运筹学 运输问题1汇总
运筹学运输问题相关知识点
运筹学运输问题相关知识点运筹学，旨在通过数学模型和优化方法来解决各种决策问题，其中运输问题是运筹学中的一个重要分支。
运输问题旨在帮助我们确定如何在不同地点之间运输物品以达到最佳效益。
首先，运输问题基于以下几个基本假设：一是物流成本在运输过程中是线性的，二是物品在不同地点之间的运输是无差异的，三是供应和需求之间是平衡的。
在解决运输问题时，需要考虑以下几个关键要素：1.运输网络：此步骤涉及识别和描述供应地点、运输路径和需求地点。
通常使用图形表示来可视化运输网络，以便更好地理解和分析问题。
2.供应量和需求量：确定每个供应地点可提供的物品数量和每个需求地点所需的物品数量。
供应量和需求量之间必须达到平衡。
3.运输成本：每个运输路径的费用是决策的重要因素。
这可以涉及运输距离、运输方式、燃料成本等因素。
通常通过构建费用矩阵来表示各个路径的费用。
4.运输方案：确定如何分配物品以满足需求，并选择最佳的运输路径。
这通常通过使用线性规划模型来实现，以最小化总运输成本为目标。
解决运输问题的常见方法包括：1.西北角规则：该方法从供应和需求具有最大值的角度着手，逐步分配物品，直到达到平衡。
这种方法简单易行，但不一定能够找到全局最优解。
2.最小成本法：该方法根据运输路径的成本递增顺序，逐一分配物品，直到平衡为止。
这种方法能够找到最优解，但可能需要更多的计算量。
3.转运法：该方法通过寻找“供应地点里程+需求地点里程最小”的路径来决策，直至达到平衡。
这种方法在有多个供应地点和多个需求地点时非常实用。
除了基本的运输问题之外，还有其他一些相关的运筹学问题，如多品种运输问题、多目标运输问题和带有时间窗口的运输问题等。
这些问题在实际应用中都有广泛的应用，并且可以通过相应的数学模型和优化方法来解决。
综上所述，运筹学中的运输问题是一个重要的决策问题。
它涉及到寻找最佳的物品配送方案，以最小化总运输成本。
通过合适的数学模型和算法，我们可以有效地解决这类问题，为实际的物流管理提供有力的支持。
运筹学运输问题个人总结(一)
运筹学运输问题个人总结(一)运筹学运输问题个人总结前言运筹学是一门应用数学学科，旨在通过数学模型和优化算法解决现实生活中的决策问题。
其中，运筹学运输问题是运筹学的基础领域之一，涉及到在给定条件下最佳化资源利用、降低成本、提高效率等方面的问题。
正文在个人学习运筹学运输问题的过程中，我总结了以下几个重要要点：1.运输网络规划：运输问题的首要任务是确定运输网络的结构和连接方式。
这包括确定供应商、仓库、需求点之间的连接关系，以及各个节点的运输容量和成本等。
通过合理规划运输网络，可以实现资源的合理分配和供需的良好匹配。
2.运输成本优化：在确定了运输网络之后，需要通过优化算法求解最佳的运输方案。
这涉及到在满足各种限制条件下，如最小化运输成本、最大化资源利用率等指标的优化问题。
常用的算法包括线性规划、整数规划、动态规划等。
3.路线优化和物流调度：针对具体的运输任务，需要进行路线优化和物流调度。
通过合理的路径规划和物流调度，可以降低运输时间和成本，提高物流效率。
常用的算法包括最短路径算法、最优传送门问题等。
4.风险管理和决策支持：在运输过程中，会存在各种不确定性和风险因素。
因此，需要通过风险管理和决策支持技术来应对不确定情况。
常见的方法包括风险评估、灵敏度分析、决策树等。
结尾通过学习和研究运筹学运输问题，我深刻认识到其在现代物流和供应链管理中的重要性。
合理的运输规划和优化能够帮助企业降低成本、提高效率，实现可持续发展。
通过不断学习和实践，我将不断提升自己在这一领域的能力，并在实践中探索更多有创新性和实用性的解决方案。
运筹学运输问题个人总结（续）路线优化和物流调度在路线优化和物流调度方面，我学到了以下几个重要的观点：•路线优化：通过使用最短路径算法、最优传送门问题等优化算法，可以找到最佳路径来减少运输时间和成本。
另外，还可以考虑交通拥堵等因素，选择避开高峰期的最佳路径。
•物流调度：对于大规模的运输网络，物流调度成为一个重要的挑战。
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运筹学中的运输问题例题
在运筹学中，运输问题是一类经典的线性规划问题，涉及将有限数量的货物从多个供应点运输到多个需求点，并且对应的成本最小化或者利润最大化。
以下是一个运输问题的例题：
假设有三个供应点A、B和C，和四个需求点X、Y、Z和W。
每个供应点都有一定数量的货物可供运输，每个需求点需要一定数量的货物。
给定的成本矩阵代表从每个供应点到每个需求点的运输成本。
供应点的供应量和需求点的需求量以及成本矩阵如下：
供应量：
A: 80单位
B: 70单位
C: 60单位
需求量：
X: 50单位
Y: 40单位
Z: 30单位
W: 70单位
成本矩阵：
X Y Z W
A 4 6 8 9
B 5 7 10 12
C 6 8 11 14
问题是如何将货物从供应点运输到需求点，以使总运输成本最小化。
在这个例题中，可以使用线性规划方法来解决运输问题，通过确定每个供应点向每个需求点运输的数量来最小化总成本。
解决该问题的线性规划模型可以表示为：
最小化ΣΣ(cost(i, j) * x(i, j))
i j
满足以下约束条件：
1. 每个供应点的供应量不能超过其可供应的数量：Σx(i, j) ≤供应点i的供应量, for each i
2. 每个需求点的需求量必须得到满足：Σx(i, j) ≥需求点j的需求量, for each j
3. x(i, j) ≥0, for each i, j
其中，x(i, j) 表示从供应点i到需求点j运输的货物数量，cost(i, j) 表示从供应点i到需求点j的运输成本。
通过求解该线性规划模型，我们可以获得最优的货物运输方案，以最小化总运输成本。
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学运输问题笔记(一)
运筹学运输问题笔记(一)运筹学运输问题笔记一、运输问题的概述运输问题的定义运输问题是运筹学中的一种经典问题，也是线性规划中最简单的一种。
其定义是：在将若干种供给物品分别运往若干种需求地的过程中，在满足各个供求量限制和运输能力限制的基础上，使得总的运输成本最小。
运输问题的特点• 只涉及一种商品的运输；• 供给地和需求地的数量相等；• 供给地和需求地之间的运费相同。
运输问题的模型运输问题的模型可以用线性规划的形式表示：min Z =∑∑c ij nj=1m i=1x ijs.t. {∑x ij ni=1=b j (j =1,2,...,n )∑x ij m j=1=a i (i =1,2,...,m )x ij ≥0 (i =1,2,...,m;j =1,2,...,n )其中，c ij 代表从供给点i 到需求点j 的单位运费，a i 代表供给点的总供给量，b j 代表需求点的总需求量，x ij 代表从供给点i 到需求点j 的运输量。
二、运输问题的求解方法1. 列出初始可行解运输问题的求解可以先列出初始可行解，常用的方法有两种： • 西北角法（Northwest Corner Method ）• 最小元素法（Least Cost Method ）以上两种方法均可得到初始可行解，但最终得到的最优解可能不同。
2. 用改进的对角线法求解在得到初始可行解后，可以用改进的对角线法求解运输问题。
该方法的基本思想是：通过计算每个空运输路线上的机会成本，确定可能改进的单元格，然后通过交错路径法得到改进可行解，并最终求出最优解。
3. 用运输单纯形法求解对于规模较大或复杂的运输问题，可以用运输单纯形法求解。
该方法是将单纯形法应用到运输问题上，可以快速、准确地求解最优解。
三、运输问题的应用运输问题在物流领域的应用在物流领域中，运输问题是非常重要的，可以通过求解运输问题来优化物流配送方案、降低物流成本、提高物流效率。
运输问题在生产计划中的应用运输问题还可以应用于生产计划中，可以通过求解运输问题来优化原材料到达厂区和半成品成品出厂的方案，提高生产效率，降低成本。
运筹学中的运输问题例题
运筹学中的运输问题例题运筹学中的运输问题例题在运筹学领域中，运输问题一直是研究的焦点之一。
它是一种经典的线性规划问题，旨在寻找最佳的物流运输方案，以最小化运输成本或最大化利润。
下面将给出几个运输问题的例题，以便更好地理解运筹学中的运输问题。
例题一：某物流公司需要将货物从A、B、C三个仓库分别运输到D、E、F 三个地点。
已知各仓库的存货数和各地点的需求量如下：仓库存货数地点需求量A 50 D 30B 70 E 40C 80 F 20已知运输成本矩阵如下：D E FA 5 7 9B 6 8 10C 4 6 8要求给出最佳的物流运输方案，并计算出最小的运输成本。
例题二：某公司有两个工厂，分别位于城市X和城市Y，需要向三个销售点分别运输产品。
已知两个工厂的产能和三个销售点的需求量如下：工厂产能销售点需求量X 60 P 18Y 80 Q 30R 22已知运输成本矩阵如下：P Q RX 6 5 9Y 8 7 6要求确定最佳的运输方案，并计算出最小的运输成本。
例题三：某电子产品制造商面临着将产品从几个工厂运输到多个供应商的问题。
已知各工厂的产能和各供应商的需求量如下：工厂产能供应商需求量F1 80 S1 30F2 60 S2 50F3 70 S3 20已知运输成本矩阵如下：S1 S2 S3F1 4 7 6F2 6 3 8F3 5 7 9寻找最优的运输方案，以满足供应商的需求，并计算出最小的运输成本。
以上是几个常见的运输问题例题，这些例题涵盖了不同规模和不同约束条件的情况，帮助我们了解运筹学中的运输问题的解决方法。
通过运用线性规划等方法，可以得出最佳的运输方案，实现物流运输的优化，减少成本，并提高效率。
运输问题不仅在物流行业中有广泛应用，也可在其他领域中找到类似的应用场景，例如生产调度、供应链管理等。
因此，掌握运输问题的解决方法对于提高运营效率和降低成本是非常重要的。
综上所述，通过解决运输问题例题，我们可以更深入地理解运筹学中的运输问题，并通过适当的模型和算法，找到最佳的运输方案，实现资源的合理配置和优化。
运筹学基础-运输问题(1)
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
4
运输问题
运输问题举例 （续）
【例2】某公司下属三个工厂（甲厂、乙厂、丙厂）生产同类 产品，供应不同地区的3个城市（A城、B城、C城），工厂的 供应量、城市的需求量及工厂到不同城市的单件运费如表，写 出本例数学模型 产销大于销
销地 产地 甲厂 乙厂 丙厂 需求量 A城 8元 4元 7元 5000 B城 6元 3元 4元 7500 C城 7元 5元 6元 7500
56
16 66
36
41
16
运输问题
西北角法图示
初始基可行解：x11=56,x21=16,x22=66,x32=36,x33=41
此时运费 Z=31240
销地 产地 W厂 X厂 A段
5656 40
B段
C段
供应量
0 70
66 36
0 140 0 110
41
56 82
16
16 120 0 80
72
66 240 36 130
运输问题
【另例】
销地
产地
B1 6
7
2
B2
2
B3 3
5
1
B4 2
8
2
2
产量 5
4
行差额
产量
j 1 m
ij
ai , bj ,
i 1,2,...,m j 1,2,...,n
a1 a2 … am
x
i 1
ij
xij 0
11
运输问题
产小于销
a b
i 1 i j 1
m
n
j
min Z cij xij
运筹学运输问题
销地 产地
A1 A2 A3
销量
销地 产地
A1 A2 A3 两最小 ① 元素 ② 之差 ③
④ ⑤
Table3 产销平衡表
B1
B2
B3
5
3 6
3
6
5
Table4 单位运价表
B1
B2
B3
B4
3
11
3
10
1
9
2
8
7
4
10
5
2
5
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
2
B4 产 量
2
7
1
4
3
9
6
两最小元素之差 ①②③④⑤ 0 0 070 1 1 1 60 12
❖矩阵的元素均为1或0；
❖ 每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；
❖ 列向量Pij =(0,…，0，1，，…,0,1,0,…0)T，其 中两个元素1分别处于第i行和第m+j行，ei+em+j。
❖ 将该矩阵分块，特点是：前m行构成m个m×n 阶矩阵，而且第k个矩阵只有第k行元素全为1， 其余元素全为0（k=1，…，m）；后n行构成m个 n阶单位阵。
0
2
A2
2
A3
9
B3
B4
1 12
注意:有时在闭回路调整中，在需要减少运量的地 方有两个以上相等的最小数。这样调整时在原先空格 处填上这个最小数，而有两个最小数的地方成了空格。 此时只需把其中之一变为空格，其余均补添0，使方案 中由数字格仍为m+n-1。（将为0的格当数字格看待）
2、位势法
❖ 闭回路法需要求每一个空格的检验数，这对 于大型的运输问题来说显得非常复杂。
(典型例题)《运筹学》运输问题
表上作业法步骤: 初始方案最优性检验改进方案 一、初始方案的确定
1.最小元素法
2.Vogel法
二、最优性检验 1.闭回路法
2.位势法
三、方案改进方法 在闭回路内改进。
2008/11 --8--
--《运筹学》 运输问题--
产销平衡表
单位运价表
B1 A1 (1) A2 3 A3 (10) 销量 3
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · 0
· · · · · ·
· · · · · ·1
· · · · · ·
i=m j=1 j=2
0 0 1 0 0 1
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · · 0 · · · · · · 0 · · · · · · 0
B2 B3 B4 产量 (2) 4 3 7 (1) 1 (-1) 4 6 (12) 3 9 6 5 6
A1 A2 A3
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
△z=c11-c13+c23-c21=1=11 △z=c12-c14+c24-c22=2=12
B1 B2
B3
A1
B1
3吨
B2
6吨
产 地
4吨 A2
B3
5吨
销 地
9吨
A3
x34
B4
6吨
2008/11
--3--
--《运筹学》 运输问题--
二、建立模型
设 xij——第i产地到第j销地之间的调运量，则有 Min z = cij·xij
运筹学运输问题一 优质课件
A1
437
A1 3 11 3 10
A2 3
1
4
A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
A3
6
39
销量 3 6 5 6
⑴﹒最小元素法确定初始基可行解 总费用：86元
这种方法的基本思想是：从单位运价表中最小的运价开
始确定供销关系，然后次小。一直到给出初始基可行解 为止。做法：①从运价表中挑选最小元素，并比较所在的
设pij ，i，j∈N，则
pij =ei+em+j
puj
pus
=ei+em+k - em+k +el - el +em+s - em+s +eu - eu +em+j
plk
pls
=(ei+em+k) - (em+k +el ) + (el +em+s ) -( em+s +eu)+ ( eu +em+j )
1
该系数矩阵中对应变量xij的系数向量pij ,其分量除第i个 和第m+j个为1，其余为零。即
pij=（0,… ,1, …,1,…,0 )T =ei+em+j
对产销平衡的运输问题，有以下关系式成立
n
mn
nm
m
∑ j=1
bj
＝
∑ i=1
j∑=1xij
＝
∑ j=1
i∑=1xij
＝
∑ i=1
ai
所以模型最多只有m+n－1个独立约束方程。即系数 矩阵的秩≤m+n－1 。
⑴闭回路法 闭回路寻找法：
运筹学：运输问题习题与答案
一、单选题
1、运输问题是一种特殊的线性规划模型，如下不可能出现的求解结果是（）。
A.有界解
B.无可行解
C.无穷多最优解
D.唯一最优解
正确答案：B
2、运输问题的初始方案中，没有分配运量的格所对应的变量为（）。
A.非基变量
B.基变量
C.松弛变量
D.剩余
正确答案：A
3、对于求解运输问题的表上作业法，当空格的检验数为（）时，表明该方案不是最优方案。
A.任意值
B.零
C.正值
D.负值
正确答案：D
二、判断题
1、运输问题的解有四种情况：分别为：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。
（）
正确答案：×
2、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
（）
正确答案：√
3、如果运输问题的单位运价表上的某一行（某一列）元素都加常数k,最优解保持不变。
（）
正确答案：√
4、产地个数为m,销地个数为n的平衡运输问题的对偶问题有m+n个约束。
（）
正确答案：√
5、运输问题一定有最优解。
（）
正确答案：√
6、m+n−1个变量构成基变量组的充要条件是它们不包含闭回路。
（）
正确答案：√
7、运输问题中的位势就是其对偶变量。
（）
正确答案：√。
运筹学之运输问题
B1
A1
B2
③
B3
4 ④
B4
3
产量
7
A2
A3
3
6
②
1 ①
3
4
9
销量
3 B1
A1 A2 A3 销量 3 3
6 B2
5 B3 5 B4 2 1 3 6
6 产量 7 4 9
6 6
5
(ui+vj)
B1 A1 A2 A3 1 B2 B3 3 B4 10 8 5 v4 u1 u2 u3 A1 A2 A3 B2 B3 B4 9 3 10 0 7 1 8 －2 －2 4 －2 5 －5 3 9 3 10 B1 3 1
计算如下：空格处（ A1 B1 ）＝ (1×3)＋｛ (－1)×3 ｝＋(1×2)＋｛ (－1)×1 ｝＝1 此数即为该空格处的检验数。
• 从每一个空格出发一定存在和可以找到唯 一的闭回路。因（m+n-1）个数字格（基变 量）对应的系数向量是一个基。于是，任 意一个空格（非基变量）对应系数向量是 这个基的线性组合。
数学模型的一般形式
已知资料如下：
单 产地 销 产 量
B1
c11 c m1
Bn
c1 n
产 量
A1 Am
销 量
c mn
a1 am
b1
bn
当产销平衡时，其模型如下：
min Z
c
i1 j1
m
n
ij
x ij
x ij a i x ij b j x 0 ij
3 2
u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令： u1＝0
《运筹学》第三章运输问题
Vogel近似法
考虑运输成本差异， 进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制，同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物，避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标，如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化，提升物流效率，降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本，约束条件包 括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物，直至 达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成 本进行分配，直至l's Approximation Method）法为基础， 逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问 题
运输问题是运筹学中重要的问题之一，涉及到各种场景下的货物运输优化。 本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法，以及其在物流和生产调 度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题，旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划，提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向，未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题是指在运输中寻找最优方案的问题，主要包括供应商到销售点、工厂到市场、仓库到经销商等物流过程。
常见的运输问题有：
1. 指派问题：将n个工作任务分配给m个工作人员，每个工作任务有一个工作量和时间上的限制，目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
2. 运输问题：用最少的代价将一批货物从若干个供应商运送到若干个销售点，满足供求平衡条件。
可以使用线性规划方法，将供应商和销售点之间的运输路线看作一个网络，利用线性规划的方法求解最小代价或最大收益。
3. 配给问题：采购部门需要为生产线提供原材料，同时工厂需要将成品配给销售部门。
目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
4. 路径问题：给定一个网络，寻找两个点之间的最短路径。
可以采用广度优先搜索等方法解决。
5. 负载平衡问题：当多个任务需要在多个工作站上完成时，如何平衡各个工作站的负载。
可以采用贪心算法、动态规划等方法解决。
在实际应用中，以上问题常常彼此关联，可以采用综合算法或求解器进行求解。
运筹学运输与派送问题
运筹学运输与派送问题运筹学中的运输与派送问题是一类常见的优化问题，通常涉及将货物或资源从起始地点运输到目的地，并尽量优化运输成本或效率。
以下是一些常见的运输与派送问题的类型和解决方法：1. 车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）：给定一组客户和车辆，目标是确定每辆车的行驶路径，使得所有客户的需求得到满足，且总的运输成本最小。
可以使用启发式算法、元启发式算法、精确算法等求解。
2. 车辆装载问题（Vehicle Loading Problem, VLP）：目标是最大限度地减少车辆的数量，或者在给定数量的车辆中装载更多的货物，使得总运输成本最小。
可以使用整数规划、分支定界法等求解。
3. 装箱问题（Bin Packing Problem, BPP）：给定一组物品，每个物品都有自己的重量和体积，目标是使用最少的箱子数将所有物品装入箱子中，每个箱子的容量有限制。
可以使用贪婪算法、元启发式算法等求解。
4. 派送问题（Delivery Problem）：给定一组客户和一组车辆，目标是确定每辆车的派送路线，使得所有客户的需求得到满足，且总的运输成本最小。
与VRP类似，可以使用启发式算法、元启发式算法、精确算法等求解。
5. 配载与调度问题（Scheduling and Routing Problem）：涉及多个任务或工作需要完成，目标是确定任务的完成顺序、使用哪些资源、何时开始和结束等，以最小化总成本或最大化总效益。
可以使用线性规划、整数规划、动态规划等求解。
在解决运输与派送问题时，通常需要考虑各种因素，如车辆数量、运输距离、运输时间、运输成本、客户需求等。
根据问题的具体情况，可以选择合适的算法或模型进行求解。
运筹学： 运输问题习题与答案
1、物资调运方案的最优性判别准则是：当（）时，当前的方案一定是最优方案。
正确答案：非负2、可以作为表上作业法的初始调运方案的填有数字的方格数应为（）个(设问题中含有m个供应地和n个需求地)。
正确答案：m+n－13、若调运方案中的某一空格的检验数为1，则在该空格的闭回路上调整单位运量而使运费增加（）。
正确答案：14、调运方案的调整是要在检验数出现（）的点为顶点所对应的（）内进行运量的调整。
正确答案：负值闭回路二、选择题5、在运输问题中，可以作为表上作业法的初始基可行解的调运方案应满足的条件是（）。
A.含有m+n—1个基变量B.基变量不构成闭回路C.含有m+n一1个基变量且不构成闭回路D.含有m+n一1个非零的基变量且不构成闭回路正确答案：D6、在表上作业法求解运输问题中，非基变量的检验数（）。
A.大于0B.小于0C.等于0D.以上三种都可能正确答案：D7、运输问题的初始方案中，没有分配运量的格所对应的变量为（）。
A.基变量B.非基变量C.松弛变量D.剩余变量正确答案：B8、表上作业法的基本思想和步骤与单纯形法类似，那么基变量所在格为（）。
A.有单位运费格B.无单位运费格C.有分配数格D.无分配数格正确答案：C9、表上作业法中初始方案均为（）。
A.可行解B.非可行解C.待改进解D.最优解正确答案：A10、闭回路是一条封闭折线，每一条边都是（）。
A.水平B.垂直C.水平＋垂直D.水平或垂直正确答案：D11、当供应量大于需求量，欲化为平衡问题，可虚设一需求点，并令其相应运价为（）。
A.0B.所有运价中最小值C.所有运价中最大值D.最大与最小运量之差正确答案：D。
运筹学-第四章-运输问题 (1)
( i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n )
则 x ij 为运输问题的一个可行解。事实上：
jn 1xijjn 1ad ibj a di jn 1bj ai im 1xijim 1ad ibj b d j im 1aibj
(i1,2, ,m ) (j1,2, ,n)
又因 ai 0,bj 0. 所以 xij 0. 故[ x i j ] 是一组可行解。
B4 d4=6
设xij为运量
目标函数：m i nZ 2x11 9x12 10x13 7 x14 x21 3x22
4x23 2x24 8x31 4x32 2x33 5x34
x11 x12 x13 x14 9
x21
x22
x23
x24
5
x31
x32
x33
x34
7
约束条件：
6 22
14 48
①
③
销地
产地
B1
4
A1
2
A2 8
A3
8
销量
8
表 3-2
B2
B3
12
4
10
10
3
2
5
11
14 12 10
B4
产 量
11 6 16
9
②
10
6
8
22
14
14 48
①
④
③
销地 产地
A1
A2
B1
4
2 8
A3
8
销量
8
表 3-2
B2
B3
B4
12
4
11
10
10
3
9
2
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4 运输问题
1、运输问题表上作业法的基本步骤。
答：表上作业法的基本步骤可参照单纯形法归纳如下：
（1）找出初始基可行解：即要在阶产销平衡表上给出“”个数字格（基变量）；
（2）求各非基变量（空格）的检验数，判断当前的基可行解是否是最优解，如已得到最优解，则停止计算，否则转到下一步；
(3确定入基变量，若，那么选取为入基变量；
(4确定出基变量，找出入基变量的闭合回路，在闭合回路上最大限度地增加入基变量的值，那么闭合回路上首先减少为“0”的基变量即为出基变量；
（5）在表上用闭合回路法调整运输方案；
（6）重复2、3、4、5步骤，直到得到最优解。
2、“最小元素法”和“伏格尔”法的基本思想及基本操作。
答：最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此类推，一直到给出基本方案为止。
伏格尔法把费用增量定义为给定行或列次小元素与最小元素的差（如果存在两个或两个以上的最小元素费用增量定义为零）。
最大差对应的行或列中的最小元素确定了产品的供应关系，即优先避免最大的费用增量发生。
当产地或销地中的一方在数量上供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列，再重复上述步骤，即可得到一个初始的基可行解。
3、闭合回路的构成以及利用闭合回路法求检验数的基本操作。
答：判断基可行解的最优性，需计算空格（非基变量）的检验数。
闭合回路法即通过闭合回路求空格检验数的方法。
从给定的初始方案的任一空格出发寻找闭合回路，闭合回路顶点所在格括号内的数字是相应的单位运价，单位运价前的“+”、“-”号表示运量的调整方向。
空格处单位运量调整所引起的运费增量就是空格的检验数。
仿照此步骤可以计算初始方案中所有空格的检验数。
4、利用位势法求检验数以及利用闭合回路进行方案调整的基本操作。
答：位势法求解非基变量检验数的基本步骤：
第一步：把方案表中基变量格填入其相应的运价并令；让每一个基变量都有，可求得所有的位势；
第二步：利用计算各非基变量的检验数
方案的优化基本步骤：
在负检验数中找出最小的检验数，该检验数所对应的变量即为入基变量。
在入基变量所处的闭合回路上，赋予入基变量最大的增量，即可完成方案的优化。
在入基变量有最大增量的同时，一定存在原来的某一基变量减少为“0”，该变量即为出基变量。
切记出基变量的“0”运量要用“空格”来表示，而不能留有“0”。
5 、应用最小元素法和伏格尔法求出下列运输模型的初始解，并比较它们的计算结果。
甲乙丙产量
A 5 1 6 12
B 2 4 0 14
C 3 6 7 4
销量9 10 11
6、应用伏格尔法求初始解的方法解下面的运输问题。
甲乙丙产量
A 1 0 2 4
B 3 5 4 6
C 1 2 3 10 销量 3 5 12
7、下列运输问题：
产地销地
供应量
6 4 2
4
8 5 7 5
需求量 3 3 3
用表上作业法求解此问题（分别用闭回路法和位势法）。