流体力学 边界层基础及绕流运动
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边界层内：沿板面法向的速度梯度很大，剪应力不可忽略。 ——粘性流体的流动 边界层外：不存在速度梯度或速度梯度很小，剪应力可以忽略。 ——理想流体运动
u u
主体区或外流区 u
u
ux=0.99u
u 边界层区 u
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
三、边界层的主要特征
0
u x dy
K AB u dy
0 2 x
A
ds C
d
D
2 K ( u x dy )dx u0 ( u x dy )dx 0 x x 0 x
O x
B
dx
王树青 流体力学
中国海洋大学海洋工程系
外力分析：
p 压强沿y向均匀分布： y 0
(1) 与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小<< L。
(2) 边界层内沿厚度方向，速度梯度很大，为有旋运动。
(3) 边界层厚度沿流体流动方向是增加的。 (4)由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的 压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。
主体区或外流区 u
u
u
u
ux=0.99u
船舶与海洋工程
流体力学
本章主要内容
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 §8.6 边界层的基本概念 边界层微分方程 边界层的动量积分方程 平板边界层的近似计算 边界层的分离 绕流阻力
§8.1
边界层的基本概念
边界层外边界
II尾部流区域
I边界层 边界层外边界
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
2 x 2 0
3
0
ux u (1 ) dy u0 u
y
u0
0.99u0 ux
1
x
流体力学
中国海洋大学海洋工程系
王树青
§8.2
边界层微分方程
将利用边界层流动的特点（边界层的厚度与物体的 特征长度相比为一小量）对N-S方程进行简化从而导出 层流边界层微分方程。 在简化过程中，假定流动为二维恒定不可压定常流， 不考虑质量力。
K CD K AB K AC Fx
AB面压强：p
1 p dx AC面压强： p 2 x
p Fx p ( p x dx)( d) 1 p (p dx)ds sin 0 dx 2 x
p dx CD面压强： p x BD面摩擦： 0
p 0 y
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
紊流边界层方程
u x u x u x 1 p 1 ux uy ( u u ) x y x y x y u x u y 0 x y
说明： （1）边界层方程虽然比N-S方程简化了，但仍是非线性： （2）布拉休斯应用该方程求解平板的层流边界层的解； （3）近似解法－动量积分方程；
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
u x u x 2u x 2u x 1 p ux uy v( 2 2 ) x y x x y u y u y 2u y 2u y 1 p ux uy v( 2 2 ) x y y x y u x u y 0 x y
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
Fra Baidu bibliotek 一、边界层的提出
绕流运动
高雷诺数运动：忽略粘性， 简化为理想流体运动 达朗贝尔佯谬：
法国数学家、力学 家、哲学家。
1752年在《试论流体阻力的新理论》中考虑没有 粘性的不可压缩流体，结果得到运动物体受到的阻力 为零的结论。他本人不满意这个结论，但又得不到正 确的解释，成为一个所谓达朗贝尔佯谬。
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
一、边界层的提出
边界层的主要内容
（1）固壁附近边界层内的流动，粘性力和惯性力同量级，
必须考虑粘性的影响，为有旋运动；
（2）边界层以外的流动区域,该区域内流体速度变化很小， 可近似看成是理想流体.
无粘性流场 粘性剪切流
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
一、边界层的提出
将上述方程组无量纲化。为此考虑如图所示的半无穷绕流
平板，假定无穷远来流速度U0，流动绕过平板时在平板附近 形成边界层，其厚度为δ，平板前缘至某点的距离为L。取 δ和L为特征量，可定义如下的无量纲量： u x y 0 ux x x0 y0 U0 L L uy p 0 0 p uy U 02 U0
u u
主体区或外流区 u
u
ux=0.99u
u 边界层区 u
y U
层流边界层 过渡区 湍流边界层
x
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
二、边界层的形成
由于具有粘性，紧贴壁面的流体必然附着于物体表面上， 其速度为零。 近壁面的流体相继受阻而减速。
一方面，随着流体向前流动，速度受到影响的区域逐渐扩大
另一方面，随着与板面法向距离的增大，板面对流体的减速
作用逐渐减弱。
u
u
主体区或外流区 u
u
ux=0.99u
u 边界层区 u
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
二、边界层的形成
在离板面一定距离之外的流体速度就基本上未受板面影响 接近了的主流速度。减速作用发生在紧邻板面的很薄的流体 层中，这一薄层称之为边界层;
y
K AB 2 2 dx u x dy ( u x dy)dx CD面：K CD K AB 0 x x 0 ( u x dy)dx AC面： q AC qCD q AB x 0 u0 K AC q AC u0 u0 ( u x dy)dx x 0
普朗特边界层方程
边界条件： （1）y＝0：
u x u x 1 p 2u x ux uy 2 x y x y u y u x 0 x y
u x 0, u y 0
（2）y＝：
u x u0
两个方程三个未知数：
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
四、边界层的厚度
2．位移厚度
又称边界层流量排挤厚度，是指由于边界层的存在，使得外 部流动按理想流体处理时，其流动的虚拟边界向壁面以外移 动的距离。 y u0
u01 u0 dy u x dy
0 0
0.99u0 ux
1
0
ux (1 ) dy u0
u x u x 2u x 2u x 1 p ux uy v( 2 ) 2 x y x x y u y u y 2u y 2u y 1 p ux uy v( 2 ) 2 x y y x y u x u y 0 x y
u 边界层区 u
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
三、边界层的主要特征
(5) 在边界层内，粘性力与惯性力同一数量级。 (6) 边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。
层流底层 层流边界层
中国海洋大学海洋工程系
过渡区域
王树青
紊流边界层
流体力学
三、边界层的主要特征
层流边界层向紊流边界层的转变
U0x Rex
一、边界层的提出
绕流运动
绕流运动为高雷诺数运动 一般物体的特征长度在l = 0.01－10 m范围，当物体 在空气或水中以速度U = 0.1－100 m/s运动时，相应的雷 诺数约在100－109 之间。普通汽车和船舶以正常速度行驶 时，空气和水的雷诺数均在106以上。飞机绕流的雷诺数则
更高，因此大Re数流动是普遍存在的现象。
优点
引入边界层后，可将流场的求解可分为两个区进行
边界层内流动必须计入流体的粘性影响可利用动量方程
求得近似解。
边界层外流动视为理想流体流动，可按势流求解。
它的提出为解决粘性流体绕流问题开辟了新途径，并使 流体绕流运动中一些复杂现象得到解释
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
二、边界层的形成
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
§8.3
边界层动量积分方程
边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再
简化。
其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度
方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内 直接应用动量守恒原理。 下面的推导采用第二种方法。
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
假设：
0 0 0 0 u x 2u x p / 1 2u x 0 u x u uy ( ) 0 0 0 02 02 x y x Re x y 1 1 0 02 1 1 0 ( ) 1 02 2 0 0 u 0 2u 0 u x p / 1 uy y y 0 ux u0 ( ) y 0 0 0 02 02 x y y Re x y 1 1 0 0 1 02 0 0 u 0 u x y 0 0 0 x y 1 1 0 x
（1）边界层很薄，忽略质量力： （2）流动为恒定平面流动； （3）dx很小，BD和AC近似为直线；
动量方程： K CD K AB K AC Fx
y
u0
A
ds C
d
O x
中国海洋大学海洋工程系 王树青
x
B D
dx
流体力学
动量变化：
AB面：q AB
K CD K AB K AC Fx
2
0
ux ux (1 ) dy u0 u0
y
u0
0.99u0 ux
1
中国海洋大学海洋工程系 王树青
x
流体力学
四、边界层的厚度
4．能量损失厚度
是指由于边界层的存在，边界层内所损失的能量折合成按理 想流体处理时，具有相同能量的等效厚度。
u0 u u
2 3 0
2 0
0
2 ux dy u xu x dy 0
x xc
x xc
U 0 xc Rec 5 510
层流底层 层流边界层
中国海洋大学海洋工程系
过渡区域
王树青
紊流边界层
流体力学
四、边界层的厚度
1．名义厚度
定义为速度达到外流速度99%时离壁面的垂直距离，称为名 义厚度δ(x )。
u
u
主体区或外流区 u
u
ux=0.99u
u 边界层区 u
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
一、边界层的提出
边界层的提出
普朗特 1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上， 德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念（论 粘性很小的流体的运动）。他认为对于水和空气等黏度很 小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影 响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外黏性影 响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。普朗 特的这一理论，在流体力学的发展史上有划时代的意义。
流线
δ1
Y U∞
如图，兰线为一条流线，由于边界层的存在使它向上偏移了排量 厚度δ1的距离
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
四、边界层的厚度
3．动量损失厚度
是指由于边界层的存在，边界层内所损失的动量折合成按理 想流体处理时，具有相同动量的等效厚度。
2 u 2 u0 u x dy u x dy 2 0 0 0
1
x
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
四、边界层的厚度
2．位移厚度
表明：由于流体的粘性作用，存在着流动被阻滞了的边界层，为了满足连 续性方程，流道就得扩张，才能让一定量的流体通过，因此流线向外偏斜， 被排移了δ1 的距离；也就是说，由于边界层的存在排移了厚度为δ1的非粘性 流体的流量。 y=Y+δ1
x L y 0 y L ux 0 ux U0 uy 0 uy U0 x0
0 0 0 u x p 0 1 2u x 0 u x u uy 0 0 0 x y x Re y 0 2 0 0 u y u x 0 x 0 y 0 0 x
u u
主体区或外流区 u
u
ux=0.99u
u 边界层区 u
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
三、边界层的主要特征
0
u x dy
K AB u dy
0 2 x
A
ds C
d
D
2 K ( u x dy )dx u0 ( u x dy )dx 0 x x 0 x
O x
B
dx
王树青 流体力学
中国海洋大学海洋工程系
外力分析：
p 压强沿y向均匀分布： y 0
(1) 与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小<< L。
(2) 边界层内沿厚度方向，速度梯度很大，为有旋运动。
(3) 边界层厚度沿流体流动方向是增加的。 (4)由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的 压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。
主体区或外流区 u
u
u
u
ux=0.99u
船舶与海洋工程
流体力学
本章主要内容
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 §8.6 边界层的基本概念 边界层微分方程 边界层的动量积分方程 平板边界层的近似计算 边界层的分离 绕流阻力
§8.1
边界层的基本概念
边界层外边界
II尾部流区域
I边界层 边界层外边界
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
2 x 2 0
3
0
ux u (1 ) dy u0 u
y
u0
0.99u0 ux
1
x
流体力学
中国海洋大学海洋工程系
王树青
§8.2
边界层微分方程
将利用边界层流动的特点（边界层的厚度与物体的 特征长度相比为一小量）对N-S方程进行简化从而导出 层流边界层微分方程。 在简化过程中，假定流动为二维恒定不可压定常流， 不考虑质量力。
K CD K AB K AC Fx
AB面压强：p
1 p dx AC面压强： p 2 x
p Fx p ( p x dx)( d) 1 p (p dx)ds sin 0 dx 2 x
p dx CD面压强： p x BD面摩擦： 0
p 0 y
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
紊流边界层方程
u x u x u x 1 p 1 ux uy ( u u ) x y x y x y u x u y 0 x y
说明： （1）边界层方程虽然比N-S方程简化了，但仍是非线性： （2）布拉休斯应用该方程求解平板的层流边界层的解； （3）近似解法－动量积分方程；
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
u x u x 2u x 2u x 1 p ux uy v( 2 2 ) x y x x y u y u y 2u y 2u y 1 p ux uy v( 2 2 ) x y y x y u x u y 0 x y
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
Fra Baidu bibliotek 一、边界层的提出
绕流运动
高雷诺数运动：忽略粘性， 简化为理想流体运动 达朗贝尔佯谬：
法国数学家、力学 家、哲学家。
1752年在《试论流体阻力的新理论》中考虑没有 粘性的不可压缩流体，结果得到运动物体受到的阻力 为零的结论。他本人不满意这个结论，但又得不到正 确的解释，成为一个所谓达朗贝尔佯谬。
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
一、边界层的提出
边界层的主要内容
（1）固壁附近边界层内的流动，粘性力和惯性力同量级，
必须考虑粘性的影响，为有旋运动；
（2）边界层以外的流动区域,该区域内流体速度变化很小， 可近似看成是理想流体.
无粘性流场 粘性剪切流
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
一、边界层的提出
将上述方程组无量纲化。为此考虑如图所示的半无穷绕流
平板，假定无穷远来流速度U0，流动绕过平板时在平板附近 形成边界层，其厚度为δ，平板前缘至某点的距离为L。取 δ和L为特征量，可定义如下的无量纲量： u x y 0 ux x x0 y0 U0 L L uy p 0 0 p uy U 02 U0
u u
主体区或外流区 u
u
ux=0.99u
u 边界层区 u
y U
层流边界层 过渡区 湍流边界层
x
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
二、边界层的形成
由于具有粘性，紧贴壁面的流体必然附着于物体表面上， 其速度为零。 近壁面的流体相继受阻而减速。
一方面，随着流体向前流动，速度受到影响的区域逐渐扩大
另一方面，随着与板面法向距离的增大，板面对流体的减速
作用逐渐减弱。
u
u
主体区或外流区 u
u
ux=0.99u
u 边界层区 u
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
二、边界层的形成
在离板面一定距离之外的流体速度就基本上未受板面影响 接近了的主流速度。减速作用发生在紧邻板面的很薄的流体 层中，这一薄层称之为边界层;
y
K AB 2 2 dx u x dy ( u x dy)dx CD面：K CD K AB 0 x x 0 ( u x dy)dx AC面： q AC qCD q AB x 0 u0 K AC q AC u0 u0 ( u x dy)dx x 0
普朗特边界层方程
边界条件： （1）y＝0：
u x u x 1 p 2u x ux uy 2 x y x y u y u x 0 x y
u x 0, u y 0
（2）y＝：
u x u0
两个方程三个未知数：
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
四、边界层的厚度
2．位移厚度
又称边界层流量排挤厚度，是指由于边界层的存在，使得外 部流动按理想流体处理时，其流动的虚拟边界向壁面以外移 动的距离。 y u0
u01 u0 dy u x dy
0 0
0.99u0 ux
1
0
ux (1 ) dy u0
u x u x 2u x 2u x 1 p ux uy v( 2 ) 2 x y x x y u y u y 2u y 2u y 1 p ux uy v( 2 ) 2 x y y x y u x u y 0 x y
u 边界层区 u
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
三、边界层的主要特征
(5) 在边界层内，粘性力与惯性力同一数量级。 (6) 边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。
层流底层 层流边界层
中国海洋大学海洋工程系
过渡区域
王树青
紊流边界层
流体力学
三、边界层的主要特征
层流边界层向紊流边界层的转变
U0x Rex
一、边界层的提出
绕流运动
绕流运动为高雷诺数运动 一般物体的特征长度在l = 0.01－10 m范围，当物体 在空气或水中以速度U = 0.1－100 m/s运动时，相应的雷 诺数约在100－109 之间。普通汽车和船舶以正常速度行驶 时，空气和水的雷诺数均在106以上。飞机绕流的雷诺数则
更高，因此大Re数流动是普遍存在的现象。
优点
引入边界层后，可将流场的求解可分为两个区进行
边界层内流动必须计入流体的粘性影响可利用动量方程
求得近似解。
边界层外流动视为理想流体流动，可按势流求解。
它的提出为解决粘性流体绕流问题开辟了新途径，并使 流体绕流运动中一些复杂现象得到解释
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
二、边界层的形成
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
§8.3
边界层动量积分方程
边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再
简化。
其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度
方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内 直接应用动量守恒原理。 下面的推导采用第二种方法。
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
假设：
0 0 0 0 u x 2u x p / 1 2u x 0 u x u uy ( ) 0 0 0 02 02 x y x Re x y 1 1 0 02 1 1 0 ( ) 1 02 2 0 0 u 0 2u 0 u x p / 1 uy y y 0 ux u0 ( ) y 0 0 0 02 02 x y y Re x y 1 1 0 0 1 02 0 0 u 0 u x y 0 0 0 x y 1 1 0 x
（1）边界层很薄，忽略质量力： （2）流动为恒定平面流动； （3）dx很小，BD和AC近似为直线；
动量方程： K CD K AB K AC Fx
y
u0
A
ds C
d
O x
中国海洋大学海洋工程系 王树青
x
B D
dx
流体力学
动量变化：
AB面：q AB
K CD K AB K AC Fx
2
0
ux ux (1 ) dy u0 u0
y
u0
0.99u0 ux
1
中国海洋大学海洋工程系 王树青
x
流体力学
四、边界层的厚度
4．能量损失厚度
是指由于边界层的存在，边界层内所损失的能量折合成按理 想流体处理时，具有相同能量的等效厚度。
u0 u u
2 3 0
2 0
0
2 ux dy u xu x dy 0
x xc
x xc
U 0 xc Rec 5 510
层流底层 层流边界层
中国海洋大学海洋工程系
过渡区域
王树青
紊流边界层
流体力学
四、边界层的厚度
1．名义厚度
定义为速度达到外流速度99%时离壁面的垂直距离，称为名 义厚度δ(x )。
u
u
主体区或外流区 u
u
ux=0.99u
u 边界层区 u
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
一、边界层的提出
边界层的提出
普朗特 1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上， 德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念（论 粘性很小的流体的运动）。他认为对于水和空气等黏度很 小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影 响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外黏性影 响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。普朗 特的这一理论，在流体力学的发展史上有划时代的意义。
流线
δ1
Y U∞
如图，兰线为一条流线，由于边界层的存在使它向上偏移了排量 厚度δ1的距离
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
四、边界层的厚度
3．动量损失厚度
是指由于边界层的存在，边界层内所损失的动量折合成按理 想流体处理时，具有相同动量的等效厚度。
2 u 2 u0 u x dy u x dy 2 0 0 0
1
x
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
四、边界层的厚度
2．位移厚度
表明：由于流体的粘性作用，存在着流动被阻滞了的边界层，为了满足连 续性方程，流道就得扩张，才能让一定量的流体通过，因此流线向外偏斜， 被排移了δ1 的距离；也就是说，由于边界层的存在排移了厚度为δ1的非粘性 流体的流量。 y=Y+δ1
x L y 0 y L ux 0 ux U0 uy 0 uy U0 x0
0 0 0 u x p 0 1 2u x 0 u x u uy 0 0 0 x y x Re y 0 2 0 0 u y u x 0 x 0 y 0 0 x