2020年南充一诊数学试卷(文科数学)
2020年高考(文科)数学一诊试卷(Word解析版)
2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin，∴，故tanα＝﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e，故选：A．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a、b关系是关键，属于中档题．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，由此能求出其正弦值相等的概率．解：∵集合，sin sin，，sin sin，，从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，∴其正弦值相等的概率是p．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．8．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴（0，﹣1，﹣1），（﹣1，1，0），∴cos，，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（1﹣cos2ωx）sin2ωx sin（2）（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）1有3个根；∴sin（2）有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（，2ωπ）；∵2π2ωπ2π⇒ω．故选：C．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k，Q（m，﹣1），k PQ，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|5，故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．【分析】构造函数，则e x，设F（x）＝e x+c，即f（x）＝xe x+cx，又f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，再利用导数即可求得f（x）的最小值．解：由xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，构造函数，则e x，所以可以设F（x）＝e x+c，即，f（x）＝xe x+cx，又因为f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，由f'（x）＝e x（x+1）＝0得x＝﹣1，所以当x＜﹣1时f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，当x＞﹣1时f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，所以，故选：D．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则4．【分析】先求出f（log 2），从而f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log 2），∴f（）＝2．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos，2，及||的值，而||展开可求出其值．解：因为（）⊥，所以（）•0，即2＝0，因为||，向量，夹角为120°，整理可得2＝||•||cos，2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以||故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝9．【分析】根据可求出cos C，进而求出sin C．由可得sin A，最后利用正弦定理求出c的值．解：由得，∴．显然，结合，∴，∴．∵a＝8，由正弦定理得，即，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S，即可计算得解S表面积的值．梯形BB′CC′解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''，∴OC′＝2•26，B′C′＝3，∴CC′＝BB′4，∴S梯形BB′CC′27，∴S表面积＝63216．故答案为：216．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d，由a1＝﹣8，a2＝3a4，求出d，进而求出a n；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n求b n，再利用裂项相消法求T n，从而解决n的值得问题．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差是d，由a1＝﹣8，a2＝3a4得：﹣8+d＝3（﹣8+3d）解得d＝2，所以a n＝﹣10+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝﹣10+2n，∴，所以T n＝2[（）+（）+…+（）]，由T n解得n＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，，得AC＝1，则．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出||，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K24＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且||＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴，，∴k1k2•，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数（a∈一、选择题且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a时，f′（x）＝2x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2x（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a时，，所以f′（x）＝2x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2（x﹣1），即x+y ﹣21＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2x，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1，x2，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3）和（3，+∞）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx1＝lnx，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln20，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），又因为x0∈（1，2），则x0∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以2，故：，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。
2020年四川省南充市中考数学一诊试卷解析版
2020年四川省南充市中考数学一诊试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．1．下列各数中，属于无理数的是（）A．3.14B．0.2020…C．D．2．下列计算，错误的是（）A．m2•m3•m＝m6B．（﹣2a2）2＝4a4C．当x≠0时，（x2）﹣3＝D．当x≠0时，x0＝03．针对所给图形，如果不区分颜色，说法正确的是（）A．是轴对称图形B．是中心对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．非轴对称图形，也非中心对称图形4．下列说法正确的是（）A．可能性很大的事件，在一次试验中一定发生B．可能性很小的事件，在一次试验中可能发生C．必然事件，在一次试验中有可能不会发生D．不可能事件，在一次试验中也可能发生5．若△ABC的一边为4，另两边分别是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，则△ABC的周长（）A．为10B．为11C．为12D．不确定6．将抛物线y＝x（x+2）向左平移1个单位后的解析式为（）A．y＝x（x+1）B．y＝x（x+3）C．y＝（x﹣1）（x+1）D．y＝（x+1）（x+3）7．如图，小王从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东60°方向行走至C处，则∠ABC等于（）A．90°B．100°C．110°D．120°8．若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b之值为何？（）A．﹣15B．﹣16C．﹣17D．﹣189．如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．1510．如图，正方形ABCD中，点E是BC边的中点．将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF 交CD边于点G，连接AG，CF．下列结论：①AE∥FC；②△ADG≌△AFG；③CG＝2DG；④S△CEF＝S正方形ABCD．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．②③④D．①②③④二、填空：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在答题卡对应题号的横线上．11．若a﹣＝，则a2+的值是．12．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第象限．13．下个月学校将为片区学校展示“音乐、体育、美术”兴趣活动观摩．小明、小丽随机从三个场所选择一个担任志愿者服务，两人恰好选择同一场所的概率是．14．如图，AC与BD交于O，AB＝CD，要使△ABC≌△DCB，可以补充一个边或角的条件是．15．如图，BD是△ABC的高，AB＝，BC＝2，tan A＝1，则CD＝．16．如图，抛物线y＝x2+ax+2经过点P（﹣2，2），Q（m，n）．若点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．三、解答题：本大题共9个小题，共86分．解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．（8分）计算：1﹣．18．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，在BC上截取BE＝BA．若∠A＝100°，∠C ＝30°，试求∠BDE的度数．19．（8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？20．（10分）a为实数，关于x的方程（x﹣a）2+2（x+1）＝a有两个实数根x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）若（x1﹣x2）2+x1x2＝12．试求a的值．21．（10分）如图，直线AB与x轴交于点A（﹣，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，双曲线y＝经过点C．（1）求直线AB和双曲线y＝的解析式．（2）平移直线AB，使它与双曲线y＝（x＜0）有唯一公共点P时，求点P的坐标．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD ＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O 于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．23．（10分）某商店经营一款新电动玩具，进货单价是30元．在1个月的试销阶段，售价是40元，销售量是400件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出10件．（1）若商店在1个月获得了6000元销售利润，求这款玩具销售单价是定为多少元的，并考虑了顾客更容易接受．（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．24．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB 到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC为y ＝x﹣2．（1）求抛物线的解析式．（2）过点A作直线AD与抛物线在第一象限的交点为D．当S△ABD＝3S△ABC时，确定直线AD与BC的位置关系．（3）在第二象限抛物线上求一点P，使∠PCA＝15°．2020年四川省南充市中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．1．下列各数中，属于无理数的是（）A．3.14B．0.2020…C．D．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：＝﹣4，3.14，0.2020…，是有理数，是无理数，故选：C．2．下列计算，错误的是（）A．m2•m3•m＝m6B．（﹣2a2）2＝4a4C．当x≠0时，（x2）﹣3＝D．当x≠0时，x0＝0【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、m2•m3•m＝m6，正确，故本选项不符合题意；B、（﹣2a2）2＝4a4，正确，故本选项不符合题意；C、当x≠0时，（x2）﹣3＝，正确，故本选项不符合题意；D、当x≠0时，x0＝1，原式计算错误，故本选项符合题意；故选：D．3．针对所给图形，如果不区分颜色，说法正确的是（）A．是轴对称图形B．是中心对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．非轴对称图形，也非中心对称图形【分析】根据中心对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：此图形是不是轴对称图形，是中心对称图形，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．可能性很大的事件，在一次试验中一定发生B．可能性很小的事件，在一次试验中可能发生C．必然事件，在一次试验中有可能不会发生D．不可能事件，在一次试验中也可能发生【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的意义和发生可能性的大小，逐项进行判断即可．【解答】解：可能性很大的事件，在一次试验中也不一定发生，只是发生的可能性很大，因此选项A不正确；可能性很小的事件，在一次试验中也可能发生，只是发生的可能性很小，因此选项B正确；必然事件，一定会发生的事件，即发生的可能性为100%，因此在一次试验中有可能不会发生是错误的，选项C不正确；不可能事件，一定不会发生的事件，即发生的可能性为0，在一次试验中更不可能发生，因此选项D不正确；故选：B．5．若△ABC的一边为4，另两边分别是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，则△ABC的周长（）A．为10B．为11C．为12D．不确定【分析】设x2﹣6x+k＝0的两个根分别为x1、x2，由根与系数的关系可得出x1+x2＝6，分两种情形分别求解即可．【解答】解：设x2﹣6x+k＝0的两个根分别为x1、x2，则有x1+x2＝﹣＝﹣＝6，当两边不同时，周长为4+4+2＝10，当两边相同时．周长为4+3+3＝10，故选：A．6．将抛物线y＝x（x+2）向左平移1个单位后的解析式为（）A．y＝x（x+1）B．y＝x（x+3）C．y＝（x﹣1）（x+1）D．y＝（x+1）（x+3）【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y＝x（x+2）的顶点坐标为（﹣1，﹣1），再利用点平移的规律得到点（﹣1，﹣1）平移后对应点的坐标为（﹣2，﹣1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式，然后整理即可．【解答】解：∵y＝x（x+2）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴抛物线y＝x（x+2）的顶点坐标为（﹣1，﹣1），点（﹣1，﹣1）向左平移1个单位后对应点的坐标为（﹣2，﹣1），所以平移后抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣1，即y＝（x+1）（x+3）．故选：D．7．如图，小王从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东60°方向行走至C处，则∠ABC等于（）A．90°B．100°C．110°D．120°【分析】根据方向角的定义求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．【解答】解：如图：∵小王从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东60°方向行走至点C处，∴∠DAB＝40°，∠CBE＝60°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+60°＝100°．故选：B．8．若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b之值为何？（）A．﹣15B．﹣16C．﹣17D．﹣18【分析】根据不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50可以求得x的取值范围，从而可以得到a、b 的值，进而求得a+b的值．【解答】解：∵20＜5﹣2（2+2x）＜50，解得，，∵不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，∴a＝﹣5，b＝﹣12，∴a+b＝（﹣5）+（﹣12）＝﹣17，故选：C．9．如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．15【分析】如图，连接OA，OC，OB．想办法求出中心角∠BOC即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意30°＝，∴n＝12，故选：C．10．如图，正方形ABCD中，点E是BC边的中点．将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF 交CD边于点G，连接AG，CF．下列结论：①AE∥FC；②△ADG≌△AFG；③CG＝2DG；④S△CEF＝S正方形ABCD．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．②③④D．①②③④【分析】①由中点定义和折叠性质得CE＝EF，进而得∠ECF＝∠EFC，再由三角形的外角性质得∠AEB＝∠ECF，最后由平行线的判定方法得AE∥CF，便可判断①的正误；②由“HL”可证Rt△ADG≌Rt△AFG，便可判断②的正误；③设正方形ABCD的边长为a，CG＝x，则EC＝BE＝EF＝a，GF＝DG＝a﹣x，由勾股定理可求CG＝a，可求DG＝a，便可判断③的正误；④求出S△CEF的值，即可判断④的正误．【解答】解：①∵E是BC边的中点，∴BE＝CE，由折叠知，∠AEB＝∠AEF，BE＝EF，AB＝AF，∴CE＝EF，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，∴∠AEB＝∠ECF，∴AE∥CF，故①正确；②在Rt△ADG和Rt△AFG中，，∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL），故②正确；③设正方形ABCD的边长为a，CG＝x，则EC＝BE＝EF＝a，GF＝DG＝a﹣x，在△CEG中，由勾股定理得，EG2＝GC2+EC2，∴（a+a﹣x）2＝（a）2+x2，解得，x＝a，∴CG＝a，∴DG＝a，∴CG＝2DG，故③正确；④∵S△CEG＝EC•CG＝×a×a＝a2，又∵EF：FG＝a：a＝3：2，∴S△CEF＝×a2＝a2，∴S△CEF＝S正方形ABCD，故④正确，故选：D．二、填空：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在答题卡对应题号的横线上．11．若a﹣＝，则a2+的值是4．【分析】将已知等式两边平方可得a2﹣2+＝2，据此可得答案．【解答】解：∵a﹣＝，∴（a﹣）2＝2，即a2﹣2+＝2，∴a2+＝4，故答案为：4．12．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第四象限．【分析】求出方程组的解确定出点坐标，即可做出判断．【解答】解：，①﹣②得：3y＝﹣6，即y＝﹣2，将y＝﹣2代入②得：x＝，∴所求坐标为（，﹣2），则此点在第四象限．故答案为：四．13．下个月学校将为片区学校展示“音乐、体育、美术”兴趣活动观摩．小明、小丽随机从三个场所选择一个担任志愿者服务，两人恰好选择同一场所的概率是．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，所以两人恰好选择同一场所的概率＝＝．14．如图，AC与BD交于O，AB＝CD，要使△ABC≌△DCB，可以补充一个边或角的条件是AC＝BD．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可可以为AC＝BD或∠ABC＝∠DCB等．【解答】解：添加的条件是：AC＝BD，理由是：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS），故答案为：AC＝BD．15．如图，BD是△ABC的高，AB＝，BC＝2，tan A＝1，则CD＝1．【分析】首先证明△ABD是等腰直角三角形，求出BD，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵tan A＝1，∴∠A＝45°，∵BD⊥AD，∴∠D＝90°，∴AD＝BD，∵AB＝，∴AD＝BD＝，∴CD＝＝＝1，故答案为1．16．如图，抛物线y＝x2+ax+2经过点P（﹣2，2），Q（m，n）．若点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围是1≤n＜10．【分析】把点P（﹣2，2）代入y＝x2+ax+2中，即可求出a，得到解析式，进而得到顶点坐标，由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可．【解答】解：把点P（﹣2，2）代入y＝x2+ax+2中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+2，∴顶点坐标为（﹣1，1），∵点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．三、解答题：本大题共9个小题，共86分．解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．（8分）计算：1﹣．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式＝1﹣•＝1﹣＝﹣＝．18．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，在BC上截取BE＝BA．若∠A＝100°，∠C ＝30°，试求∠BDE的度数．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△EBD，可得∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠BED＝100°，由三角形的外角性质可求解．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠BED＝100°，∴∠DEC＝80°，∴∠ADE＝∠C+∠DEC＝110°，∴∠BDE＝55°．19．（8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了50名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？【分析】（1）根据总数＝个体数量之和计算即可；（2）根据平均数、总数、中位数的定义计算即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【解答】解：（1）共抽取：4+10+15+11+10＝50（人），故答案为50；（2）平均数＝（4×6+10×7+15×8+11×9+10×10）＝8.26；众数：得到8分的人最多，故众数为8．中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分；（3）得到10分占10÷50＝20%，500人时，需要一等奖奖品500×20%＝100（份）．故需准备100份“一等奖”奖品．20．（10分）a为实数，关于x的方程（x﹣a）2+2（x+1）＝a有两个实数根x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）若（x1﹣x2）2+x1x2＝12．试求a的值．【分析】（1）把方程化为一般式得到x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0，再根据判别式的意义得到△＝4a﹣4≥0，然后解不等式即可求解；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，再利用（x1﹣x2）2+x1x2＝12得到a2﹣5a﹣14＝0，然后解关于a的方程后利用a的范围确定满足条件的a的值．【解答】解：（1）（x﹣a）2+2（x+1）＝a，变形为x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0．根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a+2）＝4a2﹣8a+4﹣4a2+4a﹣8＝﹣4a﹣4≥0，解得a≤﹣1．即a的取值范围是a≤﹣1；（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，∵（x1﹣x2）2+x1x2＝12，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝12，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a+2）＝12，即a2﹣5a﹣14＝0，解得a1＝﹣2，a2＝7，∵a≤﹣1，∴a的值为﹣2．21．（10分）如图，直线AB与x轴交于点A（﹣，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，双曲线y＝经过点C．（1）求直线AB和双曲线y＝的解析式．（2）平移直线AB，使它与双曲线y＝（x＜0）有唯一公共点P时，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式；证明△ACH≌△BAO（AAS），则AH ＝OB＝2，CH＝AO＝，则点C（﹣3，），求出反比例函数表达式；（2）设平移后AB的表达式为：y＝2x+n，则2x+n＝﹣，即2x2+nx+18＝0，由△＝n2﹣4×2×18＝0，解得：n＝12，进而求解．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（0，2），则设直线AB的表达式为：y＝mx+2，将点A的坐标代入上式并解得：m＝2，故直线AB的表达式为：y＝2x+2，过点C作CH⊥x轴于点H，则∠1+∠2＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵AB＝AC，∴△ACH≌△BAO（AAS），∴AH＝OB＝2，CH＝AO＝，故点C（﹣3，），∴k＝﹣3×＝﹣18，故反比例函数表达式为：y＝﹣；（2）设平移后AB的表达式为：y＝2x+n，则2x+n＝﹣，即2x2+nx+18＝0，∵△＝n2﹣4×2×18＝0，解得：n＝12（舍去负值），此时，x1＝x2＝﹣＝﹣3，故y＝﹣＝6，故点P的坐标为（﹣3，6）．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD ＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O 于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．23．（10分）某商店经营一款新电动玩具，进货单价是30元．在1个月的试销阶段，售价是40元，销售量是400件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出10件．（1）若商店在1个月获得了6000元销售利润，求这款玩具销售单价是定为多少元的，并考虑了顾客更容易接受．（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．【解答】解：（1）设销售单价为x元，（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝6000，解得，x1＝50，x2＝60，∴销售单价定为50元时，顾客更容易接受；（2）设利润为w元，单价为x元，w＝（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝﹣10（x﹣55）2+6250，∵玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，∴，解得，43≤x≤45，∵当x＜55时，w随x的增大而增大，∴当x＝45时，w取得最大值，此时w＝5250，答：商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润是5250元．24．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB 到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．【分析】（1）证四边形AFED是平行四边形，∠DEF＝90°，即可得出结论．（2）求出CE＝BF＝5，则FC＝FE+CE＝12，证出△ABF是等腰直角三角形，得出AF ＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AC＝13，由平行四边形的性质得出OA＝OC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BF＝CE，∴FE＝BC，∴四边形AFED是平行四边形，∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴四边形AFED是矩形．（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，∵AD＝7，BE＝2，∴FE＝7，∴FB＝FE﹣BE＝5，∴CE＝BF＝5，∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF＝AC＝．25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC为y ＝x﹣2．（1）求抛物线的解析式．（2）过点A作直线AD与抛物线在第一象限的交点为D．当S△ABD＝3S△ABC时，确定直线AD与BC的位置关系．（3）在第二象限抛物线上求一点P，使∠PCA＝15°．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）求出直线AD的表达式，即可求解；（3）tan∠ACO＝＝＝，则∠HCO＝∠ACO﹣∠PCA＝60°﹣15°＝45°，求出直线CP的表达式，进而求解．【解答】解：（1）对于y＝x﹣2，令y＝x﹣2＝0，解得x＝2，令x＝0，则y ＝﹣2，故点B、C的坐标分别为（2，0）、（0，﹣2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2①；（2）令y＝x2﹣2＝0，解得x＝±2，故点A、B的坐标分为（﹣2，0）、（2，0），∵S△ABD＝3S△ABC，∴y D＝3CO＝6＝x2﹣2，解得x＝﹣4（舍去）或4，故点D的坐标为（4，6），设直线AD的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AD的表达式为y＝x+2，∵直线AD表达式中的k值和直线BC表达式中的k值相同，故AD∥BC；（3）设直线PC交x轴于点H，则tan∠ACO＝＝＝，故∠ACO＝60°，∴∠HCO＝∠ACO﹣∠PCA＝60°﹣15°＝45°，故设直线CP的表达式为y＝﹣x+t，将点C的坐标代入上式并解得t＝﹣2，故直线CP的表达式为y＝﹣x﹣2②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点P的坐标为（﹣6，4）．。
2020年四川省南充市高考数学一诊试卷1 (含答案解析)
2020年四川省南充市高考数学一诊试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4}，B ={y|y =3x −5,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {1,4}C. {2,4}D. {3,4} 2. i(2+3i)=( )A. 3−2iB. 3+2iC. −3−2iD. −3+2i3. 下列命题中的假命题是( )A. ∀x ∈R ，2−x +1>1B. ∀x ∈[1,2]，x 2−1≥0C. ∃x ∈R ，sinx +cosx =32D. ∃x ∈R ，x 2+1x 2+1≤14. α为第四象限角，，则sin α=( )A. 15 B. −15 C. 513 D. −513 5. 在区间(0,100)上任取一数x ，则lg x >1的概率是( )A. 0.1B. 0.5C. 0.8D. 0.96. 若函数f (x )=sin (ωx +π3)−1(ω>0)的最小正周期为2π3，则f (x )图象的一条对称轴为( )A. x =−π18B. x =−5π2C. x =7π18D. x =π27. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(0)=−1，且对任意x ∈R ，有f(x)=−f(2−x)成立，则f(2015)的值为( )A. 1B. −1C. 0D. 2 8. 已知圆x 2+y 2−2x +my −4=0上两点M 、N 关于直线2x +y =0对称，则圆的半径为( )A. 9B. 3C. 2√3D. 29. 函数f(x)=ln(x 2+2)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，若将其沿BD 折成直二面角A −BD −C ，则三棱锥A −BDC 的外接球的表面积为( )A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π11. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知∠A =60°，b =1，面积S =√3，则asinA 等于( )A. 2√393B. 8√33C. 26√33D. √392612. 过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为坐标原点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率为( ) A. 1+√52B. √52C. √5D. 1+√32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=a 2x−4+n(a >0且a ≠1)的图像恒过定点P(m,2)，则m +n =____.14. 某班共有36人，编号分别为1，2， 3，…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________． 15. 若变量x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥0x +y −2≤02y −1≥0，则z =x −13y 的最大值为______ ．16. 设已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m <n ，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2，则n +m = 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足：a 1=101，a 3+a 4=187，求数列{|a n |}的前n 项和T n ．18. 为了解某班学生喜爱体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部女生中随机调查2人，恰好调查到的2位女生都喜爱体育运动的概率为320． (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱体育运动与性别有关？说明你的理由； 下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，D,E分别为B1C1，AB中点．(1)证明：平面AA1D⊥平面EB1C1；(2)若AB⊥AC，求点B到平面EB1C1的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△AF1F2的周长为6．(1)求椭圆C的方程；(2)当直线AB 的斜率为1时，求△F 2AB 的面积．21. 已知函数f(x)=a 2lnx −x 2+ax (a ∈R)．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调区间．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =acosθy =sinθ(θ为参数，a >0)，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =3−t(t 为参数)． (Ⅰ)若a =2，求曲线C 与l 的普通方程；(Ⅱ)若C 上存在点P ，使得P 到l 的距离为√24，求a 的取值范围．23.已知函数f(x)=|x+2|−|x+a|．(1)当a=3时，解不等式f(x)≤1；2(2)若关于x的不等式f(x)≤a解集为R，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查了集合的交集，属于基础题．【解答】解：集合A={1,2，3，4}，B={y|y=3x−5,x∈A}={−2,1，4，7}，则A∩B={1,4}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，是基础题．利用复数的运算法则直接求解即可．【解答】解：．故选D．3.答案：C解析：解：由于对∀x∈R，2−x>0，故A为真命题；由于y=x2−1在[1,2]上为增函数，则y min=1−1=0，故B为真命题；由于sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，而32∉[−√2,√2]，故C为假命题；由于x=0∈R时，x2+1x2+1=1，故D为真命题．故选：C．根据指数函数的值域，我们可以判定A的真假；根据二次函数的图象与性质，我们可以判断B的真假；根据正弦型函数的值域，我们可以判断C的真假；根据不等式的基本性质，可以判断D的真假，进而得到答案．本题考查的知识点是全称命题和特称命题，其中根据基本不等式和正弦型函数的性质，是解答本题的关键．4.答案：D解析：【分析】本题考查的同角三角函数的基本关系，属于基础题．【解答】解：因为α是第四象限角，，所以，，又且α是第四象限角，所以cosα=1213，sinα=−513，故选D．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查几何概型的概率的计算，属于基础题．求出不等式的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：在区间(0,100)上任取一数x，结合lgx>1得10<x<100，则在区间(0,100)上任取一数x，则lg x>1的概率为：100−10100−0=90100=0.9，故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查三角函数解析式的求法及对称轴方程的求法，考查计算能力．通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性，即可求出对称轴方程，属于基础题．【解答】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)−1最小正周期为2π3，T=2πω=2π3，∴ω=3，所以3x+π3=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ3+π18，k∈Z，当k=1时，x=7π18，是一条对称轴方程．故选C．7.答案：C解析：由知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=−f(2−x)可知函数f(x)为周期为4的周期函数，令x=1得，f(1)=−f(2−1)=−f(1)所以，f(1)=0所以f(2015)=f(−1)=f(1)=0．8.答案：B解析：试题分析：求出圆的圆心，代入直线方程即可求出m的值，然后求出圆的半径．因为圆x2+y2−2x+my−4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，所以直线经过圆的圆心，圆x2+y2−2x+my−4=0的圆心坐标(1,−m2)，所以2×1−m2=0，m=4．所以圆的半径为：12√(−2)2+(4)2+4×4=3故选B9.答案：D解析：【分析】本题考查函数图象的应用，属于基础题．结合函数的奇偶性以及值域可以求解．【解答】解：由f(−x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；又ln(x2+2)≥ln2>0，排除A，B；故选D．10.答案：C解析：【分析】本题考察了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，镶嵌几何体的求解方法，转为常见的几何体求解，属于中档题．折叠之后，得出三棱锥A −BDC 的外接球与长方体的外接球相同，利用对角线求解即可，再利用面积公式求解即可． 【解答】解：在平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，若将其沿BD 折成直二面角A −BD −C ， ∴三棱锥A −BDC 镶嵌在长方体中，即得出：三棱锥A −BDC 的外接球与长方体的外接球相同， ∴2R =√3+1=2，R =1， ∴外接球的表面积为4π×12=4π， 故选C ．11.答案：A解析：解：S =√3=12bcsinA =12×b ×c ×√32，⇒bc =4， ⇒c =4，故由余弦定理知：a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+16−8×12=13， 故asinA=√13√32=2√393．故选：A ．由三角形的面积公式可求得c ，从而由余弦定理可求得a 的值，从而可求asinA 的值． 本题主要考察了三角形的面积公式的应用，考察了余弦定理的应用，属于基础题．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．设F′为双曲线的右焦点，由题设知|EF|=b ，|PF|=2b ，|PF′|=2a ，再由|PF|−|PF′|=2a ，知b =2a ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ，∴|EF|=b ， 设F′为双曲线的右焦点，∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则E 为PF 的中点，OE 为△FPF′的中位线，∴|PF|=2b ，|PF′|=2a ，∵|PF|−|PF′|=2a ，∴b =2a ，∴e =√1+(ba)2=√5，故选：C13.答案：3解析： 【分析】本题考查指数函数的图象与性质，由指数函数y =a x 图象的性质，我们知道y =a x 的图象恒过(0,1)点．由题可得 {2m −4=01+n =2 ，进而得出答案． 【解答】解：由函数f(x)=a 2x−4+n(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(m,2)知， {2m −4=01+n =2， 解得{m =2n =1，则m +n =3． 故答案为3．14.答案：21解析： 【分析】本题考查系统抽样，根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行计算即可． 【解答】解：样本抽取间隔为36÷4=9， 则样本中还有一个编号是12+9=21， 故答案为21．15.答案：43解析：解：不等式对应的平面区域如图：(阴影部分). 由z =x −13y 得y =3x −3z ，平移直线y =3x −3z ，由平移可知当直线y =3x −3z ，经过点A 时， 直线y =3x −3z 的截距最小，此时z 取得最大值， 由{2y −1=0x +y −2=0， 解得{x =32y =12，即A(32,12)代入z =x −13y 得z =x −13y =32−13×12=43， 故答案为：43根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，利用平移求出z 最大值，即可．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16.答案：52解析： 【分析】本题考查函数图像的应用、对数函数的性质、对数方程，属于中档题．由题意知0<m <1<n ，且mn =1.又函数在区间[m 2,n]上的最大值为2，f(m)=f(n)，f(m 2)=2f(m)，∴f(m 2)=2，即|log 2x|=2，解出m ，n 即可． 【解答】解：∵函数f(x)=|log 2x|，正实数m 、n 满足m <n ，且f(m)=f(n)， ∴0<m <1<n ，且mn =1，∴0<m 2<m <1， 又∵函数在区间[m 2,n]上的最大值为2， ∴当x =m 时，f(x)取最大值，，∴m =12，∴n =2，∴m +n =52．故答案为52．17.答案：解：∵a 1=101，a 3+a 4=a 1+a 6=187，∴a 6=86∴a 6−a 1=5d =−15， ∴a n =−3n +104，∴|a n |={−3n +1043n −104n ∈{1,2,3,…,34}n ∈{35,35,37,…}，当n ∈{1,2，3，…，34}时， T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a n |，=12[101+(−3n +104)]⋅n =−32n 2+2052n ，当n ∈{35,35，37，…}时，T n =(|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 34|)+(|a 35|+|a 36|+⋯+|a n |)， =12(101+2)⋅34+12[1+(3n −104)]⋅(n −34)，=32n 2−2052n +3502，∴T n ={−32n 2+2052n32n 2−2052n +3502(n ≤34)(n ≥35)．解析：由题意可知a 1=101，a 3+a 4=a 1+a 6=187，求得a 6=86，根据等差数列的性质，即可求得d ，根据等差通项公式即可求得数列{a n }的通项公式，由当n ≤34时，求得T n =12[101+(−3n +104)]⋅n =−32n 2+2052n ，当n ≥35时，求得T n =32n 2−2052n +3502，即可求得数列{|a n |}的前n项和T n ．本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查含有绝对值的等差数列前n 项和公式的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．18.答案：解：(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35，可得喜爱打篮球的学生为30人， 故可得列联表如下：(2)∵k 2=50(20×15−5×10)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．解析：本题考查独立性检验及古典概型，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35，可得喜爱打篮球的学生，即可得到列联表；(2)利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．19.答案：证明：(1)由已知可得，A1B1=A1C1，则B1C1⊥A1D，∵AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴B1C1⊥AA1，又∵A1D、AA1⊂平面AA1D，A1D∩AA1=A1，∴B1C1⊥平面AA1D，∵B1C1⊂平面EB1C1，∴平面AA1D⊥平面EB1C1．(2)连接EC，由已知，在Rt△AEC中，EC=√5，∴在Rt△ECC1中，得EC1=3，由题可得，在Rt△EBB1中，EB1=√5，在Rt△A1B1C1中，B1C1=2√2，∴在△EB1C1中，根据余弦定理可得：cos∠EB1C1=√5)2√2)222×√5×2√2=√1010，∴sin∠EB1C1=3√1010，∴S△EB1C1=12B1E⋅B1C1⋅sin∠EB1C1=3，∵C1A1⊥A1B1，C1A1⊥AA1，A1B1、AA1⊂平面BB1E，A1B1∩AA1=A1，∴C1A1⊥平面BB1E，∵S△EBB1=12BB1⋅BE=1，∴V C1−EBB1=13S△EBB1⋅C1A1=23，设点B到平面EB1C1的距离为h，由V C1−EBB1=V B−B1C1E得13S△EB1C1⋅ℎ=23，解得：ℎ=23即点B到平面EB1C1的距离为23．解析：本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)推导出B 1C 1⊥AD ，B 1C 1⊥AA 1，从而B 1C 1⊥平面AA 1D ，由此能证明平面AA 1D ⊥平面EB 1C 1． (2)连接EC ，设点B 到平面EB 1C 1的距离为h ，由V C 1−EBB 1=V B−B 1C 1E ，能求出点B 到平面EB 1C 1的距离．20.答案：解：(1)由离心率e =ca =12，a =2c ，∵△AF 1F 2的周长为6， 即2a +2c =6，即a +c =3， 即可求得a =2，c =1， b 2=a 2−c 2=3 故椭圆C 的方程：x 24+y 23=1；(2)由(1)可知焦点F 1(−1,0)， 直线AB 的方程：y =x +1， 将直线方程代入椭圆方程得： 7x 2+8x −8=0，由x 1+x 2=−87，x 1⋅x 2=−87由弦长公式丨AB 丨=√1+1⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2， =√2×12√27， =247，F 2到直线的距离为d =1+1=√2，△F 2AB 的面积S =12×d ×丨AB 丨=12×√2×247=12√27．解析：(1)利用离心率，椭圆的定义，列出方程组，即可求的a 、b 和c 的值，即可求得椭圆C 的方程；(2)求得焦点坐标，求得AB 的直线方程，代入椭圆方程，求得关于x 的一元二次方程，由韦达定理求得x 1+x 2，x 1⋅x 2，由弦长公式及点到直线的距离公式求得丨AB 丨和d ，由三角形面积公式即可求得△F 2AB 的面积．本题考查椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查转化思想，推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：.解：(1)当a =2时，f(x)=4lnx −x 2+2x,∵f (1)=1,∴切点为(1,1)，∵f′(x)=4x −2x +2,∴切线斜率k =f′(1)=4,∴切线方程为y −1=4(x −1)⇒4x −y −3=0 (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞) ，f′(x)=a 2+ax−2x 2x=(a−x)(a+2x)x.由f′(x)=0得 x =a 或x =−a2.当a =0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间．当a >0时，x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间是(0,a)当a <0时，x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间是(0,−a2)2解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、几何意义、切线方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，难度一般．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =acosθy =sinθ(θ为参数，a >0)，由于：a =2，故：{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)， 所以转换为直角坐标方程为：x 24+y 2=1．(Ⅱ)设点P(acosθ,sinθ)， 则：点P 到直线的距离d =√2=|√1+a 2sin(β+θ)−2|√2，当√1+a 2≥2时，即a ≥√3时，0≤d ≤√1+a 2+2√2，当√1+a 2<2时， 即：0<a <√3时，2−√a 2+1√2≤d ≤√1+a 2+2√2，由于：√1+a 2+2√2>√2=√2，所以当a ≥√3时,始终满足条件． 当a <√3时，2−√a 2+1√2≤√24， 解得：a ≥√52故：a 的取值范围是：[√52,+∞)．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，无理不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论的方法，对无理不等式进行求解，最后求出a 的取值范围．23.答案：解：(1)当a =3时，f(x)=|x +2|−|x +3|，f(x)={1, x ≤−3−2x −5 , −3<x <−2−1 , x ≥−2，根据题意{x ≤−31≤12或 {−3<x <−2−2x −5≤12或{x ≥−2−1≤12，−114≤x <−2或x ≥−2，故不等式的解集为：{x|x ≥−114 }； (2)由x 的不等式f(x)≤a 解集为R ， 得函数f(x)max ≤a ，∵|x +2|−|x +a|≤|(x +2)−(x +a)|=|2−a|=|a −2|(当且仅当(x +2)(x +a)≥0取“=”)， ∴|a −2|≤a ，∴{a ≤2−(a −2)≤a 或{a >2a −2≤a ， 解得：a ≥1．则a的取值范围[1,+∞)解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数的最大值，是一道中档题．(1)将a=3代入f(x)，得到关于f(x)的分段函数，求出不等式的解集即可；(2)求出f(x)的最大值，得到|a−2|≤a，解出即可．。
2020年四川省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年四川省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省南充市2024届高三高考适应性考试(一诊)考试数学(文)试题
南充市高2024届高考适应性考试文科数学一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线24x y =的准线方程为（ ） A ．1x =−B ．1x =C ．1y =−D ．1y =2．当12m <<时，复数1(2)m m i −+−在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +−=（ ） A ．0 BC ．2D ． 4．已知直线m ，n 和平面n α⊂，m α⊂/，则“m n ∥”是“m α∥”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要5．已知全集U R =，集合{}3log (1)1A x x =−>，2214x B x y =+=，则能表示A ，B ，U 关系的图是（ ） A ． B ．C ．D ．6．某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y （万件）与时间x （月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 与x 的回归直线方程为：0.480.56yx +．则下列说法错误的是（ ）时间x （月） 1 2 3 4 5 销售量y （万件）11.62.0a3A ．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为 6.8万件B ．表中数据的样本中心点为()3,2.0C ． 2.4a =D ．由表中数据可知，y 和x 成正相关7．满足约束条件103020x y x y x +−≤−+≤ +≥的平面区域的面积为（ ）A ．12B ．23C ．1D ．28．已知α为第二象限角，2sin 2cos 21αα=−，则cos α=（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为（ ） A ．32B ．92C ．9D ．1810．如图1是函数()cos 2f x x π=的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中()g x 的部分图象，则（ ）图1 图2A ．1()22g x f x=−B ．1()2g x >的解集为152,266k k++，k Z ∈C ．20233g=D ．方程14()log g x x =有4个不相等的实数解11．已知双曲线2213y x −=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线在第一象限上的一点，若211cos 4PF F ∠=，则112F P F F ⋅=（ ）AB ．C ．14D ．1512．已知函数2()ln 2f x x m x =−+−（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（ ）个 ①221m x e x < ②122x m >+ ③121x x > A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省南充市高考数学一诊试卷(文科)解析版
高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={x|x2≤1}，则A∪B=（）A. {x|x≥1}B. {x|x≥-1}C. {x|x≤1}D. {x|x≤-1}2.=（）A. -+iB. --iC. +iD. -3.“α=“是“cosα=“成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（）A. B. C. 8π D.5.函数f（x）=1-2sin2x的最小正周期是（）A. πB. 2πC.D. 26.若变量x，y满足约束条件，则z=3x-4y的最大值为（）A. -11B. -3C. 3D. 117.直线3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线方程为（）A. 4x-3y+5=0B. 4x-3y-5=0C. 3x+4y-5=0D. 3x+4y+5=08.若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.9.设函数，若方程f（x）=a有且只有一个实根，则实数a满足（）A. a＜0B. 0≤a＜1C. a=1D. a＞110.设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于2a，则该双曲线的渐近线方程为（）A. 3x±4y=0B. 4x±3y=0C. 3x±5y=0D. 5x±4y=011.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a+b=+，则角C=（）A. B. C. D.12.设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（ln x）＜x2的解集为（）A. （0，）B. （0，）C. （，）D. （，）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（1，1），B（2，-4），C（x，-9），且，则x=______．14.函数f（x）=sin x+cos x在区间[0，]上的最大值为______．15.若偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=-，且x∈[-3，-2]时，f（x）=2x，则f（101.5）=______．16.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线焦点的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，12小时的频率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值．18.在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当+++…+最大时，求n的值．19.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．20.已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点P（-1，-）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|=|F1N|？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21.已知函数，其中a＞0．（1）当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值．22.在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．23.已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x≥1}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∪B={x|x≥-1}．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：==．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由α=一定能推出cosα=，当由cosα=，则不一定推出α=，故“α=“是“cosα=“成立的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断本题考查了充分条件和必要条件的定义和三角函数的值，属于基础题4.【答案】C【解析】解：设半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S=（R2-1）π=π，∴R2=2，∴球的表面积S=4πR2=8π．故选：C．求出截面圆的半径为，利用截面圆的面积为π，可得R2=2，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查勾股定理的运用，比较基础．5.【答案】A【解析】解：∵f（x）=1-2sin2x=cos2x∴由三角函数的周期性及其求法可得：T==π故选：A．由二倍角的正弦函数公式化简已知可得f（x）=cos2x，由三角函数的周期性及其求法即可求值．本题主要考查了二倍角的正弦公式，三角函数的周期性及其求法的简单应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x-4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值3．故选：C．画出约束条件的作出可行域，通过z为目标函数的几何意义纵截距负四倍，平行直线3x-4y=0，求出最优解推出结果．本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x-4y的几何意义是解答好本题的关键．7.【答案】A【解析】解：在直线l′上任取一点（x，y），此点关于直线x+y=0的对称点（-y，-x）在直线l：3x-4y+5=0上，∴3（-y）-4（-x）+5=0，即4x-3y+5=0，故选：A．利用直线l′上的点（x，y）关于直线x+y=0的对称点（-y，-x）在直线l：3x-4y+5=0上．本题考查关于直线的对称点的坐标的求法，点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（-y，-x）．8.【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．本题考查直线和圆的位置关系，也可以用数形结合画出图形来判断，是基础题．解：设直线方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，直线l与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，【解答】圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，所以.故选C．9.【答案】C【解析】解：关于x的方程f（x）=a有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=a的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a=1时，y=f（x）与y=a的图象只有一个交点故选：C．关于x的方程f（x）=a有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=a的图象只有一个交点，结合图象可求观察．本题主要考查了根式函数、绝对值函数的图象性质；但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题．10.【答案】B【解析】解：设PF1的中点为H，连接HF2，由|PF2|=|F1F2|=2c，|PF1|-|PF2|=2a，可得|PF1|=2c+2a，在直角三角形HF1F2中，|F1F2|=2c，|HF2|=2a，|F1H|=c+a，可得4c2=（c+a）2+（2a）2，化为3c=5a，则b===a，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，故选：B．设PF1的中点为H，连接HF2，运用双曲线的定义和等腰三角形的三线合一，以及勾股定理可得a，c的关系，再由a，b，c的关系可得a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查等腰三角形的性质，以及勾股定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，a+b=+，由正弦定理可得sin A+sin B==+=cos A+cos B，则有sin A+sin B=cos A+cos B，变形可得：2sin（）cos（）=2cos（）cos（），又由-＜＜，则cos（）≠0，则有2sin（）=cos（），即tan（）=1，又由0＜＜，则=，即A+B=，则C=，故选：D．根据题意，由正弦定理可得a+b=+⇒sin A+sin B=cos A+cos B，由三角函数的恒等变形公式可得2sin（）cos（）=2cos（）cos（），变形可得tan（）=1，进而分析可得答案．本题考查三角函数的恒等变形，涉及三角函数的和差化积公式的应用，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：可构造函数F（x）=，F′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（ln x）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即为F（ln x）＜F（），由F（x）在R上递增，可得ln x＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），故选：B．构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（ln x）＜F（），运用单调性，可得ln x＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：，∵，∴-10+5（x-1）=0，解得x=3．故答案为：3．可以求出，根据可得出-10+5（x-1）=0，解出x的值即可．本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：函数f（x）=sin x+cos x=2sin（x+），故函数在区间[0，]，x=时，取到最大值2，故答案为：2．用辅助角公式对三角函数化简，求出最大值即可．考查了运用辅助角公式对函数化简，和三角函数求最值，基础题．15.【答案】【解析】解：根据题意，f（x）满足f（x+3）=-，则f（x+6）==f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，则f（101.5）=f（-0.5+17×6）=f（-0.5），又由f（x）为偶函数，则f（-0.5）=f（0.5），又由f（0.5）=f（-2.5+3）=-=-=，则f（101.5）=；故答案为：根据题意，分析可得f（x+6）==f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，进而可得f（101.5）=f（-0.5+17×6）=f（-0.5），结合函数的奇偶性以及解析式分析可得答案．本题考查函数的周期性，涉及函数值的计算，属于基础题．16.【答案】【解析】解：依题意可知F坐标为（，0）∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，∴抛物线准线方程为x=-，所以点B到抛物线准线的距离为+=，则B到该抛物线焦点的距离为．故答案为：．根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线焦点的距离．本题主要考查抛物线的定义及几何性质，属容易题．17.【答案】解：（Ⅰ）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2=10名，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P=1-=0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（Ⅱ）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4，6）的人数为17，则频率是=0.17，所以由频率分布直方图得，a==0.085，同理可得，b==0.125．【解析】（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由求出a、b的值．本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8=25，∴a32+2a3a5+a52=25又a n＞0，∴a3+a5=5 …（1分）又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5=4 …（2分）而q∈（0，1），∴a3＞a5，∴a3=4，a5=1，∴q=，a1=16，∴a n=16×（）n-1=25-n．（2）∵b n=log2a n=5-n，∴b n+1-b n=-1，b1=log2a1=log216=log224=4，∴{b n}是以b1=4为首项，-1为公差的等差数列，∴S n=．…（8分）（3）∵=，∴n≤8时，＞0，n=9时，=0，n＞9时，＜0，∴n=8或9时，+++…+最大…（12分）【解析】（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n代入到b n=log2a n中得到b n的通项公式，即可得到前n项和的通项s n；（3）把s n代入得到，确定其正负，即可求n的值．本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的求法，解题时要认真审题，注意方法的合理运用．19.【答案】（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC．又∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∴BD⊥平面PAC．故当a=2时，BD⊥平面PAC．（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN．∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM．又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM．（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM．因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．【解析】（1）BD⊥PA，BD⊥AC⇒BD⊥平面PAC（2）当a=4，取BC边的中点M，DM⊥AM⇒PM⊥DM（3）PA⊥底面ABCD⇒DM⊥AM⇒M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，可求a本题是一道综合性题，在面面垂直与线面垂直，线线垂直之间来回互用，而这也是立体几何证明题的常见题型．20.【答案】解：（1）由题意得，c=2，=1，a2=b2+c2，解得：a2=6，b2=2，所以椭圆的标准方程：=1；（2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：y=-x+t，设M（x，y），N（x'，y'）与椭圆联立整理：4x2-6tx+3t2-6=0，△=36t2-4•4•（3t2-6）＞0，-2，x+x'=，xx'=，由于|F1M|=|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，所以k=-=1又E（，），所以k==1，解得t=-4，当t=-4时，不满足-2，所以不存在满足条件的直线l．【解析】（1）直接由题意得离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）假设存在这样的直线，设直线方程联立与椭圆的方程，判别式大于零，由使得|F1M|=|F1N|求出参数，结果不满足判别式大于零的条件，所以不存在这样的直线．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题21.【答案】解：（1）当a=2时，，∴．∴f′（0）=2-1=1，又f（0）=2-1=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=x，即x-y+1=0；（2）解法一：问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．令，则．令h（x）=1-2x-e x，则h'（x）=-2-e x＜0，∴h（x）在（-∞，+∞）上单调递减．又h（0）=0，∴当x∈（-∞，0）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，∴g（x）在（-∞，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴g（x）的极大值为g（0）=1，∴当x∈（-∞，0]时，g（x）∈（-∞，1]；当x∈（0，+∞）时，g（x）∈（0，1）．又a＞0，∴当方程有唯一的解时，a=1．综上，当函数f（x）有唯一零点时，a的值为1．解法二：问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．令e x=t（t＞0），则x=ln t．问题等价于关于t的方程有唯一的解时，求a的值．令，则．令h（t）=1-t-2ln t（t＞0），则．∴h（t）在（0，+∞）单调递减，而h（1）=0，∴当t∈（0，1）时，h（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，h（t）＜0．∴当t∈（0，1）时，g'（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＜0．从而g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．注意到：g（1）=1，当t＞1时，g（t）＞0，当t→0时，g（t）→-∞，∴g（t）的唯一极大值为g（1）=1．结合g（t）的图象知，a=1或a＜0时，关于t的方程有唯一的解，而a＞0，所以a=1．【解析】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算能力，属于中档题．（1）求得a=2时f（x）的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）解法一、问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．令，求得g（x）的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a的值；解法二、问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．令e x=t（t＞0），则x=ln t，问题等价于关于t的方程有唯一的解时，求a的值．令，求得g（t）的导数和单调性，极值和最值，结合图象可得a的值．22.【答案】解：（I）C1的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，…（2分），C2的直角坐标方程为x=3；…（4分）（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为：，代入C1可得t2+2t cosθ=0，解得，可知|AP|=|t2|=|2cosθ|…（6分）代入C2可得2+t cosθ=3，解得，可知…（8分）所以PQ=，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…（10分）【解析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）设出直线PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可．本题主要考查极坐标方程和普通坐标方程之间的转化，考查学生的转化能力．23.【答案】解：（I）由已知可得，所以f min（x）=1，所以只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M=2（II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a=b时取等号，①又∴∴，当且仅当a=b时取等号，②由①②得，∴，所以a+b≥2ab法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，即证2（ab）2-ab-1≤0，即证（2ab+1）（ab-1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab.【解析】（I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m-1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．。
四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试(一诊)文科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 定义曲线为双曲线的“伴随曲线”.在双曲线：的伴随曲线上任取一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则直线与曲线的公共点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．与点的位置有关系2. 设（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．4. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）A．B．C．D．5.椭圆=1的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 某市为了对学生的初中与高中数学学习能力进行分析，从全市学生中随机抽出五位学生，并跟踪测试他们在初二和高二某一时段数学学习能力等级分数(10分制)，初二等级分数用x 表示，高二等级分数用y 表示，获得数据如表：x 34689y33879据此得出y 关于x 的线性回归方程，则下列的点到回归直线距离最远的是（ ）A．B．C．D．7. 设，，则等于（ ）A．B．C．D．8.在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴交于四点，其中，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，圆的内接四边形的面积为，则圆的方程为（ ）A．B．C．D．9. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（）四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）文科数学试题(1)四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）文科数学试题(1)三、填空题四、解答题A．B．C ．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调查成绩的平均数低于70D ．问卷调查成绩的80%分位数的估计值为8510. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）A．B．C ．X的期望D ．X的方差11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的渐近线方程为B．C ．的面积为D．12.如图，在正方体中，，点M ，N 分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（）A．B ．平面C ．线段BN长度的最大值为D ．三棱锥体积不变13. 已知单位向量，满足，则与的夹角为________.14. 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于_______．15. 若函数在存在单调递减区间，则a 的取值范围为________．16.如图，已知矩形所在的平面垂直于直角梯形所在的平面，，，，，，，分别是，的中点.（1）设过三点，，的平面为，求证：平面平面；（2）求四棱锥与三棱锥的体积之比.17. 设函数，，.（1）当，时，写出函数的单调区间；（2）当时，记函数在上的最大值为，在变化时，求的最小值；（3）若对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.18. 2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．为拓展市场，某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计，得到如下数据：城市ⅠⅡⅢⅣⅤ品牌甲品牌（百万）438612乙品牌（百万）57943（Ⅰ）如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关？（Ⅱ）如果不考虑其它因素，为拓展市场，甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传．①在城市Ⅰ被选中的条件下，求城市Ⅱ也被选中的概率；②以表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数，求随机变量的分布列及数学期望．下面临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：，n＝a＋b＋c＋d19. 如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．(1)判断HM与平面的关系，并证明你的结论；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．20. 法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.（1）求椭圆和其“伴随圆”的方程；（2）若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围；（3）在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线､，使得､与椭圆都只有一个交点，试判断､是否垂直?并说明理由.21.在中，，．以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，设在轴的上方，为外接圆的圆心．（1）求圆的方程；（2）求圆在点处的切线方程；（3）是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．。
2020年12月15日南充市高2021届第一次高考适应性考试文科数学试题
1512 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 216 粒内夹谷 27 粒,则这批米内夹谷约
A. 164 石
B. 178 石
C. 189 石
D. 196 石
5.
为了得到函数
y
=
3sin(2x+
仔 3
) 的图象,只需将函数
y=Biblioteka 3sin2x的图象
A.
向左平移
仔 6
个单位长度
B.
向右平移
仔 6
个单位长度
C.
A. 36
B. 60
C. 84
D. 92
8. 已知直线 x-my+4m-2 = 0 与圆 x2 +y2 = 4 相切,则 m =
A. 0
B.
-
4 3
C.
0
或-
4 3
D.
0
或
4 3
9. 执行如图所示的程序框图,如果输入 k 的值为 3,则输出 S 的值为
A. 10
B. 15
C. 18
D. 21
10. 已知二面角 琢-AB-茁 的平面角是锐角 兹,M沂琢,N沂茁,MN彝茁,
C沂AB,蚁MCB 为锐角,则
A. 蚁MCN<兹
B. 蚁MCN = 兹
C. 蚁MCN>兹
D. 以上三种情况均有可能
11.
已知
F1 ,F2
分别是双曲线
C:
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a>0,b>0)的左、右焦点,直线
l
是
C
的一条渐近线,
点 F1 关于 l 的对称点为 M,且 F 2 M = 2 b,则 C 的离心率为
南充一诊文科数学答案
2024届南充一诊文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．题号123456789101112选项CDDABACABBCD二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．9 14．3 -15．87 π16．21 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17―21题必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.(一)必考题17．解：(1) 数列{}n a 是等比数列且4a 是26a 和3a 的等差中项6262 62221131 324=--∴+=+=∴q q q a q a q a a a a 即：解得：2=q 或23-=q （舍去）.)*( 222211N n a a n n n ∈=⋅=∴=- 又(2):由(1)得111)1(12log 2log 1log log 1122122+-=+=⋅=⋅=++n n n n a a b n n n n n .20242023202411 2024120231()2023120221()3121()211( 20232022212023=-=-+-++-+-=++++= b b b b T 18解：(1).由题意得60140100100)40802060(200))()()(()(222⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 879.7524.921200>≈=故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.(2).现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则抽出的6人中有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人.设慢性疾病4人编号为4321 A A A A ，，，；无有慢性疾病2人编号为 21B B ，.现从6人中随机抽出2人共15种情况.分6 分4 分8 分12 分4 分5 分6具体情况如下：2111413121 B A B A A A A A A A ，，，，;22124232 B A B A A A A A ，，，;231343 B A B A A A ，，2414 B A B A ，;21 B B 其中抽出的2人中恰有1个人患有慢性疾病，共8种情况(划线部分即为所示).故抽出的2人中恰有1个人患有慢性疾病的概率为. 158=P 19解：(1).方法一：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 232 422=-==∴==⊥∴=DF AD AF DF AD BD BDAF AB AD DEAF DE AF DE BD DE BCD DE =∴=⊥∴⊥，平面//22 FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ 方法二：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 4 3222=-=∴⊥∴===DF AD AF BD AF BD AB AD ， BCD AF BDBCD ABDE ABDE AF BCDABDE ABDE DE BCD DE 平面平面平面，平面平面平面平面，平面⊥∴=⊂⊥∴⊂⊥ DEAF DE AF =∴，//分10 分12 分6 分2 分4 分2 分5 分4FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ (2).BD AE // ，直线BC 与AE 所成角为30°︒=∠∴30CBD 4=⊥BD CD BC ， 232==∴CD BC ，过C 作BD 的垂线交BD 于HBDCH ⊥∴BCD CH BCD DE 平面，平面⊂⊥ CH DE ⊥∴D DE BD = 又ABDECH 平面⊥∴在BCD ∆中，3 , 2121=⨯=⨯=∆CH CH BD CD BC S BCD 得由又2221=⨯==∆∆DE AE S S DAE BAE 3623223131=⨯⨯=⨯=∴∆-CH S V BAE BAE C BCD DE DE AF 平面，⊥// BCDAF 平面⊥∴CF AF ⊥∴22221===AF BD CF ，又3222=+=∴CF AF AC ABC ∆∴为等边三角形，33=∆ABC S 设点E 到平面ABC 的距离为h ，由BAE C ABC E V V --=得：322=h .故点E 到平面ABC 的距离为322.注：以下方法酌情给分的距离相等到平面、知，平面由ABC F E ABC EF //，如右图，取，中点M BC 分6 分7 分12 分11 分9分1 分5 分10 .,FN ABC E ABC FN N AM FN F 的距离等于到平面，即平面则可证于作过⊥⊥20解：(1).由题意 1)(，-='x xe x f 1)0(-='f 得2)0(-=f 又故切线方程为022=++-=+y x x y ，即20 ;20-==-==x y y x 得令得令22221=-⨯-⨯=∴S 三角形面积(2).方法一：由题意得 1)(，-='x xe x f 显然0)(0<'≤x f x 时，1)()( 0-='=>x xe x f x x μ令，时又上单调递增，在故)0()(,0)1()(∞+>+='∴x e x x x μμ上单调递增在),0()(+∞'∴x f 又 01)1(01)0(，，>-='<-='e f f 0)()1,0(00='∈∃x f x 使得故 )(0)(0；单调递减，时，当x f x f x x <'<∴单调递增，时，当)(0)(0x f x f x x >'> 02)1(013)2(2，，又<-=->+-=-ef e f 03)2(02)1(2>-=<-=e f f ，所以)(x f 有且仅有两个零点)2,1()1,2(2121∈--∈x x x x ，，且，知由 01)1()(1111=---=x e x x f x ，01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x e x x f 也成立111)1,2(x x x -≠--∈知又由0 2121=+=-∴x x x x 即方法二：2)1(≠-=f 0)(1的根不是方程==∴x f x 0)(0)( 11)(=⇔=-+-=x g x f x x e x g x 则，令) 1()1 ()( 0 )1(2)(2∞+-∞>-+='，，的定义域为，又 x g x e x g x 分3 分12 分8 分6 分6分9 分7 分6 分12 单调递增，在，单调递增，在 ) 1( )1 ( )(∞+-∞∴x g 01)2( 05)23( 051123( 0311)2(223232>-=<-=>-=-<-=-e g e g e g e g ，， )(x g ∴有且仅有两个零点)2 23()23 2(2121，，，，且，∈--∈x x x x 所以)(x f 有且仅有两个零点)2 23()23 2(2121，，，，且，∈--∈x x x x 则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x e x x f 232(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即方法三：02)1(≠-=f 110)(-+==∴x x e x f x ：得由图象交点的横坐标与函数的零点就是函数 11)()()(-+==∴x x x e x h x f x ϕ图象如右图所示：的与 )()(x x h ϕ是减函数，，，在上单调递增，在)1()1()()( ∞+-∞x R x h ϕ)2()2( 3)2( )2( )23()23( 523( )23( )1()1( 0)1( 1)1( )2()2( 31)2( 1)2(2232ϕϕϕϕϕϕϕϕ>==<==->-=-=--<-=-=-h e h h e h h e h h e h ，，，，，，，， 所以)(x f 有且仅有两个零点)2,23()1,2(2121∈--∈x x x x ，，且，则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x ex x f 分7 分10 分10分12 分12 分6 )1 2(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即方法四：t x t e x e x x f x x ln 1)1()(==---=，则中，令在1ln )1(1ln )1(ln )()(---=---=∴t t t t t t t g x f 可化为有且仅有两个零点明有且仅有两个零点即证证明上的增函数可知：是由)()(t g x f R e t x =是增函数，在，) 0()( 1ln )(∞+'-='t g tt t g 是增函数，在时，，是减函数，在时，，使得，知：，由) ()(,0)() ( ) 0()(,0)() 0(01ln )() 1( 011)( 1)1(00000000∞+>'∞+∈<'∈∴=-='∈∃>-='-='t t g t g t t t t g t g t t t t t g e t e e g g 03)( 02)( 021( 0311(2222>-=<-=<-=>-=e e g e g ee g e e g ，，又)(t g ∴有且仅有两个零点) ()11(222121e e t ee t t t ，，，，且，∈∈所以)(xf 有且仅有两个零点)2 1(ln )1 2(ln 221121，，，，且，∈=--∈=t x t x x x 则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x e x x f )1 2(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即方法五：中，在 1)1()(---=x e x x f x 的零点不是知：由)(002)0(x f x f =≠-=)1( ln ≠==t t x t e x ，则令011ln 0)(=-+-⇔=∴t t t x f 分10 分8 分6分10 分5 分8 有且仅有两个零点明有且仅有两个零点即证要证明11ln )()(-+-=∴t t t t g x f 单调递增，和，在，，的定义域为且又) 1()1 0()() 1()1 0()( 0)1(21)(2∞+∴∞+>-+='t g t g t t t g 013)( 012)( 0121( 0131(222222>--=<-=>-=<--=e e e g e e g e e g e e e g ，，又)(t g ∴有且仅有两个零点) ()1 1(222121e e t ee t t t ，，，，且，∈∈所以)(xf 有且仅有两个零点)2 1(ln )1 2(ln 221121，，，，且，∈=--∈=t x t x x x 则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x ex e x x e x x f )1 2(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即21解：(1).)1,0()0,5(--B A ，由055=++y x AB 的方程为：得直线65515=+=d AB 的距离故原点到直线 直线AB 与圆O 相切65==∴d r 圆的半径故以O 为圆心且与AB 相切的圆的方程为：6522=+y x 方法一：(2).由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),(),(2211y x N y x M ，设则直线MP 的方程为：)1(111--=x x y y )(05105510])1(5[ )1(1 151212121221211122*=-+-+--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+ x x y x y x x y x x yy y x 得：联立分12 分2 分4 分6分8 分9 分12 分11 分7 分6 又上，故在椭圆E y x M ),(11152121=+y x ，即212155x y -=代入)(*式整理得：0355)3(2112121=-+--x x x y x x 0031>∆≠-，显然x33512111x x x x x P --=⋅∴3)2(232)1(1 35311111111-+=-=--=--=∴x x k x y x x y y x x x P P P ，3)2(2,3531111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x P 故同理： 3)2(2,3532222；⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x Q 2544)55(2 )3)(53()3)(53()]3)(2()3)(2[(23533533)2(23)2(212121221122122112211kx x x x k x x x x x x x x k x x x x x x k x x k k =--=------+--+=------+--+='∴故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.方法二：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),( ),( ),( ),(44332211y x Q y x P y x N y x M ，，，设),1( ),1(3311y x t y x RPt MR -=--∴=设)( 01 )1(131313131*⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=--=- ty y t tx x ty y x t x 得：23131313122322123*********1211))((5))((151515t ty y ty y tx x tx x t y t y x t x t y x y x -=-++-+∴-=-+-⨯-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+得：②由①②①分7 分8 分9 分10 分9 分10 分11 分12 ttx x t tx x t 55 105))(1()(31231-=--=+-+*即：带入上式得：将tx t x t tx x 23 2313131-=-=∴+=+，又 )52()2(11113t k x k t y t y -=+-=-=∴)52( 23 44μμμ-=-==k y x RQ NR ，，同理可得：设kt t k t k t k x x y y k 25)11(211(5)23()23()52(52(4343=--=------=--='∴μμμμ故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.22.解：(1).显然1C 是过原点且倾斜角为α的直线∴1C 的极坐标方程为αθ=)20(R ∈<<ρπα2C 的极坐标方程为2παθ+=)20(R ∈<<ρπα.(2).由⎩⎨⎧== sin 8αθθρ得A 的极坐标为()αα，sin 8由⎪⎩⎪⎨⎧+==2sin 8παθθρ得B 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 cos 82 )2sin(8πααπαπα，，即，.ααcos 8 sin 8==∴OB OA ，AOB ∆∴的面积为：ααα2sin 16cos sin 3221==⋅=OB OA S 又20(πα，∈AOB ∆=∴ 4时，πα面积的最大值为16.分1 分5 分3分2 分3 分5 分6 分8 分9 分10 分8 分9 分10 23.解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-+--<=+--=4 642 222 624)(x x x x x x x f 6)(4min -=≥∴x f x 时，当05)(2≥+-a a x f 恒成立0562≥+--∴a a 即0652≤+-a a 32≤≤∴a 故a 的取值范围为[]32，.(2)由(1)知：6 .6=++=c b a M 即法1：3618)(3)3()2()3()1()2()1(6 )3)(2(2)3)(1(2)2)(1(23213212=+++=+++++++++++++++≤++++++++++++++=+++++∴c b a c b c a b a c b a c b c a b a c b a c b a （当且仅当⎩⎨⎧=+++=+=+ 6321c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.法2：（柯西不等式）[]363)6()111()3()2()1()131211(00 02222222=⨯+++=++⋅+++++≤⋅++⋅++⋅+∴>>>c b a c b a c b a c b a 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+6131211c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.。
2020年四川省南充市第一中学九年级下学期第一次诊断考试数学试题(附带详细解析)
2．不等式组 的解集在数轴上表示为( )
A． B．
C． D．
3．化简 的结果是( )
A．a-bB．a+bC． D．
4．若 是一元一次方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
11．因式分解：x2y﹣y=_____．
12．一组数据 的中位数是 ，则 的值是_____．
13．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是_____．
14．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是 的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝_____．
21．如图，直线 与双曲线 相交于点A，且 ，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线 的解析式及k的值；
（2）连结 、 ，求 的面积．
22．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
A． B． C． D．
9．如图，在菱形 中，已知 ， ， ，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，有下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则点 到 的距离为 ．则其中正确结论的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，是二次函数 图象的一部分，下列结论中：
2020年四川省南充市高考数学一诊试卷(文科)
2020年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x −1≥0}，B ＝{x|x 2≤1}，则A ∪B ＝（ ） A.{x|x ≥1} B.{x|x ≥−1} C.{x|x ≤1} D.{x|x ≤−1}2. 12−i =( ) A.−25+15i B.−25−15iC.25+15iD.25−15i3. “α=π3“是“cosα=12“成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（ ） A.8π3B.32π3C.8πD.8√2π35. 函数f(x)＝1−2sin 2x 的最小正周期是（ ）A.πB.2πC.π2 D.26. 若变量x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0 ，则z ＝3x −4y 的最大值为（ ）A.−11B.−3C.3D.117. 直线3x −4y +5＝0关于直线x +y ＝0对称的直线方程为（ ） A.4x −3y +5＝0 B.4x −3y −5＝0 C.3x +4y −5＝0 D.3x +4y +5＝08. 若过点A(4, 0)的直线l 与曲线(x −2)2+y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A. [−√3,√3]B.(−√3,√3)C.[−√33,√33]D.(−√33,√33)9. 设函数f(x)={√1−x 2,(|x|≤1)|x|,(|x|>1)，若方程f(x)＝a 有且只有一个实根，则实数a 满足（ ）A.a <0B.0≤a <1C.a ＝1D.a >110. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于2a ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.3x ±4y ＝0B.4x ±3y ＝0C.3x ±5y ＝0D.5x ±4y ＝011. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a +b =atanA +btanB ，则角C ＝（ ） A.π6 B.π4C.π3D.π212. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)>2f(x)(x ∈R)，f(12)=e （e 为自然对数的底数），则不等式f(lnx)<x 2的解集为（ ）A.(0, e 2) B.(0, √e) C.(1e , e2)D.(e2, √e)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．已知A(1, 1)，B(2, −4)，C(x, −9)，且AB →∥AC →，则x ＝________．函数f(x)＝sinx +√3cosx 在区间[0, π2]上的最大值为________．若偶函数f(x)对任意x ∈R ，都有f(x +3)=−1f(x)，且x ∈[−3, −2]时，f(x)＝2x ，则f(101.5)＝________．抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点A(0, 2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线焦点的距离为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图(Ⅱ)求频率分布直方图中的a，b的值．在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N∗)，公比q∈(0, 1)，且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当S11+S22+S33+⋯+S nn最大时，求n的值．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，又侧棱PA⊥底面ABCD．（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．（2）当a＝4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(−2, 0)，F2(2, 0)，点P(−1, −√153)在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|＝|F1N|？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．已知函数f(x)=ae x−xe x−1，其中a>0．(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)有唯一零点，求a的值．选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知曲线C1:ρ＝2cosθ和曲线C2:ρcosθ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x|+|x−1|．(Ⅰ)若f(x)≥|m−1|恒成立，求实数m的最大值M；(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2＝M，证明：a+b≥2ab．参考答案与试题解析2020年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】并集及其运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{x|x≥1}，B＝{x|−1≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≥−1}．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】1 2−i =2+i(2−i)(2+i)=25+15i．3.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断【解答】由α=π3一定能推出cosα=12，当由cosα=12，则不一定推出α=π3，故“α=π3“是“cosα=12“成立的充分不必要条件，4.【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】求出截面圆的半径为√R2−1，利用截面圆的面积为π，可得R2＝2，即可求出球的表面积．【解答】设半径为R，则截面圆的半径为√R2−1，∴截面圆的面积为S＝(R2−1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π．5.【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法二倍角的三角函数【解析】由二倍角的正弦函数公式化简已知可得f(x)＝cos2x，由三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】∵f(x)＝1−2sin2x＝cos2x∴由三角函数的周期性及其求法可得：T=2π=π26.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的作出可行域，通过z为目标函数的几何意义纵截距负四倍，平行直线3x−4y＝0，求出最优解推出结果．【解答】作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z＝3x−4y平移到点(5, 3)时，目标函数z＝3x−4y取得最大值3．7.【答案】A【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】利用直线l′上的点(x, y)关于直线x+y＝0的对称点(−y, −x)在直线l:3x−4y+5＝0上．【解答】在直线l′上任取一点(x, y)，此点关于直线x+y＝0的对称点(−y, −x)在直线l:3x−4y+5＝0上，∴3(−y)−4(−x)+5＝0，即4x−3y+5＝0，8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．【解答】解：设直线方程为y=k(x−4)，即kx−y−4k=0，直线l与曲线(x−2)2+y2=1有公共点，圆心O(2, 0)到直线的距离小于等于半径d=2≤1，化简得4k2≤k2+1，即k2≤13，解得k∈[−√33,√3 3].故选C.9.【答案】C【考点】函数的值域及其求法分段函数的应用【解析】关于x的方程f(x)＝a有且只有一个实根⇔y＝f(x)与y＝a的图象只有一个交点，结合图象可求观察．【解答】关于x的方程f(x)＝a有且只有一个实根⇔y＝f(x)与y＝a的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a＝1时，y＝f(x)与y＝a的图象只有一个交点10.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】设PF1的中点为H，连接HF2，运用双曲线的定义和等腰三角形的三线合一，以及勾股定理可得a，c的关系，再由a，b，c的关系可得a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．【解答】设PF1的中点为H，连接HF2，由|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|−|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2c+2a，在直角三角形HF1F2中，|F1F2|＝2c，|HF2|＝2a，|F1H|＝c+a，可得4c 2＝(c +a)2+(2a)2，化为3c ＝5a ， 则b =√c 2−a 2=√(5a3)2−a 2=43a ，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ， 11.【答案】 D【考点】 正弦定理 【解析】根据题意，由正弦定理可得a +b =a tanA +btanB ⇒sinA +sinB ＝cosA +cosB ，由三角函数的恒等变形公式可得2sin(A+B 2)cos(A−B 2)＝2cos(A+B 2)cos(A−B 2)，变形可得tan(A+B 2)＝1，进而分析可得答案． 【解答】根据题意，a +b =a tanA +btanB ，由正弦定理可得sinA +sinB =sinAtanA +sinBtanB =sinAsinA cosA+sinBsinB cosB=cosA +cosB ，则有sinA +sinB ＝cosA +cosB ， 变形可得：2sin(A+B 2)cos(A−B 2)＝2cos(A+B 2)cos(A−B 2)，又由−π2<A−B 2<π2，则cos(A−B 2)≠0，则有2sin(A+B 2)＝cos(A+B 2)，即tan(A+B 2)＝1，又由0<A+B 2<π2，则A+B 2=π4，即A +B =π2，则C =π2， 12.【答案】 B【考点】 导数的运算 【解析】 构造函数F(x)=f(x)e 2x，求出导数，判断F(x)在R 上递增．原不等式等价为F(lnx)<F(12)，运用单调性，可得lnx <12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【解答】 可构造函数F(x)=f(x)e 2x， F′(x)=f(x)e 2x −2f(x)e 2x(e 2x )2=f ′(x)−2f(x)e 2x，由f′(x)>2f(x)，可得F′(x)>0，即有F(x)在R 上递增． 不等式f(lnx)<x 2即为f(lnx)x <1，(x >0)，即f(lnx)e <1，x >0．即有F(12)=f(12)e=1，即为F(lnx)<F(12)，由F(x)在R 上递增，可得lnx <12，解得0<x <√e ． 故不等式的解集为(0, √e)，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【答案】 3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】可以求出AB →=(1,−5),AC →=(x −1,−10)，根据AB →∥AC →可得出−10+5(x −1)＝0，解出x 的值即可． 【解答】AB →=(1,−5),AC →=(x −1,−10)， ∵ AB →∥AC →，∴ −10+5(x −1)＝0，解得x ＝3． 【答案】 2【考点】三角函数的最值 【解析】用辅助角公式对三角函数化简，求出最大值即可． 【解答】函数f(x)＝sinx +√3cosx ＝2sin(x +π3)， 故函数在区间[0, π2]，x =π6时，取到最大值2， 【答案】 15【考点】 函数的周期性 【解析】根据题意，分析可得f(x +6)=1f(x+3)=f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，进而可得f(101.5)＝f(−0.5+17×6)＝f(−0.5)，结合函数的奇偶性以及解析式分析可得答案． 【解答】根据题意，f(x)满足f(x +3)=−1f(x)，则f(x +6)=1f(x+3)=f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，则f(101.5)＝f(−0.5+17×6)＝f(−0.5)，又由f(x)为偶函数，则f(−0.5)＝f(0.5)，又由f(0.5)＝f(−2.5+3)=−1f(−2.5)=−12×(−2.5)=15，则f(101.5)=15；【答案】3√24【考点】抛物线的求解【解析】根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线焦点的距离．【解答】解：依题意可知F坐标为( p2, 0)∴B的坐标为( p4, 1)代入抛物线方程得p22=1，解得p=√2，∴抛物线准线方程为x=−√22，所以点B到抛物线准线的距离为√24+√22=3√24，则B到该抛物线焦点的距离为3√24．故答案为：3√24．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分【答案】（1）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2＝10名，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P＝1−10100=0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（2）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4, 6)的人数为17，则频率是17100=0.17，所以由频率分布直方图得，a==0.085，同理可得，b=0.252=0.125．【考点】频率分布直方图【解析】(Ⅰ)先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；(Ⅱ)结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4, 6)、[8, 10)的人数为17，求出对应的频率，分别由求出a 、b 的值．【解答】（1）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2＝10名， 所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P ＝1−10100=0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（2）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4, 6)的人数为17，则频率是17100=0.17， 所以由频率分布直方图得，a ==0.085，同理可得，b =0.252=0.125．【答案】∵ a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8＝25，∴ a 32+2a 3a 5+a 52＝25 又a n >0，∴ a 3+a 5＝5又a 3与a 5的等比中项为2，∴ a 3a 5＝4 而q ∈(0, 1)，∴ a 3>a 5，∴ a 3＝4，a 5＝1，∴ q =12，a 1＝16，∴ a n ＝16×(12)n−1＝25−n ． ∵ b n ＝log 2a n ＝5−n ，∴ b n+1−b n ＝−1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴ {b n }是以b 1＝4为首项，−1为公差的等差数列， ∴ S n =n(9−n)2．∵ sn n=9−n 2，∴ n ≤8时，snn>0，n ＝9时，sn n =0，n >9时，sn n <0， ∴ n ＝8或9时，s11+s 22+s 33+⋯+snn 最大【考点】数列与不等式的综合 数列的求和 【解析】（1）根据等比数列的性质可知a 1a 5＝a 32，a 2a 8＝a 52化简a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8＝25得到a 3+a 5＝5，又因为a 3与a 5的等比中项为2，联立求得a 3与a 5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n 代入到b n ＝log 2a n 中得到b n 的通项公式，即可得到前n 项和的通项s n ； （3）把s n 代入得到s nn ，确定其正负，即可求n 的值． 【解答】∵ a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8＝25，∴ a 32+2a 3a 5+a 52＝25 又a n >0，∴ a 3+a 5＝5又a 3与a 5的等比中项为2，∴ a 3a 5＝4 而q ∈(0, 1)，∴ a 3>a 5，∴ a 3＝4，a 5＝1，∴ q =12，a 1＝16，∴ a n ＝16×(12)n−1＝25−n ． ∵ b n ＝log 2a n ＝5−n ，∴ b n+1−b n ＝−1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴ {b n }是以b 1＝4为首项，−1为公差的等差数列， ∴ S n =n(9−n)2．∵ sn n=9−n 2，∴ n ≤8时，snn>0，n ＝9时，sn n =0，n >9时，sn n <0， ∴ n ＝8或9时，s11+s 22+s 33+⋯+snn 最大【答案】当a ＝2时，ABCD 为正方形，则BD ⊥AC ． 又∵ PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ BD ⊥PA ．∴ BD ⊥平面PAC ． 故当a ＝2时，BD ⊥平面PAC ．证明：当a ＝4时，取BC 边的中点M ，AD 边的中点N ，连接AM 、DM 、MN ． ∵ ABMN 和DCMN 都是正方形，∴ ∠AMD ＝∠AMN +∠DMN ＝45∘+45∘＝90∘，即DM ⊥AM ．又PA ⊥底面ABCD ，由三垂线定理得，PM ⊥DM ，故当a ＝4时，BC 边的中点M 使PM ⊥DM ．设M 是BC 边上符合题设的点M ，∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ DM ⊥AM ．因此，M 点应是以AD 为直径的圆和BC 边的一个公共点，则AD ≥2AB ，即a ≥4为所求．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面垂直 【解析】（1）BD ⊥PA ，BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面PAC（2）当a ＝4，取BC 边的中点M ，DM ⊥AM ⇒PM ⊥DM（3）PA ⊥底面ABCD ⇒DM ⊥AM ⇒M 点应是以AD 为直径的圆和BC 边的一个公共点，可求a【解答】当a＝2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC．又∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∴BD⊥平面PAC．故当a＝2时，BD⊥平面PAC．证明：当a＝4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN．∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD＝∠AMN+∠DMN＝45∘+45∘＝90∘，即DM⊥AM．又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a＝4时，BC边的中点M使PM⊥DM．设M是BC边上符合题设的点M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM．因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．【答案】由题意得，c＝2，1a2+159b2=1，a2＝b2+c2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的标准方程：x26+y22=1；假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：y＝−x+t，设M(x, y)，N(x′, y′)与椭圆联立整理：4x2−6tx+3t2−6＝0，△＝36t2−4⋅4⋅(3t2−6)>0，−2√2<t<2√2，x+x′=3t2，xx′=3t2−64，由于|F1M|＝|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，所以k F1E=−1kMN=1又E(3t4, t3)，所以k F1E=t43t4+2=1，解得t＝−4，当t＝−4时，不满足−2√2<t<2√2，所以不存在满足条件的直线l．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的应用椭圆的离心率【解析】（1）直接由题意得离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）假设存在这样的直线，设直线方程联立与椭圆的方程，判别式大于零，由使得|F1M|＝|F1N|求出参数，结果不满足判别式大于零的条件，所以不存在这样的直线．【解答】由题意得，c＝2，1a2+159b2=1，a2＝b2+c2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的标准方程：x26+y22=1；假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：y＝−x+t，设M(x, y)，N(x′, y′)与椭圆联立整理：4x2−6tx+3t2−6＝0，△＝36t2−4⋅4⋅(3t2−6)>0，−2√2<t<2√2，x+x′=3t2，xx′=3t2−64，由于|F1M|＝|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，所以k F1E=−1kMN=1又E(3t4, t3)，所以k F1E=t43t4+2=1，解得t＝−4，当t＝−4时，不满足−2√2<t<2√2，所以不存在满足条件的直线l．【答案】（I）当a＝2时，f(x)=2e x−xe x −1，∴f′(x)=2e x−1−xe x．∴f′(0)＝2−1＝1，又f(0)＝2−1＝1，∴曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y−1＝x，即x−y+1＝0；（2）解法一：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令g(x)=1e x (xe x+1)，则g′(x)=1−2x−e xe2x．令ℎ(x)＝1−2x−e x，则ℎ′(x)＝−2−e x<0，∴ℎ(x)在(−∞, +∞)上单调递减．又ℎ(0)＝0，∴当x∈(−∞, 0)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(−∞, 0)上单调递增；当x∈(0, +∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递减．∴g(x)的极大值为g(0)＝1，∴当x∈(−∞, 0]时，g(x)∈(−∞, 1]；当x∈(0, +∞)时，g(x)∈(0, 1)．又a>0，∴当方程a=1e (xe+1)有唯一的解时，a＝1．综上，当函数f(x)有唯一零点时，a的值为1．解法二：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令e x＝t(t>0)，则x＝lnt．问题等价于关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解时，求a的值．令g(t)=1t (lntt+1)=lnt+tt2，则g′(t)=1−t−21ntt．令ℎ(t)＝1−t−2lnt(t>0)，则ℎ(t)=−1−2t =−t+2t<0(t>0)．∴ℎ(t)在(0, +∞)单调递减，而ℎ(1)＝0，∴当t∈(0, 1)时，ℎ(t)>0，当t∈(1, +∞)时，ℎ(t)<0．∴当t∈(0, 1)时，g′(t)>0，当t∈(1, +∞)时，g′(t)<0．从而g(t)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减．注意到：g(1)＝1，当t>1时，g(t)>0，当t→0时，g(t)→−∞，∴g(t)的唯一极大值为g(1)＝1．结合g(t)的图象知，a＝1或a<0时，关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解，而a>0，所以a＝1．【考点】函数零点的判定定理利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（I）求得a＝2时f(x)的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；(Ⅱ)解法一、问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令g(x)=1e x (xe x+1)，求得g(x)的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a的值；解法二、问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令e x＝t(t>0)，则x＝lnt，问题等价于关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解时，求a的值．令g(t)=1t (lntt+1)=lnt+tt2，求得g(t)的导数和单调性，极值和最值，结合图象可得a的值．【解答】（I）当a＝2时，f(x)=2e x−xe x −1，∴f′(x)=2e x−1−xe x．∴f′(0)＝2−1＝1，又f(0)＝2−1＝1，∴曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y−1＝x，即x−y+1＝0；（2）解法一：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令g(x)=1e x (xe x+1)，则g′(x)=1−2x−e xe2x．令ℎ(x)＝1−2x−e x，则ℎ′(x)＝−2−e x<0，∴ℎ(x)在(−∞, +∞)上单调递减．又ℎ(0)＝0，∴当x∈(−∞, 0)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(−∞, 0)上单调递增；当x∈(0, +∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递减．∴g(x)的极大值为g(0)＝1，∴当x∈(−∞, 0]时，g(x)∈(−∞, 1]；当x∈(0, +∞)时，g(x)∈(0, 1)．又a>0，∴当方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，a＝1．综上，当函数f(x)有唯一零点时，a的值为1．解法二：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令e x＝t(t>0)，则x＝lnt．问题等价于关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解时，求a的值．令g(t)=1t (lntt+1)=lnt+tt2，则g′(t)=1−t−21ntt3．令ℎ(t)＝1−t−2lnt(t>0)，则ℎ(t)=−1−2t =−t+2t<0(t>0)．∴ℎ(t)在(0, +∞)单调递减，而ℎ(1)＝0，∴ 当t ∈(0, 1)时，ℎ(t)>0，当t ∈(1, +∞)时，ℎ(t)<0． ∴ 当t ∈(0, 1)时，g ′(t)>0，当t ∈(1, +∞)时，g ′(t)<0． 从而g(t)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减．注意到：g(1)＝1，当t >1时，g(t)>0，当t →0时，g(t)→−∞， ∴ g(t)的唯一极大值为g(1)＝1．结合g(t)的图象知，a ＝1或a <0时，关于t 的方程a =1t (lntt+1)(t >0)有唯一的解，而a >0，所以a ＝1．选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】( I)C 1的直角坐标方程为(x −1)2+y 2＝1，， C 2的直角坐标方程为x ＝3；( II)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A ， ∴ PQ 过点A(2, 0)，设直线PQ 的参数方程为：{x =2+tcosθy =tsinθ ， 代入C 1可得t 2+2tcosθ＝0，解得， 可知|AP|＝|t 2|＝|2cosθ|代入C 2可得2+tcosθ＝3，解得t /=1cosθ， 可知|AQ|=|t /|=|1cosθ|所以PQ =|AP|+|AQ|=|2cosθ|+|1cosθ|≥2√2，当且仅当|2cosθ|=|1cosθ|时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为2√2．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．(Ⅱ)设出直线PQ 的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可． 【解答】( I)C 1的直角坐标方程为(x −1)2+y 2＝1，， C 2的直角坐标方程为x ＝3；( II)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A ， ∴ PQ 过点A(2, 0)，设直线PQ 的参数方程为：{x =2+tcosθy =tsinθ，代入C1可得t2+2tcosθ＝0，解得，可知|AP|＝|t2|＝|2cosθ|代入C2可得2+tcosθ＝3，解得t/=1cosθ，可知|AQ|=|t/|=|1cosθ|所以PQ=|AP|+|AQ|=|2cosθ|+|1cosθ|≥2√2，当且仅当|2cosθ|=|1cosθ|时取等号，所以线段PQ长度的最小值为2√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】( I)由已知可得f(x)={1−2x,x<0 1,0≤x<12x−1,x≥1，所以f min(x)＝1，所以只需|m−1|≤1，解得−1≤m−1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M＝2( II)法一：综合法∵正实数a，b满足a2+b2＝2，∴ab≤1∴√ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，①又∴√aba+b ≤12∴aba+b≤√ab2，当且仅当a＝b时取等号，②由①②得，∴aba+b ≤12，所以a+b≥2ab法二：分析法因为a>0，b>0，所以要证a+b≥2ab，只需证(a+b)2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，即证2(ab)2−ab−1≤0，即证(2ab+1)(ab−1)≤0，因为2ab+1>0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2＝a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab【考点】函数恒成立问题【解析】( I)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m−1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．( II)法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】( I)由已知可得f(x)={1−2x,x<0 1,0≤x<12x−1,x≥1，所以f min(x)＝1，所以只需|m−1|≤1，解得−1≤m−1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M＝2( II)法一：综合法∵正实数a，b满足a2+b2＝2，∴ab≤1∴√ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，①又∴√aba+b ≤12∴aba+b≤√ab2，当且仅当a＝b时取等号，②由①②得，∴aba+b ≤12，所以a+b≥2ab法二：分析法因为a>0，b>0，所以要证a+b≥2ab，只需证(a+b)2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，即证2(ab)2−ab−1≤0，即证(2ab+1)(ab−1)≤0，因为2ab+1>0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2＝a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab。
四川省南充市2024届高三上学期一诊考试文科数学数学答案
2024届南充一诊文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．题号123456789101112选项CDDABACABBCD二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．9 14．3 -15．87 π16．21 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17―21题必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.(一)必考题17．解：(1) 数列{}n a 是等比数列且4a 是26a 和3a 的等差中项6262 62221131 324=--∴+=+=∴q q q a q a q a a a a 即：解得：2=q 或23-=q （舍去）.)*( 222211N n a a n n n ∈=⋅=∴=- 又(2):由(1)得111)1(12log 2log 1log log 1122122+-=+=⋅=⋅=++n n n n a a b n n n n n .20242023202411 2024120231()2023120221()3121()211( 20232022212023=-=-+-++-+-=++++= b b b b T 18解：(1).由题意得60140100100)40802060(200))()()(()(222⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 879.7524.921200>≈=故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.(2).现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则抽出的6人中有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人.设慢性疾病4人编号为4321 A A A A ，，，；无有慢性疾病2人编号为 21B B ，.现从6人中随机抽出2人共15种情况.分6 分4 分8 分12 分4 分5 分6具体情况如下：2111413121 B A B A A A A A A A ，，，，;22124232 B A B A A A A A ，，，;231343 B A B A A A ，，2414 B A B A ，;21 B B 其中抽出的2人中恰有1个人患有慢性疾病，共8种情况(划线部分即为所示).故抽出的2人中恰有1个人患有慢性疾病的概率为. 158=P 19解：(1).方法一：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 232 422=-==∴==⊥∴=DF AD AF DF AD BD BDAF AB AD DEAF DE AF DE BD DE BCD DE =∴=⊥∴⊥，平面//22 FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ 方法二：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 4 3222=-=∴⊥∴===DF AD AF BD AF BD AB AD ， BCD AF BDBCD ABDE ABDE AF BCDABDE ABDE DE BCD DE 平面平面平面，平面平面平面平面，平面⊥∴=⊂⊥∴⊂⊥ DEAF DE AF =∴，//分10 分12 分6 分2 分4 分2 分5 分4FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ (2).BD AE // ，直线BC 与AE 所成角为30°︒=∠∴30CBD 4=⊥BD CD BC ， 232==∴CD BC ，过C 作BD 的垂线交BD 于HBDCH ⊥∴BCD CH BCD DE 平面，平面⊂⊥ CH DE ⊥∴D DE BD = 又ABDECH 平面⊥∴在BCD ∆中，3 , 2121=⨯=⨯=∆CH CH BD CD BC S BCD 得由又2221=⨯==∆∆DE AE S S DAE BAE 3623223131=⨯⨯=⨯=∴∆-CH S V BAE BAE C BCD DE DE AF 平面，⊥// BCDAF 平面⊥∴CF AF ⊥∴22221===AF BD CF ，又3222=+=∴CF AF AC ABC ∆∴为等边三角形，33=∆ABC S 设点E 到平面ABC 的距离为h ，由BAE C ABC E V V --=得：322=h .故点E 到平面ABC 的距离为322.注：以下方法酌情给分的距离相等到平面、知，平面由ABC F E ABC EF //，如右图，取，中点M BC 分6 分7 分12 分11 分9分1 分5 分10 .,FN ABC E ABC FN N AM FN F 的距离等于到平面，即平面则可证于作过⊥⊥20解：(1).由题意 1)(，-='x xe x f 1)0(-='f 得2)0(-=f 又故切线方程为022=++-=+y x x y ，即20 ;20-==-==x y y x 得令得令22221=-⨯-⨯=∴S 三角形面积(2).方法一：由题意得 1)(，-='x xe x f 显然0)(0<'≤x f x 时，1)()( 0-='=>x xe x f x x μ令，时又上单调递增，在故)0()(,0)1()(∞+>+='∴x e x x x μμ上单调递增在),0()(+∞'∴x f 又 01)1(01)0(，，>-='<-='e f f 0)()1,0(00='∈∃x f x 使得故 )(0)(0；单调递减，时，当x f x f x x <'<∴单调递增，时，当)(0)(0x f x f x x >'> 02)1(013)2(2，，又<-=->+-=-ef e f 03)2(02)1(2>-=<-=e f f ，所以)(x f 有且仅有两个零点)2,1()1,2(2121∈--∈x x x x ，，且，知由 01)1()(1111=---=x e x x f x ，01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x e x x f 也成立111)1,2(x x x -≠--∈知又由0 2121=+=-∴x x x x 即方法二：2)1(≠-=f 0)(1的根不是方程==∴x f x 0)(0)( 11)(=⇔=-+-=x g x f x x e x g x 则，令) 1()1 ()( 0 )1(2)(2∞+-∞>-+='，，的定义域为，又 x g x e x g x 分3 分12 分8 分6 分6分9 分7 分6 分12 单调递增，在，单调递增，在 ) 1( )1 ( )(∞+-∞∴x g 01)2( 05)23( 051123( 0311)2(223232>-=<-=>-=-<-=-e g e g e g e g ，， )(x g ∴有且仅有两个零点)2 23()23 2(2121，，，，且，∈--∈x x x x 所以)(x f 有且仅有两个零点)2 23()23 2(2121，，，，且，∈--∈x x x x 则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x e x x f 232(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即方法三：02)1(≠-=f 110)(-+==∴x x e x f x ：得由图象交点的横坐标与函数的零点就是函数 11)()()(-+==∴x x x e x h x f x ϕ图象如右图所示：的与 )()(x x h ϕ是减函数，，，在上单调递增，在)1()1()()( ∞+-∞x R x h ϕ)2()2( 3)2( )2( )23()23( 523( )23( )1()1( 0)1( 1)1( )2()2( 31)2( 1)2(2232ϕϕϕϕϕϕϕϕ>==<==->-=-=--<-=-=-h e h h e h h e h h e h ，，，，，，，， 所以)(x f 有且仅有两个零点)2,23()1,2(2121∈--∈x x x x ，，且，则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x ex x f 分7 分10 分10分12 分12 分6 )1 2(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即方法四：t x t e x e x x f x x ln 1)1()(==---=，则中，令在1ln )1(1ln )1(ln )()(---=---=∴t t t t t t t g x f 可化为有且仅有两个零点明有且仅有两个零点即证证明上的增函数可知：是由)()(t g x f R e t x =是增函数，在，) 0()( 1ln )(∞+'-='t g tt t g 是增函数，在时，，是减函数，在时，，使得，知：，由) ()(,0)() ( ) 0()(,0)() 0(01ln )() 1( 011)( 1)1(00000000∞+>'∞+∈<'∈∴=-='∈∃>-='-='t t g t g t t t t g t g t t t t t g e t e e g g 03)( 02)( 021( 0311(2222>-=<-=<-=>-=e e g e g ee g e e g ，，又)(t g ∴有且仅有两个零点) ()11(222121e e t ee t t t ，，，，且，∈∈所以)(xf 有且仅有两个零点)2 1(ln )1 2(ln 221121，，，，且，∈=--∈=t x t x x x 则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x e x x f )1 2(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即方法五：中，在 1)1()(---=x e x x f x 的零点不是知：由)(002)0(x f x f =≠-=)1( ln ≠==t t x t e x ，则令011ln 0)(=-+-⇔=∴t t t x f 分10 分8 分6分10 分5 分8 有且仅有两个零点明有且仅有两个零点即证要证明11ln )()(-+-=∴t t t t g x f 单调递增，和，在，，的定义域为且又) 1()1 0()() 1()1 0()( 0)1(21)(2∞+∴∞+>-+='t g t g t t t g 013)( 012)( 0121( 0131(222222>--=<-=>-=<--=e e e g e e g e e g e e e g ，，又)(t g ∴有且仅有两个零点) ()1 1(222121e e t ee t t t ，，，，且，∈∈所以)(xf 有且仅有两个零点)2 1(ln )1 2(ln 221121，，，，且，∈=--∈=t x t x x x 则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x ex e x x e x x f )1 2(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即21解：(1).)1,0()0,5(--B A ，由055=++y x AB 的方程为：得直线65515=+=d AB 的距离故原点到直线 直线AB 与圆O 相切65==∴d r 圆的半径故以O 为圆心且与AB 相切的圆的方程为：6522=+y x 方法一：(2).由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),(),(2211y x N y x M ，设则直线MP 的方程为：)1(111--=x x y y )(05105510])1(5[ )1(1 151212121221211122*=-+-+--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+ x x y x y x x y x x yy y x 得：联立分12 分2 分4 分6分8 分9 分12 分11 分7 分6 又上，故在椭圆E y x M ),(11152121=+y x ，即212155x y -=代入)(*式整理得：0355)3(2112121=-+--x x x y x x 0031>∆≠-，显然x33512111x x x x x P --=⋅∴3)2(232)1(1 35311111111-+=-=--=--=∴x x k x y x x y y x x x P P P ，3)2(2,3531111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x P 故同理： 3)2(2,3532222；⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x Q 2544)55(2 )3)(53()3)(53()]3)(2()3)(2[(23533533)2(23)2(212121221122122112211kx x x x k x x x x x x x x k x x x x x x k x x k k =--=------+--+=------+--+='∴故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.方法二：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),( ),( ),( ),(44332211y x Q y x P y x N y x M ，，，设),1( ),1(3311y x t y x RPt MR -=--∴=设)( 01 )1(131313131*⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=--=- ty y t tx x ty y x t x 得：23131313122322123*********1211))((5))((151515t ty y ty y tx x tx x t y t y x t x t y x y x -=-++-+∴-=-+-⨯-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+得：②由①②①分7 分8 分9 分10 分9 分10 分11 分12 ttx x t tx x t 55 105))(1()(31231-=--=+-+*即：带入上式得：将tx t x t tx x 23 2313131-=-=∴+=+，又 )52()2(11113t k x k t y t y -=+-=-=∴)52( 23 44μμμ-=-==k y x RQ NR ，，同理可得：设kt t k t k t k x x y y k 25)11(211(5)23()23()52(52(4343=--=------=--='∴μμμμ故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.22.解：(1).显然1C 是过原点且倾斜角为α的直线∴1C 的极坐标方程为αθ=)20(R ∈<<ρπα2C 的极坐标方程为2παθ+=)20(R ∈<<ρπα.(2).由⎩⎨⎧== sin 8αθθρ得A 的极坐标为()αα，sin 8由⎪⎩⎪⎨⎧+==2sin 8παθθρ得B 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 cos 82 )2sin(8πααπαπα，，即，.ααcos 8 sin 8==∴OB OA ，AOB ∆∴的面积为：ααα2sin 16cos sin 3221==⋅=OB OA S 又20(πα，∈AOB ∆=∴ 4时，πα面积的最大值为16.分1 分5 分3分2 分3 分5 分6 分8 分9 分10 分8 分9 分10 23.解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-+--<=+--=4 642 222 624)(x x x x x x x f 6)(4min -=≥∴x f x 时，当05)(2≥+-a a x f 恒成立0562≥+--∴a a 即0652≤+-a a 32≤≤∴a 故a 的取值范围为[]32，.(2)由(1)知：6 .6=++=c b a M 即法1：3618)(3)3()2()3()1()2()1(6 )3)(2(2)3)(1(2)2)(1(23213212=+++=+++++++++++++++≤++++++++++++++=+++++∴c b a c b c a b a c b a c b c a b a c b a c b a （当且仅当⎩⎨⎧=+++=+=+ 6321c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.法2：（柯西不等式）[]363)6()111()3()2()1()131211(00 02222222=⨯+++=++⋅+++++≤⋅++⋅++⋅+∴>>>c b a c b a c b a c b a 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+6131211c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.。