向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册
高等数学 向量代数与空间解析几何题【精选文档】
第五章向量代数与空间解析几何5。
1。
1 向量的概念例1 在平行四边形中,设=a,=b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点(图5-8)解由于平行四边形的对角线互相平行,所以a+b==2即-(a+b)=2于是=(a+b)。
因为=-,所以(a+b)。
图5-8又因-a+b==2,所以=(b-a).由于=-,=(a-b).例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为(常向量)v.设n为垂直于S的单位向量(图5-11(a)),计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P(液体得密度为)。
(a)(b)图5-11解该斜柱体的斜高|v |,斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角,所以这柱体的高为|v|cos,体积为A|v|cos=A v·n。
从而,单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5-15),试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB,故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA) =ABCB图5-15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =|ABCB|即ab sin C=cb sin A=ca sin B所以5。
2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4,1,7)、B(-3,5,0),在y轴上求一点M,使得|MA|=|MB|。
解因为点在y轴上,故设其坐标为,则由两点间的距离公式,有解得,故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以,即△为等腰三角形。
5.2。
2 向量运算的坐标表示例3 设有点,,求向量的坐标表示式.解由于,而,,于是即例4 已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),求与方向相同的单位向量e。
解因为=–=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,–2),所以=,于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a=(2,1,2),b=(—1,1,-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a,b代入,即得x=2(2,1,2)–3(–1,1,–2)=(7,–1,10)y=3(2,1,2)–5(–1,1,–2)=(11,–2,16)。
(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数
第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ,则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3( 则: 且 b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A (2,0,0),B (0,3,0),C (0,0,4)的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点)(,(2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 ( C )A .y 轴上; B. xoy 平面上; C. xoz 平面上; D. 第一卦限内。
8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α,则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = (C )A .αcos ; B. αsin ; C. α ; D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直,则 ( B )A .其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ; B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ;C .充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ; D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 ( C )A. b a ϖϖ//;B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ;C. b a ϖϖ⊥ ;D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 ( B )A .平行xoy 面;B . 平行z 轴 ; C. 垂直z 轴; D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 ( A ) A. 1=-+z y x ; B. 2=-+z y x ;C. 3=-+z y x ;D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+:与平面3224=--z y x 的位置关系是( A ) A .平行; B. 直线在平面上; C. 垂直相交; D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周,所得曲面方程是( C )A .369)4222=-+y z x (; B. 36)(9)42222=+-+z y z x (; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是( D )A .2222)R z y z a =++-(; B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ; C. 2222)(R x a y x =-++; D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 ( B )A .椭球面; B. 1=y 平面上椭圆;C. 椭圆柱面;D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-,且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和,求这个平面。
《高等数学》下册期末总复习第六版.
《高等数学》(下册期末总复习一、向量代数与空间解析几何(一)向量代数JJJJ G G G G1、点M (x , y , z ⇔向量OM =(x , y , z =xi +yj +zk ;JJJ G 2、点A (x 1, y 1, z 1, B (x 2, y 2, z 2 ⇒向量AB =(x 2−x 1, y 2−y 1, z 2−z 1 ;G G 3、设a =(a x , a y , a z , b =(b x , b y , b z ,则G G Ga ±b =(a x ±b x , a y ±b y , a z ±b z ;λa =(λa x , λa y , λa z (λ为数); G G G G G G na ⋅b =|a |⋅|b |cos(a , b =a x b x +a y b y +a z b z ;G G G i j k G G G G G G G G G G G G G G na ×b =a x a y a z ,(|a ×b |=|a ||b |sin(a , b , a ×b ⊥b , a ×b ⊥a ;b x b y b zb x b y b z G Ga &b ⇔==(对应坐标成比例);a x a y a zG G G Ga ⊥b ⇔a ⋅b =0;G G G a ⋅b G ncos(a , b =;|a ||b |G G G G n Prj b =|b |cos(a , bG a(二)曲面、空间曲线及其方程1、曲面及其方程Σ:F (x , y , z =0,旋转曲面【绕谁不换谁,正负根号里没有谁;作图时先画母线然后绕其轴旋转之】,柱面【柱面三缺一,缺谁母线就平行于谁;作图时先画准线结合母线特点得柱面】,二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】;要熟悉常见的曲面及其方程并会作图 2、空间曲线及其方程:一般方程(面交式)、参数方程;3、曲线(曲面或空间立体)在坐标面上的投影:投谁便消去谁4、会作简单立体图形(三)平面方程与直线方程:1、平面方程:1)一般方程:Ax +By +Cz +D =0,其中n =(A , B , C 为其一法向量.G第 1 页共 14 页 12)点法式方程:法向量n =(A , B , C ,点M (x 0, y 0, z 0 ∈Π,则A (x −x 0 +B (y −y 0 +C (z −z 0 =0 . 3)截距式方程:Gx y z++=1 a b c⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0的平面束方程为⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=04)平面束方程:过直线⎨(A 1x +B 1y +C 1z +D 1 +λ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2 =02、直线方程:点M 0(x 0, y 0, z 0 ∈L ,则1)对称式方程(点向式方程):方向向量s =(m , n , p ,Gx −x 0y −y 0z −z 0==m n p⎧x =x 0+mt⎪2)参数式方程:⎨y =y 0+nt⎪z =z +pt0⎩3)一般式方程:⎨⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=03、面面、线线、线面关系:G G |n G G 1⋅n 2|n n =1 面面:cos θ=|cos(n , |=12|n 1||n 2|G GΠ1⊥Π2⇔n 1⋅n 2=0⇔A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0; A 1B 1C 1G G Π1&Π(或重合)⇔n &n ⇔== 212A 2B 2C 2G G |s G G 1⋅s 2|n s == 2 线线:cos θ=|cos(s , |12|s 1||s 2|G GL 1⊥L 2⇔s 1⋅s 2=0⇔m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0; m 1n 1p 1G G L 1&L (或重合)⇔s &s ⇔== 212m 2n 2p 2G G |s ⋅n |G G m 3 线面:sin ϕ=|cos(s , n |==|s ||n |A B C G GL ⊥Π⇔s &n ⇔==;m n pG GL &Π(或L 在Π上⇔s ⊥n ⇔Am +Bn +Cp =0第 2 页共 14 页24、距离点面:d =JJJJJ J G 点线:d =|M G 0M ×s ||s |,其中Gs 为直线的方向向量,M 为直线上任意一点.第 3 页共 14 页 3二、多元函数的微分学及其应用(一)极限(求法与一元函数的类似,洛必达法则除外):(x , y →(x 0, y 0limf (x , y =A ⇔∀ε>0, ∃δ>0, δ时,有|f (x , y -A |<ε(x , y →(x 0, y 0∆(二)连续性:∆limf (x , y =f (x 0, y 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, δ时,有|f (x , y -f (x 0, y 0 |<ε(三)偏导数:1、显函数:z =f (x , y1)定义:f x (x 0, y 0 =lim∆x →0f (x 0+∆x , y 0 −f (x 0, y 0,∆xf y (x 0, y 0 =lim∆y →0f (x 0, y 0+∆y −f (x 0, y 0∆y2)求导法则:对x 求偏导,暂时视y 为常量;对y 求偏导,暂时视x 为常量3)复合函数的求导法则(链式法则):若z =f (u , v 具有连续偏导数,而u =g (x , y 与v =h (x , y 都具有偏导数,则复合函数z =f [g (x , y , h (x , y ]的偏导数为:∂z ∂z ∂u ∂z ∂v=⋅+⋅=f u ⋅u x +f v ⋅v x =f 1′⋅g x +f 2′⋅h x ;∂x ∂u ∂x ∂v ∂x∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =⋅+⋅=f u ⋅u y +f v ⋅v y =f 1′⋅g y +f 2′⋅h y ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y特别的,设z =f [h (x , g (x ],则dz=f 1′⋅h ′(x +f 2′⋅g ′(x dx例如,设z =f (xy , 2x +3y ,其中f 具有二阶连续偏导数:令u =xy , v =2x +3y ,则∂z ∂z=f 1′⋅y +f 2′⋅2=yf 1′+2f 2′,=xf 1′+3f 2′. ∂x ∂y∂2z ∂∂′′⋅x +f 12′′⋅3]+2(f 21′′⋅x +f 22′′⋅3 =(yf 1′ +2(f 2′ =[f 1′+y (f 11∂x ∂y ∂y ∂y′′+(3y +2x f 12′′+6f 22′′ =f 1′+xyf 11注意:1)解题时,要注意偏导数以及导数的写法. 2)其中f 1′=∂f (u , v∂u u =xyf 1′(xy , 2x +3y 】与原函数具有相同的复合结构. =f u (xy , 2x +3y 【即4v =2x +3y第 4 页共 14 页2、隐函数:1)一个方程的情形:F x dy ⎧=−⎪dx F y ⎪⎪y =y (x→⎨隐函数求导法:方程两边对x 求导,注意y =二元方程可确定一个一元隐函数:F (x , y =0⎯⎯⎯⎪微分法:方程两边取微分,F dx +F dy =0x y⎪⎪⎩y (x 为x 的函数F y ⎧F x ∂z ∂z=−, =−z =z (x , y ⎪dx F z dy F z ⎪三元方程可确定一个二元隐函数:F (x , y ,z =0⇒⎨隐函数求导法:方程两边对x (或y 求偏导,注意z =z (x , y 为x 、y 的函数⎪⎪⎩微分法:方程两边取微分,F x dx +F y dy +F z dz =0⇒dz ="2)方程组的情形:(隐函数求导法)⎧y =y (x⎨⎩z =z (x⎧F (x , y , z =0dy dz三元方程组确定两个一元隐函数:⎨⇒,对x 求导dx dx G x y z (, , =0⎩四元方程组可确定两个二元隐函数:{F (x , y , u , v =0G (x , y , u , v =0⎧u =u (x , y ⎨⎩v =v (x , y⇒对x (或y 求偏导,视y (或x 为常量,得∂u ∂v , ∂x ∂x(或∂u ∂v )∂y ∂y(四)全微分:可微函数z =f (x , y 的全微分为:dz =z x dx +z y dy . 定义为:∆z [=f (x 0+∆x , y 0+∆y −f (x 0, y 0]=A ∆x +B ∆y +o (ρ ,其中ρ=(五)应用:1、几何应用:1)曲线的切线与法平面:∆⎧x =x (t ⎪a 、若曲线Γ的方程为参数方程:⎨y =y (t ,点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ↔t =t 0,则⎪z =z (t ⎩G切向量为T =(x ′(t 0, y ′(t 0, z ′(t 0 ,切线方程为x −x 0y −y 0z −z 0; ==x ′(t 0 y ′(t 0 z ′(t 0法平面方程为x ′(t 0 ⋅(x −x 0 +y ′(t 0 ⋅(y −y 0 +z ′(t 0 ⋅(z −z 0 =0G ⎧y =f (x,点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ,则切向量为T =(1,y ′(x 0, z ′(x 0 ,从而可b 、若曲线Γ的方程为:⎨⎩z =g (x得切线方程与法平面方程.⎧F (x , y , z =0,点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ,则切向量为c 、若曲线Γ的方程为一般方程:⎨G (x , y , z 0=⎩第 5 页共 14 页5G dy dz T =(1,y ′(x 0, z ′(x 0 (利用隐函数求导法,方程两边对x 求导,可得, ),从而可得切线方程与法dx dxG G G G G平面方程.【另解:n 1=(F x , F y , F z |M ,n 2=(G x , G y , G z |M ,可取切向量为T =n 1×n 2】2)曲面的切平面与法线:a 、若曲面Σ的方程为F (x , y , z =0,点M (x 0, y 0, z 0 ∈Σ,则法向量为:n =(F x (x 0, y 0, z 0, F y (x 0, y 0, z 0, F z (x 0, y 0, z 0 ,切平面方程为:F x (x 0, y 0, z 0(x −x 0 +F y (x 0, y 0, z 0(y −y 0 +F z (x 0, y 0, z 0(z −z 0 =0;法线方程为:Gx −x 0y −y 0z −z 0==F x (x 0, y 0, z 0 F y (x 0, y 0, z 0 F z (x 0, y 0, z 0b 、若曲面Σ的方程为z =f (x , y ,点M (x 0, y 0, z 0 ∈Σ,则法向量为:n =(f x (x 0, y 0, f y (x 0, y 0, −1 ,切平面方程为:f x (x 0, y 0(x −x 0 +f y (x 0, y 0(y −y 0 −(z −z 0 =0;法线方程为:Gx −x 0y −y 0z −z 0==f x (x 0, y 0 f y (x 0, y 0 −1⎧f x (x , y =02、极值:1 无条件:设z =f (x , y ,由⎨解得驻点(x 0, y 0 ,f (x , y 0=⎩y令A =f xx (x 0, y 0, B =f xy (x 0, y 0, C =f yy (x 0, y 0 ,然后利用A , B , C 判定极值与否:AC −B 2>0有极值,A >0极小,A <0极大;AC −B 2<0无极值;AC −B 2=0用此法无法判定.注意:最后必须求出极值. 2)条件极值:z =f (x , y 在条件ϕ(x , y =0下的极值:构造Lagrange 函数,令⎧L x (x , y =0⎪L (x , y =f (x , y +λϕ(x , y ,联立方程⎨L y (x , y =0,其解(x 0, y 0 为⎪ϕ(x , y =0⎩是否为极值点,一般可由问题的本身性质来判定.3、方向导数与梯度:(以二元函数为例)1)、方向导数:设z =f (x , y 可微分,∂f Ge l =(cosα,cos β ,则∂l=f x (x 0, y 0 c os α+f y (x 0, y 0 cos β(x 0, y 02)梯度:grad f (x , y =(f x (x , y , f y (x , y ,方向导数的最大值为梯度的模,取得方向导数的最大值的方向为梯度的方向.三、积分 (一求法1、重积分I 、二重积分I =∫∫f (x , y d σD⎧b dx y 2(x f (x 若D :⎧⎪⎨a ≤x ≤b ⎪[X :上下]a 、直角坐标:I =∫∫f (x , y dxdy =⎪⎨∫a ∫y , y dy , 1(x⎩y 1(x ≤y ≤y 2(xD⎪⎩∫dcdy ∫x 2(yx f (x , y dx ,若D :⎧⎪⎨c ≤y ≤d 1(y ⎪x x ≤x [Y :左右] ⎩1(y ≤2(y若D 既不是X -型也不是Y -型,则适当分割之.注意:通过二重积分,可交换二次积分的积分次序,这是一类常考的题型.⎧⎨x =ρcos θb 、极坐标: I ZZZZZZ YZZZZZ ⎩y =ρsin θd σ=ρd ρd θX Z ∫∫f (ρcos θ, ρsin θ ⋅ρd ρd θDZZZZZZZZZ D :⎧⎨α≤θ≤βYZZZZZZZZ ⎩ρ1(θ ≤ρ≤ρ2(θX Z ∫βρ2(θαd θ∫ρ(θ f (ρcos θ, ρsin θ ρd ρ1II 、三重积分I =∫∫∫f (x , y , z dvΩa 、直角坐标I =∫∫∫f (x , y , z dxdydz :Ω1)投影法:i )先一后二公式: I ZZZZZZZZZZZZZZZZX YZZZZZZZZZZZZZZZZ Ω={(x , y , z |z 1(x , y ≤z ≤z 2(x , y ,(x , y ∈D xy}z 2(x , yD ∫∫dxdy ∫z f (x , y , z dz1(x , yxy⎧a ≤x ≤b Ω:⎪⎨y 1(x ≤y ≤y 2(x ii 三次积分公式:I ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZ ⎪⎩z 1 (x , y ≤z ≤z 2(x , yX Z ∫b dx ∫y 2(xz 2(x , ya y (x dy ∫z 1(x , y f (x , y , z dz12)截面法:(先二后一公式)I ZZ ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZZZ Ω={(x , y , z |c ≤z ≤d ,(x , y ∈D z }X Z∫dcdz ∫∫f (x , y , z dxdyD z⎧⎪x =ρcos θ⎨y =ρsin θ⎪b 、柱面坐标:I ZZZZZZ YZZZZZZ ⎩z =z dv =ρd ρd θdzX ∫∫∫f (ρcos θ, ρsin θ, z ⋅ρd ρd θdzΩ⎧α≤θ≤βΩ:⎪⎨ρ1(θ ≤ρ≤ρ2(θ ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZ ⎪⎩z 1(ρ, θ ≤z ≤z 2(ρ, θX Z∫β, θαd θ∫ρ2(θρ1(θρd ρ∫z 2(ρz (ρcos θ, ρsin θ, z dz1(ρ, θf⎧⎪x =r sin ϕcos θ⎨y =r sin ϕsin θ⎪c 、球面坐标:I ZZZZZZZZ YZZZZZZZ ⎩z =r cos ϕdv =r 2sin ϕdrd ϕd θX Z ∫∫∫f (r sin ϕcos θ, r sin ϕsin θ, r cos ϕ⋅r 2sin ϕdrd ϕd θΩ⎧α≤θ≤Ω:⎪β⎨ϕ1(θ ≤ϕ≤ϕ2(θ ZZZZZZZZZX YZZZZZZZZ ⎪⎩r 1 (ϕ, θ ≤r ≤r 2(ϕ, θZ Z Z∫βϕ2(θαd θ∫ϕϕd ϕ(ϕ, θ1(θsin ∫r 2r 1(ϕ, θf (r sin ϕcos θ, r sin ϕsin θ, r cos ϕ r 2dr2、曲线积分I 、第一类(对弧长):L :⎧⎨x =x (t a 、平面曲线:∫⎩y =y (tLf (x , y ds ZZZZZ YZ ZZZZ α≤t ≤βX∫βαf [x (t , y (t ](α<β⎧x =x (tΓ:⎪⎨y =y (t b 、空间曲线:∫⎪⎩z =z (t Γf (x , y , z ds ZZZZZ YZZZZZ Xβα≤t ≤β∫αf [x (t , y (t , z (t ](α<βII 、第二类(对坐标) a 、平面曲线:I =∫L P (x , y dx +Q (x , y dyi 参数法:I ZZZZZZ L :⎧⎨x =x (tYZZZZZ ⎩y =y (tβt 由α变到βX Z ∫α{P [x (t , y (t ]x ′(t +Q [x (t , y (t ]y ′(t }dtii 与路径无关:选取特殊的路径求之,注意条件:单连通,偏导数处处连续.定理设函数P (x , y , Q (x , y 在单连通区域D 内处处具有连续的偏导数,则下列命题相互等价:(1)∫LP (x , y dx +Q (x , y dy 在D 内与路径无关;(2)沿D 内任意一条闭曲线C ,v ∫CP (x , y dx +Q (x , y dy =0;(3)在D 内恒有:∂P ∂Q∂y =∂x;(4)P (x , y dx +Q (x , y dy 在D 内为某函数u (x , y 的全微分,即存在函数u (x , y ,使得P (x , y dx +Q (x , y dy =du (x , y .这里u (x , y 可由下列三种方法求得:①曲线积分法:u (x , y =∫(x , y(x x , y dx +Q (x , y dy +C ;0, y 0P (②凑全微分法:利用微分的运算法则,将P (x , y dx +Q (x , y dy 凑成d (" ,则u (x , y =(" +C ;③偏积分法:由du =Pdx +Qdy ,得u x =P (x , y ;两边对x 求偏积分可得u (x , y =P (x , y dx =f (x , y +C (y 两边对y 求偏导可得u y =f y (x , y +C ′(y ,再由u y =Q (x , y ,可解得C (y ,从而得u (x , y . iii )Green 公式:∫v ∫P (x , y dx +Q (x , y dy =∫∫(∂Q ∂P− dxdy ;不闭则补之.注意条件:LD∂x ∂y偏导数处处连续,L 为D 的正向边界.iv )化为第一类:∫LP (x , y dx +Q (x , y dy =∫L[P (x , y cos α+Q (x , y cos β]ds b 、空间曲线:I = ∫ΓP (x , y , z dx +Q (x , y , z dy +R (x , y , z dz⎧Γ:⎪x =x (t⎨y =y (t i 参数法:I ZZZZZZ YZZZZZ ⎪⎩z =z (t t 由α变到βX Z ∫βα{P [x (t , y (t , z (t ]x ′(t +Q [x (t , y (t , z (t ]y ′(t +R [x (t , y (t , z (t ]z ′(t }dtii *与路径无关:选取特殊的路径求之,注意条件:单连通,偏导数处处连续. iii Stokes公式:cos αcos βcos γdydz dzdx dxdy v ∫ΓPdx +Qdy +Rdz =∫∫∂∂∂∂∂∂Σ∂x ∂y ∂z dS =∂x ∂y ∂z ;或∫∫ΣP Q R P Q R不闭则补之.注意方向:L 的方向与Σ的侧符合右手规则. iv 化为第一类:∫ΓPdx +Qdy +Rdz =∫Γ(P cos α+Q cos β+R cos γ ds3、曲面积分I 、第一类(对面积):⎧⎪∫∫D f [x , y , z (x , y ]Σ:z =z (x , y I =∫∫Σf (x , y , z dS =⎪xy⎪⎨⎪∫∫D f [x , y (z , x , z ]Σ:y =y (z , xzx ⎪⎪⎩∫∫D f[x (y , z , y , z ]Σ:x =x (y , z yzII 、第二类(对坐标):I =∫∫P (x , y , z dydz +Q (x , y , z dzdx +R (x , y , z dxdy Σ1) Gauss公式:w ∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫∫(∂P ∂x +∂Q ∂RΣΩ∂y +∂zdxdydz 若不闭则补之.注意条件:偏导数处处连续及方向性:Σ为Ω的整个边界曲面的外侧. 2)投影法:注意垂直性.若不垂直,则∫∫P (x , y, z dydz Σ:x =x (y , z ±∫∫P [x (y , z , y , z ]dydz 【前正后负】ΣD yz∫∫Q (x , y , z dzdx Σ:y =y (z , x ±∫∫Q [x , y (z , x , z ]dzdx 【右正左负】ΣD zx∫∫R (x , y , z dxdy Σ:z =z (x , y ±∫∫R [x , y , z (x , y ]dxdy 【上正下负】ΣD xy3)化为第一类:∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫(P cos α+Q cos β+R cos γ dSΣΣ4)化为单一型:∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫(Pcos αΣΣcos γ+Q cos βcos γ+R dxdy (二应用1、面积:平面A =∫∫dxd y ;D曲面A =∫∫d S ,A =Σ∫∫dy(D ∫∫∫∫或)xy D yz D zx2、体积: V =∫∫∫dv ;V =∫∫f (x , y d σ【曲顶柱体】ΩD3、物理应用:质量、功、转动惯量、质心、引力、流量(通量)、环流量等等【自学之】设A G=(P (x , y , z , Q (x , y , z , R (x , y , z ,则散度div A G =∂P ∂x +∂Q ∂y +∂R∂z, G i Gj k G 旋度rot A G =∂∂∂∂x ∂y ∂z P Q R四、级数(一)常数项级数及其收敛性 1、定义:∑u n =1 ∞ n 收敛(发散)⇔ lim sn 存在(不存在)【部分和sn = u1 + u2 + n →∞ ∞ ∞ un 】 2、基本性质:1)∞ ∞ ∑ kun (k ≠ 0 与∑ un 具有相同的收敛性;n =1 n =1 ∞ n =1 2)∑ un 与∑ vn 都收敛⇒ ∑ (un ± vn 收敛【口诀:收加收为收,收加发为发,发加发未必发】 n =1 n =1 3)改变有限项的值不影响级数的收敛性 4)收敛的级数可以任意加括号5)若∑u n =1 n →∞ ∞ n 收敛,则 lim un = 0 ;反之未必.n →∞ ∞ 6)若lim un ≠ 0 ,则∑u n =1 n 发散 3、特殊级数的收敛性【必须牢记之】:①调和级数∑ n 发散;n =1 ∞ ∞ 1 ② p -级数∑n n =1 1 p (常数 p > 0 ):当 p > 1 时收敛,当p ≤ 1 时发散;∞ ③等比级数(几何级数)∑ aq n=0 n ,当| q |≥ 1 时发散,当 | q |< 1 时收敛,且∞ ∑ aq n=0 n = a (| q |< 1 .1− q 4、正项级数∞ ∑u n =1 ∞ n ,其中un ≥ 0(n = 1, 2, : I、∑u n =1 n 收敛⇔ {sn } 有界; II、比较:1)un ≤ vn ( n > N 【大的收,小的也收;小的发,大的也发】 2)lim un = l (0 < l < +∞ 【同敛散】n →∞ v n 11 第 11 页共 14 页III、比值(根值) lim :n →∞ un +1 = ρ (lim n un = ρ ,当ρ < 1 时收敛;当ρ > 1( ρ = +∞ 时发散;而当ρ = 1 时n →∞ un 用此法不能判定其收敛性. IV、极限:lim n un = l (0 < l < +∞ ,当 p > 1 时收敛;当p ≤ 1 时发散.p n →∞ ∞ 5、交错级数∑ (−1 u (u n n =1 n n > 0, n = 1, 2, : {un } 单调减少趋于零. 6、一般项级数∑u n =1 ∞ n=0 ∞ n ( un 为任意常数):发散或收敛(绝对收敛,条件收敛)∞ (二)幂级数∑a x n n 或∑ a (x − x n=0 n 0 n :∞ 1、Abel 定理:若幂级数∞ ∑ an x n 在当x = x0 ( x0 ≠ 0 时收敛,则∑ an x n 当 | x |<| x0 | 时必绝对收敛;反之,n=0 n=0 ∞ n=0 ∞ 若∑ an x n 当 x = x0 时发散,则∑ an x n 当 | x |>| x0 | 时必发散. n=0 ρ = 0, ⎧ +∞, an +1 ⎪: 2、收敛半径:1)若an ≠ 0 【不缺项】ρ = lim (lim n | an | , R = ⎨1/ ρ , 0 < ρ < +∞, n →∞ a n →∞ n ⎪ 0, ρ = +∞; ⎩ 2)若缺项:lim n →∞ un +1 ( x = un ( x < 1 ,解得收敛区间. 3、收敛域:先求收敛半径 R ,可得收敛区间( − R, R ,再讨论端点 x = ± R 处的收敛性可得所求的收敛域 4、幂级数和函数的求法:先求收敛域,再利用幂级数的运算性质(加减乘除四则运算,逐项求导,逐项积分,和函数的连续性)以及换元法,然后代已知的展开式,可得所求的和函数. 5、函数展开成幂级数f ( x = ∑ a (x − x n=0 n 0 ∞ n (x ∈ I : 1)直接展开法:【利用 Taylor 展开定理】求导数得系数,写出泰勒级数,求其收敛域,最后记得判定余项趋于零,便可得到所求的展开式. 2)间接展开法:利用幂级数的运算性质(加减乘除四则运算,逐项求导,逐项积分,和函数的连续性)以及换元法,然后代已知的展开式,可得所求的展开式.注:以下 7 个常用的展开式必须牢记:①e = x xn ∑ n ! (| x |< +∞ ; n =0 ∞ ② sin x = ∑ (−1n n=0 ∞ x 2 n +1 (| x |< +∞ (2n + 1! 第 12 页共 14 页 12③ cos x = ∑ (−1n n=0 ∞ x2n (| x |< +∞ ; (2n! ④ ∞ 1 = ∑ x n (| x |< 1 1 − x n=0 ∞ ∞1 ⑤ = ∑ (−1 n x n (| x |< 1 ; 1 + x n=0 x n +1 ⑥ ln(1 + x = ∑ (−1 (−1 < x ≤ 1 n +1 n =0 n⑦ (1 + x = 1 + α x + α α (α −1 2 2! x + + α (α −1 (α − n +1 n n! x + α >0 ⎧[−1,1] ⎪ (| x |< 1 【α 为常数, I = ⎨ ( −1,1] −1 < α < 0 】⎪α ≤ −1 ⎩(−1,1 (三)傅里叶级数:只复习T = 2π 情形,一般周期 T = 2l 类似. an = 1、系数:1 π 1 ∫ π f ( x cosnxdx(n = 0,1, 2, − π bn = f ( x sin nxdx(n = 1, 2, π ∫π − π 2、收敛性:条件为在一个周期上 1)处处连续或只有有限个第一类间断点;2)只有有限个极值点. f ( x ⎧ a0 ∞ ⎪ 3、和:+ ∑ (an cos nx + bn sin nx = ⎨ f ( x + + f ( x − 2 n =1 ⎪⎩ 2 4、傅里叶级数展开式: f ( x = x为f ( x的连续点 x为f ( x的间断点a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sinnx , ( x ∈ C 2 n =1 f ( x+ + f ( x− } 2 其中 C = {x | f ( x = 5、函数展开成傅里叶级数: 1)若 f ( x 为T = 2π 的周期函数,则对 f ( x 验证收敛定理的条件,求出 f ( x 的间断点,利用收敛定理,写出 f ( x 的傅氏级数的收敛性,再求出傅氏系数,最后写出所求的傅氏级数展开式.注意:必须写出展开式成立的范围,在展开式不成立的点(必为间断点)必须指明傅氏级数的收敛性. 2)若 f ( x 只在[ −π , π ] 上有定义,则必须对 f ( x 进行周期延拓,然后对周期延拓后所得的函数 F ( x 的傅氏级数展开式限制在[ −π , π ] 上讨论. 3)若 f ( x 只在[0, π ] 上有定义,对 f ( x 进行奇(偶)延拓再周期延拓,可得正弦(余弦)级数.注意:间断点或连续点的判定,必须为周期函数的!第 13 页共 14 页 13五、微分方程——续(一)全微分方程:P ( x, y dx + Q ( x, y dy = 0( ∂Q∂P ,= ∂x ∂y 1)曲线积分法:通解为 u ( x, y = C ,其中u ( x, y = ∫ ( x, y ( x0 , y0 P ( x, y dx + Q( x, y dy ; 2)凑微分法:利用微分的运算法则,设法将原方程凑成 d [∆ ] = 0 ,则可得通解为∆ = C ,.(二)常系数线性微分方程: 1、齐次:y′′ + py′ + qy = 0 ,其中 p, q 都为常数 1)特征方程 r + pr + q = 0 ⇒ r1 , r2 = ? 2 ⎧C1e r1x + C2 e r2 x r1 ≠ r2 ∈⎪ r1 x r1 = r2 ∈ 2)通解: y = ⎨(C1 + C2 xe ⎪eα x (C cos β x + C sin β x r = α ± iβ ∈ 1 2 1,2 ⎩ 2、非齐次:y′′ + py′ + qy = f ( x ,其中 p, q 都为常数 1)先求出对应的齐次方程y′′ + py′ + qy = 0 的通解: Y = Y ( x ; 2)后求原非齐次方程的特解. A、 f ( x = e Pm ( x 型:令 y = x e Qm ( x ,其中 k 是特征方程含根λ 的重数λx * k λx B、f ( x = e [ P ( x cos ω x + Pn ( x sin ω x] 型: l 令 y = x e [Qm ( x cos ω x + Rm ( x sin ω x] ,其中 m = max{l , n} , k 是特征方程含根λ + iω 的* λx k λx 重数(三)线性微分方程的解的结构: 1)齐次:y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = 0 ,通解: y = C1 y1 ( x + C2 y2 ( x ,其中 y1 ( x, y2 ( x 为该方程线性无关的两个解. 2)非齐次:y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f ( x 通解: y = Y ( x + y *( x ,其中 Y ( x 为对应的齐次方程的通解, y *( x 为原方程的一个特解. 3)设 y1 *( x, y2 *( x 分别为y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f1 ( x 与y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f 2 ( x 的特解,则 y* = y1 *( x + y2 *( x 为y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f1 ( x+f 2 ( x 的特解.第 14 页共 14 页 14。
高等数学期末复习向量代数与空间解析几何
高等数学期末复习第八章 向量代数与空间解析几何 一、内容要求1、了解空间直角坐标系,会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系3、会运用定义和运算性质求向量数量积4、会运用定义和运算性质求向量的向量积5、掌握向量数积和向量积的定义形式6、掌握向量模的定义与向量数量积关系7、掌握向量的方向余弦概念8、掌握向量的平行概念9、掌握向量的垂直概念10、能识别如下空间曲面图形方程:柱面,球面、锥面,椭球面、抛物面,旋转曲面,双曲面 11、掌握空间平面截距式方程概念,会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程,先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程,通常先确定平面法向量14、会求过一点,方向向量已知的直线对称式方程,通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式,能写出直线方向向量 二、例题习题1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( ); (内容要求1)A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解:yoz 面不含x ,所以x 分量变为0,故选D2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ(2,,0321πθθθ≤≤),则=++322212cos cos cos θθθ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解:由作图计算可知,222123cos cos cos 2θθθ++=,所以选C 。
(内容要求2)3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ(2,,0321πθθθ≤≤),则=++322212cos cos cos θθθ ;解:222123coscos cos 2θθθ++=,所以填2。
(内容要求2)4、向量)3,1,1(-=a,)2,1,3(-=b ,则=⋅b a ( );A.0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---解:311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=,所以选C 。
《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)
6.(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型.
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7.(13 分)设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时,特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时,特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三.解答题:(共 80 分)
⎛3 5 5⎞
1.(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
,问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2.(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点(-3,-2,4)的直母线的方程. 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
第4章向量代数与空间解析几何练习题_3
3.母线平行于轴, 准线为的柱面的方程是
_____________________.
4.顶点在原点且经过圆的圆锥面的方程是
________________________.
5.经过, 且与曲面相切的平面的方程是____________.
三、计算题与证明题
1.一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 程.
复习题四
一、选择题
1.将下列列向量的起点移到同一点,
终点构成一个球面的是
()
(A)平行于同一平面的单位向量;(B)平行于同一直线的单位
向量;
(C)平行于同一平面的向量; (D)空间中的所有单位向 量.
2.下列叙述中不是两个向量与平行的充分条件的是
(
)
(A); (B)与的内积等于零;
(C)对任意向量有混合积; (D)与的坐标对应成比例.
3.设向量的坐标为, 则下列叙述中错误的是( )
(A)向量的终点坐标为; (B)若为原点,且, 则点的坐标为;
(C)向量的模长为;(D) 向量与平行.
4.行列式的值为( )
(A) 0 ; (B) 1 ; (C) 18 ; (D) .
5.对任意向量与, 下列表达式中错误的是( )
(A)与; (B) 与;
(C)与; (D) 与.
5.原点到平面的距离是( )
(A) ; (B) ; (C) ; (D) 1.
二、填空题
1.垂直于向量且到点的距离为5的平面的方程是 ______________________或者__________________________.
2.经过原点与且平行于向量的平面的方程是_________________. 3.平面与三坐标轴分别交于点(A)、(B)、(C),则Δ(A) (B)(C)的面积为_________________. 4.一动点移动时与及坐标平面等距离,则该点的轨迹方程为 ________________. 5.通过轴和点的平面的方程是________________________.
(完整版)高等数学空间解析几何练习
向量代数与空间解析几何第一部分 向量代数___线性运算[内容要点]:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标,利用坐标作向量的线性运算.[本部分习题]1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。
(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。
3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。
4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。
5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。
6. 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7.设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分 向量代数___向量的“积"[内容要点]:1。
向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。
2。
向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。
3.向量垂直、平行、共面的条件.[本部分习题]1. 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求: (1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2. 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求: (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3. 利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数,并指出等号成立的条件.4.设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值,使得:(1)a b λ→→+与z 轴垂直;(2)a b λ→→+与a →垂直,并证明此时||a b λ→→+取最大值。
高等数学 向量代数与空间解析几何复习
第五章 向量代数与空间解析几何5.1向量既有大小又有方向的量表示:→-AB 或a (几何表示)向量的大小称为向量的模,记作||AB 、|a |、||a 1. 方向余弦:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r =(x ,y ,z ),| r |=222z y x ++ 2. 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→οa 模为1的向量。
3. 模→→→⋅=++=a a z y x a 222||4. 向量加法(减法) ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→→5. a ·b =| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++=a ⊥b ⇔a ·b =0(a ·b =b ·a ) 6. 叉积、外积|a ⨯b | =| a || b |sin θ= zyxz y xb b b a a a k j ia //b ⇔a ⨯b =0.( a ⨯b= - b ⨯a ) ⇔212121z z y y x x == 7. 数乘:),,(kz ky kx ka a k ==→→例1 1||,2||==→→b a ,→a 与→b 夹角为3π,求||→→+b a 。
解 22||cos ||||2||2)()(||→→→→→→→→→→→→→→→→++=⋅+⋅+⋅=+⋅+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ713cos12222=+⋅⋅⋅+=π例2 设2)(=⋅⨯c b a ,求)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+。
解 根据向量的运算法则)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+=)(])()[(a c c b a b b a +⋅⨯++⨯+)(])[()(])[(a c c b a a c b b a +⋅⨯+++⋅⨯+= a c b a a c b a ⋅⨯+++⋅⨯=])[()()( a c b a c a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()(c b a c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a例3 设向量k j i a +-=,k j i b 543+-=,b a x λ+=,λ为实数,试证:当模x最小时,向量x 必须垂直于向量b 。
空间解析几何与向量代数复习题答案
间解析几何与 向量代数1. 2. 3. 4. 5. 、选择题 已知 A(1,0,2), 设 a = (1,-1,3 (-1,1,5 ). 设 a = (1,-1,3 -i -2 j +5k B B(1,2,1)求两平面x 2y已知空间三点 是空间两点,向量AB 的模是 (A ),b= (2,-1,2 ),求 c=3a-2b 是(B )(-1,-1,5 ) . C (1,-1,5 ).D (-1,-1,6 ),b= (2, 1,-2 -i -j +3k C z 3 0和2x),求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为(A-i -j +5k D -2i - j +5ky z 5 0的夹角是(C )M(1,1,1) 、A(2,2,1) 和 B (2, 1, 2),求/ AMB 1( C )6.求点M (2, 1,10)到直线L :1 z 21的距离是:(A )A 138B ,118 158 Dr r r r r2i 3j k,求 a b 是:(D )A -i -2j +5kB - i -j +3kC - i -j +5kC x+y+1=011、设a,b 为非零向量,a b ,则必有(C )A a b | |a | |baba8.设/ ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1), C(0, 1,3), 求三角形的面积是:(A ) 9.求平行于z 轴, 且过点 M 1(1,0,1)和 M 2(2, 1,1)的平面方程是:(D ) A 2x+3y=5=0x-y+1=010、若非零向量a,b 满足关系式,则必有 (C );12、已知 a= 2, 1,2 ,b = 1, 3,2,则 Prj b a =);A5;5■■ 14 •7.设 a i k,D 3i -3j+3ka b| |a | |b13、直线y 1 Z 1与平面2x y z 4 0的夹角为(B )1 0 1A-;B7C D634214点(1,1,1)在平面x 2y z 10的投影为(A )、(A) 丄,0,3;(B) 丄,0,3;(C) 1, 1,0 ; (D) 1 1 12 222 2 215向量a与b的数量积a b= ( C).、A a rj b a ;B a rj a b ;C a rj a b;D b rj a b .16、非零向量a,b满足a b0,则有(C ).A a // b;B a b (为实数);C a b;D a b 0.17、设a与b为非零向量,则a b 0是(A ).A a // b的充要条件;B a丄b的充要条件;C a b的充要条件;D a // b的必要但不充分的条件.18、设a 2i 3j 4k,b 5i j k,则向量c 2a b在y轴上的分向量是(B).A 7B 7 jC - 1;D -9 k2 2 .219、方程组2x y 4z 9表示(B ).x 1A 椭球面;B x 1平面上的椭圆;C 椭圆柱面;D 空间曲线在x 1平面上的投影.20、方程x 2 y 2 0在空间直角坐标系下表示 (C )A 坐标原点(0,0,0) ;B xoy 坐标面的原点(0,0) ;C z 轴;D xoy 坐标面.22、设空间三直线的方程分别为A L 1 // L 2 ;B L 1 // L 3 ;C L 2 L 3 ;D L 1 L 2 .23、 直线 J $ 4 Z 与平面4x 2y 2z 3的关系为(A ).273A 平行但直线不在平面上;B 直线在平面上;C 垂直相交;D 相交但不垂直.24、 已知 a 1,b.2,且(a,b )-,贝 U a b = ( D ).4A 1 ;B 1 2 ;C 2 ;D 5 .25、下列等式中正确的是(C )21、设空间直线的对称式方程为0 I 2则该直线必A 过原点且垂直于x 轴;B 过原点且垂直于y 轴;C 过原点且垂直于z 轴;D 过原点且平行于x 轴.3tL i;x 2y z 100,则必有(Dy2 7t、计算题解:由题设知的投影及在y 轴上的分向量。
空间解析几何与向量代数复习题答案
第八章 空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 AB 的模是(A ) A 5 B 3 C 6 D 92. 设a =(1,-1,3), b =(2,-1,2),求c =3a -2b 是( B )A (-1,1,5).B (-1,-1,5).C (1,-1,5).D (-1,-1,6).3. 设a =(1,-1,3), b =(2, 1,-2),求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为(A )A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD -2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是( C )A 2πB 4πC 3π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是( C )A 2πB 4πC 3π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L :12213+=-=z y x 的距离是:( A )A 138B 118C 158D 17. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是:( D )A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD 3i -3j +3k8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( A )A B 364 C 32D 39. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是:( D )A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D 01=-+y x .10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ,则必有( C );A -+a b =a b ;B =a b ;C 0⋅a b =;D ⨯a b =0.11、设,a b 为非零向量,且a b ⊥, 则必有( C ) A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =,则Pr j b a =( D );A 53; B 5; C 3; D . 13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 (B ) A 6π; B 3π; C 4π; D 2π. 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 (A )(A )⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21; (B )13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭; (C )()1,1,0-;(D )11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 15、向量a 与b 的数量积⋅a b =( C ).A a rj P b a ;B ⋅a rj P a b ;C a rj P a b ;D b rj P a b .16、非零向量,a b 满足0⋅=a b ,则有( C ).A a ∥b ;B =λa b (λ为实数);C ⊥a b ;D 0+=a b .17、设a 与b 为非零向量,则0⨯=a b 是(A ).A a ∥b 的充要条件;B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件;D a ∥b 的必要但不充分的条件.18、设234,5=+-=-+a i j k b i j k ,则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是(B ).A 7B 7jC –1;D -9k19、方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示 ( B ). A 椭球面; B 1=x 平面上的椭圆;C 椭圆柱面; D 空间曲线在1=x 平面上的投影.20、方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 (C ).A 坐标原点(0,0,0);B xoy 坐标面的原点)0,0(;C z 轴;D xoy 坐标面.21、设空间直线的对称式方程为012x y z ==则该直线必( A ). A 过原点且垂直于x 轴; B 过原点且垂直于y 轴;C 过原点且垂直于z 轴;D 过原点且平行于x 轴.22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t =⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩,则必有( D ). A 1L ∥2L ; B 1L ∥3L ; C 32L L ⊥; D 21L L ⊥.23、直线 34273x y z ++==--与平面4223x y z --=的关系为 ( A ). A 平行但直线不在平面上; B 直线在平面上;C 垂直相交;D 相交但不垂直.24、已知1,==a b 且(,)4∧π=a b , 则 +a b = ( D ).A 1; B1 C 2; D .25、下列等式中正确的是( C ).A +=i j k ;B ⋅=i j k ;C ⋅=⋅i i j j ;D ⨯=⋅i i i i .26、曲面22x y z -=在xoz 平面上的截线方程为 (D).A 2x z =;B 20y z x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩;C 2200x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩;D 20x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 二、计算题1.已知()2,2,21M ,()0,3,12M ,求21M M 的模、方向余弦与方向角。
空间解析几何与向量代数测试题复习课程
填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.2.轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100OM则向量角为,600_________________.3. 过3,1,2点且平行于向量3,2,2a 和5,3,1b的平面方程为__________.4.则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a ______________.5.向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M 0a _______6.上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1a b ___________________.7.的模等于则向量已知n m anm nm3260,,2,50____________.8.垂直的平面方程是且与平面过点012530742)3,0,2(z yx z y x _____________.9. 设a b c ,,两两互相垂直,且abc121,,,则向量s a b c 的模等于_____________.10.过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.D x zyxD z y x 则轴有交点与若直线,06222032___________________.选择题1.表示方程13694222yzy x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面y B A :.0)(;)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面yD C 2.:,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k jiakj i B k j i A 33)(33)(:22)(22)答k i D k i C 3.ba ba b a则且已知,4,,2,1:.5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A 4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴; (C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( )5.则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,bab a ba b a B b a b a A )(;)(:)()(答b a b a A ba b a C 6.是旋转曲面1222zy x 轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A)(轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B)(轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )(:)(答轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoz D 7.:,0,0结论指出以下结论中的正确设向量ba;0)(垂直的充要条件与是b a b a A ;0)(平行的充要条件与是b a ba B ;)(平行的充要条件与的对应分量成比例是与b a b a C :.0),()(答则是数若ba b aD 8.cba cb a 则为三个任意向量设,,,bcacBbccaA)()(:)()(答cbacDcbcaC9.方程x yy224912在空间解析几何中表示(A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( )10. 对于向量cba,,,有若0ba,则ba,中至少有一个零向量)(cacbcbacbacbababa1 1. 方程y z x22480表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )12.双曲抛物面(马鞍面)xpyqz p q22200,与xoy平面交线是(A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( ) 计算题1.ABCBACBA求及的坐标分别为设点),3,4,0()1,1,1(),1,3,2(,,.23,,ACABACABAC2.轴上截距轴和中在求平面束yxzyxyx04253.相等的平面3.的平面且垂直于平面试求过点0,,,,,32123211zyxbbbMaaaM.n的法向量4.,2,1,4)3,5,2(ABA及两边的向量已知三角形的一个顶点5,2,3BC和.ACA以及求其余的顶点和向量5.设点为从原点到一平面的垂足求该平面的方程P(,,),.362证明题1.但行中任意两个向量都不平已知三个非零向量,,,cba与ba0,,cbaacbc试证平行与平行答案一、 1. 2x+8y+z+8=0. 2..{,}.5255 3.01747z y x 4.65.117322()i j k 6.43. 7.219. 8. -16(x-2)+14y+11(z+3)=0.9. .2. 10.xy z 22341.6.11二、 1.B2C3D4B5A6A7C8C9D10B11D12D 三、1.},.0,1,3{},2,1,2{},2,2,1{AC AB AC AB2.平面的截距式为xy z 5415435421据题意有541543解得12154,但2不合理舌去(截距式中分母为0).故平面方程为x+3y-5+(x-y-2z+4)=0,即2x+2y-2z-1=0.3.n 垂直于过点M M 12,的直线,故n a b a b a b {,,}112233n 垂直于已知平面的法向量,故n {,,}111所以nij k a b a b b 11221111()()().a b a b ia b a b j a b a b k 223311331122 4.B x y z C x y z (,),(,).111222},3,5,2{111z y x AB },,121212z z y y x x BC由x y z 111245132,,.得x y z 111645,,x x y y z z 212121325,,.得x y z 2229610,,故B(6,-4,5),C(9,-6,10),CA,{,,}717AC {,,}717AC A AB AC AB AC ABAC{,,}(,)arccosarccos .717413231}10,8,1{23ACAB5.},2,6,3{op 且(3,-6,2)在平面上,于是平面方程为3(x-3)-6(y+6)+2(z-2)=0即3x-6y+2z-49=0.四、1.,,)(c b a c b a平行与,,)(a c b a c b 平行与a cc a ac ,()().11由a c ,不平行,故1101,.即a bc b ca abc ,,.。
试题集:向量代数与空间解析几何
1.在三维空间中,向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少?o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。
2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少?o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。
3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么?o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。
4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少?o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。
5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少?o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。
6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线?o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例,因此它们不共线。
7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交?o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0,因此它们不正交。
8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量?o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。
高数下册期末总复习第七版
切线方程为 x − x0 = y − y0 = z − z0 ; x′(t0 ) y′(t0 ) z′(t0 )
法平面方程为 x′(t0 ) ⋅ (x − x0 ) + y′(t0 ) ⋅ ( y − y0 ) + z′(t0 ) ⋅ (z − z0 ) = 0
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5
b、
若曲线
Γ
的方程为:
三元方程组确定两个一元隐函数:
⎧ F ( x, ⎨⎩G ( x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
⎨ ⎩
z=
z
(
x
)
⇒
对x求导
dy dx
,
dz dx
⎧u=u ( x, y )
{ ⇒ 四元方程组可确定两个二元隐函数:
F ( x, y,u,v)=0 G( x, y,u,v)=0
⎨⎩v=v( x, y )
对x (或y )求偏导,视y (或x )为常量,得
G 2)点法式方程:法向量 n = ( A, B,C) ,点 M (x0 , y0 , z0 ) ∈ Π ,则 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .
3)截距式方程: x + y + z = 1 abc
4)平面束方程:过直线
⎧ ⎨ ⎩
A1x A2 x
+ +
附录——平面曲线的情形
(1)
若平面曲线 C
:
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x(t) y(t)
,t
=
t0
↔
M0
∈C
,则
JG 切向量T = (x′(t0 ), y′(t0 )) ,
齐民友高数下册复习考试
《高等数学》复习考试(下册)第8章 空间解析几何与向量代数一、向量及其运算 1、空间直角坐标系空间直角坐标系:三条两两垂直相交于原点的坐标轴,x 轴、y 轴和z 轴构成右手关系。
(1) 学会:a )找出空间中给定点的坐标。
b )找出空间中以给定),,(z y x 为坐标的点。
c )空间各部分点坐标的特点。
(2) 两点),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 的距离公式2122122122121)()()(),(z z y y x x M M M M d -+-+-==2、向量(1)向量的概念 数量:只有大小;向量:既有大小又有方向。
向量只有大小和方向。
在空间中用有向线段表示向量。
其长度表示向量的大小也称为模或范数;其方向表示向量的方向。
一个向量可以放在空间中任意位置。
(2)特殊向量零向量0 :大小为0。
任意方向都是0的方向。
只有一个零向量。
单位向量:大小为1。
有无穷多个单位向量。
如果0≠a ,则a ae a1=是与a 方向一致的单位向量,称为a的单位化。
(3)两向量的关系向量a和b有夹角πθθ≤≤=∧0),,(b a。
当2),(π=∧b a 时说b a ⊥;当π或0),(=∧b a 时说b a //。
(4)向量的坐标把向量a 的始点放在原点,得a 的终点))(,,(→=OM a a a a M z y x,则有a的分解式k a j a i a a z y x++=其中k j i ,,是标准单位向量。
{}z y x a a a ,,是向量a 的坐标。
z y x a a a ,,分别是a在x 、y 、z 轴上的投影;k a j a i a z y x ,,分别是a在x 、y 、z 轴上的投影向量。
向量与坐标一一对应。
向量的理论分为两部分:用几何描述的向量理论和用坐标描述的向量理论。
两部分理论对应地出现,互相翻译。
设),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M ,则{}12121212121221,,)()()(z z y y x x k z z j y y i x x M M ---=-+-+-=→(终点坐标减始点坐标。
空间解析几何复习题答案
2 2 2 ⎧ ⎪x + y = a (3) ⎨ 。 2 2 2 ⎪ x + z = a ⎩ 8.4.2 分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线 2 2 2 ⎧ ⎪ 2 x + y + z = 16 ⎨ 2 2 2 ⎪ ⎩x + z − y = 0
的柱面方程。 答案:母线平行于 x 轴的柱面方程: 3 y 2 − z 2 = 16 ;母线平行于 y 轴的柱面方程: 3x 2 + 2x 2 = 16 。 8.4.3 求在 yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程(任写出三种不同形式的方程) 。 ⎧x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⎧ y 2 + z 2 =1 ⎧x 2 + y 2 + z 2 = 1 答案: ⎨ ;⎨ ; ⎪ 。 ⎨ 2 2 ⎪ ⎩x = 0 ⎩x = 0 ⎩y + z =1 8.4.4 指出下列方程所表示的曲线 ⎧ x 2 + y 2 + z 2 + 25 (1) ⎨ ⎩x = 3 ⎧ x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 (3) ⎨ ; ⎩ x = −3 ⎧ x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 30 (2) ⎨ ; ⎩z = 1 ⎧ y 2 + z 2 − 4x + 8 = 0 (4) ⎨ ; ⎩y = 4
4 3⎞ ⎛ 4 3⎞ 答案: ⎛ ⎜ 0, , − ⎟ , ⎜ 0, − , ⎟ 5⎠ ⎝ 5 5⎠ ⎝ 5 8.2.7 已知 | a |= 3, | b |= 26, | a × b |= 72 ,计算 a ⋅ b 。 答案: ±30 8.2.8 已知 | a |= 3, | b |= 5 ,问 λ 为何值时 a + λb 与 a − λb 互相垂直? 3 5 8.2.9 已知向量 a = 2i − 3 j + k , b = i − j + 3k 和 c = i − 3 j ,计算 (1) (a ⋅ b)c − (a ⋅ c )b ; (2) (a + b) × (b + c ) ; 答案: ± 答案: (1) (-3,-13,-33) ; (2) (4,-1,-4) ; (3)7
(完整版)向量代数与空间解析几何练习题
第4章 向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1.将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( )(A )直线; (B ) 线段; (C ) 圆; (D) 球.2.下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( )(A)a 与b 的内积等于零; (B)a 与b 的外积等于零;(C)对任意向量c 有混合积0)(=abc ; (D )a 与b 的坐标对应成比例.3.设向量a 的坐标为313, 则下列叙述中错误的是( ) (A )向量a 的终点坐标为),,(z y x ; (B )若O 为原点,且a OA =, 则点A 的坐标为),,(z y x ;(C )向量a 的模长为222z y x ++;(D ) 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行.4.行列式213132321的值为( )(A ) 0 ; (B ) 1 ; (C ) 18 ; (D ) 18-.5.对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( )(A )||||a a -=; (B )||||||b a b a +>+; (C ) ||||||b a b a ⋅≥⋅; (D ) ||||||b a b a ⨯≥⋅.二、填空题1.设在平行四边形ABCD 中,边BC 和CD 的中点分别为M 和N ,且p AM =,q AN =,则BC =_______________,CD =__________________.2.已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A (0,0,2),B(8,0,0),C(0,8,6),则边BC 上的中线长为______________________.3.空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________.4.设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________.5.已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=⋅AC AB _____________________;=⨯BA BC ____________________;ABC ∆的面积为_________________.三、计算题与证明题1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯.2.已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅.3.设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小.4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a , 求向量x 的坐标.5.用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形.6.已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程.7.向量a , b , c , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和,求向量c 的坐标.8.已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ,(1) 求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积.(2) 求三棱锥BCD A -的体积.(3) 求BCD ∆的面积.(4) 求点A 到平面BCD 的距离.习题4。
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册
第七章 空间解析几何一、选择题1.在空间直角坐标系中,点(1,— 2, 3 )在[D ]A. 第一卦限B. 第二卦限C.第三卦限D.第四卦限2 22.方程2x y2在空间解析几何中表示的图形为[C ]A.椭圆 B.圆C.椭圆柱面D.圆柱面X —1 y + 1 z +1” _x + y _1 = 03.直线11j与 >2 :— —> 的夹角是[C ]423x+y+z-2=0AJinnA.—B.— C.—D. 04324.在空间直角坐标系中,点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)A. 2 2 2 a b (a ・b)B. a 2 b 2=(a b)2C. 2 2(a 叱)=(a b) 2 2 2 2D.(a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量,则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周,所得旋转曲面方程是[B ]A. z 2 二 4(x y)B. z 2 _ _4.. x 2 y 2C. y 2 z 2 =4xD.2 2 y z = 4x6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是2 C.3关于 [B ]A 1 1A.B.—337.在空间直角坐标系中,点(B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3)C. (-1,-2,3)1,2,3) 2 D.—3yoz 平面的对称点是[A ]2 28.方程—2 弓二z ,a 2b 2表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面C. 椭球面D.球面9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b =[ C ]A. 1 3B.3C. -1D. 110.(A)平行于■:[x 2 (B)在二上 (C)垂直于2z(D)与二斜交二 121.双曲线 45 绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为( A ).[y =0x+y+z = O+心 「x + y + z = O 小 11 •直线h 的方程为,直线12的方程为,则l i 与31x-30^29^030x-31y -30z = 012的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12 .已知A 点与B 点关于XOY 平面对称,B 点与C 点关于Z 轴对称,那么A 点与C 点是CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x = y z 对称 13. 已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称,B 点与C 点关于X 轴对称,那么A 点与C 点CA.关于XOZ 平面对称B.关于XOY 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x=y Z 对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C A. x 2 y 2z 2 =1 B. X 2 y 2 z = 1 C. x 2 y z = 1 D. x y 2 z 2 = 115. 已知a,b 为不共线向量,则下列等式正确的是 CA. aa=a 2B. a*(a*b)=a 2bC. a ・(b ・b)=ab 2D. a 2b 2 = (a*b)2-(1,2,1), b =(-3,4, -3),那么以a,b 为两边的平行四边形的面积是 B16.已知向量A.20B.10 .2C.10D. 5-217.已知直线 l 方程x 2y 3^0与平面二方程-x z ^0,那么l 与二的位置关系 3x + 4y +5z = 0是CA. l 在二内B. l 垂直于 Ji18.两向量a,b 所在直线夹角一,45B. a,b 夹角——4 Jiab :: 0 , C. l 平行于•:那么下列说法正确的是 D.不能确定JIA. a 'b 夹角4C. a,3兀亠兀b 夹角可能或一4D.以上都不对19.已知|a 尸1, |b ,且(a ,b )■,则 | a b (D4(A) 1(B) 1、2(C) 220.设有直线L: x 3y 2z ^0及平面二I2x —y —10z+3 = 0:4x -2y • z - 2 =0,则直线 L ( C )。
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第七章 空间解析几何一、选择题1.在空间直角坐标系中,点(1,— 2, 3 )在[D ]A. 第一卦限B. 第二卦限C.第三卦限D.第四卦限2 22.方程2x y2在空间解析几何中表示的图形为[C ]A.椭圆 B.圆C.椭圆柱面D.圆柱面X —1 y + 1 z +1” _x + y _1 = 03.直线11j与 >2 :— —> 的夹角是[C ]423x+y+z-2=0AJinnA.—B.— C.—D. 04324.在空间直角坐标系中,点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)A. 2 2 2 a b (a ・b)B. a 2 b 2=(a b)2C. 2 2(a 叱)=(a b) 2 2 2 2D.(a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量,则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周,所得旋转曲面方程是[B ]A. z 2 二 4(x y)B. z 2 _ _4.. x 2 y 2C. y 2 z 2 =4xD.2 2 y z = 4x6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是2 C.3关于 [B ]A 1 1A.B.—337.在空间直角坐标系中,点(B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3)C. (-1,-2,3)1,2,3) 2 D.—3yoz 平面的对称点是[A ]2 28.方程—2 弓二z ,a 2b 2表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面C. 椭球面D.球面9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b =[ C ]A. 1 3B.3C. -1D. 110.(A)平行于■:[x 2 (B)在二上 (C)垂直于2z(D)与二斜交二 121.双曲线 45 绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为( A ).[y =0x+y+z = O+心 「x + y + z = O 小 11 •直线h 的方程为,直线12的方程为,则l i 与31x-30^29^030x-31y -30z = 012的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12 .已知A 点与B 点关于XOY 平面对称,B 点与C 点关于Z 轴对称,那么A 点与C 点是CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x = y z 对称 13. 已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称,B 点与C 点关于X 轴对称,那么A 点与C 点CA.关于XOZ 平面对称B.关于XOY 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x=y Z 对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C A. x 2 y 2z 2 =1 B. X 2 y 2 z = 1 C. x 2 y z = 1 D. x y 2 z 2 = 115. 已知a,b 为不共线向量,则下列等式正确的是 CA. aa=a 2B. a*(a*b)=a 2bC. a ・(b ・b)=ab 2D. a 2b 2 = (a*b)2-(1,2,1), b =(-3,4, -3),那么以a,b 为两边的平行四边形的面积是 B16.已知向量A.20B.10 .2C.10D. 5-217.已知直线 l 方程x 2y 3^0与平面二方程-x z ^0,那么l 与二的位置关系 3x + 4y +5z = 0是CA. l 在二内B. l 垂直于 Ji18.两向量a,b 所在直线夹角一,45B. a,b 夹角——4 Jiab :: 0 , C. l 平行于•:那么下列说法正确的是 D.不能确定JIA. a 'b 夹角4C. a,3兀亠兀b 夹角可能或一4D.以上都不对19.已知|a 尸1, |b ,且(a ,b )■,则 | a b (D4(A) 1(B) 1、2(C) 220.设有直线L: x 3y 2z ^0及平面二I2x —y —10z+3 = 0:4x -2y • z - 2 =0,则直线 L ( C )。
(C ) (2,3,-1) (D ) (2,-3,-1) 31.过点(0,2,4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是 (Cz - 4 -3(A)2 2x y2z=12 x 2 2y z ,(A)(B) --- —1454 5z 222z 2(C)(x y) z =1 (D)x _(y z)=1 4 54522.点(a, b, c) 关于 y 轴对称的点是( D ).(A) (-a, -b, -c)(B) (a,*,-c)(C) (a,b, -c) (D) (-a,b,-c),则 23.已知 a ={4, -3,4}, b 二{2,2,1} Prj b (a ) = (A(A) 2(B) -2(C)6 41(D)6 4124. x 2 -y 2 =1在空间表示 ((C )旋转双曲面25•设a 与b 为非零向量,则a b=0是((A ) (C ) (A )双曲线 (B )双曲面a =b 的充要条件 a // b 的充要条件(B)(D) 26. 设平面方程为 Ax ■ Cz ■ D =0,其中 (D )双曲柱面C ).a _b 的充要条件a //b 的必要但不充分条件A,C,D 均不为零,则平面((A) 27.平行于x 轴 (B )平行于y 轴 (C )经过x 轴 (D )经过已知等边三角形 ABC 的边长为1,且BC 二a ,CA 二b ,a b b c c a ( D )(B)(C)(D)28.点M (2,-3,1)关于坐标原点的对称点是 (A )(A ) (-2,3, -1) (C ) (2,-3,-1)29. 平面2x-3y-5=0的位置是( B )(A ) 平行于XOY 平面 (C ) 平行于YOZ 平面30. 点A (-2,3,1)关于Y 轴的对称点是(B) (-2,-3,-1) (D)(-2, 3,1)(B ) 平行于Z 轴 (D ) 垂直于Z 轴 (A) (2,-3,1) (B) (-2,-3,-1) (B)xy-2 z -4 (C)-23 _ 1(D)-2x 3( y -2) z - 4 = 032.二个平面 x. y 二=1 和 2x+3y-4z=1位置关系是(A )2 34(A )相交但不垂直(B )重合 (C.)平行但不重合(D.)垂直'x-2y+4z-7=033. 过点(2,0,-3)且与直线Qx+5y —2z + 1 =0垂直的平面方程是(A )(A) -16(x -2) 14(y -0) 11(z 3) =0(B) (x-2) -2(^0) 4(z 3^0 (C) 3(x-2) 5(y-0)-2(z 3)=0 (D)-16(x 2)14(y0) 11(z -3) =034. 向量〉「a,b,Z 与三坐标轴的夹角分别为〉厂,,则〉的方向余弦中的r 224x -9 y =3637. 曲线Z=° 绕X 轴旋转一周,形成的曲面方程是(C )(A)4 x 2 z 2 ㈠9 y 2 = 36 ⑹ 4 x 2 z 2 ㈠9『z 2二 36(C) 4x 2-9y 2 Z 2=36 (D)4x 2-9y 2 = 3638.准线为XOY 平面上以原点为圆心、半径为 2的圆周,母线平行于 Z 轴的圆柱面方程是b b -b -b(A)b C (B) a bc (C). ab c(D)..a 22 2b c35. 已知曲面方程 z = 2 2一笃'与(马鞍面),a b这曲面与平面z = h 相截,其截痕是空间中的(B )A. 抛物线;B. 双曲线;C. 椭圆;D.直线。
36. 点(3, 1, 2)关于XOZ 平面的对称点是( B )(A) (-3, 1, 2) (B) (3, -1 , 2)(C) (3, 1, -2)(D) (-3, -1 , 2)=( A)(B )(A) X2 y2 = 0(B)3.母线平行于x 轴且通过曲线2x 2 y 2 z 2 =16的柱面方程是翌—4.已知a , b , c 都是单位向量, 且满足 a + b +c =0,贝U a b b c c a =5、XOZ 平面内曲线x 2二z 绕X 轴旋转,所得曲面方程为 x=y 2 z 26•已知向量OA =(1,2,3),向量Og =(2,3,4),那么三角形OAB 的面积是7、已知平面 6 : X • 2y z ^0与二2: -3x • y -z • 1 =0,则其夹角为arccos —66335 2 2&点(-1,2,0)在平面上x ,2y-z"=0的投影为(-―,,)3 3 3x T y —5 z +8 9•设有直线L 1:-1-2 1. x-y=6“ 二与L 2:2y ,z ,3,则L 1与L 2的夹角为110.已知 | a | = 2 , | b F 2 , (a , b )二了,则 u 二 2a - 3b 的模 | u F 2 7A x A y A z填空题2 22.有曲面方程 —= 2z ,当pq<0时,方程表示的曲面称为双曲抛物面p q39.40.(A)(C) X 2 y2 4"(D) X 2 寸 Z 2 二 4球面X(A)(C) 2 2 2y' z 二k 与x ,z = a 的交线在XOY 平面上的投影曲线方程是(-Z 2 y 2 z向量 a =、A x , A Y , A Z 』、 a • 3 =02=k 2匚 2222a _ z y z =k]z 二 0(B)(D)3 =、B x , B Y ,B z 』垂直的充分必要条件是(A )(B) a X 3 =0(C)B x B y B z(D) a - 3 =01. a =3,b =4, a +b =7,11. 已知向量a =3i 2j k 与b =2i -3j ,贝U (2a) (3b)二_ ;a b 二3i 2j -13kX —1 V 亠1 7—212. 平面x+2v-z+3=0和空间直线的位置关系是直线在平面上3 -1 113. 过点(2,-3,6)且与Y轴垂直的平面为v八3_____________________ ,此点关于XOY平面的对称点是2,-3,-6 ___________ ,它与原点的距离为7三:计算与证明x _ 4 v + 3 z1•求过点M(3, 1 -2)且通过直线的平面方程5 2 1解:设N(4, -3, 0), s =(5,2,1),由已知,MN =(1,42)是所求平面内的向量又设所求平面的法向量是n,取n -MN s,i j k - _ _即: 1 —4 2 = £i +9j +22k5 2 1故,所求平面的方程为:—8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0即:- 8x+9y+22z+59=0x 3 y-5 z x-10 y 7 z ,Q2.求与直线L1: 相父且与直线L2: 相父,与直线'2 3 1 2 5 4 1L3: —?=:□=:口平行的直线方程38 7 1解:将L1, L2分别化为参数方程:对于某个t及■值,各得L1, L2上的一点,分别记为M t, M •则向量M t M . =[(2t-3)-(5 ■ +10)]i+[(3t+5)-(4 - -7)]j+(t- ■ )k(2t-5 ■ -13 ) i+(3t-4 ■ +12)j+(t- - )k令向量M t M •平行于L3,即有z =t z二2t-5‘ -13 3t-4 +12 t --*+++25 解得t=2M t (-28 ,65~225故所求直线为: x 28 3.直线L 过点M(2, 65 + 一 2 7 25 z - ___ 2_ 1 6,3), 平行于平面二:x-2y+3z-5=0 x _2 且与直线L1: Ky _2 z 「6相交,求L 的方程 解:过点M 平行于即:x-2y+3z=0二的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0 再求它与直线L 1的交点,将L 1写成参数方程: x=2-5t,y=2-8t , z=6+2t代入上述平面方程得:t=-1所以交点为P(7, 10, 4), x —2 故:L 的方程为 - 7-2即:口二汇二三 又L 过M, P 两点y-6 z-3 一10-6 一7735 4 x —1 4.求过直线 —2 —,且平行于直线 一=—= -------- 的平面方程。