二项分布应用举例说课讲解

二项分布应用举例

二项分布及其应用

知识归纳

1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做，用符号来表

示，其公式为P(B|A)＝ .

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个

数，则P(B|A)＝ .

(2)条件概率具有性质：

①；

②如果B和C是两互斥事件，则P(B＋C|A)＝．

2．相互独立事件

(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，

P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝．

(3)若A与B相互独立，则，，也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则．

3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的

二项分布，简记为 ．

自我检测

1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶

数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )

A.18

B.14

C.25

D.12 解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A

P (A )＝C 23＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝11025＝1

4. 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直

到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )

A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582

B ．

C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382

D ．C 911⎝

⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭

⎪⎫582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭

⎪⎫582·38. 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，

乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )

A.12

B.35

C.23

D.34

解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12.

记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝34

4．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连

续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率

都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 解析：由题设分两种情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4. (2)第1、2个错误，第3、4个正确，由互斥事件的概率公式得P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. ∴P ＝P 1＋P 2＝0.128.

5．(2011·上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．

解析：设事件A 为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A 的对立事件A 为“所有人出生月

份均不相同”，则P (A )＝1－P (A )＝1－A 912129＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×412

9 ≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.

题型讲解

例1.(2011·湖南高考，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；

(2)P (B |A )＝________.

[解析] ∵P (A )＝S 正方形S 圆

＝22π＝2π.

P (B |A )＝P AB P A ＝S △EOH S 正方形＝14.

[规律方法]……………►►条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P AB

P A.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)

＝n AB

n A.

练习1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗

骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．

解析：(1)①P(A)＝2

6＝

1

3. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于

8的结果共有10个．∴P(B)＝10

36＝

5

18. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之

和大于8的结果有5个，故P(AB)＝5

36. (2)由(1)知P(B|A)＝

P AB

P A＝

5

36

1

3

＝

5

12.

例2.(2012·重庆高考，18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者

获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为1

3，乙

每次投篮投中的概率为1

2，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙

只投了2个球的概率．

解析]设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(A k)＝1

3，P(B k)＝

1

2(k＝1,2,3)．

(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1B1)＋P(A1B1A2B2)＋P(A1B1A2B2A3B3)

＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)

＝2

3×

1

2＋⎝

⎛

⎭

⎪

⎫2

3

2

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫1

2

2＋

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫2

3

3

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫1

2

3＝

13

27.

(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)＝P(A1B1A2B2)＋P(A1B1A2B2A3)