二项分布应用举例说课讲解
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
二项分布(讲课)
的概率是(
1 A. 3
A )
2 B. 5 5 C. 6
D.以上都不对.
8、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生 一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事 件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是( A)
0 1 0. 1 A. 0.4， B. 0，.4 C. 0， 6 D. 0.6，
5、某产品的合格率是0.9，下列事件可看做独立重复试 验的是（ C ） A. 一次抽三件，都是合格产品； B.一次抽三件，只有2件是次品； C. 抽后放回，连续抽三次，都是次品； D. 抽出后，合格品不放回，次品放回，连抽三次，都是 合格品.
4 6、某机器正常工作的概率是 ，5天内有4天正常工作 5
复习回顾：
1、互斥事件:
对立事件: 独立事件：
不可能同时发生的两个事件 必有一个发生的互斥事件 事件A（或B）是否发生对事件 B（或A）发生的概率没有影响
2、互斥事件有一个发生的概率公式： 3、对立事件的概率的和等于1.即
P A B P A PB
（互斥加）
P(A)＋P( A )＝1 或P( A )=1-P(A) 4、相互独立事件同时发生的概率公式：射击过程中，
思考2：写出该射手射击4次恰好击中目标3次的 所有可能性？ 思考3：写出该射手射击4次恰好击中目标3次 的所有可能性的概率表达式，及其概率之间的 关系？
归 纳：
某射手射击一次，击中目标的 概率是0.9，求他射击4次恰好击中 目标3次的概率.
把这种事件看做独立重复试验 ， 它的特点是什么？ 计算结果是多少？如果射击5次 恰好击中目标3次呢.你能求出 答案并总结出规律吗？
一般地如果在1次试验中某事件发生的概率是p那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率二项分布公式一般地在一次试验中事件a发生的概率是p随机变量x为n次独立实验中事件a发生的次数那么随机变量x的概率分布为此时称随机变量x服从二项分布记xbnp并称p为成功概率
二项分布公开课课件
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
第16讲 二项分布及其应用
第16讲 二项分布及其应用第一部分 知识梳理1.条件概率的定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率。
(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A = 由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅。
2.(|)P B A 的性质（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+。
更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞= 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=。
3.相互对立事件的定义设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) 。
事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。
4.相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅。
5.对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：6.独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+7.独立重复试验的概率公式一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(。
二项分布及其应用(讲课适用)
p
1
n
（理论值）
sp p(1 p) n （实际值）
（二）二项分布的累计概率
从阳性率为
的总体中随机抽取n个观察单位，则
（1）最多有k例阳性的概率为
P(X k) P(0) P(1) P(k)
（2）最少有k例阳性的概率为
P(X k) P(k) P(k 1) P(n) 1 P(X k 1)
一、二项分布的概念及应用条件
1、概念：若试验 E 只有两种相互对立的结果(A及 A ),
并且 P(A) ，
， 把 E 独立地重复 n
次的试验称为 n 重贝努里试验（Bernoulli trial）。
n 重贝努里试验中事件A发生的次数 x 所服从的分布
即为二项分布（binomial distribution），记为 x ~
二项分布及其应用
内容提纲
二项分布的概念及应用条件 二项分布的性质 二项分布的特点 二项分布的应用
一、二项分布的概念及应用条件
举例：设小白鼠接受一定剂量的某种 毒物染毒后死亡率为80%。若每组各 用3只小白鼠（甲、乙、丙）接受该 种毒物染毒，观察各组小白鼠的存亡 情况。
死亡数 x
(1) 0
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
1
2
3 合计
表 1 3 只小白鼠染毒后的死亡只数的概率分布
二项分布课件(上课)
与泊松分布的对比
二项分布和泊松分布都是离散概率分布，但在使用 条件和计算方法上存在差异。
结论
1 总结二项分布的重要性和应用
二项分布作为。
2 鼓励学习与探索
希望本课件能激发您对二项分布的兴趣，鼓励您深入学习和探索更多相关知识。
二项分布的例子
通过实例演示二项分布的应用
让我们通过一个具体的例子来展示二项分布在实际 问题中的应用。
解析例子中的二项分布计算过程
我们将逐步解析例子中的二项分布计算过程，帮助 您理解如何计算二项分布。
二项分布与其他分布的对比
与正态分布的对比
二项分布和正态分布在分布形状和应用场景上有着 显著的不同。
二项分布的公式
二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：
如何计算二项分布
要计算二项分布的概率，需要使用二项分布公式并 结合给定的参数值。
二项分布的应用
二项分布在实际生活中的应用
二项分布广泛应用于各种需要计算概率的实际场景，如商业决策、市场调研和生物统计等。
二项分布在统计学中的应用
二项分布是统计学中最基本且最重要的概率分布之一，被广泛用于推断统计、假设检验和实 验设计等领域。
二项分布课件(上课)
欢迎来到二项分布课件！在本课程中，我们将深入探究什么是二项分布以及 它的特点。让我们一起展开这个精彩的旅程吧！
背景介绍
1
何为二项分布
二项分布是一种离散概率分布，用于描述在固定次数的独立实验中成功的次数。
2
二项分布的特点
二项分布具有两个参数：试验次数（n）和成功的概率（p）。
二项分布的公式与计算
二项分布的应用实例
二项分布的应用实例二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍二项分布的应用实例。
一、质量控制在生产过程中，为了保证产品的质量，通常需要进行抽样检验。
假设某产品的不合格率为p，每次抽取一个产品进行检验，成功表示合格，失败表示不合格。
如果进行n次独立重复的抽样检验，那么成功的次数就是一个服从二项分布的随机变量。
通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的不合格率和抽样次数下，产品合格的概率，从而评估产品的质量水平。
二、投资决策在投资决策中，往往需要考虑到风险和收益的平衡。
假设某投资项目的成功率为p，每次投资的结果只有成功和失败两种可能。
如果进行n次独立重复的投资，那么成功的次数就是一个服从二项分布的随机变量。
通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的成功率和投资次数下，投资成功的概率，从而帮助投资者做出决策。
三、市场调研在市场调研中，经常需要对样本进行调查，以了解人群的特征和偏好。
假设某特定特征的人群比例为p，每次调查抽取一个样本，成功表示具备该特征，失败表示不具备该特征。
如果进行n次独立重复的调查，那么成功的次数就是一个服从二项分布的随机变量。
通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的特征比例和样本数量下，样本中具备该特征的概率，从而推断整个人群中具备该特征的比例。
四、医学诊断在医学诊断中，经常需要进行实验或观察，以确定某种疾病的发生率或治疗效果。
假设某种疾病的发生率为p，每次实验或观察只有发生和不发生两种可能。
如果进行n次独立重复的实验或观察，那么发生的次数就是一个服从二项分布的随机变量。
通过对二项分布进行分析，可以确定在给定的发生率和实验或观察次数下，疾病发生的概率，从而帮助医生做出诊断或评估治疗效果。
五、运输调度在物流运输中，经常需要考虑货物的损失率或延误率。
假设某种货物的损失率或延误率为p，每次运输只有损失或延误和未损失或未延误两种可能。
《二项分布》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
—般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与非A，每次试验中>0。我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验（Bernoulli trials） 。
分析1 这是一个3次独立重复试验，设“射中目标”为事件A，则 ，(记为q)，用下面的树形图来表示该试验的过程和结果。(图略)由树形图可见，随机变量X的概率分布如下表所示
解 由于批量较大，可以认为随机变量，随机变量X的概率分布如下表所示。
故 由 得 标准
答 随机变量X得数学期望为0.5，方差约为0.475，标准差约为0.6892.
由题意可知中靶的概率为0.8,故打100发子弹有4发中靶的概率为
由题意，根据n次独立重复试验的概率计算公式，可得所求概率为。
教材第118页习题第1、2、3、5题，第119页第2、4题。
求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率。
解 设X为抛掷100次均匀硬币出现正面的次数，依题意，随机变量，则 答 随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率为8%。
设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，该公司规定:每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元。如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006,那么该公司会赔本吗？
分析2 在X= k时，根据试验的独立性，事件A在某指定的k次发生时，其余的(3-k)次则不发生，其概率为，而3次试验中发生k次的方式有种，故有 因此，随机变量X的概率分布如下表所示
二项分布：若随机变量X的分布列为，其中，，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作。
一般地，在n次独立重复试验中，由于试验的独立性，n 次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余次不发生的概率为。又由于在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的方式有种，所以在n重伯努利试验中，事件A恰好发生次的概率为 k=0，1，2，···n，它恰好是的二项展开式中的第项。
二项分布应用举例
二项分布应用举例二项分布是离散型概率分布，适用于在一定次数的独立重复试验中，成功和失败只两种可能性且各自概率不变的情况下，成功的次数的概率分布。
下面将介绍二项分布应用的一些典型例子。
1. 计算生产产品的合格率某工厂的产品一共要生产1000个，其中每一个产品是否合格都是相互独立的。
该工厂已经进行了1000次相同的生产过程，成功生产出合格产品的概率为0.95。
利用二项分布，可以计算出生产出的合格产品数量的概率分布。
例如，如果需要计算出合格产品数量在950-980之间的概率，可以使用二项分布的累计分布函数来求解。
2. 测试新药的功效医药公司研制一种新药，需要进行临床试验。
该公司在一定的样本人群中，随机选择了1000个人试验新药，其中预计有5%的患者能够痊愈。
利用二项分布，可以计算出治愈的患者数量的概率分布。
例如，如果需要计算出治愈患者数量在40-60之间的概率，可以使用二项分布的累计分布函数来求解。
3. 定义飞机故障概率飞机的故障概率是影响飞机航班安全的一个关键因素。
如果假设飞机在一个航班中出现故障的概率是0.01，那么在1000个航班中，出现至少一次故障的概率是多少？利用二项分布，可以计算出在1000个航班中，出现故障次数的概率分布，然后通过对概率分布函数求和，可以得到至少出现一次故障的概率。
4. 预测通过考试的学生比例某个班级参加英语考试，全班100人，其中40人备考充分，60人未备考。
设备考充分的学生通过考试的概率为0.9，未备考的学生通过考试的概率为0.3。
利用二项分布，可以计算出通过考试的学生数量的概率分布。
例如，如果需要预测考试通过的学生比例，可以使用二项分布的期望值计算出预测值。
综上所述，二项分布可以应用于许多实际问题，如生产产品合格率、药物试验效果、飞机故障预测、考试学生比例等，为实际问题的分析和决策提供了重要的概率工具。
《二项分布》之实例引入
《二项分布》之实例引入二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在实际生活中，我们经常会遇到类似的情况，比如抛硬币、投篮、抽奖等。
本文将通过几个具体的实例来介绍二项分布的概念和应用。
第一个例子是关于抛硬币的问题。
假设我们有一个公平的硬币，即正反面出现的概率都是50%。
现在我们要对这个硬币进行10次连续的抛掷，问在这10次抛掷中，正面出现的次数为多少的概率最高？这个问题可以用二项分布来解决。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示成功的概率，C(n, k)表示组合数。
在这个例子中，n=10，p=0.5。
我们可以通过计算P(X=k)来得到在10次抛掷中正面出现k次的概率。
通过计算可以得到，当k=5时，P(X=5)取得最大值。
这就意味着在10次抛掷中，正面出现5次的概率最高。
通过上面这几个实例，我们可以看到二项分布在描述多次独立重复试验中成功次数的概率分布方面具有很好的应用。
不仅可以用于抛硬币、投篮、抽奖等日常生活中的情景，还可以用于更复杂的实际问题，比如医学研究、市场调查等领域。
二项分布的成功次数和失败次数的概率分布，能够帮助我们更好地理解和分析实际问题，为决策提供科学依据。
了解和掌握二项分布的概念和应用是非常重要的。
通过以上的实例引入，我们对二项分布的概念和应用有了一定的了解。
二项分布是概率论中的重要内容，它描述了多次独立重复试验中成功次数的概率分布，具有广泛的应用价值。
希望这些实例可以帮助读者更好地理解和掌握二项分布的知识，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
二项分布的应用实例
二项分布的应用实例二项分布是概率论中常见的一种离散概率分布，它描述了在一系列独立重复的同类试验中成功的次数的概率分布。
在现实生活中，二项分布有着广泛的应用，例如在市场营销、医学研究、质量控制等领域都可以看到它的身影。
本文将通过几个具体的应用实例来说明二项分布在实际问题中的重要性和应用价值。
### 1. 市场营销中的应用假设某公司推出了一款新产品，想要了解在推广活动中每位潜在客户购买该产品的概率。
通过对一定数量的潜在客户进行问卷调查或者市场调研，可以得到购买该产品的整体概率。
假设购买该产品的概率为p，不购买的概率为1-p。
如果公司计划在未来的市场推广活动中接触n位潜在客户，那么购买该产品的客户数量就可以用二项分布来描述。
例如，如果p=0.3，即购买该产品的概率为30%，公司计划接触100位潜在客户，那么购买该产品的客户数量的期望可以通过二项分布计算得出。
这对于公司制定市场营销策略、评估推广效果具有重要意义。
### 2. 医学研究中的应用在临床试验或流行病学调查中，研究人员常常需要了解某种疾病的发病率或者某种治疗方法的有效性。
以某种药物治疗某种疾病为例，假设该药物的治愈率为p，不治愈的概率为1-p。
如果在一组病人中进行治疗，想要知道有多少病人能够被治愈，就可以使用二项分布进行建模。
通过对一定数量的病人进行治疗并记录治愈情况，可以利用二项分布计算出在治疗n位病人的情况下，治愈的病人数量的期望。
这有助于医学研究人员评估药物的疗效，指导临床实践。
### 3. 质量控制中的应用在生产过程中，产品的质量控制是至关重要的。
假设某工厂生产的产品中存在一定的缺陷率，想要了解在生产一定数量的产品后有多少个产品存在缺陷，就可以使用二项分布进行建模。
通过对一定数量的产品进行抽样检验，并记录有缺陷的产品数量，可以利用二项分布计算出在生产n个产品的情况下，有缺陷产品的数量的期望。
这有助于企业及时发现生产过程中的问题，采取有效措施提高产品质量。
二项分布随机变量的均值(说课稿)
二项分布随机变量的均值（说课稿）1本节课是人教版高中数学选修2-3第二章第3节的第2课时，是在学生学习了离散型随机变量的均值定义和简单的线性性质，会计算两点分布随机变量的均值之后所进行的内容。
它既是离散型随机变量均值定义的具体应用，也是前面二项分布内容的延伸。
同时，它还为后面学习二项分布随机变量的方差做铺垫。
由于二项分布是实际应用当中一种常见和重要的离散型随机变量分布模型，因此理解好二项分布随机变量均值的含义、掌握好其计算公式在解决市场预测，经济统计，风险与决策等领域的实际问题中有着重要的作用。
2[1]通过对实际问题的背景分析，理解二项分布随机变量均值的含义；[2]通过二项分布随机变量均值计算公式的推导与应用，掌握二项分布随机变量均值的计算公式。
[1]通过对二项分布随机变量均值计算公式的探究、推导，提高学生抽象概括、推理论证的能力，体会数学建模、先猜后证、化归等数学基本思想；[2]通过对实际问题的解答，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。
[1]通过对本课题中难点的解决，培养学生锲而不舍的钻研精神和科学态度；[2]通过对问题的解决，增强学生对于“一般与特殊”，“主要矛盾与次要矛盾在一定条件下可以互相转化”等辩证唯物主义思想的领悟。
3【教学重点】[1]二项分布随机变量均值计算公式的推导及应用；[2]数学建模、先猜后证、化归等数学思想方法的渗透。
【教学难点】二项分布随机变量均值计算公式的推导。
第 1 页共 9 页以高中数学新课程基本理念和建构主义理论为指导，以问题为载体、以学生为中心进行教学设计。
第一环节的目的是导入新知；第二环节的目的是获取新知；第三环节的目的是迁移应用；第四环节的目的是认知提升；第五环节的目的是拓展创新。
1【1】在NBA篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。
假设姚明罚球命中的概率为0.9，问题1.1：他罚球1次的得分的均值是多少？问题1.2：他罚球2次和罚球3次的得分的均值分别是多少？问题1.3：如果他在一场比赛中共罚球10次，那么他罚球得分的均值是多少？问题1.4：如果他在一个赛季中共罚球439次，那么他罚球得分的均值是多少？[1]建构主义认为，学习环境中的情境必须有利于学习者对所学内容的意义建构。
《二项分布》之实例引入
《二项分布》之实例引入【摘要】二项分布是概率论中一种重要的分布，可以描述进行n次独立重复的二分类实验中成功次数的概率分布。
本文将介绍二项分布的定义、特点以及应用举例，并通过实例分析和模型验证展现其实用价值。
通过实例引入，读者能更直观地理解二项分布的概念和应用。
二项分布在实际中有着广泛应用，比如在质量控制、市场营销和金融风险评估中都有着重要作用。
本文总结了二项分布的重要性，并展望其在未来的应用前景。
通过本文的学习，读者将深入了解二项分布的概念、特点和应用场景，从而更好地应用于实际问题的解决。
【关键词】关键词：二项分布、引入、定义、特点、应用、举例、实例分析、模型验证、总结、重要性、展望1. 引言1.1 什么是二项分布二项分布是概率论中非常重要的一个分布，在统计学和数据分析领域被广泛应用。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
简单来说，二项分布描述了在一系列相互独立的重复试验中，成功事件发生的次数。
具体地，二项分布的概率质量函数可以表示为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，k表示成功的次数，C(n,k)表示组合数。
二项分布是一种离散概率分布，其特点是具有明确的数学形式和严格的数学性质。
它的期望值为np，方差为np(1-p)。
二项分布在统计学中有着广泛的应用，比如在假设检验、置信区间估计、风险分析等方面都会涉及到二项分布的使用。
了解二项分布可以帮助我们更好地理解随机现象背后的规律，从而进行更准确的预测和决策。
在接下来的部分，我们将通过具体的实例引入来更深入地探讨二项分布的应用和重要性。
1.2 为什么要研究二项分布二项分布作为概率论中的重要分布之一，具有广泛的应用场景，对于研究者们来说，深入了解和掌握二项分布的特性和应用是至关重要的。
二项分布是概率论中最基本的离散概率分布之一，它可以描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的分布。
高中二项分布讲义
高中二项分布讲义
二项分布是一种离散型的概率分布，指在一次实验中，成功和失败两种结果的概率分布。
其中，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
在n次试验中，成功的次数X服从二项分布B(n,p)。
二. 二项分布的性质
1. 期望值：E(X) = np
2. 方差：Var(X) = np(1-p)
3. 概率计算公式：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，C(n,k)为组合数，表示从n个元素中选出k个元素的组合数。
三. 二项分布的应用
1. 生产质量控制：判定一个产量是否符合质量要求，可以用二项分布计算出在一定数量的检验中，质量合格的概率。
2. 投资决策：计算在一定次数的投资中，获利或亏损的概率，以便做出合理的投资决策。
3. 舆论调查：用统计方法进行舆论调查时，采用二项分布来计算出一定样本量中正面或负面反应的概率。
四. 二项分布的注意事项
1. 二项分布只适用于单次试验中只有两种结果的情况，且两种结果的概率相等。
2. 二项分布的应用需要根据实际情况进行适当的参数选择，如样本量、成功概率等。
3. 在计算中应注意组合数的计算方法，以免出现错误。
五. 结语
二项分布是一种十分重要的概率分布，具有广泛的应用。
在实际应用中，我们需要深入了解其概念、性质和应用方法，并且注意一些细节，以保证计算结果的正确性。
二项分布的实际应用课件高二上学期数学北师大版选择性必修一册
（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则 ①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求其中二级品的件数X的分布列及数学期望E（X）； ②从长期来看，投资哪种型号的节排器平均利润率较大？
P
X
＝1
＝
C13
1 4
1
3 4
2
＝
27 64
，
P
X
＝
2
＝
C32
1 4
2
3 4
1
＝
9 64
，
P
X
＝
3
＝
C33
1 4
3
3 4
0
＝
1 64
．
可得X的分布列如表所示．
X
0
1
2
3
27
9
1
P
64
64
64
64
所以 E X ＝ 0 27 1 27 2 9 3 1 ＝ 3 ．
64 64 64 64 4
二项分布的实际应用
（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则 ①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求其中二级品的件数X的分布列及数学期望E（X）； ②从长期来看，投资哪种型号的节排器平均利润率较大？
二项分布的实际应用
二项分布的实际应用
讲解1 利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤
➢ 根据题意设出随机变量； ➢ 分析随机变量是否服从二项分布； ➢ 若服从二项分布，则求出参数n和p的值； ➢ 根据需要列出相关式子并解决问题．
二项分布的实际应用
讲解2 解决二项分布问题的两个关注点
➢ 公式P（X＝k）＝ Ckn pk（1－p）n－k（k＝0，1，2，…，n）必须在满足“独立重复试验” 时才能运用，否则不能应用该公式．
《二项分布》之实例引入
《二项分布》之实例引入在统计学中，二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在实际生活中，我们常常面临这样的问题：如果进行了n次独立的成功与失败的试验，成功的次数会是多少？这时候，我们就可以用到二项分布来解决这个问题。
为了更好地理解二项分布，我们可以通过一些实例来引入这个概念。
在现实生活中，有很多问题都可以用二项分布来描述，比如抛硬币的问题、掷骰子的问题、抽样问题等等。
下面我们就通过一些具体的实例来介绍二项分布这个概念。
例1：抛硬币的问题假设我们有一枚硬币，抛十次看正面朝上的次数，这就是一个典型的二项分布的例子。
每次抛硬币都有两种可能的结果：正面或反面。
如果我们定义正面朝上为成功，反面朝上为失败，那么在十次抛硬币的实验中，成功的次数就可以用二项分布来描述。
为了更形象化地理解，我们可以用程序模拟来完成这个实验。
我们写一个简单的Python程序来模拟抛硬币的过程，然后统计十次抛硬币中正面朝上的次数。
代码如下：```pythonimport numpy as np# 模拟抛硬币的实验def flip_coin(n):result = np.random.randint(2, size=n)return np.sum(result)# 模拟十次抛硬币的实验experiments = 1000 # 模拟1000次实验n = 10 # 抛硬币的次数count = np.zeros(n+1) # 保存每种结果的次数通过运行这个程序，我们可以得到十次抛硬币中正面朝上0-10次的概率分布情况。
这个实例可以帮助我们更好地了解二项分布的概念，也可以通过这种方式来直观地感受二项分布的特性。
例2：掷骰子的问题另一个常见的二项分布实例是掷骰子的问题。
假设我们有一个六面的骰子，如果我们掷了十次，每次记录骰子的点数，并统计其中出现特定点数的次数，这也是一个典型的二项分布的问题。
同样地，我们可以用程序来模拟这个实验，然后得到掷骰子十次出现每种点数的概率分布情况。
二项分布剖析课件
公式：$PGF(z) = E(z^X) = sum_{k=0}^n C_n^k p^k (1p)^{n-k} z^k$。
特征函数（CF）
特征函数（CF）是二项分布在离散概率空间上的特征函数 ，表示在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的特征函 数的和。
公式：$CF(t) = E(e^{itX}) = sum_{k=0}^n C_n^k p^k (1-p)^{n-k} e^{itk}$。
二项分布剖析课件
目录
• 二项分布的概述 • 二项分布的性质 • 二项分布的参数 • 二项分布的计算方法 • 二项分布在统计学中的运用 • 二项分布的假设检验 • 二项分布的实例分析
01
二项分布的概述
二项分布的定义
总结词
二项分布是一种离散概率分布，描述 了在n次独立重复的伯努利试验中成 功的次数。
详细描述
二项分布适用于描述具有两种对立结 果的事件，其中每次试验只有两种可 能的结果，即成功或失败，且每次试 验的成功概率是相同的。
二项分布在现实生活中的应用
总结词
二项分布在金融、生物统计学、可靠性工程等领域有广泛应 用。
详细描述
在金融领域，二项分布用于评估投资风险和预期回报；在生 物统计学中，二项分布用于研究遗传学和流行病学中的事件 ；在可靠性工程中，二项分布用于分析产品的寿命和故障率 。
置信区间的确定
要点一
置信区间的概念
在统计学中，置信区间是指在一定置信水平下，样本统计 量可能取值的一个范围。这个范围越小，置信水平越高。
要点二
置信区间计算方法
在二项分布中，置信区间的计算方法通常采用正态近似法 或精确法。正态近似法适用于样本数量较大时，而精确法 适用于样本数量较小时。通过这些方法，可以计算出在一 定置信水平下，成功的次数可能取值的一个范围。
二项分布及其应用理详解演示文稿
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P(M1N0＋M2N1)＝P(M1N0)＋P(M2N1) ＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1) ＝C×0.7×0.3×0.42＋0.72×C×0.6×0.4 ＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4.
即甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概 率为0.302 4.
率为 .该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比
为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比 ．
(1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或 第二部分被击中2次”，求P(A)．
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【解】 (1)依题意知X～B(4， )，即X的分布列为
X0
1
2
3
4
┄┄┄(6分)
P
(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i ＝1,2.
Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2. 依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1 ∪ B1∪A1B1∪A2B2，┄┄┄┄┄┄(9分)
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甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命
中率分别为 与p，且乙投球2次均未命中的概率为 . (1)求乙投球的命中率p； (2)求甲投球2次，至少命中1次的概率； (3)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
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[思路点拨]
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3．独立重复试验
在 相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
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《二项分布》之实例引入
《二项分布》之实例引入二项分布是概率论中的一个重要分布，它常用于描述一种事件在进行多次独立实验中发生的次数的概率分布。
为了更好地理解二项分布，下面将通过一个实例来进行引入。
假设有一个游戏，游戏规则是投掷一颗骰子，如果骰子的点数为6，则表示胜利，如果骰子的点数不为6，则表示失败。
我们的目标是连续进行10次游戏，我们想知道在这10次游戏中获得胜利的次数的概率分布。
我们需要确定每次游戏获胜的概率。
由于骰子具有均匀分布的特点，即每个点数出现的概率相等，所以获胜的概率为1/6，失败的概率为5/6。
接下来，我们可以使用二项分布公式来计算在10次游戏中获胜的次数的概率。
二项分布的公式为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)P(X=k)表示获胜的次数为k的概率，n表示进行游戏的总次数，p表示每次游戏获胜的概率，C(n,k)表示从n次游戏中选取k次获胜的组合数。
我们将公式进行具体计算，得到在10次游戏中获胜的次数的概率分布如下：P(X=0)=C(10,0)*(1/6)^0*(5/6)^(10-0)=0.1615P(X=1)=C(10,1)*(1/6)^1*(5/6)^(10-1)=0.3230P(X=2)=C(10,2)*(1/6)^2*(5/6)^(10-2)=0.2907P(X=3)=C(10,3)*(1/6)^3*(5/6)^(10-3)=0.1938P(X=4)=C(10,4)*(1/6)^4*(5/6)^(10-4)=0.0882P(X=5)=C(10,5)*(1/6)^5*(5/6)^(10-5)=0.0316P(X=6)=C(10,6)*(1/6)^6*(5/6)^(10-6)=0.0090P(X=7)=C(10,7)*(1/6)^7*(5/6)^(10-7)=0.0021P(X=8)=C(10,8)*(1/6)^8*(5/6)^(10-8)=0.0004P(X=9)=C(10,9)*(1/6)^9*(5/6)^(10-9)=0.0000P(X=10)=C(10,10)*(1/6)^10*(5/6)^(10-10)=0.0000获胜次数概率0 0.16151 0.32302 0.29073 0.19384 0.08825 0.03166 0.00907 0.00218 0.00049 0.000010 0.0000从上面的概率分布图可以看出，在10次游戏中，获胜的次数最有可能为1次或2次，而获胜的次数越多或越少的概率则逐渐减小。
《二项分布》之实例引入
《二项分布》之实例引入1. 引言1.1 介绍二项分布的概念和重要性二项分布是概率论中一个非常重要的分布，它描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在二项分布中，每次试验只有两种可能的结果，通常称为成功和失败。
这种分布的重要性在于它可以帮助我们预测在一定数量的试验中成功的次数，从而在决策和实际应用中提供准确的参考。
二项分布的概念可以被简单地解释为每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，而且每次试验是相互独立的。
这样一来，我们可以计算出在n次独立重复试验中成功的次数符合二项分布的概率分布。
这种分布在模拟实验、质量控制、金融风险管理等领域中都有广泛的应用。
了解二项分布的概念和性质对于很多领域的研究和决策都至关重要。
通过研究二项分布，我们可以更好地理解概率分布和随机现象之间的关系，从而提高我们在实际应用中的决策能力和准确性。
深入了解二项分布的概念和重要性对于我们在各个领域的工作和研究都有着积极的影响。
2. 正文2.1 二项分布的定义二项分布是概率论中一种重要的离散型概率分布。
它描述了在重复n次独立的成功-失败试验中，成功的次数的概率分布。
在二项分布中，每次试验只有两种可能的结果，即成功和失败，且这两种结果的概率保持不变。
具体而言，二项分布的定义如下：设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则进行n次独立的二项试验后，成功的次数X的概率分布为二项分布。
用数学公式表示为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功的次数，(n choose k)表示组合数，即从n个物体中取k个物体的组合数。
二项分布的特点包括：1. 单次试验只有两种结果；2. 每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p；3. 试验之间是独立的；4. 试验次数固定为n。
二项分布在实际中有着广泛的应用。
在制造业中，可以用二项分布来分析产品的合格率；在市场调查中，可以用二项分布来估计客户对某一产品的接受程度；在医学研究中，可以用二项分布来分析疾病的传播率等等。
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二项分布应用举例二项分布及其应用知识归纳1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做，用符号来表示，其公式为P(B|A)＝ .在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝ .(2)条件概率具有性质：①；②如果B和C是两互斥事件，则P(B＋C|A)＝．2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝．(3)若A与B相互独立，则，，也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 ．自我检测1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12 解析：条件概率P (B |A )＝P AB P AP (A )＝C 23＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝11025＝14. 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38. 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12.记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝344．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 解析：由题设分两种情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4. (2)第1、2个错误，第3、4个正确，由互斥事件的概率公式得P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. ∴P ＝P 1＋P 2＝0.128.5．(2011·上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．解析：设事件A 为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A 的对立事件A 为“所有人出生月份均不相同”，则P (A )＝1－P (A )＝1－A 912129＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×4129 ≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.题型讲解例1.(2011·湖南高考，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.[解析] ∵P (A )＝S 正方形S 圆＝22π＝2π.P (B |A )＝P AB P A ＝S △EOH S 正方形＝14.[规律方法]……………►►条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P ABP A.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n ABn A.练习1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解析：(1)①P(A)＝26＝13. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P(B)＝1036＝518. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝536. (2)由(1)知P(B|A)＝P ABP A＝53613＝512.例2.(2012·重庆高考，18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．解析]设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(A k)＝13，P(B k)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1B1)＋P(A1B1A2B2)＋P(A1B1A2B2A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)＝23×12＋⎝⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫122＋⎝⎛⎭⎪⎫233⎝⎛⎭⎪⎫123＝1327.(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)＝P(A1B1A2B2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427. [规律方法]……………►►(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．练习2．(2011·山东高考，18改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．解析：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F .则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DE F )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F 、D E F 、D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35， P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：例3.(2010·四川高考，17改编)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率，(2)求中奖人数Ｘ的分布列．[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝16.P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216.甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216. (2)X 的可能取值为0,1,2,3. P (Ｘ＝k )＝C k 3 ⎛⎪⎫1k ⎛⎪⎫53－k ，k ＝0,1,2,3.所以中奖人数X 的分布列为[规律方法]………………►►(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．练习3．(2012·四川高考，17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．解析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C －)＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么P (D )＝C 23110·(1－110)2＋(1－110)3＝9721000＝243250.故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.例4.(2013·苏州模拟)一个袋中装有黑球、白球和红球共n (n ∈N *)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25.现从袋中任意摸出2个球．(1)若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布列；(2)当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？[解析] (1)设袋中黑球的个数为x 个，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则P (A )＝x 15＝25.∴x ＝6.设袋中白球的个数为y 个，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则P (B )＝1－C 215－y C 215＝47，∴y 2－29y ＋120＝0，∴y ＝5或y ＝24(舍)．∴红球的个数为15－6－5＝4(个) ∴随机变量ξ的取值为0,1,2，分布列为(2)设袋中有黑球z 个，则z ＝25n (n ＝5,10,15，…)．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，则P (C )＝1－C 235nC 2n＝1625＋625×1n －1，当n ＝5时，P (C )最大，最大值为710. 强化训练1．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数小于3”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值等于( )A.13B.118C.16D.19解析：由题意知P (A )＝1236＝13，P (AB )＝236＝118，∴P (B |A )＝P AB P A ＝11813＝16. 2．(2010·辽宁高考)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16解析：设事件A ：“一个实习生加工一等品”，事件B ：“另一个实习生加工一等品”，由于A 、B 相互独立，则恰有一个一等品的概率P ＝P (A ∩B )＋P (A ∩B )＝P (A )＝P (B )＋P (A )P (B )＝23×14＋13×34＝512.3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 解析：A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.4．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 25C 35(12)5解析：质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝⎛⎭⎪⎫1－123，故选B. 5．如果ξ～B (15，14)，则使P (ξ＝k )取最大值的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．3或4解析：(特殊值法)∵P (ξ＝3)＝C 315⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412， P (ξ＝4)＝C 415⎝ ⎛⎭⎪⎫144⎝ ⎛⎭⎪⎫3411， P (ξ＝5)＝C 515⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭⎪⎫3410 从而易知P (ξ＝3)＝P (ξ＝4)>P (ξ＝5)． 6．(2012·重庆高考，15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节间接法，分两，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答解析：使用间接法，分两类：①某两节文化课之间间隔2节艺术课方法数为C 23·A 22·C 12·C 13·A 33＝216种．②某2节文化课之间间隔3节艺术课方法数为：C 12·A 33·A 33＝72种，故所求事件概率为P ＝1－216＋72A 66＝1－25＝35. 7．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A袋中的概率为________． 解：小球落入A 袋左侧的概率为12×12×12＝18，同理落入右侧的概率为18，∴P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋18＝34. 8．(2010·安徽高考，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．解析：对①，P(B)＝C15C110×C15C111＋C15C110×C14C111＝922；②，P(B|A1)＝C15C111＝511；③，由P(A1)＝12，P(B)＝922，P(A1·B)＝522知P(A1·B)≠P(A1)·P(B)．故事件B与事件A1不是相互独立事件；④，从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他，故两两互斥；⑤，由①可算得．答案：②④9．(2011·大纲卷，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．解析：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，X～B(100,0.2)，即X服从二项分布，所以期望EX＝100×0.2＝20.10．(2011·天津高考，16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中；(ⅰ)摸出3个白球的概率；(ⅱ)获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望EX .解析：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15. (ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12， 且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P (X ＝1)＝C 12710⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100. 所以X 的分布列是X 的数学期望EX ＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75. 11．(2012·山东高考，19)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .解析：(1)记该射手命中“甲”、“乙”靶分别为事件A ，B . 由已知P (A )＝34，P (B )＝23.记“该射手恰好命中一次”为事件C ，因为每次射击结果相互独立，∴P (C )＝P (A B B )＋P (A B B )＋P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋2×14×23×13＝736. (2)由已知，X 的可能取值有：0,1,2,3,4,5，P (X ＝0)＝P (A B B )＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136；P (X ＝1)＝P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝112；P (X ＝2)＝P (A B B )＋P (A B B )＝2×14×23×13＝19；P (X ＝3)＝P (AB B )＋P (A B B )＝2×34×13×23＝13； P (X ＝4)＝P (A BB )＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝19； P (X ＝5)＝P (ABB )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝13， ∴X 的分布列如下：∴EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.。