2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第四节简单三角函数的恒等变换 理
简单的三角函数恒等变换公式
简单的三角函数恒等变换公式
1三角函数恒等变换公式
三角函数恒等变换公式是数学中重要的公式之一，它可以帮助我们通过将一组简单的数学公式转换为其他相关的数学公式。
恒等变换的基本原理是，当两个函数在同一象限上具有相同的角度时，它们的值是相等的。
那么，我们可以把一个函数表达式中代表角度的变量替换成另一个函数表达式中代表角度的变量，从而得到一个新的公式。
最常用的三角函数恒等变换公式如下：
sin x=cos(90-x)；
cos x=sin(90-x)；
tan x=cot(90-x)；
cot x=tan(90-x)。
这些公式可以帮助我们用比较简单的方法计算三角函数的值，从而节省时间。
例如，我们要计算sin15°的值，可以利用公式sin x=cos(90-x)，将15°代入，得出cos75°，最后根据75°的三角函数值表，就可以得到sin15°的结果。
总之，三角函数恒等变换公式是一种非常实用的数学公式，我们可以利用它来快速进行简单的三角函数计算，减少计算量并节省时间。
高考数学一轮复习 第3章《三角函数》简单的三角函数恒等变换课件
考点分析
1.积化和差公式 cosαcosβ= sinαsinβ= sinαcosβ= cosαsinβ=
1cos()cos-()
2
;
1cos()cos-()
2
;
1sn i()s i n-()
2
;
1sn i()s i n-()
2
.
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2.和差化积公式
sinα+ sinβ= sinα- sinβ=
2 2 2 2
22
cos 3x cos x
cos 3x cos x
22
22
sin cos
3x
2 3x
sin
cos
x
2an
x 2
2
2
【评析】这两种不同的证法也体现了证三角恒等式的
方法：由左到右和由右到左的基本方法，当然也可以“左
右开弓”，但要注意一定要得到统一的形式才可以.
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【分析】用诱导公式及逆用两角和差的正、余弦 公式，将70°,10°,40°化成与20°有关的角,约分求解.
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【解析】
cos20 sin20
cos10
3 sin10 tan70 - 2cos40
cos20 cos10 sin20
3 sin10 sin70 cos70
- 2cos40
)
2
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【评析】在用和差化积公式化简三角函数表达式时, 要合理运用同角三角函数的基本关系式、三角函数的 诱导公式以及和角、倍角和半角公式，还应尽量向特 殊角的三角函数转化.另外，三角函数表达式的化简和 求值问题对最终结果的要求是相同的，即：项数尽量 少，次数尽量低，尽量不含分母，尽量不含根式，能 求值的要求出值来.
2015年高考数学总复习新课标课件：第三章
第二十六页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
(1)三角函数的奇偶性的判断技巧： 首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求 三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义． ②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周
第五页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
1．函数 y＝tanπ4 －x的定义域是( D )
A.x|x≠π，x∈R
4
B.x|x≠－π，
x∈
R
4
C.x|x≠
kπ－3π，k∈Z，x∈ 4
R
D.x|x≠
kπ＋3π，k∈Z，x∈ 4
R
第六页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
2．函数 y＝|sin x|的一个单调增区间是( C )
第三页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
函数
最值
奇偶性 对称
对 中心 称 性 对称
轴 周期
y＝sin x
y＝cos x
x＝_π2_＋__2_k__π_(_k_∈__Z_)
时， ymax＝ 1；
x＝－_π2_＋__2__k_π_(_k_∈__Z_ )
时， ymin＝－ 1
x＝_2_k_π_(_k_∈__Z__) __
第三章 三角函数、解三角形
第5课时 三角函数的图象和性质
第一页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
三角函数的图象和性质
函数 y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义 域
x∈R
x∈R
{x|x∈R 且 x≠π＋ 2
kπ，k∈Z}
第二页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
三角函数恒等式
三角函数恒等式三角函数是数学中重要的概念之一，常用于解决与角度和三角形相关的问题。
而三角函数恒等式则是三角函数中的一类特殊等式，它们在数学推导和证明中起到重要的作用。
本文将详细介绍三角函数恒等式的概念和一些常见的恒等式，并给出一些有关恒等式的证明和应用的例子。
首先，让我们来了解一下三角函数恒等式的定义。
在三角函数中，我们通常会遇到诸如sin、cos、tan等函数，它们都与角度有关。
那么，三角函数恒等式就是对于任意给定的角度，恒成立的等式。
也就是说，对于所有的角度x，等式左侧和等式右侧的值始终相等。
接下来，我们将介绍一些常见的三角函数恒等式。
首先是最基础的三角函数恒等式之一，即平方恒等式。
对于任意角度x，有sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
这个等式表明，一个角的正弦函数的平方加上它的余弦函数的平方始终等于1。
这个恒等式在解决三角形相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算三角形的边长和角度等信息。
接下来是正切函数的倒数恒等式。
对于任意角度x，有tan(x) =1/cot(x)。
这个恒等式表明，一个角的正切函数等于它的余切函数的倒数。
这个恒等式在计算有关角度的问题时经常被使用。
此外，还有一些三角函数恒等式涉及到多个三角函数之间的关系。
例如，对于任意角度x，有cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)。
这个恒等式将角的余弦函数与角的正弦函数进行了关联，通过它我们可以将一个角的余弦函数表达为两个角的正弦函数的差。
值得一提的是，三角函数恒等式的证明通常需要使用代数运算和三角函数的基本定义，以及一些角度的和差公式和倍角公式等等。
在证明某个三角函数恒等式时，我们需要利用已知的恒等式或者定义，将等式的一边转化为与之等价的形式，最终证明等式的两边相等。
三角函数恒等式在解决数学问题、物理问题和工程问题中起到重要的作用。
在求解三角函数的值和计算三角函数相关量时，我们可以通过利用已知的恒等式将问题转化为更简单的形式。
简单的三角函数恒等变换讲解
年级 高一学科数学内容标题 简单的三角函数恒等变换 编稿老师褚哲一、学习目标：1. 了解积化和差、和差化积的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化.2. 能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明.二、重点、难点：重点：三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.难点：公式的灵活应用.三、 考点分析：三角函数的积化和差与和差化积这两种转化，对于三角函数式的求值、化简及恒等变形都有一定的作用，积化和差公式的推导运用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导运用了“换元”思想.高中阶段对这两组公式的教学与考查，只是将其作为基本的训练素材，结果不要求记忆，但同学们要注意体会并能运用它们进行简单的三角变换.三角函数的积化和差与和差化积公式 1、公式的推导())(sin cos cos sin sin βαβαβαβα++=+S ， ())(sin cos cos sin sin βαβαβαβα--=-S ， ()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ+=-+，C()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ-=+-，C()()()()S S S S αβαβαβαβ+-+-+-， ()()()()C C C C αβαβαβαβ+-+-+-，得()()()()()()()()sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-=+--=++-=+--=-2222即()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin （1）()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos （2） ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos （3）()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin （4）公式（1）（2）（3）（4）叫做积化和差公式.其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积.为了用起来方便，在积化和差的公式中，如果令ϕβαθβα=-=+，，则22ϕθβϕθα-=+=，.把这些值代入积化和差的公式（1）中，就有()ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθsin sin 2122sin 22sin 212cos2sin +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+· 2cos2sin 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+·∴ （5） 同理可得，2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-· （6） 2cos2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+· （7） 2sin2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-· （8）公式（5）（6）（7）（8）叫做和差化积公式.其特点为：同名函数的和（或差）才可化积；余弦函数的和或差化为同名函数之积；正弦函数的和（或差）化为异名函数之积；等式左边为单角θ与ϕ，等式右边为θϕ+与θϕ-的形式.牢记两组公式的区别与联系，才能正确使用.2、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中虽然公式较多，但它们都不是孤立存在的.另外，弄清公式的来源及其内在联系，才能更好地记忆和使用它们.例1：把下列各式化为和差的形式.（1）ππ125cos12sin⋅（2）︒⋅︒55sin 35cos 2（3）()()y x y x +⋅-cos cos . 思路分析：利用积化和差公式解题. 解题过程：（1）方法1：sincos ππ12512· 4321231213sin 2sin 2112512sin 12512sin 21-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππ方法2：125cos 125cos 125cos 125cos12sin2πππππ=⋅=⋅ 4321223126cos 1265cos 1-=-=-=+=ππ （2）︒⋅︒55sin 35cos 2()()︒+=︒+︒=︒-︒-︒+︒=20sin 120sin 90sin 5535sin 5535sin （3）方法1：()()y x y x +-cos cos ·()()y x y x y x yx y x yx y x y x y x y x y x 2cos 212cos 2122cos 122cos 122cos 122cos 122cos 122cos 1cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos 222222+=-⋅--+⋅+=---⋅=⋅-⋅=-+=·方法2：()()y x y x +⋅-cos cos()()[]()()[]{}()[]y x y x y x y x y x y x 2cos 212cos 212cos 2cos 21cos cos 21+=-+=+--+++-=解题后思考：（1）只有牢记积化和差公式，解题时才能正确使用.（2）如求8sin8sin⋅的值，可不用积化和差公式，用二倍角公式也可求值， 即424sin 218cos 8sin 83sin8sin==⋅=⋅πππππ例2：把下列各式化成积的形式.（1）cosx -12； （2）sin cos x x +.思路分析：只要将以上两题稍作变形，如将题（1）中的12换成3cos π，题（2）中的cosx 看作()x -︒90sin ，即可直接应用公式进行化积. 解题过程：（1）cos cos cos x x -=-123π⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⋅+-=62sin 62sin 223sin23sin2ππππx x x x （2）方法1：()x x x x -︒+=+90sin sin cos sin()()ox x 45cos 245cos 45sin 2-=︒-⋅︒=方法2：sin cos sin cos x x x x +=+⎛⎝ ⎫⎭⎪22222()()︒-=⋅︒+⋅︒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=45cos 2sin 45sin cos 45cos 2sin 22cos 222x x x x x 解题后思考：（1）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式，因此题（1）中的12可化为cosπ3，题（2）中的x cos 可化为()x -︒90sin .（2）对于形如x b x a cos sin +，可化为()ϕ++x b a sin 22的形式，也能达到实现和差化积形式的目的.例3：求值：（1）︒︒+︒+︒80cos 20sin 380cos 20sin 22； （2）csc40°+cot80°.思路分析：最常见的方法是降幂扩角及积化和差公式的应用，但对偶式的应用可能会使问题变得更简单.解题过程：（1）sin cos sin cos 22208032080oooo++()()=-+++=+-+-=-+-=-+=14021160232080112160403210060110060321003414321003210014cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin sin sin sin o oo oo o o oo o o o o· （2）︒︒+︒=︒+︒80sin 80cos 40sin 1cot80csc40 ︒︒+︒+︒=︒︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos 80sin 80cos 40cos 2 ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos ︒︒︒=︒︒+︒=80sin 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos 330cos 2=︒=解题后思考：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题（1）的解题过程对这一点展现得淋漓尽致；题（2）巧妙地运用了对偶式，使解答变得简单.这种方法也可以解形如cos cos cos 204080ooo的求值题.思路分析：本题的解法具有一定的技巧性，可以用二倍角公式引起连锁反应，也可用积化和差公式解题.解题过程：方法一：sin6°sin42°sin66°sin78°()()︒-︒⋅︒-︒=120cos 36cos 2172cos 60cos 21⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-=36cos 2172cos 2141 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒︒-︒-︒+=72cos 36cos 72cos 36cos 2141161 ()︒︒-︒︒+=72cos 36cos 18sin 54sin 41161 ()16118sin 54sin 18sin 54sin 41161=︒︒-︒︒+= 方法二：sin6°sin42°sin66°sin78°︒︒︒︒︒︒=6cos 248cos 24cos 12cos 6cos 6sin 2︒︒︒︒︒=6cos 248cos 24cos 12cos 12sin ︒︒︒︒=6cos 448cos 24cos 24sin 1616cos 1696sin 6cos 848cos 48sin =︒︒=︒︒︒=解题后思考：积化和差、和差化积两套公式的运用灵活性较大.做题时既要注意公式的正确选择，还要认真考虑项与项之间的适当组合.三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数运算中起什么作用，和差化积公式在三角函数运算中就起什么作用.积化和差与积差化和是一对“孪生兄弟”，两者不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.在一般情况下，如遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.（答题时间：45分钟）一、填空题1. 已知1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+= . 2. 已知3tan(),πα-=-则，则sin cos αα= . 3. 积⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπα32cos 32cos cos 化成和差为 . 4. ︒︒+︒︒50sin 10sin 70cos 20sin 的值是_______________.5. 在∆ABC 中，3sin 463cos 41A B A B +=+=cos sin ，，则∠C 的大小为________.二、解答题1. 已知 51cos sin ,02=+<<-x x x π. （1）求sinx －cosx 的值；（2）求x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值. 2. 已知(0,)2α∈，(,)2βπ∈，cos 29β=-，sin()9αβ+=.（1）求cos β的值；（2）求sin α的值.3. 已知A 、B 、C 是△ABC 的内角，向量()3,1-m ，且1m n ⋅=（1）求角A ；（2）若221sin 2B3cos B sin B+=-.求tan C4. 是否存在锐角α和β，使得（1）322πβα=+；（2）32tan 2tan -=⋅βα同时成立，若存在，求出α、β的值，若不存在，说明理由.一、填空题1. 79-解析：22cos(2)2cos ()133ππαα+=+-，且1cos()sin()363ππαα+=-= 所以cos(2)39α+=-.2. 333. α3cos 414.415.6π 解析：由3sin 463cos 41A B A B +=+=⎧⎨⎩cos sin 平方相加得sin()sin A B C C +=∴=∴=1212656ππ或若C =56π则A B +=π613cos 4013-=>∴<A B A sin cos 又2131<∴>∴≠∴=A C C πππ3566二、解答题1. 解：（1）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得即2524cos sin 2-=x x .()2549cos sin 21cos sin 2=-=-x x x x . 又02<<-x π. 0cos sin ,0cos ,0sin <-><∴x x x x ，故.57cos sin -=-x x（2）xx x x x x xx x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2sin 22sin 3222++-=++-121108sin x cos x (2cos x sin x)()(2)255125=--=-⨯-=- 2. 解析：（1）因为(,)2πβπ∈，cos 0β<又27cos 22cos 19ββ=-=-，所以1c o s 3β=-（1）, 根据（1），得222sin 1cos 3ββ=-=,3(,)22ππαβ+∈， 且7sin()9αβ+=，242cos()1sin ()9αβαβ+=--+=-故 sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+=7142221()()93933⨯---⨯= 3. 解：（1）1=⋅n m ，216sin ,1cos sin 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∴πA A A6660ππππ5<-<-∴<<A A 66ππ=-∴A ，即3π=A（2）由题意知221sin 2B 3cos B sin B+=-，整理得0cos cos sin sin 222=-+B B B B 2cos 0,2tan tan 10B B B ≠∴+-=，即1tan 2B =或tan 1B =-即tan 1B =-时，使0sin cos 22=-B B ，舍去，21tan =∴B()[]()358tan tan 1tan tan tan tan tan --=-+-=+-=+-=BA BA B A B A C π4. 解：由πβα322=+得32πβα=+∴3tan 2tan 1tan 2tan2tan =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+βαβαβα，33tan 2tan 13tan 2tan -=⎪⎭⎫⎝⎛-=+βαβα∴tan α，βtan 是一元二次方程()032332=-+--x x 的两根,解得32,121-==x x , 由于420πα<<，所以12tan=α是不可能的，所以tanβ=1，322tan -=α,所以4,6πβπα==,所以存在锐角4,6πβπα==，使得（1）、（2）两个等式同时成立.。
高考数学一轮复习第三章第四讲简单的三角恒等变换课件
又 α∈(0，π)，所以－π4＜α－π4＜34π.
所以 α－π4＝π2.故 α＝34π.
因此，tan
α＋π3＝tan
34π＋π3＝1t－anta3n4π＋34πttaann
π 3π＝－11＋＋
3
3＝ 3
2－ 3.
【反思感悟】三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 a sin x＋b cos x 的形式.
(2)构造 f(x)＝
a2＋b2
a a2＋b2·sin
x＋
b a2＋b2·cos
x.
(3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)(其中 φ 为辅助
角).
(4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)研究三角函数的性质.
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
【高分训练】
(2)用辅助角公式变形三角函数式时： ①遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； ②遇高次时，要先降幂； ③熟记以下常用结论：
sin α±cos α＝ 2sin α±π4； 3sin α±cos α＝2sin α±π6； sin α± 3cos α＝2sin α±π3.
2.半角公式
(1)sin α2＝±
【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
答案：B
2015届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时 正弦定理和余弦定理第四章 (对应学生用书(文)、(理)53～54页)考情分析考点新知正余弦定理及三角形面积公式．掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.1. (必修5P 10习题1.1第1(2)题改编)在△ABC 中，假设∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，那么AC ＝________．答案：23解析：在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA ＝32×2232＝2 3.2. (必修5P 24复习题第1(2)题改编)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，那么A ＝________． 答案：60°解析：由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝60°.3. (必修5P 17习题1.2第6题改编)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，假设a ＝2bcosC ，那么此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a ＝2bcosC ，所以由余弦定理得a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，故此三角形一定是等腰三角形．4. (必修5P 17习题6改编)△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，那么∠C ＝________．答案：60°解析：cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∵ 0°＜C ＜180°，∴∠C ＝60°.5. (必修5P 11习题1.1第6(1)题改编)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，那么△ABC的面积为________．答案：43解析：∵cosC ＝13，∴ sinC ＝223，∴ S △ABC ＝12absinC ＝12×32×23×223＝4 3.1. 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．2. 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 或cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab.3. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P 〔P －a 〕〔P －b 〕〔P －c 〕，其中P ＝12(a ＋b ＋c)．[备课札记]题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. 解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°， ∴ sinA ＝32. ∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinCsinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsinCsinB ＝6－22.变式训练在△ABC 中，(1) 假设a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，那么b ＝________． (2) 假设b ＝3，c ＝2，C ＝45°，那么a ＝________．(3) 假设AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，那么∠A ＝________． 答案：(1) 22 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴∠A ＝45°或135°. 题型2 余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c .(1) 求角B 的大小；(2) 假设b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式〔教师专享〕(2014·某某期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，c ＝2，C ＝π3. (1) 假设△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 假设sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.题型3 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，判断三角形的形状．解：等式可化为a 2[sin(A －B)－sin(A ＋B)]＝ b 2[－sin(A ＋B)－sin(A －B)]， ∴2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA ，∴ sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0，∴ sin2A ＝sin2B.由0<2A<2π，0<2B<2π得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 为等腰或直角三角形．备选变式〔教师专享〕△ABC 中，b·cosC c ·cosB ＝1＋cos2C1＋cos2B ，试判断△ABC 的形状．解：由，得1＋cos2C 1＋cos2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b·cosCc ·cosB ， ∴cosC cosB ＝b c. 由正弦定理知b c ＝sinB sinC ，∴sinB sinC ＝cosCcosB .∴ sinCcosC ＝sinBcosB ，即sin2C ＝sin2B ，因为∠B 、∠C 均为△ABC 的内角．所以2∠C ＝2∠B 或2∠C ＋2∠B ＝180°，所以∠B ＝∠C 或∠B ＋∠C ＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型4 正弦定理、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且bcosB 是acosC 、ccosA 的等差中项．(1) 求B 的大小；(2) 假设a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由题意，得acosC ＋ccosA ＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC ＋cosAsinC ＝2sinBcosB ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosB. ∵ A ＋C ＝π－B ，0＜B ＜π， ∴ sin(A ＋C)＝sinB ≠0.∴ cosB ＝12，∴ B ＝π3.(2) 由B ＝π3，得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即〔a ＋c 〕2－2ac －b 22ac ＝12，∴ ac ＝2.∴ S △ABC ＝12acsinB ＝32.变式训练a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1) 求A ；(2) 假设a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c.解：(1) 由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理得sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0. 由于sinC ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A<π，故A ＝π3.(2) △ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1. (2013·某某)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，假设b ＋c ＝2a ，3sinA ＝5sinB ，那么角C ＝________．答案：2π3解析：根据正弦定理，3sinA ＝5sinB 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a5.令a ＝5t(t>0)，那么b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t＝－12，所以C ＝2π3.2. (2013·某某)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，那么△ABC 的面积为________．答案：3＋1解析：∵ b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，∴由正弦定理得b sin π6＝csin π4，解得c ＝2 2.又A ＝π－(B ＋C)＝7π12，S △ABC ＝12bcsinA ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.3. (2013·某某期末)在△ABC 中，假设9cos2A －4cos2B ＝5，那么BCAC＝________． 答案：23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.4. △ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，那么△ABC 面积的最大值为________． 答案：4＋42解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos45°，即16＝c 2＋a 2－2ac·cos45°， 那么有2ac －2ac·cos45°≤16，即ac ≤81－cos45°＝16〔2＋2〕2＝8(2＋2)．S max ＝12acsin45°＝24×8(2＋2)＝4＋4 2.1. (2014·某某一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且c ＝－3bcosA ，tanC ＝34.(1) 求tanB 的值；(2) 假设c ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由正弦定理，得sinC ＝－3sinBcosA ，即sin(A ＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB＋cosAsinB ＝－3sinBcosA.从而sinAcosB ＝－4sinBcosA.因为cosAcosB ≠0，所以tanAtanB＝－4.又tanC ＝－tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB tanAtanB －1，由(1)知，3tanB 4tan 2B ＋1＝34，解得tanB ＝12.(2) 由(1)，得sinA ＝25，sinB ＝15，sinC ＝35.由正弦定理，得a ＝csinAsinC ＝2×2535＝453.所以△ABC 的面积为12acsinB ＝12×453×2×15＝43.2. (2014·某某期末)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c＝b.(1) 求角A 的大小；(2) 假设a ＝15，b ＝4，求边c 的大小． 解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12c ＝b ，得sinAcosC ＋12sinC ＝sinB.∵ sinB ＝sin (A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ， ∴12sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝12.∵ 0<A<π，∴ A ＝π3.(2) 用余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4， ∴ 15＝16＋c 2－2×4×c ×12.即c 2－4c ＋1＝0. 那么c ＝2±3.3. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c.(1) 假设c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a 、b 的值；(2) 假设sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1) ∵ c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又△ABC的面积为3，∴12absinC ＝3，即ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sinAcosA ，即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·(sinA －sinB)＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0.当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.求： (1) △ABC 的周长； (2) cos(A －C)的值．解：(1) 因为c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2) 因为cosC ＝14，所以sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.所以sinA ＝asinC c ＝1542＝158. 因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78. 所以cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.1. (1) 两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2) 两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 在关系式中，假设既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．请使用课时训练〔B〕第7课时〔见活页〕.[备课札记]。
2015年高考数学总复习教案：3.6简单的三角恒等变换
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换(对应学生用书(文)、(理)51～52页)考情分析考点新知灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明．能运用三角函数各种公式进行恒等变换以及解决综合性问题.1. (必修4P115复习题7(2)改编)函数y＝3cos4x＋sin4x的最小正周期为________．答案：π2解析：y＝3cos4x＋sin4x＝2(32cos4x＋12sin4x)＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ6cos4x＋sinπ6sin4x＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫4x－π6，故T＝2π4＝π2.2. 在△ABC中，若cosA＝45，cosB＝513，则cosC＝________.答案：1665解析：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，cosA＝45＞0，cosB＝513＞0，得0＜A＜π2，0＜B＜π2，从而sinA＝35，sinB＝1213，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665.3. (必修4P113练习3(2)改编)已知cosθ＝45，且270°＜θ＜360°，则sinθ2＝________，cosθ2＝________．答案：1010－31010解析：∵270°＜θ＜360°，∴135°＜θ2＜180°.∴sinθ2＝1－cosθ2＝1－452＝1010；cosθ2＝－1＋cosθ2＝－1＋452＝－31010. 4. (必修4P 115复习题5改编)已知sin α＝35，α是第二象限角，且tan (α＋β)＝1，则tan2β＝________．答案：－724解析：由sin α＝35且α是第二象限角，得tan α＝－34，∵ (α＋β)－α＝β，∴ tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝7.∴ tan2β＝2tan β1－tan 2β＝－724.5. (必修4P 115复习题1(1)改编)已知sin2α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin 4α－cos 4α＝________． 答案：－255解析：sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝ －cos2α＝－1－sin 22α＝－255.三角函数的最值问题(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2. ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式． ③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝⎛⎭⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y)(cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式． ② y ＝asinx ＋c bsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋cbt(－1≤t ≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]题型1 三角形中的恒等变换例1 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin 2C 2＋cos C2＝2，求角C 的大小．解：由2sin 2C 2＋cos C2＝2，得2⎝⎛⎭⎫1－cos 2C 2＋cos C2＝2， 整理得cos C2⎝⎛⎭⎫2cos C 2－1＝0. 因为在△ABC 中，0<C<π，所以0<C 2<π2.所以cos C 2＝22⎝⎛⎭⎫舍去cos C 2＝0， 从而C 2＝π4，即C ＝π2.备选变式（教师专享）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB ＝3b .求角A 的大小．解：由已知，得2sinAsinB ＝3sinB ，且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sinB ≠0，∴ sinA ＝32，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ A ＝π3.题型2 角的构造技巧与公式的灵活运用例2 求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．解：(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝⎛⎭⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10°·(32cos10°－12sin10°)＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34. (解法2)设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12.因此2x ＝32，故x ＝34.变式训练求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值．解：sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos160°)＋3sin20°cos(60°＋20°) ＝1－12cos40°＋12(cos120°cos40°－sin120°sin40°)＋3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－12cos40°－14cos40°－34sin40°＋34sin40°－32sin 220°＝1－34cos40°－34(1－cos40°)＝14.题型3 三角函数的综合问题 例3 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋3sinxcosx(x ∈R )．(1) 求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2) 在△ABC 中，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，求sinB ＋sinC 的最大值．解：(1) f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx ＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.(2) 因为f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. 因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，所以sinB ＋sinC 的最大值为 3. 备选变式（教师专享）已知a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，设f(x)＝a·b . (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1) f(x)＝a·b＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx ＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f(x)的最小正周期T ＝π. (2) ∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)有最小值－1.1. (2013·苏州期末)已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos (2θ－15°)＝________．答案：17250解析：因为θ为锐角，且sin (θ＋15°)＝45∈⎝⎛⎭⎫22，32，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos (2θ＋30°)＝1－2sin 2(θ＋15°)＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725，从而sin (2θ＋30°)＝1－cos 2（2θ＋30°）＝2425，所以cos (2θ－15°)＝cos [(2θ＋30°)－45°]＝cos (2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250. 2. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2·cos(x ＋π6)的最小正周期为________．答案：π解析：∵ f(x)＝－sinx ·(32cosx －12sinx)＝ 14－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴ T ＝π. 3. 计算：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________．答案：12解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.4. 设α、β∈(0，π)，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．答案：－1665解析：∵ tan α2＝12，∴ tan α＝2tanα21－tan2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，而α∈(0，π)，∴ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.由tan α＝sin αcos α＝43及sin 2α＋cos 2α＝1得sin α＝45，cos α＝35；又sin (α＋β)＝513<22，∴ α＋β∈(3π4，π)，cos (α＋β)＝－1213. ∴ cos β＝c os[(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－1213×35＋513×45＝－1665.1. 已知函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12.(1) 若f(α)＝24，α∈(0，π)，求α的值； (2) 求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，π上最大值和最小值． 解：(1) f(x)＝12sinx ＋1＋cosx 2－12＝12(sinx ＋cosx)＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.由题意知：f(α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝24，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12.∵α∈(0，π)，即α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，∴α＋π4＝5π6，即α＝7π12. (2) ∵ －π4≤α≤π， 即0≤α＋π4≤5π4，∴f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝22，f(x)min ＝f(π)＝－12. 2. 已知ω＞0，a ＝(2sinωx ＋cosωx ，2sin ωx －cosωx)，b ＝(sinωx ，cos ωx)．f(x)＝a·b .f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是π2.(1) 求ω的值；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝a ·b＝(2sinωx ＋cosωx)sinωx ＋(2sinωx －cosωx)cosωx ＝2sin 2ωx ＋3sinωxcosωx －cos 2ωx＝1－cos2ωx ＋32sin2ωx －12(1＋cos2ωx)＝32(sin2ωx －cos2ωx)＋12＝322sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4＋12. (1) 因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是π2，所以函数f(x)的最小正周期T ＝π，则ω＝1.(2) ω＝1，f(x)＝322sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12. ∴ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f(x)取得最大值32＋12.3. 设函数f(x)＝(sinωx ＋cosωx)2＋2cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为2π3.(1) 求ω的最小正周期；(2) 若函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g(x)的单调增区间．解：(1) f(x)＝(sinωx ＋cosωx)2＋2cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋sin2ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω的最小正周期为32.(2) 依题意得g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4 ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －5π4＋2， 由2kπ－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )， 故y ＝g(x)的单调增区间为⎣⎡⎦⎤23kπ＋π4，23k π＋7π12(k ∈Z )． 4. 设函数f(x)＝3sinxcosx ＋cos 2x ＋a.(1) 写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求a 的值．解：(1) f(x)＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋12，∴ T ＝π.由π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2kπ，得π6＋kx ≤x ≤2π3＋kπ.故函数f(x)的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k ∈Z )． (2) ∵ －π6≤x ≤π3，∴ －π6≤2x ＋π6≤5π6.∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎫1＋a ＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋12＝32， ∴ a ＝0.1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．(2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手：(1) 看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化． (2) 看函数：统一函数，向结果中的函数转化．请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．[备课札记]。
2015高考数学配套课件：4-4 简单的三角恒等变换
1＋m
D.
2
答案 D
解析 ∵sin76°＝cos14°＝2cos27°－1＝m，
∴cos27°＝1＋2 m，∴cos7°＝
1＋m 2.
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2．(2013·四川)设 sin2α＝－sinα，α∈(π2，π)，则 tan2α 的值 是________．
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＝cosቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0°－22ssinin103°0°－10°
＝cos10°－2sin302°csoins1100°°－cos30°sin10°
＝cos10°－2122csoisn1100°°－
3
2
sin10° ＝
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(2)原式＝2cos30°c－os2200°°－sin20° ＝2cos30°cos20°＋c2ossi2n03°0°sin20°－sin20° ＝2cosc3o0s°2c0o°s20°＝ 3.
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例 1 求值： (1)sin18°cos36°；
高考数学复习第3章三角函数与解三角形第4讲简单的三角恒等变换
考点 1 三角函数式的化简与求值 考向 1 化简 例 1: (1)化简tan2cπ4o＋s2απ4·－coαs2α＝________. 思维点拨：(1)式中的三角函数种类较多，先考虑“切化
π 9π＝116.
8sin 9
8sin 9 8sin 9 8sin 9
方法二(余弦化正弦)，由 sin 2α＝2sin αcos α，得 cos α＝
2π 4π
8π
s2isnin2αα.∴原式＝sin
9 sin π·
9 1 sin 2π·2·
94π＝116.
2sin 9 2sin 9 2sin 9
方法三(构造对偶式)，原式＝12cos π9cos 29πcos 49π＝12s.
令 t＝sin
π 9sin
2π 9 sin
49π，
则 st＝sin
π 9cos
π 9sin
2π 9 cos
2π 9 sin
4π 9 cos
4π 9
＝18sin
2π 9 sin
4π 9 sin
89π＝18sin
π 9sin
( C)
π
π
A.4
B.2
C.π
D.2π
sin x
sin x
解析：f(x)＝1＋tatnanx2x＝1＋cocssoinsxxx2＝cos2ccxoo＋ss2xsxin2x＝sin xcos x
＝12sin 2x.最小正周期为 T＝22π＝π.
3.(2017 年新课标Ⅱ)函数 f(x) ＝2cos x ＋sin x 的最大值为 ____5____.
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲简单
2 2．求值 2cos 40°(1＋ 3tan 10°)＝________.
sin 10° [解析] 原式＝2cos 40°1＋ 3 cos 10 ° cos 10°＋ 3sin 10° ＝2cos 40° cos 10° 2sin（10°＋30°） 2sin 80° ＝2cos 40° ＝ ＝2. cos 10° cos 10°
5π π π 3 ＋ α － α － α cos 6 ＝cosπ－6 ＝－cos6 ＝－ 3 ， π 5π 2 3 2＋ 3 所以 sin α－6－cos 6 ＋α＝ ＋ ＝ . 3 3 3
2
（sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1） tan α 2. ＝________. sin 4α
1－cos 2α ＝ sin 2α 2sin2α ＝ 2sin αcos α sin α ＝ ＝tan α. cos α
x x sin cos 2 2 π 1 2 ． 3．已知函数 f(x)＝ ＋ ，则 f8的值为____ 2tan x 2x 2cos －1 2 1 sin x cos2x＋sin2x cos x 2 1 [解析] f(x)＝ ＋ ＝ ＝ ， 2sin x cos x 2sin xcos x sin 2x
2α
【解】
1 10 (1)因为 tan α＋ ＝－ ， tan α 3
所以 3tan2α＋10tan α＋3＝0， 1 解得 tan α＝－ 或 tan α＝－3. 3 3π 因为 <α<π，所以－1<tan α<0. 4 1 所以 tan α＝－ . 3
1 (2)因为 tan α＝－ ， 3 α α 2α 5sin ＋8sin cos ＋11cos －8 2 2 2 2 所以 π 2sinα－4 1＋cos α 2α 2α 5sin 2＋cos 2＋4sin α＋6· －8 2 sin α－cos α
2015届高考数学教材知识点复习简单的三角恒等变换导学案
2015 届高考数学教材知识点复习简单的三角恒等变换导教案【学习目标】1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换( 包含导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆 ).预习案1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝；(2)cos2α＝＝－1＝1－；(3)tan2α＝2tanα 1－tan2α (α≠π 2＋π 4且α≠π＋π 2) ．2 ．半角公式： (1)sinα 2＝；(2)cosα 2＝；(3)tanα 2＝＝sinα 1＋cosα＝1－cosα sinα .3．二倍角公式不单限于 2α是α的二倍的形式，其余如4α＝；α 2＝； 3α＝都合用．4．由 cos2 α＝ 2cos2 α－ 1＝1－ 2sin2 α可得降幂公式：cos2 α＝； sin2 α＝；升幂公式cos2 α＝＝ .【预习自测】1 ．若 sin76 °＝，用含的式子表示cos7 °为 ()A.1 ＋ 2B.1 － 2c．± 1＋ 2D.1 ＋ 22．设 sin2 α＝－ sin α，α∈ ( π 2，π ) ，则 tan2 α的值是 ________．3．函数 f(x) ＝ sin2(2x －π 4) 的最小正周期是________．4 ．已知θ是第三象限的角，且 sin4 θ＋ cos4 θ＝ 59，那么sin2 θ的值为 ________．5．已知角θ的极点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2 θ＝( )A ．－ 45B．－研究案题型一：求值例 1. 求值：(1)sin18° cos36°；(2)2cos10°－sin20° cos20°(3)sin10 ° ? sin50 ° ? sin70 ° .(4)1 ＋ cos20 ° 2sin20 °－2sin10 ° ?tan80 °例 2. （ 1）已知 cos( π4－α ) ＝ 1213，α∈ (0 ，π 4) ，则 cos2 α sin4________.(2)已知 cos( π 4－α ) ＝ 35，－ 3π 2(3)若 cos( π 4＋ x) ＝35， 1712π＜ x＜ 74π，求sin2x ＋2sin2x1 － tanx 的值．题型二化简例 3.（ 1）已知函数 f(x) ＝ 1－ x1＋x. 若α∈ ( π 2，π ) ，则 f(cos α ) ＋f( － cosα ) 可化简为 ________．(2)化简 sin2 α?sin2 β＋ cos2 α ?cos2 β－ 12cos2 α ? cos2 β .(3) 已知 f(x) ＝ 1＋ cosx － sinx1 － sinx － cosx ＋ 1 － cosx －sinx1 －sinx ＋cosx 且x≠2π＋π2，∈Z，且x≠π＋π，∈ Z.①化简 f(x)；②能否存在等？若存在，求x，使得tanx2 ?f(x)与1＋tan2x2sinxx 的值；若不存在，请说明原因．相题型三：证明例 4. 已知 sin(2 α＋β ) ＝ 2sin β，求证： tan( α＋β ) ＝3tan α.拓展： (1) 求证： tan2x ＋ 1tan2x ＝ 23＋ cos4x1－cos4x(2)若 tan2 α＝ 2tan2 β＋ 1，求证： sin2 β＝ 2sin2 α－1.我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式 理
第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式知识梳理一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________________(简记为S α±β)； cos(α±β)＝________________(简记为C α±β)； tan(α±β)＝________________(简记为T α±β)．答案：sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β二、二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 2α＝________(简记为S 2α)；cos 2α＝________________(简记为C 2α)； tan 2α＝________(简记为T 2α)．答案：2sin αcos α cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α2tan α1－tan 2α三、二倍角余弦公式的变式1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. 四、辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin ()x ＋φ其中φ角所在的象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定．基础自测1．已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45 D.2425解析：由题意知cos θ＜0，又sin θ＝45，∴cos θ＝－35，1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．故sin 2θ＝2 sin θcos θ＝－2425.答案：A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝35，则sin 2θ的值为( )A ．－1925B ．－725C ．－1625 D.725解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝35得sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝35，即cos θ＋sin θ＝325，平方得1＋2sin θcos θ＝1825，∴sin 2θ＝－725.故选B.答案：B3．若cos α＝12，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α2的值是________________．解析：sin 2α2＝1－cos α2＝14，又α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴sin α2＝－12.答案：－124．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan 2α＝－43，由二倍角公式得2tan α1－tan 2α＝－43，又α为第二象限角，∴tan α＝－12.答案：－121．(2012·山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos 2θ<0. ∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，∴sin 2θ＝916，sin θ＝34.故选D.答案：D2．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43解析：由(sin α＋2cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022可得＝sin 2α＋4cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝104， 整理得3 tan 2α－8 tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 答案：C1．(2013·韶关二模)已知f (x )＝3cos 2x ＋2 sin x cos x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫13π6( )A. 3 B ．－ 3 C.32 D ．－32解析：函数f (x )＝2sin x cos x ＋3cos 2x＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×13π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝ 3.故选A. 答案：A2．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435， 所以sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝－435，化简得32sin α＋32cos α＝－435，32sin α＋12cos α＝－45，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.因为－π2＜α＜0，所以－π3＜α＋π6＜π6.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 因此cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝33－410.33－4答案：10。
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第四节 简单三角函数的恒等变换
知识梳理
一、将二倍角公式变形可得到的公式
1．降幂公式：sin 2α＝ __________ ，cos 2
α＝_________，sin αcos α＝_________. 2．升幂公式：1＋cos α＝____________， 1－cos α＝____________.
答案：1.1－cos 2α2 1＋cos 2α2 12sin 2α 2.2cos 2α2 2sin 2α
2
3．半角公式：sin
α
2
＝± 1－cos α2，cos α
2
＝± 1＋cos α2，tan α
2
＝± 1－cos α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α
1＋cos α
.
注意：等号后的正、负号由α
2
所在的象限决定．
二、辅助角公式
a sin x ＋
b cos x ＝a 2＋b 2·sin ()x ＋φ，其中sin φ＝
b a 2＋b
2
，cos φ＝a
a 2＋
b 2
，
即tan φ＝b
a
.
基础自测
1．已知cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos x －π3＝( )
A ．－233
B ．±23
3
C ．－1
D ．±1
解析：∵cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，∴32cos x ＋12sin x ＝－33，
∴cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3
2cos x ＋32sin x ＝332cos x ＋12sin x ＝3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－33＝－1.
故选C.
答案：C
2．函数f (x )＝sin 2
x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2上的最大值是( )
能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆.
A ．1 B.1＋32 C.3
2
D ．1＋ 3
答案：C
3．(2013·无锡联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α，则sin
2α等于________．
解析：由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α)，
由α为锐角知cos α＋sin α≠0.∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝1
2
.∴sin
2α＝12
.
答案：1
2
4．已知tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．
解析：由tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan
π
41－tan x tan
π4
＝2，得tan x ＝13，tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝34， 故tan x tan 2x ＝13×43＝49
.
答案：4
9
1．(2012·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )
A ．－1
B ．－22 C.2
2
D ．1
解析：(法一)∵sin α－cos α＝2，
∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 2. ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴α＝3π4. ∴tan α＝－1.故选A.
(法二)∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2
＝2， ∴sin 2α＝－1.
∵α∈(0，π)，∴2α∈(0,2π)．
∴2α＝3π2.∴α＝3π
4
.
∴tan α＝－1.故选A.
答案：A
2. (2013·天津卷)已知函数f (x )＝－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
解析：(1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π
4
＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x
－2cos 2x ＝22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8
，π2上是减函数．又f (0)＝－2，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.
1．若直线x ＝t 与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象分别交于P ，Q 两点，则|PQ |的最大值为( )
A ．2
B ．1 C. 3 D. 2
解析：依题意有|PQ |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2t ＋π4＝2|sin 2t |≤ 2.故选D. 答案：D
2．若1＋tan θ1－tan θ＝2 015，则1cos 2θ＋tan 2θ＝________________.
解析：1cos 2θ＋tan 2θ＝1cos 2θ－sin 2θ＋tan 2θ＝sin 2θ＋cos 2
θ
cos 2θ－sin 2
θ＋tan 2θ ＝tan 2θ＋11－tan θ＋2tan θ1－tan θ＝θ＋2＋tan θ－tan θ＝1＋tan θ1－tan θ＝2 015. 答案：2 015。