〈利用函数性质判定方程解的存在〉公开课PPT课件
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新北师大版第2章第8节方程解的存在性及方程的近似解课件(48张)
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对点强化 1 (1)(2022·江西高三模考)已知函数
f(x)＝|fl（n xx|－－3s）in ，x，x>03<x≤3 ，则 f(x)在(0，10)上的零点个数为(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
B 由题意，当 0<x≤3 时，作出函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 的图象．
由图可知，函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 在(0，1)和[1，3]内各有一个交点，
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解析 方程 f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0. 画出 y＝f(x)－2 与 y＝kx－2 的函数图象如图所示：
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2．(多选题)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 345 6 7
f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(5，6)
D．(5，7)
BCD 由所给的函数值表知，
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，
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2．二分法 对于一般的函数 y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数 y＝f(x)的图象是一条连__续__ 的曲线，_____f_(_a_)·_f_(b_)_＜__0________，则每次取区间的中点，将区间一分为 二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二 分法．
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考点三 函数零点的应用 命题点 1 根据函数零点个数求参数
(2022·全国模拟)已知函数 f(x)＝x|l2n＋（2，x－x≤1）1，|＋2，x>1. ，若关 于 x 的方程 f(x)－kx＝0 有且只有一个实数根，则实数 k 的取值范围是 ________________．
对点强化 1 (1)(2022·江西高三模考)已知函数
f(x)＝|fl（n xx|－－3s）in ，x，x>03<x≤3 ，则 f(x)在(0，10)上的零点个数为(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
B 由题意，当 0<x≤3 时，作出函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 的图象．
由图可知，函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 在(0，1)和[1，3]内各有一个交点，
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解析 方程 f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0. 画出 y＝f(x)－2 与 y＝kx－2 的函数图象如图所示：
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2．(多选题)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 345 6 7
f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(5，6)
D．(5，7)
BCD 由所给的函数值表知，
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，
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2．二分法 对于一般的函数 y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数 y＝f(x)的图象是一条连__续__ 的曲线，_____f_(_a_)·_f_(b_)_＜__0________，则每次取区间的中点，将区间一分为 二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二 分法．
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考点三 函数零点的应用 命题点 1 根据函数零点个数求参数
(2022·全国模拟)已知函数 f(x)＝x|l2n＋（2，x－x≤1）1，|＋2，x>1. ，若关 于 x 的方程 f(x)－kx＝0 有且只有一个实数根，则实数 k 的取值范围是 ________________．
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在公开课优质课比赛获奖课件
第四章 函数应用
想一想
函数y＝f(x)的零点是“f(x)＝0的点”吗？ 提示：“零点”并不是“点”，而是一个 “实数”，是f(x)图像与 x轴交点的横坐 标．
第四章 函数应用
做一做
1.函数y＝x的零点是( )
A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在
解析：选B.y＝x与x轴交于原点，y＝0，
∴x＝0.
第四章 函数应用
典题例证·技法归纳
题型一 求函数的零点
例1 下列函数是否存在零点？若存在，求 出其零点；若不存在，说明理由． (1)y＝ax＋2(a≠0)； (2)y＝4x2＋4x＋1(x＞0)； (3)y＝ln x－1.
第四章 函数应用
【解】 (1)函数 y＝ax＋2(a≠0)存在零点．其 零点是使 ax＋2＝0 成立的 x 值，故 x＝－2a (a≠0)是函数的零点． (2)函数 y＝4x2＋4x＋1(x＞0)不存在零点． 因为(2x＋1)2＝0，解得 x＝－12∉{x|x＞0}， 即使 4x2＋4x＋1＝0(x＞0)的 x 值不存在，
第四章 函数应用
题型三 判断零点所在区间
例3
在下列区间中，函数f(x)＝ex＋ 4x－3的零点所在的区间为( )
A.－14，0 B.0，14 C.14，12 D.12，34
第四章 函数应用
【思路点拨】 根据零点所在区间的判定定 理f(a)f(b)<0. 【解析】 y1＝ex为增函数，y2＝4x－3为 增函数，∴f(x)＝y1＋y2＝ex＋4x－3为增函 数f,－14＝e－14－4<0，f0＝e0－3＝－2<0，
f14＝e14－2<0，f12＝e12－1>0. ∴f14·f12<0，零点区间为14，12.
公开课《方程的意义》课件
方程的解法举例
一元一次方程
$x + 2 = 3$，解得 $x = 1$。
一元二次方程
$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x = 3$ 或 $x = -1$。
分式方程
$frac{x}{2} - frac{5}{3} = 1$， 解得 $x = frac{11}{2}$。
绝对值方程
$|x| - 2 = 3$，解得 $x = 5$ 或 $x = -5$。
03
方程的应用
代数方程的应用
代数方程在数学教育和研究中占据着重要的地位。在 数学教育中，代数方程是中学数学课程中的重要内容 ，是学生学习数学的基础。在数学研究中，代数方程 也是许多数学分支的基础，如代数学、几何学、分析 学等。
代数方程在数学领域中有着广泛的应用，它是一种重 要的数学工具，用于解决各种数学问题。代数方程可 以用来表示数学关系，解决代数问题，求解未知数等 。
02
方程的解法
方程的解的概念
方程的解
满足方程的未知数的值。
解方程
通过一定的方法找到满足方程的未知数的 值。
解方程的步骤
化简方程、移项、合并同类项、求解未知 数。
方程的解法分类
代数法
通过代数运算求解方程。
几何法Байду номын сангаас
通过几何图形求解方程。
三角函数法
通过三角函数性质求解方程。
微积分法
通过微积分知识求解方程。
几何方程在几何教育和研究中占据着重要的地位。在几何教育中，几何方程是中学几何课程 中的重要内容，是学生学习几何的基础。在几何研究中，几何方程也是许多几何分支的基础 ，如解析几何、微分几何、线性代数等。
几何方程在科学和工程领域也有着广泛的应用。例如，在物理学中，几何方程可以用来描述 物理现象和规律；在工程学中，几何方程可以用来解决各种工程问题，如机械设计、航空航 天等。
利用函数性质判定方程解的存在 ppt课件
轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
（二）启发引导，形成概念
方判别式程Δ
x2-Δ2>x-03=0
x2-Δ2x=+01=0
x2-Δ2<x+03=0
方程方ax程2 +的bx根+c=0 两x个1=不-1，相等x2=的3 有两x个1=相x2=等1的
2x???方程xx2222xx30xx2222xx10xx2222xx30方程的根函数yyxx2222xx33yyxx2222xx1yyxx2222xx3函数yyax2bxccaa0的图象函数的图象与xx轴的交点一元二次方程的实数根?二次函数图象与xx轴交点的横坐标x11x23x1x21无实数根2243112oxy423112oxy423112oxy两个交点1030一个交点10没有交点问题1
(1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)
－1，4
1，－ 5
（三）讨论探究，揭示定理
探究:在什么情况下，函数f(x)在区间(a,b)一定存在零 点呢？
1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一 个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。 现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
（一）设问激疑，创设情景
〖引例〗 解方程：
（1）2x10
x12
（2）x22x30 x13,x21
（3）x22x30 无根
（4）2-x=4； （5）2-x=x；
x2
（6）2xln (x2 )30
（二）启发引导，形成概念
一个交点 (1,0)
没有交点
一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
（二）启发引导，形成概念
方判别式程Δ
x2-Δ2>x-03=0
x2-Δ2x=+01=0
x2-Δ2<x+03=0
方程方ax程2 +的bx根+c=0 两x个1=不-1，相等x2=的3 有两x个1=相x2=等1的
2x???方程xx2222xx30xx2222xx10xx2222xx30方程的根函数yyxx2222xx33yyxx2222xx1yyxx2222xx3函数yyax2bxccaa0的图象函数的图象与xx轴的交点一元二次方程的实数根?二次函数图象与xx轴交点的横坐标x11x23x1x21无实数根2243112oxy423112oxy423112oxy两个交点1030一个交点10没有交点问题1
(1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)
－1，4
1，－ 5
（三）讨论探究，揭示定理
探究:在什么情况下，函数f(x)在区间(a,b)一定存在零 点呢？
1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一 个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。 现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
（一）设问激疑，创设情景
〖引例〗 解方程：
（1）2x10
x12
（2）x22x30 x13,x21
（3）x22x30 无根
（4）2-x=4； （5）2-x=x；
x2
（6）2xln (x2 )30
（二）启发引导，形成概念
函数的表示法(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
思索交流
x+2, (x≤－1)
5. 已知函数f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x旳值是( D )
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3,
3 2
D. 3
怎样求函数解析式
一、【配凑法（整体代换法）】
若已知 f (g(x)) 旳体现式，欲求 f (x) 旳体现式， 可把 g(x)看成一种整体，把右边变为由 g(x) 构成 旳式子，再换元求出 f (x) 旳式子。
x
例3 、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函旳质量和相应旳邮资如表.
信函质量 (m)/g
0<m≤20
邮资(M)/元 1.20
20<m≤40 2.40
40<m≤60 3.60
60<m≤80 4.80
80<m≤100 6.00
画出图像,并写出函数旳解析式.
解：邮资是信函质量旳函数，函数图像如图。
函数旳解析式为
7.0
9.4
10.0
11.0
y 9 x 32 5
解析法
(6)某气象站测得本地某一天旳气温变化情况如图所示：
温度
8
T （℃）
6
4
２
0
２
时间
２ ４ ６ ８1
1
1
1
1
2
2
t2
( 时
二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课全篇
B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1
D. y= –(x–1)2+1
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
(h,k)
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的 增大而减小 .
y=3x2
向右
向上
y=3(x-1)2
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
感谢您的观看
03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》PPT课件
数的零点，方程的根，图象与x轴交点 数零点与方程解的关系.
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
数学教学讲座优质公开课ppt课件
熟悉所教内容的知识体系，掌握有效的教学方法和策略，能够根据学生的实际 情况进行有针对性的教学。
掌握现代教育技术
学习和运用现代教育技术，如多媒体教学、网络教学等，提高教学效果和学生 的学习兴趣。
加强科研能力，促进教师专业成长
积极参与科研活动
参加课题研究、学术会议等科研活动，了解学科前沿动态，提高自己的学术水平 。
数学教学讲座优质公 开课ppt课件
汇报人：
2023-12-24
目录
• 引言 • 数学知识体系梳理 • 教学方法与手段探讨 • 优质公开课案例分析 • 学生数学素养提升策略 • 教师专业素养提升途径
01
引言
目的和背景
提高数学教学效果
通过优质的公开课ppt课件，教师可 以更加生动、形象地展示数学知识， 激发学生的学习兴趣和积极性，提高 教学效果。
加强数学思维训练，提升创新思维能力
强化数学基础知识教学
通过系统的教学，使学生掌握扎实的数学基础知识，为思维训练 提供有力支撑。
培养学生的逻辑思维能力
通过逻辑推理、归纳分类等思维训练，提高学生的逻辑思维能力。
鼓励学生的创新思维
鼓励学生敢于质疑、勇于创新，培养他们的创新思维和创造性解决 问题的能力。
06
创新思维
包括观察、实验、猜想、 验证等探究过程，培养学 生的创新意识和实践能力 。
数学建模
通过实际问题抽象出数学 模型，利用数学方法解决 问题。
数学在各领域应用
自然科学
数学在物理学、化学、生物学等 自然科学领域有着广泛的应用， 如微积分在物理学中的应用，概
率论在生物学中的应用等。
社会科学
数学在社会学、经济学、心理学 等社会科学领域也有着重要的应 用，如统计学在社会调查中的应 用，数学模型在经济学中的应用
掌握现代教育技术
学习和运用现代教育技术，如多媒体教学、网络教学等，提高教学效果和学生 的学习兴趣。
加强科研能力，促进教师专业成长
积极参与科研活动
参加课题研究、学术会议等科研活动，了解学科前沿动态，提高自己的学术水平 。
数学教学讲座优质公 开课ppt课件
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2023-12-24
目录
• 引言 • 数学知识体系梳理 • 教学方法与手段探讨 • 优质公开课案例分析 • 学生数学素养提升策略 • 教师专业素养提升途径
01
引言
目的和背景
提高数学教学效果
通过优质的公开课ppt课件，教师可 以更加生动、形象地展示数学知识， 激发学生的学习兴趣和积极性，提高 教学效果。
加强数学思维训练，提升创新思维能力
强化数学基础知识教学
通过系统的教学，使学生掌握扎实的数学基础知识，为思维训练 提供有力支撑。
培养学生的逻辑思维能力
通过逻辑推理、归纳分类等思维训练，提高学生的逻辑思维能力。
鼓励学生的创新思维
鼓励学生敢于质疑、勇于创新，培养他们的创新思维和创造性解决 问题的能力。
06
创新思维
包括观察、实验、猜想、 验证等探究过程，培养学 生的创新意识和实践能力 。
数学建模
通过实际问题抽象出数学 模型，利用数学方法解决 问题。
数学在各领域应用
自然科学
数学在物理学、化学、生物学等 自然科学领域有着广泛的应用， 如微积分在物理学中的应用，概
率论在生物学中的应用等。
社会科学
数学在社会学、经济学、心理学 等社会科学领域也有着重要的应 用，如统计学在社会调查中的应 用，数学模型在经济学中的应用
函数的概念公开课课件
根据基本初等函数的性质，分别 求出各部分的取值范围或表达式
。
将各部分的结果组合起来，得到 复合函数的解析式或取值范围。
06
函数的应用举例
在几何中的应用举例
描述图形的形状
01
通过函数表达式，可以描述各种几何图形的形状，如直线、圆
、椭圆等。
计算图形的面积和体积
02
利用函数可以方便地计算各种几何图形的面积和体积，如圆的
指数、对数函数图像特点
指数函数图像特点 当 $a > 1$ 时，图像上升；当 $0 < a < 1$ 时，图像下降。
图像总是经过点 $(0,1)$。
指数、对数函数图像特点
• 随着 $x$ 的增大或减小，$y = a^x$ 的值会迅速增大或 减小。
指数、对数函数图像特点
01
02
03
04
对数函数图像特点
三角函数的性质
包括周期性、奇偶性、有界性等 。例如，正弦函数和余弦函数具 有周期性，周期为2π；正切函数 具有奇偶性，是奇函数。
三角函数的周期性、奇偶性
周期性
正弦函数和余弦函数具有周期性，周期为2π。这意味着在每个周期内，函数的图 像会重复出现。
奇偶性
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。正切函数也是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
反函数、复合函数的求解方法
反函数的求解方法 由原函数的解析式求出值域。
将原函数的解析式中的自变量与因变量互换，得到反函数的解析式。
反函数、复合函数的求解方法
注明反函数的定义域 （即原函数的值域） 。
确定复合函数的定义 域。
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
函数的单调性公开课课件
教学目标与要求
教学目标
通过本节课的学习，使学生掌握函数单调性的定 义、判断方法以及应用。
教学要求
学生能够理解函数单调性的概念，掌握判断函数 单调性的方法，并能够运用所学知识解决与函数 单调性相关的问题。
02
函数单调性的判断方法
导数法
01 导数与函数单调性的关系
当函数在某区间内可导时，若导数大于0，则函数 在该区间内单调递增；若导数小于0，则函数在该 区间内单调递减。
反函数单调性判断方法
首先确定原函数的单调性，然后根据反函数的定 义和性质判断反函数的单调性。
3
反函数单调性应用
在解决一些涉及反函数的问题时，可以利用反函 数的单调性来简化计算或证明过程。
单调性与连续性的关系
单调性与连续性的关系定理
若函数$y = f(x)$在区间$X$上是单调的，则它在该区间内至多只有第一类间断点。
02 导数的计算
通过求导公式和求导法则，计算出函数的导数表 达式。
03 导数法判断函数单调性的步骤
首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数， 最后根据导数的正负判断函数的单调性。
差分法
01 差分的定义
差分是函数在两个相邻点的函数值之差，即 Δy=f(x+Δx)−f(x)。
02 差分与函数单调性的关系
针对某些复杂的不等式，可以通过构 造辅助函数，利用函数的单调性进行 证明。
在函数值比较中的应用
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区间内单调，则可 以通过比较自变量的大小来推断函数值的大小关系。
确定函数值的范围
通过函数的单调性，可以确定函数在某一区间内的取值范围，进而 对函数值进行比较和估算。
新教材高中数学第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解第1课时利用函数性质判定方程解的存在性课件
再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2
(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.1或2
(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
(1) 答案 A
解析 ∵b2=ac,且abc≠0,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0.
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,
f(2)=-1+ln 2=ln
2
<0,
e
所以f(3)·f(2)<0,
说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上单调递增,所以原函数只有一个零点.
探究点三 已知零点个数求参数的取值范围
【例 3】 已知函数 f(x)=
2
出函数 g(x)和 h(x)的图象如图所示.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点.
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上单调递增,故f(x)有且只有一个零点.
故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
)
(2)解(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.
变式训练2
(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.1或2
(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
(1) 答案 A
解析 ∵b2=ac,且abc≠0,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0.
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,
f(2)=-1+ln 2=ln
2
<0,
e
所以f(3)·f(2)<0,
说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上单调递增,所以原函数只有一个零点.
探究点三 已知零点个数求参数的取值范围
【例 3】 已知函数 f(x)=
2
出函数 g(x)和 h(x)的图象如图所示.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点.
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上单调递增,故f(x)有且只有一个零点.
故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
)
(2)解(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.
函数的单调性公开课课件
函数的单调性公开课 课件
目录
• 引言 • 函数单调性的判断方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 典型例题分析 • 课堂小结与思考题
CHAPTER 01
引言
函数的单调性定义
增函数
对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) leq f(x_2)$，则称$f(x)$ 在该定义域内是增函数。
导数非正 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非正，则该函数 在该定义域内单调减少。
单调函数的周期性
周期函数与非周期函数
单调函数可以是周期函数，也可以是非周期函数。周期函数具有重复出现的特性，而非 周期函数则不具有这种特性。
周期函数的单调性
如果一个周期函数在一个周期内单调增加（或减少），则在每个周期内都具有相同的单 调性。这意味着周期函数的图像在每个周期内都会重复相同的上升或下降趋势。
利用单调函数的性质，如增减性、连续性等，对函数值进行比较和估算。
在函数图像分析中的应用
利用函数的单调性判断函数图像的趋势
通过函数的单调性可以判断函数图像在某个区间内的上升或下降趋势，从而了解函数的整体性质。
单调函数的性质在函数图像分析中的应用
利用单调函数的性质，如拐点、极值点等，对函数图像进行进一步的分析和研究，如确定函数的最大值、 最小值等。
3
导数非负 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非负， 则该函数在该定义域内单调增加。
单调减函数的性质
函数值随自变量增大而减小 对于任意两个自变量的值x1和x2（x1 < x2），如果函数 f(x)在区间[x1, x2]内单调减少，则有f(x1) ≥ f(x2)。
目录
• 引言 • 函数单调性的判断方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 典型例题分析 • 课堂小结与思考题
CHAPTER 01
引言
函数的单调性定义
增函数
对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) leq f(x_2)$，则称$f(x)$ 在该定义域内是增函数。
导数非正 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非正，则该函数 在该定义域内单调减少。
单调函数的周期性
周期函数与非周期函数
单调函数可以是周期函数，也可以是非周期函数。周期函数具有重复出现的特性，而非 周期函数则不具有这种特性。
周期函数的单调性
如果一个周期函数在一个周期内单调增加（或减少），则在每个周期内都具有相同的单 调性。这意味着周期函数的图像在每个周期内都会重复相同的上升或下降趋势。
利用单调函数的性质，如增减性、连续性等，对函数值进行比较和估算。
在函数图像分析中的应用
利用函数的单调性判断函数图像的趋势
通过函数的单调性可以判断函数图像在某个区间内的上升或下降趋势，从而了解函数的整体性质。
单调函数的性质在函数图像分析中的应用
利用单调函数的性质，如拐点、极值点等，对函数图像进行进一步的分析和研究，如确定函数的最大值、 最小值等。
3
导数非负 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非负， 则该函数在该定义域内单调增加。
单调减函数的性质
函数值随自变量增大而减小 对于任意两个自变量的值x1和x2（x1 < x2），如果函数 f(x)在区间[x1, x2]内单调减少，则有f(x1) ≥ f(x2)。
3.2 函数的基本性质(课时1 函数的单调性)优秀公开课获奖课件高一数学
x
概念生成
一般地，设函数 = ()的定义域为，如果存在实数满足:
(1)∀ ∈ ,都有() ≤ ;
(2)∃ ∈ ,使得( ) = .
那么，我们则称是函数 = ()的最大值.
y
函数 = ()的最大值可用“ ”或“() ”来表示.
1
- 4 -3 - 2
值
( ) < ( )，那么就称函数()
( ) > ( )，那么就称函数()在
在区间上单调递增.
区间上单调递减.
就叫做函数()的单调递增区间，
就叫做函数()的单调递增区间，
简称增区间.
简称减区间.
问题2 如何判定函数的单调性？
(1)图象法(形象直观)；(2)定义法(推导证明)
-1
1
1.图像
-2
2.定义域
-3
3.单调性
-4
4.求最值
2 3
4
x
新知讲解
问题5 一次函数（以 = ， = −（ ∈ ） 为例）有最大（小）
值吗？
图像：
y
y
() =
5
1
4
- 4 -3
3
2
-2
-1 0
-1
-1 0
-1
-2
1
- 4 -3
-2
-3
1
2
3
4
x
-4
1
2
3
4
x
二次函数() = +
观察图像，可以发现，二次函数
() = − 的图象上有一个最高点
（0,0），即∀ ∈ ,都有() ≤ ().
当一个函数()的图象有最高点时，
我们就说函数()有最大值.
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