中考数学相似(大题培优 易错 难题)附答案

，
，求 关于 的函数关系式，并写
出它的定义域．
【答案】（1）解：由题意，得
,
在 Rt△ 中，
∴
∵
∴
∴
∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴△ ∽△
∴
∴
∴
（2）解：答： 的比值随点 的运动没有变化
理由：如图，
∵∥
∴
,
∵
∴
∵
∴
∴ ∴△ ∽△
∴
∵
，
∴
∴ 的比值随点 的运动没有变化,比值为
（3）解：延长 交 的延长线于点
边的一半得出 AE=CE=ED，根据等边对等角得出∠ EAC=∠ ECA，根据全等三角形对应角相等
得出∠ ABM=∠ CAD，从而得出∠ ABM=∠ MCE，根据对顶角相等及三角形的内角和得出
∠ CEM=∠ BAM=90°，从而判断出△ ABM∽ △ ECM，由相似三角形对应边成比例得出 BM∶
CM= AM∶ EM,从而得出 BM∶ AM= CM∶ EM，根据两边对应成比例及夹角相等得出
∴ ∵ CE=4，BC=5，BQ=t，
∴
∴ ∵ PM=AM−AP=4−t，
∴
②当
时，点 P 在线段 BM 上，点 Q 在线段 BC 上，
过点 Q 作 QF⊥AB，垂足为 F，如图 3，
∵ QF⊥AB,CE⊥AB,
∴ ∴ QF∥ CE. ∴ △ QFB∽ △ CEB.
∴ ∵ CE=4，BC=5，BQ=t，
∴ t≠4.
∴当
且 t≠4(s)时,点 Q 在 BC 上运动;当
(s)时，点 Q 在 CD 上运动.
（2）解：①当 0<t<4 时，点 P 在线段 AM 上，点 Q 在线段 BC 上， 过点 Q 作 QF⊥AB，垂足为 F，如图 2，
∵ QF⊥AB，CE⊥AB，
∴ ∴ QF∥ CE. ∴ △ QFB∽ △ CEB.
比例定理 得出 PD∶ MQ=NP∶ NQ,又 RM∶ MQ=3∶ 4,RM=y，从而得出 MQ= y,又 P D = 2 , N
Q = P Q + P N = x + ，根据比例式，即可得出 y 与 x 之间的函数关系式。
4．如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx-5 与 x 轴交于 A(-1，0)，B(5，0)两 点，与 y 轴交与点 C.
∴ 当 t=2 时,S 取到最大值,最大值为
②当
时,
对称轴为 x=2.
∵ ∴ 当 x>2 时，S 随着 t 的增大而增大，
∴ 当 t=5 时,S 取到最大值,最大值为
③当
时，S=2t−8.
∵ 2>0，
∴ S 随着 t 的增大而增大,
∴ 当 t=6 时，S 取到最大值，最大值为 2×6−8=4.
综上所述：当 t=6 时，S 取到最大值，最大值为 4
当
时，
∴
，
∴ CD= ，
∴ D(0, )，
即：D 的坐标为(0,1)或(0, )；
（3）解：设 H(t，t2-4t-5)
∥ x 轴，
，
又因为点 E 在抛物线上，即
，解得
（舍去）
∴ BC 所在直线解析式为 y=x-5,
∴
则
，
而 CE 是定值， ∴ 当 HF 的值最大时，四边形 CHEF 有最大面积。
当
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=90°，AH⊥BC 于点 H，过点 C 作 CD⊥AC，连接 AD，点 M 为 AC 上一点，且 AM=CD，连接 BM 交 AH 于点 N，交 AD 于点 E．
（1）若 AB=3，AD= ，求△ BMC 的面积； （2）点 E 为 AD 的中点时，求证：AD= BN ． 【答案】（1）解：如图 1 中，
△ AME∽ △ BMC，故∠ AEM=∠ ACB=45°，∠ AEC=135°，易知∠ PEQ=135°，故∠ PEQ=∠ AEC，
∠ AEQ=∠ EQC，又∠ P=∠ EQC=90°，故△ EPA≌ △ EQC，故 EP=EQ，根据角平分线的判定得出
BE 平分∠ ABC，故∠ NBC=∠ ABN=22.5°，根据中垂线定理得出 NB=NC，根据等腰三角形的 性质得出∠ NCB=∠ NBC=22.5°，故∠ ENC=∠ NBC+∠ NCB=45°，△ ENC 的等腰直角三角形，根
据 等 腰 直 角 三 角 形 边 之 间 的 关 系 得 出 NC= EC ， 根 据 AD=2EC ， 2NC=
AD ，
AD= NC，又 BN=NC，故 AD= BN．
2．如图，M 为等腰△ ABD 的底 AB 的中点，过 D 作 DC∥ AB，连结 BC；AB=8cm， DM=4cm，DC=1cm，动点 P 自 A 点出发，在 AB 上匀速运动，动点 Q 自点 B 出发，在折线 BC﹣CD 上匀速运动，速度均为 1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动， 设点 P 运动 t（s）时，△ MPQ 的面积为 S（不能构成△ MPQ 的动点除外）．
3．在正方形
中，
，点 在边 上，
，点 是在射线 上的
一个动点，过点 作 的平行线交射线 于点 ，点 在射线 上，使 始终与直线
垂直．
（1）如图 1，当点 与点 重合时，求 的长；
（2）如图 2，试探索： 的比值是否随点 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的 理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图 3，若点 在线段 上，设
EC，∴ AD=2EC，∴ 2NC= AD，∴ AD= NC，∵ BN=NC，∴ AD= BN． 【解析】【分析】（1）首先利用 SAS 判断出△ ABM≌ △ CAD，根据全等三角形对应边相等 得出 BM=AD= ，根据勾股定理可以算出 AM，根据线段的和差得出 CM 的长，利用
S△ BCM= •CM•BA 即可得出答案； （2）连接 EC、CN，作 EQ⊥BC 于 Q，EP⊥BA 于 P．根据直角三角形斜边上的中线等于斜
∴
∴ ∵ PM=AP−AM=t−4，
∴
③当
时，点 P 在线段 BM 上，点 Q 在线段 DC 上，
过点 Q 作 QF⊥AB，垂足为 F，如图 4，
此时 QF=DM=4. ∵ PM=AP−AM=t−4，
∴
综上所述：当 0<t<4 时 时，S=2t−8.
当
时,
当
（3）解：①当 0<t<4 时,
∵
0<2<4，
时，HF 取得最大值 ，四边形 CHEF 的最大面积为
,
此时 H( ，
)
【解析】【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；（2）分两种情况，利
用相似三角形的比例式即可求出点 D 的坐标；（3）先求出直线 BC 的解析式，进而求出四
（4）解：当点 Q 在 CD 上运动即
时，如图 5，
则有
，即
∵ MP=t−4<6−4，即 MP<2，
∴ QM≠MP，QP≠MP.
若△ MPQ 是等腰三角形，则 QM=QP.
∵ QM=QP，QF⊥MP，
∴ MF=PF=12MP.
∵ MF=DQ=5+1−t=6−t，MP=t−4，
∴
解得：
∴ 当 t= 秒时，△ MPQ 是等腰三角形 【解析】【分析】（1）过点 C 作 CE⊥AB 于 E，结合题中条件得出四边形 DCEM 是矩形， 结合矩形性质和勾股定理求出 BC 的长，最后考虑不能构成△ MPQ，即可解决问题。（2） 由于点 P、Q 的位置不一样，导致 PM、QF 的长度不一样，所以 S 与 t 的函数关系式不同， 所以分三种情况讨论①当 0<t<4 时②当 4 < t ≤ 5 时③当 5 < t ≤ 6 时。（3）利用二次函 数性质和一次函数性质分别求出最大值，然后比较得出最后结论。（4）根据等腰三角形性 质及题中条件易得 QM≠MP，QP≠MP，所以当△ MPQ 是等腰三角形时，只有 QM=QP.利用 它建立关于 t 的等量关系，解出 t 即可
= ，从而得出 PC 的长，进而得出 RP 的长，根据勾股定理得出 PB 的长，然后判断出△ P B C ∽ △ P R Q，根据相似三角形对应边成比例得出 PB∶ RP=PC∶ PQ,从而得出 PQ 的长； （2）RM∶ MQ 的比值随点 Q 的运动没有变化,根据二直线平行同位角相等得出∠ 1 = ∠ A B P , ∠ Q M R = ∠ A，根据等量代换得出∠ Q M R = ∠ C = 90 °，根据根据等角的余角相等得 出∠ R Q M = ∠ P B C ，从而判断出△ R M Q ∽ △ P C B，根据相似三角形对应边成比例， 得出 PM∶ MQ=PC∶ BC,从而得出答案； （3）延长 B P 交 A D 的延长线于点 N， 根据平行线分线段成比例定理得出 PD∶ AB=ND∶ NA,又 N A = N D + A D = 8 + N D ，从而得出关于 ND 的方程，求解即可得出 ND，根据勾股定理得出 PN，根据平行线的判定定理得出 PD∥ MQ,再根据平行线分线段成
，解得 二次函数的解析式为 y=x2-4x-5.
（2）解：如图 1,令 x=0，则 y=−5， ∴ C(0,−5)， ∴ OC=OB， ∴ ∠ OBC=∠ OCB=45°， ∴ AB=6,BC=5 ，
要使以 B,C,D 为顶点的三角形与△ ABC 相似,则有
或
，
当
时，
CD=AB=6，
∴ D(0,1)，
（1）t（s）为何值时，点 Q 在 BC 上运动，t（s）为何值时，点 Q 在 CD 上运动； （2）求 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ （4）当点 Q 在 CD 上运动时，直接写出 t 为何值时，△ MPQ 是等腰三角形． 【答案】 （1）解：过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E，如图 1，