平行四边形相关知识梳理与常考题型

平行四边形相关知识梳理与常考题型总结

1.平行四边形的定义：（1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2）表示：平行四边形用符号“□”来表示。 2．平行四边形性质: （1）边：两组对边分别平行且相等; (2)角：对角相等、邻角互补; （3)对角线:对角线互相平分。 ３．平行四边形的判别方法：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②对角线互相平分的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形

4、三角形中位线——构造平行四边形

（1) 定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

(2)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.

三角形中位线定理的作用:①位置关系:可以证明两条直线平行.

②数量关系:可以证明线段的倍分关系

.

1、已知如图,E 、F 、G 、H 分别是四边形A ＢCD 各边中点. 求证:四边形EFG Ｈ是平行四边形

B

2、分别以△A ＢC 的三边为边向同一侧作等边△A ＢD 、△BCE 、△A ＣＦ，连接D Ｅ、ＥF. 求证：四边形AF ＥＤ是平行四边形

.

3、已知如图,在四边形AB ＣＤ中，E 、Ｆ分别为AB 、ＣD 的中点．

)

(1

BD AC EF +<

求证:

F

E

B

A

D

４、已知：如图，四边形A ＢＣＤ是平行四边形,且∠=∠EAD BAF 。 （1）说明∆CEF 是等腰三角形。

(2）∆CEF 的哪两边之和等于平行四边形ABCD 的周长，为什么？

E

A

D

F B C

5.(黄冈市中考题）如图所示,平行四边形A ＢCD 中，G 、H 是对角线ＢＤ上两点，且ＤＧ=ＢH ，DF ＝BE.

求证：四边形EH ＦG 是平行四边形.

6 已知:如图，在平行四边形A ＢCD 中，A Ｂ＝２B Ｃ,Ｅ,F 在直线ＢC 上,且ＢＥ=ＢC=ＣF ．求证:ＡＦ⊥DE ．

7.(江西省中考题)已知：如图，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，ＣF ⊥BD ，垂足分别为Ｅ、F,Ｇ、H 分别是AD 、B Ｃ的中点,GH 交ＢD 于点Ｏ.

D

E F

A

B C

求证:GＨ与EF互相平分.

8.(河南省中考题)已知：如图,平行四边形ＡBCD中,对角线ＡC的平行线ＭN分别交DA、ＤC 延长线于点M、N，交AB、ＢC于点P、Q．

求证:ＭＱ＝NP.

能力提高

1.已知：如图，平行四边形ABCＤ中,AB=2BC，Ｅ为ＡＢ中点，DＦ⊥BＣ，垂足Ｆ.

求证:∠ＡED=∠ＥFB．

2.如图,在平行四边形ＡＢＣD中,BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥ＡB,垂足为Ｅ,求证：∠DME=3∠AEM．

作业

１.如下图所示，AＢCＤ是平行四边形,以AD、BＣ为边在形外作等边三角形ＡDE和CBF,连结BD、EF,且它们相交于O，求证:EO=FＯ，DO=BO.

2.如图所示，∠EDA是平行四边形ABCD的外角，DF平分∠EＤA与BA延长线交于F,F Ｄ延长线与BＣ延长线交于G.求证：BF=ＢＧ.

3.如图所示，平行四边形ABＣD中，作AF⊥ＢC于F,交BD于E，若DＥ=２AB.求证：∠ABＤ=2∠ＥBC．

取G 为ＤＥ中点,连接ＡG.

在RT△ＡDE中,AG为斜边上的中线。

∴DE/2 = AG= EＧ＝DＧ= AB

∴∠ＡBE = ∠ＡGE ，∠ADE=∠GAＤ

∴∠ABE = ∠AGE=∠ＡDE+∠GAＤ＝2∠ＡDE ＝2∠CBD

证明：∵ABCＤ平行四边形AＦ⊥BC ﻫ∴∠EＡＤ=９０°ﻫ取ＤE中点M，则AM=ＭD=ED(直角三角形斜边上中线等于斜边一半）

∵DＥ=2ＡBﻫ∴AＢ=AM＝MＤﻫ∠ADM=∠DAM ﻫ∠ＡBD=∠AMB ﻫ∵∠AMB=∠ADＭ+∠ＤAM=２∠AＤM

∴∠ＡBD=２∠AＤM ﻫ∵∠ADＭ=∠ＤＢC ﻫ∴∠ABD=２∠DＢC

4.如图所示,平行四边形ＡBCD中，以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF.求证：△ＡEF为等边三角形.

５.如图所示，在△ＡBＣ中,BＤ平分∠B,DE∥ＢC交AB于E，EF∥AＣ交ＢＣ于F,求证:BE=FC

6.如图所示,平行四边形ABCD中，Ｅ是AＢ的中点，F是CD中点,分别延长BＡ和ＤＣ到G、Ｈ,使AＧ=CＨ，连结GＦ、EH，求证:GF∥EＨ

7.如图所示,平行四边形ABCD中,E、Ｆ分别在AD、BC上，且AE＝ＣF，ＡF与ＢE相交于G,CＥ与DF相交于Ｈ.求证:EＦ与GH互相平分

（1）在△ABC和△DBE中

ＡB=AD

∠ABC＝∠EBC-∠EAB，∠DBＥ=∠ＤBA－∠EBA

因为∠EＢC=∠DBＥ=60°

所以∠ABＣ=∠DＢE

BＣ=BE

因此△ABC≌△DBE，ＤＥ＝AＣ。

△AＣF是等边三角形,所以AF=AC=ＤE

在△ABC和△FＥC中

AＣ=FC

∠ACB=∠ＥCＢ－∠ECＡ

∠FＣE=∠FCA-∠EＣA

因为∠ECB=∠FCA=６０°

所以∠ACB＝∠FCE

BＣ＝EＣ

因此△AＢC≌△ＦＥＣ，EF＝ＡB

因为△ABD是等边三角形，所以ＡD=ＡＢ=EＦ

四边形ＡＤFE两组对边分别相等，是平行四边形