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北师大版八年级下册数学 1.2 直角三角形 同步测试题(含答案)·

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1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册

1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册

【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》解答题专题提升训练(附答案)

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》解答题专题提升训练(附答案)

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由．2．如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧），AB＝12．（1）如图1，AD＝；（2）如图2，①求证：△DEF为等边三角形；②连接CD，若∠ADC＝90°，请直接写出EF的长．3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，D为BC上一点，连接AD．（1）求S△ABC；（2）若∠BAD＝45°，求证△ACD为等腰三角形；（3）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝30°，BC＝2．（1）求AB的长度；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长度．6．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF 于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB 的中点，连接MC，MD．（1）求证：MC＝MD；（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．9．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．10．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE垂直于AB于点E，D是AB的中点．（1）求证：AE＝ED；（2）若AC＝2，求DE的长．12．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于E．求：（1）∠BCD的度数；（2）若DE＝3，求AB的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠D的度数．14．如图．在直角三角形BCD中，∠D＝90°，∠DBC＝15°，点A在直角边BD上，连接AC，AB＝AC＝4．求CD的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF．（1）若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝45°，AD＝6，求C、E两点间的距离．16．如图，△ABD是边长为2的等边三角形，点C为AB下方的一动点，∠ACB＝90°．（1）若∠ABC＝30°，求CD的长；（2）求点C到AB的最大距离；（3）当线段CD的长度最大时，求四边形ACBD的面积．17．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE 交BC的延长线于点F．（1）求∠DFE的度数．（2）若CD＝8，求DF的长．18．如图△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．（1）求证：EF＝AB；（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？20．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC ＝∠CF A＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．参考答案1．（1）证明：连接ME，MD．∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，∴MD＝ME＝BC，∴点N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△EDM是等边三角形．2．解：（1）过D作DG⊥AB于G，∵AD＝BD，∠ADB＝120°，∴∠DAB＝∠ABD＝30°，AG＝BG＝AB＝6，∴AD＝2GD，∵AD2＝GD2+AG2，∴4CD2＝GD2+62，∴GD＝2，∴AD＝4，故答案为：4；（2）①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，∵CF＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∵∠CFB＝120°，∴∠FCB＝∠FBC＝30°，同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBC，∴AD∥EC∥BF，同理AE∥CF∥BD，∴四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，∴EC＝AH，BF＝HD，∵AE＝EC，∴AE＝AH，∵∠HAE＝60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°，∴∠DHE＝120°，∴∠DHE＝∠FCE．∵DH＝BF＝FC，∴△DHE≌△FCE（SAS），∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，∴∠DEF＝∠CEH＝60°，∴△DEF是等边三角形；②如图3，过E作EM⊥AB于M，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，∴∠ACD＝60°，∵∠DBA＝30°，∴∠CDB＝∠DBC＝30°，∴CD＝BC＝AC，∵AB＝12，∵AC＝8，BC＝CD＝4，∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°，∴∠ECD＝30°+60°＝90°，∵AE＝CE，∴CM＝AC＝4，∵∠ACE＝30°，∴CE＝，Rt△DEC中，DE＝＝＝，由①知：△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝，故答案为：．3．（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，∴MD＝ME＝BC，∴点N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△MED是等边三角形，∴DE＝DM，有（1）知DM＝BC＝6，∴DE＝6，∵N是DE的中点，∴DN＝DE＝3，∴MN＝＝3．4．（1）解：过A作AE⊥BC于E，则∠AEB＝90°，∵AB＝AC＝2，∠B＝30°，∴AE＝AB＝1，∵AB＝AC＝2，AE⊥BC，∴BC＝2BE，由勾股定理得：BE＝＝＝，∴BC＝2BE＝2，∴S△ABC＝＝2×1＝；（2）证明：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠BAD＝45°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴△ACD是等腰三角形；（3）解：分为两种情况：①∠DAC＝90°时，∵∠C＝∠B＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠C＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°；②当∠ADC＝90°时，∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；即∠BAD的度数是30°或60°．5．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵BC＝2，∴AB＝4；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，根据勾股定理得，AC＝＝＝2，∴S△ABC＝×BC×AC＝×2×2＝2；（3）∵S△ABC＝×AB×CD＝2，AB＝4，∴×4×CD＝2，解得CD＝．6．解：连接BD，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AD＝CD，∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．7．解：MN⊥AC，证明：连接AM，CM，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M为BD的中点，∴AM＝，CM＝BD，∴AM＝CM，∵N为AC的中点，∴MN⊥AC．8．（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，∴MC＝AB，MD＝AB，∴MC＝MD；（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，∵△MCD是等边三角形，∴∠DMC＝60°，∴∠BMC+∠AMD＝120°，∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，∴∠BAO+∠ABO＝60°，∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．9．证明：（1）连接DF，∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵点F是AB的中点，∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．10．解：（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6，∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，AE＝4，AF＝3，∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝14；（2）△ABC的面积＝×AB×AC＝24，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴△ADE的面积＝△BDE的面积，△ADF的面积＝△CDF的面积，∴四边形AEDF的面积＝×△ABC的面积＝12．11．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB，∴AC＝CD，∵CE垂直于AB于点E，∴AE＝ED；（2）解：∵AC＝CD＝AD＝AB，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD＝AC＝2，∵CE⊥AD，∴DE＝AE＝1．12．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，∴CD＝AD，DE⊥AC，∴∠A＝∠DCA＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，（2）∵∠B＝60°∴∠BCD＝∠B＝60°∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD＝AB，∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12．13．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，∴∠ABC＝62°，∴∠CBD＝180°﹣62°＝118°，∵BE平分∠CBD，∴∠EBC＝∠CBD＝59°，∴∠ABE＝62°+59°＝121°，∵DF∥BE，∴∠D＝∠ABE＝121°．14．解：∵AB＝AC＝4，∴∠B＝∠ACB＝15°，∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，∵∠D＝90°，∴CD＝AC＝2．15．解：（1）EF＝CF．证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是斜边AD的中点，∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF；（2）连接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝3，∴∠FEA＝∠F AE，∠FCA＝∠F AC，∴∠EFC＝2∠F AE+2∠F AC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴CE＝＝＝．16．解（1）∵△ABD是等边三角形，∠DBA＝60°，又∠ABC＝30°，∴∠DBC＝90°，∵∠ACB＝90°，AB＝2，∴BD＝AB＝2，AC＝AB＝1，BC＝＝，∴CD＝＝＝．∴CD的长为．（2）取AB的中点E，连接CE，∵∠ACB＝90°，AB＝2，CE＝AB＝1．又点C为AB下方的一动点，∴当CE⊥AB时，点C到AB的距离最大为1．（3）连接DE，∵△ABD为等边三角形，∴DE⊥AB，∵BD＝AB＝2，∴DE＝＝＝，根据三角形三边关系CD≤CE+DE＝1+，即C，D，E共线时，CD最大，∴CD的最大长度为1+，此时CD⊥AB，四边形ABCD的面积为AB•CD＝×2×（1+）＝1+，∴四边形ABCD的面积为：1+．17．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠DFE＝30°．（2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF，由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝8．又∵CE＝CF，∴CF＝8．∴DF＝DC+CF＝8+8＝16．18．证明：（1）连接BE，∵DB＝BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD．∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF＝；（2）[方法一]在△ABG中，AF＝BF，AG∥EF，∴EF是△ABG的中位线，∴BE＝EG．在△ABE和△AGE中，AE＝AE，∠AEB＝∠AEG＝90°，∴△ABE≌△AGE；[方法二]由（1）得，EF＝AF，∴∠AEF＝∠F AE．∵EF∥AG，∴∠AEF＝∠EAG．∴∠EAF＝∠EAG．∵AE＝AE，∠AEB＝∠AEG＝90°，∴△ABE≌△AGE．19．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．20．解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，∵CA＝CB，∠BEC＝∠CF A；∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．∵∠BCA＝180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CF A，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝|BE﹣AF|．（2）猜想：EF＝BE+AF．证明过程：∵∠BEC＝∠CF A＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CF A+∠CAF+∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF，EC＝F A，∴EF＝EC+CF＝BE+AF．。

北师大版八年级数学下册 第1章 三角形的证明 单元测试卷(含答案)

北师大版八年级数学下册 第1章 三角形的证明 单元测试卷(含答案)

北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝( )A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是( )A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是( )A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是( )A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为( )A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中( )A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是( )A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝( )A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是( )A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为km.18.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为.19.如图，已知△ABC的周长是22，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是.20.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF 折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5 cm，BD＝13 cm，AD＝12 cm，求△ABD的面积.22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA和OB交会于O点，在∠AOB的内部有蔬菜基地C和D，现要修建一个蔬菜转运站P，使转运站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两个蔬菜基地C，D的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)23.(本题10分)如图，点P为△ABC的BC边上一点，且PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，连接BD，求∠ABD的度数.24.(本题12分)如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.(1)判断△CED的形状，并说明理由；(2)若OC＝3，求CD的长.25.(本题12分)如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长.26.(本题14分)如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC.(1)若BC＝10 cm，试求出△PAO的周长；(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数；(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.27.(本题16分)如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动.(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间.参考答案一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝(D)A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是(A)A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是(B)A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是(A)A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为(A)A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(C)A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是(B)A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为(C)A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中(D)A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(B)A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是(A)A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是(C)A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝(B)A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是(D)A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是68__°.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为1__000km.18.如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC ，连接OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M19.如图，已知△ABC 的周长是22，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，且OD ＝3，△ABC 的面积是33.20.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是108__°.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝2.5 cm ，BD ＝13 cm ，AD ＝12 cm ，求△ABD 的面积.解：∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝2.5 cm ， ∴AB ＝2BC ＝5 cm.∵52＋122＝132，即AB 2＋AD 2＝BD 2， ∴△ABD 是直角三角形.∴S △ABD ＝12AB·AD ＝12×5×12＝30(cm 2).22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA 和OB 交会于O 点，在图中∠AOB 的内部有蔬菜基地C 和D ，现要修建一个蔬菜转运站P ，使转运站P 到两条公路OA ，OB 的距离相等，且到两个蔬菜基地C ，D 的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P 的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)解：如图所示.23.(本题10分)如图，点P 为△ABC 的BC 边上一点，且PC ＝2PB ，∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，CD ⊥AP ，连接BD ，求∠ABD 的度数.解：∵∠APC ＝60 °，CD ⊥AP ， ∴∠PCD ＝90 °－∠APC ＝90 °－60 °＝30 °. ∴PC ＝2PD.∵PC ＝2PB ，∴PB ＝PD. ∴∠PBD ＝∠PDB.又∵∠APC ＝∠PBD ＋∠PDB ，∴∠PBD ＝12∠APC ＝12×60 °＝30 °.∵∠ABC ＝45 °，∴∠ABD ＝∠ABC －∠PBD ＝45 °－30 °＝15 °.24.(本题12分)如图，∠AOB ＝60°，OC 平分∠AOB ，C 为角平分线上一点，过点C 作CD ⊥OC ，垂足为C ，交OB 于点D ，CE ∥OA 交OB 于点E.(1)判断△CED 的形状，并说明理由； (2)若OC ＝3，求CD 的长.解：(1)△CED 是等边三角形.理由如下： ∵OC 平分∠AOB ，∠AOB ＝60 °，∴∠AOC ＝∠COE ＝30 °. ∵CE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠COE ＝∠OCE ＝30 °，∠CED ＝60 °. ∵CD ⊥OC ，∴∠OCD ＝90 °. ∴∠EDC ＝60 °.∴△CED 是等边三角形.(2)∵△CED 是等边三角形，∴CD ＝CE ＝ED. 又∵∠COE ＝∠OCE ，∴OE ＝EC. ∴CD ＝ED ＝OE.设CD ＝x ，则OD ＝2x.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得：x 2＋9＝4x 2，解得x ＝ 3. 则CD ＝ 3.25.(本题12分)如图，△ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于点P ，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E. (1)求证：BD ＝CE ；(2)若AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，求AD 的长.解：(1)证明：连接BP ，CP.∵点P 在BC 的垂直平分线上，∴BP ＝CP. ∵AP 是∠DAC 的平分线，∴DP ＝EP ，在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝CP ，DP ＝EP ，∴Rt △BDP ≌Rt △CEP (HL )，∴BD ＝CE.(2)在Rt △ADP 和Rt △AEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AP ，DP ＝EP ，∴Rt △ADP ≌Rt △AEP (HL )，∴AD ＝AE.∵AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，∴6＋AD ＝10－AE ， 即6＋AD ＝10－AD.解得AD ＝2 cm.26.(本题14分)如图，在△ABC 中，MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC.(1)若BC ＝10 cm ，试求出△PAO 的周长； (2)若AB ＝AC ，∠BAC ＝110°，试求∠PAO 的度数；(3)在(2)中，若无AB ＝AC 的条件，你能求出∠PAO 的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：(1)∵MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC ， ∴AP ＝BP ，AO ＝CO.∴△PAO 的周长为AP ＋PO ＋AO ＝BO ＋PO ＋OC ＝BC. ∵BC ＝10 cm ，∴△PAO 的周长为10 cm.(2)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝110 °，∴∠B ＝∠C ＝12×(180 °－110 °)＝35 °.由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO. ∴∠BAP ＝∠B ＝35 °，∠CAO ＝∠C ＝35 °. ∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝110 °－35 °－35 °＝40 °. (3)能.理由如下： ∵∠BAC ＝110 °，∴∠B ＋∠C ＝180 °－110 °＝70 °.由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO.∴∠BAP ＝∠B ，∠CAO ＝∠C.∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝∠BAC －(∠B ＋∠C )＝110 °－70 °＝40 °.27.(本题16分)如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12 cm ，现有两点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1 cm /s ，点N 的速度为2 cm /s .当点N 第一次到达点B 时，M ，N 同时停止运动.(1)点M ，N 运动几秒后，M ，N 两点重合？(2)点M ，N 运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在，请求出此时M ，N 运动的时间.解：(1)设点M ，N 运动x 秒后，M ，N 两点重合，x ×1＋12＝2x ，解得x ＝12.(2)设点M ，N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，如图1，AM ＝t ×1＝t ，AN ＝AB －BN ＝12－2t.∵三角形△AMN 是等边三角形，∴t ＝12－2t ，解得t ＝4.∴点M ，N 运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形.由(1)知，12秒时M ，N 两点重合，恰好在C 处.如图2，假设△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形，∴AN ＝AM.∴∠AMN ＝∠ANM.∴∠AMC ＝∠ANB.∵AB ＝BC ＝AC ，∴△ACB 是等边三角形.∴∠C ＝∠B.在△ACM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，∠AMC ＝∠ANB ，AC ＝AB ， ∴△ACM ≌△ABN (AAS ).∴CM ＝BN.设当点M ，N 在BC 边上运动时，M ，N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形.∴CM ＝y －12，NB ＝36－2y ，由CM ＝NB ，得y －12＝36－2y ，解得y ＝16.故假设成立.∴当点M ，N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M ，N 运动的时间为16秒.。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题(含详细解析)

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题(含详细解析)

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．52．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= _________．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________度．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：几何图形问题．分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。

北师大版八年级下册数学 1.1---1.3基础同步练 (含答案)

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1.1等腰三角形一．选择题1．用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（）A．8cm B．12cm C．8cm或14cm D．14cm2．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．84．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对5．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE 的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．10°6．满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝α，则∠EDF等于（）A．90°﹣αB．45°+αC．90°﹣αD．45°+α8．如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.89．如图，E为△ABC的边AB上一点，AC＝BC＝BE，AE＝EC，BD⊥AC的延长线于点D，则∠CBD的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．15°10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二．填空题11．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝．12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是．13．等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC 的大小为度．15．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠A n+1B n B n+1＝θn，则θn＝．（用含α的式子表示）三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．17．如图，在△ABC中，点D在AC的垂直平分线上．（1）若AB＝AD，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数；（2）若AB＝AD，AC＝BC，求∠C的度数；（3）若AC＝8cm，△ABD的周长为15cm，求△ABC的周长．18．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD＝α，求∠ACD的度数．（2）在（1）的条件下，求∠BCF的大小；（用含α的式子表示）（3）判断△ACF的形状，并说明理由．参考答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．D6．B 7．A 8．A 9．A 10．A11．312．∠1＝2∠2．13．12cm．14．72．15．．16．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAE＝∠BAD＝28°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．17．（1）∵点D在AC的垂直平分线上，∴AD＝DC，在三角形ABD中，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣24°）×＝78°，在三角形ADC中，AD＝DC，∴∠C＝78°×＝39°；（2）设∠B＝x°．∵CA＝CB，∴∠A＝∠CAB＝x°，∵AB＝AD＝DC，∴∠B＝∠ABD＝x°，∠C＝x°，在△ABC中，x+x+x＝180，解得：x＝72，∴∠C＝×72°＝36°．故∠C的度数是36°；（3）如图，∵DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，∴DA＝DC，CE＝AE＝4（cm），∵△ABD的周长为15cm∴AB+BD+AD＝15（cm），即AB+BD+DC＝15（cm），∴AB+BC+AC＝15+8＝23（cm），∴△ABC的周长为23cm．18．（1）∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠CAD＝α，∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝90；（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：∴∠DAG+∠ADG＝90°，∵AD＝AC，∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，∵CF⊥AD于点E，∴∠DCE+∠ADG＝90°，∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，即∠BCF＝α；（3）△ACF是等腰三角形．理由：∵∠B＝45°，AG⊥BC，∴∠BAG＝45°，∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，∴∠BAC＝∠AFC，∴AC＝FC，∴△ACF是等腰三角形．1.2 勾股定理及其逆定理1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为( )A．40° B．30° C．20° D．10°3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )A ．48B ．60C ．76D ．80 5. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A ．30,40,50B ．7,12,13C ．5,9,12D ．3,4,6 6. 如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53 B ．52C ．4D ．5 7. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 8. 下列命题的逆命题是真命题的有( )①对顶角相等；②在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边的对角也相等；③不相交的两条直线叫做平行线；④有三个角对应相等的两个三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和10. 直角三角形两个锐角 (互余；互补)；有两个角互余的三角形是三角形．11. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；若三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是三角形．12. 下列命题中，其逆命题成立的是 (只填写序号)．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．13．命题“两个全等直角三角形的面积相等”的逆命题是．，这个命题是．14．命题“对顶角相等”的逆命题是，该逆命题是(填“真”或“假”)命题．15．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为或 cm2.16．有一个三角形两边长为4和5，若使三角形为直角三角形，则第三边长为或 .17. 写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a 是偶数，b 是偶数，那么a ＋b 是偶数．18. 如图所示，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC ＝14BC.求证：∠EFA ＝90°.19. 如图，∠MAN ＝60°，若△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，求BC 的取值范围.20. 如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h.问：多长时间后这个人距B送奶站最近？答案：1---9 BCDCA CCCC10. 互余直角11. 斜边平方直角12. ①④13. 如果两个直角三角形的面积相等 那么它们全等 假命题14. 相等的角是对顶角 假15. 126 66 16. 3 4117. 解：(1)逆命题为：同位角相等，两直线平行(真命题)；(2)逆命题为：如果a ＋b 是偶数，那么a 为偶数，b 为偶数(假命题)．18. 证明：设正方形边长为4a ，则有AE 2＝AB 2＋BE 2，EF 2＝EC 2＋CF 2，AF 2＝DF 2＋AD 2，即AE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a 2，EF 2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，AF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a 2，∴AE 2＝AF 2＋EF 2，∴∠AFE＝90°.19. 解：3＜BC ＜2320. 解：过B 作BD⊥CD 于D ，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝15，AB ＝17， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形．∵∠1＝30°，∴∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝12BC ＝7.5km ，∴时间为7.5÷2.5＝3h.1.3《线段的垂直平分线》一．选择题1．到△ABC 三个顶点的距离相等的点是△ABC （ ）A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条高的交点2．如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处3．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm5．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠BCE 等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°6．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°7．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB 于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对二．填空题8．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝cm．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝20°，则∠C＝．10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，AB+AC＝20cm，则△ABD的周长为cm．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为．三．解答题13．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．14．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，添加什么条件可得AD垂直平分BC？证明你的判断．15．已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点P．求证：点P在BC 的垂直平分线上．16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．18．在△ABC中，DE，HG分别为AB、AC的垂直平分线，与BC交于E、G两点，D、H 分别为垂足，直线DE、HG交于点F．（1）若BC＝12，求△AEG的周长；（2）若∠DFH＝80°，求∠EAG的度数．参考答案一．选择题1．解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点．故选：C．2．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC 的垂直平分线上，故选：B．3．解：连接CE，∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，∵DE垂直平分BC，∴∠BCE＝∠B＝15°，BE＝CE，∴∠ACE＝∠BCA﹣∠BCE＝75°﹣15°＝60°，∵Rt△AEC中，∠ACE＝∠BCA＝60°，AC＝8cm，∴∠AEC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝2AC＝16cm，∵BE＝CE，∴BE＝16cm．故选：C．4．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），∵△ADC的周长为9cm，∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），故选：D．5．解：∵∠A＝30°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠ECA＝∠A＝30°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝80°﹣30°＝50°，故选：C．6．解：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣35°＝60°，故选：A．7．解：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，又∵OE＝OE，∴Rt△AOE≌Rt△COE，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD轴对称，∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，综上所述，全等三角形共有4对．故选：D．二．填空题8．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA，∵PA＝4cm，∴PB＝4cm．故答案为4cm．9．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，∴∠AEB＝70°，∴∠C+∠CAE＝70°，故答案为：35°．10．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．11．解：∵l是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20（cm），故答案为：20cm．12．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，连接AM，AN，∵ME是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，∴CM＝2AM＝2BM，∴3BM＝BC＝12cm，∵BM＝4cm，同理可得，CN＝4，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案为：4cm．三．解答题13．解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．14．解：添加：AB＝AC，理由：∵∠1＝∠2，∴BD＝CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴当A在线段垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．15．证明：连接PA、PB、PC，∵l1是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∵l2是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，∴PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上．16．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，∵△ABC的周长为21cm，∴AB+BC+AC＝21cm，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，∴AC＝8cm，∴AE＝4cm．17．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．18．解：（1）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC＝12，∴△AEG的周长是12．（2）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴∠DAE＝∠B，∠HAG＝∠C，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠DFH＝80°，∴∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠DAE+∠HAG＝80°，∵∠DAE+∠HAG+∠EAG＝∠BAC＝100°，∴∠EAG＝40°．。

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4(含答案)

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4(含答案)

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4（含答案）1．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD＝CA，D在BC上，∠ADE＝45°，E 在AB上，则∠BED的度数是（）A．60°B．75°C．80°D．85°2．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连接AD，则△ACD与△ADB的面积比为（）A．1B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若AD＝4，则DC的值为（）A．1B．1.5C．2D．35．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（）A．4B．6C．8D．106．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°7．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．98．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是（）A．B．C．2D．9．如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60°D．GF平分∠DGE10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点P在△ABC内，连结P A，PB，PC，若∠1＝∠2＝∠3，且P A＝1，则PB的长是．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以△ABC的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上，则这个等腰三角形的腰长为．12．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为°．14．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠2＝70°，∠1＝．15．如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝．16．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．17．如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．18．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于E，OD＝4cm，则PE＝．19．如图，点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，则△CMN是三角形．20．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是11，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝．21．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I．（1）若AC＝10，求HI的长度；（2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC，求证：∠ECD＝∠EDC．22．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝6cm，求AD的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝1，求AB的值．24．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．25．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．26．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．27．已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．（1）求证：EF⊥DA．（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．28．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．29．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF垂直平分AD．30．（1）如图，D是△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点，G，H分别是AD，EF的中点，求证：GH⊥EF．（2）若（1）中的∠ABC＝90°，其它条件不变，求的值．参考答案1．解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，又∵CD＝CA，∴△ACD中，∠DAC＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，又∵∠ADE＝45°，∴∠BED＝∠ADE+∠DAE＝45°+30°＝75°，故选：B．2．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，∴∠A＝∠BCD＝30°，∴BC＝2BD＝4cm，AB＝2BC＝8cm，故选：C．3．解：∵D是AB的垂直平分线与BC的交点，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD＝30°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴Rt△ACD中，CD＝AD＝BD，∴△ACD与△ADB的面积比为，故选：B．4．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝4，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD＝2，故选：C．5．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．6．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C．7．解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．8．解：取AB的中点F，连接CF、OF．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵∠AOB＝90°，AF＝FB，∴OF＝FC＝AB＝1，∵OC≤OF+CF，∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2．故选：C．9．解：∵BD、CE是高，点G是BC的中点，∴GE＝BC，GD＝BC，∴GE＝GD，A正确，不符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF⊥DE，B正确，不符合题意；∠DGE的度数不确定，C错误，符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF平分∠DGE，D正确，不符合题意；故选：C．10．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠PBC＝∠ACP，∴△APC∽△CPB，∴＝＝，在等腰△ABC中，＝，∵AP＝1，∴PC＝，∴PB＝3，故答案为3．11．解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，当MA＝MC时，作MT⊥AC，∵MT∥BC，AT＝TC，∴AM＝MB＝2，∴等腰三角形AMC的腰长为2，当AC＝AM′＝2时，等腰三角形ACM的腰长为2，故答案为2或2．12．解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．13．解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝35°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．故答案为：20．14．解：∵a∥b，∴∠3＝∠2＝70°，∴∠1＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．15．解：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，由三角形的外角的性质可知，∠C＝∠ADE﹣∠DEC＝50°，∴∠B＝∠C＝50°，∵EF⊥AB，∴∠EFC＝90°，∴∠FEB＝90°﹣50°＝40°，则∠FED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故答案为：50°．16．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AB，∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．故答案为：．17．解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故答案为：5．18．解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∴PE＝PF＝2cm．故答案为：2cm．19．解：∵点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，∴CM＝AB，CN＝AB，∴CM＝CN，∴△CMN是等腰三角形；故答案为：等腰．20．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝BC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，由勾股定理知AF＝＝＝＝．故答案为：．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，如图1，过F作FD∥AB，交BC于D，过F作FN∥BC，交AC于N，∴∠FDC＝∠ABC＝60°，∴∠FDC＝∠ACB＝∠CFD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF，∵AC＝BC，∴AF＝BD，∵BG＝AF，∴BD＝BG，∵BI∥DF，∴GI＝FI，∵FN∥BG，∴∠FNI＝∠GBI，在△FNI和△GBI中，∵，∴△FNI≌△GBI（AAS），∴NI＝BI，FN＝BG，∴FN＝AF，∵FH⊥AB，∴AH＝HN，∴HI＝HN+NI＝AB＝×10＝5；（2）证明：解法一：如图2，延长CD至P，使BC＝DP，连接AP、EP，∴BD＝CP，∵AE＝BD，∴AE＝CP，在△ACP和△CAE中，∵，∴△ACP≌△CAE（SAS），∴AP＝CE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴BP＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△ABP和△DPE中，∵，∴△ABP≌△DPE（SAS），∴AP＝ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC．解法二：如图3，延长CD至P，使BC＝DP，连接EP，∴BD＝PC＝AE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴EB＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△EBC和△EPD中，∵，∴△EBC≌△EPD（SAS）∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝6cm，∴AD＝2cm．23．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，又CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1，可得BC＝2BD＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则AB＝2BC＝4．24．解：（1）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，∴DM⊥BE，∴M是BE的中点；（2）由题意可知，BD＝DE＝，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝1，AB＝AC＝2CD＝2，则△ABD的周长AB+AD+BD＝3+．25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠PBC＝30°，∵PE⊥AB于点E，∴∠BEP＝90°，∴PE＝BP，∵QF为线段BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2×2＝4，∴PE＝×4＝2；（2）△EFP是直角三角形．理由如下：连接PF、EF，如图所示：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．26．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．27．解：（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝AE＝BC，∴∠EDA＝∠EAD，∵DC∥AE，∴∠ADC＝∠EAD，∴∠ADC＝∠EDA，∵DF＝DE，∴EF⊥DA；（2）∵BC＝4，∴DE＝BC＝2，∵DE＝AE，，∴DO＝AD＝，在Rt△DEO中，EO＝＝1，∵DF＝DE，∴EF＝2EO＝2．28．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．29．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴EF垂直平分AD．30．解：（1）如图所示，连接EG，FG，∵E是BD的中点，G是AD的中点，∴EG是△ABD的中位线，∴EG＝AB，同理可得，GF是△ACD的中位线，∴GF＝CD，又∵CD＝AB，∴GE＝GF，又∵H是EF的中点，∴GH⊥EF；（2）如图所示，当∠ABC＝90°时，∵EG是△ABD的中位线，∴EG∥AB，∴∠GEB+∠ABE＝180°，∴∠GEB＝90°，∵GF是△ACD的中位线，∴GF∥BC，∴∠EGF＝∠GEB＝90°，又∵GE＝GF，∴△GEF是等腰直角三角形，又∵H是EF的中点，∴GH＝EF，即的值为。

2022-2023学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试卷含答案

2022-2023学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试卷含答案

北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》测试卷（含答案）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设( ) A ．至少有一个内角是直角 B ．至少有两个内角是直角 C ．至多有一个内角是直角 D ．至多有两个内角是直角2．如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A ．25°B ．65°C ．70°D ．75°3．在△ABC 中，已知∠A ＝∠B ＝45°，BC ＝2，则AB 的长为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．44．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A ．7B ．11C ．7或11D ．7或105．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝1，BC ＝2，则四边形ABCD 的面积是( )A.332B ．3C ．2 3D ．46. 如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE.若AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为( )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．17． 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB ，且AD 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，则下列说法错误的是( )A．∠CAD＝30° B．AD＝BDC．BE＝2CD D．CD＝ED8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是()A.32 B.25 3 C.33 D.34二．填空题（共8小题，3*8=24）11．命题“两条直线相交只有一个交点”的逆命题是____________________________________，它是________________命题．12. 如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到D点，则橡皮筋被拉长了________．13． 如图，AB ∥CD ，O 为∠BAC ，∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于点E ，且OE ＝1，则AB 与CD 之间的距离等于_______．14．如图，△ABC 的周长为32，且AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，△ACD 的周长为24，那么AD 的长为________．15． 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是__________.16．如图，在等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，且AD ＝4，E 是AB 边的中点，点P 在AD 上运动，则PB ＋PE 的最小值是________．17．等腰三角形ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为点D ，且BD ＝12AC ，则等腰三角形ABC 底角的度数为________．18． AB 与CD 相交于点O ，AB ＝CD ，∠AOC ＝60°，∠ACD ＋∠ABD ＝210°，则线段AB ，AC ，BD 之间的等量关系式为_________________.三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 如图，点D ，E 在△ABC 的BC 边上，AB ＝AC ，AD ＝AE.求证：BD ＝CE.20．(8分) 如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.21．(8分) 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE.(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．22．(10分) 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．23．(10分) 如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至点Q，P为BQ上一点，连接CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8，求PQ的长．24．(10分) 在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线DP交AB于点P，交BC于点D，且AE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DF与AE交于点G，求证：EG＝EC.25．(12分) 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.点D是CA延长线上一点，连接BD，点E是BD 上一点，连接CE交AB于点F，BD＝CF.(1)如图①，当点E是BD的中点时，若BC＝4，求AF的长；(2)在(1)的条件下，如图②，连接AE，求证：DE＋EF＝2AE.图①图②参考答案1-5BBCCA 6-10DCDBC11. 只有一个交点的两条直线一定相交；真 12. 2cm 13. 2 14. 8 15. 5 16．417．45°或15°或75° 18. AB 2＝AC 2＋BD 219. 证明：过点A 作AP ⊥BC 于P.∵AB ＝AC ，∴BP ＝PC ，∴AD ＝AE ，∴DP ＝PE ，∴BP －DP ＝PC －PE ，∴BD ＝CE20. 证明：∵∠BAE ＝∠DAC ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，即∠CAB ＝∠EAD. 又∵AB ＝AD ，AC ＝AE ， ∴△ABC ≌△ADE(SAS)． ∴∠C ＝∠E.21. 解：(1)证明：∵∠A ＝∠ABE ，∴EA ＝EB.∵AD ＝DB ，∴DF 是线段AB 的垂直平分线． (2)∵∠A ＝46°，∴∠ABE ＝∠A ＝46°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝67°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝21°，∠F ＝90°－∠ABC ＝23°.22. 解：(1)设底边长为x cm ，则腰长为2x cm.依题意，得2x ＋2x ＋x ＝18，解得x ＝185，∴2x ＝365.∴三角形三边的长为185 cm ，365 cm ，365cm(2)若腰长为4 cm ，则底边长为18－4－4＝10 cm.而4＋4＜10，所以不能围成腰长为4 cm 的等腰三角形．若底边长为4 cm ，则腰长为12(18－4)＝7 cm.此时能围成等腰三角形，三边长分别为4 cm ，7 cm ，7 cm23. 解：(1)证明：∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，且∠ACB ＝∠DCE ＝60°，即∠ACD ＋∠DCB ＝∠DCB ＋∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)作CH ⊥BQ 于点H ，图略．则PQ ＝2HQ.在Rt △BHC 中，由(1)得∠CBH ＝∠CAO ＝30°，∴CH ＝12BC＝4，在Rt △CHQ 中，HQ ＝CQ 2－CH 2＝52－42＝3，∴PQ ＝2HQ ＝6. 24. 解：如图所示：连接AD ，∵∠B ＝22.5°，且DP 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∴∠B ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝2∠B ＝45°，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝45°，∴∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ，∵AE ⊥DE ，∴∠1＋∠2＝90°，∵DF ⊥AC ，∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠C.在△DEG 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠C ，∠DEG ＝∠AEC ＝90°，DE ＝AE ，∴△DEG ≌△AEC(AAS)，∴EG ＝EC25. 解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BC ＝4，∴AB ＝AC ＝2 2. ∵BD ＝CF ，AB ＝AC ，∴Rt △BAD ≌Rt △CAF(HL)，∴∠DBA ＝∠ACF. ∵∠EFB ＝∠AFC ，∴∠BEF ＝∠FAC ＝90°，∴CE ⊥BD.∵BE ＝DE ，∴CB ＝CD ＝4， ∴AF ＝AD ＝CD －AC ＝4－2 2.(2)作AM ⊥BD 于点M ，AN ⊥EC 于点N.∵△BAD ≌△CAF ，∴AM ＝AN ，∴∠AEM ＝∠AEN ＝45°，∴AM ＝EM ＝EN ＝AN.∵AD ＝AF ，AM ＝AN ，∴Rt △AMD ≌Rt △ANF(HL)，∴DM ＝FN ，∴DE ＋EF ＝EM ＋DM ＋EN －FN ＝2EM ，∵AE ＝2EM.∴DE ＋EF ＝2AE.。

北师大版数学八年级下册：1.2 直角三角形 同步练习(附答案)

北师大版数学八年级下册：1.2 直角三角形 同步练习(附答案)

2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为（）A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．9．下列定理中，没有逆定理的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为．12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（）A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是（）A．HL B．ASAC．AAS D．SAS第1题图第2题图2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．75°第3题图第4题图4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：∠ABC＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（）11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长为．第12题图第13题图13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝时，△ABC和△PQA全等．14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.(1)求证：AE＝CF，MD＝MB；(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．参考答案：2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.又∵在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE，∴∠AED＝∠CFE.又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，∵AD＝13，BD＝12，AB＝5，∴AB2＋BD2＝AD2.∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°.∴S阴影＝S△ABD－S△ABC＝12AB·BD－12BC·AC＝30－6＝24.9．下列定理中，没有逆定理的是(C)A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是(B)A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB 于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.∴b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k ＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS第1题图 第2题图2．如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是(A) A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝ACD ．∠B ＝45°3．如图，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝(B) A ．40° B ．50° C ．60°D ．75°第3题图 第4题图4．如图，点D ，A ，E 在直线l 上，AB ＝AC ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，且BD ＝AE.若BD ＝3，CE ＝5，则DE ＝8．5．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC ＝BD.求证：∠ABC ＝∠BAD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠ACB ＝∠BDA ＝90°. 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)． ∴∠ABC ＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是(A)A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC＝90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB第12题图 第13题图13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，线段PQ ＝AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP ＝5或10时，△ABC 和△PQA 全等．14．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF.(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ； (2)若∠CAE ＝30°，求∠ACF 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，⎩⎨⎧AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)． (2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°.∴∠BAE ＝∠CAB －∠CAE ＝45°－30°＝15°. 由(1)知Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝15°＋45°＝60°.15．如图1，E ，F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F.若AB ＝CD ，BF ＝DE ，BD 交AC 于点M.(1)求证：AE ＝CF ，MD ＝MB ；(2)当E ，F 两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF －EF ＝CE －EF ，即AE ＝CF. ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEM ＝∠BFM ＝90°.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.(2)AE ＝CF ，MD ＝MB 仍然成立．证明： 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.。

2020-2021学年 北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 之直角三角形综合练(一)

2020-2021学年 北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 之直角三角形综合练(一)

北师大版下册第一章《三角形的证明》之直角三角形综合练（一）1．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE ∥DF．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足D，延长CE 与外角∠ABG的平分线交于点F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90）直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F．（3）在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数，请直接写出∠CQH的度数．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠DEC＝25°，求∠B的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．5．我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题．（1）请你写出这个定理的逆命题是；（2）下面我们来证明这个逆命题：已知：如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．求证：△ABC为直角三角形．请你写出证明过程：6．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD上的点，连接EF，GH．①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．7．在△AOB中，∠AOB＝90°，点C为直线AO上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E．（1）若点C在线段AO上，如图1．①依题意补全图1；②求∠BEC的度数；（2）当点C在直线AO上运动时，∠BEC的度数是否变化？若不变，请说明理由；若变化，画出相应的图形，并直接写出∠BEC的度数．8．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．9．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．10．锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上．①如果DE∥BC，那么DE＝BC②如果DE＝BC，那么DE∥BC．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．11．如图，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，在AB上取点F，过A作AB的垂线，使得AD＝BF，连接BD，CD、CF，CE是∠ACB的角平分线，交BD于点M，交AB于点E．（1）若AC＝6，AF＝4．求BD的长：（2）求证：2CM＝AF12．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．（1）直接写出∠ADB的度数是；（2）求证：BD＝AB；（3）若AB＝2，求BC的长．13．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？参考答案1．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．2．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，∴∠CBD＝126°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝63°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°，∴DF∥BE3．解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝75°，∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝75°﹣45°＝30°．（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣90°+n°＝n°﹣45°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝45°+n°∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝n°．（3）如图，∵FH⊥CG，∴∠FHC＝90°，∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠A＝∠DCB＝n°，∵CQ平分∠DCB，∴∠QCH＝n°，∴∠CQH＝90°﹣n°．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝25°，∴∠BDE＝50°，又∵DE⊥AB，∴Rt△BDE中，∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵DE＝DC，AD＝AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE＝AC，∴点D在CE的垂直平分线上，点A在CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线．5．解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（2）∵CD是△ABC的中线∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC为直角三角形．6．解：①成立，②不成立；理由如下：①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图1所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∴∠OGQ+∠OQG＝90°，∵EF⊥GH，∴∠PFQ+∠PQF＝90°，∵∠OQG＝∠PQF，∴∠OGQ＝∠PFQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在△EFN和△HGM中，，∴△EFN≌△HGM（ASA），∴EF＝GH；②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图2所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在Rt△EFN和Rt△HGM中，，∴Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），∴∠OGQ＝∠PFQ，∵∠OGQ+∠OQG＝90°，∠OQG＝∠PQF，∴∠PQF+∠PFQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴EF⊥GH；作GH关于GM的对称线段GH'，则GH'＝GH＝EF，显然EF与GH'不垂直；综上所述，若EF＝GH，则必有EF⊥GH．不成立．7．解：（1）①图形如图所示．②设∠EBO＝∠EBC＝x，∠OCE＝∠ECK＝y．则有：，可得∠E＝×90°＝45°．（2）如图，当点C在OA的延长线上时，结论∠BEC＝135°．理由：∵∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∵∠EBC＝∠OBC，∠ECB＝∠OCB，∴∠EBC+∠ECB＝×90°＝45°，∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°．如图当点C在AO的延长线上时，同法可证：∠BEC＝135°．8．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°，∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝45°，∴∠CFD＝45°，∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，设∠ABG＝x，∠CDF＝y，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，∴y＝，同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，∴∠A＝2∠G；（3）如图3，∵EF∥AD，∴∠DFE＝∠CDF，由（2）得：∠CFD＝∠CDF，△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠G+∠FBG，∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．9．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．10．解：①∵锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，DE∥BC，∴AE＝EB，即DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC故①正确；②令E为AB中点，可以在AB上取到一点F，使DF＝DE，但DF与BC不平行．故②错误．11．解：（1）∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝12∵AF＝4，∴BF＝AB﹣AF＝12﹣4＝8，∴AD＝BF＝8，在Rt△ADB中，BD＝＝4；（2）∵AC＝CB，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴AE＝BE＝CE＝AB，CE⊥AB，∵∠DAB＝∠MEB＝90°，∠DBA＝∠MBE，∴△MBE∽△DBA，∴＝＝，∴ME＝AD，∴ME＝BF，∵CE＝AB，∴CM+ME＝（BF+AF），∴CM+BF＝BF+AF，∴CM＝AF，即AF＝2CM．12．解：（1）∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠ECD＝15°，∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°故答案为75°．（2）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵∠ADB＝75°，∴∠A＝75°，∴∠A＝∠ADB，∴AB＝DB．（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．∵DF⊥BC，∴∠DFB＝∠DFC＝90°，∵∠DBF＝30°，∴DF＝BD，∵BD＝AB＝2，∴DF＝1，∴FB＝，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠DBC＝30°，∴∠ECB＝60°，∵∠ECD＝15°，∴∠DCB＝45°，∴∠DCF＝∠FDC＝45°，∴FD＝FC＝1，∴BC＝．13．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．。

2022年最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题测试练习题(含详解)

2022年最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题测试练习题(含详解)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题是真命题的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度C．有两个角是60°的三角形是等边三角形D．在△ABC中，2∠=∠=∠，则ABC为直角三角形A B C2、下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．所有的直角三角形都是全等三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形3、下列命题成立的有（）个．①等腰三角形两腰上的中线相等；②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形全等；③三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形使点C落在AB边上的点E 处，折痕为BD．则△AED的周长为7cm；④AD是△ABC的角平分线，则S△ABD：S△ACD＝AB：AC．A ．1B ．2C ．3D ．44、如图，在△AAA 中，AD 是角平分线，且AD AC =，若60BAC ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．52°D ．58°5、如图，Rt△ABC 中，∠C ＝90°，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE ＝BD ；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ．若CG ＝1，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A ．无法确定B ．12C ．1D ．26、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，AD ，CE 是△ABC 的两条中线，CE ＝4cm ，P 是AD 上的一个动点，则BP +EP 的最小值是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．10cm7、下列各组数据中，能构成直角三角形的三边的长的一组是（ ）A ．1，2，3B ．4，5，6C ．5，12，13D ．13，14，158、下列以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ）A ．a ＝1，b ＝1，c ＝√2B ．a ＝2，b ＝3，c ＝√13C ．a ＝3，b ＝5，c ＝7D ．a ＝6，b ＝8，c ＝109、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，AB =13，AB 边的垂直平分线分别交AB 、AC 于N 、M 两点，则△BCM 的周长为（ ）A ．18B ．16C ．17D ．无法确定10、如图，等腰△AAA 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，上午9时，一艘船从小岛A 处出发，以12海里/时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B 处，若从灯塔C 处分别测得小岛A 、B 在南偏东34°、68°方向，则小岛B 处到灯塔C 的距离是______海里．2、如图，已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA =______．3、等腰△AAA 的顶角为30°，腰长为8，则△AAA 的面积为______．4、如图，△AAA 是等腰直角三角形，AB 是斜边，以BC 为一边在右侧作等边三角形BCD ，连接AD 与BC 交于点E ，则BED ∠的度数为______度．5、如图，在△AAA 中，AB AC =，70BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠的度数为________．∠沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OECC三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图所示，校园里有两条路AA,AA，在交叉口附近有两块宣传牌A,A，学校准备在这里（∠AAA内部）安装一盏路灯，要求灯柱A离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置A．（不写过程，保留作图痕迹）2、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ACD是等边三角形，E为△ABC内一点，AC=CE，∠BAE=15°，AD与CE相交于点F．（1）求∠DFE的度数；（2）求证：AE=BE．3、如图，在△ABC中， AB＝AC，AD是△ABC的中线，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EC．求证：CE平分∠ACB．4、在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）在线段OA上找一点P，使得PA2-PO2=OB2，用直尺和圆规找出点P；（2）若A的坐标（0，6），点B的坐标（3，0），求点P的坐标．5、数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．下面是小路设计的尺规作图过程．作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．根据小路设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)（2）完成下面的证明：证明：连接BD，BC，∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝，( )（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠，( )（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．-参考答案-一、单选题1、C【分析】分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定，直角三角形的判定即可判断．【详解】A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；B.三角形的内角和为180°，故此选项错误；C.有两个角是60°，则第三个角为180606060︒-︒-︒=︒，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；D.设C x ∠=，则2A B x ∠=∠=，故22180x x x ++=︒，解得36x =︒，所以72A B ∠=∠=︒，36C ∠=︒，此三角形不是直角三角形，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的定义以及三角形内角和，掌握相关概念是解题的关键．2、B【分析】根据全等三角形的性质，等边三角形的性质判断即可．【详解】解：A 、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误；B 、全等三角形的周长和面积分别相等，该选项正确；C 、所有的直角三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；D 、所有的等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等形的概念，全等三角形的性质是解题的关键．3、C【分析】利用等腰三角形的性质、全等三角形的判定、折叠的性质及角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①等腰三角形两腰上的中线相等，故原命题正确；②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误；③三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．如图：由折叠知：BC=BE=6，CD=DE，则△AED的周长为AD+DE+AE=AD+CD+AB-BE= AC+AB-BC=7cm，故原命题正确；④AD是△ABC的角平分线，则S△ABD：S△ACD＝AB：AC，故原命题正确，成立的有3个，故选：C．【点睛】要题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、全等三角形的判定、折叠的性质及角平分线的性质，难度不大．4、A【分析】根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．【详解】解：∵AD是角平分线，60∠=︒，BAC∴∠DCA=12BAC=30°，∵AD=AC，∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，故选：A．【点睛】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．5、C【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．由作图可知，GB平分∠ABC，∵GH⊥BA，GC⊥BC，∴GH＝GC＝1，根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理，尺规作图作角平分线，掌握角平分线的性质是解题的关键．6、B【分析】连接CE交AD于点P，则BP+EP的最小值为CE的长．【详解】如图，连接CE交AD于点P，∵AB＝AC，AD是BC的中线，∴AD⊥BC，∴BP＝CP，∴BP+EP＝CP+EP≥CE，∴BP+EP的最小值为CE的长，∵CE＝4cm，∴BP+EP的最小值为4cm，故选：B．【点睛】本题是典型的将军饮马问题，考查了等腰三角形三线合一的性质和两点间线段最短知识，关键是把BP+EP的最小值转化为CP+EP的最小值，从而根据两点间线段最短解决最小值的问题．7、C【分析】先计算两条小的边的平方和，再计算最长边的平方，根据勾股定理的逆定理判断解题．【详解】解：A.2221+23≠，不是直角三角形，故A 不符合题意；B. 2224+56≠，不是直角三角形，故B 不符合题意；C. 2225+12=13，是直角三角形，故C 不符合题意；D. 22213+1415≠，不是直角三角形，故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8、C【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【详解】解：A 、22211+=，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；B 、22223+=，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；C 、222357+≠，该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；D 、2226810+=，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．9、C【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA，根据三角形的周长的计算方法代入计算即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，∴由勾股定理得，5BC=，∵MN是AB的垂直平分线，∴MB=MA，∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17，故选C．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．10、A【分析】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC 是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC 上截取AE ＝PA ，∵∠PAE ＝180°﹣∠BAC ＝60°，∴△APE 是等边三角形，∴∠PEA ＝∠APE ＝60°，PE ＝PA ，∴∠APO +∠OPE ＝60°，∵∠OPE +∠CPE ＝∠CPO ＝60°，∴∠APO ＝∠CPE ，∵OP ＝CP ，在△OPA 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OPA ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，∴AB ＝AO +AP ，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．二、填空题1、20【分析】根据所给的角的度数，容易证得BCA∆是等腰三角形，而AB的长易求，所以根据等腰三角形的性质，BC的值也可以求出．【详解】解：据题意得，34∠=︒，DBC∠=︒，68A∠=∠+∠，DBC A C∴∠=∠=︒，34A C∴=，AB BC51220AB=⨯=，3∴=（海里）．BC20故答案是：20．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法．2【分析】延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，根据勾股定理求出AD ，根据重心的概念计算即可．【详解】解：延长AG 交BC 于D ，∵G 是三角形的重心，∴AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，由勾股定理得，AD =，∴GA =23AD 故答案为：3．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．3、16【分析】过点B 作BD ⊥AC ，利用30°所对的直角边是斜边的一半，可求出BD ，然后求面积即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥AC ，∵∠A =30°，AB =AC =8，∴BD =12AB =4，∴S △ABC =12BD ·AC =16故答案为：16．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质：30°所对的直角边是斜边的一半和面积的求法，掌握构造辅助线的方法是解决此题的关键．4、75【分析】由题意，ACD △是等腰三角形，然后求出CAE ∠的度数，再根据三角形的外角性质，即可求出BED ∠的度数．【详解】解：∵ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BC ，∠ABC =∠BAC =45°，∠ACB =90°，∵△BCD 是等边三角形，∴BC =CD ，∠BCD =60°，∴AC =CD ，∠ACD =90°+60°=150°，∴ACD △是等腰三角形， ∴1(180150)152CAE CDE ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∴451530BAE ∠=︒-︒=︒，∴304575BED BAE ABE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；故答案为：75．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出15CAE CDE ∠=∠=︒．5、140°【分析】连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA ＝OB ，根据等边对等角可得∠ABO ＝∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB ＝OC ，再根据等边对等角求出∠OCB ＝∠OBC ，根据翻折的性质可得OE ＝CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图：连接OB 、OC ，∵∠BAC ＝70°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO ＝12∠BAC ＝12×70°＝35°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝12（180°−∠BAC ）＝12（180°−70°）＝55°，∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝35°，∴∠OBC ＝∠ABC −∠ABO ＝55°−35°＝20°，∵AO 为∠BAC 的平分线，AB ＝AC ，∴OB ＝OC ，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB＝∠OBC＝20°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝20°，在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−20°−20°＝140°，故答案为：140°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．三、解答题1、见详解【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．【详解】解：连结CD，作CD的垂直平分线，和∠AOB的平分线，两线交于P，如图，点P为所作．【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．2、（1）∠DFE=90°；（2）见解析【分析】（1）先求得∠BAD=30°，∠BAE=∠EAD=15°，即可求得∠EAC=75°，由AC=CE，可求得∠EAC=∠AEC=75°，即可求得∠DFE=90°；（2）在Rt△AFC中，求得∠FCA=30°，AC=2AF=AB，过点E作EG⊥AB于点G，求得AG=AF，得到BG=AG，即可得到△ABF为等腰三角形，即可证明AE=BE．【详解】解：（1）∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD=90°-60°=30°，∵∠BAE=15°，∴∠BAE=∠EAD=15°，∴∠EAC=90°-15°=75°，∵AC=CE，∴∠EAC=∠AEC=75°，∴∠DFE=∠EAD+∠AEC=15°+75°=90°；（2）由（1）得∠DFE=90°，即∠AFC=∠AFE=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，AB=AC，∴∠FCA=30°，∴AC =2AF ，即AB =2AF ，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∵∠BAE =∠EAD =15°，且∠EFA =90°，EG ⊥AB ，∴EG =EF ，又AE = AE ，∴Rt △EAG ≌Rt △EAF (HL )，∴AG =AF ，∴AB =2AG ，∴BG =AG ，又EG ⊥AB ，∴△ABF 为等腰三角形，∴AE =BE ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．3、见解析【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，从而得到△BDE ≌△CDE ，进而得到∠DCE =∠DBE ，再由BE 平分∠ABC ，可得12DBE ABC ∠=∠ ，进而得到12DCE ACB ∠=∠，即可求证．【详解】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，∵DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴∠DCE=∠DBE，∵BE平分∠ABC，∴12DBE ABC∠=∠，∴12DCE ABC ∠=∠，∴12DCE ACB ∠=∠，∴CE平分∠ACB．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．4、（1）见解析；（2）（0，94）【分析】（1）连接AB，作AB的垂直平分线交OA于点P，连接PB，可得PA=PB，根据勾股定理可得PA2-PO2=OB2即可；（2）根据A的坐标（0，6），点B的坐标（3，0），可得OA=6，OB=3，所以PA=PB=OA-OP=6-OP，根据勾股定理可得PB2-OP2=OB2，进而可得OP的长，得点P的坐标．【详解】解：（1）如图，点P即为所求；（2）∵A的坐标（0，6），点B的坐标（3，0），∴OA=6，OB=3，∴PA=PB=OA-OP=6-OP，∵PB2-OP2=OB2，∴（6-OP）2-OP2=32，解得OP=94，∴点P的坐标为（0，94）．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．5、（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC；等边对等角．【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；(2)解：证明：连接BD，BC，∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键．。

北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)

北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)
到△AOB≌△COD，理由是（ A ）
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.

北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明同步练习题

北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明同步练习题

新北师大版八年级下学期《第一章三角形的证明》同步测试题一、选择题1、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设【】A、a不垂直于cB、a，b都不垂直于cC、a⊥bD、a与b相交2、有下列四个命题：①等腰三角形两腰上的中线相等，②等腰三角形两腰上的高相等，③等腰三角形两底角的平分线相等，④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 正确的命题的个数有【】 A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，△A BC中，∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，BD=5，DC=m，则AC是【】A、4B、m-5C、5D、m+54、下列图形中，两个三角形一定全等的是【】A、含80°角的两个锐角三角形 B、边长为20cm的两个等边三角形 C、腰长对应相等的两个等腰三角形 D、有一个钝角对应相等的两个等腰三角形5、在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，第一步应假设【】A、三角形中至少有一个直角或钝角B、三角形中至少有两个直角或钝角C、三角形中没有直角或钝角D、三角形中三个角都是直角或钝角6、下列命题中正确的个数是【】①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合；④只有两条边相等的等腰三角形是轴对称图形，对称轴有1条.A、1个B、2个 C、3个 D、4个7、等腰三角形的一个外角是120°，一边长为acm，那么它的周长是【】A、3acmB、2acmC、acmD、无法确定8、如图，在∠AOB的两边上截取AO=BO,CO=DO，连接AD,BC交于点P，则下列结论正确的是：(1)△AOD≌△BOC；(2)△APC≌△BPD；(3)点P在∠AOB的平分线上【】A、只有(1) B、只有(2)C、只有(1)(2)D、(1)(2)(3)9、如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，作法如下：(1)作OB的垂线NH，使NH=a，H为垂足.(2)过N作NM∥OB.(3)作∠AOB的平分线OP，与NM交于P.(4)点P即为所求.其中(3)的依据是【】A、平行线之间的距离处处相等 B、到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C、角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D、到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上10、△ABC中，若，则此三角形为【】三角形. A、等腰B、直角C、等腰直角 D、等边11、如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为【】 A、B、1 C、2 D、不确定12、已知等边三角形的面积是，则它的高是【】A、cmB、cmC、cmD、cm13、Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①BE+CF=BC；②；③=AD·EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【】A、1个B、2个C、3个D、4个14、如图所示，AD平分∠BAC，AD=BD，AC=AB，则【】A、AC⊥CDB、AC=2CDC、AC=BDD、BD=2CD15、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止.设点M运动的路程为x，，则y关于x的函数图象大致为【】A、B、C、D、二、填空题16、等边三角形的每个内角都等于______________________.17、如图，已知∠A=∠D=90°，若要依据“HL”证明△ABC≌△DCB，应添加条件_________ ___________ _____；若要依据“AAS”证明△ABC≌△DCB，应添加的条件是_________________________________.18、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是__________________.19、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=____________.20、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为边BC、AB、AC上的点，且BE=CD，CF=BD.若∠A=40°，则∠EDF=______°.21、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_______________度．22、△ABC中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FA，则∠A=______°．23、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且2AE=AB+AD，∠ADC=146°，则∠BCE=___________°.三、解答题24、(1)小丽同学说“每一个定理不一定都有逆定理，因为逆命题不一定正确.”你认为她的说法正确吗？如果不正确，应如何改正？25、写出命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题，并判定这对互逆命题的真假.26、如下图所示，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形.27、如图，△ABC中，∠A=60°，高BD、CE交于M，MD=5，ME=7. 求BD、CE的长.28、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AD+BD=BC.四、证明题29、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．30、如图所示，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E.求证：BE=EC.31、写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：“等角对等边”)．已知：如图，____________________________________．求证：______________________________________________________．证明：32、如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：∠B=∠C.33、如图，△ABC中，从点C向∠BAC的平分线引垂线，垂足为点E，设AE交BC于点D，且AB=AD.求证：.五、应用题34、如图是某市部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、E、F、G、H为“公共汽车”停靠点，“公共汽车甲”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“公共汽车乙”从B站出发，沿F、H、E、D、C、G的顺序到达G站.如果甲、乙分别从A、B 站同时出发，在各站耽误的时间忽略不计，两车的速度一样，试问哪一辆汽车先到达指定站？为什么？35、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 D D C B B D A D B C B C C A B题号16 17 18 19 20 21 22 23答案60AB=DC或AC=DB；∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC顶角平分线所在直线100°7070或2020 5624)、解：她的说法正确，理由如下：命题有真假命题之分，而定理是经过证明后得出的正确的命题，命题正确时逆命题不一定正确，即定理的逆命题不一定是真命题，所以虽然每个命题都有逆命题，但每个定理不一定存在逆定理，只有当原定理的逆命题是真命题时，原定理的逆命题才能称为逆定理.25)、【解答】1、逆命题：“如果两条直线互相平行，那么这两条直线都与第三条直线平行”，该命题是假命题；而原命题是真命题.26)、【解答】1、因为CD平分∠ACB，∠ACB=120°，所以∠ACE=180°-∠ACB=60°，且.因为AE∥DC，所以∠ACD=∠CAE，∠BCD=∠E.所以∠CAE=∠E=∠ACE=60°.所以△ACE是等边三角形.27)、【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°.又∵∠A=60°，∴∠ABD=90°-60°=30°，同理可得∠ACE=30°，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，∠BEM=90°，∴BM=2ME.∵ME=7，∴BM=14.同理由MD=5，得CM=2MD=10，∴BD=BM+MD=19，CE=CM+EM=10+7=17. CE取点F，使DE=DF.∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C==40°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE=20°.∵在△ABD和△EBD中，AB=EB，∠ABD=∠DBE，BD=BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=100°，∴∠DEF=180°-100°=80°.∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF=80°，∴∠BDF=180°-80°-20°=80°，∴BD=BF，∠DFC=180°-80°=100°，∴∠FDC=180°-100°-40°=40°，∴DF=FC，∴DF=FC=DE=AD，∴BC=BF+FC=BD+AD.29)、【解答】1、证明：假设在一个三角形中，这两个不等的角所对的边相等，根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．30)、【解答】1、证明：因为AB=AC，BD=DC，AD=AD，所以∠BAE=∠CAE.又因为AB=AC，所以BE=EC.31)、【解答】解：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.证明：过点A作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC．32)、【解答】1、∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.又∵BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，∴(Rt)△DEB≌(Rt)△DFC(HL).∴∠B=∠C.33)、【解答】1、分别延长AB，CE交于点F.∵AE平分∠FAC，∴∠FAE=∠CAE.∵∠FAE=∠CAE，∠AEF=∠AEC=90°，AE=AE，∴△AEF≌△AEC(AS A)，∴AF=AC，EF=EC.又过点E作EG∥AF，交BC于点G，∴，∠ABD=∠DGE.∵AB=AD，∠ABD=∠ADB=∠GDE=∠DGE，∴DE=EG，∴AE=AD+DE=AB+EG====. 所以△ABC与△ECD均为等边三角形，且∠ACE=60°.在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，CD=CE，所以△ACD≌△BCE(SAS).所以AD=BE，∠1=∠2.在△BCF和△ACG中，∠1=∠2，BC=AC，∠BCF=∠ACG=60°，所以△BCF≌△ACG(ASA).所以CF=CG.又因为DE+EC=ED+CD，所以AD+DE+EC+CF=BE+ED+CD+CG.即甲、乙两车同时到达指定站.35)、【解答】1、解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理有AB=10.扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，可求CD=CB =6.得△ABD的周长为32m.②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4.由勾股定理，得.得△ABD的周长为m.如图③，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理，得.得△ABD 的周长为m.====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====。

北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 达标测试卷(含答案)

北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 达标测试卷(含答案)

第一章三角形的证明达标测试卷一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A．2，3，4 B．3，4，5C．4，6，7 D．5，11，122．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，则∠B的度数是()A．50°B．65°C．80°D．130°3．对于命题“若x2＞y2，则x＞y”，能说明它是假命题的反例是() A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－1，y＝－2C．x＝2，y＝1 D．x＝1，y＝24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A．5 B．6 C．8 D．10(第4题)(第5题)5．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是()A．AE＝DF B．∠A＝∠DC．∠B＝∠C D．AB＝DC6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是()A．∠CAD＝30°B．AD＝BDC．BE＝2CD D．CD＝ED7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CF A的度数是()A．100°B．105°C．110°D．120°(第7题)(第8题)(第10题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是() A．30°B．35°C．40°D．45°9．已知△ABC(AC<BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使P A＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是()10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，连接EF，则下列四个结论：①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③DA平分∠EDF;④AD垂直平分EF.其中结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．12．命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是________________________，该逆命题是______命题(填“真”或“假”)．13．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C 向上拉升3 cm到D，则橡皮筋被拉长了________cm.(第13题)(第14题)14．如图，正方形的网格中，网格线的交点称为格点，已知点A，B是两个格点，若C点也是格点，且使△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数为________个．15．如图，△ABC中，AB＋AC＝6，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC 于点E，连接CD，则△ACD的周长为________．(第15题)(第16题)16．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC 的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)318．(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C 作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．19．(8分)如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．20．(8分)如图，AB⊥CD于B，CF交AB于E，CE＝AD，BE＝BD.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)求证：CF⊥AD；(3)当∠C＝30°，CE＝8时，直接写出线段AE、CF的长度．21．(10分)如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：5(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由；(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．22．(10分)已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点D为BC的中点．(1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，试探究BE和AF之间的数量关系，并说明四边形AEDF的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由；(2)如果点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．答案一、1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C7.C 8．C点拨：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ACB ＝12×(180°－30°)＝75°.∵∠1＝∠A＋∠AED＝145°，∴∠AED＝145°－30°＝115°.∵a∥b，∴∠AED＝∠2＋∠ACB.∴∠2＝115°－75°＝40°.9．D10.D二、11.110°12.等腰三角形是等边三角形；假13.214．815.616．4 7点拨：如图，在AB上截取AE′＝AE＝4，连接CE′，CE′与AD交于点M，连接ME，易知此时EM＋CM的值最小，即为线段CE′的长度．过点C 作CF⊥AB，垂足为F.∵△ABC是等边三角形，∴AF＝12AB＝6，∴CF＝AC2－AF2＝6 3，E′F＝AF－AE′＝2，∴CE′＝CF2＋E′F2＝4 7.三、17.解：如图，△PBD为所求作的三角形．18．(1)证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.∴△BDE≌△CDF(AAS)．7(2)解：∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝2.∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3.∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AC ＝AB ＝3.19．(1)证明：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB .∵BE ，CD 是两条高，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°.又∵BC ＝CB ，∴△BDC ≌△CEB (AAS)．∴∠DBC ＝∠ECB .∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．(2)解：点O 在∠BAC 的平分线上．理由：∵△BDC ≌△CEB ，∴DC ＝EB .∵OB ＝OC ，∴OD ＝OE .又∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°，∴点O 在∠BAC 的平分线上．20．(1)证明：∵AB ⊥CD ，∴∠CBE ＝∠ABD ＝90°.在Rt △CBE 和Rt △ABD 中，⎩⎨⎧CE ＝AD ，BE ＝BD ，∴Rt △CBE ≌Rt △ABD (HL)，(2)证明：∵Rt △CBE ≌Rt △ABD ，∴∠C ＝∠A .∵∠AEF ＝∠CEB ，∴∠AFE ＝∠CBE ＝90°，∴CF ⊥AD .(3)解：AE ＝4 3－4，CF ＝6＋2 3.21．解：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直．理由如下：∵点Q 到达点C 时，BQ ＝BC ＝6 cm ，∴t ＝62＝3.∴AP ＝3 cm.∴BP ＝AB －AP ＝3 cm ＝AP .∴点P 为AB 的中点．∴PQ ⊥AB .(2)能．∵∠B ＝60°，∴当BP ＝BQ 时，△BPQ 为等边三角形．9 ∴6－t ＝2t ，解得t ＝2.∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形．22．解：(1)BE ＝AF ，四边形AEDF 的面积为定值．理由：如图①所示，连接AD .∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD ＝45°.∵点D 为BC 的中点，∴AD ＝12BC ＝BD ，∠F AD ＝45°.∵∠BDE ＋∠EDA ＝90°，∠EDA ＋∠ADF ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF .在△BDE 和△ADF 中，⎩⎨⎧∠EBD ＝∠F AD ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF (ASA)，∴BE ＝AF ，S △ADF ＝S △BDE ，∴S 四边形AEDF ＝S △ADE ＋S △ADF ＝S △ADE ＋S △BDE ＝S △ABD ＝12×12×4×4＝4， ∴四边形AEDF 的面积是定值，定值为4.(2)BE ＝AF ，理由如下：连接AD ，如图②所示．∵∠ABD ＝∠BAD ＝45°，∴∠EBD ＝∠F AD ＝135°.∵∠EDB ＋∠BDF ＝90°，∠BDF ＋∠FDA ＝90°，∴∠EDB ＝∠FDA .在△EDB 和△FDA 中，⎩⎨⎧∠EBD ＝∠F AD ，BD ＝AD ，∠EDB ＝∠FDA ，∴△EDB≌△FDA(ASA)，∴BE＝AF.。

(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(答案解析)(2)

(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(答案解析)(2)

一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．18,2A AD BD ∠=︒=B ．18,A AD BC BD ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒= D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+2．在ABC 中，已知::5:12:13AC BC AB =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ．若ABC 的面积为S ，则ACD △的面积为（ ）A ．14SB ．518SC ．625SD ．725S 3．已知如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，OC ，以下四个结论：①AD ＝BE ；②△CPQ 是等边三角形；③AD ⊥BC ；④OC 平分∠AOE ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．③④C ．①②③D ．①②④ 4．如图，在ABC 中，PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，且分别与AB 交于点M ，N 连接CM ，CN ．有下列四个结论：①P A B ∠=∠+∠；②ACB MCN P ∠=∠+∠；③ACB ∠与P ∠是互为补角；④MCN △的周长与AB 边长相等其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高线长为4，则底边长是（ ） A ．3 B ．20 C ．3或20 D ．20或80 6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ．若∠A ＝30°，AE ＝10，则CE 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 7．在下列命题中，真命题是（ ）A ．同位角相等B ．到线段距离相等的点在线段垂直平分线上C ．三角形的外角和是360°D ．角平分线上的点到角的两边相等8．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H ．下列结论：①BE BCE S S =△A △；②2BAG ACF ∠=∠；③AFG AGF ∠=∠；④BH CH =．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①②③C ．②③④D ．①②③④ 9．如图，ABC 中，BAC 60∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分ADF ∠；④2AB AC AE +=．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③④C ．①②④D ．②④ 10．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120∠=︒BDEC ．DE BD = D ．DE AB = 11．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm 12．如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 交DC 于点F ，下列结论：①CD =BE ；②FA 平分∠DFE ；③∠BFC =120°；④AFE EFC S AF S FC∆∆=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，6cm AC =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，连接BD ．则ABD △的面积最大值为_________2cm ．14．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长为___________．15．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，有下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC 各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠︒；④()12AD AB AC BC =+-．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．16．如图，在第1个1A BC 中，30B ∠=︒，1A B CB =；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △，按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是________．17．三角形的三边长分别为2，5，3，则该三角形最长边上的中线长为_______ 18．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，△ABC 的面积为60，AB ＝16，BC ＝14，则DE 的长等于_____．19．如图所示，在ABC 中，AB AC =，BAD ∠=α，且AE AD =，则EDC ∠=______．20．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD △的高．若83AB AC +=，24ABC S =，120EDF ∠=︒，则AD 的长为______．三、解答题21．如图，直线2y kx =-与x 轴，y 轴分别交于B 、C 两点，且1OB =．（1）求k 的值；（2）若点(,)A x y 是第一象限内的直线2y kx =-上一个动点，当点A 运动到什么位置时，AOB 的面积是1；（3）在（2）成立的情况下，在x 轴上是否存在一点P ，使POA 是等腰三角形?若存在，请直接写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，四边形ABCD ，BC ∥AD ，P 为CD 上一点，PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ， （1）若∠BAD=80°，求∠ABP 的度数；（2）求证：BA=BC+AD ；（3）设BP=3a ，AP=4a ，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，求AE 的长（用含a 的代数式表示）23．如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，连结AE 和CD ，交点为M ，AE 交BD 于点P ，CD 交BE 于点Q 连结PQ ．(1)求证：△ABE ≌△DBC ；(2)求∠AMC 的度数；(3)求证：△PBQ 是等边三角形24．如图．在△ABC 中，∠C =90 °，∠A =30°．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，连接EB ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB 平分∠ABC ．（3）求证：AE=EF．25．阅读下列材料，完成相应任务．三角形中边与角之间的不等关系学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．如图1，在△ABC中，已知AB＞AC＞BC．求证：∠C＞∠B＞∠A．证明：如图2，将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的点C′处，折痕AD交BC于点D．则∠A C′D=∠C．∵∠A C′D=∠B+∠BDC′（依据1）∴∠A C′D＞∠B∴∠C＞∠B（依据2）如图3，将△ABC折叠，使边CB落在CA上，点B落在CA上的点B′处，折痕CE交AB于点E．则∠CB′E=∠B．∵∠CB′E=∠A+∠AEB′∴∠CB′E＞∠A∴∠B＞∠A∴∠C＞∠B＞∠A．归纳总结：利用轴对称的性质可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题是常用的方法．类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题．如图1，已知△ABC中，∠C＞∠B＞∠A．求证：AB＞AC＞BC．下面是智慧小组的证明过程（不完整）．证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．则CF =BF （依据3）在△ACF 中，AF +CF ＞AC ，∴AF +BF ＞AC ，∴AB ＞AC ；…任务一：①上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？依据1： ；依据2： ；依据3： ．②上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是_____________；（填正确选项的代码） A ． 转化思想 B ． 方程思想 C ． 数形结合思想任务二：请将智慧小组的证明过程补充完整，并在备用图中作出辅助线．任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有__________（将正确的代码填在横线处）．①在△ABC 中，AB ＞BC ，则∠A ＞∠B ；②在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，∠C =89°，则△ABC 是锐角三角形；③Rt △ABC 中，∠B =90°，则最长边是AC ；④在△ABC 中，∠A =55°，∠B =70°，则AB =BC ．26．如图，已知点D 、E 是△ABC 内两点，且∠BAE ＝∠CAD ，AB ＝AC ，AD ＝AE ．（1）求证：ABD ACE △≌△．（2）延长BD 、CE 交于点F ，若86BAC ∠=︒，20ABD ∠=︒，求BFC ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设∠ABC=∠C=2x ，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF ，BC=BE=EF ，在△BDC 中利用内角和定理列出方程，求出x 值，可得∠A ，再证明AF=EF ，从而可得AD=BC+BD ．【详解】解：∵AB=AC ，BD 平分∠ABC ，设∠ABC=∠C=2x ，则∠A=180°-4x ，∴∠ABD=∠CBD=x ，第一次折叠，可得：∠BED=∠C=2x ，∠BDE=∠BDC ，第二次折叠，可得：∠BDE=∠FDE ，∠EFD=∠ABD=x ，∠BED=∠FED=∠C=2x ，∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，∴x+2x+60°=180°，∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，∴∠A=20°，∴∠EFD=∠EDB=40°，∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，∴AF=EF=BE=BC ，∴AD=AF+FD=BC+BD ，故选D ．【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，再根据AAS 得出ACD AED ≅，从而得出ACD △的面积=AED 的面积和BE 的长，继而得出AED 的面积和BED 的面积比，即可得出答案【详解】解：∵::5:12:13AC BC AB =，设AC=5k ，BC=12k ，AB=13k ，∴AC 2+BC 2=AB 2∴ABC 为直角三角形，∠C=90°，∵AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，∴∠CAD=∠BAD ，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD ，∴ACD AED ≅， ∴△△S S =ACD AED ，AE=AC=5k ，∴BE=13k-5k=8k ，∵AED 和BED 同高， ∴8:5△BE △S :S =D AED ，∵ABC 的面积为S ， ∴518△S =ACD S ． 故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，根据同高得出8:5△BE △S :S =D AED 是解题的关键．3．D解析：D【分析】先由SAS 判定△ACD ≌△BCE ，证得①正确；再由ASA 证△ACP ≌△BCQ ，得到CP ＝CQ ，②正确，同理证得CM ＝CN ，得到④正确；易得③不正确．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，∴∠ACB +∠BCD ＝∠BCD +∠ECD ，∠BCD ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ，故①正确；∠CAD ＝∠CBE ，∵∠BCA ＝∠BCD ＝60°，AC ＝BC ，∴△ACP ≌△BCQ （ASA ），∴CP ＝CQ ，又∵∠PCQ ＝60°，∴△CPQ 是等边三角形，故②正确；过C 作CM ⊥BE 于M ，CN ⊥AD 于N ，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC ，∵CD ＝CE ，∠CND ＝∠CMA ＝90°，∴△CDN ≌△CEM （AAS ），∴CM ＝CN ，∵CM ⊥BE ，CN ⊥AD ，∴OC 平分∠AOE ，故④正确；当AC ＝CE 时，AP 平分∠BAC ，则∠PAC ＝30°，此时∠APC ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，则AD ⊥BC ，故③不正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．4．D解析：D【分析】根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，即可判定④正确．【详解】解：∵PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，∴90CDP ∠=︒，90CEP ∠=︒，又∵360P AC DP B C CE P ∠∠+∠=∠++︒，∴180P ACB ∠=︒∠+，故结论③正确；又∵180AC A B B ∠+︒∠+∠=， ∴P A B ∠=∠+∠，故结论①正确； 直线PD 是AC 的垂直平分线，AM CM ∴=，∴A ACM ∠=∠同理，NB NC =，B BCN ∠=∠，∵AC MC ACB M N N BC ∠∠+∠∠=+，∴M ACB N A C B ∠∠∠=+∠+，∴ACB MCN P ∠=∠+∠，故结论②正确； AMN △的周长为MC MN NC =++，∴AMN 的周长=AM MN NB AB ++=，故结论④正确；综上所述，①②③④正确，共4个．故选D ．本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．D解析：D【分析】需分等腰三角形的顶角是钝角和等腰三角形的顶角是锐角两种情况解答即可．【详解】解：如图：（1）当顶角是钝角时，在Rt△ACO中，由勾股定理可得AO2=AC2-OC2=52-42=9∴AO=3，即OB=AB+AO=5+3=8在Rt△BCO中，由勾股定理可得BC2=OB2+OC2=82+42=80,则BC=80；（2）顶角是锐角时在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=AC2-DC2=52-42=9，∴AD=3，DB=AB-AD=5-3-2在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=22+42=20,则BC=20；综上，该等腰三角形的底的长度为20或80．故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和分情况讨论思想是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE＝5，再根据角平分线的性质求出CE＝DE＝5即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，在Rt△ADE中，∠A＝30°，AE＝10，∴DE＝1AE＝5，2∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝5，故选：A．本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．C解析：C【分析】直接利用同位角的定义及线段垂直平分线的判定、多边形的外角和、角平分线的性质等知识分别判断得出答案．【详解】解：A.同位角相等，错误，是假命题；B.不是到线段距离相等的点在线段垂直平分线上，而是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是假命题；C.三角形的外角和是360°，是真命题；D.角平分线上的点到角的两边的距离相等，不是角平分线上的点到角的两边相等，是假命题．故选：C．【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．8．B解析：B【分析】根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD＝∠ACB，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠DAC，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．【详解】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠BAG＝2∠ACF，故②正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．9．C解析：C【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．∴②正确．③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC 是否等于60°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．10．D解析：D【分析】因为△ABC 是等边三角形，又BD 是AC 上的中线，所以有∠ADB ＝∠CDB ＝90°，且∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∠ACB ＝∠CDE ＋∠DEC ＝60°，又CD ＝CE ，可得∠CDE ＝∠CED ＝30°，所以就有∠CBD ＝∠DEC ，即DE ＝BD ，∠BDE ＝∠CDB ＋∠CDE ＝120°.由此得出答案解决问题．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB ＝60°，∵BD 是AC 上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．11．A解析：A【分析】作MN⊥AD于N，如图，先利用四边形内角和计算出∠DAB＝60°，再根据角平分线的性质得到MC＝MN，接着证明MN＝MB，然后根据角平分线的性质的逆定理判断AM平分∠DAB，从而得到∠MAB的度数，进而即可求解．【详解】解：作MN⊥AD于N，如图，∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°，∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，∴MC＝MN，∵M点为BC的中点，∴MC＝MB=12BC=12×20=10cm，∴MN＝MB，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线的性质定理的逆定理，以及直角三角形的性质，添加辅助线，是解题的关键． 12．A解析：A【分析】过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，证明△ADC ≌△ABE ，可判断①，再证明AM =AN ，结合AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，可判断②，证明∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，结合三角形的外角的性质可判断③，证明∠FAN =∠FCH =30°， 利用含30的直角三角形的性质与勾股定理可得： 33,,22AN AF HC FC == 再利用三角形的面积公式可判断④．【详解】解：过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴AD =AB ，AE =AC ，∠DAB =∠EAC =60°，∴∠DAC =∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD =BE ，∠AEB =∠ACD ，故①正确∵△ADC ≌△ABE ，∴AM =AN ．∵AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，∴AF 平分∠DFE ，故②正确．∵∠AEB =∠ACD ，∴∠AEC +∠ACE =120°=∠AEB +∠BEC +∠ACE ，∴∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，∴∠BFC =∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，故③正确，∴∠DFE =120°，∴∠DFA=∠EFA=60°=∠CFE．∵AN⊥BE，CH⊥EF，∴∠FAN=∠FCH=30°，∴2,,2,, AF FN AN FC FH HC======∴,,22AN AF HC FC==∴12.12AEFEFCEF AN AFS AN AFS CH FCEF CH⨯⨯====⨯⨯故④正确．故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题13．cm2【分析】过点作于点作于点连接由直角三角形的性质可得cmcmcm由可证△△可得由三角形面积公式可求则时有最大值【详解】解：cmcmcmcm当点从点滑动到点时得△过点作于点作于点连接且且△△当时有解析：cm2【分析】过点D作D N AC'⊥于点N，作D M BC'⊥于点M，连接BD'，AD'，由直角三角形的性质可得BC=，AB=，ED DF==cm，由“AAS”可证△D NE''≅△D MF''，可得D N D M''=，由三角形面积公式可求111222AD BS BC AC AC D N BC D M'''=⨯+⨯⨯-⨯⨯△，则E D AC''⊥时，AD BS'△有最大值．【详解】解：6AC=cm，30A∠=︒，45DEF∠=︒，BC∴==cm，AB=，ED DF==cm，当点E从点A滑动到点C时，得△E D F'''，过点D作D N AC'⊥于点N，作D M BC'⊥于点M，连接BD'，AD'，90MD N'∴∠=︒，且90E D F'''∠=︒，E D NF D M''''∴∠=∠，且90D NE D MF''''∠=∠=︒，E D D F''''=，∴△D NE''≅△()D MF AAS''，D N D M''∴=，AD B ABC AD C BD C S S S S '''=+-△△△△当E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值，1111123(623)2222AD B S BC AC AC D N BC D M D N ''''∴=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⨯△ AD B S '∴△最大值1123(623)32(1239236)2=-⨯=cm 2． 故答案为：(1239236)cm 2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定AD B S '△有最大值时的图形位置是本题的关键．14．【分析】由已知条件利用线段的垂直平分线的性质得到AD ＝CDAC ＝2AE 结合周长进行线段的等量代换可得答案【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线∴AD ＝CDAC ＝2AE ＝6cm 又∵ABD 的周长＝AB+B解析：19cm【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD ＝CD ，AC ＝2AE ，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，∴AD ＝CD ，AC ＝2AE ＝6cm ，又∵ABD 的周长＝AB +BD +AD ＝13cm ，∴AB +BD +CD ＝13cm ，即AB +BC ＝13cm ， ∴ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝13+6＝19cm ．故答案为：19cm ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．15．①②③④【分析】由在△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 根据角平分线的定义与三角形内角和定理即可求得③正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+解析：①②③④【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③1902BOC A∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④根据求得答案，即可得到④正确．【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°12-∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．∴AM=AD，BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC-BC）故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．16．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1∠EA3A2及∠FA4A3的度数找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数【详解析：1175 2n-⎛⎫⨯︒ ⎪⎝⎭【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A n 为顶点的底角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C=1802B︒-∠=75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°；同理可得，∠EA3A2=（12）2×75°，∠FA4A3=（12）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n-1×75°．故答案为：（12）n-1×75°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．17．【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解；【详解】由题知∴三角形是直角三角形3是斜边长∴最长边上的中线长为；故答案是【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定解析：3 2【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解；【详解】由题知222 293+==，∴三角形是直角三角形，3是斜边长，∴最长边上的中线长为32； 故答案是32． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理逆定理和直角三角形的形状，准确分析计算是解题的关键． 18．【分析】过点D 作DF ⊥BC 垂足为F 根据角平分线的性质得到FD=DE 再利用面积求DE 即可【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 垂足为F ∵BD 是△ABC 的角平分线DE ⊥ABDF ⊥BC ∴FD=DEDE=4故答案为解析：【分析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，根据角平分线的性质得到FD=DE ，再利用面积求DE 即可．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴FD=DE ，182ABD SAB DE DE =⋅=， 172CBDS BC DF DE =⋅=， ABC ABD DBC S S S =+△△△，8760DE DE +=，DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE ． 19．【分析】根据等边对等角和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论【详解】解：根据题意：在△ABC 中AB=AC∴∠B=∠C∵AE=AD∴∠ADE=∠AED∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC化简可得解析：1 2α【分析】根据等边对等角，和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论．【详解】解：根据题意：在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC，化简可得：∠α=2∠EDC，∴∠EDC=12α，故答案为：12α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定理，关键是熟悉三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的知识点．20．【分析】先证明△ADE≌△ADF可得：DE＝DF∠ADE＝∠ADF＝=×120°=60°再利用面积法求出DE的值再根据直角三角形的性质即可解决问题【详解】解：∵DEDF分别是△ABD和△ACD的高∴解析：【分析】先证明△ADE≌△ADF，可得：DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，再利用面积法求出DE的值，再根据直角三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，∴S△ABC＝12•AB•DE＋12•AC•DF＝12•DE（AB＋AC）＝24，∵AB AC+=∴DE＝∵∠ADE＝∠ADF＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝故答案是：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）k=2；（2）当点A在（2，2）时，AOB的面积是1；（3）满足条件的所有P点的坐标为P1（-0），P2（0），P3（4，0），P4（2，0）．【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；利用三角形的面积求出点A坐标；（3）设出点P（m，0），表示出AP，OP，计算出OA，分三种情况讨论计算即可得出点P 坐标．【详解】解：（1）∵OB=1，∴B（1，0），∵点B在直线y=kx-2上，∴k-2=0，∴k=2；（2）由（1）知，k=2，∴直线BC解析式为y=2x-2，∵点A（x，y）是第一象限内的直线y=2x-2上的一个动点，∴y=2x-2（x＞1），∴S=S△AOB=12×OB×|y A|=12×1×|2x-2|=x-1，∵△AOB的面积是1；∴x=2，∴A（2，2），∴当点A在（2，2）时，AOB的面积是1；（3）设点P（m，0），∵A（2，2），∴OA=，∴OP=|m|，AP=2(2)4m -+，①当OA=OP 时，∴22=|m|，∴m=±22，∴P 1（22-，0），P 2（22，0），②当OA=AP 时， ∴22=2(2)4m -+，∴m=0或m=4，当m=0时，点P 与点O 重合，不能组成三角形，舍去，∴P 3（4，0），③当OP=AP 时，∴|m|=2(2)4m -+，∴m=2，∴P 4（2，0），即：满足条件的所有P 点的坐标为P 1（22-，0），P 2（20），P 3（4，0），P 4（2，0）．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出点A 的坐标．22．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=52a 或EA=3910a 【分析】（1）由PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ，∠BAD=80°，在Rt APB ∆中即可求得．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，可得AB=AH ，可证△BCP ≌△HDP ，可得BC=DH ，从而结论可证．（3）过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，可能有两种情况，延长BP 交AE 延长线于H ，每种情况都可依据角平分线的性质，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，则PI=PG ；然后通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵PA 平分∠BAD 且∠BAD=80°，∴∠BAP=∠DAP=40°；又∵∠BPA=90°∴∠ABP+∠BAP=90°，故∠ABP=50°．（2）延长BP交AD延长线于H，∵PA平分∠BAD，∴∠BAP=∠DAP而∠BPA=90°=∠HPA，∴∠ABP=∠AHP，∴AB=AH；∵AP⊥BH，∴BP=PH；∵BC//AH，∴∠PBC=∠H；而∠BPC=∠HPD；∴△BCP≌△HDP（ASA）；∴BC=DH，故AB=AH=AD+DH=AD+BC．（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=12 EF；在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；∴ AB=5a，EP=52a；∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP⋅=⋅，∴ PI=125a=PG；在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，∴ EG=710a；在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，∴ GH=95a；∴ EH=52a；∴ EA=AH-EH=52a．②延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，由①得GH=95a，EG=710a；∴ EH=1110a；∴ EA=3910a．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．23．(1)见解析；(2) 120°；(3) 见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；（2）由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BDC，由三角形外角的性质和三角形内角和可求AMC的度数；（3）由“ASA”可证△ABP≌△DBQ，可得BP=BQ，即可证△PBQ是等边三角形．【详解】解：（1）∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE 和△DBC 中，AB DB ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），（2）∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE=∠BDC ，∵∠BDC+∠ACD=∠ABD=60°∴∠BAE+∠ACD=60°∴∠AMC=180°-∠BAE-∠ACD=120°（3）在△ABP 和△DBQ 中，60BAE BDC AB DBABP DBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP=BQ ，且∠PBQ=60°∴△BPQ 为等边三角形，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．24．见解析【分析】（1）先作线段AB 的垂直平分线DE ，再延长BC 即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE ，得到答案； （3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC ，证得BE=EF ，又因为AE= BE ，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE= BE∴AE=EF【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．25．任务一：①依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②A；任务二：见解析；任务三：②③④【分析】任务一：①根据三角形的外角性质、等量代换以及三角形中等角对等边性质即可写出依据；②根据分析过程渗透的思想为转化的思想方法；任务二：仿照推导AB＞AC的方法证明AC＞BC即可证明结论正确；任务三：根据结论“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等边对等角”进行判断即可解答．【详解】解：任务一：①根据推导过程可知：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等量代换；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②根据推导过程体现了转化的数学思想方法，故选：A；任务二：智慧小组的证明过程补充如下：证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．则CF=BF，（等边对等角）在△ACF中，AF+CF＞AC，∴AF+BF＞AC，∴AB＞AC；同理，如图，在∠ABC的内部，作∠ABG=∠A，BG交AC于点G，如图，则AG=BG在△BCG中，BG+CG＞BC，∴BG+CG＞BC，∴AC＞BC∴AB＞AC＞BC．任务三：①∵AB＞BC，∴∠C＞∠A，错误；②∵在△ABC中，AB＞BC＞AC，∠C=89°，∴∠C＞∠A＞∠B，又∠C=89°＜90°，∴△ABC是锐角三角形，正确；③∵Rt△ABC中，∠B=90°，则最长边是斜边AC，正确；④∵在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣55°﹣70°=55°，∴∠A=∠C∴AB=BC，正确，故答案为：②③④．。

北师大版八年级数学下册直角三角形全等的判定同步练习题

北师大版八年级数学下册直角三角形全等的判定同步练习题

1.2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定一、选择题:1. 两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.A.6个B.5个C.4个D.3个12A BCD第2题图 第5题图 第7题图 第8题图7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠8. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（ ）BAEFCDA．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．∠B=45°二、填空题:9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”.10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________.11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．第11题图第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______第14题图第15题图第16题图14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形.15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP=_______时，△ABC≌△APQ．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=________cm .17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为__________m.第17题图第18题图三、解答题:19. 如图，,于点，，平分交于点，请=⊥=∠AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．20.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证: Rt△AB E≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.21. 如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．22. 已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.BAE CD23. 如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?B AE MF D参考答案一、选择题1.D2.B3.B4.B5.C6.C7.C8.A二、填空题9. 斜边,直角边,HL 10. SSS 、ASA 、AAS 、SAS 、HL 11. BP=DP 或AB=CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ． 12.ABC,DCB,HL,AOB,DOC,AAS. `13. 45° 14. 3 15. 4或8 16. 7 17. 90° 18. 500三、解答题19.解：（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）. （2）以△ADB ≌ADC 为例证明． 证明：,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.在Rt ADB △和Rt ADC △中，,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.20.解：（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)(2) ∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠AC B=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.21.（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，∵∠A=∠A ，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC ， ∴△ACD ≌△ABE ， ∴AD=AE ．（2）互相垂直，在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ， ∴△ADO ≌△AEO ， ∴∠DAO=∠EAO ，即OA 是∠BAC 的平分线， 又∵AB=AC ， ∴OA ⊥BC ．22.证明：∵BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E ∴∠ADB=∠AEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD ∴∠ABD=∠CAE 在△ABD 和△CAE 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE(AAS) ∴BD=AE,AD=CE ∵AE=AD+DE ∴BD=CE+DE23. 解：(1)EM=FM(2)作EH ⊥AM,垂足为H,FK ⊥AM,垂足为K 先说明Rt △EHA ≌Rt △ADB 得EH=AD Rt △FKA ≌Rt △ADC 得FK=AD 得EH=FK在Rt △EHK 与Rt △FKM 中,Rt △EHM ≌Rt △FKM 得EM=FM.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方2 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..则菱形ABCD的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P，再随机摸出一张卡片，其数字记为q，则关于的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12 18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转 (1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由. 20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗? 22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..试求该月茶叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题2(附答案)

北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题2(附答案)

北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题2（附答案）1．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=lcm，则BD的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=18cm，则△DBE的周长为（）A．16cm B．8cm C．18cm D．10cm3．如图，在等腰△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∠3=∠4，BD与CE交于点O，则图中等腰三角形有（）A．6个B．7个C．8个D．9个4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在线段AB的垂直平分线上；④BD=2CD．A．2个B．3个C．1个D．4个5．如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tan∠B=43.AC上有一点E，满足AE∶EC=2∶3.那么，tan∠ADE是（）A ．35B ．23C ．12D ．136．由线段a 、b 、c 组成的三角形不是直角三角形的是( )A ．7a =，24b =，25c =B ．41a =，4b =，5c =C ．54a =，1b =，34c = D ．13a =，14b =，15c = 7．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为( )A ．70°B ．40°C ．70°或40°D ．70°或55°8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CF ，BE=CD ，∠A=100°，则∠EDF 的度数是（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°9．下列三角形，不一定是等边三角形的是A ．有两个角等于60°的三角形B ．有一个外角等于120°的等腰三角形C ．三个角都相等的三角形D ．边上的高也是这边的中线的三角形10．下列说法错误的是（ ）A ．若△ABC 中，a 2=(b+c)(b−c)，则△ABC 是直角三角形B ．若△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形C ．若△ABC 中，a:b:c=13:5:12，则∠A=90°D ．若△ABC 中，a 、b 、c 三边长分别为n 2−1、2n 、n 2+1(n>1)，则△ABC 是直角三角形11．如图所示，在等边三角形ABC 中，BC 边上的高AD ＝10，E 是AD 上一点，现有一动点P 沿着折线A －E －C 运动，在AE 上的速度是4单位/秒，在CE 上的速度是2单位/秒，则点P 从A 到C 的运动过程中至少需．．．_______秒．12．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长边的长为39，那么此三角形的周长为_____，面积为______．13．如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部分的面积=_____m2．14．如图，已知∠AOD=150°，OB、OC、OM、ON 是∠AOD 内的射线，若∠BOC=20°，∠AOB=10°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD，当∠BOC 在∠AOD 内绕着点O以3°/秒的速度逆时针旋转t 秒时，当∠AOM：∠DON=3：4 时，则t=____________．15．如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是_____．16．如图，点A、O、C在同一直线上，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，则∠EOF= _________．17．在课题学习时，老师布置画一个三角形ABC，使∠A=30°，AB=10cm，∠A的对边可以在长为4cm 、5cm 、6cm 、11cm 四条线段中任选，这样的三角形可以画_____个． 18．如图，已知∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3，…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4 …均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2016B 2016A 2017的边长为_____．19．如图，A 、O 、B 在同一直线上，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠，则AOF BOE ∠+∠=________度．20．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为______．21．如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC=58°，OD 平分∠AOC ，∠DOE=90°．（1）求出∠BOD 的度数；（2）请通过计算说明：OE 是否平分∠BOC ．（3）与∠AOE 互补的角是 .22．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AB=3cm ，BC=2.5cm ，△ABD 的面积为 2cm 2，求△ABC 的面积．23．我们定义：如图1，在ABC V 中，把AB 绕点A 顺时针旋转(0180)αα<<o o 得到'AB ，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到'AC ，连接''B C 当180αβ+=o 时，我们称''AB C ∆是ABC V 的“旋补三角形”，''AB C ∆边''B C 上的中线AD 叫做ABC V 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：()1在图2，图3中，''AB C ∆是ABC V 的“旋补三角形”，AD 是ABC V 的“旋补中线”．①如图2，当ABC V 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =______BC ； ②如图3，当90BAC ∠=o ，8BC =时，则AD 长为______．猜想论证：()2在图1中，当ABC V 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用()3如图4，在四边形ABCD ，90C o ∠=，150D ∠=o ，12BC =，23CD =，239.AB =在四边形内部是否存在点P ，使PDC V 是PAB V 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB V 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．24．如图所示，点A ，O ，B 在同一条直线上，∠BOC =40°，射线OC ⊥射线OD ，射线OE 平分∠AOC .求∠DOE 的大小.25．如图，在△ABC 中，AC ＝21，BC ＝13，D 是AC 边上一点，BD ＝12，AD ＝16， （1）若E 是边AB 的中点，求线段DE 的长（2）若E 是边AB 上的动点，求线段DE 的最小值．26．在平面坐标坐标系xOy 中，点P 的坐标为(),a b ，点P 的变换点P '的坐标定义如下：当a b >时，点P '的坐标为(),a b -；当a b ≤时，点P '的坐标为(),b a -．已知点()4,1A ，点()3,2B -，点()2,C n ．（1）点A 的变换点A '的坐标是__________．点()3,2B -的变换点为B '，连接OB ，OB '，则BOB ∠'=__________．（2）点C 的变换点为C '，随着n 的变化，点C '会运动起来，请在备用图（2）中画出点C '的运动路径．（3）若A BC ''V 是等腰三角形，请直接写出此时n 的值：__________．27．已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD∥BC．28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠BAD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE恰好是∠ADB的平分线，求∠B的度数．参考答案1．B【解析】解：过A作AF∥DE交BD于F，则DE是△CAF的中位线，∴AF=2DE=2．又∵DE⊥AC，∠C=30°，∴FD=CD=2DE=2．在△AFB中，∠1=∠B=30°，∴BF=AF=2，∴BD=4．故选B．点睛：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．C【解析】因为∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，易证△ACD≌△AED，所以AE=AC=BC，ED=CD.△DBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.因为AB=12，所以△DBE的周长=12.故选C.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE的周长转化为AB的长.3．C【解析】【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【详解】∵在等腰△ABC中，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）/2=72°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠A=36°，∴AD=BD，AE=EC，OB=OC，即△ADB，△AEC，△OBC是等腰三角形，∵∠BDC=∠CEB=180°-36°-72°=72°，∴BC=CE=BD，即△BCE，△BCD是等腰三角形，∵∠1=∠4=36°，∴∠BOE=∠COD=180°-36°-72°=72°，∴OC=CD，BO=BE，即△BOE，△COD是等腰三角形，∴共有8个等腰三角形．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是解答本题的关键．4．D【解析】分析：根据“角平分线的尺规作法”结合“已知条件”进行分析判断即可.详解：（1）由题意可知，图中的尺规作图，作的是∠BAC的角平分线，故结论①成立；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠ADC=180°-90°-30°=60°，故结论②成立；（3）∵∠BAD=30°，∠B=30°，∴∠BAD=∠B，∴AD=BD，∴点D在AB的垂直平分线上，故结论③成立；（4）∵在△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，∴AD=2CD，∵AD=BD，∴BD=2CD，故结论④成立；综上所述，题中4个结论都成立.点睛：熟悉“角平分线的尺规作法、含30°角的直角三角形的性质和线段垂直平分线的判定”是解答本题的关键.5．C【解析】试题解析：如图,作EF ∥CD 交AD 于F 点,∵tan B =tan C 43AD CD ==， ∴设3CD x =， 则4.AD x =∵AE :EC =AF :FD =(AD −FD ):FD =2:3， ∴128,.55FD x AF x == ∵AF :AD =EF :CD =2:5，∴6.5EF x =∴tan ∠ADE 1.2EF FD == 故选C. 6．D【解析】【详解】A 、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B 、42+52=412，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C 、12+（34）2=（54）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D 、（14）2+（15）2≠（13）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形． 故选D ．7．D若70°为顶角，则此等腰三角形的底角是（180°-70°）÷2=55°；若70°为底角，则此等腰三角形的底角为70°，综上，此等腰三角形的底角为70°或55°，故选D.8．B【解析】【分析】先求出三角形ABC为等腰三角形，再根据角度转换求出∠EDF.【详解】根据题意AB=AC得三角形ABC为等腰三角形所以∠B=∠C=（180°-100°）·=40°又因为∠B=∠C，BD=CF，BE=CD所以△BDE与△DFC全等（SAS）即∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=180°-40°=140°所以∠EDF=180°-∠BDE+∠CDF=40°.所以答案选B.【点睛】掌握三角形全等的条件，并合理转化相关角度是解答本题的关键.9．D【解析】分析：分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．详解：A．根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B．有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C．三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D．边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，符合题意，故此选项正确．故选D．点睛：本题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形判定即可．【详解】A 选项：由a 2=（b+c ）（b-c ），可得a 2+c 2=b 2，所以△ABC 是直角三角形，本选项正确，不符合题意；B 选项：若△ABC 中，c 为最长边，且a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形，本选项错误，符合题意；C 选项：a ：b ：c=13：5：12，可得b 2+c 2=a 2，所以∠A=90°，本选项正确，不符合题意；D 选项：由a 、b 、c 三边的长分别为n 2-1、2n 、n 2+1（n ＞1），可得a 2+b 2=c 2，所以△ABC 是直角三角形，本选项正确，不符合题意．故选B ．【点睛】考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．11．5【解析】【分析】如图，作CH ⊥AB 于H 交AD 于E ．P 沿着折线A-E-C 运动的时间=2EC +4AE =12 (EC +12AE )= 12 (EC +EH )= 12CH ，根据垂线段最短可知，当CH ⊥AB 时，P 沿着折线A-E-C 运动的时间最短，由此即可解决问题．【详解】如图，作CH ⊥AB 于H 交AD 于E.∵△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，∴∠HAE =30°,∵∠AHE =90°，∴HE =12AE ， ∵P 沿着折线A −E −C 运动的时间=2EC +4AE =12 (EC +12AE )= 12 (EC +EH )= 12CH ， 根据垂线段最短可知，当CH ⊥AB 时，P 沿着折线A −E −C 运动的时间最短，∵CH 、AD 是等边三角形的高，∴CH =AD =10，∴P 沿着折线A −E −C 运动的时间最时间=5s .故答案为5.【点睛】本题主要考查等边三角形性质，垂线段最短知识点.熟悉掌握是关键.12．90 270【解析】分析：由相似三角形对应边比相等，知道已知三角形的三边和较大三角形的最大边，根据相应比求得边和周长，根据勾股定理的逆定理知道三角形直角三角形，即可求出面积． 详解：设较大三角形的其他两边长为a ，b .∵由相似三角形的对应边比相等.∴5a =12b =3913. 解得：a =15，b =36，又∵22251213+=，∴三角形为直角三角形.则较大三角形的周长为90，面积为270.点睛：相似三角形的性质：三边对应成比例；勾股定理的逆定理：判断三角形为直角三角形. 13．96【解析】分析：利用勾股定理求出AC值，结合三角形面积公式求得S△ADC；接下来计算AC2+BC2、AB2，可得△ABC为直角三角形，结合三角形面积公式求得S△ABC，然后根据阴影部分的面积=S△ABC-S△ADC计算即可.详解：∵CD=6m，AD=8m，∠ACD=90°，∴AC=10m，S△ADC=12×6×8=24（m2）.∵AC=10m，CB=24m，AB=26m，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形.∵△ABC是直角三角形，AC=10m，CB=24m，∴S△ABC=12×10×24=120（m2），∴S△ABC-S△ADC=120-24=96（m2）.即图中阴影部分的面积为96m2.故答案为96.点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键.14．100 7【解析】【分析】由题意得∠AOM=12（10°+3t+20°），∠DON=12（150°-10°-3t），由此列出方程求解即可．【详解】解：∵射线OB从OA逆时针以3°每秒的旋转t秒，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=3t°+10°+20°=3t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC=12（3t°+30°）．∵∠BOD=∠AOD-∠BOA，∠AOD=150°，∴∠BOD=140°-3t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=12∠BOD=12（140°-3t）．又∵∠AOM：∠DON=3：4，∴12（3t°+30°）：12（140°-3t）=3：4，解得t=1007．故答案是：1007．【点睛】此题主要考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解．15．6．【解析】【分析】连接BE．根据垂直平分线的性质可得EA=EB，求出AE即可解决问题．【详解】如图，连接BE.∵AC=9，AE:EC=2:1，∴AE=23×9=6,EC=9×13=3，∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=6.故答案为6.【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质.16．90°【解析】试题解析：∵OE 、OF 分别是∠AOB 和∠BOC 的平分线，∴∠AOE=∠EOB ，∠BOF=∠FOC ，∵∠AOE+∠EOB+∠BOF+∠FOC=180°，∴∠EOB+∠BOF=90°，即∠EOF=90°，故答案为90°．17．4【解析】根据30°所对的直角边是斜边的一半，知∠A 的对边应大于等于5cm ，所以在长为4cm 、5cm 、6cm 、11cm 四条线段中，有3条线段符合条件，其中∠A 的对边为6时，可以作两个三角形．故这样的三角形可以画4个．18．22015【解析】试题解析：112A B A Q V 是等边三角形，1121A B A B ∴=，30MON ∠=o Q ，1111OA A B ∴==，211A B ∴=，223334A B A A B A Q V V 、是等边三角形，1122331223,A B A B A B B A B A ∴P P P ，221233232,2A B B A B A B A ∴==，331244A B B A ∴==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：201620162017A B A V 的边长为20152.故答案为：20152. 19．90【解析】【分析】首先根据角平分线定义可得∠AOF=12∠AOC，∠EOB=12∠COB，再根据∠AOC+∠BOC=180°，可得答案．【详解】∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠AOF=12∠AOC，∠EOB=12∠COB，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOF+∠BOE=12∠AOC+12∠COB=12×180°=90°，故答案为：90．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，以及邻补角，关键是理清角之间的关系．20．（32，32）．【解析】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=3，∴P（32，3）．故答案为：（32，3）．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P 的位置．21．（1）∠BOD=180°-58°÷2=151°；（2）见解析；（3）∠BOE 和∠COE.【解析】试题分析：（1）根据角平分线定义求出AOD ∠，根据平角定义即可求出.BOD ∠（2）求出COE ∠和∠BOE 的度数，即可得出答案．()3根据补角的定义即可求出.试题解析：(1) 58,AOC ∠=o Q OD 平分∠AOC ，1125829.2AOD COD AOC ∴∠=∠=∠=⨯=o o 180********.BOD AOD ∴∠=-∠=-=o o o o (2) 29,90COD DOE ∠=∠=o o Q ，902961,COE DOE DOC ∴∠=∠-∠=-=o o o1519061BOE BOD DOE COE ∴∠=∠-∠=-==∠o o o ，即OE 平分∠BOC .()3与AOE ∠互补的角是∠BOE 和.COE ∠故答案为∠BOE 和.COE ∠22．113. 【解析】【分析】根据角平分线性质作出辅助线,求出高长,即可求解.【详解】在△ABD 中，∵S △SSS =12SS ⋅SS ，AB=3cm ，S △ABD =2cm 2， ∴SS =43SS 过 D 作 DF ⊥BC 于 F ．∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE=DF ，∴SS =43SS 在△BCD 中 ，BC=2.5cm ，SS =43SS ∴S △SSS =12SS ⋅ SS =43 (SS )2 ∵S △ABC =S △ABD +S △BCD ，∴S △SSS = 2 +53=113 (SS )2 【点睛】本题考查了角平分线的性质，利于角平分线的性质正确地作出辅助线是解题的关键． 23．（1）①12;②4；（2）结论：12AD BC =．详见解析；（3）PAB V 的“旋补中线”长1392AB == 【解析】【分析】(1)①首先证明'ADB V 是含有30o 是直角三角形，可得1'2AD AB =即可解决问题；②首先证明BAC V ≌''B AC V ，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；(2)结论：1.2AD BC =如图1中，延长AD 到M ，使得AD DM =，连接'B M ，'C M ，首先证明四边形''AC MB 是平行四边形，再证明BAC V ≌'AB M V ，即可解决问题；(3)存在.如图4中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接P A 、PD 、PC ，作PCD V 的中线.PN 连接DF 交PC 于.O 想办法证明PA PD =，PB PC =，再证明180APD BPC ∠+∠=o ，即可得出结论．【详解】(1)①如图2中，ABC QV 是等边三角形，''AB BC AC AB AC ∴====，''DB DC =Q ，''AD B C ∴⊥，60BAC ∠=o Q ，''180BAC B AC ∠+∠=o ，''120B AC ∴∠=o ，''30B C ∴∠=∠=o ，11'22AD AB BC ∴==， 故答案为12． ②如图3中，90BAC ∠=o Q ，''180BAC B AC ∠+∠=o ，''90B AC BAC ∴∠=∠=o ，'AB AB =Q ，'AC AC =，BAC ∴V ≌''B AC V ，''BC B C ∴=，''B D DC =Q ，11''422AD B C BC ∴===， 故答案为4．()2结论：12AD BC =． 理由：如图1中，延长AD 到M ，使得AD DM =，连接'B M ，'C M''B D DC =Q ，AD DM =，∴四边形''AC MB 是平行四边形，''AC B M AC ∴==，''180BAC B AC ∠+∠=o Q ，'''180B AC AB M ∠+∠=o ，'BAC MB A ∴∠=∠，'AB AB =Q ，BAC ∴V ≌'AB M V ，BC AM ∴=，12AD BC ∴=． ()3存在．理由：如图4中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接P A 、PD 、PC ，作PCD V 的中线PN ．连接DF 交PC 于O ．150ADC ∠=o Q ，30MDC ∴∠=o ，在Rt DCM V 中，CD =Q ，90DCM ∠=o ，30MDC ∠=o ，2CM ∴=，4DM =，60M ∠=o ，在Rt BEM V 中，90BEM ∠=o Q ，14BM =，30MBE ∠=o ，172EM BM ∴==， 3DE EM DM ∴=-=，6AD =Q ，AE DE ∴=，BE AD ⊥Q ，PA PD ∴=，PB PC =，在Rt CDF V 中，CD =Q ，6CF =，tan CDF ∴∠=60CDF ∴∠=o90ADF AEB ∴∠==∠o ，CBE CFD ∴∠=∠，CBE PCF ∠=∠Q ，CFD PCF ∴∠=∠，90CFD CDF ∠+∠=o Q ，90PCF CPF ∠+∠=o ，60CPF CDF CDF ∴∠=∠==∠o 易证FCP V ≌CFD V ，CD PF ∴=，//CD PF Q ，∴四边形CDPF 是矩形，90CDP ∴∠=o ，60ADP ADC CDP ∴∠=∠-∠=o ，ADP ∴V 是等边三角形，60ADP ∴∠=o ，60BPF CPF ∠=∠=o Q ，120BPC ∴∠=o ，180APD BPC ∴∠+∠=o ，PDC ∴V 是PAB V 的“旋补三角形”，AB =QPAB ∴V 的“旋补中线”长12AB == 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题.24．160°.【解析】试题分析： 先求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义求出 ∠EOC 的度数，再由OC ⊥OD 求出 ∠COD 的度数，再由 ∠DOE=∠DOC+∠COE 即可得.试题解析：∵ ∠BOC =40°，∴ ∠AOC =180°-∠BOC=140°，∵ 射线OE 平分∠AOC ，∴ ∠EOC =12∠AOC=70°， ∵ 射线OC ⊥射线OD ，∴ ∠COD =90°，∴ ∠DOE=∠DOC+∠COE=160°.【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直的定义等，结合图形正确地进行分析是解题的关键.25．（1）10；（2）485【解析】【分析】（1）在△BCD 中，由勾股定理逆定理可得△BCD 是直角三角形，即∠ADB=90°,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可解得线段DE 的长；(2) 当DE ⊥AB 时，DE 有最小值.根据等面积法即可求出DE 的长.【详解】解：(1)∵AC ＝21，AD ＝16，∴CD=21-16=5，∵DC ²+BD ²=5 ²+12 ²=169，BC ²=13 ²=169，∴DC ²+BD ²= BC ²,∴△BCD 是直角三角形．且∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,在Rt △ADB 中，由勾股定理得，∵∠ADB=90°,E 为斜边AB 的中点，∴DE=12AB=12×20=10. (2)当DE ⊥AB 时，DE 有最小值.此时AB×DE=AD×DB,即20DE=16×12, 解得DE=485. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟悉勾股定理及其逆定理是解题的关键．26．（1）(4,1)A '-；90BOB ∠='︒．（2）点C '的运动路径见解析．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）①按照变换点的定义写出A′的坐标即可；②按照变换点的定义根据点B 的坐标写出点B′的坐标，如图，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，过点B′作B′E ⊥x 轴于点E ，则由已知易证△BDO ≌△OEB′，从而可证得∠BOD=∠OB′E ，结合∠OB′E+∠EOB′=90°，即可证得∠BOB′=90°；（2）①由变换点的定义可得，当n<2时，点C （2，n ）的变换点的坐标是（-2，n ）；②当2n ≥时，点C （2，n ）的变换点的坐标是（-n ，2），由此即可画出点C 的运动路线；（3）由题意可知：()4,1A '-，()3,2B -，连接A B '，以A '为圆心，A B '长度为半径作圆，交点C '的运动路径于点'1C ；以B 为圆心，A B '长为半径作圆，交点C '的运动路径于点'2C ，'3C ；作线段A B '的垂直平分线，交点C '的运动路径于点'4C ，'5C ；如图所示，'1C ，'2C ，'3C ，'4C ，'5C 均为所求点C '的位置，再根据已知条件计算出对应的n 的值即可.试题解析：（1）∵()4,1A ，41>，∴()4,1A '-，∵()3,2B -，32-≤，∴()2,3B '--，90BOB ∠='︒．（2）点C '的运动路径如图所示：（3）如图：()4,1A '-，()3,2B -，连接A B '，以A '为圆心，A B '长度为半径作圆，交点C '的运动路径于点'1C ，以B 为圆心，A B '长为半径作圆，交点C '的运动路径于点'2C ，'3C ，作线段A B '的垂直平分线，交点C '的运动路径于点'4C ，'5C ，如图所示，'1C ，'2C ，'3C ，'4C ，'5C 均为所求点C '的位置，∵()4,1A '-，()3,2B -， ∴2A B '=∵'1A BC 'V 为等腰直角三角形，∴()'15,2C -， ∴()12,5C ，5n =， ∵'22BC A B '== ∴()'232,2C -， ∵(22,32C ，32n =+∵'3BA BC '=， ∴()'32,1C -， ∴()32,1C ，∴1n =，∵''44C A C B ='，∴()'44,2C -， ∴()42,4C ，∴4n =，∵''55C A C B ='，∴()'52,0C -，∴()52,0C ，∴0n =．综上所述，n 的值是5，3，1，4，0．点睛：解本题第3小题时，关键是分A′B 是等腰△A′BC′的腰和底两种情况通过画图找到所有符合条件的C′点，然后再根据已知条件求出对应的n 的值即可.27．证明见解析【解析】试题分析：由角平分线的定义可知：∠EAD=12∠EAC ，再由三角形的外角的性质可得∠EAD=∠B ，然后利用平行线的判定定理可证明出结论.试题解析：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD=12∠EAC ． 又∵∠B=∠C ，∠EAC=∠B+∠C ，∴∠B=12∠EAC ． ∴∠EAD=∠B ．所以AD ∥BC ．考点：1.平行线的性质；（2）角平分线的定义；（3）三角形的外角性质.28．∠B ＝30°【解析】试题分析：，，由∠C ＝90°，可得∠BAC ＋∠B ＝90°，根据DE ⊥AB ，DE 平分∠ADB ，可得∠B ＝∠BAD ，再由∠BAC ＝2∠BAD ，可得3∠B ＝90°，从而可求.试题解析：因为∠C ＝90°，所以∠BAC ＋∠B ＝180°－90°＝90°，又DE ⊥AB ，DE 平分∠ADB ，所以∠B ＝∠BAD ，而∠BAC ＝2∠BAD ，所以∠BAC ＝2∠B ，所以3∠B ＝90°，所以∠B ＝30°.。

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A P
点停止运动．设点 P 的运动时间为 t（s），解答下面的问题：
当 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
BQ
C
4/9
6．如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA，PB，PC ，以 BP 为边作 PBQ = 60 ， 且 BQ = BP ，连结 CQ ． （1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5 ，连结 PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．
是
三角形。
5．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2； ②BE=CF；③△ACN≌△ABM。其中正确的结论是 （注：将你认为正确的结论都填上）．
6．如图， ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，
BD 平分∠ABC，若 AD=6，则 CD=
。
2/9
7．“有两角和其中一边对应相等的两个三角形全等”的逆命题是 ．是
当∠BQP＝90°时，BQ＝ 1 BP． 2
即 t＝ 1 (3－t )，t＝1 (秒)． 2
当∠BPQ＝90°时，BP＝ 1 BQ．3－t＝ 1 t，t＝2 (秒)．
2
2
答：当 t＝1 秒或 t＝2 秒时，△PBQ 是直角三角形．
6．解：（1）猜想： AP = CQ
证明：在△ABP 与 △CBQ 中，
下右图的形式，使点 B 、 F 、 C 、 D 在同一条直线上．
（1）求证： AB ⊥ ED ；
（2）若 PB = BC ，请找出图中与此条件有关的一．对．全等三角形，并给予证明．
EA
C
A
EP
F
DB
N M
BF
C
D
5．已知：如图，△ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时 从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两
4．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D 为 AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的 是（ ） A．(1)，(3) B．(2)，(3) C．(3)，(4) D．(1)，(2)，(4) 5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交 CB 边于 D，若 AB=10， AC=5，则图中等于 60°的角的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6 等腰三角形底边长为 7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为 3， 则腰长是（ ） A．4 B．10 C．4 或 10 D．以上答案都不对
∴△PBQ 为正三角形
∴ PQ = 4a
于是在 △PQC 中，∵ PQ2 + QC 2 = 16a2 + 9a2 = 25a2 = PC 2 ∴△PQC 是直角三角形
7．解：（1）又 AB = A1B1 ， ADB = A1D1B1 = 90 ， △ADB ≌△A1D1B1 ， A = A1 ， 又 C = C1，BC = B1C1 ，
A
P
B
C
Q
拓展延伸
7．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么
情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知： △ABC ， △A1B1C1 均为锐角三角形， AB = A1B1 ， BC = B1C1 ， C = C1 ． 求证： △ABC ≌△A1B1C1 ． （请你将下列证明过程补充完整．）
1.2 直角三角形 同步测试题
一．选择题 1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则 ∠1+∠2 等于( ) A．270° B．135° C．90° D． 315°
2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若 DE＝ a ，则下列
说法正确的个数有（ ）
A
A
D
（2）请任选一组你写出的相等线段给予证明．
我选择证明
=
．
A
证明：
D
C
H B
G
3/9
3．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的一点，，使 DE= DF，并说明理由．
解： 需添加条件是
．
理由是：
4．将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如
4．（1）证明：由题意得 A + B = 90 ，A = D ，
∴D + B = 90 ． ∴ AB ⊥ DE ． （2）若 PB = BC ，则有 Rt△ ABC ≌ Rt△ DBP ． ∵B = B，A = D，BP = BC ， ∴ Rt△ ABC ≌ Rt△ DBP ．
说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：
1/9
7．如图，△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 边上，且 BD=BC=AD，则∠A 的度数为（ ） A．30° B．36° C．45° D．70° 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线 BC 或 AC 上取一点 P， 使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．边长为 2 的等边三角形的内有一点 0，那么 0 到三角形各边的距离之和为 ( )
8/9
△ABC ≌△A1B1C1 ． （2）若 △ABC ，△A1B1C1 均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB = A1B1 ， BC = B1C1 ， C = C1 ，则 △ABC ≌△A1B1C1 ．
9/9
参考答案 一．选择题 1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．A 二．填空题 1．10° 2．2．6cm 3．2000 4．等腰直角 5．①②③ 6．3 7．三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题。 8．32cm 三．解答题 1．证明：(1)因为 AB=AC，所以∠B=∠C， 在△BDE 和△CDF 中
或假）
8．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 F，过 F 作 DE∥BC，
分别交 AB、AC 于 D、E，已知△ADE 的周长为 24cm，且 BC = 8cm，则△ABC
的周长=
。
三．解答题
1．如图，已知 AB=AC，AD 是中线，BE=CF．
(1)求证：△BDE≌△COF；
证明：分别过点 B，B1 作 BD ⊥ CA 于 D ， B1D1 ⊥ C1A1 于B D1 ，
B1
则 BDC = B1D1C1 = 90 ，
BC = B1C1 ， C = C1 ，
C
5/9 D
A C1
D1
A1
△BCD ≌△B1C1D1 ， BD = B1D1 ． （2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
7/9
Rt△ APN ≌ Rt△ DCN 、Rt△ DEF ≌ Rt△ DBP 、Rt△ EPM ≌ Rt△ BFM ．
5．解：根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC 中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ 中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
与 AB 交于 D 点，则∠BCD 的度数为
。
2．如图，△ABC 中，∠C=Rt∠，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BD∶DC=2∶
1，BC=7.8cm，则 D 到 AB 的距离为
cm。
3．一辆汽车沿 30°角的山坡从山底开到山顶，共走了 4000 米，那么这座山的高度为
米．
4．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF
(2)当∠B＝60°时，过 AB 的中点 G，作 GH∥BD，
求证：GH= 1 AB． 4
命题。（真
2．如图，△ABC 中，∠ACB = 90 ， AC = BC ，CO 为中线．现将一直角三角板的直角
顶点放在点 O 上并绕点 O 旋转，若三角板的两直角边分别交 AC，CB 的延长线于点 G，H ． （1）试写出图中除 AC = BC，OA = OB = OC 外其他所有相等的线段；
B
CB
EC
B
C
EC
′
①DC′平分∠BDE；②BC 长为 ( 2 + 2)a ；③△B C′D 是等腰三角形；④△CED 的周长
等于 BC 的长。 A． 1 个； B．2 个； C．3 个； D．4 个。
3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，且 AB=6cm，则△DEB 的周长为（ ） A．4cm B．6cm C．8 cm D．10cm
∵ AB = CB ， BP = BQ ， ABC = PBQ = 60 ∴ABP = ABC − PBC = PBQ − PBC = CBQ
∴△ABP ≌△CBQ
∴ AP = CQ
（2）由 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5 可设 PA = 3a ， PB = 4a ， PC = 5a 连结 PQ ，在 △PBQ 中，由于 PB = BQ = 4a ，且 PBQ = 60
2．解：（1） CG = BH，AG = CH，OG = OH （2） ∠ACB = 90 ，AC = BC，AO = BO ，
CO = OB，CO ⊥ AB，∠ABC = 45 ．
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