统计学第六章 相关分析

第一节 相关分析的意义和任务 联系与相互影响是普遍的现象
事物相互间关系的质的解释：
自然的、社会的、经济的、心理的… 事物相互间关系的量的分析：
受教 工作 预防 疾病 两变量或多变量间的数量关系。 育的 后的 疾病 的发 水平 收入 支出 病率
问题的提出：
确定性关系 出租汽车费用与行驶里程： 函数关系 总费用=行驶里程 每公里单价
4、按相关关系情况分
单向因果关系：两个变量之间，只能是自变量X值决 定或影响因变量Y值，而不能是因变量Y 决定或影响
自变量X。
•如父母的身高影响孩子的身高 互为因果关系：两变量之间，自变量X与因变量Y相 关，且互相影响对方，均可被定为自变量 •如物价变动与工资变动
5、根据相关密切程度分
完全相关：两种现象中一个现象的数量变化，另一
3
4 4 5 5 6 6 6
520
640 740 600 800 700 760 900
x 60 x 5(年) y 8520 y 710(元) n 12 n 12
11 12
合计
8 9
60
840 1080
8520
首先，判断每个相关点是正相关，负相关还是零相 如果 时，对应 ,, 说明这个点属于正相关 说明这个点属于正相 如果 或 时， y y (x x)( y y ) 的乘积为正数，为负数 x x y ( x x )( y y ) 0 x y y x x 所以，根据 如果 时，对应 , 说明这个点属于负 x x yy y 关，以两个平均值为标准来判断 如果 时 , 对应 , 说明这个点属于 x x y 或为零，可以判断各相关点是属于正相关、负相关 说明这个点属于零相关。 。此时 关。此时 为正数。 也为正数。 ( x( xx )( xy )( y y)y y ) 相关。此时 为负数。 ( x x )( y ) 或零相关。 负相关。此时 ( x x)( y y) 也为负数。
的规律，总有唯一确定的值与之对应。
函数关系可以用数学表达式来反映 函数关系的例子：

圆的面积（S）与半径之间的关系可表示为：
S R
2
显著一 一
对应关 系
（二）随机性的相关关系：
不存在一一
对应的依存关系。
变量间确实存在、但数量上不固定的相互
依存关系。这种关系不能用函数关系精确表达；
即变量 x 取某个值时，与之相关的变量 y 的取值可能有若干个（一个变量的取值不能由另
家庭编号
月收入
单位：元
1
2500
2
1500 1200
3
3000 2800
4
6200 4200
5
8800 6000
6
2000 1800
7
9200 6500
8
9
10
7500 5300
4000 1800 3600 1500
消费支出 2000
排列整理后的相关表：
月收入 消费支出 1500 1200 1800 1500 2000 1800 2500 2000 3000 2800 4000 3600 6200 7500 8800 4200 5300 6000 9200 6500
可见，随着家庭月收入的提高，居民的消费支 出也有相应提高的趋势，两者之间存在明显的正相关
关系。
（二）相关图（也称散点图）
一般以直角坐标系的横轴代表变量X，纵轴代表
变量Y，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形
式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。
消 费 支 出
7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 2000 4000 6000 8000 10000
因变量数列的标准差
自变量数列的标准差
对协方差的理解
协方差：两个变量与其均值离差乘 积的平均数，是相互关系的一种度量。
(x x )(y y ) 1 (x x )(y y ) n n
σ
2 xy
序号 1 2
机床使用 年限X
2 2
年维修费 Y
400 540
3
4 5 6 7 8 9 10
0
为正
2
4
6
为负 8
10
x5
其次，根据离差乘积总和
会有几种情况出现：
( x x)( y y)
判断两现象属于哪一种相关形式。
1、所有点全是正相关，则加总的结果为正数。
2、所有点全是负相关，则加总的结果为负数。
3、所有的点既有正相关，又有负相关（也可以由 零相关）。加总的结果正数和负数会发生抵消。抵 消的结果如为正数，则为正相关，如为负数，则为 负相关。
因素。对于这些横截面比较中的不可比问题，在分析
和比较时应做相应的剔除。另外，在观察历史情况的 变化时要注意，恩格尔系数反映的是一种长期的趋势， 而不是逐年下降的绝对倾向。它是在熨平短期的波动 中求得长期的趋势。
一、函数关系与相关关系的概念
（一）确定性的函数关系： ；另一种是相关关系。
客观现象总是普遍联系和相互依存的。它们之间
二、相关关系的种类

按影响因素多少分： 单相关：两个变量间相关
复相关（多重相关、和偏相关）

按表现形态分： 直线相关
曲线相关

按相关关系的方向分： 正相关
负相关

按相关密切程度分：
完全相关 不完全相关 不相关 单向依存关系 互为因果关系

按变量之间的依存关系分：
1、按相关关系涉及的因素（自变量）多少分为： 单相关：（也称一元相关）两变量之间的相关关系
家庭月收入
二、相关系数的测定
相关系数 ：在直线相关条件下，说明两个变量 之间相互关系密切程度的统计指标。若相关系数是 根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，用
（一）相关系数测定——积差法
r x y
2 xy
；如是根据样本数据计算的，则称为样本相关系
数, 用 公式：
r
自变量数列和因变量数列的协方差
现象的数量变化而确定。即函数关系

如S = R2
函数关系是相关关系的一个特例
不相关：两种现象的数量各自独立，互不影响。
如家庭收入多少与孩子多少之间不存在相关关系
•股票价格的高低与气温的高低是不相关的。
4 Y 2
0
-2
-4 -4 -2 0 2
X 4
不完全相关：两种现象之间的关系，介于完全相关
一个变量惟一地确定）
相关关系的例子：
现象不存在 间一一对应 原材料消耗额与产量、单位产品消耗、与产量 的依存关系 价格之间的的关系
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
粮食亩产量 (y) 与施肥量 (x1) 、降雨量 (x2) 、 温度(x3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度之间的关系(x) 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 投资额与国民收入的关系等等都属于相关关系 ……
恩格尔定律是根据经验数据提出的，它 恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数， 是在假定其他一切变量都是常数的前提下才 是表示生活水平高低的一个指标。其计算公式如 适用的，因此在考察食物支出在收入中所占 下： 比例的变动问题时，还应当考虑城市化程度、 食物支出金额 食品加工、饮食业和食物本身结构变化等因 恩格尔系数＝─────── 素都会影响家庭的食物支出增加。只有达到 总支出金额 相当高的平均食物消费水平时，收入的进一 除食物支出外，衣着、住房、日用必需品等 步增加才不对食物支出发生重要的影响。 的支出，也同样在不断增长的家庭收入或总支出
再次，从离差乘积总和中消除项数多少的 影响。
离差乘积总和 ( x x)( y y) 受项数多少的影响 。项数多，数值可能大；项数少，数值可能小。
最后，从协方差中消除消除变量值大小和 离差值大小的影响
协方差是用绝对数表现的平均值。其数值大小和
变量值本身数值的大小有关系。也就是和离差数值大
第八章
相关分析与回归分析
相关分析的意义和任务 简单线性相关分析 回归分析 估计标准误差
第一节
※ 第二节 ※ 第三节
第四节
学习目的与要求
学习目的：通过本章学习，了解现象的 相关关系以及相关与回归的关系。掌握 相关系数的计算方法，掌握一元线性回 归分析,了解常规曲线分析的基本方法。 学习要求：课前预习，课后复习，上课 认真听讲，有疑问随时提出，及时完成 课后练习。
1200 1000 800 600
相关图中的两 条线代表平均 线，由这两条 线，即可对于 每个点作出判 断。
Ⅳ ( x x )( y y )Ⅰ( x x )( y y )
为负 为正
y 710
400 200 0
Ⅲ ( x x )( y y )Ⅱ ( x x )( y y )
正线性相关
三、相关分析的主要内容
（一）确定现象之间有无关系及相关关系的表现形式 （二）确定相关关系的密切程度 1、 定性认识：受判断者的经验、学识、能力等
因素的影响
2、 编制相关表和相关图 （三）选择合适的数学模型 （四）测定变量估计值的可靠程度 （五）对相关系数进行假设检验
第二节 简单线性相关分析 一、相关图和相关表
非确定性关系 相关关系 家庭收入与恩格尔系数： 家庭收入高，则恩格尔系数低。
G KP
19世纪德国统计学家恩格尔根据统计资料，对消
费结构的变化得出一个规律： 一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中） 用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收 入的增加，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物
3、按相关方向分为：
正相关：两个变量的变动方向大体上相同时，即