计算机结构与逻辑设计 函数化简和组合逻辑电路
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计算机结构与逻辑设计
2.4 函数化简和组合逻辑电路
1
§2.4 函数的化简
❖ 为什么要化简？
表达式多种，逻辑电路多种。 后果：复杂度不一样。用的芯片数不一样。 引起成本、功耗、延迟的不一致。
大规模集成电路考虑计算机辅助测试、容错分析、 标准化设计等方面，逻辑化简不是主要考虑因素。 2
逻辑函数的简化
0 11 10 10 00
10 1 1 1
输出变量Y的值 8
四输入变量卡诺图
只有一 项不同
CD 00 01 11 10
AB 00 1 1 0 1
01 1 0 X 1
11 0
X
0
1
10 1101
四变量卡诺图
函数取0、1 均可，称为 无关项。
9
卡诺图的填写
从逻辑表达式卡诺图：
逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：
• 乘积项中含的变量少
方法：
• 并项： 利用 AB AB A 将两项并为一项，
且消去一个变量B • 消项： 利用A + AB = A消去多余的项AB
• 消元：利用 A AB A B 消去多余变量A
• 配项：利用 AB AC BC AB AC 和互补律、
重叠律先增添项，再消去多余项BC
4
函与每数—项或的的式简变中量化与数项依最最据少少
• 逻辑电路所用门的数量少 • 每个门的输入端个数少 • 逻辑电路构成级数少 • 逻辑电路保证能可靠地工作
降低成本
提高电路的工作 速度和可靠性
3
代数法化简函数 • 实现电路的与门少 • 下级最或简门式输的入标端准个数少
• 与或表达式的简化
与• 门首的先输是入式端中个乘数积少项最少
12
卡诺图化简的依据
任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并 消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB
C
00
01
11
10
01
0
0
1
10
1
1
0
ABC ABC
BC
ABC ABC BC
13
AB
CD
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 0 0 1 ABCD ABCD
1）先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项 之和的形式），
2）在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项 （该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格 内填入1，
3）其余的方格内填入0。
10
例：
Y (A D)(B C )
变换为与或表达式
Y AD BC ＡＤ的公因子
AB
CD
00
01
11
15
AB
CD
00
00 0
01 1
11 0
10 0
01 11
10
1
1
11
10
AB
10 0
1 CD
0 0
16
AB
CD
00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1 BＤ
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
ＢＤ
17
AB
CD
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
K
1 0 m2
图
1 1 m3
BB A AB AB A AB AB
B A0 1 0 m0 m1
1 m2 m3
CD
三 变
BC A 00
01
11
10
量 0 m0 m1 m3 m2
四AB 变 00 量 01
00 01 11 10
m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6
K 图 1 m4 m5 m7 m6
K 图
11 10
m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10
7
卡诺图的画法
A B C Y （三输入变量从真值表到K图）
0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 11 1 1 01 1 1 11
输入变量 BC
A0 0 00
逻辑相邻：相邻单 元输入变量的取值 只能有一位不同。
3）每次新的组合，至少包含一个未使用过的项，
直到所有为1的项都被使用。结束。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
21
用卡诺图化简规则（续）
4）每一个组合中的公因子构成一个“与”项， 然后将所有“与”项相加，得最简“与或”表 示式。
5）无所谓项当“1”处理。
例1 A B 0 1
00 1
A
B
111
Y=A+B 或门
吸收规则:
10
00 1
1
0
0
01 0
0
0
0
11 1
0
0
1
10 1
1
0
1
ＢＣ的公因子
11
卡诺图化简原理
❖ 《相邻项合并》法则 ❖ 可以合并：
（1）相邻2块，包括两端，消1个变量。 （2）相邻4块，方块、一行、一列、相邻行两端、相
邻列两端、四对角。消2个变量。 （3）相邻8块，两行、两列、上下两行，左右两列。
消3个变量。
代数法化简函数
例：试简化函数 F AC AD BD BC
利用反演律
解： F AC AD BD BC
AC配项BC加ADB (A B)
AC BC DAB消因律 AC 消B项CABAB DAB
AC BC AB D
F（或与式）求对偶式 F（与或式）简化 F
AC BC（最D简与或式）求对偶式 F（最简或与式）
11 0 0 0 1 ABD
10 0 1 0 0
ABCD ABCD
ABD
14
任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去2个变量。
AB
ABC ABC ABC ABC
C
00 01 11 10 (AB AB AB AB)C
0 1 1 1 1 C
10 1 1 0
ABC ABC ABC ABC (AC AC AC AC)B B
1）卡诺圈越少越好 2）卡诺圈越大越好 3）圈包含的项每次必须要有新的 20
卡诺图化简
化简过程比公式法简单直观。
用卡诺图化简的规则： 对于输出为1的项
1）相邻 （n=0,1,2,3) 2个n 项，可组成一组。
2）先用面积最大的组合化简，吸收规则，去掉n个变 量。
21 吸收掉1个变量；22 吸收掉2个变量...
11 0 1 1 0
10 1 0 0 1
ＢＤ
ＢＤ
18
任何8个（23个）标1的相邻最小项，可 以合并为一项，并消去3个变量。
AB
CD
00 01 11 10
00 0
0
0
0
01 1
1
1
1Ｄ
11 1
1
1
1
10 0
0
0
0
19
AB
CD
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
1
0
0
1
Ｂ
11
1
0
0
1
10
1
0
0
1
化简原则：
• 或与表达式的简化
5
公式法化简原则
最简不容易
1）利用自己掌握的定律进行化简
判定
2）先化成最小项之和形式，然后并项公式化简
相邻项合并原则
直观方 便
真值表
卡诺图方法 6
图形图中法的一化小格简对函应真数值表中的一行，
• 卡诺图（K图） 即对应一个最小项，又称真值图
二
A B mi
变
0 0 m0
量
0 1 m1
2.4 函数化简和组合逻辑电路
1
§2.4 函数的化简
❖ 为什么要化简？
表达式多种，逻辑电路多种。 后果：复杂度不一样。用的芯片数不一样。 引起成本、功耗、延迟的不一致。
大规模集成电路考虑计算机辅助测试、容错分析、 标准化设计等方面，逻辑化简不是主要考虑因素。 2
逻辑函数的简化
0 11 10 10 00
10 1 1 1
输出变量Y的值 8
四输入变量卡诺图
只有一 项不同
CD 00 01 11 10
AB 00 1 1 0 1
01 1 0 X 1
11 0
X
0
1
10 1101
四变量卡诺图
函数取0、1 均可，称为 无关项。
9
卡诺图的填写
从逻辑表达式卡诺图：
逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：
• 乘积项中含的变量少
方法：
• 并项： 利用 AB AB A 将两项并为一项，
且消去一个变量B • 消项： 利用A + AB = A消去多余的项AB
• 消元：利用 A AB A B 消去多余变量A
• 配项：利用 AB AC BC AB AC 和互补律、
重叠律先增添项，再消去多余项BC
4
函与每数—项或的的式简变中量化与数项依最最据少少
• 逻辑电路所用门的数量少 • 每个门的输入端个数少 • 逻辑电路构成级数少 • 逻辑电路保证能可靠地工作
降低成本
提高电路的工作 速度和可靠性
3
代数法化简函数 • 实现电路的与门少 • 下级最或简门式输的入标端准个数少
• 与或表达式的简化
与• 门首的先输是入式端中个乘数积少项最少
12
卡诺图化简的依据
任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并 消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB
C
00
01
11
10
01
0
0
1
10
1
1
0
ABC ABC
BC
ABC ABC BC
13
AB
CD
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 0 0 1 ABCD ABCD
1）先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项 之和的形式），
2）在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项 （该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格 内填入1，
3）其余的方格内填入0。
10
例：
Y (A D)(B C )
变换为与或表达式
Y AD BC ＡＤ的公因子
AB
CD
00
01
11
15
AB
CD
00
00 0
01 1
11 0
10 0
01 11
10
1
1
11
10
AB
10 0
1 CD
0 0
16
AB
CD
00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1 BＤ
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
ＢＤ
17
AB
CD
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
K
1 0 m2
图
1 1 m3
BB A AB AB A AB AB
B A0 1 0 m0 m1
1 m2 m3
CD
三 变
BC A 00
01
11
10
量 0 m0 m1 m3 m2
四AB 变 00 量 01
00 01 11 10
m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6
K 图 1 m4 m5 m7 m6
K 图
11 10
m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10
7
卡诺图的画法
A B C Y （三输入变量从真值表到K图）
0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 11 1 1 01 1 1 11
输入变量 BC
A0 0 00
逻辑相邻：相邻单 元输入变量的取值 只能有一位不同。
3）每次新的组合，至少包含一个未使用过的项，
直到所有为1的项都被使用。结束。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
21
用卡诺图化简规则（续）
4）每一个组合中的公因子构成一个“与”项， 然后将所有“与”项相加，得最简“与或”表 示式。
5）无所谓项当“1”处理。
例1 A B 0 1
00 1
A
B
111
Y=A+B 或门
吸收规则:
10
00 1
1
0
0
01 0
0
0
0
11 1
0
0
1
10 1
1
0
1
ＢＣ的公因子
11
卡诺图化简原理
❖ 《相邻项合并》法则 ❖ 可以合并：
（1）相邻2块，包括两端，消1个变量。 （2）相邻4块，方块、一行、一列、相邻行两端、相
邻列两端、四对角。消2个变量。 （3）相邻8块，两行、两列、上下两行，左右两列。
消3个变量。
代数法化简函数
例：试简化函数 F AC AD BD BC
利用反演律
解： F AC AD BD BC
AC配项BC加ADB (A B)
AC BC DAB消因律 AC 消B项CABAB DAB
AC BC AB D
F（或与式）求对偶式 F（与或式）简化 F
AC BC（最D简与或式）求对偶式 F（最简或与式）
11 0 0 0 1 ABD
10 0 1 0 0
ABCD ABCD
ABD
14
任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去2个变量。
AB
ABC ABC ABC ABC
C
00 01 11 10 (AB AB AB AB)C
0 1 1 1 1 C
10 1 1 0
ABC ABC ABC ABC (AC AC AC AC)B B
1）卡诺圈越少越好 2）卡诺圈越大越好 3）圈包含的项每次必须要有新的 20
卡诺图化简
化简过程比公式法简单直观。
用卡诺图化简的规则： 对于输出为1的项
1）相邻 （n=0,1,2,3) 2个n 项，可组成一组。
2）先用面积最大的组合化简，吸收规则，去掉n个变 量。
21 吸收掉1个变量；22 吸收掉2个变量...
11 0 1 1 0
10 1 0 0 1
ＢＤ
ＢＤ
18
任何8个（23个）标1的相邻最小项，可 以合并为一项，并消去3个变量。
AB
CD
00 01 11 10
00 0
0
0
0
01 1
1
1
1Ｄ
11 1
1
1
1
10 0
0
0
0
19
AB
CD
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
1
0
0
1
Ｂ
11
1
0
0
1
10
1
0
0
1
化简原则：
• 或与表达式的简化
5
公式法化简原则
最简不容易
1）利用自己掌握的定律进行化简
判定
2）先化成最小项之和形式，然后并项公式化简
相邻项合并原则
直观方 便
真值表
卡诺图方法 6
图形图中法的一化小格简对函应真数值表中的一行，
• 卡诺图（K图） 即对应一个最小项，又称真值图
二
A B mi
变
0 0 m0
量
0 1 m1