正余弦定理复习

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余弦定理和正弦定理-高考数学复习

⁠

解析：根据正弦定理
＝
＝
，∵
sin
sin
sin
sin 2 A ＝ sin 2 B ＋ sin 2
C ，∴ a 2＝ b 2＋ c 2，∴ A 是直角， B ＋ C ＝90°，∴2 sin B cos C ＝2
sin B cos （90°－ B ）＝2 sin
2B＝
sin A ＝1，∴ sin B ＝
；
⁠
c 2＝ a 2＋ b 2－2 ab cos C
⁠
高中总复习·数学
定理
变形
正弦定理
余弦定理
高中总复习·数学
2. 在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
a ＝ b sin A
解的个数
1
b sin A ＜ a ＜
b
2
a≥b
a＞b
1
1
高中总复习·数学
弦定理得
2 ＋ 2 −2
9+25−49
1
cos A ＝
＝
＝－，因为 A 为△ ABC 的内
2
30
2
2π
角，所以 A ＝ .
3
高中总复习·数学
5. 在△ ABC 中， sin A ＝2 sin B cos C ，且 sin 2 A ＝ sin 2 B ＋ sin 2 C ，则
△ ABC 的形状是等腰直角三角形 .
cos C ＋ c cos A ； c ＝ b cos A ＋ a cos B.
高中总复习·数学
1. （多选）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，下

第一章正余弦定理复习课

√D.π3
在△ABC中，利用正弦定理，得
2sin Asin B＝ 3sin B，∵B∈(0，π2)，sin B≠0，
∴sin A＝ 23.又∵A 为锐角，∴A＝π3.
123
2.在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则B→A·A→C＝－32 .
答案解析
由余弦定理，得 cos A＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝9＋41－ 2 10＝14. ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|·cos A＝3×2×14＝32. ∴B→A·A→C＝－A→B·A→C＝－32.
3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．
(1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为323，求△ABC 的周长．
【解】 (1)由 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.
可得 cos C＝1，所以 C＝π.
2
3
5．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos
123
第一章复习
1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．
2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．

正弦定理余弦定理复习课

正弦定理、余弦定理及应用复习课学习目标：1、理解用向量的数量积证明正弦定理、余弦定理的方法。

2、掌握正弦定理、余弦定理的变形形式。

3、灵活运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题。

了解感知1.三角形边角关系：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．1）正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）变式1：a = 2R sinA ，b= 2R sinB ，c= 2R sinC变式2：R Cc B b A a C B A c b a 2sin sin sin sin sin sin ====++++ 变式3：b a B A =sin sin ，c a C A =sin sin ，c b C B =sin sin2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bccosC ，b 2 = a 2+c 2－2accosB ，a 2 = b 2+c 2－2bccosA ．变式1：bca cb A 2cos 222-+=；=C cos .；=B cos . . 2 三角形面积公式：2)(sin 2121r c b a C ab ah S ++===∆（其中r 为内切圆半径） 3、解三角形常见题型及解法(1)已知两角A 、B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝180°可求出角C ，由正弦定理再依次求出b 、c .(2)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .(3) 已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理求出另一对角B （注意：角的取舍），由C ＝π－(A ＋B )求出C ，再由正弦定理求出c 。

(4)已知两边b ，c 与其夹角A ，由余弦定理求出a ，再由正弦定理依次求出角B 、C （注意：角的取舍）。

4、常用的三角形内角恒等式：①由A ＝π－（B ＋C ）可得出： sinA ＝sin （B ＋C ），cosA ＝－cos （B ＋C ）． ②由222C B A +-=π．有： 2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．深入学习例1、在△ABC 中，（1）已知︒===30,8,4B c b ，求a A C ,,；（2）已知2,2,30==︒=c b B ，求a C A ,,；(3)已知10:)13(:)13(sin :sin :sin -+=C B A ，求最大角。

(完整版)DSE正余弦定理复习讲义

解三角形【考点及要求】1. 掌握正弦定理、余弦定理；2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题．【基础知识】1．正弦定理：．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）；（2）．2．余弦定理：第一形式：2b =B ac c a cos 222-+，第二形式：cos B =acb c a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）；（2）．3．三角形的面积公式 . 4．△ABC 中，::sin :sin :sin ;a b c A B C = .A B C π++=【基本训练】1．在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______．3．在△ABC 中，4,7,AB AC ==M 为BC 的中点，且35AM =⋅，则BC = .4．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = 【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．1. 变式: 在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos =B ，则ABC △的面积S =________________ 例2在ΔABC 中，若2cos sin sin B A C =，则ΔABC 的形状为 .变式1: ABC C b a B A b a ABC ∆-=-+∆则中若sin )()sin()(2222是（）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形。

例3在△ABC 中 A=45°，B ：C = 4：5最大边长为10，求角B 、C 、外接圆半径及面积S变式:在△ABC 中以知A=30°a 、b 分别为角A 、B 对边，且a=4=33b 解此三角形例4．△ABC 的周长为12，且sinA ·cosB －sinB=sinC －sinA ·cosC ，则其面积最大值为。

正弦定理、余弦定理专题复习

正弦定理、余弦定理专题复习正弦定理、余弦定理专题复习教师版在下⾯考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则(1)S＝12a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝12ab sin C＝________＝________；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).[常⽤结论]1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．2．内⾓和公式的变形(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.⼆、基础⾃测：1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1 C． 3 D．22.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有()A．⽆解B．两解C．⼀解D．解的个数不确定4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，3，则b＝()A. 2B. 3C. 2D. 35．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．三、典例讲解：考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题例1：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝()A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6规律⽅法：练习1：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；②若2a＋b＝2c，求sin C.考点2 与三⾓形⾯积有关的问题例2：(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的⾯积为____________．规律⽅法：练习2 ：(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是⾓A，B，C的对边，且2b cos C＝2a＋c.(1)求B；(2)若b＝2，a＋c＝5，求△ABC的⾯积．考点3 判断三⾓形的形状例3设△ABC的内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为() A．锐⾓三⾓形B．直⾓三⾓形C．钝⾓三⾓形D．不确定练习3：(变条件1)本例中，若将条件变为2sin A cos B＝sin C，判断△ABC 的形状．(变条件2)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状．三、巩固提⾼：1.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝2，则AC等于()A. 1B. 2C. 2D. 222.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6B．5 C．4 D．33.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上⼀点，且AD⊥AC，求△ABD的⾯积4.（2020春?五华区校级⽉考）在△ABC中，内⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+c）（sin A﹣sin C）＝（b+c）sin B．（1）求A；（2）若，求b+c的取值范围．5.(2018·天津⾼考)在△ABC中，内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin A＝a cos (B－π6).(1)求⾓B的⼤⼩；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin (2A－B)的值．正弦定理、余弦定理专题复习考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R.a2＝b2＋c2－2bc_cos_A；b2＝c2＋a2－2ca_cos_B；c2＝a2＋b2－2ab_cos_C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝2R.cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab(1)S＝12a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝12ab sin C＝12ac_sin_B＝12bc_sin_A；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).[常⽤结论]1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．2．内⾓和公式的变形(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.⼆、基础⾃测：1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1 C． 3 D．2D[由asin A＝bsin B得b＝a sin Bsin A＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .由正弦定理得,即sin B=因为b3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有() A．⽆解B．两解C．⼀解D．解的个数不确定B[∵b sin A＝24sin 45°＝122，∴122＜18＜24，即b sin A＜a＜b. ∴此三⾓形有两解．]4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝( )A. 2B. 3C. 2D. 3由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,⼜b>0,解得b=3,故选D.5．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．等腰三⾓形或直⾓三⾓形[由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三⾓形为等腰三⾓形或直⾓三⾓形．] 6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．23[因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC ＝12×2×23＝2 3.三、典例讲解：考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题例：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝( )A. π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析∵a sin B cos C＋c sin B·cos A＝12b，∴由正弦定理得sin A sin B cos C＋sin C sin B·cos A＝12sin B，即sin B(sin A cos C＋sin C cos A)＝12sin B.∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝12，即sin B＝12.∵a＞b，∴A＞B，即B为锐⾓，∴B＝π6，故选A规律总结：练习：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；②若2a＋b＝2c，求sin C.[解]①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos (C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin (C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin (C＋60°－60°)＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.a＋b＝2c，求sin C.考点2 与三⾓形⾯积有关的问题例.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的⾯积为____________．63[法⼀：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos π3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的⾯积S＝12ac sin B＝12×43×23×sinπ3＝6 3.法⼆：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos π3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的⾯积S＝12×23×6＝6 3.]练习 (2019·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c .(1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的⾯积．解析 (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ，由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ，即2cos B ·sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1. 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34. 考点3 判断三⾓形的形状例设△ABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．不确定 B [由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin (π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直⾓三⾓形．] 练习：1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )，∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin (A －B )＝0.⼜A ，B 为△ABC 的内⾓．∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三⾓形．2．(变条件)本例中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，⼜0＜C ＜π，∴C ＝π3，⼜由2cos A sin B ＝sin C 得sin (B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三⾓形．四、巩固提⾼：1.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝2，则AC等于( )A. 1B. 2C. 2D. 22解析由题意可知B＝180°－105°－45°＝30°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin C＝ACsin B，∴2sin 45°＝ACsin 30°，解得AC＝1.2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sinA－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6B．5 C．4 D．3 (1)A[∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－（4c2＋b2）2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.]3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上⼀点，且AD⊥AC，求△ABD的⾯积．[解](1)由已知条件可得tan A＝－3，A∈(0，π)，所以A＝2π3，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos 2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，或c＝4.(2)法⼀：如图，由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6，故△ABD⾯积与△ACD⾯积的⽐值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1，⼜△ABC的⾯积为12×4×2sin ∠BAC＝23，所以△ABD的⾯积为 3.法⼆：由余弦定理得cos C ＝27，在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7，所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝ 3.4.（2020春?五华区校级⽉考）在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，（a +c ）（sin A ﹣sin C ）＝（b +c ）sin B ．（1）求A ；（2）若，求b +c 的取值范围．解：（1）△ABC 中，由（a +c ）（sin A ﹣sin C ）＝（b +c ）sin B ，得（a +c ）（a ﹣c ）＝（b +c ）b ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，解得，⼜A ∈（0，π），所以．（2）由正弦定理，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以；⼜因为，所以，所以，所以b +c 的取值范围是．5.(2018·天津⾼考)在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos (B －π6).(1)求⾓B 的⼤⼩；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin (2A －B )的值．[解](1)在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B，可得b sin A＝a sin B，⼜由b sin A＝a cos (B－π6)，得a sin B＝a cos (B－π6)，即sin B＝cos (B－π6)，可得tan B＝ 3.⼜因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2ac cos B＝7，故b＝7.由b sin A＝a cos (B－π6)，可得sin A＝37.因为a＜c，故cos A＝2 7 .因此sin 2A＝2sin A cos A＝43 7，cos 2A＝2cos2A－1＝1 7，所以，sin(2A－B)＝sin 2A cos B－cos 2A sin B＝43 7×12－17×32＝3314.。

正、余弦定理复习课件

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讲练5：在 ABC 中， 2 （1）若A=2B，求证： a bb c （2）若 a 2 bb c 求证：A=2B
证明（1）A=2B sinA=sin2B=2sinBcosB 2 2 2 a c a 2 2 2 3 a=2b 2ac a c a bc b
a 2 bb c a 2 b2 bc a 2 c2 b2 bc c2 2 2ac cos B bc c 2a cos B b c 2 sin A cos B sin B sin C 2 sin A cos B sin B sin A B sin Acos B cos Asin B sin B sin(A B) sin B A-B=B 或 A-B+B=1800 （舍去） A=2B
C a b B c D
A
c B D B
sinB=1 一解一解一解
sinB<1 两解
sinB>1 无解
判断解的个数
C b a
a 设c=x，由余弦定理得： 2=x2+b2-2bxcosA
整理得： 2-2bxcosA+b 2-a2=0 (1) x
A
c =x
B
1、若方程（1）无实根或有根均为负时，无解； 2、若方程（1）有等根或根为一正一负时，一解； 3、若方程（1）有根均为正时，两解；
2、“边与角混合”的式子，有两种处理角度（1）统一成角的关系（2）统一成边的关系
谢
谢

正弦定理和余弦定理专项复习

正弦定理和余弦定理专项复习一、知识梳理1、正玄定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：2sin sin sin a b cR A B C===（其中，R 为ABC ∆的外接圆半径）。

2、正选定理的常见变形：（1）sin sin ,sin sin ,sin sin a B b A a C c A b C c B ===。

（2）三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即：::sin :sin :sin a b c A B C =。

（3）2sin ,2sin ,2sin .a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin (R ABC ).222a b c A B C R R R ===∆为外接圆半径（4）sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++。

（5）余弦定理的应用：①已知两角与任一边，求其他两边和一角；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的变和角。

以已知a ，b ，A 为例：(1)当A 为直角或钝角时，若a>b ，则有一解；若a ≤b ，则无解．3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+- 4、余弦定理的常见变形：（1）222222222cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc c a b B ca a b c C ab+-=+-=+-= 5、三角形的面积公式：111sin sin sin .222S ab C ac B bc A ===考点1: 三角形解的个数1、在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （）A 、有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定2、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有一个解B 有两个解C 无解D 不能确定考点2: 运用正、余弦定理求角或边题型1.求三角形中的某些元素3、已知：A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a,b,c 分别是其对边长，（Ⅰ）向量()()1cos ,3--=A π，2(cos()1n A π=-，），n m ⊥.求；（Ⅱ）若 ,,33cos ,2==B a 求b 的长.4、在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求c.5、若在△ABC中，60,1,ABC A b S ∆∠===求△ABC 外接圆的半径R.6、△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于（） A 2 B 12题型2判断三角形形状7、在△ABC 中，bcosA ＝a cosB ，试判断三角形的形状.8、在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 9、在△ABC 中，若cosA cosB ＝b a ，则△ABC 的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形10、△ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是（）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形11、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定考点3: 三角形中的三角变换12、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且A=600，c=3b.求：（Ⅰ）a c的值；（Ⅱ）cosB +sin C.13、三角形的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c ，设向量(,),(,),m c a b a n a b c m n =--=+若，,求角B 的大小；14、在Rt △ABC 中，∠C=90°,且∠A ，∠B ，∠C 所对的边a,b,c 满足a+b=cx ，求实数x的取值范围.15、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值。

正弦定理和余弦定理(复习)

c b a H C B A 正余弦函数复习一、知识点1．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===外（R 为外接圆的半径） (1)C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== C B A c b a s i n :s i n :s i n::= 注意：利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有解；a<bsinA 时无解 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc +-=； 3、面积公式：S=21a bsinC=21bcsinA=21c a sinB 利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

二、习题1.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A=3π，a =3，b=1，则 c 等于（） A. 1 B. 2 C. 13- D. 32. 已知△ABC 中，a =1，b=3，A=︒30，则角B 等于（）A. ︒60B. ︒60或︒120C. ︒30或︒150D. ︒1203、在△ABC 中，已知222c bc b a ++=，则角A 为（）A 、 3π B. 6π C. 32π D. 3π或32π 4、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为（）A. 6πB. 3πC. 6π或65πD. 3π或32π5、在△ABC 中，若Cc B b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形6. 在△ABC 中，2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是 ( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 满足条件a=4,b=23,A=︒45的△ABC 的个数是 ( )A. 1个 B. 2个 C. 无数个 D. 不存在8、△ABC 的周长为20，面积为310，A=︒60，则BC 边长为（）A 、 5 B. 6 C. 7 D. 8二、填空题9、在△ABC 中，已知a =7，b=10，c=6，则△ABC 的形状是三角形10、在△ABC 中，若B=︒30，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积是 .11、在△ABC 中，已知BC=8，AC=5，△ABC 的面积为12，则cos2C= .三、解答题12、△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，B=3π，cosA=54，b=3. （1）求sinC 的值；（2）求△ABC 的面积.13、已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，它们的对边分别为a 、b 、c ，若m =（cosB ，sinC ），n =（cosC ，-sinB ），且m ·n =21.（1）求A ；（2）若a=32，△ABC 的面积S=3，求b+c 的值.14、三角形ABC 中的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ac b c a +=+222，且a ：c=（3+1）：2，求角C 的大小.15、(2010·陕西卷)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？16．(2010·福建卷，文)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．。

_正弦定理与余弦定理课件复习

(2)由正弦定理得csoinsAA＝csoinsBB＝csoinsCC 即 tanA＝tanB＝tanC， ∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC 为等边三角形．
答案：(1)等腰或直角三角形 (2)等边三角形
(理)(2011·天津模拟)在△ABC 中，cos2B2＝a＋2cc(a、b、 c 分别为角 A、B、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )
三角形的面积公式
[例 4] 已知△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C
的对边，且 a＝ 4， b＋ c＝ 5， tanB＋ tanC＋ 3 ＝ 3
tanB·tanC，则△ABC 的面积为( )
3 A. 4
B．3 3
C.3 4 3
D.34
分析：由 tanB＋tanC 及 tanB·tanC 联想到两角和的正切公式：tan(B＋C)＝1t－antBan＋Bt·atannCC，又 tan(B＋C)＝ tanA，故由条件式变形可求角 A，问题转化为已知边 a 角 A 和 b＋c 求△ABC 的面积，因此 S△ABC＝12bcsinA，只须用余弦定理建立 a、A、b、C 的方程，整体处理求出 bc 即可获解．
解析：(1)由余弦定理得 acosA＝bcosB⇒a·(b2＋2cb2c－a2)＝b·(a2＋2ca2c－b2)⇒a2c2 －a4－b2c2＋b4＝0， ∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0 ∴a2－b2＝0 或 c2－a2－b2＝0 ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
点评：可利用大边对大角讨论：由 cosB＝45得 sinB＝35>153＝sinA， ∴b>a，即 B>A，∴A 为锐角，∴cosA＝1123，以下略．

正弦定理和余弦定理复习总结教案

3、正弦定理和余弦定理复习总结1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，(R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形形式(边角转化)a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sinB ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．考点一利用正、余弦定理解三角形1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则A=___________解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.2．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，即332＝6sin B，所以sin B ＝22，所以∠B ＝π4.答案：π43．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63解析：利用正弦定理：a sin A ＝b sin B ，1532＝10sin B，所以sin B ＝33，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B ＝63.答案：D4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63解析：选C 因为a ＝62b ，A ＝2B ，所以由正弦定理可得62b sin 2B ＝b sin B ，所以622sin B cos B ＝1sin B ，所以cosB ＝64. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sinBcos C ＋c sinBcos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3 C.2π3D.5π6解析：选A 由正弦定理得，sin A sin Bcos C ＋sin C sin Bcos A ＝12sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析：因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. 答案：17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24B ．－24C.34 D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3解析：选B 由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332.9．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析：由2b cosB ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cosB ＝ac ＞0，cosB ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.答案：π3考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状1．在△ABC 中，已知三边a ＝3，b ＝5，c ＝7，则三角形ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定解析：何种三角形取决于最大的角．最长的边所对的角最大，由余弦定理知： cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12＜0，所以C 为钝角．答案：C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选C ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cosB ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D 因为c －a cosB ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B·cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin Bcos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．考点三与三角形面积有关的问题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b ＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( )A ．8B ．6C ．4D ．2 解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)，所以sin C ＝35，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6.答案：B2．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 解析：因为S ＝12bc sin A ＝32，所以12×2×3 sin A ＝32，所以sin A ＝32，所以A ＝60°或120°. 答案：D3．(2018·云南第一次统一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sinA sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A.32 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2B ．3＋1C ．23－2D ．3－1B [∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22， A ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝712π，∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.]课后演练1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：选B ∵a sin A ＝bsin B ，∴sinB ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又∵a <b ，∴B 有两个解，即此三角形有两解．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sinB －a sin A ＝12a sin C ，则cosB 为( )A.74 B.34 C.73 D.13解析：选B ∵b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，∴b ＝2a ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.5．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 6．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cosB ＝0，则角A 的大小为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，A ＝2π3.7．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 解析：选A 由题意可知sin B ＋2sinBcos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin Bcos C ＝sinA cos C ，又cos C ≠0，故2sinB ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .8．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.解析：C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：29．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，A ＝π4，b 2sin C ＝42sinB ，则△ABC 的面积为____．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：210．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：411．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝________.解析：由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2·3·(a ＋2)·78⇒a ＝2.答案：212．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°13．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·Bc sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：153414．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选C 法一：由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ，从而△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ，因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ，故△ABC 为等腰三角形．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sinB ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1416．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值． [解] (1)∵cos B ＝35＞0,0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝a b sin B ＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，∴c ＝5.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.17、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知b c A b a 3,sin 2==（1）求B 的值；（2）若ABC ∆的面积为32，求b a ,的值答案：解：（1）A b a sin 2=，⇒=A B A sin sin 2sin 21sin =B ， 30=B 或 150，b c >，所以 30=B ……………………6分（2）由 30cos 2222ac c a b -+=解得⇒=+-03222a ab b b a =或b a 2=…………① …………9分又⇒==∆3230sin 21ac S ABC 38=ac …………② b c 3=…………③由①②③⎩⎨⎧==24b a 或22==b a …………14分。

正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)

150°不符合题意，舍去．可得B＝30°.
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— 12 —
5．(易错题)在△ABC中，若ab＝ccooss AB，则△ABC的形状为( D )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
解析因为ab＝ccooss BA，所以由正弦定理可得ssiinn AB＝ccooss AB，即sin Acos A＝sin Bcos
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3．(2023·江门检测)在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，则cos A＝( A )
12 A.2 B. 2
3 C. 2
D．－
2 2
解析在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，由余弦定理得cos A＝ 422＋×342×－313＝16＋294－13＝12.
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— 16 —
针对训练 1．(2023·陕西渭南月考)在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC ＝( B ) A．2 2 B．3 C．6 D. 6 解析在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，故 49＝25＋BC2－2×5×BC× －12 ，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．
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2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝3 2，∠B＝45°，则△ABC的面积为( D )
A．2 2 B．4
7 C.2
9 D.2
解析由题意，S△ABC＝12AB·BC·sin∠B＝12×3×3 2× 22＝92.

正弦定理和余弦定理的复习[最新版]

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第十九教时教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。

过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形二、例一证明在△ABC 中A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径证略见P159注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+-=]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边例三在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===B C b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解二：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ C=75︒当226-=c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒ 例四试用坐标法证明余弦定理证略见P161例五在△ABC 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且 2cos(A+B)=1 求 1︒角C 的度数 2︒AB 的长度 3︒△ABC 的面积解：1︒cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21∴C=120︒ 2︒由题设：⎩⎨⎧=-=+232b a b a∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=103︒S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab例六如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒,∠BCD=135︒ 求BC 的长DC知识店铺 - 睿科知识云解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222 即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x解之：161=x 62-=x （舍去）由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC 例七（备用）△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。

高考数学复习第4章正弦定理和余弦定理

取公因式,以免漏解．
【小题热身】
一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( √ ) (2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．( × ) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则∠B＝45°或 ∠B＝135°.( × )
2．余弦定理
a2＝⑤_b_2_＋__c_2－__2_b_c__c_o_s_A_，b2＝⑥__a_2＋__c_2_－__2_a_c_c_o_s_B_____，c2＝⑦
____b__2__a+__2＋__c__2b__−2__－__a__22__a_，b__cco_os_sB_C＝__⑨_______. _a余_2_+弦__c_2定_−__理b_2_可，c以osC变＝形⑩_为_a_2：_+__cb_o2_s_A−_＝_c．2 ⑧
解析：由cosC ＝ AC22+ABCC·2B−CAB2 得 23 ＝ 162+×94−×A3B2 ， ∴AB ＝ 3 ， ∴cosB ＝ BA22+BBAC·2B−CAC2＝92+×93−×136＝19，故选A.
考点一利用正、余弦定理解三角形[自主练透型]
考向一：用正弦定理解三角形
1．[2021·北京朝阳区模拟]在△ABC中，B＝π6，c＝4，cosC＝
第六节正弦定理和余弦定理
【知识重温】
一、必记3个知识点 1①．_s_正in_a _弦A_＝_定_si_理nb_B_＝__s_inc__C＝__2_R__ ，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c ＝ ②__s_in__A_∶__s_in__B_∶__s_in__C_____ ； (2)a ＝2R sin A，cb＝2R sin B，③c_＝__2_R__s_in__C_；(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝④___2_R____等形式，以解决不同的三角形问题．

高考正弦和余弦定理题型复习

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.
(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：
失误防范
1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．
．
互动探究
1若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．
方法感悟:
方法技巧
解三角形常见题型及求解方法
(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.
(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦定理，求出角B，C.
2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
例7.在中，a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边，如果，判断三角形的形状．
例8.在△ABC中，已知，试判断此三角形的形状。
【同类型强化】1.在 ABC中,若 ,试判断 ABC的形状
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(3)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别
3．余弦定理：
4．余弦定理可以解决的问题：
（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

正弦定理、余弦定理复习课

利用正、余弦定理解三角形复习课【例1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ； (2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．练习1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A . (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．判断三角形的形状【例2】在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．练习2．在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，试判断△ABC 的形状．正、余弦定理的实际应用【例3】如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C .景区管委会开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上．已知AB ＝5 km.(1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C 与景点D 之间的距离．(结果精确到0.1 km) (参考数据：3≈1.73，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)练习3．如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)．【例4】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．练习4.已知S △ABC ＝30且cos A ＝1213，求AB →·AC →的值．班级姓名学号成绩一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分) 1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k >0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有………( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为…………………( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝…………………………………( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6 4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝……………………………( )A ．±53 B.23 C ．－53 D.535．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于 …………………………………………………………………………………………( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3 C ．3∶5∶7 D ．4∶5∶66．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC的面积为32，那么b 等于……………………………………………………………………( )A.1＋32 B ．1＋3 C.2＋22D ．2 37．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是……( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c，则△ABC 的形状为…………………………………………………………………………………………( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 9．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为…………………………………………………………………………………( )A ．2 2B ．82 C. 2 D.2210．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为…………………………………………………………………………………( )A.154B.1534C.2134D.3534 11．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为……………………………………………………………( )A.12小时 B ．1小时 C.32小时 D ．2小时12．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为…………………………………………………………………………………( )A.33 B.36 C.63D.66二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________． 14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.15．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于________，AC 的取值范围为________．16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba ； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值； (2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．19．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值； (2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值．20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小； (2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)。

复习正弦定理和余弦定理

余弦定理
二.正弦定理几何意义
在一个三角形中，各边和它所对角
的正弦的比相等，即
C
a b c 2R . siA n siB n siC n
b
a
O
（2R为△ABC外接圆直径）
Ac
B 它适合于任何三角形。
D
每个等式可视为一个方程：知三求一
定理
正弦定理
余弦定理
①已知两角和任一边，①已知三边，求
求另一角和其他两条各角；
即ab＝6. ①
故a＋b＝5.
由余弦定理得
a 2 b 2 2 a b c o s 7 ,即 a 2 b 2 a b 7 . 3
法二：前同法一，联立①、②得
消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4或a2＝9.
所以
或
Jiedgeshu 置顶里
2.(2010·沈阳质检)在△ABC中，m＝(sinA，cosC)，n＝ (cosB，sinA)，m·n＝sinB＋sinC. (1)求证：△ABC为直角三角形； (2)若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围.
解：设△ABC内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c， (1)证明∵m＝(sinA，cosC)，n＝(cosB，sinA)， m·n＝sinB＋sinC，
∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC. ∴sinB ＝ sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC ∴ sinC= sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB. ∴ cosAsinC+cosAsinB=0 ∴cosA(sinC+sinB)=0
法二：同法一可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB，由正余弦定理，即得