二项式定理完美版PPT课件
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二项式定理ppt课件
1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
高二13二项式定理2共18张PPT
（1） (1.002)6 ；（2）(0.997)3 （3）今天星期3，再过22001天是星
期几？
分析：（1） (1.002)6=（1+0.002)6 （2） (0.997)3=(1-0.003)3 （3）22001=（7+1）667
类似这样的近似计算转化为二项式定理 求展开式，按精确度展开到一定项.
)9r
(
3 )r x
C9r
(1)9r 3
3r
9r
x
1r 2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1)96 3
36
2268
(2)、求展开式的中间两项
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 42x3 x
T6
T51
C95
(
x 3
)95
(
3
)5
3
378x 2
x
9
例3 求 x 3 x 展开式中的有理项
解:
Tr1
C9r
1
(x2
)9r
1
(x3
)r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z (r 0,1 9)
6
6
r 3或r 9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
r 9
27 r 3 6
T10 (1)9C99x3 x3
[(x 1) 1]5 1
x5 1
例7:求 ( x 1)6(2x 1)5 的展开式中x6项的系数.
期几？
分析：（1） (1.002)6=（1+0.002)6 （2） (0.997)3=(1-0.003)3 （3）22001=（7+1）667
类似这样的近似计算转化为二项式定理 求展开式，按精确度展开到一定项.
)9r
(
3 )r x
C9r
(1)9r 3
3r
9r
x
1r 2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1)96 3
36
2268
(2)、求展开式的中间两项
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 42x3 x
T6
T51
C95
(
x 3
)95
(
3
)5
3
378x 2
x
9
例3 求 x 3 x 展开式中的有理项
解:
Tr1
C9r
1
(x2
)9r
1
(x3
)r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z (r 0,1 9)
6
6
r 3或r 9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
r 9
27 r 3 6
T10 (1)9C99x3 x3
[(x 1) 1]5 1
x5 1
例7:求 ( x 1)6(2x 1)5 的展开式中x6项的系数.
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√
二项式定理课件_完美版
（1）表示第r+1项；
（2）通项公式中的a与b的位置不能换.
余下n（-r3个）因要式得取到a。Cnr a nrbr即在(a+b)n中，有r个因式取b，
3.二项式系数与某项系数的区别：
二项式二中项a式,b系系数数及是常C数nr ，展某出项部的分系。数包括二项式系数和
4.二项式系数的性质
（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数
数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并 求解此不等式组求得．
考点二 二项式定课理展堂开互式的动应讲用练
利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不 等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系 数性质的证明等问题．
例3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
C
2 n
C
n n
2n
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于 2n-1,即
C
0 n
Cn2
C
4 n
C
1 n
Cn3 Cn5
2n1
1．则若a0(＋x－a2＋1)4a＝4的a0值＋为a1(x＋B
a2x2＋ )
a3x3＋
a4x4，
A．9
B．8 C．7
D．6
2.计算ห้องสมุดไป่ตู้求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 L 2nCnn
一、知识梳理
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数n
a b n Cn0an Cn1an1b1 Cnranrbr Cnnbn, n N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
（2）通项公式中的a与b的位置不能换.
余下n（-r3个）因要式得取到a。Cnr a nrbr即在(a+b)n中，有r个因式取b，
3.二项式系数与某项系数的区别：
二项式二中项a式,b系系数数及是常C数nr ，展某出项部的分系。数包括二项式系数和
4.二项式系数的性质
（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数
数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并 求解此不等式组求得．
考点二 二项式定课理展堂开互式的动应讲用练
利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不 等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系 数性质的证明等问题．
例3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
C
2 n
C
n n
2n
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于 2n-1,即
C
0 n
Cn2
C
4 n
C
1 n
Cn3 Cn5
2n1
1．则若a0(＋x－a2＋1)4a＝4的a0值＋为a1(x＋B
a2x2＋ )
a3x3＋
a4x4，
A．9
B．8 C．7
D．6
2.计算ห้องสมุดไป่ตู้求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 L 2nCnn
一、知识梳理
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数n
a b n Cn0an Cn1an1b1 Cnranrbr Cnnbn, n N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
6.3.1二项式定理课件共15张PPT
和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广，
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，
用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
Tr 1 C a
r
率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×(1＋11％×10)＝21(万元);
本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋
9％)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a
b
C
a
C
n
例题讲评
例2： 求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家．他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一．他不仅
是一位物理学家、天文学家，
还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利
1.3.1二项式定理PPT优秀课件
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
可用数学归纳法证明
基础训练：展开(p+q)7 解: (pq)7C7 0p7C1 7p6qC7 2p5q2C3 7p4q3 C7 4p3q4C5 7q2q5C7 6pq6C7 7q7
a 3 3 a 2 b 3 a2 bb 3
(a b)4 ？ (ab)100？ (a b)n ？
(n N )
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )＝C02 a2＋C12 ab ＋C22 b2
选b
＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b )
变式训练：若 求 （ 1 2 x ) 5 的 展 开 式 呢 ？
解: ( 1 2 x ) 5 C 5 0 ( 2 x ) 0 C 1 5 ( - 2 x ) 1 C 2 5 ( 2 x ) 2
C 3 5 ( 23 x C 5 ) 4 ( 24 x C ) 5 5 ( 25 x
＝C0n an＋ C1nan-1b＋ C2nan-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋Cknan-kbk＋…＋ Cnn bn
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
组合数公式：C n mA A n m m mn(nm 1 ()m (n 1 )2 ()m (2 n )m 11 )
引入：
（a b)2 a22abb2
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)
其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2， 所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在 这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个 选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系 数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定 的项，再求和即可．
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0， 则正实数a＝________． 解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
1.5.1二项式定理PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
二项式定理PPT教学课件
12n n
(2)当 3 q 1 时,求 lim An
n 2n
【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及
C
0 n
C
1 n
C
n n
2n
例4、若 2x 3 4= a0 a1x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4，
求（1） a0 a2 a4 2― a1 a3 2的值。
（2） a0 a1 a2 a3 的值。
【思维点拨】 用赋值法时要注意展开式的形式。
思考题：设
x 14x 25 a0 a1x 3 a2x 32 a9x 39
则 a0 a2 a4 a6 a8 ―2 a1 a3 a5 a7 a9 2
0
备用题：
例5已知（ (1 2x)n ,
2 （1） 若展开式中第5项、第6项与第7项的二 项式系数成等差数列，求展开式中二项式系 数最大项的系数。
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稚参敌害与病害的防治技术
• 桡足类 • 细菌
x
1120 （3）求 (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 … (1 x)50
的展开式中 x 3的系数。 C541
例3(优化设计P180例3)、设an＝1＋q＋q2＋… ＋qn－1(n∈N*，q≠±1)，
An＝ Cn1a1 Cn2a2 ...... Cnnan
(1) 用q 和n 表示An
即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的 前几项求 (1 x)n的近似值。
二、问题讨论
例1．（1） Cn1 3Cn2 9Cn3 3n1Cnn
等于 （ D ）
A 、4n
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
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变式: 若(2x＋
)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是(A )
A．1
B．－1
C．0
D．2
【规律小结】
对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法，
一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0 得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数
(2)原式 C50 (x 1)5C51(x 1)4C52 (x 1)3 C53(x 1)2C54(x 1)C55 C55
[(x 1) 1]5 1
x5 1
3．若(
)n的展开式中各项系数之和
为64，
A
则 展开式的常数项为( )
A．－540 B．－162 C．162
式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且 n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式 所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的 项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来 求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一 致．
C．7
D．6
2.计算并求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 L 2nCnn
(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2
5(x 1)
（1）原式 Cn01n Cn11n1g2 Cn21n2 g22 L Cnn 2n
(1 2)n 3n
例1 已知在 项。
(3 x 1 )n的展开式中，第6项为常数 23 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
变式 求 x 3 x 9展开式中的有理项
【规律小结】 (1)对求指定项、常数项问题，常用 待定系数法，即设第r+1项是指定项（常数项），利用通 项公式写出该项，对同一字母的指数进行合并，根据所给 出的条件(特定项)，列出关于r的方程(求解时要注意二项
同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r＋1项系
数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并 求解此不等式组求得．
考点二 二项式定课理展堂开互式的动应讲用练
利用二项展开式可以解决如整除、近似计 算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二 项式系数性质的证明等问题．
例3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
叫做二项式系数
特点：
（1）共n+1有项；
（2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2，
3，…，n个元素的组合数，即
Cn0
,
C
1 n
,
,
C
n n
.
（3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的
指数和为n。
2.通项公式
项，用
式中C的nr
anrbr
表示。即
叫做二项展开式的Tr通1
Tr1 Cnranrbr 第 r 1 项
D．540
4．(2010·上海春)在 式中，常数项是________．
答案：60
的二项展开
二、题型与方法
考点一 通项公式的应用
通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知
道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式 中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为
解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负 整数且r≤n.
数相等，即C nr
C nr n
（2）增减性即最大值
f
(r
)
C
r n
在[0,
n 2
]上是增函数
;
在[
n 2
,
n]上是减函数。Βιβλιοθήκη 当n为偶数时，f (r)max
f
(
n 2
)
n
C2 n
当n为奇数时，f (r)max （3）二项式系数和为
f ( n21)
n 1
f
(
n21)
C2 n
n 1
例2 已知（3 x x2 )2n
的展开式的二项（式3系x 数1)n
和比
（2x 1 )2n
的展开式的二项式系数和大992，求 x
的展开(1式)二中项：式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
变式:已知( 数与第
)n(n∈N*)的展开式中第五项的系
三项的系数的比是10∶1，
(1)证明：展开式中没有常数项；
注意：
（1）表示第r+1项；
（2）通项公式中的a与b的位置不能换.
有r个因式（取3）b，要余得下C到nnr a-rn个rb因r 式取a。 即在(a+b)n中，
3.二项式系数与某项系数的区别：
式系数和二二项项式式中系a,数Cb系是nr 数及常数，展某出项部的分系。数包括二项
4.二项式系数的性质
（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系
Cn2
C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n n
2n
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数 和等于2n-1,即
C
0 n
Cn2
C
4 n
Cn1
C
3 n
C n5
2n1
1．则若a0(＋x－a2＋1)a4＝4的a值0＋为a1(x＋B a2)x2＋a3x3＋a4x4，
A．9
B．8
(2)求展开式中含
的项；
(3)求展开式中所有的有理项；
(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
SUCCESS
THANK YOU
2020/3/2
【规律小结】 课堂互动讲练
1．根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二 项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不
一、知识梳理
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数n
a b n Cn0an Cn1a b n1 1 Cnranrbr Cnnbn, n N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，
其中
C
r n
(r
0,1,2,
, n)
次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式
中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．
考点三 二项式定理的灵活应用
例4