模式识别第三讲-统计决策理论PPT课件
第3章-正态分布时的统计决策
第3章 正态分布时的统计决策在统计决策理论中,涉及到类条件概率密度函数)|(i w x P 。
对许多实际的数据集,正态分布通常是合理的近似。
如果在特征空间中的某一类样本,较多地分布在这一类均值附近,远离均值点的样本比较少,此时用正态分布作为这一类的概率模型是合理的。
另外,正态分布概率模型有许多好的性质,有利于作数学分析。
概括起来就是: (1) 物理上的合理性 (2) 数学上的简单性下面重点讨论正态分布分布及其性质,以及正态分布下的Bayes 决策理论。
3.1 正态分布概率密度函数的定义及性质 1.单变量正态分布 定义:])(21ex p[21)(2σμσπρ--=x x(3.1-1)其中:μ为随机变量x 的期望,也就是平均值;2σ为x 的方差,σ为均方差,又称为标准差。
⎰∞∞-⋅==dx x x x E )()(ρμ (3.1-2)⎰∞∞-⋅-=dx x x )()(22ρμσ(3.1-3)概率密度函数的一般图形如下:)(x ρ具有一下性质:)(,0)(∞<<-∞≥x x ρ1)(=⎰∞∞-dx x ρ (3.1-4)从)(x ρ的图形上可以看出,只要有两个参数2σμ和就可以完全确定其曲线。
为了简单,常记)(x ρ为),(2σμN 。
若从服从正态分布的总体中随机抽取样本x ,约有95%的样本落在)2,2(σμσμ+-中。
样本的分散程度可以用σ来表示,σ越大分散程度越大。
2.多元正态分布 定义:∑---∑=-)]()(21ex p[||)2(1)(1212μμπρx x x T d(3.1-5)其中: T d x x x x ],,,[21 =为d 维随机向量,对于d 维随机向量x ,它的均值向量μ是d 维的。
也就是:T d ],,,[21μμμμ =为d 维均值向量。
∑是d d ⨯维协方差矩阵,1-∑是∑的逆矩阵,||∑为∑的行列式。
协方差矩阵∑是对称的,其中有2/)1(+⨯d d 个独立元素。
模式识别详细PPT
无监督学习在模式识别中的应用
无监督学习是一种从无标签数据中提取有用信息的机器学习方法,在模式识别中主要用于聚类和降维 等任务。
无监督学习在模式识别中可以帮助发现数据中的内在结构和规律,例如在图像识别中可以通过聚类算 法将相似的图像分组,或者通过降维算法将高维图像数据降维到低维空间,便于后续的分类和识别。
通过专家知识和经验,手 动选择与目标任务相关的 特征。
自动特征选择
利用算法自动筛选出对目 标任务最相关的特征,提 高模型的泛化能力。
交互式特征选择
结合手动和自动特征选择 的优势,先通过自动方法 筛选出一组候选特征,再 由专家进行筛选和优化。
特征提取算法
主成分分析(PCA)
通过线性变换将原始特征转换为新的特征, 保留主要方差,降低数据维度。
将分类或离散型特征进行编码 ,如独热编码、标签编码等。
特征选择与降维
通过特征选择算法或矩阵分解 等技术,降低特征维度,提高 模型效率和泛化能力。
特征生成与转换
通过生成新的特征或对现有特 征进行组合、转换,丰富特征
表达,提高模型性能。
04
分类器设计
分类器选择
线性分类器
基于线性判别分析,适用于特征线性可 分的情况,如感知器、逻辑回归等。
结构模式识别
总结词
基于结构分析和语法理论的模式识别方法,通过分析输入数据的结构和语法进行分类和 识别。
详细描述
结构模式识别主要关注输入数据的结构和语法,通过分析数据中的结构和语法规则,将 输入数据归类到相应的类别中。这种方法在自然语言处理、化学分子结构解析等领域有
模式识别ppt课件
( x)
2.5,1.1为中心的正态曲线,而
之和。
由图看出:每个样本对估计的贡献与样本间
的距离有关,样本越多, PN(x)越准确。
例2:设待估计的p(x)是均值为0,方差为1的正
态密度函数。
若随机抽取X样本中的1个、 16个、 256个作
为学习样本xi,试用窗口法估计pN(x)。
| x xi |
(
)0
(保证 pˆ N ( x) 非负)
hN
( | x x i | )d ( | x x i | ) 0
(使 pˆ N ( x)dx 1)
hN
hN
④ 窗函数的选择
例:矩形窗、正态窗、指数窗、三角窗等等(只要
满足上述两条件,都可作为窗函数使用)
超立方体体积:VN h
d
N
其中
h1
hN
N
d=1,窗口为一线段 ; d=2,窗口为一平面
d=3,窗口为一立方体 ;d>3,窗口为一超立方体
窗口的选择:有多种选择
Φ(u)
方窗函数
Φ(u)
正态窗函数
Φ(u)
指数窗函数
hN
正态窗函数
1
1
,
|
u
|
(u )
2
0.其他
(u )
满足上述条件的区域序列(VN)有两种选择方法,
形成两种非参数估计方法:
1)Parzen窗法;
2)KN近邻估计
两者如何选择VN ?
1)Parzen窗法:
1
使体积VN以N的某个函数减小,例 VN
第3章 Bayes决策理论
第3章 Bayes决策理论
“概率论”有关概念复习
Bayes公式:设实验E的样本空间为S,A为E的事件,
第3章 Bayes决策理论
B1,B2,…,Bn为S的一个划分,且P(A)>0,P(Bi)>0,
(i=1,2,…,n),则:
P( Bi | A) P( A | Bi ) P( Bi )
n
P( A | B
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第3章 Bayes决策理论
平均错误概率
P(e)
P (e x ) p ( x ) d x
从式可知,如果对每次观察到的特征值 x , P(e x) 是 尽可能小的话,则上式的积分必定是尽可能小的。这就 证实了最小错误率的Bayes决策法则。下面从理论上给 予证明。以两类模式为例。
解法1:
利用Bayes公式
第3章 Bayes决策理论
p ( x 10 | 1 ) P(1 ) P(1 | x 10) p ( x 10) p ( x 10 | 1 ) P(1 ) p ( x 10 | 1 ) P(1 ) p( x 10 | 2 ) P(2 ) 0.05 1/ 3 0.048 0.05 1/ 3 0.50 2 / 3
解法2:
写成似然比形式
第3章 Bayes决策理论
p ( x 10 | 1 ) 0.05 l12 (x 10) 0.1 p ( x 10 | 2 ) 0.50 P (2 ) 2 / 3 判决阀值12 2 P (1 ) 1/ 3 l12 (x 10) 12 , x 2 , 即是鲑鱼。
若 P(i x) P( j x) , j i ,则判
若 P(i x) 若 若
模式识别概论经典资料(ppt 56页)
– 这种按各类之间的亲疏程度的划分,若事先能知 道应划分成几类,则可获得更好的分类结果。
模式分类的主要方法
• 数据聚类 • 统计分类 • 结构模式识别 • 神经网络
数据聚类
• 目标:用某种相似性度量的方法将原始 数据组织成有意义的和有用的各种数据 集。
• 边肇祺,模式识别(第二版),清华大
学出版社,2000。
• 蔡元龙,模式识别,西北电讯工程学院
出版社,1986。
机构、会议、刊物
• 1973年 IEEE发起了第一次关于模式识别的国际 会议“ICPR”(此后两年一次),成立了国际 模式识别协会---“IAPR”
• 1977年IEEE成立PAMI委员会,创立IEEE Trans. on PAMI,并支持ICCV, CVPR两个会议
• 军事
– 航空摄像分析、雷达和声纳信号检测和分 类、自动目标识别
• 安全
– 指纹识别、人脸识别、监视和报警系统
模式识别方法
• 模式识别系统的目标:在特征空间和解 释空间之间找到一种映射关系,这种映 射也称之为假说。
– 特征空间:从模式得到的对分类有用的度 量、属性或基元构成的空间。
– 解释空间:将c个类别表示为 其中 为所属类别的集合,称为解释空间。
模式识别的研究
• 目的:利用计算机对物理对象进行分类, 在错误概率最小的条件下,使识别的结 果尽量与客观物体相符合。
• Y = F(X)
– X的定义域取自特征集 – Y的值域为类别的标号集 – F是模式识别的判别方法
模式识别简史
• 1929年 G. Tauschek发明阅读机 ,能够阅读0-9的数字。 • 30年代 Fisher提出统计分类理论,奠定了统计模式识
模式识别课件2.3正态分布时的统计决策
04
实际案例分析
基于正态分布的统计决策在人脸识别中的应用
人脸识别是利用计算机技术自动识别人的面部特征,实现身份认证的一种技术。基于正态分布的统计 决策在人脸识别中应用广泛,通过建立人脸特征的统计模型,对输入的人脸图像进行分类和识别。
模式识别课件2.3正态分 布时的统计决策
• 正态分布概述 • 正态分布下的统计决策方法 • 正态分布与统计决策的关系 • 实际案例分析 • 总结与展望
01
正态分布概述
正态分布的定义
正态分布是一种连续概率分布,描述了许多自然现象的概率 分布形态,其概率密度函数呈钟形曲线,且具有对称性。
在概率和统计学中,如果一个随机变量的所有可能取值对其 均值的相对大小呈现出一种近似于钟形的曲线,那么这个随 机变量就被认为是遵循正态分布的。
概率密度估计
决策边界
在模式识别中,可以利用正态分布的 性质构建决策边界,将不同类别的样 本进行分类。
正态分布可以用于估计某一类别的概 率密度函数,从而判断样本属于某一 类别的可能性。
02
正态分布下的统计决策方法
贝叶斯决策理论
01
贝叶斯决策理论基于贝叶斯定 理,通过已知的先验概率和条 件概率,计算出后验概率,从 而做出最优决策。
在统计决策中,正态分布的应用广泛。由于正态分布的特性,我们可以利用它来 对数据进行概率建模,从而进行分类、回归等统计决策任务。
统计决策在正态分布下的表现
在正态分布的假设下,统计决策的表 现往往比较稳定。这是因为正态分布 的特性使得数据分布相对均匀,不会 出现极端值或离群点对统计决策产生 过大影响。
模式识别(统计决策方法)PPT课件
实际上,求出的P为频率,但是如果统计次数足够大,可以 认为此时的频率接近概率 可见概率就是频率的稳定中心。任何事件A的概率为
0<=P(A)<=1
条件概率:我们把事件B已经出现的条件下,事件A发生的概 率记做为P(A|B)。并称之为在B出现的条件下A出现的条件概 率,而称P(A)为无条件概率。
称满足上述条件的, A1,A2,…,An为完备事件组.
另有一事件B = BA1+BA2+…+BAn
条件概率公式
P(AiB)=P(Ai)·P(B|Ai)
A1
A3
An
B
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai )
A2
i 1
自动化学院
.
13
贝叶斯公式推导 全概率公式
Ai∩Aj=Φ
BAi BAj , P(BAi ) P(BAj ) P(BAi BAj )
= P(点目标)P(目标丢失|点目标)+P(斑目标)P(目标丢失|斑目 标) =0.4×0.01+0.6×0.02=0.016
自动P(化成学功院检测目标)=1-P(目标丢失)=98.4%
.
15
贝叶斯公式推导
全概率公式
诸Ai是原因,B是结果
由此可以形象地把全概 率公式看成为:
“由原因推结果”,每 个原因对结果的发生有 一定的“作用”,即结 果发生的可能性与各种 原因的“作用”大小有 关. 全概率公式表达了它 们之间的关系 .
n
,
P(Aj )P(B | Aj )
j 1
i 1, 2, , n
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出,它是在观察到事件 B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率.
模式识别基础教程PPT课件
8
典型应用
语音识别(例如:IBM ViaVoice系统) 表情分析、年龄、种族、性别分类 OCR: 车牌照、集装箱号码… 手写体识别:汉王 手势识别:基于视觉的,基于数据手套 人脸识别、指纹识别、虹膜识别… 军事目标识别 生物信息、医学图像 遥感、气象
9
模式识别方法
模板匹配 结构模式识别 句法模式识别 统计模式识别 模糊模式识别
机特征向量,用概率统计理论对其进行建模, 用统计决策理论划分特征空间来进行分类。
12
统计模式识别的一般过程
测试模式 预处理
分类
训练 预处理
训练模式
特征提 取/选择
分类
特征提 取/选择
学习分类规则 错误率检测
13
模糊模式识别
1965年Zadeh提出模糊集理论
是对传统集合理论的一种推广
传统:属于或者不属于 模糊:以一定的程度属于
这种技术具有实时性的特点,而且有可能扩展到多个姿 态的人脸检测。
18
人脸的特征表示方法
矩形特征(Harr-like特征)
矩形特征的值是所有白色矩形中点的亮度值的和减 去所有灰色矩形中点的亮度值的和,所得到的差
有4种类型的矩形特征
19
输入图像
积分图像
基于积分图像的 Haar-like特征计
7
模式分类 vs. 模式聚类
Classification Clustering
Category “A”
Categ
(Supervised Classification)
Clustering
(Unsupervised Classification)
“Good” features
“Bad” features
模式识别理论 ppt课件
• K均值聚类法—K-means Clustering Method
• 模糊聚类法—Fuzzy clustering method • PCA投影分类法等等
60
主成分分析的数学 与几何意义示意图
61
16个脑组织试样进行分析,在色谱图中
uxy yt x 12
判别阈值可取两个类心在u方向上轴的投影连线的
中点作为阈值,即:
yt
m~1 m~2 2
49
50
(7) 计算m~ i。
m ~iN 1i j y(ji)N 1i j u x(ji)u m i
(8)
计算yt 。 yt
m~1 m~2 2
(9) 对未知模式x判定模式类。
uxy yt x 12
11
模式识别常用术语
• 特征抽提(Feature Extraction) • 训练集(Training Set) • 识别率(Recognition Rate) • 预测能力(Predictive Ability)
12
注意事项
训练集的数据一定要可靠。 训练集的样本数目要足够多,样本数m与模
式空间维数n 的比值至少应满足m/n≥3,最好 m/n≥10。 模式空间特征的选择是成败的关键,要选取与 样本分类有关的特征,如果不能包括与分类有 关的主要特征,模式识别就不会有好的效果。
4
什么是模式识别
• 模式识别包括两个阶段,即学习阶段和实现阶段, 前者是对样本进行特征选择,寻找分类的规律, 后者是根据分类规律对未知样本集进行分类和识 别。
• 广义的模式识别属计算机科学中智能模拟的研究 范畴,内容非常广泛,包括声音和语言识别、文 字识别、指纹识别、声纳信号和地震信号分析、 照片图片分析、化学模式识别等等。计算机模式 识别实现了部分脑力劳动自动化。
模式识别-3-贝叶斯决策理论
(
)
确定性特征向量与随机特征向量
确定性特征向量 在获取模式的观测值时,有些事物具有确定的 因果关系,即在一定条件下,存在必然会发生 或必然不发生的确定性,这样获得的特征向量 称为确定性特征向量。 例如识别一块模板是不是直角三角形,只要 凭“三条直线边闭合连线和一个直角”这个 特征,测量它是否有三条直线边的闭合连线 并有一个直角,就完全可以确定它是不是直 角三角形。 这种现象是确定性的现象,比如上一讲的线 性模式判别就是基于这种现象进行的。
x1 x X = 2 ... xn
特征向量
g1(x) g2(x)
...
Max(g(x))
最大值选择器
x ∈ ωi
gn(x)
判别计算
决策
§3-3 正态分布决策理论
一、正态分布判别函数
1、为什么采用正态分布:
a、正态分布在物理上是合理的、广泛的。 b、正态分布数学上简单,N(µ, σ ²) 只有均值和方差两个参数。
)
2
=
∫ (x − µ )
−∞
∞
2
P ( x)
P ( x ) d x,方 差 ) (
1
概率密度函数应满足下 列关系: P ( x ) ≥ 0, ( −∞ < x < ∞ ) ∞ ∫−∞ P ( x )dx = 1
0 . 95
µ − 2σ
µ
X
µ + 2σ
3、(多变量)多维正态分布 (1)函数形式:
µ i = E ( xi ) =
∑
= E
= E = E
(x 1 − ...... (x n − µ
[(x
模式识别课件2.3 正态分布时的统计决策
⑸线性变换的正态性
随机向量的变换 设随机向量y是另一随机向量x的函数,即
y1 g1 ( x1 , x2 , , xn ) g1 (x) y2 g 2 ( x1 , x2 ,, xn ) g 2 (x) y g ( x) y g ( x , x , , x ) g ( x) n n n 1 2 n
2.3.1正态分布概率密度函数的定义及性质
协方差矩阵总是非负定阵。
对于任意随机向量x,xT∑x是∑的二次型。 如果对x≠0的一切x 有 xT∑x≥0 都成立,则称∑为非负定阵。
若xT∑x>0,则∑为正定阵。
对于正定矩阵,各阶主子式非零(包括 |∑|≠0)。
2.3.1正态分布概率密度函数的定义及性质
一般情况下相关与独立的关系
独立性是比不相关性更强的条件,独立性要求 p(xi,xj)= p(xi) p(xj)
对于xi和xj都成立。
不相关性是两个随机变量的积的期望等于两个 随机变量的期望的积,它反映了xi与xj总体的性 质。 若xi和xj相互独立,则它们之间一定不相关;反 之则不一定成立。
2.3.1正态分布概率密度函数的定义及性质
1 2 2 2 11 12 2 exp { [( x ) ( x )] }dx2 2 2 1 1 2 2|| 11
11
1 2
(2 ) | | 1 1 x1 1 2 exp{ ( )} 1 2 11 (2 ) 2 11
P(μ-kσ<x< μ+kσ)=0.68 P(μ-kσ<x< μ+kσ)=0.95 P(μ-kσ<x< μ+kσ)=0.99 p(x)~N(μ,σ2)
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P r ω 1 p x ω 1 0 .9 0 .2 0 .18
P r ω 2 p x ω 2 0 .1 0 .4 0 .04
∴
Prω1x 0.18 0.818 0.18 0.04
P rω 2x 1 0 .81 0 .1 882
∴ 应把x归为ω1类,不是完全正确,但错误
称为判别函数(discriminant function)。
.
16
二. 最小风险贝叶斯决策
• 在实际工作中,有时仅考虑错误率最小是不 够的。
• 要引入比错误率更广泛的概念—风险、损失。
▪ 地震预报
预报为有震,, 要要 作付 准出 备代价没 ,有 但发 地
预报为无震,生 但了 地, 震要 发遭受损失。
• 证明:错误率是对所有x的平均错误率Pr[e]
Pre Prexpxdx
• 两类时的条件错误概率为:
P rex P rω 1x P rω 2x
当 P rω 2xP rω 1x 当 P rω 1xP rω 2x
.
14
对每个x,因为决策为后验概率最大的类别,
Pr[e|x]为最小。因此错误率 最小。
▪ 细胞识别
将正常划为异常人,增给加病精神负担恐,慌造;
将异常划为正常,,耽漏误诊早期诊断。和治
.
17
• 要考虑行动的后果、行动的风险。
• 采取的决定称为决策或行动。决策可以 为分到某一个类别, 或“拒绝”等。假 设一共有m个决策。
• 每个决策或行动都有一定的代价或损失。
• 损失函数 ai,ωj表示真实状态为 ωj ,采
取行动为ai 时的损失。
.
18
• 对于给定的x,采取决策ai时的条件损失或
条件风险为:
c
Raix ai, ω jP rω jx, i1, 2, , m
.
3
• 如果观察到一个样本 x ˆx ˆ1 , x ˆ2 , , x ˆdT ,
那么把 xˆ 分到哪一类去才是合理的呢?
• 这是这一章要解决的问题。
.
4
一. 最小错误率贝叶斯决策
• 在模式分类问题中,人们希望尽量减小 分类的错误。
• 不可能不犯错误,因为样本是随机的… • 我们希望所使用的分类规则,能使错误
率最小。
.
11
例2:假定一维测量(特征)值yห้องสมุดไป่ตู้类条件密
度函数为:
p yω1
1
y42
e2
2
pyω2
1
y102
e2
2
而且Pr[ω1]= Pr[ω2]。画出两类的概率密度
曲线并求分类规则。
解:
.
12
似然比检验
y4 2
ω1
e 2
ly
y 10 2
1
e2
ω2
上式两边取对数,再乘以-2,有
• 如果只有先验概率,那么合理的选择是把x
分到Pr[ω1]、Pr[ω2]大的一类中去。一般 由于Pr[ω1]>Pr[ω2],这样就把所有的细胞
分到了正常的一类。失去了意义。
.
6
• 如果有细胞的观测信息,那么可以改进决策
的方法。为了简单起见,假定x是一维的特 征(如胞核的总光强度)。p(x|ω1)和 p(x|ω2)已知:
ω1
y 42
y 102
0
ω2
ω1
∴
y
7
ω2
• 原因是Pr[ω1]= Pr[ω2],且分布形式相同,又对 称,只是均值有区别 分界点在两均值的中
点 y=7,可以由 p y ω 1 P r ω 1 p y ω 2 P r ω 2 确定。
• pyωiPrωi,i 1,2构成一个判别函数。
.
13
• 下面证明上述基于最小错误率的贝叶斯规则 是错误率最小的。
p(x|2)
p(x|1)
• 利用贝叶斯公式: pxωiPrωi Pr ωi x 2 pxωiPrωi
i1
.
7
• 得到的Pr[ωi|x] 称为状态(正常、异常)
的后验概率。上述的贝叶斯公式,通过观测
到的x,把先验概率转换为后验概率。
• 这时,基于错误率最小的贝叶斯决策规则为:
ω1
Pr ω1 x
率达到最小。
.
5
• 以细胞识别为例:
• 细胞切片的显微图像经过一定的预处理后,
抽取出d个特征。每一细胞可用一个d维的特 征向量x表示。希望根据x的值分到正常类
ω1或异常类ω2中去。
• 假定可以得到Pr[ω1]、Pr[ω2] (Pr [ω1]+ Pr [ω2]=1) ,和p(x|ω1)、p(x|ω2) 。
.
9
3) 若 lxppxxω ω12 P Prrω ω12,则
x
ω1 ω2
称为似然比
4) 取 lx 的负对数,有
h x lln x lp n x ω 1 lp n x ω 2 l n P P r r ω ω 1 2 ω1 则: x ω2
.
10
例1:某一地区的统计资料,Pr[ω1]=0.9(正 常),Pr[ω2]=0.1(异常),有一待识别细 胞,其观测值为x,从类条件概率密度曲线上 查出,p(x|ω1)=0.2,p(x|ω2)=0.4。
Pre Prexpxdx
.
15
• 对于多类情况,最小错误率决策规则为:
若 P rω ixmaP rx ω jx,则 xωi j 1, 2, , c
或若
P r ω ip x ω imP a r ω jx p x ω j j 1 , 2 , , c
则 xωi
• g jx P rω jx , j 1 , 2 , , c
Pr ω2 x
ω2
• 后面要证明这个决策规则是错误率最小的。
.
8
• 上面的贝叶斯决策规则还可以表示成以下几 种形式:
1) 若 P rω ixmP arω xjx,则 xωi j1,2
2) 若 P rω ipx ω i mP r a ω jx px ω j ,则 j 1 ,2 xωi
第二章 统计决策理论
.
1
2.1 引言
• PR中的分类问题是根据识别对象特征的观测值, 将其分到相应的类别中去。
• 统计决策理论是模式分类的主要理论和工具。
• 这一章要讨论: • 最小错误率贝叶斯决策 • 最小风险贝叶斯决策
.
2
2.2 贝叶斯决策
• 问题:假定要识别的物理对象x有d个特征, x所1,有x的2,特…征,向xd量,构记成作了x=d[维x1特,征x2空,间…。,假xd]T, 定这些待识别的对象来自c个类别,ωi, i=1,2,…,c,并且每个类别出现的先验 概率P[ωi]和类条件概率密度p(x|ωi) ,i=1, 2,…,c已知。