-n维向量
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（2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 , 使得
( )
（3）0 ; (1) ; .
（4）如果 , 则 0或
1
7
例1 设向量 1,1,0 , 2,0,1以及 满足
2＋＋3＝ 求向量
解 Q 3＝－2－
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
1 3
2 3
,
2 3
,
0
2 3
,0,
1 3
0,
2 3
,
1 3
向量的概念在实际中有着广泛的应用.例如,在线性方
程组（3.1）中，系数矩阵A中的每一行 i ai1,ai2,L ,ain
1
8
(i=1,2,…,m)都是n维行向量,这m个n维行向量，称为
系数矩阵A的行向量组;每一列 j a1 j , a2 j ,L , amj T
量空间，简称 n 维向量空间 记为Rn .
1
9
思考题
设 1 ( 1 ,1 ,0 ) , 2 ( 0 ,3 ,0 ), 3 ( 1 ,2 ,0 )
则 31 22 43 （1，1，0）
1
10
§3.2 n 维 向 量
主要内容 1. n 维向量的定义 2. n 维向量的运算法则
n 维向量是我们为了解决线性方程组中方 程与方程之间、解与解之间的关系而引入的新 概念与新运算,是我们必须熟练掌握的运算技能.
1
1
1. n 维向量的定义 定义3.3 由n 个数 a1,a2 ,L ,an 所组成的n 元有序数组
a1,a2 ,L ,an 称为一个 n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , L 来代表向量。
1
2
例如：
(1, 2, 3,L , n)
n维实向量
(1 2i, 2 3i,L , n (n 1)i)
为向量 与向量 的和. 记为
1
5
若向量 a1,a2,L ,an ，称向量 a1, a2 ,L , an
为 的负向量，记为
向量减法：
( )
定义3.6 设k为数域P中的数，向量 ka1,ka2 ,L ,kan
称为向量 a1,a2 ,L ,an 与数k的数量乘积。记为
(j=1,2,…,n)都是 m 维列向量, 这 n 个 m 维列向量称为
系数矩阵A的列向量组，常数向量为 .
利用向量的运算，线性方程组（3.1）也有向量表示
x11 x22 L xnn
由于向量可以看成特殊的矩阵, 所以向量运算和矩 阵运算就非常类似，其运算性质也相同. 称定义了向量 加法与数乘运算的全体 n 维实向量的集合为 n 维实向
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
1
3
向量通常写成一行
a1,a2,L ,an
称为行向量。 向量有时也写成一列
a1
a2
M
称为列向量。
an
它们的区别只是写法上的不同。若 是行向量，
则 T 是列向量，若 是列向量，则 T是行向量，
分量全为零的向量 0,0,L ,0 称为零向量。
k
向量的加法与向量数乘统称向量的线性运算.
1
6
向量的线性运算满足下面运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
(3)
(4)
(7)k l k l (8)k k k
注1：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 , 使得
1
4
2. 向量的运算和性质
定义3.4 若 n 维向量 a1,a2 ,L ,an , b1,b2,L ,bn
的对应分量都相等，即
ai bi i 1,2,L ,n
则称向量 与向量 相等. 记为
定义3.5 若 n 维向量 a1,a2 ,L ,an , b1,b2,L ,bn 则称n 维向量 a1 b1,a2 b2 ,L ,an bn
( )
（3）0 ; (1) ; .
（4）如果 , 则 0或
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例1 设向量 1,1,0 , 2,0,1以及 满足
2＋＋3＝ 求向量
解 Q 3＝－2－
2
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ห้องสมุดไป่ตู้
1 3
2 3
,
2 3
,
0
2 3
,0,
1 3
0,
2 3
,
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向量的概念在实际中有着广泛的应用.例如,在线性方
程组（3.1）中，系数矩阵A中的每一行 i ai1,ai2,L ,ain
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(i=1,2,…,m)都是n维行向量,这m个n维行向量，称为
系数矩阵A的行向量组;每一列 j a1 j , a2 j ,L , amj T
量空间，简称 n 维向量空间 记为Rn .
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思考题
设 1 ( 1 ,1 ,0 ) , 2 ( 0 ,3 ,0 ), 3 ( 1 ,2 ,0 )
则 31 22 43 （1，1，0）
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§3.2 n 维 向 量
主要内容 1. n 维向量的定义 2. n 维向量的运算法则
n 维向量是我们为了解决线性方程组中方 程与方程之间、解与解之间的关系而引入的新 概念与新运算,是我们必须熟练掌握的运算技能.
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1. n 维向量的定义 定义3.3 由n 个数 a1,a2 ,L ,an 所组成的n 元有序数组
a1,a2 ,L ,an 称为一个 n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , L 来代表向量。
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例如：
(1, 2, 3,L , n)
n维实向量
(1 2i, 2 3i,L , n (n 1)i)
为向量 与向量 的和. 记为
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若向量 a1,a2,L ,an ，称向量 a1, a2 ,L , an
为 的负向量，记为
向量减法：
( )
定义3.6 设k为数域P中的数，向量 ka1,ka2 ,L ,kan
称为向量 a1,a2 ,L ,an 与数k的数量乘积。记为
(j=1,2,…,n)都是 m 维列向量, 这 n 个 m 维列向量称为
系数矩阵A的列向量组，常数向量为 .
利用向量的运算，线性方程组（3.1）也有向量表示
x11 x22 L xnn
由于向量可以看成特殊的矩阵, 所以向量运算和矩 阵运算就非常类似，其运算性质也相同. 称定义了向量 加法与数乘运算的全体 n 维实向量的集合为 n 维实向
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
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向量通常写成一行
a1,a2,L ,an
称为行向量。 向量有时也写成一列
a1
a2
M
称为列向量。
an
它们的区别只是写法上的不同。若 是行向量，
则 T 是列向量，若 是列向量，则 T是行向量，
分量全为零的向量 0,0,L ,0 称为零向量。
k
向量的加法与向量数乘统称向量的线性运算.
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向量的线性运算满足下面运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
(3)
(4)
(7)k l k l (8)k k k
注1：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 , 使得
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2. 向量的运算和性质
定义3.4 若 n 维向量 a1,a2 ,L ,an , b1,b2,L ,bn
的对应分量都相等，即
ai bi i 1,2,L ,n
则称向量 与向量 相等. 记为
定义3.5 若 n 维向量 a1,a2 ,L ,an , b1,b2,L ,bn 则称n 维向量 a1 b1,a2 b2 ,L ,an bn