高二数学二项式定理的应用PPT优秀课件
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6.3 二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
n (0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
二项式定理ppt课件
1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
二项式定理及应用ppt课件
• 【答案】 C
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
《二项式定理》ppt课件
பைடு நூலகம்
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
二项式定理说课PPT优秀课件
x
简析：本题是一道利用二项式定理对某个二项式进行展 开的问题，.
(2x1 x)6(2 x x1 )6x 1 3(2 x 1 )6
6x 3 4 1x 9 2 2 2x 4 10 6 6 x 0 0 1 x 2 2 x 1 3
二项式定理
x 例题2：求
(x
1 x
3 、重点难点分析：
重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式， 系数，字母的幂次，展开式项数的规律。
（2）能够应用二项式定理对二项式进行展开。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
二﹑说教学目标
A.知识与技能
（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的 幂次、展开式项数的规律.
C
2 2
下一页
二项式定理
(a b ) ? 3
c3 0 a 3 c3 1 a 2 b 1 c3 2 a2b c3 3 b 3
( a b ) 4 ?C 4 0 a 4 C 4 1 a 3 b C 4 2 a 2 b 2 C 4 3 a3 C b 4 4 b 4
二项式定理
（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开.
B.过程与方法 ：（1）通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想， 归纳的能力以及分类讨论的能力.
（2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力.
C.情感态度与价值观:
（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程， 培养学生解决数学问题的兴趣和信心.
是升幂排列， anrbr 指数和为n。
(3)二项展开式的通项公式 Tr1Cnranrbr (4)二项式系数：
依次为 Cn0 ,Cn1 ,Cn2 , … ,Cnr , … ,C,nn 这里 Cnr ( r 0 ,1,2 , …,n )称为二项式系数
简析：本题是一道利用二项式定理对某个二项式进行展 开的问题，.
(2x1 x)6(2 x x1 )6x 1 3(2 x 1 )6
6x 3 4 1x 9 2 2 2x 4 10 6 6 x 0 0 1 x 2 2 x 1 3
二项式定理
x 例题2：求
(x
1 x
3 、重点难点分析：
重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式， 系数，字母的幂次，展开式项数的规律。
（2）能够应用二项式定理对二项式进行展开。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
二﹑说教学目标
A.知识与技能
（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的 幂次、展开式项数的规律.
C
2 2
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二项式定理
(a b ) ? 3
c3 0 a 3 c3 1 a 2 b 1 c3 2 a2b c3 3 b 3
( a b ) 4 ?C 4 0 a 4 C 4 1 a 3 b C 4 2 a 2 b 2 C 4 3 a3 C b 4 4 b 4
二项式定理
（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开.
B.过程与方法 ：（1）通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想， 归纳的能力以及分类讨论的能力.
（2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力.
C.情感态度与价值观:
（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程， 培养学生解决数学问题的兴趣和信心.
是升幂排列， anrbr 指数和为n。
(3)二项展开式的通项公式 Tr1Cnranrbr (4)二项式系数：
依次为 Cn0 ,Cn1 ,Cn2 , … ,Cnr , … ,C,nn 这里 Cnr ( r 0 ,1,2 , …,n )称为二项式系数
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√
二项式定理ppt课件
二项式定理
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
6.3.1二项式定理课件共15张PPT
和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广，
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，
用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
Tr 1 C a
r
率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×(1＋11％×10)＝21(万元);
本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋
9％)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a
b
C
a
C
n
例题讲评
例2： 求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家．他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一．他不仅
是一位物理学家、天文学家，
还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
高中数学《二项式定理》ppt课件
0
1
2
n
2、指数规律 各项的次数均为n；字母 a 的次数由n降 到0，字母 b 的次数由0升到n. 3、项数规律 二项展开式共有n+1项
应用解析：
例１ 展开 例２
1 4 (1 ) x
展开 (2 x
1 x
)6
小结
1、牢记定理的内容及相关概念； 2、掌握数学中研究问题的思想和方 法——从特殊到一般。
作业
１．P109习题２．⑴⑵ 2．思考题（ 用二项式定理解答）： 如果今天是星期六，那么再过890天是 星期几？
4
4 系数为： 4 有４个取b，
C
(a b) 的展开式怎么写呢？
n
可以对b分类： 不取b，得Cn aⁿ
0
取1个b，得Cn a b 取2个b，得Cn a b²
…………
2 n-2
1
n-1
取 r个 b，得Cn a b …………
取n-1个b，得Cn ab 取n个b，得Cn bⁿ
n n-1-1
r n n r r
说明 ：
（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全 归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限， 留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。 （2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表 示数或式，其中 n N (3) 1、系数规律
Cn、Cn、Cn、…、Cn
没有大胆的猜想，就不能 有伟大的发现和发明。 ------牛顿
(a+b)² =a² +2ab+b² 0 1 2 = C2 a² + C2 ab+C2 b² (a+b)³ =a³ +3a² b+3ab² +b³ 1 0 3 2 =C3a³ + C3 a² b+C3 ab² +C3 b³
1
2
n
2、指数规律 各项的次数均为n；字母 a 的次数由n降 到0，字母 b 的次数由0升到n. 3、项数规律 二项展开式共有n+1项
应用解析：
例１ 展开 例２
1 4 (1 ) x
展开 (2 x
1 x
)6
小结
1、牢记定理的内容及相关概念； 2、掌握数学中研究问题的思想和方 法——从特殊到一般。
作业
１．P109习题２．⑴⑵ 2．思考题（ 用二项式定理解答）： 如果今天是星期六，那么再过890天是 星期几？
4
4 系数为： 4 有４个取b，
C
(a b) 的展开式怎么写呢？
n
可以对b分类： 不取b，得Cn aⁿ
0
取1个b，得Cn a b 取2个b，得Cn a b²
…………
2 n-2
1
n-1
取 r个 b，得Cn a b …………
取n-1个b，得Cn ab 取n个b，得Cn bⁿ
n n-1-1
r n n r r
说明 ：
（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全 归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限， 留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。 （2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表 示数或式，其中 n N (3) 1、系数规律
Cn、Cn、Cn、…、Cn
没有大胆的猜想，就不能 有伟大的发现和发明。 ------牛顿
(a+b)² =a² +2ab+b² 0 1 2 = C2 a² + C2 ab+C2 b² (a+b)³ =a³ +3a² b+3ab² +b³ 1 0 3 2 =C3a³ + C3 a² b+C3 ab² +C3 b³
第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)
其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2， 所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在 这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个 选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系 数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定 的项，再求和即可．
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0， 则正实数a＝________． 解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
↓
8100 = (7 + 1)100 =?
↓
(7 + 1)100 展开后的表达式是什么样的？
探究新知
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2
思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。
分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到，
即(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
因此以每个(a+b)中的b作为研究对象：
（ B）
A.92
B.576
C.192
D.384
4.［2020·辽宁抚顺市第十中学高二期中］（x+1）（x+2）4展开式中x3的
系数为
32
.
探究新知
三、由特定项（或特定项的系数）求参数
例5 ［2020·北京八中高二期中］在（x+a）5（其中a≠0）的展开式
中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为
A.-2
x
4
4
＝（ 3 x ）4+ C 41 （ 3 x ）3 1
x
+ C （ 3 x ）2 1
x
2
4
＝81x2+108x+54+ 12 + 1 .
＝ 3x 1
x
x2
x
4
＝ 1 （1+3x）4
x2
＝ 1 ［1+ C （3x）+ C （3x）2+ C （3x）3+ C （3x）4］
3.求出r值；
4.代回第r+1项即可.
【注意】
8100 = (7 + 1)100 =?
↓
(7 + 1)100 展开后的表达式是什么样的？
探究新知
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2
思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。
分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到，
即(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
因此以每个(a+b)中的b作为研究对象：
（ B）
A.92
B.576
C.192
D.384
4.［2020·辽宁抚顺市第十中学高二期中］（x+1）（x+2）4展开式中x3的
系数为
32
.
探究新知
三、由特定项（或特定项的系数）求参数
例5 ［2020·北京八中高二期中］在（x+a）5（其中a≠0）的展开式
中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为
A.-2
x
4
4
＝（ 3 x ）4+ C 41 （ 3 x ）3 1
x
+ C （ 3 x ）2 1
x
2
4
＝81x2+108x+54+ 12 + 1 .
＝ 3x 1
x
x2
x
4
＝ 1 （1+3x）4
x2
＝ 1 ［1+ C （3x）+ C （3x）2+ C （3x）3+ C （3x）4］
3.求出r值；
4.代回第r+1项即可.
【注意】
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
二项式定理 优秀课件
项的系数：二项式系数与数字系数的积.
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn