解题的关键．三、解答题【答案】1x =，2x =【分析】用公式法解此方程即可．250x −+=a ==5b −，c =()224=540b ac −−−>x此方程的解为：1x =，2x =【点睛】此题考查的是用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解方程的步骤． 15．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：27180x x −−=（公式法） 【答案】129,2x x ==−【分析】利用公式法解答，即可求解．【详解】解：27180x x −−=，∵1,7,18a b c ==−=−， ∴()()2741181210∆=−−⨯⨯−=>，∴7711212x ±==⨯，∴129,2x x ==−．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．16．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 【答案】(1)112m >−且4m ≠(2)1x ，2x【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式()()22421440b ac m m m ∆=−=−−−−>⎡⎤⎣⎦，且40m −≠，求出m（2）得到m 的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根，∴()()22421440b ac m m m ∆=−=−−−−=>⎡⎤⎣⎦，且40m −≠，即224414160m m m m +−−+>，且40m −≠，解得：112m >−且4m ≠；（2）m 满足条件的最小正整数是1m =，此时方程为2310x x −−+=，x ==解得：1x ，2x =【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与判别式24b ac ∆=−的关系是解答本题的关键．17．（2023·北京西城·校考模拟预测）关于x 的一元二次方程()2320x m x m −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)1−【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为()21m ∆=+，即可证明结论；（2）根据题意得到1212x x m ==+，是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m 的最小值． 【详解】（1）证明：由()2320x m x m −+++=得，()()()222342211m m m m m ∆=−+−+=++=+⎡⎤⎣⎦，∵()210m +≥，∴方程总有两个实数根； （2）∵()2320x m x m −+++=，∴()()120x x m −−+=⎡⎤⎣⎦，∴1212x x m ==+，，∵方程的两个实数根都是正整数， ∴21m +≥． ∴1m ≥−．∴m 的最小值为1−．【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键． 18．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）不解方程，判断方程22410x x −−=的根的情况． 【答案】有两个不相等的实数根【分析】先求一元二次方程的判别式，由∆与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵2a =，4b =−，1c =− ∴()()2244421240b ac ∆=−=−−⨯⨯−=>∴原方程有两个不相等的实数根．【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）0∆>，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ0=方程有两个相等的实数根；（3）Δ0<方程没有实数根．19．（2023春·河南三门峡·九年级统考阶段练习）已知关于x 的方程2210x x a +−+=没有实数根，试判断关于y 的方程21y ay a ++=实数根的情况，并说明理由． 【答案】一定有两个不相等的实数根．理由见解析．【分析】根据关于x 的方程2210x x a +−+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=−−=−，即可判断该方程根的情况．【详解】解：∵方程2210x x a +−+=没有实数根，()144140a a ∴∆=−−+=<，<0a ∴，对于关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=−−=−，0a <，()220a ∴−>，即20∆>，∴方程21y ay a ++=一定有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键．20．（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）对于任意一个三位数k ，如果k 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k ＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k ＝100a +10b +c （1≤a 、b 、c ≤9，其中a ，b ，c 为正整数），请直接写出a ，b ，c 所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；(2)利用（1）中“喜鹊数”k 中的a ，b ，c 构造两个一元二次方程ax 2+bx +c ＝0①与cx 2+bx +a ＝0②，若x ＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+c＝0，∴将m、1n看成是方程ax2+bx+c的两个根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，∴m＝1n，即mn＝1；故答案为：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m ＝﹣1，n ＝﹣1，∴a ﹣b+c ＝0，∴b ＝a+c ，∵b2＝4ac ，∴（a+c ）2＝4ac ，解得：a ＝c ，∴满足条件的所有k 的值为121，242，363，484．故答案为：121，242，363，484．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．【答案】(1)m=0或m=1(2)m=0或m=1【分析】（1）把x=2代入方程22(23)320x m x m m −++++=得到关于m 的一元二次方程，然后解关于m 的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到12x m =+，21x m =+，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC 是直角三角形，所以当BC 或AC 为斜边时根据勾股定理分别解关于m 的一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵x=2是方程的一个根，∴242(23)320m m m −++++=，∴m=0或m=1；（2）解：∵△=22[(23)]4(32)1m m m −+−++=， ∴x=2312m +±∴12x m =+，21x m =+，∴AB 、AC （AB ＜AC ）的长是这个方程的两个实数根，∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．∴m>-1．∵△ABC 是直角三角形，∴当BC 为斜边时，有222(2)(1)m m +++=，解这个方程，得13m =−(不符合题意，舍去)，20m =；当AC 为斜边时，有222(1)(2)m m ++=+，解这个方程，得1m =．综上所述，当m=0或m=1时，△ABC 是直角三角形．【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．【答案】(1)241不是“快乐数”；最大的“快乐数”为999(2)333【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可；（2）根据“快乐数”可得出2a cb +=，根据一元二次方程根的情况可得2b ac =，再结合710a b c ≤++≤及1a ≤、b 、9c ≤，a 、b 、c 为自然数可得出a 、b 、c 的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．【详解】（1）解：∵2142+≠，∴241不是“快乐数”，∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为9，又∵9992+=，∴最大的“快乐数”为999．（2）∵10010k a b c =++为“快乐数”， ∴2a cb +=，∵关于x 的一元二次方程220ax bx c ++=有两个相等的实数根，∴()2240b ac −=，即2b ac =， ∴2271019a c b b ac a b c a b c +⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪≤++≤⎪≤≤⎪⎩、、，解得：3a =，3b =，3c =，∴1001010031033333k a b c =++=⨯+⨯+=，综上所述，满足条件的所有k 的值为333．∴满足条件的所有k 的值为333．“快乐数”的定义． ）已知在ABC 中，问题探究：（2）如图，将正方形CDEF问题拓展：（3）将正方形CDEF 绕点C 旋转一周，当=45ADC ∠︒时，若3AC =，1CD =，请直接写出线段AH 的长.【答案】（1）BF AD =，BF AD ⊥，理由见解析；（2）见解析；（3）2或【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明()SAS BCF ACD ≌△△，得出BF AD =，FBC DAC ∠=∠，再利用角的代换得到90AHF ∠=︒，即可得到结论；（2）先证明()SAS BCF ACD ≌△△，得出CBK CAH ∠=∠，进而证明()SAS BCK ACH ≌△△，得到CK CH =，BCK ACH ∠=∠，进一步即可证明KCH 是等腰直角三角形，于是可得HK =，然后利用线段间的代换即可证得结论；（3）分两种情况：①当A ，()H F ，D 三点共线时，=45ADC ∠︒；②当B ，()D H ，F 三点共线时，=45ADC ∠︒；设AH x =，在Rt ABH △中根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程即可求出结果.【详解】解：（1）BF AD =，BF AD ⊥；理由如下：∵四边形CDEF 是正方形，∴CF CD =，90FCD ∠=︒，在BCF △和ACD 中，,90,,BC AC BCF ACD CF CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()SAS BCF ACD ≌△△， ∴BF AD =，FBC DAC ∠=∠，∵90BFC FBC ∠+∠=︒，BFC AFH ∠=∠，∴90AFH DAC ∠+∠=︒，∴90AHF ∠=︒，∴BF AD ⊥；（2）证明：如图，在线段BF 上截取BK AH =，连接CK ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CF CD =，90FCD ACB ∠=︒=∠，∴ACD BCF ∠=∠，∴()SAS BCF ACD ≌△△，∴CBK CAH ∠=∠，在BCK 和ACH 中，,,,BC AC CBK CAH BK AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS BCK ACH ≌△△， ∴CK CH =，BCK ACH ∠=∠，∴90KCH BCA ∠=∠=︒，∴KCH 是等腰直角三角形，∴HK ，∴BH AH BH BK KH −=−=；（3）分两种情况：①如图，当A ，()H F ，D 三点共线时，=45ADC ∠︒；同理可证明：BH AD =，BH AD ⊥，且1CD CF ==，FD =∵3BC =，∴AB =设AH x =，则BH AD x ==在Rt BAH 中，∵222BH AH AB +=，∴((222x x +=，解得x =或x =（舍去）；②如图，当B ，()D H ，F 三点共线时，=45ADC ∠︒，设AH x =，∵BF AH =，∴BH AH HF x =−=在Rt ABH △中，∵222BH AH AB +=，∴((222x x +=，解得x =或x =（舍去）；综上所述，线段AH 的长为2或.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键.。
初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析
一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4、 分解因式：31242++x x针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1.★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
一元二次方程（知识点+考点+题型总结）
一元二次方程专题复习考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02¹=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“①该项系数不为“00”； ②未知数指数为“②未知数指数为“22”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为的值为 。
针对练习：★1、方程782=x 的一次项系数是的一次项系数是 ，常数项是，常数项是 。
★2、若方程()021=---m x m 是关于x 的一元一次方程，的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
的一元一次方程。
★★3、若方程()112=·+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；：利用根的概念求代数式的值；典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为的值为。
例2、关于x 的一元二次方程()0422222=-++-a x xa 的一个根为0，则a 的值为的值为 。