微专题圆锥曲线几何条件的处理

微专题圆锥曲线几何条件的处理策略

1.平行四边形处理策略

例 1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆

222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l 过点(,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．

【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ

）能，4

4+

【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；

（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3

m

m 列方程求k 的值．

试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．

将y kx b =+代入222

9x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故122

29

M x x kb x k +==-+， 2

99

M M b

y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．

因为直线l 过点(,)3

m

m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．

由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,

y x k x y m ⎧

=-⎪⎨⎪+=⎩得222

2981P k m x k =+

，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)

3

m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，

即2P M x x =

= 2(3)23(9)

mk k k -⨯+

．解得14k =

24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为

4

4+OAPB 为平行四边形．

考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 2.直角三角形处理策略

例2.椭圆

22

22x y a b

+=（0a b >>

（1）求椭圆的方程；2

214

x y += （2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率 解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立 22

414

y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22

(14)32600k x kx +++=，

222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=- 令0∆>，解得2154

k >

。 设,E F 两点的坐标分别为11(,

)x y ，

22(,)x y ，则1223214k x x k +=-

+，12

2

60

14x x k =+ （1）当EOF ∠为直角时， 所以0OE OF •=，即12120x x y y +=，所以2

1212(1)4()160k x x k x x ++++=

所以22

22

15(1)32401414k k k k

+-+=++，解得19k =± （2）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，此时1OE

k k •=-，所以

1111

4

1y y x x -•=- 即2

2

1114x y y =-①又221114x y +=②，将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得12

3

y =或12y =-（舍去） 将

123y =

代入①得12

53

x =±，所以1

145y k x -==±，经检验所得k 值均符合题意， 综上，k 的值为19k =±

和5k =±

3.等腰三角形处理策略

例3.在直角坐标系xOy 中，已知点(2,0),(2,0)A B -,E 为动点，且直线EA 与直线EB 斜率之积为12

-

， （1）求动点E 的轨迹C 方程；

（2）设过点F(1,0)的直线l 与椭圆C 交于两点,M N ,若点P 在

y 轴上，且||||PM PN =，求点P 的纵坐标的范围

解析：（1）设动点E 的坐标为(,)x y 1

222

x x =-+-整理得221(2)2x y x +=≠， 所以动点E 的轨迹C 的方程为2

21(2)2

x y x +=≠ （2）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2

212

x y +=， 并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=，2

880k ∆=+> 设11(,)M x y ，22N(,)x y ，则2122421k x x k +=+，122

2

21

x x k -=+ 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21

Q Q

k

y k x k =-=-+，所以2222(,)2121k k Q k k -++， 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为2

2

212(x )2121

k k y k k k +=--++， 几何性质

代数实现

（1）两边相等 两点的距离公式

（2）两角相等

底边水平或竖直时，两腰斜率相反

（3）三线合一（垂直且平分） 垂直：斜率或向量 平分：中点坐标公式