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二项式定理优质课ppt课件

1
《观书有感》
朱熹,南宋著名理学家.
半亩方塘一鉴开, 天光云影共徘徊. 问渠那得清如许, 为有源头活水来.
2
探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb a2 2ab b2
问：合并同类项前的展开式中，共有几项？能利用分步乘法计数原理解释一下吗？每项的次数为几次？
6
探究4：请分析 (a b)n的展开过程
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
项的形式： a n a n1b L a nk bk L bn
系数：
Cn0 Cn1
C
k n
Cnn
请利用组合的知识解释下为什么a nk bk的系
数是
C
k n
呢？
7
二项式定理: 一般地，对于nN*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
直接利用二项式定理
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
14
1、巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
（2）探究二项式系数
Cn0，Cn1，Cn2 ，，Cnn 有何性质.
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？
第四项的二项式系数为？
那么对于 (2 x)5 的展开式呢？

人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件

人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk

《二项式定理》ppt课件

பைடு நூலகம்
A.15
��
B.20��
-
��
C.15
��
2
D.20
��
【解析】T3=�� ( ��) ( ) =15,故选 C.
4
��
2
10 (x- ��y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=�� a b (r=0,1,2…n),其中的系数 �� 二项式系数 �� . �� (r=0,1,2…n)叫作
��
��
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
�� 【解析】由�� +�� +�� =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ��
得 n=8.
�� 4 �� 4 �� 又∵T5=�� (2x) = x ,∴该项的系数为 . ��
�� b) +�� (4a) (b) + �� (4a) (b) + �� (4a) (1 3 2 2 3 1

6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)

①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所谓的 “ 双通法 ” 是根据多项式与多项式的乘法法则得到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2

第十章第三节二项式定理课件(共47张PPT)

赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1），奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√

二项式定理ppt课件

b=29.
题型分类深度剖析
题型一求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广，
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，
用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
Tr 1 C a
r
率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×(1＋11％×10)＝21(万元);
本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋
9％)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a

b

C
a

C

n
例题讲评
例2：求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家．他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一．他不仅
是一位物理学家、天文学家，
还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利

1.3.1二项式定理PPT优秀课件

二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
可用数学归纳法证明
基础训练：展开(p+q)7 解: (pq)7C7 0p7C1 7p6qC7 2p5q2C3 7p4q3 C7 4p3q4C5 7q2q5C7 6pq6C7 7q7
a 3 3 a 2 b 3 a2 bb 3
(a b)4 ？ (ab)100？ (a b)n ？
(n N )
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )＝C02 a2＋C12 ab ＋C22 b2
选b
＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b )
变式训练：若求（ 1 2 x ) 5 的展开式呢？
解: ( 1 2 x ) 5 C 5 0 ( 2 x ) 0 C 1 5 ( - 2 x ) 1 C 2 5 ( 2 x ) 2
C 3 5 ( 23 x C 5 ) 4 ( 24 x C ) 5 5 ( 25 x
＝C0n an＋ C1nan-1b＋ C2nan-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋Cknan-kbk＋…＋ Cnn bn
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
组合数公式：C n mA A n m m mn(nm 1 ()m (n 1 )2 ()m (2 n )m 11 )
引入：
（a b)2 a22abb2

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数：展开式共有n＋1项.
②次数：各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业：课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x

高中数学《二项式定理》ppt课件

0
1
2
n
2、指数规律各项的次数均为n；字母 a 的次数由n降到0，字母 b 的次数由0升到n. 3、项数规律二项展开式共有n+1项
应用解析：
例１展开例２
1 4 (1 ) x
展开 (2 x
1 x
)6
小结
1、牢记定理的内容及相关概念； 2、掌握数学中研究问题的思想和方法——从特殊到一般。
作业
１．P109习题２．⑴⑵ 2．思考题（用二项式定理解答）：如果今天是星期六，那么再过890天是星期几？
4
4 系数为： 4 有４个取b，
C
(a b) 的展开式怎么写呢？
n
可以对b分类：不取b，得Cn aⁿ
0
取1个b，得Cn a b 取2个b，得Cn a b²
…………
2 n-2
1
n-1
取 r个 b，得Cn a b …………
取n-1个b，得Cn ab 取n个b，得Cn bⁿ
n n-1-1
r n n r r
说明：
（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。（2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表示数或式，其中 n N (3) 1、系数规律
Cn、Cn、Cn、…、Cn
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
(a+b)² =a² +2ab+b² 0 1 2 = C2 a² + C2 ab+C2 b² (a+b)³ =a³ +3a² b+3ab² +b³ 1 0 3 2 =C3a³ + C3 a² b+C3 ab² +C3 b³

1.3.1二项式定理ppt课件

变形求 1 + 2 x - 3 x 2 5 的展开式中 x 5的系数
变形求 x y 2 z 7 的展开式中 x 2y3z2项的系数
变形求 1 x 3 1 x 10 的展开式中 x 5的系数
变形求 2 x 2 1 x 5 的展开式中 x 3的系数
( x 3x ) 项的二项式系数比为14：3，求展2 开式中不含x 的项。
2 (2)已知
的展开式n中，第5项的系数与
( x x ) 第3 项的系数比为56：3，2求展开式中的常数项。
变形2x-1xn的展开式中含x12的系数与含x14的系数比
为5，求n？
变形 f x12xm13xn的展开式中x
的系数为13，求x2的系数？
n 36C71 34C73 32C75，求m n
2、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________
赋值法
变形:若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
8
( x + 1 ) 6、若
展开式中前n 三项系数成等差
24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
7、求： ( x 3 ) 9 3x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项 ③展开式中的有理项

第三节二项式定理课件(共36张PPT)

其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2，所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．
角度几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6，令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )

1.5.1二项式定理PPT优秀课件

97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

二项式定理PPT教学课件

12n n
(2)当 3 q 1 时,求 lim An
n 2n
【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及
C
0 n
C
1 n
C
n n
2n
例4、若 2x 3 4= a0 a1x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4，
求（1） a0 a2 a4 2― a1 a3 2的值。
（2） a0 a1 a2 a3 的值。
【思维点拨】用赋值法时要注意展开式的形式。
思考题：设
x 14x 25 a0 a1x 3 a2x 32 a9x 39
则 a0 a2 a4 a6 a8 ―2 a1 a3 a5 a7 a9 2
0
备用题：
例5已知（ (1 2x)n ,
2 （1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。
稚参培育环境
• 水温 • 光照 • 盐度 • PH值 • 溶解氧
稚参敌害与病害的防治技术
• 桡足类 • 细菌
x
1120 （3）求 (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 … (1 x)50
的展开式中 x 3的系数。 C541
例3(优化设计P180例3)、设an＝1＋q＋q2＋… ＋qn－1(n∈N*，q≠±1)，
An＝ Cn1a1 Cn2a2 ...... Cnnan
(1) 用q 和n 表示An
即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求 (1 x)n的近似值。
二、问题讨论
例1．（1） Cn1 3Cn2 9Cn3 3n1Cnn
等于（ D ）
A 、4n

二项式定理课件ppt

二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广，它具有与组合数相同的性质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进行了研究和推广，使其成为现代数学中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理解二项式定理的概念和变形方式，进一步提高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣