2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第四节简单三角函数的恒等变换 理

第四节 简单三角函数的恒等变换

知识梳理

一、将二倍角公式变形可得到的公式

1．降幂公式：sin 2α＝ __________ ，cos 2

α＝_________，sin αcos α＝_________. 2．升幂公式：1＋cos α＝____________， 1－cos α＝____________.

答案：1.1－cos 2α2 1＋cos 2α2 12sin 2α 2.2cos 2α2 2sin 2α

2

3．半角公式：sin

α

2

＝± 1－cos α2，cos α

2

＝± 1＋cos α2，tan α

2

＝± 1－cos α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α

1＋cos α

.

注意：等号后的正、负号由α

2

所在的象限决定．

二、辅助角公式

a sin x ＋

b cos x ＝a 2＋b 2·sin ()x ＋φ，其中sin φ＝

b a 2＋b

2

，cos φ＝a

a 2＋

b 2

，

即tan φ＝b

a

.

基础自测

1．已知cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos x －π3＝( )

A ．－233

B ．±23

3

C ．－1

D ．±1

解析：∵cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，∴32cos x ＋12sin x ＝－33，

∴cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3

2cos x ＋32sin x ＝332cos x ＋12sin x ＝3×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－33＝－1.

故选C.

答案：C

2．函数f (x )＝sin 2

x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π4，π2上的最大值是( )

能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆.

A ．1 B.1＋32 C.3

2

D ．1＋ 3

答案：C

3．(2013·无锡联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4－α，则sin

2α等于________．

解析：由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α)，

由α为锐角知cos α＋sin α≠0.∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝1

2

.∴sin

2α＝12

.

答案：1

2

4．已知tan ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．

解析：由tan ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan

π

41－tan x tan

π4

＝2，得tan x ＝13，tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝34， 故tan x tan 2x ＝13×43＝49

.

答案：4

9

1．(2012·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )

A ．－1

B ．－22 C.2

2

D ．1

解析：(法一)∵sin α－cos α＝2，

∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 2. ∴sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴α＝3π4. ∴tan α＝－1.故选A.

(法二)∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2

＝2， ∴sin 2α＝－1.

∵α∈(0，π)，∴2α∈(0,2π)．

∴2α＝3π2.∴α＝3π

4

.

∴tan α＝－1.故选A.

答案：A

2. (2013·天津卷)已知函数f (x )＝－2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．

解析：(1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π

4

＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x

－2cos 2x ＝22sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π

2

＝π.

(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8

，π2上是减函数．又f (0)＝－2，

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.

1．若直线x ＝t 与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和y ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象分别交于P ，Q 两点，则|PQ |的最大值为( )

A ．2

B ．1 C. 3 D. 2

解析：依题意有|PQ |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4－cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2t ＋π4＝2|sin 2t |≤ 2.故选D. 答案：D

2．若1＋tan θ1－tan θ＝2 015，则1cos 2θ＋tan 2θ＝________________.

解析：1cos 2θ＋tan 2θ＝1cos 2θ－sin 2θ＋tan 2θ＝sin 2θ＋cos 2

θ

cos 2θ－sin 2

θ＋tan 2θ ＝tan 2θ＋11－tan θ＋2tan θ1－tan θ＝θ＋2＋tan θ－tan θ＝1＋tan θ1－tan θ＝2 015. 答案：2 015