微专题圆锥曲线几何条件的处理

微专题圆锥曲线几何条件的处理策略1.平行四边形处理策略例 1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，44+【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3mm 列方程求k 的值．试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981P k m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x == 2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为44+OAPB 为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 2.直角三角形处理策略例2.椭圆2222x y a b+=（0a b >>（1）求椭圆的方程；2214x y += （2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率 解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立 22414y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(14)32600k x kx +++=，222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=- 令0∆>，解得2154k >。

设,E F 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则1223214k x x k +=-+，1226014x x k =+ （1）当EOF ∠为直角时， 所以0OE OF •=，即12120x x y y +=，所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=所以222215(1)32401414k k k k+-+=++，解得19k =± （2）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，此时1OEk k •=-，所以111141y y x x -•=- 即221114x y y =-①又221114x y +=②，将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去） 将123y =代入①得1253x =±，所以1145y k x -==±，经检验所得k 值均符合题意， 综上，k 的值为19k =±和5k =±3.等腰三角形处理策略例3.在直角坐标系xOy 中，已知点(2,0),(2,0)A B -,E 为动点，且直线EA 与直线EB 斜率之积为12-， （1）求动点E 的轨迹C 方程；（2）设过点F(1,0)的直线l 与椭圆C 交于两点,M N ,若点P 在y 轴上，且||||PM PN =，求点P 的纵坐标的范围解析：（1）设动点E 的坐标为(,)x y 1222x x =-+-整理得221(2)2x y x +=≠， 所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2)2x y x +=≠ （2）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2212x y +=， 并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=，2880k ∆=+> 设11(,)M x y ，22N(,)x y ，则2122421k x x k +=+，122221x x k -=+ 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Qky k x k =-=-+，所以2222(,)2121k k Q k k -++， 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212(x )2121k k y k k k +=--++， 几何性质代数实现（1）两边相等 两点的距离公式（2）两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反（3）三线合一（垂直且平分） 垂直：斜率或向量 平分：中点坐标公式令0x=解得211212P k y k k k==++，当0k >时，因为1222k k +≥，所以20422P y <≤=当0k <时，因为1222k k +≤-，所以20422P y >≥-=-，综上所述，点P 的纵坐标的范围是22[,]44-.4.菱形的处理策略例4.椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(0,1)-，且离心率为6e =（1）求椭圆M 的方程； （2）是否存在菱形ABCD ，同时满足以下三个条件：①点A 在直线2y =上； ②点,,B C D 在椭圆M 上 ； ③直线BD 的斜率等于1；如果存在，求出点A 的坐标，如果不存在，说明理由。

解析：（1）由题意得222163b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩解得23a =，21b =；所以椭圆M 的方程为2213x y += （2）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下：假设存在满足题意的菱形ABCD ，设直线BD 的方程为y x m =+，且11(,)B x y ，22D(,)x y ，线段的中点00Q(,)x y ，A(t,2)，则由2233x y y x m⎧+=⎨=+⎩可得224230y my m -+-=，由22(2)16(3)0m m ∆=-->可得22m -<<，又122m y y +=，所以12024y y my +==，若四边形ABCD 为菱形，则Q 是AC 的中点，C 点的纵坐标0y 22212c my =-=-<-，又因为点C 在椭圆上，所以y 1c ≥与y 1c <-矛盾，故不存在满足题意的菱形ABCD 。

5.圆的处理策略例5.已知椭圆22:143x y M +=，点1F ，C 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点， （1）求M 的离心率及短轴长；（2）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（1）由22143x y +=得2,3a b ==，所以M 的离心率为12，短轴长为23 （2）方法一：由题意知(2,0)C -，1(1,0)F -设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y +=， 因为10000(1,)(2,)BF BC x y x y •=---•---222000001233504x x y x x =+++=++> 几何性质代数实现（1）点在圆上 点与直径端点向量数量积为零 （2）点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数 （3）点在圆内点与直径端点向量数量积为负数所以(0,)2B π∠∈，所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即不存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上。

方法二、由题意可设直线的方程为1xmy =-，11(,)A x y ，22(,)B x y由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得22(34)690m y my +--=所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+ 所以1122(2,)(2,)CA CB x y x y •=+•+21212(1)()1m y y m y y =++++22296(1)13434m m m m m -=+++++25034m -=<+，因为cos (1,0)||CA CBC CA CB •=∈-•所以(,)2C ππ∠∈，所以(,)2B ππ∠∈，所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即不存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上。

6.角的处理策略例6.【2013.山东，理科22】椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为23，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（2214x y +=） （Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；3322m -<< 解析：（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知1(3,0)F -，2(3,0)F 则1||3MF m =+，2||3MF m =-，由椭圆定义得12||||4PF PF +=，123||23PF -<<+ 因为PM 平分12F PF ∠，所以1122||||3||||3PF MF m PF MF m +==-，则112||3||||33PF m PF PF m m +=+++-，所以132(3)||4233m m PF ++=⨯= 所以2(3)23233m +-<<+，即3322m -<<法二：由题意可知，1212||||||||PF PM PF PM PF PM PF PM ••=，即1212||||PF PM PF PMPF PF ••=，设00P(,)x y ,其中204x ≠，将向量坐标代入并化简得23000m(416)312x x x -=-，因为204x ≠，所以03m 4x =而0(2,2)x ∈-，所以33(,)22m ∈-【跟踪变式训练】1.【转化为平行的处理】【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．几何性质代数实现（1）锐角，直角，钝角 角的余弦（向量数量积）的符号（2）倍角，半角，平分角 角平分线性质，定理（夹角到角公式） （3）等角（相等或相似） 比例线段或斜率（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆.由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分2.【转化为等腰三角形处理】【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.【答案】（I ）2222211a kk a k++（II ）202e <≤． 【解析】（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx ++=，故10x =，222221a k x a k=-+．因此22212222111a k AP k x k a k =+-=++ （Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足 AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，2211221211a k k AP a k +=+，2222222211a k k AQ a k +=+，故22221122222212212111a k k a k k a k a k ++=++，所以()()22222222121212120kk k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-，① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以2a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤由21c a e a a -==得，所求离心率的取值范围为202e <≤． 3【转化为等腰三角形处理】【2015江苏高考，18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212xy +=（2）1y x =-或1y x =-+． 【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为2，二是右焦点F 到左准线l 的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB 过F ，所以求直线AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出AB 长，再根据中点坐标公式求出C 点坐标，利用两直线交点求出P 点坐标，再根据两点间距离公式求出PC 长，利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程.试题解析：（1）由题意，得22c a =且23a c c +=，解得2a =，1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）当x AB ⊥轴时，2AB =，又C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k xk x k +-+-=，则()221,2221k k x ±+=，C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且 ()()()()()222222121212221112k x x y y k xx k+AB =-+-=+-=+．若0k=，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而()()2222311C 12k k k k ++P =+．因为C 2P =AB ，所以()()()2222223114211212k k k kk k+++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系4【圆的处理】.设O 为坐标原点，已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，抛物线22:C x ay =-的准线方程为12y =．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线t 与椭圆1C 交于不同的两点,P Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线t的斜率k 的取值范围．【答案】（1）22x y =-，2214x y +=；（2）332,,2k ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.试题解析： （1）由题意得142a =，∴2a =，故抛物线2C 的方程为22x y =-，又3e =，∴3c =，∴1b =，从而椭圆1C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1122:2,,,,l y kx P x y Q x y =+．由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221416120k x kx +++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()()2216412140k k ∆=-⨯+>，∴33,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．9分 1212221612,1414k x x x x k k-+==++，根据题意，得000900POQ OP OQ <∠<⇔>，∴()()()()()2121212121212222222212412116164240141414OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k k k=+=+++=+++++--=+⨯+=>+++．．．．11分∴22k -<<，综上得332,,222k ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与圆锥曲线位置关系．5【角的处理】【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y . 设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B. 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++.由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k k x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y kk x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-， 化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k.所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ .。