二项分布及其应用20171014

H0： = 0，即该种中西医结合疗法疗效与常规疗法相同 H1： > 0，即该种中西医结合疗法疗效好于常规疗法 = 0.05 （2） 计算检验统计量 。 本例, 0 =0.65，n=100， x=80 。
X n 0 80 100 0.65 u 3.14 n 0 1 0 100 0.65 0.35
用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信区间得该 法近期有效率的95%可信区间为19%64%。
由于附表7百分率的可信区间中值只列出了x n/2的部分，当x>n/2时，应以n -x查表，再从100 中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法 当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
p ~ N ( ,
1
n
)
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
p u s p , p u s p 2 2
其中,

sp
p1 p n
三、二项分布的应用
（二）假设检验
1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法:
例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治
（3） 确定P值，做出推断结论。
查表得, 0.0005<P<0.001, 按 = 0.05 水准拒绝H0，接受H1， 认为中西医结合疗法的疗效好于常规疗法。
例4 经长期临床观察, 发现胃溃疡患者发生胃出血症状 的占20%。现某医院观察了304例65岁以上的老年胃 溃疡患者，有96例发生胃出血症状，占31.58%。问老
愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观
察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
（1）建立假设，确定检验水准。 H0： = 0，即新药治愈率与传统药物相同
H1： > 0，即新药治愈率高于传统药物
= 0.05
（2）根据二项分布的分布规律，计算 P 值。
P（x） (5) 0.008 0.096
0.384 0.512 1.000
概率的乘法原理：几个相互独立的事件同时发生的概率等于各 事件发生概率的乘积。 概率的加法原理：几个互不相容的事件至少发生其一的概率等 于各事件发生概率的和。
3只小白鼠ห้องสมุดไป่ตู้亡的排列和组合方式及其概率的计算
小白鼠存亡组合方 式 生存数 死亡数 （n-X） （X ） （1） 3 0 排列方式 甲 乙 （2 ） 生 生 2 1 生 死 生 1 2 死 死 0 3 死 生 生 死 生 死 生 死 死 生 死 生 生 死 死 生 死 丙 （3） 0.2×0.2×0.2=0.008 0.2×0.2×0.8=0.032 0.2×0.8×0.2=0.032 0.2×0.8×0.2=0.032 0.2×0.8×0.8=0.128 0.8×0.2×0.8=0.128 0.8×0.8×0.2=0.128 0.8×0.8×0.8=0.512 每种排列的概率
[(1 ) ] (1 ) C (1 ) C (1 )
n n 1 n n 1 1 2 n n2
2
CnX (1 ) n X X Cnn1 (1 ) n1 n
[(1 0.8) 0.8] (1 0.8) C (1 0.8) (0.8)
3 3 1 3
31
1
C32 (1 0.8)32 (0.8) 2 (0.8)3
[(1 ) ]
0 n x n
n 0 1 n n 1
C (1 ) C (1 )
n

1 0 n
C (1 ) 1
n x
C (1 )
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验
动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。
② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。 ③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变 （要求各观察单位同质）。
0.8, n 3
每种组合的概率
P ( X ) C nX X (1 ) n X P (0) C (0.8) (1 0.8) 3 0 0.008
0 3 0 1 P (1) C 3 (0.8)1 (1 0.8) 31 0.096
（4 ）
P ( 2) C 32 (0.8) 2 (1 0.8) 3 2 0.384
k2
三、二项分布的应用
（一）估计总体率的可信区间
1、率的抽样误差
p
sp
2、总体率的区间估计
1
n
(理论值)
p1 p n
(估计值)
三、二项分布的应用 2、总体率的区间估计 (1)查表法——样本量较小时(n50)
例3.6 某医院皮肤科医师用某种药物治疗20 名系统性红斑狼疮患者，其中8人近期有效，求该法 近期有效率的95%可信区间。
二、二项分布的性质
（一）均数和标准差
设从概率为的总体中随机抽取样本量为n的样本，每个样
本的事件发生数为x，则 x ~B(，n)。可以证明：
x n
x n 1
若用相对数表示，即样本率的均数和标准差分别为：
p
p 1
n
率的标准误（standard error of rate）：
1、样本率与已知总体率的比较：
(2) 正态近似法:
近似
当 n0 和 n(1-0) 均大于5时,
近似
X ~ N n 0 , n 0 1 0
0 1 0 p ~ N 0 , n
可用正态近似法, 按下式计算检验统计量u值。
u
或
n 0 1 0
H0成立时，随机抽查的10人中治愈人数x 的分布
P X 8 p(8) p(9) p(10) C (1 ) C (1 ) C (1 )
8 10 8 2 9 10 9 1 10 10 10 0
45 0.65 0.35 10 0.65 0.35 0.65
(三)二项分布的图形
p
n=5, =0.5
n=10, =0.5
x x
n=20, =0.5 n=30, =0.5
n=5, =0.3
n=10, =0.3
n=20, =0.3
n=50, =0.3
=0.2, n=5
=0.2, n=10
=0.2,nn =20 =0.2, =20
=0.2, n=50
p
1
n
（理论值）
s p p(1 p) n
（实际值）
（二）二项分布的累计概率 从阳性率为 （1）最多有k例阳性的概率为

的总体中随机抽取n个观察单位，则
P( X k ) P(0) P(1) P(k )
（2）最少有k例阳性的概率为
P( X k ) P(k ) P(k 1) P(n) 1 P( X k 1)
8 2 9
10
0.17565 0.07249 0.01346 0.26160
(3) 做出推断结论。本例P >0.05，按=0. 05的检 验水准不拒绝H0，尚不能认为新药疗效较传统药物 疗效好。
例2 据以往经验，新生儿染色体异常率一般为1％， 某医生观察了当地400名新生儿，发现有1例染色体异 常，问该地新生儿染色体异常率是否低于一般？
H0成立时, 400名新生儿中染色体异常例数的概率分布
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0： = 0，即该地新生儿染色体异常率不低于一般 H1： < 0，即该地新生儿染色体异常率低于一般 = 0.05 (2) 根据二项分布的分布规律，计算 P 值。 本例0=0.01，n=400，x=1，根据题意需求最多有1例染
（四）二项分布的特点
0.5 时，无论 n大小，其图形均呈对称分布； 2、当 0.5 ，且 且n n小时 小时 呈偏态分布；随n不断增大，逐 渐趋于对称分布；当 n 时，逼近正态分布。
1、当 实际工作中，只要n足够大，与1- 均不太小时（通常规定 n > 50 且
n 5
年胃溃疡患者是否较一般患者更易发生胃出血？
H0成立时, 304例老年胃溃疡患者中胃出血发生人数的分布
1、概念：若试验 E 只有两种相互对立的结果(A及 A ),
并且 P( A) ， ， 把 E 独立地重复 n
次的试验称为 n 重贝努里试验（Bernoulli trial）。
n 重贝努里试验中事件A发生的次数 x 所服从的分布
即为二项分布（binomial distribution），记为 x ~
P (3) C 33 (0.8) 3 (1 0.8) 33 0.512
该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式的各项，所以将 n次这种只具有两种互相对立结果中一种的随机实验成功次数的概 率分布称为二项分布。
该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式 的各项，所以将n次这种只具有两种互相对立结果 中一种的随机实验成功次数的概率分布称为二项分 布。
X n 0
p 0 u 0 (1 0 ) / n
例3 据报道，某常规疗法对某种疾病的治愈率为65%。现某
医生用中西医结合疗法治疗了100例该病患者，治愈了80人。 问该中西医结合疗法的疗效是否比常规疗法好？