清华大学微积分试题库完整
清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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清华微积分高等数学 定积分三
2
2
22
在 曲 线 的 下 方, 当Y 0( x [0, a])时,
曲边梯形的面积 梯形面积
2020/11/13
18
[例2] 设f ( x), g( x) C[a, b], 证明
[ b f ( x)g( x)dx]2 b f 2( x)dx b g2( x)dx
a
a
a
柯西-许瓦兹不等式
)dx
1
x
o
| ( x2 ln x) 2 3 ln 2
2
12
2020/11/13
2
1
x
26
设连续函数 ( y), ( y)满足
0 ( y) ( y) y [c,d] 求由曲线x ( y), x ( y),和直线
y c, y d 所围成的面积A
y
d
y dy y
x ( y) x ( y)
0
y2 5 y2 )dy
| 2
1
2 (1 4 y2 )dy
2( y
4
y3)
1 2
| b
b
u( x) v( x) u( x) v( x)dx
a
a
[注意] 分部积分公式也可以写成
| b
b
b
u( x)d[v( x)] u( x) v( x) v( x)d[u( x)]
a
aa
2020/11/13
11
[例1] 计算
4 ln x
dx
1 4
x
[解] 原 式 1 ln x dx 4 ln x dx
13
[例3] 计算：In
2 sinn xdx
0
(n N )
[解]
I0
清华大学2011级第一学期期末试题-微积分B(1)
2011级微积分B（1）试题（A卷）
（2012年1月6日）
班级 姓名 学号
一、填空题（每题 分，共 题，计 分)
1． ．
2。 ．
3．数列 的最小项的项数为 ．
4。设 ,则 ．
5。设数列 单调减少，且 ．又 无界，则幂级数
的收敛域是．
6．若 ,则 .
7． 。
8。函数 的以 为周期的Fourier级数是.
13．证明 ，并计算定积分 ．
14。已知曲线段 ，有界区域 由 与 轴及直线 围成．
（Ⅰ）求 绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积;
（Ⅱ）求曲线段 的长．
15．已知函数 在区间 上可导,且点 在曲线 上．
证明:
(Ⅰ）存在 ，使得 ;
（Ⅱ）存在两个不同的点 ，使得 ．
16.已知函数 ， ， ．
（Ⅰ)求 的单调区间;
（Ⅱ)证明 ．
（Ⅲ）（附加题）证明级数 收敛．
9.当且仅当参数 满足时,数项级数 收敛.
10.叙述二、解答题（共6题，每题10分，计60分）
注：16(Ⅲ）是附加题，解答正确得5分．
11．已知函数 在 处具有一阶导数，且满足条件
．
求 在 处的一阶带皮亚诺型余项的泰勒公式．
12.求幂级数 的收敛域及和函数．
清华大学微积分-PART1
1
微积分
讲课教师 陆小援
Tel: 62782327
E-mail: xylu@
2019/8/14
2
参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
2019/8/14
30
[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
22 有反函数
x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
在函数定义中，要求函数是单值的，即
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
有 理 数c". 2019/8/14
13
二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
清华大学微积分期末试题
期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上）1．积分⎰⎰xdy xy f dx 03)(在极坐标下的累次积分为 。
答案：⎰⎰=θπθθθcos 30240)sin cos (rdr r f d2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分()=+⎰⎰Ddxdy yx x )sin(12。
答案：2==⎰⎰Ddxdy3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且x x f cos 2)1,(=，⎰⎰=Ddxdy y x f 1),(，则⎰⎰=∂∂Ddxdy yy x f y),( 。
答案：11sin 2-4．计算积分值⎰⎰=-1)1ln(yydx xx dy。
答案：⎰⎰⎰-=--=-=101041)1ln()1()1ln(2dx x x dy x x dx x x5. 设}2:),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )( 。
答案：ππθπ4222302020====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线， 则第一型曲线积分=-⎰Lds y x )(22 。
答案：07. 设S 为上半球面222y x R z --=，则第一型曲面积分=++⎰⎰SdS z y x )( 。
答案：3222R dxdy zRzzdS R y x S π===⎰⎰⎰⎰≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ， 则第二型曲线积分=+⎰Lydy xdx 。
答案：2222),1()1,0(22),1()1,0(22e y x y x d e e =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ 9．设32),,(z xy z y x f =，则在1===z y x 点=)],,(div[grad z y x f 。
清华大学微积分考试真题7
作者：闫浩
2011 年 9 月
10．若 f ( x) ∈ D 2 ( −∞, +∞ ), 证明对任意的 a < c < b ,都存在 ξ ∈ ( a, b) ,使得
f ( a) f (b) f (c ) 1 + + = f ′′(ξ ) ． (a − b)(a − c) (b − a )(b − c) (c − a )(c − b) 2
个实根． 3.设 f ( x ) ∈ C[ a, b] ，在 ( a, b) 内可导， f ( a) = f (b) = 0 。求证： ∀α ∈ R, ∃ξ ∈ ( a, b) 使得
α f (ξ ) = f ′(ξ ) .
4． 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上一阶可导， 在 ( a, b) 内二阶可导，f ( a) = f (b) = 0 ，f ′( a ) f ′(b) > 0 ， 证明： （1）存在 ξ ∈ ( a, b) ，使 f (ξ ) = 0 ； （2）存在η ∈ ( a, b) ，使 f ′′(η ) = f ′(η ) ； （3）存在 ζ ∈ ( a, b) ，使得 f ′′(ζ ) = f (ζ ) ． 5．设函数 f ( x), g ( x ), h( x) 在 [ a, b] 上连续，在 ( a, b) 内可导，试证存在 ξ ∈ ( a, b) ，使得
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作者：闫浩
2011 年 9 月
微积分 B(1)第七次习题课题目参考答案 （第九周）
1．证明方程 2 x + 2 x 2 + x − 1 = 0 至多有两个不同实根． 证明 （罗尔定理） 设 2 x + 2 x 2 + x − 1 = 0 有三个不同实根，则
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλ ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλ ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。
（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k n k p k k y x y y x x y x 11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
清华微积分题库
x y z 如何？( B ) y z x
x y z 1 y z x Fy Fy Fz Fx F F ) ( z ) ( x ) 1 (B) 该式 ( Fx Fy Fz Fx Fy Fz
(C) 因为一个方程 F ( x, y , z ) 0 可以确定一个函数，不妨设 z 为函数，另两个变量 x, y 则为自变量，于是 给表达式为 0 。 (D) 仿(C)不妨设由 F ( x, y , z ) 0 确定 z 为 x, y 的函数,因 58．设
dy dt , t' 。 dx dx (B) Fx Fy ( f x f t t x ) Ft t x 0 。
(A) Fx Fy y ' Ft t ' 0 ,其中 y ' 60． lim
x y （ 0 x x xy y 2 y
(A) .设方程 z x y a , Fx 2 zz x 2 x, Fz 2 z , 代入 z x
2 2 (C) 求 z x y 平行于平面 2 x 2 y z 0 的切平面,因为曲面法向量 n (2 x,2 y,1) //( 2,2,1) ,
54．以下各点都是想说明 lim f ( x, y ) 不存在的，试问其理由是否正确？( B
x , y 0
)
xy ，理由是 y x 时函数无定义。 x y xy , y x (B) 对 f ( x, y ) x y , 理由是令 y x 2 或 x 2 x 将得到不同的极限值 0,1 。 0, y x y ,x 0 , 理由是令 y 1 x ，即知极限不存在。 (C) 对 f ( x, y ) x 0, x 0
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)
（ ）求极限 ． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
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2/3
3．求下列极限
（ ）求 ．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（ ） ． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（ ）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若 ，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
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．已知 ，求证： ． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列 单调，且 ，证明： ． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞
清华大学微积分(数列极限的运算、存在性判断、柯西准则)题目
lim
n→∞
an
=
A
lim
n→∞
bn
=
B
lim a1bn + a2bn−1 + ⋯ + anb1 = AB
n→∞
n
．设极限 存在，证明 ． 2
lim
n→∞
(a1
+
a2
+⋯
+
an
)
=
a
lim a1 + 2a2 + ⋯ + nan = 0
n→∞
n
3．设θ ≠ kπ ，证明数列{sin nθ}发散．
三、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖）
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3．下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例．
（ ）对于任意的 ，均有 ． 1
p ∈ ℕ*
lni→m∞(an+ p − an ) = 0
（ ） ， ，只要 ，就有 ． 2 ∀ε > 0 ∃N ∈ℕ*
n>N
| an − aN |< ε
（ ） ， 以及 ，只要 ，就有 ． 3 ∀ε > 0 ∃Nε ∈ℕ*
Aε ∈ ℝ
n > Nε
| an − Aε |< ε
．证明：有界数列 若不收敛，则必存在两个子列 ， ，使得 4
{an }
{ank } {amk }
lim
k →∞
ank
= a,
lim
k →∞
amk
=b
且a≠b．
5．（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛；
（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛．
微积分(3)2009秋期末试题
+ xy − y )dx + (e x + y +
1 2 x )dy 。 2
解：设曲线 C 所围区域为 D ，由 Green 公式 原积分＝
∫∫
D
dxdy ＝ ∫ dt ∫
0
2π
cos6 t + sin 6 t
0
rdr ＝
2π
3π 。 16
( 我算得结果 π
5 8
， ∫ dt ∫
0
2π
cos 6 t + sin 6 t
14．
（6 分）设 f ( x) 是以 T 为周期的连续函数,而 y = ϕ ( x) 是方程
dy + y = f ( x) dx (1)
的解,且满足 ϕ (T ) = ϕ (0) .求证 ϕ ( x) 以 T 为周期。 证明：由 f ( x + T ) ≡ f ( x ) 知 ϕ ( x + T ) 也是方程(1)的解……………………(2 分) 证明
u = 4e − y + ce −2 y ,………………………….(2 分) dy = ± 4e − y + ce −2 y . dx
e y = x 2 + c1 x + c2 ……………………………(1 分)
（10 分） 求函数 f ( x, y ) = 2 xy + y 在闭圆域 x 2 + y 2 ≤
原积分= ∫∫ F ⋅ ndS …………………………………………………………………(1 分)
S
= ∫∫∫
0≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2
div( F )dV − ∫∫ F ⋅ ndS …………………………………………….(4 分)
清华大学微积分考试真题3
bn m bn an1q
n 1
an 2 q
n 2
an m q
nm
M q
n 1
1 qm 1 q
M n 1 q ． 1 q
由此易证数列 bn 是一 Cauchy 列，所以收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n 1 a n q a n a n 1 ( n 1,2, ) ， 其中 0 q 1 ， 试证数列 {a n } 收敛． 证明： 0 ，因为
k →∞ k →∞
存在。 9. 证 明 ： 有 界 数 列 {an } 若 不 收 敛 ， 则 必 存 在 两 个 子 列 ank
{ } 、 {a } ， 使 得
mk
lim ank = a, lim amk = b 且 a ≠ b 。
k →∞ k →∞
10.（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛。 （2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛
n →∞
a1 + a2 + L + an = A ，证明： lim an = A 。 n →∞ n
二、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖） 4． 设 an = 收敛． 5．设 bn = a 0 + a1 q + a 2 q 2 + L + a n q n ，其中 q < 1 且数列 {a k } 有界，试证数列 {bn } 收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n +1 − a n ≤ q a n − a n −1 ( n = 1, 2, L) ， 其中 0 < q < 1 ， 试证数列{a n } 收敛． 7.下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例。 （1）对于任意的 p ∈ ¥* ，均有 lim( an + p − an ) = 0 。
清华大学微积分期末试题
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
∫ ∫ ∫ 1.（8 分）设 f ∈ C[0,1]，利用分部积分证明
1⎡ 0 ⎢⎣
x x2
f (t)dt⎥⎦⎤dx =
1
(
0
x − x2 ) f (x)dx 。
2.（7 分）设 a(x) 和 b(x) 为 (−∞,+∞) 上以 2π 为周期的连续函数，考虑一阶线性常微分方程
d
2x
ln(1 + sin t)dt =
dx x2
。
5. 求曲线 y = ex 、 y = − cosπ x 、 x = − 1 、 x = 1 围成的区域面积
2
2
∫ 6. π sin x − sin3 xdx = 0
。
∫ 7.
dx =
x(x2 + 1)
。
∫ 8. 2 dx =
1 x+ x
。
9. 悬链线 y = 1 (ex + e−x ) ，| x |≤ 1的弧长 L = 2
dy = a(x) y + b(x) 解的情况。 dx （I）举出 a(x),b(x) 的一个例子，使得该方程的解为下列三种情况之一：
（a）没有以 2π 为周期的解； （b）只有一个以 2π 为周期的解； （c）任意解都以 2π 为周期。
（只要就上面三种情况中的一种举一个例子即可） （II）证明该方程解的情况只能是上述三种之一。
10. 二阶方程 x2 y''−xy'−3y = 0 的通解为
。 。
11.
⎧ dy
一阶线性常微分方程组
⎪ 43; 2z
的通解为
清华大学微积分考试真题6
M > 0, α > 1 是常数。证明： f ( x ) 在 [a, b] 上恒为常数。
12．设 f ( x ) 在 ( a, b) 内有定义，且在 x 0 ∈ ( a, b) 处可导.数列 {x n }, { y n } 满足条件：
a < x n < x 0 < y n < b, lim x n = lim y n = x0 .
1 α x cos x 0
x>0 x=0
则 α 的取值范围是[ 在 x = 0 处右连续但右导数不存在，
]
B 0 < α ≤ 1．
C α > 1． D α < 1．
3．设 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内有定义， F ( x ) = x f ( x ) ，则 F ( x) 在 x = 0 处可导的充分必 要条件是[
′ dy x + 1 x + 1 x +1 −2 ， = f ′( ) • = arctan dx x −1 x −1 x − 1 ( x − 1) 2
所以
dy dx
x=2
2 = −2 arctan 3 = − π . 3
（3）设函数 y = y ( x ) 由方程 x y + y 2 ln x + 4 = 0 确定，求 y ′ ；
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作者：闫浩
2011 年 9 月
解 （隐函数求导，幂指型函数求导） 在 x y + y 2 ln x + 4 = 0 两端关于 x 求导得
2
ey
2
ln x
(2 yy ′ ln x +
5.已知 f ( x) =
清华大学微积分考试真题1
像 是 C 2 , C 2 关 于 原 点 对 称 的 图 像 为 C 3 , 则C 3 对 应 的 函 数 解 析 式 是 _________________． 10.试写出一个从 [0,1] 到(0,1)的一一对应映射． 三、不等式 11．1）试证明 Cauchy 不等式： ai (i = 1, 2,L n), bi (i = 1, 2, L n) 为两组实数，求证：
2.设 A, B 均是非空有界数集，定义 A+B = {x +y | x ∈ A, y ∈ B} 。证明： （1） inf( A + B ) = inf A + inf B ； （2） sup( A + B ) = sup A + sup B
证明：仅证（1） ； （2）的证法类似于（1） 。 设 a = inf A, b = inf B ， 由 确 界 的 定 义 ， ∀x ∈ A, y ∈ B 均 有 x ≥ a, y ≥ b ， 因 此
1 1 > 0 ，因此 y = 2 有下界。 2 x x 1 1 1 ，得到 yG = 2 = 4G > G ，因此 y = 2 无上界。 x xG 2 G 1 1 1 ≤ 2 ，此时 y = 2 有界。 2 x δ x
∀G > 0 ，取 xG =
2） δ > 0 ，当 x ∈ ( −∞, −δ ] U [δ , +∞ ) 时，有 0 <
(4) 已知函数 y = f ( x ) 存在反函数，那么与函数 y = f ( x ) 的反函数图像关于原点对称 的图像所对应的函数表达式为 (5)函数 f ( x) = .
x−3 3 , ( x ≠ ) ，若 y = f ( x + 1) 的图像是 C1 ，它关于直线 y=x 对称图 2x − 3 2
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.word 格式,(3343) ．微分方程y ytanx cosx 0的通解为y (x C)cosx。
1y(4455) ．过点( ,0)且满足关系式y arcsin x 1的曲线方程为2 1 x21 y arcsin x x 。
2C2 (4507) ．微分方程xy 3y 0 的通解为y C1 22。
x2(4508) ．设y1(x), y2 (x), y 3 (x )是线性微分方程y a(x)y b(x)y f (x) 的三个特解，且y2(x) y1(x)C ，则该微分方程的通解为y3(x) y1(x)y C1(y2(x) y1(x)) C2((y3(x) y1(x)) y1(x)。
2 2 x(3081) ．设y1 3 x2,y2 3 x2 e x是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3 x ，则该微分方程的通解为y 3 x2 C1x C2e x。
(4725) ．设出微分方程y 2y 3y x xe x e x cos2x 的一个特解形式* x xy* Ax B x(Cx D)e x e x(Ecos2x F sin2x) 。
(4476) ．微分方程y 2y 2y e x的通解为y e x(1 C1cosx C2 sinx)。
2x 1 2x(4474) ．微分方程y 4y e2x的通解为y C1e 2x C2x e2x。
4(4477) ．函数y C1cos2x C2sin2x 满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y 4y 0 。
2x t 2x(4532) ．若连续函数f (x) 满足关系式f(x) f(2)dt ln2，则f (x) e2x ln2。
(6808) ．设曲线积分[ f (x) e x]sin ydx f ( x) cosydy与路径无关，其中f(x) 具有一阶连续导数，且f (0) 0，则f(x) 等于[ ]11(A) 1(e x e x) 。
(B) 1(e x e x) 。
22专业.专注.word 格式 ,1 x x 1 x x(C) (e x e x) 1。
(D) 1(e x e x )。
答B1x x注： 根据题意， f (x)cosy [f (x) e x ] cos y ，解得 f (x) e xCex。
由1 1 x xf(0) 0，得 C ，所以 f(x)(e xe x) ，即选项 (B)正确。
226907．若函数 y cos2x 是微分方程 y p(x)y 0 的一个特解，则该方程满足初始条件y(0) 2 的特解为 [ ]答D注：根据解的结构，通解为 y C cos2x ，由 y(0) 2得C 2。
故选项 (D)正确。
其他选项经验证不满足方程或定解条件。
[ ](A)y C 1 y 1 C 2 y 2 。
(B) y y 1 Cy 2 。
(C) y y 1 C(y 1 y 2 ) 。
(D)答D方程的一个非零特解。
根据解的结构，其通解为 y C(y 2 y 1 ) ，即选项 (D)正确。
另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数， 故其不对。
当 y 2 0时，选项(B)不对。
当 y 2y 1时，选项 (C) 不对。
6579．已知函数 y y( x)在任意点 x 处的增量 yy x2o( x), y(0) ，则 y(1)等(A) y cos2x 2 。
(B) y cos2x 1 。
(C) y 2cosx 。
(D)y 2cos2x 。
6126．设函数 y 1(x), y 2(x) 是微分方程 y p(x)y 0的两个不同特解， 则该方程的通解为 y C(y 2 y 1 ) 。
注：因为 y 1(x), y 2(x) 是微分方程 y p(x)y 0 的两个不同特解，所以 y 2 y 1是该21x 于[ ](A) 2 。
(B) 。
(C) e4。
(D) e4。
答D专业.专注.word 格式 ,注： 根据微分定义及微分与导数的关系得 y y2 ，解得 ln y arctan x C ，由1 x2y(0) ，得 C ln ，所以 y(1) earctan1e 4。
因此选项 (D) 正确。
6215．设函数 y f ( x)是微分方程 y 2y 4y 0的一个解。
若 f (x 0) 0, f (x 0) 0， 则函数 f (x) 在点 x 0 [ ](A) 取到极大值。
(B) 取到极小值。
(C) 某个邻域内单调增加。
(D) 某个邻域内单调减少。
答A注：因为 f (x 0) 0， f (x 0) 4f (x 0) 0 ，所以选项 (A)正确。
6316. 设 y 1,y 2是二阶常系数线性齐次方程 y py qy 0的两个特解， C 1,C 2 是两个 任意常数，则下列命题中正确的是 [ ] (A) C 1y 1 C 2y 2 一定是微分方程的通解。
(B) C 1y 1 C 2 y 2 不可能是微分方程的通解。
(C) C 1y 1 C 2 y 2 是微分方程的解。
(D)C 1y 1 C 2 y 2 不是微分方程的解。
答C注：根据叠加原理，选项( C)正确，选项( D)错误。
当 y 1,y 2线性相关时，选项( A)错误, 当 y 1, y 2线性无关时，选项( B)错误。
答B1897. 微分方程 y y e x1 的一个特解应具有形式x(A) ae b 。
(B) axe xb 。
(C) ae xbx 。
(D)axe xbx 。
1, 1 ，所以y y e x的一个特解形式为axe x，注：相应齐次方程的特征根为专业.专注.word 格式,y y 1的一个特解形式为b 。
根据叠加原理，原方程的一个特解形式为axe x b ，即选项(B) 正确。
其他选项经检验不满足方程。
1890. 具有特解y1 e x, y2 2xe x, y3 3e x的三阶线性常系数齐次微分方程是 [ ] (A) y y y y 0。
(B) y y y y 0 。
(C) y 6y 11y 6y 0 。
(D) y 2y y 2y 0 。
答B注：根据题意，1, 1是特征方程的两个根，且1是重根，所以特征方程为( 1)( 1)23 2 1 0 。
故所求微分方程为y y y y 0，即选项 (B)正确。
7819. 设y1 e x, y2 x是三阶线性常系数齐次微分方程y ay by cy 0 的两个特解，则a,b,c 的值为 [ ](A) a 1, b 1, c 0 。
(B) a 1,b 1,c 0 。
(C) a 1,b 0,c 0。
(D) a 1,b 0,c 0 。
答C注：根据题意，1,0 是特征方程的两个根，且0 是重根，所以特征方程为( 1) 2 3 2 0 。
故原微分方程应为y y 0 ，所以a 1,b 0,c 0 即选项(C) 正确。
2670. 设二阶线性常系数齐次微分方程y by y 0的每一个解y(x) 都在区间(0, ) 上有界，则实数b 的取值范围是 [ ](A) b 0 。
(B) b 0。
(C) b 4。
(D) b 4。
答A22b b2 4 x b b2 4 x注：因为当b 2 时，y(x) C1e 2C2e 2，所以，当b2 4 0 时，要想使y(x)在区间(0, )上有界，只需要b b2 4 0,b b2 4 0 ，即专业.专注.word 格式 ,b 2。
当 b 2 4 0时，要想使 y( x)在区间 (0, )上有界，只需要 b b 2 4 与 b b 24的实部大于等于零，即 0 b 2。
当 b 2时， y(x) C 1e xC 2xe x在区 间(0, )上有界。
当b2时，y(x) C 1e x C 2xe x (C 12 C 220) 在区间 (0, )上无界。
综上所述，当且仅当 b 0时，方程 y by y 0 的每一个解 y(x)都在区间 (0, ) 上有界，即选项 (A) 正确。
3296．求微分方程 x 1 y 2 yy 1 x 2此方程是一个变量分离方程，其通解为1 y2 1 x 2C(C 2) 。
5678．求微分方程d dx y 1xy sinx的通解。
d dxyx 1y 0，dx x得其通解为Cln yln C，即x令 y C(x)，代入原方程， xxC (x) C(x) C(x)22xx解得C(x) cosx C 。
所以原方程的通解为0 的通解。
1ydy y20，解： 这是一个一阶线性微分方程， 求解其相应的齐次方程 C y 。
x sin x，x1y ( cosx C) 。
x注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得专业.专注.word 格式,sinx 1dx1dx1 y ( e x dx dx c)e x dx( cosx c) 。
xx22312．求解微分方程xdy ydx y2e y dy 。
x看成是的y函数，则原方程是关于未知函数x x(y) 的一阶线性微分方程dx x yye ，dy y此方程通解为ydyC ye yeydydy Cy yey，其中C 是任意常数。
解：将原方程变形，得y，x这是一个齐次型方程。
令y xu ，代入上式，得xu u2 2u ，分离变量，得du dxu22u x积分，得因为y(1) 1，所以C 1 。
于是所求特解为2x1 x 2解：将y看成自变量，xe2367．求微分方程 2xy xy y 2满足初始条件y(1) 1 的特解。
u2u Cx2，2 2。
专业.专注2368．设e x施微分方程xy p(x)y x 的一个解，求此微分方程满足条件y(ln 2) 0 的特解。
解：将y e x代入原方程，xe x p(x)e x x ，解出p(x) xe x x 。
所以原方程为xy (xe x x)y x，解其对应的齐次方程，得y Cex e x。
所以原方程的通解为y e x Ce x e。
由y(ln2) 0，得C1e 2 。
故所求特解12。
2402．求微分方程1yy y4xy x的通解。
x21解：将原方程化为y4xx2 1y x y ，这是一个伯努利方程。
令z y，则原方程化为dz 2x xz 。
2dx x21这是一个一阶线性微分方程，解得z 1(x241)(C ln(x21)) ，所以原微分方程的通解为y z 21z16 (x21)(C ln(x21)) 2。
专业.专注xx2405．求微分方程 (1 e y)dx e y(1 x )dy 0的通解。
y解：将 y 看成自变量，则 x x(y)是 y 的函数。
由于原方程是齐次型方程，令 原微分方程化为ue u，e u1这是一个变量可分离的方程，解得所以原方程的通解为x yey所以，在 y 0 时，原方程为全微分方程。
令x yx)dx e y(1 )dy ，y由于此曲线积分与路径无关， 所以 u(x, y)就是全微分式 (1 e y)dx e y(1 x) dy的一个原 y函数，且xx(x,y)y y x(1 e y )dx e y(1 )dy(0,1) y0xyx1 e y(1 0)dy 0 (1 e y)dx 1 yxy 1x y(e y 1)xye yx 1。