七.裂项相消法求和

七、 裂项相消法求和

基本方法：

1. 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

2. 常见的裂项方法(其中n 为正整数) )

k

为非零常数111)

k k n

n k

2141

n

21111

41

22121

n n n

1

(1)(2)

n n n

111

2(1)

(1)(2)n n n n

1n

n k

11

()n k n k

n

n k

1log 1

a n

0,1a a 11

log (1)log a a a n n n

一、典型例题

1. 已知数列n b n N 是递增的等比数列，且135b b ，134b b ，若2log 3n n a b ，且1

1

n

n n c a a ，求

数列n c 的前n 项和n S .

2. 已知数列n a 是等比数列，且14a ，358a a a ，令111

n

n

n

n a b a a ，求数列n b 的前n 项和n T .

二、课堂练习

1. 已知数列n a 的前n 项和为n S ，且满足2*12,n n S a n n n N ，求证：

…

1

2

11134

n

S S S . 2. 已知等比数列n a 的前n 项和为n S ，12a ，*0n a n N ，66S a 是44S a 和55S a 的等差中项.

（1）求数列n a 的通项公式； （2）设1212

log n

n b a ，数列

1

2n n

b b 的前n 项和为n T ，求n T .

三、课后作业 1. ,

,,

,1

22

31

n n 的前n 项和.

2. 已知数列n a 的通项为1

lg

n n a n

，若其前n 项和为2n S ，求n 的值.

3. 设212

n b n n ，记数列n b 的前n 项和为n T ，求使24

25

n

T 成立的n 的最大值.