中科院量子力学历年详解(phileas)
中科院量子力学超详细笔记 第四章 中心场束缚态问题
两个粒子的坐标，体现了它们运动之间的动力学关联。和经典力学十 分相似，量子力学中的两体问题也可以通过引入它们的质心坐标和相 对坐标1，把它们（作为整个体系）的质心运动和彼此相对运动这两部 分运动分离开。也即令（“Jacobi 坐标”的特例）
v v v m1r v v v 1 + m2 r2 R= ，r = r2 − r1 m1 + m2
v v V = V (r1 − r2 )
最后，孤立体系本来并没有绝对方向（或优先方向），在没有外场破 坏空间各向同性的情况下，势再简化成为只与粒子间连线长度有关，
v v V = V (| r1 − r2 |) ≡ V ( r )
有关分析详见§6.2 节。 v v 回到两体相互作用为 V = V (r 1 − r2 ) 的一般情况。这时量子力学中的 两体问题由下面哈密顿量决定
见郭敦仁 “数学物理方法” ， 第 279、 286、 287 页， 人民教育出版社， 1979 年。 此处的
Ylm (θ , ϕ ) 还有另一定义，与此处相差一个因子 ( − )
|m|− m l 2
i
，见朗道《量子力学》，第 112 页。பைடு நூலகம்79
⎛ l = 0, 1, 2,L ⎞ ⎜ ⎜ m = −l , L,−1, 0, 1, L , l.⎟ ⎟ ⎝ ⎠
77
v 许多常见的，如库仑势和各向同性谐振子情况下， V (r ) 可以简化 成相对于坐标原点为各向同性的中心势 V (r ) 。 将方程(4.4)中描述相对运 v 动 ψ (r ) 的方程中 E − E R 改记为 E 并略去 Δ(r ) 顶标，相对运动方程成为
h2 v v Hψ (r ) = Eψ (r ), H = − Δ + V (r ) (4.5) 2μ v v 在绕原点的转动变换下， 正如 r 2 = r ⋅ r 一样， Δ = ∇ ⋅ ∇ 也表现为一个标量，
中科院量子力学超详细笔记
+ (hν )2 + (
′)2 − 2h2νν ′ = m2c4 hν ′)2 − 2h2νν ′ cosθ
+ m02c4 = m2c4
− 2mm0c − m02c4
4
后者减前者，得
( ) 2h2νν ′(1− cosθ ) = 2mm0c4 − 2m02c4 = 2m0c2 mc2 − m0c2
的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。
《光电效应问题》 自 1887 年 Hertz 起，到 1916 年 Millikan 为止，光电效应的实验 规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经典物理学所理解的实验事实 有： 反向遏止电压(和逸出电子的最大动能成正比)和入射光强无关； 反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系； 电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。 它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电子
射在金属表面的波场是一种微粒集合。沿着这一思路前进，人们甚至
可以引入光子的“有效”质量 m∗ ，即
m∗ = ε = hν c2 c2
于是，若在重力场中，一个光子垂直向上飞行了 H 距离，其频率要由
原来的ν 0 减小为ν :
hν 0
=
hν
+
hν c2
gH
，从而 ν
<
ν0
这说明垂直向上飞行的光子，其频率会产生红移1。这一现象在 1960
样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这个弛豫时间很短，
它不大于10−9 秒。为了解决这些矛盾，1905 年，Einstein 在 Planck 的 能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出了光量子概念，并指出
光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电子的逸出。他的光电效应
量子力学经典八十题(推荐版本)【含答案】
ψ
nxnynz
(x,
y,
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
8 abc ,
sin
nxπx a
sin
nyπ b
y
sin
nzπ c
z
, 0 < x < a,0 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
n = 1, 2,3,""
9. 粒子在一维 δ 势阱
V (x) = −γ δ (x) (γ > 0)
中运动，波函数为ψ (x) ，写出ψ ′(x) 的跃变条件。
8. 写出三维无限深势阱
V (x,
y, z)
=
⎧0 , 0 < x < a , 0 ⎩⎨∞ , 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
1
量子力学复习题答案（安徽大学）
中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为
+ + Enxnynz
=
= 2π 2 2m
⎜⎛ ⎜⎝
n
2 x
a2
n
2 y
b2
n
2 z
⎟⎞
c 2 ⎟⎠
∑ ψ (x) = cnψ n (x) ， n
写出展开式系数 cn 的表达式。
解：
∫ cn = (ψ n (x) ,ψ (x)) =
ψ
* n
(
x)ψ
(
x)
dx
。
29.
一个电子运动的旋量波函数为
中科院量子力学历年详解(phileas)
v v vi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17
1.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 详解 2.1 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
2.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 四川大学量子力学入学试题 A.1 2010 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 2009 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 2010 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 2009 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
中科院量子力学超详细笔记_第五章_量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r v ϕ、)(r vψ，定义内积r d r r vv v )()(),(ψϕψϕ∗∫=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r vψ时，找到粒子处在状态()r vϕ的几率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符$U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ−U存在，使得I U U U U ==−−11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式左边决定),ˆ()ˆ,(ψϕψϕ+=A A(5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ−+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ−U 存在，假定取ψψϕϕ11ˆ,ˆ−−=′=′U U ，则有 ()),ˆ)ˆ((ˆ,ˆ),()ˆ,ˆ(),(1111ψϕψϕψϕψϕψϕ−+−−−==′′=′′=U U U U U U所以I U U=−+−11ˆ)ˆ( 由于11)ˆ()ˆ(−++−=U U，上式即 I U U=+ˆˆ 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
1这里强调了$U−1既是对$U右乘的逆又是对$U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符$U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为$U−1。
2020年中科院811量子力学考研真题解析讲义
(3) 用升降算符和基态波函数描述第一激发态；
（4）对于三维谐振子，第一激发态三重简并，此时受微扰 H bxˆyˆ ，微扰矩阵可写成
H
b 2m 2
0 1 0
1 0 0
0 0 ，写出能级分裂. 0
中国科学院大学
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一．考虑一维束缚态，
（1）证明 (x, t) (x, t) 不随时间变化，此时的 不必是定态；
（球谐函数： Y00
1, 4
Y10
3 4
cos
,
Y11
3 sin ei 8
）
1
(1) 求粒子的总角动量；
(2) 求角动量 Lˆz 的期望值及测得 Lz 的概率；
(3) 求发现粒子在 ( ,) 方向上 d 立体角内的概率.
四 ． (1) 一 个 电 子 在
H aˆ1z bˆ2z c0ˆ1 ˆ2 ，其中 a, b, c0 为常数，ˆi 为泡利算符，前两项为粒子处于磁场
中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用能，求系统能级.
五．考虑一维谐振子的哈密顿量为 Hˆ pˆ 2 1 k xˆ2 ： 2m 2
（1）用不确定关系计算体系能量下限；
20 同样插入完备性公式：
eipˆ / x eipˆ / p dp p x
1 2
ei( x) p /
(NEW)中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为 /2的粒子，它们 按如下自旋相关势
相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而 （i=l，2）为 分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。
。算符 ， 与升降算符之间的关系为：
其中
。对于体系基态，相关的平均值为：
所以，
，
最终得到：
。 4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
解：（a）矩阵A的转置共轭为：
因此，矩阵A为厄米矩阵。 （b）Pauli矩阵分别为：
令
，则 ， 与哈密顿量对易。对于 ，此结果是显然的。对
于，
体系的角动量 显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组 即为体系的一组可对易力学量完全集。
（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写 为：
其中 为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数 首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部 分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量 完全集的本征函数：
目 录
2014年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2013年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2012年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2011年中国科学技术大学809量子力学 考研真题
量子力学真题
中国科学院量子力学真题一、回答下列各问题（共30分）1．计算对易关系ˆ,L μν⎡⎤⎣⎦，其中,,,x y z μν=。
（4分） 2．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态和负宇称态（3分）3．粒子自旋处于/2z s =的本征态10α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求x s 和y s 的不确定关系：?=。
（5分） 4．粒子在宽为a 的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。
（3分）5．写出电子自旋z s 的二本征值和对应的本征态。
（2分）6．设粒子处于(,)lm Y θϕ状态下，求2()x L ∆和2()y L ∆（6分）7．计算下列对易式2(1),?(2),?d d x x dx dx ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
（4分） 8．何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？给出光学定理的表达式并说明它的意义。
（3分）二、（共10分）两个自旋1/2、质量为m 的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，并指出简并度。
三、（共20分）已知氢原子在0t =时处于状态21311112(,0)()()()000333r r r r ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ψ=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中，()n r ψ为氢原子的第n 个能量本征态。
求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0t >的波函数。
四、（共20分）一个一维无限深方势阱如图所示，在x =0和x =L 处有两个无限高壁，两个宽为a ，高为0V 的小微扰势垒中心位于/4x L =和3/4x L =处，a 是小量（例如/100a L ）。
试用一级微扰论计算修正后的基态能量值及2n =和4n =的能级差。
五、（共20分）在0t =时，处于势2212V x m x ω=（）中的粒子，由波函数,0()n n x x ψψ∑n （）=A描述，n ψ是能量本征态，()n n nn ψψδ''=，求（1） 归一化常数A ；（2） 给出0t >时，,x t ψ（）的表达式；（3） 证明2,x t ψ（）是一个周期函数，求出其最长的周期；（4） 求出0t =时，体系能量的平均值。
量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析
量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。
[中国科学院2006研]【解题思路】利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。
【解析】根据不确定原理有即因为所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。
令由得出所以基态能量为【知识储备】若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。
对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。
若[F，G]≠0，则有不确定关系或经常使用的关系式21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。
[中国科学院2006研]【解题思路】理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。
【解析】根据含时薛定谔方程令带入可得即上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得和所以对于令所以因此当时，相对于一维自由平面波函数，使得波函数是自由平面波随时间做改变的形式。
【知识储备】 薛定谔方程：波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
其中，整个定态波函数的形式为一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。
【拓展发散】当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。
22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且；（2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
ˆ和J ˆ 间夹角的可能值，并画出 L ˆ和S ˆ, S ˆ 的矢量模型图。 (3) 确定（2）中 L 五、求在一维常虚势场 iV (V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并证明虚 势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示） 。
试题名称：1990 量子力学（实验型） 第1页 共1页
试题名称：1992 量子力学（理论型）
第1页
共1页
6
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
中科大03-07量子答案
中国科学技术大学2003年硕士学位研究生入学考试试题解析考试科目：量子力学一．【解答】对于一些定义性的题目,首先一定要结合自己的知识深刻把握题目中给出的定义, 然后按照其定义来解答题目就行。
对于本题来说,你要明确什么是厄密算符,厄密算符是满足一定关系的算符即(,)(,)A A φϕφϕ= 或A A += , 所以只要证明算符A a a =满足上述关系就能证明其是厄密的,然后再根据正定算符的定义来证明其是正定算符, 则题目解答完毕. 证明如下：1．设有任意矢量u ,v 则***u A v u a a v a v u a v aa u v A u ==== 厄密20u A u u a a u u a ==≥ 正定2．因为 ()()A A A A A A ++++++== ,即A A +满足厄密算符的定义,故其为厄密的。
再证明其正定性, 取A u w =, 则0u A A u w w +=≥, 即其也为正定算符！设n 为一表象的正交完备态集, 则有 ()nTr A A n A A n ++=∑, 再利用态的封闭性1nnn =∑, 得()nmTr A A n A m m A n ++=∑∑,2,0m nm nn A m m A nn A m+==≥∑∑当且仅当矩阵元0m A n =时等号才会成立, 这等价于算符关系式0A =。
3．对于这一类型的题目没有什么诀窍可言，只是我们平时遇到的多了，自然而然就知道该如何着手去解答了，通常情况下这种类型的题目都是简单的数学推导，只不过中间再加点量子力学的算符特点而已。
令函数()Ax Bxf x e e =， 并对x 求微分得：Ax Bx Ax Bx fAe e e Be x∂=+∂()()A xB x A x A x A xB xA xA xA e e eB ee eA eB e f x --=+=+利用公式 2[,][,[,]]...2!xAxAx e BeB x A B A A B -=+++ ,由于题目中已经给出[[,],][[,],]A B A A B B == ，故 [,]xA xA e Be B x A B -=+所以{}()[,]()fA B x A B f x x∂=++∂ 21ln ()()[,]2f x A B x x A B c =+++， c 为常数。
2013年中科院811量子力学考研真题解析讲义
eax2 dx
,a 0） a
（1）求 t 0 时刻动量表象波函数~(k, t) 及粒子动量几率分布 (k, t) .
（2）求 t 0 时刻波函数 (x, t) ,以及坐标位置几率分布 P(x, t) .
（3）简述粒子动量几率分布 (k, t) 及位置几率分布 P(x, t) 随时间演化的特性.
中国科学院大学
2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试参考答案
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一．质量为 的粒子在无限深球方势阱
V
(r)
0
ra ra
中运动，
（1）写出径向波函满足的方程.（ 2
1 r
2 r 2
r
lˆ2 2r2
）
（2）求其中 l 0 的归一化能量本征函数和能量本征值.
二．考虑一质量为 的自由粒子的一维运动，设初始时刻波函数为
( x,0)
(
) e 1/ 4 ik0x
x2 / 2 ，（
k0
，
为实常数；
从而
k n ， a
能级
En
2 2
k2
2 2
( n a
)2
，
Rn (r)
A sin( nr ) ra
总的波函数
n00 (r, , )
Rn (r)Y00 ()
A sin( nr ) ， ra
归一化：
a 0
A2 r2
量子力学答案课后 习题答案详解(周世勋)
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学 中科大课件 Q6讲稿 第六章 对称性分析和应用
量子力学中科大课件 Q6讲稿第六章对称性分析和应用第六章对称性分析和应用§6.1 一般叙述1，对称性的含义对称性含义有广义和狭义两种：广义来说，Einstein说，“自然界最不可理解的就是它竟然是可以理解的！”追求和理解自然界最深层次的对称性一直是物理学发展的主旋律之一。
常常是对某种基本对称性的信念，激励人们去发展物理学。
Weyl说：“对称性是这样一种意念，人们长年累月地试图以它去理解并创造秩序、美和完善。
”狭义来说，给定系统的某种对称性是指某种不可分辨性，是对某种属性的不可观测。
这就是说，在某种操作或变换下系统依然保持不变，表现为系统的Hamilton量在这些变换下保持不变。
一般说，不同体系所具有的对称性不一定相同。
但是，所有使体系全部物理性质保持不变的对称变换，必定构成此体系的一个对称群。
研究对称性的意义：第一，构造发展理论。
按Heisenberg的观点，“必须寻找的是基本对称性”。
第二，增强物理直觉，利于迅速抓住问题要点，化简提法。
第三，简化一些计算。
不经求解dingerSchr 方程即可得到态及本征o值的某些知识。
包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。
2,量子力学中的对称性134无论就对称性的种类和程度来说，QM的对称性都高于CM中的对称性。
CM中存在的对称性QM中也都对应存在，如时间、空间的均匀、各向同性对称性；而且，QM还存在一些CM中所没有的对称性，如全同性原理、同位旋对称性。
然而，个别对称性除外，弱等效原理这种对称性在CM中存在，但在QM中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。
这是说，弱等效原理被量子涨落所破坏。
QM中常见的对称性有一些是普遍存在的基本对称性，有一些则是特殊系统才具有的特殊对称性。
从另一角度来说，有一些是严格成立的对称性，有一些则是近似成立的对称性。
QM中的时间均匀性、空间均匀性、空间各向同性、同类粒子的全同性原理（或交换对称性）是普适的、严格成立的基本对称性；而空间反射不变性、时间反演不变性对大部分情况都严格成立，可算是基本对称性，但毕竟不是普适的。
量子力学解答(6章)
量子力学解答 (钱伯初<量子力学>)
Chap6 定态微扰论与变分法
6-1 某物理体系只有两个能级。在H0表象中H的矩阵元表示为：
⎛ E1( 0 ) + a H = H0 + H ′ = ⎜ ⎜ b ⎝
b E
kh
n = 1,2,3
da
⎧V x / a, 0 < x < a V ( x) = ⎨ 0 x ≤ 0, x ≥ a ⎩∞,
w.
co
m
即精确到b2时结果完全一样。
解：由轨道角动量的本征值方程： L Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)h Ylm (θ , ϕ ) ，可得：
2 2
H 0Ylm (θ , ϕ ) =
w.
E = E± =
1 (0) (0) ( E2 + E1( 0) + 2a ± ( E2 − E1( 0 ) ) 2 + 4b 2 ) 2
kh
da
E1( 0) + a − E b
b =0 +a−E
w.
， ，
1
解：能级的精确解由久期方程给出：
E1 = E1( 0 ) + E1(1) + E1( 2) = E1( 0 ) + a +
(0) (1) ( 2) E2 = E2 + E2 + E2 = E1( 0 ) + a −
） ： 为了比较，将精确解展开（b<<（E2(0)-E1(0)）
co
a,b为实数，并且远小于（E2(0)-E1(0)）.试求能级的精确值。再按微扰论公式写出能级（二级 近似） 。比较两种结果。
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2.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 四川大学量子力学入学试题 A.1 2010 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 2009 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 2010 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 2009 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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中科院量子力学历年试题详解 23 29 33 37 42 46 51 55 59 62 65 69 71 73 73 75 77 83
2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006 甲 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006 甲 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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参考资料
• 1990-2010 量子力学试题及参考答案集 -中国科学院（使用版）–Schrödinger’s Kitten 【主要试题来源，及参考，感谢无私奉献！ 】 • 陈鄂生量子力学习题与解答 【是“量子力学基础教程” （陈鄂生，山东大学出版社，2007）的配套书。也绝版了，淘宝 有卖。收录了很多大学研究生入学考试的题目。是主要试题来源，及参考！ 】 • 物理学大题典（卷 6 量子力学）/张永德主编.–北京：科学出版社；合肥：中国科学技术 大学出版社，2005 【内容丰富！前身是，美国物理试题与解答 量子力学第六卷，这个早就绝版了，不必苦苦 寻找这个了，看《题典》就行了。 】 • 量子力学习题精选与剖析（第三版）/钱伯初，曾谨言著.–3 版. 北京：科学出版社，2008 【简称《曾题集》 】 • 量子力学学习指导 /张鹏飞，阮图南，朱栋培，吴强编著.–合肥：中国科学技术大学出版 社，2008.4（2009.8 重印） 【简称《指导》 】 • 量子力学 卷 I/曾谨言 著.—4 版. –北京：科学出版社，2007 【简称《曾书》 】 phileaslean@ v 目录 返回
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中科院量子力学历年试题详解
致谢
• 感谢我的堂兄，是他在我电脑被偷后送给我电脑！
A • 感谢 Clerk Ma，是他在我的 L TEX 的使用上提供了许多帮助！
• 感谢 Schrödinger’s Kitten 无私发布其文档，他的文档是本文档的重 要来源、参考、动力！ • 感谢 Dirac chen 提供他自己的 11 解答！ • 感谢 Ubuntu，TEX 2011，TEX works，文鼎字体，文泉字体；没有这 些开源免费项目，本文档也是很难实施的。
献给我的父母和我的妹妹
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CHAPTER
1
试题
• 数学形式（或表述、符号）也重要 数学上选好何种形式对问题的简化也是挺重要的。好的数学形式，能突出问题的重点， 在繁杂的数学公式中，能提供好的思路。所以证明过程中，在步骤上应以突出重点与思 路为主，其他的旁支的结论可以另外证明后，直接引用。例如，在位力定理的证明过程 中， [r · p, p2 ] , [r · p, V (r)] ，这种步骤中小证明应该单独拿出。另一个比较鲜明的例子 见：2006 年甲 B 第二题。就符号而言，狄拉克符号堪称经典。
1
1.1. 2011
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.1
一、
2011
（1）氢原子基态的能量为 −13.6V ，那么第一激发态的氢原子电离能为： （） A.13.6eV B.3.9eV C.7.8eV D.2.5eV
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phileas May 2, 2012
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说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 参考资料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 致谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 试题 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006 甲 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006 甲 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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