排列组合典型问题-分球入盒
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型--“小球入盒”模型
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型--“小球入盒”
模型
凤斌;叶菊
【期刊名称】《青苹果：高中版》
【年(卷),期】2016(000)005
【摘要】数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。
排列组合问题的情景设置千变万化，“小球入盒”是一类典型的数学模型，将其用来解读排列、组合问题，可以搭起挖掘知识的内涵和外延的平台，直击目标。
【总页数】3页(P42-44)
【作者】凤斌;叶菊
【作者单位】安徽省宿州二中
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——『小球入盒』模型 [J], 凤斌;叶菊
2.排列组合中一类分组分配问题的统一球盒模型 [J], 姜保庆;郭旌巍;张忠军
3.利用"球入盒"模型解决分组问题 [J], 叶德凤
4.解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——“小球入盒”模型 [J], 凤
斌;叶菊;
5.利用“球入盒”模型解决分组问题 [J], 司振玲
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。
其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。
由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。
下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。
有种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。
变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。
第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。
球入盒问题分类例析
“球入盒”问题分类例析排列组合问题中经常遇到“球入盒子”类型题目，这类问题的类型和解法如下：一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1. 8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个•由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆•即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个，有五种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n>m），不能有空盒时的放法种数等于n分解为m个数的和的种数•二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2. 8个相同的球放入3个相同的盒子中•问有多少种不同的放法解析与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中•，有十种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n A m），可以有空盒时的放法种数等于将n分解为m个、（m- 1）个、（m—2）个、…、2个、1个数的和的所有种数之和•三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法•将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有C" =7-621种，这样将8个球分成三2堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内•故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法•结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），不能有空盒的放法种数等于•四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中•问有多少种不同的放法解析与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个•还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板•首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有C11种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有C w种，但这两种放法中有重复的，要除以2;最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球1 1 1 210 9放入3号盒子中•故一共有一C9 C10 C10------------ 45种•2 2或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即C9 Cg 9 36 45种•例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•先放一个到每个盒子中，只有一种放法•然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，2 2 种.结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），可以有空盒的放法种数等于Cr?；.五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了， 因为放入盒子只有一种情况•而8个球分成（注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）•故一共有 C 1C 1C 6C 2C 2C 4C 2C 3C 3C 8C7C6.12 5.13 4 c8 c6 c4 , c8 C6C3+ C 8C 7C 5 +C 8C 7C 4 ++ —2 2结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（ n 》m ），不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数•六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法 解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1c 8c ；c f c f -Cs127 ;二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况•所以一共有966+127+仁10942种.结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（n > m ）,可以有空盒的放法种数等于将n 个不同的球分成m 堆、 （m—1）堆、（m — 2）堆、…、2堆、1堆的所有种数之和•七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 这个问题就等价于“ 8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法” 就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中•即966 A 33=5796种•结论 n 个不同的球放入m 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数乘以m! •例8将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒子内放一个球，恰好 3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）•A 120B 240C 360D 720解析 先在10个不同的球中任取 7个分别放到对应标号的盒子中，有 Cw 种选法；再将剩下的三个球分别放入剩下的三个盒子中，每个盒子放一个且标号不能相同，有2种放法•故满足题意的放法有 2C 170 =240种，选B.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例9. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法 解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的 127 A 33762，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561 种.三堆，各堆球数依次为 1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3 五种.对情况 1-1-6 有c 8c ；c种分法, 对情况1-2-5有C ；C ；C ；种分法，对情况1-3-4有C 8C ；C ：种分法，对情况2-2-4有CsCsC种分法，对情况2-3-3=966 种.它也等价于“ 8封信投到3个邮箱里”，应该有38=6561种•结论n个不同的球放入m个不同的盒子中（n》m），可以有空盒的放法种数等于m n种.。
常见算法之14---球放入盒问题
常见算法之14---球放⼊盒问题N个球放⼊M个盒⼦中的问题研究：本来这是组合数学中的问题，但近年来公务员考试，企业⾯试经常会涉及到这个问题。
这个问题并⾮咋⼀看上去那么容易，不妨⾃⼰先动⼿计算⼀下下⾯⼏个题⽬：情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法情形4 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形5 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形6 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形7 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形8 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
==================分割线=========================假定：c(N,M)表⽰为从n个项中挑选出m个项的⽅案数。
情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
每个球都可以随意放，有M个选择，故共M^N种⽅式。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
⾸先，从N个球中选出M个球，将这M个球排列。
（相当于每个盒⼦⾥放⼀个）c(N,M)*M!种然后，剩下的N-M个球就可以随意放了。
M^(N-M)种综上，c(N,M)*M!*[M^(N-M)]情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
根据隔板原理：将N个球排成⼀列，中间插⼊M-1个隔板，分成M个堆，其中允许隔板相邻，也可以放在两边。
N个球时，有N+1个空；插⼊⼀个板后，有N+2个空....故⼀共有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)种。
但板⼦的插⼊顺序是没有要求的，所以我们要去除重复的情形。
板⼦的顺序有(M-1)!综上，有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)/(M-1)!种情形。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
分球人盒问题例析
ʏ浙江省绍兴市上虞区上虞中学 章舜龙在求解排列㊁组合问题的过程中,我们经常会遇到一类 分球入盒 的问题或可转化为 分球入盒 模型的问题㊂不少同学由于不能正确对待 球 和 盒 的顺序而导致错解㊂下面例析 分球入盒 问题,以期帮助同学们厘清思路,顺利解答该类问题㊂一㊁球同盒同例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中㊂(1)每个箱子中至少有一个小球(即箱子不空),有多少种不同的放法?(2)若箱子允许空,又有多少种不同的放法?分析:箱子相同时不需要考虑箱子的顺序,球相同也无须考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的数量多少,故可用 穷举法 求解㊂解:(1)箱子不空有3种放法:{1,1,1,4},{1,1,2,3},{1,2,2,2}㊂(2)箱子允许空共有11种放法:{0,0,0,7},{0,0,1,6},{0,0,2,5},{0,0,3,4},{0,1,1,5},{0,1,2,4},{0,1,3,3},{0,2,2,3},{1,1,1,4},{1,1,2,3},{1,2,2,3}㊂点评: 穷举法 是求解排列组合问题中最常见的数学思想方法㊂此时, 无招胜有招㊂二㊁球同盒不同例2 将7个相同的小球,放入4个不同的箱子中㊂(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)若箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:本题与例1的不同点是这里的4个箱子是不同的,需考虑箱子间的顺序,若还用穷举法解就显得繁杂,可将问题转化为方程正整数解的问题,进而利用 插空法 求解㊂解:(1)设第i 个箱子里放入m i (i =1,2,3,4)个球,则问题转化为求不定方程m 1+m 2+m 3+m 4=7(*)的正整数解的个数㊂将7个小球排成一排,用3个隔板将7个小球分成四份,每一种分隔方法对应一种放法,7个小球之间有6个间隙,在其中任选3个插入隔板,有C 36=20(种)方法㊂故共有20种不同的放法㊂(2)箱子允许有空,等价于求(*)式的非负整数解个数㊂设x i =m i +1(i =1,2,3,4),问题转化为求不定方程x 1+x 2+x 3+x 4=11的正整数解的个数㊂仿(1)知共有C 310=120(种)不同方法㊂对于(2)也可这样思考,此时把7个小球81 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月与3个隔板等同看待,认为共有10个元素,将它们排成一列,每一个排列对应一种放法,如O O O O O||O O|对应的放法就是:{5,0,2, 0},10个位置任选3个放隔板,其余7个位置放小球,共有C310=120(种)不同方法㊂点评:求解相同元素的分配问题用 隔板法 ,将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为C m-1n-1㊂三㊁盒同球不同例3将7个不同的小球,放入4个相同的箱子中㊂(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:此情形中要注意球是不同的,需考虑其差异,而箱子是相同的就不需要考虑其顺序,故常用 分类累加法 求解㊂解:(1)箱子不空,分为以下三类:①4个箱子中小球数是{1,1,1,4},放法有C17C16C15C44/A33=35(种);②4个箱子中小球数是{1,1,2,3},放法有C17C16C25C33/A22=210(种);③4个箱子中小球数是{1,2,2,2},放法有C17C26C24C22/A33=105(种)㊂放法共有35+210+105=350(种)㊂(2)箱子允许空,分为下面四类㊂①4个箱子均不空,由(1)知有350种放法㊂②4个箱子中有1个是空的,则分为下面四种情形㊂ⅰ)4个箱子中小球数是{0,1,1,5},不同的放法有C17C16C55/A22=21(种);ⅱ)4个箱子中小球数是{0,1,2,4},不同的放法有C17C26C44=105(种);ⅲ)4个箱子中小球数是{0,1,3,3},不同的放法有C17C36C33/A22=70(种);ⅳ)4个箱子中小球数是{0,2,2,3},不同的放法有C27C25C33/A22=105(种)㊂此时共有不同的放法数为21+105+ 70+105=301㊂③4个箱子中有2个是空的,又分为下面三种情形㊂ⅰ)4个箱子中小球数是{0,0,1,6},不同的放法有C17C66=7(种);ⅱ)4个箱子中小球数是{0,0,2,5},不同的放法有C27C55=21(种);ⅲ)4个箱子中小球数是{0,0,3,4},不同的放法有C37C44=35(种)㊂此时共有不同的放法数为7+21+35= 63㊂④4个箱子中有3个是空的仅有一种情形{0,0,0,7},共有1种放法㊂综上所述,共有350+301+63+1=715 (种)不同放法㊂点评:本题属于分组问题,分组的类型包括整体均分㊁部分均分和不等分三种,无论分成几组,都应注意只要有元素的个数相等的组存在,就需要考虑均分的现象(即:整体平均分组;或部分平均分组)㊂四㊁球盒均不同例4将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中㊂(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:与例3比较,需考虑箱子的差异,即箱子间的顺序㊂解:(1)由例3可知7个不同的小球,放入4个相同的箱子中,箱子不空时共有350种放法㊂故将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中,箱子不空,共有350A44=8400 (种)不同的放法㊂(2)用 分步法 求解㊂将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中,箱子允许空,每一个小球都有4种不同的放法,故共有47= 16384(种)不同的放法㊂点评:重复排列问题要区分两类元素,一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作 客 ,把能重复的元素看作 店 ,通过 住店法 可顺利解题㊂在使用住店策略解决这类问题时,关键是正确判断哪个是底数,哪个是指数㊂(责任编辑徐利杰)91解题篇经典题突破方法高二数学2024年3月。
你了解分球入盒问题吗？
你了解分球入盒问题吗？将n 个球放入k 个盒子中，有多少种不同的放法？这类问题我们称之为分球入盒问题。
其中问法常有两类：（1）允许有空盒子，共有多少种不同的放法；（2）盒子不许空，有多少种不同的放法。
而球与盒子又分为下面几种情况：（1）相同的球与相同的盒子；（2）相同的球与不同的盒子；（3）不同的球与相同的盒子，（4）不同的球与不同的盒子。
其中，盒子相同时不用考虑其顺序；盒子不同时则和顺序有关，但盒子可以空着的时候，空着的盒子则又不要考虑顺序。
球相同时，球没有顺序没有区别，但球不同时，在同一个盒子中的球没有顺序，不在同一个盒子中的球是有区别的，所以要先选再放。
下面通过具体例子进一步说明：例1将9个相同．．的小球放入5个相同．．的盒子中。
（1）若每个盒子中至少有一个小球，一共有多少种不同的放法？（2）若允许有空的盒子，一共有多少种不同的放法？分析：盒子相同时不用考虑盒子的顺序，球相同也不用考虑球的差别，所以考虑每个盒子放多少个球就可以了，可以利用列举法。
解：（1）每个盒子至少有一个球的方法有如下5种：{1，1，1，1，5}，{1，1，1，2，4}，{1，1，1，3，3}，{1，1，2，2，3}，{1，2，2，2，2}。
（2）允许盒子空着的一共有如下23种：{0，0，0，0，9}，{0，0，0，1，8}，{0，0，0，2，7}，{0，0，0，3，6}，{0，0，0，4，5}，{0，0，1，1，7}，{0，0，1，2，6}，{0，0，1，3，5}，{0，0，1，4，4}，{0，0，2，2，5}，{0，0，2，3，4}，{0，0，3，3，3}，{0，1，1，1，6}，{0，1，1，2，5}，{0，1，1，3，4}，{0，1，2，2，4}，{0，1，2，3，3}，{0，2，2，2，3}，{1，1，1，1，5}，{1，1，1，2，4}，{1，1，1，3，3}，{1，1，2，2，3}，{1，2，2，2，2}。
利用排列组合解决多种“分球入盒”问题
时 ， 于 （ 义 ） 二类 Ｓｉｉｇ数 的 计算 ， 出 了递 对 广 第 ｔｌ ｒｎ 给
推公 式 ， 只要 编写 简单 的程序 即可完 成 。 针对不 同情
形 的 “ 球人 盒 ” 分 问题 ， 们精 选 了一 些典 型例子 ， 我 利 用 对应 的排列 组合 公式 就可得 到 圆满 解 决 。
一
项 都对 应着 一种 这样 的分球 人 盒方法 ，故 展 开式
中的项数 共 Ｇ ， 。 项
回后 再取 下一 个 ， 此连 续取 ｒ 所得 到 的组 合 ， 如 次 称
有 重复 的号码 ） 全部 抄下 来 。 假设 每辆 汽 车被遇 到 的
机 会相 同 ， 他抄 到 的最 大号 码 恰好 是 （＜ 的 求 １尼 概率 。 解 ：这个人 抄 到 的每 一个 车牌 号码 都 是 １到 Ⅳ 中的任 一个 。 抄 到的 个号码 有 可能是重 复 的 ． 所 由
０ 引言
“ 分球 入盒 ” 问题 是概率 论 中一种 重要 的古典 概
后再 取下 一个 ， 此连 续取 ｒ 如 次所 得到 的排 列 ， 称为
重复 排列 ， 其重 复排 列数 为 个 。 由乘 法 原理 可 知 ， 面 的球 、 均 可 辨 时 的“ 下 盒 分 球人 盒 ” 问题正 好与 重复排 列数 相对 应 。 模型 １将 ｒ 不 同（ ： 个 即可 辨 ） 的球 随机 放 人 个不 同盒 子 中去 ， 分配 方法共 种 。 则
重 复排 列数 可 知 。 ｎ个 号码 的所 有 可能 情 况有 这 种。 在 所 抄 到 的 个 号 码 中最 大 号码 不 大 于 ｋ 只 ．
重 复排 列 、 复 组合 、 二 类 Ｓｉｉｇ数 等 组合 数 学 重 第 ｔｌ ｒｎ 中的概念 和公 式 ，并 将它 们与 不 同类 型 的 “ 球人 分 盒” 问题 一一对 应起 来 ． 过这 些搭建 起来 的桥 梁与 通
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有=15种放入的方式。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
分球入盒模型解决不相邻排列问题
“分球入盒”模型解决不相邻排列问题（1）下面介绍“分球入盒”模型。
先看一个特殊的例子：将16个无区别的小球放入3个不同的盒子。
①允许出现空盒，有多少种不同的方法？②不允许出现空盒，有多少种不同的方法？分析：此问题相当于把16个相同的小球O和两个相同的竖线隔板“|”，放在一排18个位置上，从左往右看，第一块隔板左边有x个球，表示在第一盒子里放x个球；第一块与第二块隔板之间有y个球，表示在第二个盒子里放y个球; 第二块隔板右边有z个球，表示在第三盒子里放z个球，且总有x+y+z=16.解：①允许出现空盒，所以0,0,0,≥≥≥对于每一种放法，都惟一x y z对应方程16(0,0,0)++=≥≥≥的一组非负整数解（x,y,z）,也x y z x y z都惟一对应一种放球入盒的方式，如：排列OO|OOOO|OOOOOOOOOO(表示x=2,y=4,z=10);排列O|OOOOOOOOOOOOOOO|(表示x=1,y=15,z=0)排列OOOOOOOOOOOOOOOO||(表示x=16,y=0,z=0).所以16个球与两块隔板的每种排法一一对应着小球入盒的一种放法，而16个相同的小球和两个相同的竖线隔板，放一排18个位置上，不同的排列数为2C.则允许出现空盒时，分球入盒的方法总数等于18方程16(0,0,0)C；++=≥≥≥非负整数解（x,y,z）的组数2x y z x y z18②不允许出现空盒，所以1,1,1,x y z≥≥≥，那么球与隔板放在一起时，必须每块隔板的左右两边都放球（至少一个），问题等价于在一排16个球之间形成的15个空隙里，任取2个空隙各放一块隔板，共有215C 种分球入盒的放法，而每一种放法一一对应着方程16(1,1,1)x y z x y z ++=≥≥≥的一组正整数解，反过来，也一样，如： 排列OO|OOOO|OOOOOOOOOO(表示x=2,y=4,z=10);排列O|OOOOOOOOO|OOOOOO(表示x=1,y=9,z=6)排列OOO|OOO|OOOOOOOOOO(表示x=3,y=3,z=10).则方程16(1,1,1)x y z x y z ++=≥≥≥的正整数解的组数为215C 。
排列组合典型问题-分球入盒
分球入盒问题高二数学组朱育璋分球入盒问题（球在盒子的散布状况）是概率中常有的一类题型，如：n 个球(1) 诞辰问题： n 个人的诞辰的可能状况（每一个人诞辰是365 天之一），相当于放入 N=365个盒子中的可能状况 ( 设一年 365 天) ；（2）书本分堆问题： 6 本画册分给 3 份，每份起码一本（3）名额分派问题： 7 个参赛名额分给不一样班级（4）有 n 封信随机的投放在N个信筒中（筒内信数不限）；此类问题拥有背景丰富，应用宽泛等特色。
本文旨在总结解此类题的规律，理清思路，以便更好的更快的求解问题。
例题剖析【例 1】按以下要求分派 6 个不一样的小球，各有多少种不一样的分派方式(1)分红三份， 1份 1个，1份 2个，1份3个；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 个，一人得 2 个，一人得 3 个；剖析：（1）为典型无序分组问题，可分三步达成，即取出一个做第一份，取出 2 个做第二份，取出 3 个做第三份，达成分组，关于（ 2）为有序分组问题，可采纳先按（ 1）分组，再进行分派，即摆列。
概括：从 1,2 问划分分组要求与分派要求，并掌握基本方法。
此外，举出近似问题，一同归纳为：不一样小球投入相同的盒子，不一样小球投入不一样的盒子(3)分红三份， 1 份 4 个，此外两份每份 1 个；(4)甲、乙、丙三人中，一人得 4 个，此外两人每人得 1 个；剖析：（3）与（ 1）问题种类相同，同为分组要求，不一样的地方：出现两份小球数目一样，即有均分组，此时按原方法计算会致使重复计算，举例：不如记6 个球为A、B、C、D、E、F，若第一步取了 ABCD，第二步取了 E，第三步取了 F，记该种分法为 (ABCD， E,F) ，则相同分法中还有 (ABCD,F,E) ，共 2 种状况，而这 2 种状况仅是 E，F 的次序不一样，从摆列角度易算出不一样的分法为A22，需在原基础上除以A22，消去次序。
概括：在分组中出现均分组状况，需要消序，即除以均分组的组数全摆列数【例 2】按以下要求分派 6 个相同的小球，各有多少种不一样的分派方式(1)分红三份， 1份 1个，1份 2个，1份3个；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 个，一人得 2 个，一人得 3 个；一. （1）经过穷举的方法算出结果，认识到分法差别在于各组小球数目的相对性二.（2）分法差别在于不一样的小组小球的数目，方法：先定数目分派，再分派入盒。
几类经典排列组合问题
一、小球放盒子问题（分组问题）（1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。
解析：分步乘法计数原理，每个小球都有六种放法答案：66。
（2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。
解析：思路一：分步乘法计数原理，第一个小球有6种放法第二个小球有5种放法……第六个小球有1种放法即6*5*4*3*2*1；思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A6 6。
答案：720。
（3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。
解析：平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF，首先从6个球中选出2个，为C2 6；然后从剩下的4个球中选出2个，为C2 4；最后剩下2个球，为C2 2；但是：C2 6取出AB球、C2 4取出CD球、剩EF球；C2 6取出AB球、C2 4取出EF球、剩CD球；C2 6取出CD球、C2 4取出AB球、剩EF球；C2 6取出CD球、C2 4取出EF球、剩AB球；C2 6取出EF球、C2 4取出AB球、剩CD球；C2 6取出EF球、C2 4取出CD球、剩AB球；得到的结果是一样的，故按照C2 6C2 4C2 2组合完成后还应除去A3 3，答案：C2 6C2 4C2 2/A3 3（4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。
解析：平均分组后再分配的问题平均分组得到的结果为C2 6C2 4C2 2/A3 3，分完组后三堆小球还要放到不同的盒子里，即再进行一个A3 3的排列答案：C2 6C2 4C2 2（5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。
解析：非平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆，首先从6个球中选出1个，为C1 6；然后从剩下的5个球中选出2个，为C2 5；最后剩下3个球，为C3 3；注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，因此C1 6C2 5C3 3即为最后结果，不需要再除以A3 3答案：C1 6C2 5C3 3（6）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个不同的盒子里。
球入盒问题分类例析
“球入盒”问题分类例析排列组合问题中经常遇到“球入盒子”类型题目，这类问题的类型和解法如下：一、球相同，盒子相同，且盒子不能空 例1．8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法解析 球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个. 由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个， 有五种不同的放法.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），不能有空盒时的放法种数等于ｎ分解为ｍ个数的和的种数.二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2．8个相同的球放入3个相同的盒子中. 问有多少种不同的放法解析 与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中.，有十种不同的放法.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），可以有空盒时的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、…、2个、1个数的和的所有种数之和.《三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法解析 这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法. 将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有27C =21267=⨯种，这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内. 故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法种数等于11--m n C . 四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中. 问有多少种不同的放法解析 与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个. 还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板. 首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有19C 种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有110C 种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中. 故一共有2119C 110C 452910210=⨯==C 种. 或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即453692919=+=+C C 种.例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 先放一个到每个盒子中，只有一种放法. 然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，有2126721271716=⨯==C C C 种.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于12-+m n C .|五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5．8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了，因为放入盒子只有一种情况. 而8个球分成三堆，各堆球数依次为1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种. 对情况1-1-6有2661718C C C 种分法，对情况1-2-5有552718C C C 种分法，对情况1-3-4有443718C C C 种分法，对情况2-2-4有2442628C C C 种分法，对情况2-3-3有2333628C C C （注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）.故一共有2661718C C C +552718C C C +443718C C C +2442628C C C +2333628C C C =966种. 结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数.六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6．8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1272148553866287718=+++C C C C C C C ；二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况. 所以一共有966+127+1=1094种.结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、…、2堆、1堆的所有种数之和.七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法 ；解析 这个问题就等价于“8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法”就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中. 即96633A =5796种.结论 ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数乘以ｍ！.例8 将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒子内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）.A 120B 240C 360D 720解析 先在10个不同的球中任取7个分别放到对应标号的盒子中，有710C 种选法；再将剩下的三个球分别放入剩下的三个盒子中，每个盒子放一个且标号不能相同，有2种放法. 故满足题意的放法有2710C =240种，选B. 八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例9．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的12776233=A ，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561种.它也等价于“8封信投到3个邮箱里”,应该有38=6561种.结论ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒的放法种数等于ｍｎ种.。
“将小球放入盒子中” 的归类求解教学探讨
121学习版在高中数学人教A 版选修2－3的排列、组合及概率这两章中，常常会有一些求将小球放入盒中的排列、组合及概率应用题。
而学生在求解这类问题时却常常感到十分辣手，也很难进行正确解答。
笔者在多年的教学中，总结出这类问题的处理方法，把它分成四种类型，每种类型又大致分为三种情况，对每种类型的各种情况的处理方法作了详细论述并作举例说明，供广大教学工作者和学生参考。
一、球各不相同，盒子也互不相同：1.球和盒子均不作任何限制。
解决方案：住店法：即若将m 个互不相同的小球放入n 个互不相同的盒子中，由于每个小球各有n 种不同的放法，由分步乘法计数原理得共有n 种不同的放法。
2.对放入盒子中的球的个数作限制。
（1）球的个数少于盒子的个数，且每个盒子中至多放一个球。
解决方案：排列法：如将m 个不同的小球放入n（m ≤n）个不同的盒子中，且每个盒子中至多放一个小球，则相当于从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，所以共有种不同的放法；（2）球的个数多于盒子的个数，且每个盒子中至少放一个球。
解决方案：分组分配法：此类问题可先将小球分成与盒子数相等的组，再将这些组放入各个盒子中。
3.对放球的盒子数作限制，即放球的盒子数少于盒子的总数，允许有空盒的放法（此时要求球的个数不少于盒子的总数）解决方案：分组分配法：这种类型的解法类似于上种类型的解法，只是将小球分组时，所分的组数少于盒子的总数，而等于盒子的总数减去空盒的个数。
在将分好组的小球放入盒子前，需先选出盒子，再放入小球。
二、球各不相同，但各盒子相同：1.对放入盒子中的球作限制，即每个盒子中至少放有一个球。
解决方案：分组法：这种类型的解决方法是只需将小球分成与盒子数相等的组。
由于各个盒子相同，所以将分好的组放入盒子中时则只有一种放法，故只需求小球的分组的方法数，就可得小球的放法数。
2.对盒子数作限制，即放球的盒子数少于盒子总数，允许有空盒的放法。
解决方案：分组法：这种类型的解决方法类似于上种解法，只是将小球分的组数少于盒子总数，即所分组数等于盒子总数减去空盒数。
分球入盒问题的分类讨论
分球入盒问题的分类讨论214046 无锡旅游商贸高等职业技术学校 许震宇分球入盒问题是组合数学中的一个典型问题，即把m 个球放入n 个盒中，求放法种数．因为需要考虑小球是否相同、盒子是否相同、当n m ≥时是否允许盒子为空、当n m ≤时是否允许一盒容纳多球，现将分球入盒问题进行分类讨论．1 当n m ≥时，m 个相同的球放入n 个盒中等价于正整数m 分拆成n 个自然数n 21x ,,x ,x 的和．定义1 把正整数m 表示成n 个自然数的和n 21x x x m +++= ，叫做m 的一个分拆，每一个数)i 1(x i n ≤≤称为分拆的一个分部，有n 个分部的分拆称为n 分拆．若分拆的n 21x ,,x ,x 全为正整数，则称为m 的正定n 分拆；若分拆的n 21x ,,x ,x 全为非负整数，则称为m 的半正定n 分拆．若分拆与n 21x ,,x ,x 的顺序无关，则称为m 的无序n 分拆；若分拆与n 21x ,,x ,x 的顺序有关，则称为m 的有序n 分拆．1.1 当n m ≥时，m 个相同的球放入n 个相同的盒中，盒子不能为空等价于正整数m 的无序正定n 分拆．用n)B(m,表示m 的无序正定n 分拆的总数，显然有1B(m,1)=，11)-m B(m,=，1m)B(m,=，n)0(m n)B(m,<=．用B(m)表示所有m 的无序正定分拆的总数，即m)B(m,B(m,2)B(m,1)B(m)+++= ．定理1 当n m ≥时，m 个相同的球放到n 个相同的盒中，盒子不能为空，放法种数为n)n,-B(m n,2)-B(m n,1)-B(m n)B(m,+++= ．证明 可以这样考虑，先在n 个盒中各放入1个球，再把剩余的n)(m -个相同的球放入n 个相同的盒中的1个盒子，或者其中的2个盒中且无空盒，…，或者全部的n 个盒中且无空盒，这就等价于所有n)(m -的分成至多n 个分部的无序正定分拆，总数为n)n,-B(m n,2)-B(m n,1)-B(m +++ ．1.2 当n m ≥时，m 个相同的球放入n 个相同的盒中，盒子可以为空等价于正整数m 的无序半正定n 分拆，放法种数为n)B(m,B(m,2)B(m,1)+++ ． 证明 可分为n 类：第1类，空盒数为n-1，即m 个相同的球放入n 个相同盒中的1个盒子，有B(m,1)种放法；第2类，空盒数为n-2，即m 个相同的球放入其中的2个盒中且无空盒，有B(m,2)种放法；…；第n 类，空盒数为0，即m 个相同的球放入n 个盒中且无空盒，有n)B(m,种放法，根据加法原理，所有的放法种数为n)B(m,B(m,2)B(m,1)+++ ．1.3 当n m ≥时，m 个相同的球放入n 个不同的盒中，盒子不能为空等价于正整数m 的有序正定n 分拆，放法种数为1n 1m C --． 证明 用挡板法，将m 个相同的球排成一排，m 球之间的m-1个空隙放入n-1个挡板，从而分成n 份，分别对应n 个不同盒，故有1n 1m C --种放法． 1.4 当n m ≥时，m 个相同的球放入n 个不同的盒中，盒子可以为空等价于正整数m 的有序半正定n 分拆，放法种数为1-n 1n m C -+． 证明1 可分为n 类：第1类，空盒数为0，即m 个相同的球放入n 个不同的盒中且无空盒，有1-n 1-m n n C C 种放法；第2类，空盒数为1，即m 个相同的球放入其中的n-1个盒中且无空盒，有2n 1-m 1-n n C C -种放法；…；第n 类，空盒数为n-1，即m个相同的球放入其中的1个盒中，有01m 1n C C -种放法，故所有的放法种数为1-n 1n m 01m 1-n n 2n 1m 1n 1n 1m 0n 01m 1n 2n 1m 1-n n 1n 1m n n C C C C C C C C C C C C C -+----------=+++=+++ ．证明2 可以这样考虑：若先在n 个盒中各放入1个相同的球，则等价于把m+n个相同的球放到n 个不同的盒中且无一空盒，根据定理1.3，放法种数为1-n 1n)(m C -+． 2 当n m ≥时，m 个不同的球放入n 个盒中等价于m 元集}a ,,a ,{a A m 21 =分划成n 个两两互斥的子集n 21A ,,A ,A 的并． 定义2 设n 21A ,,A ,A 是m 元集}a ,,a ,{a A m 21 =的一族子集，如果满足：(1)n 21A ,,A ,A 两两不交；(2)A A A A n 21= ，则称子集族n 21A ,,A ,A 是集A 的一个分划，每个子集称为分划的一个分块，有n 个分块的分划称为n 分划．若分划的n 21A ,,A ,A 中无一空集，则称为m 元集A 的非空n 分划；若分拆的n 21A ,,A ,A 中允许有空集，则称为m 元集A 的可空n 分划．若分划与n 21A ,,A ,A 的顺序无关，则称为m 元集A 的无序n 分划；若分拆与n 21A ,,A ,A 的顺序有关，则称为m 元集A 的有序n 分划．2.1 当n m ≥时，m 个不同的球放入n 个不同的盒中，盒子可以为空 等价于m 元集A 的有序可空n 分划，放法种数为m n ．证明 根据球数分成m 步，每球可放入n 个盒中的任一个，故有m n 种放法． 2.2 当n m ≥时，m 个不同的球放入n 个不同的盒中，盒子不能为空等价于m 元集A 的有序非空n 分划．用n)D(m,表示m 元集A 的有序非空n 分划的总数，显然1D(m,1)=．定理2 当n m ≥时，m 个不同的球放入n 个不同的盒中，盒子不能为空，放法种数等于m1n1n m 3-n n m 2-n n m 1-n n m n n C )1(3)-(n C 2)-(n C 1)-(n C n C n)D(m,１＋＋---+-= ． 证明 记事件A ：m 个不同的球放入n 个不同的盒中且无一空盒，方法种数等于m 元集A 的有序非空n 分划的总数n)D(m,；记事件n A ：m 个不同的球放入n 个不同的盒中且盒子可以为空，有mn nn C 种放法，记事件1-n A ：m 个不同的球放入其中的n-1个盒中且盒子可以为空，有m 1-n n 1)-(n C 种放法，……记事件1A ：m 个不同的球放入其中的1个盒中，有m1n 1C 种放法，根据容斥原理，11n 3n 2n 1n n A )1(A A A A A ------+-=＋＋ ，故A 所有的放法种数为m1n1n m 3-n n m 2-n n m 1-n n m n n C )1(3)-(n C 2)-(n C 1)-(n C n C n)D(m,１＋＋---+-= ． 特别地，!m C )1(2)-(m C 1)-(m C m C m)D(m,m1m 1m m 2-m m m 1-m m m m m =-+-=-１＋＋ 推论 m 1n 1-n n n n n D(m,1)C 1)-n D(m,C n)D(m,C =+++ ．证明 m 个不同的球放入n 个不同的盒中，盒子可以为空，放法种数为m n ，可分为n 类：第1类，空盒数为0，即m 个不同的球放入n 个不同的盒中且无空盒，有n)D(m,C n n 种放法；第2类，空盒数为1，即m 个不同的球放入其中的n-1个盒中且无空盒，有1)-n D(m,C 1-n n 种放法；…；第n 类，空盒数为n-1，即m 个不同的球放入其中的1个盒中，有n)D(m,C n n 种放法，根据加法原理，故所有的放法种数为m 1n 1-n n n n n D(m,1)C 1)-n D(m,C n)D(m,C =+++ ．2.3 当n m ≥时，m 个不同的球放入n 个相同的盒中，盒子不能为空 等价于m 元集A 的无序非空n 分划，放法种数为n!n)D(m,．证明 m 个不同的球放入n 个不同的盒中且无空盒，方法种数为n)D(m,，可以分成2步完成：第1步，把m 个不同的球放入n 个相同的盒中且无空盒，其放法种数记为X ；第2步，把n 个相同的盒标上不同记号，共有n!种方法，根据乘法原理，n)D(m,n!X =⨯，故有n!n)D(m,X =． 2.4 当n m ≥时，m 个不同的球放入n 个相同的盒中，盒子可以为空 等价于m 元集A 的无序可空n 分划，放法种数为1!D(m,1)1)!-(n 1)-n D(m,n!n)D(m,+++ ． 证明 可分为n 类：第一类，空盒数为0，即m 个不同的球放入n 个不同的盒中且无空盒，共有n!n)D(m,种放法；第二类，空盒数为1，即m 个不同的球放入其中的n-1个盒中且无空盒，共有!1-n 1)-n D(m,）（种；…；第n 类，空盒数为n-1，即m个不同的球放入其中的1个盒中，共有1!D(m,1)种，根据加法原理，所有的放法种数为1!D(m,1)1)!-(n 1)-n D(m,n!n)D(m,+++ ． 3 当n m ≤时，m 个球放入n 个相同盒中 等价于m 个球放入m 个相同盒中．3.1 当n m ≤时，m 个相同的球放入n 个相同的盒中，一盒仅容一球即m 个相同的球放到m 个相同的盒中，盒子不能为空，放法种数为1m)B(m,=． 3.2 当n m ≤时，m 个相同的球放入n 个相同的盒中，一盒可容多球 即m 个相同的球放到m 个相同的盒中，盒子可以为空，放法种数为m)B(m,B(m,2)B(m,1)B(m)+⋯++=．3.3 当n m ≤时，m 个不同的球放入n 个相同的盒中，一盒仅容一球 即m 个不同的球放入m 个相同的盒中，盒子不能为空，放法种数为1m!m)D(m,=．3.4 当n m ≤时，m 个不同的球放到n 个相同的盒中，一盒可容多球 即m 个不同的球放到m 个相同的盒中，盒子可以为空，放法种数为1!D(m,1)1)!-(m 1)-m D(m,m!m)D(m,+++ ． 4 当n m ≤时，m 个球放入n 个不同的盒中4.1 当n m ≤时，m 个相同的球放入n 个不同的盒中，一盒仅容一球等价于从n 个不同元素中选出m 个元素的组合数，放法种数为m n C m)n,(C =． 4.2 当n m ≤时，m 个相同的球放到n 个不同的盒中，一盒可容多球放法种数为1-n 1n m C -+．同1.4的证明2． 4.3 当n m ≤时，m 个不同的球放到n 个不同的盒中，一盒仅容一球等价于从n 个不同元素中选出m 个元素的排列数，放法种数为m n A m)A(n,=． 4.4 当n m ≤时，m 个不同的球放到n 个不同的盒中，一盒可容多球 放法种数为m n ．同2.1的证明．。
考研最后20天 数学排列组合中的分球入盒问题
逻辑真题解析
了解逻辑真题的主要考查内容，试题结构，预测逻辑真题的命题趋向
2
王晓东
《考研管综真题》
数学基础
通过学习管理类联考数学的基本概念、基本理论、基本方法，为强化提高 打基础
20
刘京环
《考研管综初数基础讲义-刘京环》
《管理类联考数学阅卷人核心教程》
写作强化
通过课程学习巩固考研写作的要点重点难点，并掌握写作的大体思路
12
王诚
《经济类联考综合阅卷人核心笔记·写作》
《经济类联考综合阅卷人核心笔记·写作》
冲刺串讲
各科冲刺串讲，系统串讲各科知识体系，指导考生针对核心考点进行深度 学习。
8
数学强化
依据考试大纲及历真题介绍管理数学数学主要知识点，归纳总结命题方向 和常见的解题思想。
32
刘京环
《考研管综初数强化讲义》
《管理类联考数学阅卷人核心笔记·数学》
逻辑强化
熟悉逻辑各题型的特点和表现形式，能熟练地运用各知识点和相关的逻辑 方法解题
24
李擂
《经济类联考综合阅卷人核心笔记·数学》
《经济类联考综合阅卷人核心笔记·数学》
逻辑强化
熟悉逻辑各题型的特点和表现形式，能熟练地运用各知识点和相关的逻辑 方法解题
16
饶思中
《考研管综逻辑强化讲义》
《经济类联考综合阅卷人核心笔记·逻辑》
李擂
《考研经综数学冲刺讲义》
《经济类联考综合阅卷人核心预测 4 套卷》
逻辑冲刺
提高运用各种知识点和逻辑方法解答各种类型的逻辑题的综合能力；消灭 逻辑理解中的盲点和误区；提高解题的速度和正确率
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分球入盒问题
高二数学组朱育璋
分球入盒问题（球在盒子的分布情况）是概率中常见的一类题型，如：
(1)生日问题：n个人的生日的可能情况（每个人生日是365天之一），相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；
（2）书籍分堆问题：6本画册分给3份，每份至少一本
（3）名额分配问题：7个参赛名额分给不同班级
（4）有n封信随机的投放在N个信筒中（筒内信数不限）；
此类问题具有背景丰富，应用广泛等特点。
本文旨在总结解此类题的规律，理清思路，以便更好的更快的求解问题。
例题分析
【例1】按下列要求分配6个不同的小球，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1个，1份2个，1份3个；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1个，一人得2个，一人得3个；
分析：（1）为典型无序分组问题，可分三步完成，即拿出一个做第一份，拿出2个做第二份，拿出3个做第三份，完成分组，对于（2）为有序分组问题，可采取先按（1）分组，再进行分配，即排列。
归纳：从1,2问区分分组要求与分配要求，并掌握基本方法。
另外，举出类似问题，一起归结为：不同小球投入相同的盒子，不同小球投入不同的盒子
(3)分成三份，1份4个，另外两份每份1个；
(4)甲、乙、丙三人中，一人得4个，另外两人每人得1个；
分析：（3）与（1）问题类型相同，同为分组要求，不同的地方：出现两份小球数目一
样，即有均分组，此时按原方法计算会导致重复计算，举例：不妨记6个球为A、B、C、D、E、F，若第一步取了ABCD，第二步取了E，第三步取了F，记该种分法为(ABCD，E,F)，则同样分法中还有(ABCD,F,E) ，共2种情况，而这2种情况仅是E，F的顺序
不同，从排列角度易算出不同的分法为2
A，需在原基础上除以22A，消去顺序。
2
归纳：在分组中出现均分组情况，需要消序，即除以均分组的组数全排列数
【例2】按下列要求分配6个相同的小球，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1个，1份2个，1份3个；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1个，一人得2个，一人得3个；
一.（1）通过穷举的办法算出结果，认识到分法差异在于各组小球数量的相对性
二. （2）分法差异在于不同的小组小球的数量，方法：先定数量分配，再分配入盒。
归纳：
1.球不同，盒子同（分组问题）
方法：典型组合问题，首先明确各组小球的数量，然后逐步算出每一组的组合方式，再相乘。
注意：平均分组时，需消序，即除以均分组的个数的全排列数
2.球不同，盒子不同（分配问题）
方法：先组合后排列，首先按1类型算出分组方法，然后将各组整体视为单个元素，再进行排列。
特别地：当每个盒子不限小球的个数时，可让每一个小球依
次选择盒子，各小球的选择方法有b种，总数a b·
3.球同，盒子不同（分法的差异：不同盒子所装小球的数量）
穷举法：
隔板法：将a个小球排成一列，小球间形成a-1个空位，从中选择b-1个空位插入隔板，等价于将元素分成b份。
注意;该法要求每个盒子至少有一个小球，不允许空盒
4.球同，盒子同（分法的差异：各盒子所装小球数量的相对性）
穷举法：即把每一个分法详细写出来。
分球入盒问题思考方式
1. 如何辨认何种考题属于此题型？
特征：考察对象有两个，一个是待分配的，另一个对象具有容纳功能，常见问题：信件投信箱，多人人选房子住宿，赠书给人
2. 辨别哪个是小球，哪个是盒子。
盒子：具有容纳的功能
3. 辨别小球（盒子）同还是不同，确定问题的具体类型，准确选择方法。
4. 计算概率时，为典型的等可能实验。