正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点总结及高考考试题型正余弦定理是初中数学中不可避免的知识点之一，也是高中数学中必须掌握的内容之一。
在实际应用中，正余弦定理有着广泛的应用，因此掌握正余弦定理在数学学习中是非常重要的。
本文将介绍正余弦定理的知识点及在高考考试中的应用。
一、正余弦定理的概念正余弦定理也叫余弦定理，是解题方法中的三角函数法。
它适用于求三角形的任意一边或角，无论是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可以应用。
正余弦定理是指在一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边对应的角的余弦值的积的两倍之差。
二、正余弦定理的公式设三角形ABC中，a、b、c是三角形的三边，A、B、C是三角形的三个内角，则正余弦定理的公式如下：①cosA=(b²+c²-a²)/2bc②cosB=(a²+c²-b²)/2ac③cosC=(a²+b²-c²)/2ab其中，a表示边BC对应的角，b表示边AC对应的角，c表示边AB对应的角。
三、正余弦定理的应用1、求任意三角形的边长求三角形的边长是初学者需要掌握的基本应用之一。
那么设一个三角形，已知除一边外的两边及夹角，用正余弦定理求另一边的长度。
例如：已知三角形ABC中，a=9，b=12，∠C=120°，求c。
解：根据正余弦定理中的公式③cosC=(a²+b²-c²)/2ab，可以推导出c²=a²+b²-2abcosC，代入数值：c²=9²+12²-2×9×12×cos120°。
cos120°=-0.5，所以c²=169，c=13。
因此，三角形ABC的边长c=13。
2、求三角形内的角度求出三角形的内角度量也是三角形解题的基本应用之一。
用正余弦定理解题时，需要掌握反三角函数的概念及应用。
2023年高考数学一轮复习(全国版理)-第4章-4.8-正弦定理、余弦定理
§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sinA ＋B 2＝cos C2；cos A ＋B 2＝sin C 2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .(√)(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．(×)教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.2．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝.答案45°解析由正弦定理知a sin A ＝b sin B，则sin B ＝b sin Aa＝42×3243＝22.又a >b ，则A >B ，所以B 为锐角，故B ＝45°.3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则c ＝，△ABC 的面积＝.答案7332解析易知c ＝4＋9－2×2×3×12＝7，△ABC 的面积等于12×2×3×32＝332题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD ·sin ∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝b;[切入点：角转化为边](2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .[关键点：∠BDA 和∠BDC 互补]高考改编在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C .(1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c ＝2，AD ＝13，求a .解(1)根据正弦定理，由b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C ，可得bc ＋a 2＝b 2＋c 2，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.(2)因为D 是线段BC 的中点，c ＝2，AD ＝13，所以∠ADB ＋∠ADC ＝π，则cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＋AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝0，即13＋a 24－22213·a 2＋13＋a 24－b2213·a 2＝0，整理得a 2＝2b 2－44，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4－2b ，所以b 2＋4－2b ＝2b 2－44，解得b ＝6或b ＝－8(舍)，因此a 2＝2b 2－44＝28，所以a ＝27.思维升华解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．跟踪训练1(2021·北京)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3.(1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝2b ；②周长为4＋23；③面积为S △ABC ＝334.解(1)∵c ＝2b cos B ，则由正弦定理可得sin C ＝2sin B cos B ，∴sin 2B ＝sin2π3＝32，∵C ＝2π3，∴B2B∴2B ＝π3，解得B ＝π6.(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得c b ＝sin C sin B ＝3212＝3，与c ＝2b 矛盾，故这样的△ABC 不存在；若选择②：由(1)可得A ＝π6，设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得a ＝b ＝2R sin π6＝R ，c ＝2R sin2π3＝3R ，则周长为a ＋b ＋c ＝2R ＋3R ＝4＋23，解得R ＝2，则a ＝2，c ＝23，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为(23)2＋12－2×23×1×cos π6＝7；若选择③：由(1)可得A ＝π6，即a ＝b ，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334，解得a ＝3，则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为＝3＋34＋3×32＝212.题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形形状判断例2在△ABC 中，c －a 2c＝sin 2B2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为()A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B 2，所以c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝a c .方法一由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＝ac ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cos B ＝sin A sin C，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为三角形的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．延伸探究将“c －a 2c＝sin 2B 2”改为“sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解因为sin A sin B ＝ac ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3(2022·沧州模拟)在①sin A ，sin C ，sin B 成等差数列；②a ∶b ∶c ＝4∶3∶2；③b cos A＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，c ＝1，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解因为a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.选择①：因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，所以sin A ＋sin B ＝2sin C ，即a ＋b ＝2c ＝2，由a 2＋b 2－c 2＝a 2＋b 2－1＝ab ，得(a ＋b )2－3ab ＝1，所以ab ＝1，故存在满足题意的△ABC ，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×sin π3＝34.选择②：因为a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，所以A >B >C ＝π3，这与A ＋B ＋C ＝π矛盾，所以△ABC 不存在．选择③：因为b cos A ＝1，所以b ·b 2＋1－a 22b ＝1，得b 2＝1＋a 2＝c 2＋a 2，所以B ＝π2，此时△ABC 存在．又C ＝π3，所以A ＝π6，所以a ＝1×tan π6＝33，所以S △ABC ＝12ac ＝36.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值；(2)求CD 的长．解(1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B.∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA＝∠BCE，∴cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝1－328＝5714.∵A＝π2，∴△AED为直角三角形，又AE＝5，∴ED＝AEcos∠DEA＝55714＝27.在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×2749.∴CD＝7.思维升华平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案D解析因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．(2)(2022·郑州模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝9，cos B ＝23，点D 在BC 边上，AD ＝7，∠ADB为锐角．①求BD ；②若∠BAD ＝∠DAC ，求sin C 的值及CD 的长．解①在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝AD 2，整理得BD 2－12BD ＋32＝0，所以BD ＝8或BD ＝4.当BD ＝4时，cos ∠ADB ＝16＋49－812×4×7＝－27，则∠ADB >π2，不符合题意，舍去；当BD ＝8时，cos ∠ADB ＝64＋49－812×8×7＝27，则∠ADB <π2，符合题意，所以BD ＝8.②在△ABD 中，cos ∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝92＋72－822×9×7＝1121，所以sin ∠BAD ＝8521，又sin ∠ADB ＝357，所以sin C ＝sin(∠ADB －∠CAD )＝sin(∠ADB －∠BAD )＝sin ∠ADB cos ∠BAD －cos ∠ADB sin ∠BAD ＝357×1121－27×8521＝175147，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin C，即CD ＝AD sin C ·sin ∠CAD ＝7175147×8521＝39217.课时精练1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于()A.π2 B.π3C.π4 D.π6答案C 解析根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2022·北京西城区模拟)在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于()A.35B.31C ．6D ．5答案B 解析因为sin A ＝6sin B ，由正弦定理可得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×1×6×12，解得c ＝31.3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，cos 2A ＝－725，则△ABC 外接圆半径为()A ．5B ．3 C.52 D.32答案C解析因为cos 2A ＝－725，所以1－2sin 2A ＝－725，解得sin A ＝±45，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝45，又a ＝4，所以2R ＝a sin A ＝445＝5，所以R ＝52.4．(2022·河南九师联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b ，sin 2A－3sin 2B ＝12sin A sin C ，则角C 等于()A.π6 B.π3C.π2D.2π3答案B 解析∵sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ，由正弦定理可得a 2－3b 2＝12ac ，∵c ＝2b ，∴a 2－3b 2＝12a ·2b ＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3b 22ab＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.5．(2022·济南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2b sin A ＝5a cos B ，AB ＝2，AC ＝26，D 为BC 的中点，E 为AC 上的点，且BE 为∠ABC 的角平分线，下列结论正确的是()A ．cos ∠BAC ＝－66B ．S △ABC ＝35C ．BE ＝2D ．AD ＝25解析由正弦定理可知2sin B sin A ＝5sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴2sin B ＝5cos B .又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴sin B ＝53，cos B ＝23，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝6.A 项，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋24－362×2×26＝－66，故A 正确；B 项，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2×6×53＝25，故B 错误；C 项，由角平分线性质可知AE EC ＝AB BC ＝13，∴AE ＝62.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos A＝4＋32－2×2×62×＝152，∴BE ＝302，故C 错误；D 项，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝4＋9－2×2×3×23＝5，∴AD ＝5，故D 错误．6．(2022·张家口质检)下列命题中，不正确的是()A ．在△ABC 中，A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形解析对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∵A ＋B >π2，∴π2>A >π2－B >0，∴sin A cos B ，∴不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，由a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴是假命题，错误；对于D ，由B ＝60°，b 2＝ac ，利用余弦定理可得b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故正确．7．(2022·许昌质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3.则△ABC 的面积为．答案1534解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3，∴(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3c 解得c ＝5，则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×32＝1534.8．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝.答案22解析由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22(负值舍去)．9．(2022·南平模拟)在①2c cos B ＝2a －b ，②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2且4sin A sin B ＝3，求△ABC 的面积．解(1)若选条件①2c cos B ＝2a －b ，则2c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2a －b ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.若选条件②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，则34(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.若选条件③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，则(1－sin 2A )－(1－sin 2C )＝sin 2B －sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为c ＝2，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以sin A ＝34a ，sin B ＝34b ，又因为4sin A sin B ＝3，所以ab ＝4，△ABC 的面积为12ab sin C ＝3.10．(2022·湘豫联盟联考)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝8，AD ＝7，点D 在BC 上，且cos∠ADC ＝17.(1)求BD ；(2)若cos ∠CAD ＝32，求△ABC 的面积．解(1)∵cos ∠ADB ＝cos(π－∠ADC )＝－cos ∠ADC ＝－17.在△ABD 中，由余弦定理得82＝BD 2＋72－2·BD ·7·cos ∠ADB ，解得BD ＝3或BD ＝－5(舍)．(2)由已知sin ∠ADC ＝437，sin ∠CAD ＝12，∴sin C ＝sin(∠ADC ＋∠CAD )＝437×32＋17×12＝1314.由正弦定理得CD ＝AD sin ∠CAD sin C ＝7×121314＝4913，∴BC ＝3＋4913＝8813，∴S △ABC ＝12×8×8813×32＝176313.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S＝(a ＋b )2－c 2，则sin ()A ．1B ．－22C.22D.32答案C解析因为S ＝12ab sin C ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝－1(舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则＝22(sin C ＋cos C )＝22.12．(2022·焦作模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，且(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，则cos B 等于()A.1314 B.1114C.12D ．－12答案B解析因为(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，所以sin 2A ＋sin 2B ＋2sin A ·sin B ＋1－sin 2C＝1＋sin A·sin B，所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，又a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，即a＋c＝2b，a＋b＋c＝15，2＋b2－c2＝－ab，＋c＝2b，＋b＋c＝15，＝3，＝5，＝7.cos B＝a2＋c2－b22ac＝32＋72－522×3×7＝1114.13．(2022·开封模拟)在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝3π4，AB＝32，AD＝210，若AC＝35，则CD为．答案1或5解析因为在△ABC中，∠B＝3π4，AB＝32，AC＝35，由正弦定理可得ACsin B＝ABsin∠ACB，所以sin∠ACB＝AB·sin BAC＝32×2235＝55，又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余，因此cos∠ACD＝sin∠ACB＝55，在△ACD中，AD＝210，AC＝35，由余弦定理可得cos∠ACD＝55＝AC2＋CD2－AD22AC·CD＝5＋CD265CD，所以CD2－6CD＋5＝0，解得CD＝1或CD＝5.14．(2022·安徽舒城中学模拟)托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为．答案93解析在△ABD 中，设AB ＝a ，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝3a 2，所以BD ＝3a ，由托勒密定理可得a (BC ＋CD )＝AC ·3a ，即BC ＋CD ＝3AC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝30°，所以四边形ABCD 的面积S ＝12BC ·AC sin 30°＋12CD ·AC sin 30°＝14(BC ＋CD )·AC ＝34AC 2＝9 3.15．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边)．现有△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝63，则下列结论不正确的是()A ．△ABC 的周长为10＋27B ．△ABC 的三个内角满足A ＋B ＝2CC ．△ABC 的外接圆半径为2213D ．△ABC 的中线CD 的长为32答案D 解析A 项，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，因为S △ABC ＝63，所以63解得t ＝2，则a ＝4，b ＝6，c ＝27，故△ABC 的周长为10＋27，A 正确；B 项，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋36－282×4×6＝12，所以C ＝π3，A ＋B ＝π－π3＝2π3＝2C ，故B 正确；C 项，因为C ＝π3，所以sin C ＝32，由正弦定理得2R ＝c sin C ＝2732＝4213，R ＝2213，C 正确；D 项，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋28－362×4×27＝714，在△BCD 中，BC ＝4，BD ＝7，由余弦定理得cos B ＝16＋7－CD 22×4×7＝714，解得CD ＝19，D 错误．16．(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝a ＋1，c ＝a ＋2.(1)若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解(1)因为2sin C ＝3sin A ，则2c ＝2(a ＋2)＝3a ，则a ＝4，故b ＝5，c ＝6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝18，所以C 为锐角，则sin C ＝1－cos 2C ＝378，因此，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×378＝1574.(2)显然c >b >a ，若△ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＝a2－2a－32a(a＋1)<0，则0<a<3，由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，因为a∈N*，故a＝2.。
专题4.5正弦定理和余弦定理的应用(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 正弦定理和余弦定理的应用一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；①利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【例1】 (2020·广西五市联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ①B ①C 为( ) A ．1①1①3 B ．1①2①3 C ．1①3①2D ．1①4①1【解析】：法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ①B ①C ＝1①2①3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，①ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A . ①求角B 的大小；①若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理，得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos①ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72.因为cos①BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos①BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192.题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B＝a sin A ，则①ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．【例2】在①ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则①ABC 的形状为 ．【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ，A ＝π2或A ＝B ，故①ABC 为等腰或直角三角形．题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一 计算三角形的面积【题型要点】1.①ABC 的面积公式(1)S ①ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S ①ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ①ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则①ABC的面积为 ．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以①ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以①ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.【例2】(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则①ABC 的面积为 ．【解析】因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S ①ABC ＝12ab sin C＝12×23sin π6＝32. 命题角度二 已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且①ABC 的面积为32，则ab ＝ ，a ＋b ＝ ． 【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cos C ＝13，则C 为锐角，所以sin C ＝223.由①ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以ab ＝9.由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若①ABC 的面积为3，周长为8，求a .【解析】：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．【例1】(2020·福州市质量检测)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求①ABC 外接圆的直径；(2)求a ＋c 的取值范围．【解析】：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，①ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sin π3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知①ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛A -32π＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A cos 21sin 23＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA . 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1，从而32＜3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－322⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a ＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 题型五 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ①R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，①ABC 的面积为12，求a 的值．【解析】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1.令2x ＋π6①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-，k ①Z ，解得x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z .(2)因为f (A )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA ＋1＝2，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πA ＝1. 因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由①ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，解得a ＝3－1. 【例2】①ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B . (1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB 的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值． 【解析】：(1)法一：在①ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin(π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0，则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB ＝3cos A ＋sin(π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πA ， 因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πA 的最大值为2，此时B ＝π2.二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在①ABC 中，a ①b ①c ＝3①5①7，那么①ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形【解析】：因为a ①b ①c ＝3①5①7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，①ABC 是钝角三角形，故选B. 2．(2020·河北衡水中学三调)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B sin C ＝sin 2A ，则①ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：在①ABC 中，因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A ①(0，π)，所以A ＝π3，因为sin B sin C ＝sin 2A ，所以bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c ，所以①ABC 的形状是等边三角形，故选C.3．(2020·河南南阳四校联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( ) A.823 B.1433 C.73D ．733【解析】：因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D. 4．(2020·湖南省湘东六校联考)在①ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2＝ac ，且sin C ＝2sinB ，则其最小内角的余弦值为( )A ．－24 B.24 C.528D ．34【解析】：由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2＝ac ，所以b ＝2a ，所以c ＝2a ，所以A 为①ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a＝528，故选C.5．(2020·长春市质量监测(一))在①ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( ) A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°【解析】：法一：由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sin C ＝12sin C ，又在①ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.6.(2020·河南三市联考)已知a ，b ，c 分别为①ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ①sin B ＝1①3，c ＝2cos C ＝3，则①ABC 的周长为( ) A ．3＋3 3 B ．23 C ．3＋2 3D ．3＋3【解析】：因为sin A ①sin B ＝1①3，所以b ＝3a ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以①ABC 的周长为3＋23，故选C.7．(2020·湖南师大附中4月模拟)若①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，①ABC的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B.5 C.13D ．17【解析】：因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A . 所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.易得cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a ＝1.故选A. 8．(2020·开封市定位考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，①ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( ) A ．10 B ．12 C ．8＋ 3D ．8＋23【解析】：因为①ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cosA ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以①ABC 为正三角形，所以①ABC 的周长为3×4＝12.故选B.9．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，①D ＝90°，①BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B.6C.7D ．22【解析】：如图，在①ACD 中，①D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以①CAD ＝60°.又①BAD ＝120°，所以①BAC ＝①BAD －①CAD ＝60°.在①ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos①BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.10.(2020·广州市调研测试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2Cc ＝sin A sin Ba cos B ＋b cos A ，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．[2，4)C ．[1，4)D ．(2，4]【解析】：根据正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin A cos B ＋cos A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin （A ＋B ），由三角形内角和定理可得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，再根据正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .因为a ＋b ＝4，a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，(a ＋b )2＝16，得a 2＋b 2＝16－2ab ，所以16－2ab －c 2＝ab ，所以16－c 2＝3ab ，故16－c 2≤12，c 2≥4，c ≥2，故2≤c ＜4，故选B.二、填空题1.在①ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A cos C －sin B cos C ＝0，则三角形的形状为 ． 【解析】：由已知得cos C (sin A －sin B )＝0，所以有cos C ＝0或sin A ＝sin B ，解得C ＝90°或A ＝B . 2．(2020·天津模拟)在①ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ，则cos B ＝ ．【解析】：在①ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sinC ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.3．(2020·河南期末改编)在①ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，则C ＝ ，BC ＝ ．【解析】：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sin C ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sin C ．结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BC sin A，解得BC ＝ 2.4.在①ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则①ABC 的面积为 ．【解析】：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S ①ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.5．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在①ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝ ，①ABC 的面积等于 ．【解析】：①ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝4×sinπ323＝1.又B 为三角形的内角，所以B ＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2，所以S ①ABC ＝12×2×23＝2 3.6．在①ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S ①ABC ＝574，则b 的值为 ．【解析】：由sin A sin B ＝5c 2b ①a b ＝5c 2b ①a ＝52c ，①由S ①ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，①联立①，①得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.三 解答题1.(2020·兰州模拟)已知在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长．【解析】：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0，所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0，即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πA ＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4. (2)在①ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22-，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2. 2.在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求cos B 的值．【解析】：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B 2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.3.(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求①ABC 面积的最大值．【解析】：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ， 所以bc ≤4(2＋3)，所以S ①ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故①ABC 面积的最大值为2＋ 3.4．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：①ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且①ADB ＝2①ACD ，a ＝3，求b 的值．【解析】：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ，所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ，由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c .故①ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1，因为①ADB ＝2①ACD ＝①ACD ＋①DAC ， 所以①ACD ＝①DAC ，所以AD ＝CD ＝1.又因为cos①ADB ＝－cos①ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9，由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3.法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以①B ＝①C ，又因为①DAC ＝①ADB －①C ＝2①C －①C ＝①C ＝①B ， 所以①CAB ①①CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1，所以b ＝ 3.5.(2020·重庆市学业质量调研)①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知①ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】：(1)因为S ①ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6.由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7.所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎪⎪⎭⎫⎝⎛147-＝13.所以BD ＝13.。
高考专题正弦定理和余弦定理
⾼考专题正弦定理和余弦定理⾼考专题正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三⾓形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三⾓形中三边之⽐等于相应的三个内⾓之⽐.( )(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐⾓三⾓形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直⾓三⾓形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝⾓三⾓形.( ) (5)在三⾓形中，已知两边和⼀⾓就能求三⾓形的⾯积.( ) 解析 (1)三⾓形中三边之⽐等于相应的三个内⾓的正弦值之⽐. (3)已知三⾓时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三⾓形ABC 不⼀定为锐⾓三⾓形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3? ????b ＝－13舍去，故选D. 答案 D3.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A ，则cos B ＝( )A.－12B.12C.－32D.32 解析由正弦定理知sin B 3cos B＝sin Asin A ＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的⾯积为32，则BC 的长为( ) A.32 B.3 C.2 3D.2解析因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B5.在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三⾓形的形状为________. 解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三⾓形为等腰三⾓形或直⾓三⾓形. 答案等腰三⾓形或直⾓三⾓形6.已知钝⾓△ABC 的⾯积为12，AB ＝1，BC ＝2，则⾓B ＝________，AC ＝________.解析∵钝⾓△ABC 的⾯积为12，AB ＝1，BC ＝2，∴12＝12×1×2×sin B ，解得sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4，∵当B ＝π4时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2×1×2×22＝1，此时，AB 2＋AC 2＝BC 2，可得A ＝π2，此△ABC 为直⾓三⾓形，与已知⽭盾，舍去.∴B ＝3π4，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2×1×2×22＝ 5. 答案3π45考点⼀利⽤正、余弦定理解三⾓形【例1】(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满⾜条件的三⾓形有()A.1个B.2个C.0个D.⽆法确定(2)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内⾓A，B，C 的度数依次是________.(3)设△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.解析(1)∵b sin A＝6×22＝3，∴b sin A∴满⾜条件的三⾓形有2个.(2)由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即2b2＝b2＋c2－2bc cos A，⼜c2＝b2＋2bc，∴cos A＝22，∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°，sin B＝12，⼜B∈(0°，180°)，b＜a，∴B＝30°，∴C＝105°.(3)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.⼜C＝π6，B＋C<π，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.⼜a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.答案(1)B(2)45°，30°，105°(3)1规律⽅法(1)判断三⾓形解的个数的两种⽅法①代数法：根据⼤边对⼤⾓的性质、三⾓形内⾓和公式、正弦函数的值域等判断.②⼏何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.(2)已知三⾓形的两边和其中⼀边的对⾓解三⾓形.可⽤正弦定理，也可⽤余弦定理.⽤正弦定理时，需判断其解的个数，⽤余弦定理时，可根据⼀元⼆次⽅程根的情况判断解的个数.【训练1】 (1)在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A.1B.2C.4D.6(2)△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析 (1)a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ?13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去).(2)在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 答案 (1)C (2)2113考点⼆利⽤正弦、余弦定理判定三⾓形的形状(典例迁移)【例2】 (经典母题)设△ABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐⾓三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.钝⾓三⾓形D.不确定解析由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 B【迁移探究1】将本例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC ⼀定是( )A.直⾓三⾓形B.等腰三⾓形C.等腰直⾓三⾓形D.等边三⾓形解析法⼀由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π法⼆由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ?a 2＝b 2?a。
正余弦定理题型总结（全）
正余弦定理题型总结（全）平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量→→b a ,共线的充要条件是（）A.→→b a ,方向相同B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→→b a //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设→→b a ,是两个非零向量（）A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b aB. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→→→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得→→=a b λ D 若存在实数λ，使得→→=a b λ，则→→→→=+ba b a _例二：设两个非零向量→→21e e 与，不共线，（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e e e e e ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→→21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。
变式二：已知向量→→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（）A. +=B. +=C. +=D. ++=变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（）A. A =变式二：在平行四边形ABCD 中=，=，3=,M 为BC 的中点，则= ( 用,表示)例二：在三角形ABC 中，=，=,若点D 满足2=,则=( )A. ,3132+B. ,3235-C. ,3132-D. ,3231+变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，b CA =21==,则=CD ( )A. ,3231+B. ,3132b a +C. ,5453+ D. ,5354b a +变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则++,与( )A.反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,=,=则=( )A.,2141+ B. ,3132+ C. ,4121+ D. ,3231+题型三：三点共线定理及其应用例一：点P 在AB 上，求证：μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若,m =,n =则m+n=例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则= A. ,5452- B. ,5452+ C. ,5452+- D. ,5452--题型四：向量与三角形四心一、内心例一：O 是?ABC 所在平面内一定点，动点P满足），【∞+∈++=0λλ，则点P的轨迹一定通过?ABC 的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心变式一：已知非零向量与满足0=?+AC AB，且21=AC AB ，则?ABC 为（） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二：?=?+?+?P 为?ABC 的内心二、重心例一：O 是?ABC 内一点，=++，则为?ABC 的（）A.外心B.内心C .重心 D.垂心变式一：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：?++=)(31O 为?ABC 的重心变式二：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，若?+=)(31AC AB AO O 为?ABC 的重心三垂心：例一：求证：在?ABC 中，??=?=? O 为?ABC 的垂心变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,R ∈++=λλ则点P 的轨迹一定通过?ABC 的（）A.外心B.内心C.重心 D .垂心四外心例一：若O 是?ABC 的外心，H 是?ABC 的垂心，则OH ++=变式一：已知点O ，N ，P 在?ABC 所在平面内，且==++=，题型五：向量的坐标运算例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且CB CN CA CM 2,3==,试求点M,N 和的坐标。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点总结及高考考试题型一、正余弦定理的概念正余弦定理，又称余正定理、角-边-角定理，是指用三角形中的一个角和与它相对的两边的长度，来表示三角形中的另外两个角与其对应的两边之间的关系的公式。
二、正余弦定理的形式对于一个三角形ABC，设三个边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，将角A所对应的边称为边a，角B所对应的边称为边b，角C所对应的边称为边c。
（1）正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin C}$（2）余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$三、正余弦定理的应用正余弦定理是基本的三角函数之一，它们在高中数学教育中被广泛应用。
通常在三角形的求面积过程中被使用。
考生还需能够将它们应用在其他相关的三角形求解问题中。
例如，可以用正余弦定理解决以下问题：（1）求三角形的面积。
（2）判断三角形是否为等腰三角形，是否为等边三角形。
（3）确定三角形的内角度数。
（4）求解三角形的未知边和角。
四、正余弦定理在高考考试中的出现形式正余弦定理在高考考试中经常作为解决三角形问题的关键公式。
它们常表现为单独的选择题或解答题，也可能是复合型题目的一部分。
（1）选择题样例：已知三角形ABC的边长分别为11、12、13，若$\angle C$ 的角度等于$\frac{\pi}{2}$，则$\sin A+\cos B$ 等于（）A. $\frac{24}{13}$B. $\frac{22}{13}$C. $\frac{20}{13}$D. $\frac{18}{13}$（2）解答题样例：已知$\triangle ABC$，且$AB=8, AC=6,BC=10$，则$\triangle ABC$的面积是多少？解：由余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{100-36-64}{2×10×8}=-\frac{1}{8}$由正弦定理，$2S=\frac{1}{2}bc\sin A=24\sin A=24\sqrt{1-\cos^2 A}=24\sqrt{1-\frac{1}{64}}=\frac{48}{\sqrt{3}}$因此，$\triangle ABC$ 的面积为$\frac{24}{\sqrt{3}}$。
高考数学专项正余弦定理知识点及例题解析精讲
正、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．请注意综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径．变式：a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ． a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ；b 2＝a 2＋c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ．变式：cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sinBsinCcosA.解三角形(1)已知三边a ，b ，c.运用余弦定理可求三角A ，B ，C. (2)已知两边a ，b 及夹角C. 运用余弦定理可求第三边c. (3)已知两边a ，b 及一边对角A. 先用正弦定理，求sinB ：sinB ＝bsinAa.①A 为锐角时，若a<bsinA ，无解；若a ＝bsinA ，一解；若bsinA<a<b ，两解；若a ≥b ，一解．②A 为直角或钝角时，若a ≤b ，无解；若a>b ，一解．(4)已知一边a 及两角A ，B(或B ，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．三角形常用面积公式(1)S ＝12a·h a (h a表示a 边上的高)．(2)S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R .(3)S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)在△ABC 中，A>B 必有sinA>sinB.(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2>a 2，则△ABC 为锐角三角形．(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B ＝45°或∠B ＝135°. (4)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，则实数a 的取值范围是(3，2)．(5)在△ABC 中，若acosB ＝bcosA ，则△ABC 是等腰三角形． (6)在△ABC 中，若tanA ＝a 2，tanB ＝b 2，则△ABC 是等腰三角形． 2．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2bsinA ，则B 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．60°或120° D ．30°或150°3．(2016·课标全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cosA ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．34．(2017·课标全国Ⅱ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcosB ＝acosC ＋ccosA ，则B ＝________．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________．6．在△ABC 中，已知c ＝102，A ＝45°，在a 分别为20，102，2033，10和5的情况下，求相应的角C.题型一 利用正余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，A ＝45°，求角B ，C 及边c.(2)在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6，则2acosAc＝________．(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝ba sinA ＝3>1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．(2)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．思考题1 (1)(2017·课标全国Ⅲ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．(2)(2016·课标全国Ⅲ，理)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cosA ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010题型二 正余弦定理的综合运用(1)(2017·课标全国Ⅰ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA.①求sinBsinC ；②若6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.①求tanC 的值；②若△ABC 的面积为3，求b 的值．思考题2 (1)(2017·天津，理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a>b ，a ＝5，c ＝6，sinB ＝35.①求b 和sinA 的值； ②求sin(2A ＋π4)的值．(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，bsin(π4＋C)－csin(π4＋B)＝a.①求证：B －C ＝π2；②若a ＝2，求△ABC 的面积．题型三 判断三角形形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bccosB ·cosC ，试判断△ABC 的形状．★状元笔记★三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2RsinA ，a 2＋b 2－c 2＝2abcosC 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA ＝sinB ⇔A ＝B ；sin(A －B)＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等．(2)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．思考题3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B)，判断△ABC 的形状．题型四 解三角形(2018·皖南八校联考)如图，在四边形ABCD中，已知AB ⊥AD ，∠ABC ＝120°，∠ACD ＝60°，AD ＝27，设∠ACB ＝θ，点C 到AD 的距离为h.(1)用θ表示h 的解析式；(2)求AB ＋BC 最大值．思考题4 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角，②化角为边；并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2．用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等．3．在判断三角形形状或解斜三角形时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A ＋B ＋C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°.作业(二十六)(第一次作业)1．(2018·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12B ．1C. 3 D ．22．(2018·山西五校联考)在△ABC 中，a ＝3b ，A ＝120°，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．(2018·陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)4．(2018·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4D ．25．(2018·东北八校联考)已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cosA ＝( )A.32B ．－22C ．－24D ．－346．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)．则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4D.π67．(2014·江西，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A ．－19B.13 C ．1D.728．(2018·安徽合肥检测)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC.若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(3，6]B ．(3，5)C ．(5，6]D ．[5，6]9．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 10．(2018·河南信阳调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，S ＝34(a 2＋b 2－c 2)，则C 的大小为________． 11．(2017·甘肃定西统考)在△ABC 中，若a 2b 2＝tanAtanB ，则△ABC 的形状为________．12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________．13．(2018·广东揭阳一模)在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，点D 在边AB 上，且DA ＝DC ，BD ＝1，则∠DCA ＝________．14．(2017·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．15．(2018·河南豫南九校质量考评)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2－c 2a 2＋c 2－b 2＝2sinA －sinC sinC ，且b ＝4.(1)求角B ；(2)求△ABC 面积的最大值．16．(2017·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C)＝8sin 2B2.(1)求cosB ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.17．(2018·福建高中毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosC(1)求B的大小；(2)若a＝3，且AC边上的中线长为192，求c的值．18．(2018·衡水中学调研卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA ＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．(第二次作业)1．(2015·广东，文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝32且b<c，则b＝()A．3 B．2 2C．2 D. 32．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋3943．(2018·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于() A．150°B．90°C．60°D．30°4．(2018·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的A.32B. 3 C ．2 3D ．25．在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上均有可能6．(2016·北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________．7．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，2cosC ＋c ＝2b ，则△ABC 周长取值范围是________．8．(2015·广东，理)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3，sinB ＝12，C ＝π6，则b ＝________．9．(2018·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sinB ，1－cosB)与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．10.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．11.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．12．(2017·课标全国Ⅲ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．13．(2017·山东，文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a.14．(2017·天津，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asinA ＝4bsinB ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)． (1)求cosA 的值； (2)求sin(2B －A)的值．1．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2)D ．(0，2)2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( )A．2 5 B. 5C．25或 5 D．均不正确3．(2015·课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．4．(2017·西安五校模拟)M为等边△ABC内一动点，且∠CMB＝120°，则AMMC的最小值为________．5．(2015·安徽，文)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．。
正弦定理余弦定理题型总结
正弦定理余弦定理题型总结一、利用正弦定理求解三角形（已知两角和一边）1. 题目。
在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b的值。
2. 解析。
根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)。
已知A = 30^∘，sin A=sin30^∘=(1)/(2)；B = 45^∘，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，a = 2。
代入正弦定理可得b=(asin B)/(sin A)=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。
二、利用正弦定理求解三角形（已知两边和其中一边的对角）1. 题目。
在△ ABC中，a = 3，b = 4，A = 30^∘，求B的值。
2. 解析。
由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)。
已知a = 3，b = 4，A = 30^∘，sin A=sin30^∘=(1)/(2)。
则sin B=(bsin A)/(a)=(4×frac{1)/(2)}{3}=(2)/(3)。
因为b > a，所以B有两解，B=arcsin(2)/(3)或B = π-arcsin(2)/(3)。
三、利用余弦定理求解三角形（已知三边求角）1. 题目。
在△ ABC中，a = 3，b = 4，c = 5，求C的值。
2. 解析。
根据余弦定理cos C=frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}。
把a = 3，b = 4，c = 5代入可得：cos C=frac{3^2+4^2-5^2}{2×3×4}=(9 + 16-25)/(24)=0。
因为0^∘，所以C = 90^∘。
四、利用余弦定理求解三角形（已知两边和夹角求第三边）1. 题目。
在△ ABC中，a = 2，b = 3，C = 60^∘，求c的值。
2. 解析。
根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcos C。
已知a = 2，b = 3，C = 60^∘，cos C=cos60^∘=(1)/(2)。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
三角函数五——正、余弦定理一、知识点 （一）正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===a b c3sin B C4（（（解可 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型（1）已知两角,A B 与一边a ：由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b cA B B==，可 求出C ∠，再求,b c 。
（2）已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理， 求出角,B C 。
（3）已知三边a b c 、、，由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。
（4讲解 （知∆A ∠,A ．由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A =⋅==,故选A（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ） A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A . 由正弦定理C cA a sin sin =得，C sin 65627=.6sin =C 所以sin =B5.方法二5∴sin 9、（)0C =，求边又1+即12cos 0A -=，2，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD 752sin(4530)=+在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且 b.(1)求角A 的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由及正弦定理sin sin a bA B=,得, 因为(2)b 2+c 26、（3,则c =.4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,abc ，3A π=,1a b ==，则c =（ ）A 、1B 、2 C1 D 、32、在△ABC 中，分别为的对边.如果成等差数列，30°，△ABC 的面 A 、3）75213 C D 4B π=，则___________________.3，＝60°AB 的长度等于13（20132012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =(）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B B C B B ≠∴===-=（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asinB=3b ，则角A 等于（ ） A.3π B.4π C.6π D.12π【解题指南】本题先利用正弦定理B bA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” .【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. （2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π（2013 A . 3 5,=在△B 0=. (1)(2)若a 【解题指南】(1)借助三角形内角和为π，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程，求出B 的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B 与a c 1+=，由余弦定理可得b 2关于a 的函数，注意到a c 1+=可知0a 1<<，进而可求出b 的范围.【解析】（1）由已知得cos(A B)cos A cos B A cos B 0-++-=，即sin Asin B A cos B 0=.因为sin A 0≠，所以sin B B 0=,又cosB 0≠,所以tan B =,又0B <<π，所以B 3π=.（2）由余弦定理，有222b a c 2accos B =+-，因为a c 1+=，1cos B 2=,所以2211b 3(a )24=-+，又因为0a 1<<，所以21b 14≤<，即1b 12≤<.1sin BAM ∠=∠（2013·上海高考文科·T5）已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a +ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】π32设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((（I ）求B ; （II ）若413sin sin -=C A ,求C . 【解题指南】（I ）由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值，列出方程组确定C 的值. 【解析】（I ）因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+222.222（II 221+=故-C A10、（（I c = 所以A （2012（1（2【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3BC B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②, ①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.（I ）求B ； （Ⅱ）若75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=2222cos b a c ac B =+-cos 2B =45B =（II sin30=故6a +=60645c b ==1、∆C 的对边分别为 ）2 A A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A 、14-B 、14C 、23- D 、2310、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．111611、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12 B ．12C ． -1D ．112、已知在△ABC 中，10,a b A ===45°,则B = 。
正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳
●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题．★备考知考情1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题．3.三种题型都有可能出现,属中低档题. 一、知识梳理名师一号P62知识点一 正弦定理其中R 为△ABC 外接圆的半径变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222===a b c A B C R R R变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：补充关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;知识点二 余弦定理222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇔=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：补充1关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;2勾股定理是余弦定理的特例3在∆ABC 中,222090︒︒<+⇔<<a b c A用于判断三角形形状名师一号P63问题探究 问题3判断三角形形状有什么办法判断三角形形状的两种途径：一是化边为角；二是化角为边, 并常用正弦余弦定理实施边、角转换．知识点三 三角形中常见的结论△ABC 的面积公式有：①S ＝错误!a ·hh 表示a 边上的高；②S ＝错误!ab sin C ＝错误!ac sin B ＝错误!bc sin A ＝错误!；--知两边或两边的积及其夹角可求面积③S ＝错误!ra ＋b ＋cr 为内切圆半径．补充1++=A B C π2在三角形中大边对大角,大角对大边．3任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．4有关三角形内角的常用三角函数关系式sin()sin ,cos()cos ,tan()tan sin cos ,cos sin 2222+=+=-+=-++==B C A B C A B C A B C A B C A 利用++=A B C π及诱导公式可得之5在△ABC 中的几个充要条件:名师一号P63问题探究 问题4sin A >sin B 错误!>错误! a >b A >B .补充 cos cos A B A B >⇔<若R ∈、αβ或2k απβπ=-+k Z ∈或2k αβπ=-+k Z ∈45套之7--196锐角△ABC 中的常用结论 ∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π4．解斜三角形的类型名师一号P63问题探究 问题1利用正、余弦定理可解决哪几类问题在解三角形时,正弦定理可解决两类问题：1已知两角及任一边,求其它边或角；2已知两边及一边的对角,求其它边或角．情况2中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分．余弦定理可解决两类问题：1已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；2已知三边问题．a b A补充已知两边和其中一边的对角如,,用正弦定理或余弦定理均可名师一号P63问题探究问题2选用正、余弦定理的原则是什么若式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．补充:一、正弦定理推导必修5证明思路：转化到特殊情形----直角三角形中二、余弦定理推导必修52011年陕西高考考查余弦定理的证明18.本小题满分12分叙述并证明余弦定理;2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-,2222cos c a b ab C =+-.证明：证法一 如图,2c BC = ()()AC AB AC AB =-•-即2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,证法二 已知ABC ∆中,,,A B C 所对边分别为,,,a b c ,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ,∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-,即 2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,二、例题分析：一利用正、余弦定理解三角形例1．1名师一号P62 对点自测1在△ABC 中,A ＝60°,B ＝75°,a ＝10,则c 等于A ．5错误!B ．10错误! D ．5错误!解析 由A ＋B ＋C ＝180°,知C ＝45°,由正弦定理得：错误!＝错误!.即错误!＝错误!. ∴c ＝错误!.注意：已知两角及任一边,求其它边或角----正弦定理,解唯一例1．2名师一号P62 对点自测2在△ABC 中,若a ＝3,b ＝错误!,A ＝错误!,则C 的大小为________．解析 由正弦定理可知sin B ＝错误!＝错误!＝错误!,所以B ＝错误!或错误!舍去,因为a >b 即A ＝错误!> B 所以B ＝错误!所以C ＝π－A －B ＝π－错误!－错误!＝错误!.一解变式1: 在△ABC 中,若b ＝3,a ＝错误!,A ＝错误!, 则C 的大小为________．答案: sin B >1无解变式2:在ABC ∆中,已知45︒===a b B , 解ABC ∆.答案：60,75,︒︒+===A C c或120,15,2︒︒-===A C c两解变式3:求边c注意：知道两边和其中一边的对角如，，a b A 解三角形 可用正弦定理先求出角B 也可用余弦定理先求出边c 再求解;两种方法均须注意解的个数可能有一解、二解、无解,应注意区分．练习:补充2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cossin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值；Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C; 解析 Ⅰfx ＝2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- ＝sinx+ϕ.因为 fx 在x ＝π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1.又 0＜ϕ＜π,所以ϕ＝2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A ＝6π. 由正弦定理得 sinB ＝sin b A a =22, 又b ＞a, 当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或例2． 补充若满足条件060=C ,a BC AB ==,3的ABC ∆有两个,求a 的取值范围. 32<<a注意：判断三角形解的个数常用方法：1在ABC ∆中,已知,,A a b ;构造直角三角形判断 2利用余弦定理判断一元二次方程正根个数 勿忘大边对大角判断已知两边及其中一边对角,判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC 中,已知a 、b 和A ,以点C 为圆心,以边长a 为半径画弧,此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数 即为三角形的个数,解的个数见下表：图示已知a 、b 、A ,△ABC 解的情况．ⅰA 为钝角或直角时解的情况如下：ⅱA 为锐角时,解的情况如下：③运用余弦定理转化为关于一元二次方程 正根个数问题练习:已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案：由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2, ∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.例3．1名师一号P62 对点自测3在△ABC 中,a ＝错误!,b ＝1,c ＝2,则A 等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝错误!＝错误!＝错误!,∵0＜A ＜π,∴A ＝60°.注意：已知三边,求其它边或角---余弦定理例3．2名师一号P63 高频考点例122014·新课标全国卷Ⅱ钝角三角形ABC的面积是错误!,AB＝1,BC＝错误!,则AC＝A．5 C．2 D．1解:由题意知S＝错误!AB·BC·sin B,△ABC即错误!＝错误!×1×错误!sin B,解得sin B＝错误!,∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋错误!2－2×1×错误!×错误!＝1.此时AC2＋AB2＝BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意；当B＝135°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋错误!2－2×1×错误!×错误!＝5,解得AC＝错误!.符合题意．故选B.注意：已知两边夹角,求其它边或角---余弦定理小结:已知与待求涉及三边和一角的关系---余弦定理例4．1名师一号P63 高频考点例112014·江西卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a＝2b,则错误!的值为A．－错误!C．1解:∵3a＝2b,∴由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!.∴错误!＝错误!,∴错误!＝2×错误!－1＝2×错误!－1＝错误!－1＝错误!.例4．2名师一号P62 对点自测已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－错误!ab,则此三角形的最大内角为__________．解析∵a2＋b2－c2＝－错误!ab,∴cos C＝错误!＝－错误!,故C＝150°为三角形的最大内角．注意：1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化.注意等价转换练习:2010·天津理在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2－b2＝错误!bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30°B．60°C．120°D．150°解:由余弦定理得：cos A＝错误!,由题知b2－a2＝－错误!bc,c2＝2错误!bc,则cos A＝错误!, 又A∈0°,180°,∴A＝30°,故选A.注意：已知三边比例关系---余弦定理二三角形的面积例1．1名师一号P62 对点自测62014·福建卷在△ABC中,A＝60°,AC＝4,BC＝2错误!,则△ABC的面积等于________．解析由题意及余弦定理得cos A＝错误!＝错误!＝错误!,解得c＝2.所以S＝错误!bc sin A＝错误!×4×2×sin60°＝2错误!.故答案为2错误!.注意：a b A解三角形可用正知道两边和其中一边的对角如，，弦定理先求出角B也可用余弦定理先求出边c再求解;两种方法均须注意解的个数本例用余弦求边更快捷.例1．2名师一号P63 高频考点例32014·浙江卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c＝错误!,cos2A－cos2B＝错误!sin A cos A－错误! sin B cos B.1求角C的大小；2若sin A＝错误!,求△ABC的面积．解:1由题意得错误!－错误!＝错误!sin2A－错误!sin2B,即错误!sin2A－错误!cos2A＝错误!sin2B－错误! cos2B,sin错误!＝sin错误!.由a≠b,得A≠B,又A＋B∈0,π．得2A－错误!＋2B－错误!＝π,即A＋B＝错误!,所以C＝错误!.2由c＝错误!,sin A＝错误!,错误!＝错误!,得a＝错误!.由a<c,得A<C,从而cos A＝错误!,故sin B＝sin A＋C＝sin A cos C＋cos A sin C＝错误!.所以△ABC的面积为S＝错误!ac sin B＝错误!.规律方法三角形面积公式的应用原则1对于面积公式S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误! bc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．2与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．三三角形形状的判定例1．1名师一号P63 高频考点例2在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a sin A ＝2b＋c sin B＋2c＋b sin C.1求A的大小；2若sin B＋sin C＝1,试判断△ABC的形状．解:1由已知,根据正弦定理得2a2＝2b＋c·b＋2c＋bc,即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A,故cos A＝－错误!,∵0<A<180°,∴A＝120°.2由1得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝错误!.又sin B ＋sin C ＝1,解得sin B ＝sin C ＝错误!.∵0°<B <60°,0°<C <60°,故B ＝C ＝30°,A ＝120°.∴△ABC 是等腰钝角三角形．法二：因为A ＝120°,且A +B ＋C=180°所以sin B ＋sin C ＝1即sin60°-C ＋sin C ＝1 可求得C=30°例1．2补充根据所给条件,判断△ABC 的形状．1若a cos A ＝b cos B ,则△ABC 形状为________． 2若错误!＝错误!＝错误!,则△ABC 形状为________． 解析：1 解法一: 由正弦定理得sinA cos A ＝sinB cos B 即sin2A ＝sin2B22A B ∴= 或 22A B π=-A B ∴= 或 2A B π+= ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二:由余弦定理得a cos A ＝b cos Ba ·错误!＝b ·错误!a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0,∴a 2－b 2c 2－a 2－b 2＝0∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．2由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!即tan A＝tan B＝tan C,∵A、B、C∈0,π,∴A＝B＝C,∴△ABC为等边三角形．注意：利用正、余弦定理进行边角互化1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;规律方法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状．2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．加加练P9 第6题∆中,已知ABC∆为则ABCA.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：B计时双基练P252 第2题四三角形的综合问题例1．补充 在△ABC 中,sinC-A=1,sinB=31. Ⅰ求sinA 的值；Ⅱ设AC=错误!,求△ABC 的面积.解：Ⅰ由2C A π-=,且C A B π+=-,∴42B A π=-,∴sin sin()sin )42222B B B A π=-=-, ∴211sin (1sin )23A B =-=,又sin 0A >,∴sin A = Ⅱ如图,由正弦定理得sin sin AC BC B A=∴sin 31sin 3AC A BC B ===, 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+∴11sin 223ABC S AC BC C ∆=••==注意:关注三角形内角和、特殊角、三角恒等变换公式、 知两边夹角求面积公式的选择;例2．补充已知ABC ∆中,角A B C 、、所对的边 A BC分别为a b c 、、,3B π∠=,b =求a c +的取值范围解法一：正弦定理结合三角最值 当且仅当62A ππ+=即3A π=时等号成立 法二：余弦定理结合不等式 由2222cos b a c ac B =+-得2228a c ac =+-即()2283a c ac =+-a c ∴+≤当且仅当a c =时等号成立 又三角形两边之和大于第三边注：这是一道好题,刚好都能运用“正余弦定理求解最值问题”的两种主要方法解决; 小结：借助正弦定理,转化为角的正弦值,利用三角函数最值求解借助余弦定理,转化为边的关系,利用均值不等式求解余弦定理注意两数和差与这两数的平方和、两数的积 的关系的运用练习:加加练P11 第11题已知△ABC 中,外接圆半径是1,且满足()()222sin sin sin sin A C A B b -=-,则△ABC 面积的最大值为答案：4计时双基练P251 第6题补充已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角．．ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c . Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小；Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =,求22b c +的取值范围. 解：Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理：2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)3sin 2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-ABC ∆为锐角三角形★注意：∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π讲评：1、计时双基练 P252 基础11---多个三角形问题2014·湖南卷如图,在平面四边形ABCD 中,AD ＝1,CD ＝2,AC ＝错误!.1求cos ∠CAD 的值；2若cos ∠BAD ＝－错误!,sin ∠CBA ＝错误!,求BC 的长．解 1由余弦定理可得cos ∠CAD ＝错误!＝错误!＝错误!,∴cos ∠CAD ＝错误!.2∵∠BAD 为四边形内角,∴sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0,则由正余弦的关系可得sin ∠BAD ＝错误!＝错误!,且sin ∠CAD ＝错误!＝错误!,由正弦的和差角公式可得sin ∠BAC ＝sin ∠BAD －∠CAD＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!＋错误!＝错误!, 再由△ABC 的正弦定理可得错误!＝错误!BC ＝错误!×错误!＝3.2、45套之7--192---方程的思想课后作业一、计时双基练P251基础1-6；课本P63变式思考1、3补充练习1、2、3二、计时双基练P251基础7-11；培优1-4课本P63变式思考2三、课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习 第七节补充练习:1、2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cos sin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值；Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C;解析Ⅰfx ＝2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- ＝sinx+ϕ.因为 fx 在x ＝π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1. 又 0＜ϕ＜π,所以ϕ＝2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A ＝6π. 由正弦定理得 sinB ＝sin b A a =22, 又b ＞a,当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或 2、 已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案：由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2,∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.3、已知△ABC 中,∠A ＝60°,BC=2错误!,则其外接圆面积为__________．答案：4π★注意：勿忘正弦定理中三角形各边与对角正弦的比为外接圆直径sin sin in 2s a b c A B R C=== R 为三角形外接圆半径 4、在四边形ABCD 中,∠B ＝∠D ＝90°,∠A ＝60°, AB ＝4,AD ＝5,则AC 的长为B ．2错误!解析 如图,连结AC ,设∠BAC ＝α,则AC ·cos α＝4,AC ·cos60°－α＝5,两式相除得,错误!＝错误!,展开解得,tan α＝错误!∵α为锐角,∴cos α＝错误!∴AC ＝错误!＝2错误!解法二：补充△ABD 中,由余弦定理得21BD =由∠B ＝∠D ＝90°知AC 为△ABD 的外接圆直径由正弦定理得2127sin sin 620BD AC R A ︒====5、已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角．．ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c .Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小； Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =, 求22b c +的取值范围. 解：Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理：2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π6、2013年广州二模文数 第17题某单位有A 、B 、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点O ,使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ,70BC =m ,50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上．1求BAC ∠的大小；2求点O 到直线BC 的距离．答案13BAC π∠=23m 课后作业三、计时双基练P251基础1-6；课本P63变式思考1补充练习1、3、例2四、计时双基练P251基础7-11;培优1-4课本P63变式思考3补充练习2三、课本P63变式思考2课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习 第七节。
正余弦定理在解三角形中的应用知识点与题型归纳
正余弦定理在解三角形中的应用知识点与题型归纳一、知识点（一）. 正弦定理和余弦定理 1．公式在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R.a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ；b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC变形(1)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝2R. bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；abc b a C 2cos 222-+=.2.三角形常用面积公式:(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)； (2)A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===. 3.常用结论：(1)．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B; (2)．三角形中的射影定理在△ABC 中，B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=；B a A b c cos cos +=．(3)．内角和公式的变形①sin(A ＋B)＝sin C ；②cos(A ＋B)＝-cos C.(4)．角平分线定理：在△ABC 中，若AD 是角A 的平分线，如图，则AB AC ＝BDDC .（二）. 利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.在△ABC 中，已知,a b 和A 时，解的情况主要有以下几类：①若A 为锐角时：a bsin Aa bsin A()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角A b a sin = b a ≥ b a A b <<sin sin a b A <一解 一解 两解 无解 ② 若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角（三）. 三角形的形状的判定 1.判断三角形形状的(1). 若b a =或()()()0=---a c c b b a ,则△ABC 为等腰三角形; (2). 若222c b a =+,则△ABC 为以C 为直角的直角三角形； (3). 若222c b a <+,则△ABC 为以C 为钝角的钝角三角形； (4). 若()()022222=-+-c b aba ,则△ABC 为等腰三角形或直角三角形；(5). 若b a =且222c b a =+,则△ABC 为等腰直角三角形；(6). 若B A 2sin 2sin =,即B A =或π2=+B A ，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； (7). 用余弦定理判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）①.在ABC ∆中，222222090cos 02b c a A A b c a bc+-<<⇔=>⇔+>,则△ABC 为锐角三角形； ②.在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-=⇔==⇔+=，则△ABC 为直角三角形； ③.在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-<⇔=<⇔+<，则△ABC 为钝角三角形； 2.判断三角形形状的2种思路(1).化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2).化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用π=++C BA这个结论．（四）. 解三角形时的常用结论在ABC ∆中，0180A B C ++=，0902A B C++= （1）在ABC ∆中sin sin cos cos ;A B a b A B A B >⇔>⇔>⇔<（2）角的变换--互补关系：0sin(A+B)=sin(180)sinC C -=，0cos(A+B) cos (180)cosC C =-=-，0tan(A+B) tan(180)tan C C =-=-；（3）角的变换--互余关系：0sinsin (90)cos 222A B C C +=-=，0cos cos(90)sin 222A B C C+=-=， （4）B A B A 222sin 2sin =⇒=或π=+B A 22B A =⇒或2π=+B A .二、典型例题类型一：利用正、余弦定理解三角形【例1】.△ABC 中，,6c =A=45°，a=2，求b 和B ，C.【解答】：解法一 ：由正弦定理a c 2=sin C=sin A sin C sin 45sin C 2=︒得，所以若C=60°，则B=75°，a 2b sin B sin 751,sin A sin 45==︒=︒若C=120°，则B=15°，a 2b sin B sin15 1.sin A sin 45==︒=︒解法二：余弦定理2222a b c 2bccos A b 641,=+-=+-=，解得若222a c b b 1cos B==B=75C=602ac +-=︒︒，则，若222a c b b 1,cos B==B=15C=120.2ac 4+-=︒︒则， 解法三：正余弦定理2222a b c 2bccos A b 641=+-=+-=，解得若a b c b 1==sin B=C=sin A sin B sinC 42=，则由，得因为b>c>a ，所以B>C>A ，所以B=75°，C=60°；若a b c b 1==sin B=,sin C=,sin A sin B sinC 42=，则由，得 因为c>a>b ，所以C>A>B ，所以B=15°，C=120°.类型二：用正、余弦定理判断三角形的形状【例2】.已知△ABC 中cos cos a A b B =，试判断△ABC 的形状.【解答】：方法一：用余弦定理化角为边的关系由cos cos a A b B =得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅⇒22222222()()a b c a b a c b +-=+-，即22222()()0a b a b c -+-=，当220a b -=时，ABC ∆为等腰三角形；当2220a b c +-=即222a b c +=时，则ABC ∆为直角三角形； 综上：ABC ∆为等腰或直角三角形.方法二：用正弦定理化边为角的关系 由正弦定理得：R Bb A a 2sin sin ==,即A R a sin 2=，B R b sin 2= 因为cos cos a A b B =，所以2sin cos 2sin cos =R A A R B B ，即sin2sin2=A B , 因为()π,0,∈B A , 所以22=A B 或22+=A B π，即=A B 或2+=A B π故ABC ∆为等腰三角形或直角三角形. 【总结升华】（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断.（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角.（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可.一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理.（5）βαβα=⇒=sin sin 或βπα-=，不要丢解.在△ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-，试判断三角形的形状.【解答】：因为2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-,所以222sin cos 2sin cos a B A b A B =， 由正弦定理得：22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =,因为ABC ∆中，sin 0A ≠, sin 0B ≠,所以sin cos sin cos A A B B ⋅=⋅,即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-,即：A B =或2π=+B A ， 所以ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.类型三：与三角形面积有关的问题【例3】.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)[一题多解]设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【解答】：(1)由已知条件可得tan A ＝－3，()π,0∈A ，所以32π=A ， 在△ABC 中，由余弦定理得32cos 44282πc c -+=，即c 2＋2c －24＝0， 解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得2π=∠CAD ，所以6π=∠-∠=∠CAD BAC BAD ，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为1216sin21=⋅⋅⋅AD AC AD AB π， 又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝ 3. 【总结升华】(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．(2021·新高考2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+． （1）若2sin 3sin C A =，求△ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解析】：（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c Cab，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯=△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，因为Z a ∈，故2a =.类型四：利用正、余弦定理求边角的范围问题【例4】.锐角 △ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边.(1)若()()(),a c a c b b c +-=-求A 的大小 (2)⎪⎭⎫⎝⎛++=62sin sin 22πB B y 取最大值时，求B 的大小. 【解答】：（1）因为()()(),a c a c b b c +-=-，所以222.b c a bc +-=，故由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，因为A 是锐角三角形的内角，所以20π<<A ,所以3π=A .（2）22sin sin(2)6y B B π=++=1cos2sin 2coscos2sin66B B B ππ-++11cos221sin(2)26B B B π=-=+-,当且仅当3B π=时取等号,所以3π=A .【总结升华】对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题. 【变式】已知在锐角ABC ∆中,,,a b c 为角A ,B ,C 所对的边,()22cos 2cos 2Bb c A a a -=- (1)求角A 的值; (2)若a =则求b c +的取值范围.【解答】：（1）在锐角ABC ∆中，根据()21cos 2cos 2cos 2,22B B b c A a a a a +-=-=-⋅ 利用正弦定理可得()sin 2sin cos sin (cos )BC A A B -=- ，即sin cos cos sin 2sin cos B A B A C A += ，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos ,C C A = 所以21cos =A ,所以3π=A ,若a = 则由正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A===，所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=+B B C B c b 32sin sin 2sin sin 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=6sin 32cos 3sin 3πB B B .由于022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩⇒26ππ<<B ⇒3263πππ<+<B , 所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,236sin πB ,所以(]32,3∈+c b .【例5】.在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边，53cos =B ,7=a ，且21-=⋅→→BC AB ,求角C 的大小.【解答】：因为21-=⋅→→BC AB ，所以21=⋅→→BC BA , 所以21cos cos ==⋅=⋅→→→→B ac B BC BA BC BA .又53cos =B ，所以54sin =B ，35=ac . 又7=a ，所以5=c ，所以325357257cos 222222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b ,所以24=b . 由正弦定理B bC c sin sin =,得.2254245sin sin =⨯==B b c C因为b c <，所以C 为锐角，所以45=C . 【总结升华】利用正、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时，注意数量积定义的应用，其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系，例如→AB 与→AC 的夹角等于内角A,但→AB 与→CA 的夹角等于内角A 的补角.在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,tan C = (1). 求cos C(2). 若5,2CB CA ⋅= 且9,a b +=求c【解答】：（1）因为tan C =sin cos CC=又因为22sin cos 1C C +=，解得1cos 8C =±.因为tan 0,C >所以C 是锐角，1cos 8C =（2）因为5,2CB CA ⋅=所以5cos 2ab C =,所以20ab =又因为9=+b a ，所以81222=++b ab a ，所以4122=+b a ， 所以36cos 2222=-+=C ab b a c ,所以6=c .【例6】.如图所示，已知半圆O 的直径为2，点A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，点B 为半圆上任意一点， 以AB 为一边作等边三角形ABC ，求B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大.【解答】：设∠AOB ＝α，在△ABO 中，由余弦定理),0(,cos 45cos 21221222πααα∈-=⋅⨯⨯-+=AB ，所以243sin 21AB OB OA S S S ABC AOB +⋅⋅⋅=+=∆∆α)cos 45(43sin 1221αα-+⨯⨯⨯=345cos 3sin +-=αα3453sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πα. 因为πα<<0，所以当23ππα=-，πα65=，即π65=∠AOB 时，四边形OACB 的面积最大. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，θ=∠BAD ，△BCD 是正三角形．(1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； (2)求S 的最大值及此时θ角的值． 【解答】:(1)△ABD 的面积θθsin 21sin 11211=⨯⨯⨯=S ， 由于△BCD 是正三角形，则△BCD 的面积S 2＝34BD 2.在△ABD 中，由余弦定理可知θθcos 22cos 11211222-=⨯⨯⨯-+=BD ， 于是四边形ABCD 的面积()θθcos 2243sin 21-+=S ， 所以S ＝32＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πθ，πθ<<0.(2)由S ＝32＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πθ及πθ<<0，得3233ππθπ<-<-，当23ππθ=-，即65πθ=时，S 取得最大值1＋32. 类型八：与正、余弦定理有关的综合题【例8】.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设()C B A C B sin sin sin sin sin 22-=-.①求A ；②若2a ＋b ＝2c ，求sin C.【解答】：①由已知得C B A C B sin sin sin sin sin 222=-+，故由正弦定理得bc a c b =-+222.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为1800<<A ，所以A ＝60°.②由①知C B -=120，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C)＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sinC ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于1200<<C ，所以sin(C ＋60°)＝22，故 ()6060sin sin -+=C C ＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. （2017四川理）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【解答】:（I ）根据正弦定理，可设 sin ,sinB,c sinC a k B b k k ===,(K>0), 代入cos cos sin A B Ca b c+=中，变形可得)sin(sin cos cos sin sin sin B A B A B A B A +=+=.(*) 在ABC ∆中，由A B C π++= ,有sin()sin()sin A B C C π+=-= 所以sin()sin A B C +=.（II ）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-== 由（*）B A B A B A sin cos cos sin sin sin +=，所以443sin cos sin 555B B B =+ 故sin tan 4cos BB B==三、巩固练习1．（2017新课标Ⅲ文）在中，，BC 边上的高等于,则( )A.2. (2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C c B b A a sin 4sin sin =-， cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 3. 在ABC ∆中,60A =, 1b =，ABC S ∆=，则sin sin sin a b cA B C++++等于 ().3A.3B .3C .D 4. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，3π=C ，则△ABC 的面积是( )A.3B.239 C.233D.335．△ABC 中，三边a 、b 、c 与面积S 的关系式为)(41222c b a S -+=，则C=（ ）. A 、030 B 、045 C 、060 D 、090 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A.090B.0120C.0135D.01507.在△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤,则A 的取值范围是（ ）.]6,0.(πA ),6.[ππB ]3,0.(πC ),3.[ππD8. (2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为____________．9. 已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x ，则实数x 的取值范围是_______. 10. 已知ABC ∆1，面积为1sin 6C ，且sin sin A B C +=，则角C=_______. 11 .ABC ∆中三边分别为a,b,c,若2,sin cos a b B B ==+=则角A=________． 12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝41a ，2sinB ＝3sinC ，则cosA 的值为 ． ABC △π4B13BC sin A 31010531013.（2018四川高考文）已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，A tan 、B tan 是关于方程()R p p px x ∈=+-+0132x 2＋两个实根. (I). 求C 的大小(II). 若AB ＝1，AC ＝，求p 的值.14．（2017浙江理）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知b+c=2a cos B. （I ）证明：A=2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.15.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,3,a b == 7sin sin 23B A +=（1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的面积.16.在如图所示的四边形ABCD 中，090,120,BAD BCD ∠=∠= 060,2,BAC AC ∠== 记BAC θ∠=（1）求用含θ 的代数式表示DC ； （2）求BCD ∆面积S 的最小值17. (2019·理1)ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．四、答案与解析361. 【解析】：设BC 边上的高线为AD ，则AD DC AD BC 2,3==，所以AD DC AD AC 522=+=,由正弦定理，知A BCB AC sin sin =，即A ADAD sin 3225=，解得10103sin =A ，故选D. 2.【解答】：因为C c B b A a sin 4sin sin =-，所以由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2. 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，所以b c ＝6.故选A. 3. 【解析】：因为60=A , b=1，3sin 21==∆A bc S ABC ，所以c=4 由余弦定理有13cos 2222=-+=A bc c b a ，所以13=a ,由正弦定理有3392sin 2==A a R ，且CcB b A a R sin sin sin 2===， 所以33922sin sin sin ==++++R C B A c b a .故选B.4.【解析】：由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，所以－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6． 所以S △ABC ＝233sin 21=C ab ．故选C ． 5.【解析】：因为S △ABC ＝()22241sin 21c b a C ab -+= ，所以2222sin ab C a b c =+-， 即C abc b a C cos 2sin 222=-+=，所以1tan =C ，故 45=C ,故选B. 6.【解析】：设中间角为θ，则,60,21852785cos 222 ==⨯⨯-+=θθ 12060180=-为所求.故选B. 7.【解析】：由已知得，bc c b a -+≤222，即212222≥-+bc a c b ，所以21cos ≥A ， 因为π<<A 0,所以30π≤<A .故选C.8.【解答】：因为a ＝2c ，b ＝6，3π=B ，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得()3cos2226222π⋅⋅⨯-+=c c c c ，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝12×43×23×3sin π＝6 3.或：a 2＝b 2＋c 2，所以2π=A ，所以△ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.9.【解析】：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+222222222233232x x x ，解得135<<x .10.【解析】：cb a C B A 2,sin 2sin sin =+∴=+因为12+=++c b a ，所以122+=+c c ，解得1=c ，所以2=+b a因为C C ab S sin 61sin 21==，所以31=ab ， 所以()21222cos 22222=--+=-+=ab c ab b a ab c b a C ，所以3π=C . 11.【解析】：由2cos sin =+B B 可得1)4sin(=+πB ,所以4π=B ，由正弦定理得：21sin =A .又因为a<b,所以B A <,所以6π=A . 12.【解析】：在△ABC 中，因为b －c ＝41a ①，2sinB ＝3sinC ，所以2b ＝3c ②， 所以由①②可得a ＝2c ，b ＝23c． 再由余弦定理可得4134492cos 222222-=⋅-+=-+=c c c c c bc a c b A ，13.【解析】：(I)因为方程()R p p px x ∈=+-+0132的判别式△＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥32， 由韦达定理，有tanA ＋tanB ＝－3p ，tanAtanB ＝1－p ，于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B)＝33tan tan 1tan tan -=-=-+ppB A B A ，所以tanC ＝－tan(A ＋B)＝3，所以C ＝60°.(II)由正弦定理，得sinB ＝22360sin 6sin == AB C AC .解得B ＝45°或B ＝135°(舍去), 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝3233133130tan 45tan 130tan 45tan +=-+=-+. 所以p ＝－31(t anA ＋tanB)＝－31(2＋3＋1)＝－1－3. 14.【解析】：（1）由正弦定理可得B A C B cos sin 2sin sin =+, 故B A B A B B A B B A sin cos cos sin sin )sin(sin cos sin 2++=++=, 所以)sin(sin B A B -=,又()π,0,∈B A ，故π<-<B A 0 ，所以()B A B --=π或B=A -B , 因此π=A （舍去） 或A=2B, 所以A=2B.（II ）由42a S =得4sin 212a C ab ==，故有B B B C B cos sin 2sin 21sin sin ==，因sin 0B ≠，得sinC cos =B ． 又()π,0,∈C B ，所以B C ±=2π．当2π=+C B 时，2π=A ； 当2π=-B C 时，4π=A ．综上，2π=A 或4π=A ．15.【解析】：（1）在ABC ∆中，由正弦定理，得BA sin 3sin 7= 即A B sin 3sin 7= 又因为32sin sin 7=+A B , 解得23sin =A ， 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3π=A .（2）在ABC ∆中，由余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=， 得cc 679212-+=，即022=+-c c ，解得c=1 或c=2，当c=1时，因为01472cos 222<-=-+=ac b c a B ,所以角B 为钝角，不符合题意，舍去；当c=2时，因为01472cos 222>=-+=ac b c a B ，且b>c,b>a, 所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意. 所以ABC ∆的面积233232321sin 21=⨯⨯⨯==A bc S . 16.【解答】：（1）在ADC ∆中，000036090120150ADC θθ∠=---=-，由正弦定理可得sin sin DC AC DAC ADC =∠∠ ，即002sin 30sin(150)DC θ=- ， 于是：01.sin(150)DC θ=-（2）在ABC ∆中，由正弦定理得0,sin sin 60AC BCθ=即BC =由（1）知：01sin(150)DC θ=-所以 120sin 21⋅⋅=CD BC S =034sin sin(150)θθ-= 故075θ=，S取得最小值为6-.17.【详解】：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=所以2221cos 22b c a A bc +-∴==因为()0,A π∈ ，所以3A π∴=.（2）因为c b a 22=+sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=⇒3sin C C =因为22sin cos 1C C += ，所以(()223sin 31sin C C ∴=-，解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =（2）法二：因为c b a 22=+sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=，整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=.。
高考数学正弦定理和余弦定理必考点梳理
必考点：正弦定理和余弦定理必考点梳理（精编Wor d）一、正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则二、三角形中常用的面积公式1.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc s in A ＝12ac s inB ＝12ab s in C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．2.在△ABC 中常用结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)s in (A ＋B )＝s inC ；c os(A ＋B )＝－c os C ；t an (A ＋B )＝－t anC ；s in A ＋B 2＝c os C 2；c os A ＋B 2＝s in C2. (5)t an A ＋t an B ＋t an C ＝t an A ·t an B ·t an C . (6)∠A >∠B ⇔a >b ⇔s in A >s in B ⇔c os A <c os B . (7)合比定理：a sin A ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R .(8)在锐角三角形中①A ＋B ＞π2；②若A ＝π3，则π6＜B ，C ＜π2三、实际测量中的常见问题求AB 图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝a t anα底部不可达∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解两个直角三角形AB＝a tan αtan βtan β－tan α求水平距离山两侧∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝a2＋b2－2ab cos α河两岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝a sin αsin(α＋β)河对岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝a sin αsin(α＋γ)在△BDC中，BC＝a sin βsin(β＋δ)；在△ABC中，应用余弦定理求AB（一）仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．（二）方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．利用正弦定理可解决两类问题例题1： (2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b ＝( )A ．2B ．1C ．3D ． 2 【解析】由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2212＝ 2.选D变式1： (2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a s in B ＝3b ，则角A ＝________.【解析】∵2a s in B ＝3b ，∴2s in A s in B ＝3s in B ，得s in A ＝32，∴A ＝π3或A ＝2π3， ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3.利用余弦定理可解决两类问题例题2： (2019·山东济南期中)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则c os C ＝( ) A ．24 B ．－24 C ．34 D ．－34【解析】由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ， ∴c os C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a ＝－24.选B变式2： (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bc os B ＝ac os C ＋cc os A ，则B ＝________.方法一：由2bc os B ＝ac os C ＋cc os A 及正弦定理， 得2s in Bc os B ＝s in Ac os C ＋s in Cc os A . ∴2s in Bc os B ＝s in (A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2s in Bc os B ＝s in (π－B )＝s in B . 又s in B ≠0，∴c os B ＝12.∴B ＝π3.方法二：∵在△ABC 中，ac os C ＋cc os A ＝b ， ∴条件等式变为2bc os B ＝b ，∴c os B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.判定三角形形状的2种常用途径例题3： 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc os C ＋cc os B ＝a s in A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】由正弦定理得s in Bc os C ＋s in Cc os B ＝s in 2A ，∴s in (B ＋C )＝s in 2A ，即s in (π－A )＝s in 2A ，s in A ＝s in 2A ． ∵A ∈(0，π)，∴s in A >0，∴s in A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．变式3： 本题中，若将条件变为2s in Ac os B ＝s in C ，判断△ABC 的形状． 【解析】∵2s in Ac os B ＝s in C ＝s in (A ＋B )， ∴2s in Ac os B ＝s in Ac os B ＋c os A s in B ， ∴s in (A －B )＝0.又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．变式4： 本题中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2c os A s in B ＝s in C ，判断△ABC 的形状． 【解析】∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴c os C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又0<C <π，∴C ＝π3，又由2c os A s in B ＝s in C 得s in (B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．例题4： (2017·全国卷Ⅲ)△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，s in A ＋3c os A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【解析】 (1)由已知可得t an A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4cc os2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2s in ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.变式5： (2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b s in C ＋c s in B ＝4a s in B s in C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________. 【解析】∵b s in C ＋c s in B ＝4a s in B s in C ，∴由正弦定理得s in B s in C ＋s in C s in B ＝4s in A s in B s in C .又s in B s in C >0，∴s in A ＝12.由余弦定理得c os A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc >0，∴c os A ＝32，bc ＝4cos A ＝833，∴S △ABC ＝12bc s in A ＝12×833×12＝233必考点5： 解几何计算问题例题5： 如图，在△ABC 中，B ＝π3，BC ＝2，点D 在边AB 上，AD ＝DC ，DE ⊥AC ，E 为垂足．(1)若△BCD 的面积为33，求AB 的长； (2)若DE ＝62，求角A 的大小． 【解析】 (1)∵△BCD 的面积为33，B ＝π3，BC ＝2， ∴12×2×BD ×s in π3＝33，∴BD ＝23. 在△BCD 中，由余弦定理可得CD ＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝4＋49－2×2×23×12＝273. ∴AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝273＋23＝27＋23. (2)∵DE ＝62，∴CD ＝AD ＝DE sin A ＝62sin A. 在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝CDsin B.∵∠BDC ＝2∠A ，∴2sin 2A ＝62sin A sinπ3，∴c os A ＝22.∴A ＝π4.变式6： (2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，c os B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．【解析】(1)在△ABC 中，因为c os B ＝－17，所以s in B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得s in A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为s in C ＝s in (A ＋B )＝s in Ac os B ＋c os A s in B ＝3314，所以AC 边上的高为a s in C ＝7×3314＝332.必考点6： 考点6三角函数求值问题例题6： (2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b s in A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和s in (2A －B )的值．【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b s in A ＝a s in B .又由b s in A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a s in B ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即s in B ＝c os ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以t an B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2acc os B ＝7，故b ＝7. 由b s in A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得s in A ＝37 . 因为a <c ，所以c os A ＝27.因此s in 2A ＝2s in Ac os A ＝437，c os 2A ＝2c os 2A －1＝17.所以s in (2A －B )＝s in 2Ac os B －c os 2A s in B ＝437×12－17×32＝3314.必考点7： 考点7解三角形综合问题例题7： (2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求c os ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .【解析】 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以s in ∠ADB ＝25由题设知，∠ADB <90°，所以c os ∠ADB ＝1－225＝235 (2)由题设及(1)知，c os ∠BDC ＝s in ∠ADB ＝25在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·c os ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25所以BC ＝5变式7： (2019·广东惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )c os A ＝ac os C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝13，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．【解析】(1)△ABC 中，由条件及正弦定理得(2s in B －s in C )c os A ＝s in Ac os C ，∴2s in Bc os A ＝s in Cc os A ＋s in Ac os C ＝s in B ．∵s in B ≠0，∴2c os A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵a ＝13，b ＋c ＝5，a 2＝b 2＋c 2－2bcc os A ＝(b ＋c )2－2bc －2bcc os π3＝52－3bc ＝13，∴bc ＝25－133＝4，∴S △ABC ＝12bc s in A ＝12×4×s in π3＝ 3.必考点8： 高度问题（已知仰角或俯角）例题8： (2019·山东青岛月考)如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.【解析】由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD ＝3a ，所以在Rt △ADB 中，AB ＝12AD ＝32a .变式8： (2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m .【解析】在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°， 由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC32，解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵t an ∠DAC ＝DC AC ＝33，∴DC ＝6006×33＝600 2.求解高度问题的3个注意点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．必考点9： 高度问题（已知方位角或方向角）例题9： 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山高度CD ＝______m .【解析】由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m . 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·t an 30°＝3002×33＝1006(m ) 必考点10： 距离问题例题10： (2019·山东临沂联考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m .(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：s in 67°≈0.92，c os 67°≈0.39，s in 37°≈0.60，c os 37°≈0.80，3≈1.73)【解析】如图，过点A 作AD 垂直于CB 的延长线，垂足为D ，则在Rt △ABD 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46，AB ＝46sin 67°. 在△ABC 中，根据正弦定理得BC ＝AB sin 37°sin 30°＝46×sin 37°sin 67°sin 30°≈60变式9： 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离，即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCc os ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600c os 60°＝280 000，∴AB ＝2007(m )，即A ，B 两点间的距离为2007 m .求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答．必考点11： 角度问题例题11： 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile 的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile 的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则c os θ的值为________.【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·c os 120°＝2 800，得BC ＝207由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，即s in ∠ACB ＝AB BC ·s in ∠BAC ＝217 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则c os ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30° 得c os θ＝c os(∠ACB ＋30°)＝c os ∠ACBc os 30°－s in ∠ACB s in 30°＝2114变式10： (2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km /h ；水的流向是正东，流速是20 km /h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km /h .【解析】如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800c os 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COy ＝30°＋30°＝60°. ]解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．变式11： (2019·河南安阳调研)如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2 n mile 的C 处的我方缉私船奉命以10 3 n mile /h 的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile /h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．【解析】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝ 103t n mile ，BD ＝10t n mile ，△ABC 中，由余弦定理，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·c os A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)×2×c os120°＝6，解得BC ＝ 6. 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴s in ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2×sin120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，∴s in ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6，t＝610小时≈15分钟∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．。
(完整版)正余弦定理知识点总结及全国高考考试题型
一、知识点 （一）正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径。
a=2RsinA ， b=2RsinB, c=2RsinC（二)余弦定理:2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-由此可得：222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab +-+-+-===。
注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角； （三）三角形面积公式：（1)111sin sin sin .222ABCS ab C bc A ac B === 二、例题讲解 （一)求边的问题1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3A π=,3,1a b ==，则c =（ )A 、1B 、2C 、31-D 、32、 在△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果,,a b c 成等差数列，B ∠=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ） A 、132+B 、31+C 、232+D 、32+3、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若C ∠=120°,2c a =，则（ ） A 、a b > B 、a b < C 、a b = D 、a 与b 的大小关系不能确定4、在△ABC 中,10a =，B ∠=60°，C ∠=45°，则c 等于（ )A 、310+B 、()1310- C 、13+D 、3105、若△ABC 的周长等于20，面积是310，=A ∠60°,则BC 边的长是（ )A 、5B 、6C 、7D 、86、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） A 、51<<xB 、135<<xC 、50<<xD 、513<<x7、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A 、52B 、213C 、16D 、4矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
正弦定理余弦定理(解析版)
考点31 正弦定理、余弦定理【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾】1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．a 2＝b 2＋c2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1、 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】：A 【解析】：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1或b ＝－4(舍去)，即AC ＝1. 2、 已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．2 5 B.5 C ．25或 5 D ．均不正确【答案】：C 【解析】：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°. 若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3、 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B.3 C ．2 3 D ．2 【答案】：B 【解析】：因为S ＝12AB ·AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝3.所以BC ＝ 3. 4、 在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．25【答案】：A 【解析】：∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2.故选A.5、 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】：B 【解析】：由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．6、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】：B 【解析】：∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c2c ，∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ， ∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．7、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC的面积为 ． 【答案】：233 【解析】：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， 所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12×833×12＝233.8、 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 的值为__________． 【答案】：3 【解析】：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B ， 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin Csin A ＝3．考向一 运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）ABC ．D ．【答案】DABC3AC =2BC =3cos 4C =tan A =33【解析】由余弦定理可以求出，有可判断，进而可以求出. 【解析】由余弦定理得：， 所以，因为，所以，所以， 故选：D ．变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．【答案】【解析】∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a ：b ：c ＝2：3：4，∴不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C 2222224916122234a b c t t t ab t t +-+-===-⨯⨯，∵C ∈(0，π)，∴tanC ==答案为变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 【答案】4 【解析】∵cos cos sin A B Ca b c+=， ∴由正弦定理得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=， ∴111tan tan A B+=， 又22265b c a bc +-=，∴由余弦定理得62cos 5A =，∴3cos 5A =，∵A 为ABC ∆的内角，∴4sin 5A =，∴4tan 3A =，∴tan 4B =， 故答案为：4．2AB =AB BC =A C =tan A 2222232cos 3223244AB AC BC BC AC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=2AB =AB BC =A C =3cos cos 4A C ==tan 3A =变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=． （1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．【答案】（1）3a =，7b =；（2. 【解析】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2B =-， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭， 因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， 解得3a =，所以7b =.（2）由1cos 2B =-，得sin B =由正弦定理得5sin sin 7214c C B b ==⨯=方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状例2、已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是( )A ．若tan A ＋tanB ＋tanC >0，则△ABC 是锐角三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 是等腰三角形D ．若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是等边三角形 【答案】：ACD 【解析】：∵tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C >0， ∴A ，B ，C 均为锐角，∴选项A 正确；由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴选项B 错； 由b cos C ＋c cos B ＝b 及正弦定理， 可知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ， ∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B ，∴选项C 正确；由已知和正弦定理，易知tan A ＝tan B ＝tan C ， ∴选项D 正确．变式1、△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∵A ＝120°，∴34＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，与sin B ＋sin C＝1联立方程组解得：sin B ＝sin C ＝12，∵0°＜B ＜60°，0°＜C ＜60°，故B ＝C ＝30°，∴△ABC 是等腰钝角三角形．变式2、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形【答案】 (1)B (2)C 【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c . 又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3， 所以△ABC 是等边三角形．方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想． 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ． (1) 求角A 的大小；(2) 若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积． 【解析】：(1) (解法1)在△ABC 中，由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ， 即sin A ＝2sin A cos A ．因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0， 所以cos A ＝12，所以A ＝π3．(解法2)在△ABC 中，由余弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得b a 2＋b 2－c 22ab ＋c a 2＋c 2－b 22ac ＝2a b 2＋c 2－a 22bc ， 所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12． 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3．(2) 由AB →·AC →＝cb cos A ＝3，得bc ＝23，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×23×sin60°＝32变式1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cosA －3sinB cos B ． (1) 求角C 的大小；(2) 若sin A ＝45，求△ABC 的面积． 【解析】：(1) 由题意得 1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6．由a ≠b ，得A ≠B ．又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3． (2) 由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85． 由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310， 所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825．变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 【答案】4【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，222sin sin 3sin A B C -=，1cos 3A =-，则ABC ∆的面积是______．【解析】3b =，222sin sin 3sin A B C -=，∴由正弦定理可得2222339a c b c =+=+，又1cos 3A =-，∴由余弦定理可得22222cos 92a b c bc A c c =+-=++，223992c c c ∴+=++，解得1c =，又sin A ==，11sin 3122ABC S bc A ∆∴==⨯⨯．方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考向三 结构不良题型例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积. 【解析】 若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-， 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc =24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A +=π-， 所以cos 2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，1sin 22A ∴=，26A π=，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①b ac -=②2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【解析】（1）由①()33b a c c a b -+=+得，()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-== 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以28623c c =++⨯，即2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B==sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==变式2、（2020cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.【解析】cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B = 又0B π<<，得23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-， 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△1422=⨯⨯= 在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈， 所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以11sin 4222ABCSac B ==⨯⨯=在横线上填写“sin sin2A Cb A +=”解：由正弦定理，得sin sin sin 2BB A A π-=.由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 2B B =由二倍角公式，得2sincos 222B B B =.由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 22B =. 所以23B π=，即23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=1、【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB = ，即3AB =， 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =. 故选：A ．2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 A.3、【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==，11sin 222ABC S ac B ==⨯=△ 5、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.6、【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 3B ==由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积. 【解析】 （Ⅱ）()2cos cos 0a c B b A ++=,()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ∴++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,()sin 2cos sin 0A B B C ++=， ()sin sin A B C +=.1cos 2B ∴=-,20,3B B ππ<<∴=.(Ⅱ)由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭， ()2229,9a c ac a c ac ++=∴+-=，33,a b c b a c ++=+=∴+= 3ac ∴=，11sin 322ABCSac B ∴==⨯=. 8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值． 【解析】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2B =-， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭， 因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， 解得3a =，所以7b =.（2）由1cos 2B =-，得sin 2B =由正弦定理得5sin sin 7c C B b ===9、【2020年新高考全国Ⅱ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c = 方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．。
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A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形
8、△ABC中， sin2 A sin2 B sin2 C ，则△ABC为（ ）
A、直角三角形
B、等腰直角三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形
9、已知关于 x 的方程 x2 x cos A cos B 2 sin2 C 0 的两根之和等于两根之积的一半， 2
）
A、 1 4
B、 3 4
C、 2 4
D、 2 3
2、在△ABC 中， A 60°， a 4 3, b 4 2 ，则 B 等于（ ）
A、45°或 135° B、135° C、45°
D、以上答案都不对
3、在 ABC 中， a 15,b 10, A 60°，则 cos B =（ ）
A、－ 2 2 3
(Ⅰ)确定角 C 的大小：
（Ⅱ）若 c＝ 7 ,且△ABC 的面积为 3 3 ,求 a＋b 的值。 2
- 5-
1 3、设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a＝1，b＝2，cosC＝4.
(1)求△ABC 的周长； (2)求 cos(A－C)的值．
4.在 ABC 中， BC 5, AC 3,sin C 2sin A
3
B、
4
C、 3 或 3 2
D、 3 或 3 42
2、已知△ABC 的三边长 a 3,b 5,c 6 ，则△ABC 的面积为（ ）
A、 14 B、 2 14
C、 15
D、 2 15
3、在△ABC 中， a sin10 °， b sin 50 °， C= 70°，那么△ABC 的面积为（ ）
一、知识点
（一）正弦定理： a b c 2R, 其中 R 是三角形外接圆半径. sin A sin B sinC
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
a2 b2 c2 2bc cos A （二）余弦定理：b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
B、 2 2 3
C、－ 6 3
D、 6 3
4、在△ABC 中， a 3 ， b 7 ， c 2 ，那么B 等于（
）
A、30° B、45°
C、60°
D、120°
5、在△ABC 中， a 2 3 ， b 2 2 ， B 45°，则 A 等于（ ）
A、30° B、60° C、60°或 120° D、30°或 150°
（三）三角形面积公式：（1） S ABC
1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin B.
2
2
2
题型一：正余弦定理的基本应用：（四种题型：）
（1）已知两角一边用正弦定理；（2）已经两边及一边对角用正弦定理；
（3）已知两边及两边的夹角用余弦定理；（4）已知三边用余弦定理
例 1、在 ABC 中，已知a 20, A 30 C 45 求 B, b, c
A、 1
B、 1
C、 1
D、 1
64
32
16
8
4、在△ABC中， a 2 ， A 30°, C 45°，则△ABC的面积 SABC 等于（ ）
A、 2
B、2 2
C、 3 1
D 、1 ( 3 1) 2
5、 ABC 中， B 120, AC 7, AB 5 ，则 ABC 的面积为
．
6、已知ABC
S ABC
1 2
ab
sin
C
21bc sin
A
21ac sin
B.
二、例题讲解 （一）求边的问题
1、在△ABC中，角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ， A , a 3, b 1，则 c （ ） 3
A、1 B、2
C 、 31 D 、 3
2、 在△ABC 中， a, b, c 分别为A,B, C 的对边.如果a,b, c 成等差数列， B 30°，△ABC 的
；
（2）若△ABC 的周长等于 20，面积是10 3 ， A= 60°，则边 BC =
- 7-
3 、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、 x ，则 x 的取值范围是= 4 在△ABC 中，已知a2 b2 c 2 bc ，则 A =
a2 b2 c2 2bc cos A （二）余弦定理： b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
由此可得： cos A b2 c2 a2 , cos B a2 c2 b2 , cos C a2 b2 c2 .
2ab
2ac
2ab
注： a2 ＞ b2 c2 A 是钝角； a2 = b2 c2 A 是直角； a2 ＜ b2 c2 A 是锐角；
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形
4、在△ABC 中，若 a cos A b cos B ，则△ABC 的形状是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形
D、等腰或直角三角形
5、在△ABC 中，若 cos A cos B sinC ，则△ABC 是（
cos A cos B cosC A、直角三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形
2、在 ABC 中，已知2sin Acos B sin C ，那么ABC 一定是（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形
3、△ABC 中， a 2b cosC ，则此三角形一定是（ ）
5
10
（I）求 A B 的值；
C 所对的边分别为 a、b、 c ，且
（II）若 a b 2 1 ，求 a、b、 c 的值。
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解三角形复习
一、知识点
（一）正弦定理： a b c 2R, 其中 R 是三角形外接圆半径. sin A sin B sinC
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
）
a
b
c
A、有一内角为 30°的直角三角形
B、等腰直角三角形
C、有一内角为 30°的等腰三角形
D、等边三角形
6、在△ABC中， b cos A a cos B ，则三角形为（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形
C、等腰三角形
D、等边三角形
7、在△ABC中，已知 B 30°, b 50 3 , c 150 ，那么这个三角形是（ ）
面积为 3 ，那么b （ ） 2
A、 1 3 2
B、1 3
C、 2 3 2
D、 2 3
3、在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边长分别为a,b, c ，若 C 120°， c 2a ，则（ ）
A、 a b
B、 a b
C、 a b
D、 a 与 b 的大小关系不能确定
4、在△ABC 中， a 10 ， B 60°, C 45°,则 c 等于（ ）
A、10 3
B、10 3 1 C、 3 1
D、10 3
5、若△ABC 的周长等于 20，面积是10 3 ， A= 60°，则 BC 边的长是（ ）
A、5
B、6
C、7
D、8
6、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、 x ，则 x 的取值范围是（
）
A、1 x 5 B 、 5 x 13
C、 0 x 5
例 2．已知下列各三角形中的两边及一角，判断三角形是否有解，并作出解答 （1） a 2 3, b 6, A 30 （2） a 2,b 2, A 45
（3） a 5,b 3, A 120 （4） a 3,b 4, A 60
例 3．（1）在 ABC 中，已知b2 c2 a 2 bc ，则 A=
（A） 4 3
（B）8 4 3
(C) 1
2
(D)
3
9、在△ABC中， A 60°， C 45°， b 2 ，则此三角形的最小边长为
。
10、在△ABC中, a 1,b 1 , C 120°则 c
。
11、在 ABC 中.若 b=5， B ，sinA= 1 ，则 a
.
4
3
12、若△ABC 的面积为 3，BC＝2，C＝60°，则边 AB 的长度等于
则 ABC 一定是（ ）
A、直角三角形
B、钝角三角形 C、等腰三角形
10、△ABC中， tan A sin A ，则三角形为
。
tan B sin B
D、等边三角形
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（四）三角形的面积的问题
1、在△ABC 中， AB 3 , AC 1, A 30 ，则△ABC 面积为（ ）
A、 3 2
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6、在△ABC 中，已知 a 2 b2 c 2 bc ，则 A 为（ ）
A、
3
B、
6
C、 2 3
D 、 或2 33
7、已知△ABC 的面积为 3 ，且 b 2, c 3 ，则 A 等于（ ） 2
A、30° B、30°或 150° C、60°
D、60°或 120°
8、已知在△ABC中, sin A : sin B : sin C 3 : 2 : 4 ,那么cosC 的值为（ ）
A、 1 B、 1
4
4
C、 2 3
D、 2 3
9、在△ABC中， sin A sin B 是 A B 的（ ）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
10、若△ ABC 的内角， A, B, C 满足6sin A 4sin B 3sin C ，则 cos B
A． 15 4
B． 3 4
C． 3 15 16
D． 11 16
11、在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分 a, b, c ．若 a cos A b sin B ，则 sin A cos A cos2 B