湖南省长沙市中考数学试卷(含答案)
2023长沙中考数学试卷及答案
2023长沙中考数学试卷及答案尊敬的教师、学生和家长：以下是2023年长沙市中考数学试卷及答案，仅供参考：一、选择题1. 下列四个数中，最小的数是（）。
A. $-\dfrac{3}{5}$B. $-\dfrac{4}{7}$C. $-\dfrac{2}{3}$D. $-\dfrac{5}{8}$答案：B2. 若 $x+y=0$，则 $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ 的值为（）。
A. $-2$B. $0$C. $1$D. $2$答案：A3. 已知函数 $f(x)$ 的图象如图所示，那么下列说法中错误的是（）。
A. $f(x)$ 为奇函数B. $f(3)=f(-3)$C. $f(1)>0$ 且 $f(-1)<0$D. $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 内单调递减答案：D二、填空题1. 把 $8$ 千克的糖分成 $125$ 相等的部分，每部分重为\_\_\_\_\_ 克。
答案：$64$2. 已知等差数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 的公差为 $3$，$a_1+a_2+\cdots+a_{10}=55$，$a_2+a_4+\cdots+a_{10}=30$，则$a_1=\_\_\_\_$，$a_3=\_\_\_\_$。
答案：$2$，$8$3. 小明得到的一元二次方程 $x^2-2mx+n=0$ 的两根相差 $3$，则 $m=\_\_\_\_$，$n=\_\_\_\_$。
答案：$3$，$-4$三、解答题1. 设 $A,B,C$ 是三点，$AB=BC$，$\angle BAC=100^\circ$，$\angle ABC=140^\circ$。
求 $\angle BCA$ 的度数。
解答如下：连接 $AC$ 并作 $\angle BCA$ 的平分线 $CD$，如图所示：由角平分线定理，可得：$$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BC}{AC}$$又因为 $AB=BC$，所以 $\dfrac{BD}{DC}=1$，于是$BD=DC$。
2024年湖南省中考数学真题卷含答案解析
2024年湖南省初中学业水平考试数 学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ）A. 180+元 B. 300+元C. 180-元D. 480-元2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ）A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯ C. 540.1510⨯ D.34.01510⨯3. 如图，该纸杯的主视图是（）A. B. C. D.4. 下列计算正确是（ ）A. 22321a a -= B. 32(0)a a a a ÷=≠ C. 236a a a ⋅= D.()3326a a =5.）AB. C. 14D.6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 两点之间，线段最短B. 菱形的对角线相等C. 正五边形的外角和为720︒D. 直角三角形是轴对称图形7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 1929. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A DE BC∥ B. ADE ABC△△∽ C. 2BC DE =D.的..12ADE ABC S S =10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当yx（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <-B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024--=________．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．13. 分式方程21x +=1的解是_______．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．16. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即kf l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．的18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF为________分米（结果用含根号的式子表示）．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. 计算：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭．20. 先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：活动过程测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．25. 已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DCPDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠=︒；的【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及A BB C的值．2024年湖南省初中学业水平考试数 学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ）A. 180+元 B. 300+元C. 180-元D. 480-元【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可；【详解】解：收入为“+”，则支出为“-”，那么支出180元记作180-元．故选：C ．2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ）A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯ C. 540.1510⨯ D.34.01510⨯【答案】B 【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：4015000用科学记数法表示为64.01510⨯．故选：B ．3. 如图，该纸杯的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．【详解】解：该纸杯的主视图是选项A ，故选：A ．4. 下列计算正确的是（ ）A. 22321a a -= B. 32(0)a a a a ÷=≠ C. 236a a a ⋅= D.()3326a a =【答案】B 【解析】【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．【详解】解：A 、22232a a a -=，故该选项不正确，不符合题意； B 、32(0)a a a a ÷=≠，故该选项正确，符合题意；C 、235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意； D 、()3328a a =，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．5. ）A. B. C. 14 D.【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．=故选：D6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 两点之间，线段最短B. 菱形的对角线相等C. 正五边形的外角和为720︒D. 直角三角形是轴对称图形【答案】A 【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知12A BOC ∠=∠，即可得到答案．【详解】根据题意，圆周角A ∠和圆心角BOC ∠同对着 BC，∴12A BOC ∠=∠，45A ∠=︒ ，224590BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 192【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可．【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故选：B ．是9. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A DE BC ∥ B. ADE ABC △△∽ C. 2BC DE = D. 12ADE ABC S S = 【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽，∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴14ADE ABC S S = ，故D 错误；故选：D ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当y x（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <- B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10【答案】C.【解析】【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a 的取值范围，即可判断选项A ，利用“整点”定义即可判断选项B ，利用“超整点”定义即可判断选项C ，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D ．【详解】解：∵点()24,3P a a -+在第二象限，∴24030a a -<⎧⎨+>⎩，∴32a -<<，故选项A 错误；∵点()24,3P a a -+为“整点”， 32a -<<，∴整数a 为2-，1-，0，1，∴点P 的个数为4个，故选项B 错误；∴“整点”P 为()8,1-，()6,2-，()4,3-，()2,4-，∵1188=--，2163=--，3344=--，422=--∴“超整点”P 为()2,4-，故选项C 正确；∵点()24,3P a a -+为“超整点”，∴点P 坐标为()2,4-，∴点P 到两坐标轴的距离之和246+=，故选项D 错误，故选：C ．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024--=________．【答案】2024【解析】【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解．【详解】解：()20242024--=，故答案为：2024．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．【答案】14【解析】【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可．【详解】解：∵共有4枚棋子，∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是14．故答案为：1413. 分式方程21x +=1的解是_______．【答案】x=1【解析】【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．【答案】100【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角180402100=︒-︒⨯=︒．故答案为：100．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=->；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=；没有实数根，则24<0b ac ∆=-．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=-=--⨯⨯=，解得：2k =故答案为：216. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即k f l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．【答案】180【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把0.9l =，200f =代入k f l =求解即可．【详解】解：把0.9l =，200f =代入k f l =，得2000.9k =，解得180k =，故答案为：180．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP 平分ABC ∠，根据角平分线的性质可知2DM MN ==，结合4AD MD =求出AD ，AM ．详解】解：作图可知BP 平分ABC ∠，∵AD 是边BC 上的高，MNAB ⊥，2MN =，∴2MD MN ==，∵4AD MD =，∴8AD =，∴6AM AD MD =-=，故答案为：6．18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米（结果用含根号的式子表示）．【答案】(6-##()6-+【解析】【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC 交l 于点H ，连接OC，根据题意及解三角形确定BH =OH =，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．【详解】解：延长DC 交l 于点H ，连接OC ，如图所示：在Rt OBH △中，906030BOH ∠=︒-︒=︒，12dmOB =【12tan 30BH ∴=⨯︒=，OH =OBH OCH OBCS S S =+△△△ 111222OB BH OH CF OB BC ∴⋅=⋅+⋅即11112124222CF ⨯=⨯+⨯⨯，解得：6CF =-．故答案为：(6-．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19计算：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭【答案】52【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．【详解】解：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭13122=++-52=．20. 先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．【答案】1x x +，43【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把3x =代入化简后的结果，即可求解．【详解】解：22432x x x x x-⋅++()()22232x x x x x x+-⋅++=.23x x x-=+1x x +=，当3x =时，原式31433+==．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动项目数量达到3项及以上的学生人数．【答案】（1）100（2）见解析 （3）36（4）300人【解析】【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键．（1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果；（2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；（4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可．【小问1详解】解：根据题意得：3030%100÷=人，的故答案为：100；【小问2详解】100330421015----=，补全统计图如下：【小问3详解】1036036100︒⨯=︒，故答案为：36；【小问4详解】15101200300100+⨯=人．22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．【答案】（1）①或②，证明见解析；（2）6【解析】【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质得出10DE BC ==，再由勾股定理即可求解．【小问1详解】解：选择①，证明：∵B AED ∠=∠，∴DE CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；选择②，证明：∵AE BE =，AE CD =，∴CD BE =，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；【小问2详解】解：由（1）得10DE BC ==，∵AD AB ⊥，8AD =，∴6AE ==．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】（1）50元、30元（2）400棵【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a 棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【小问1详解】解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5030x y =⎧⎨=⎩，答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；【小问2详解】解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a -棵，根据题意，得()5030100038000a a +-≤，解得400a ≤，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：活动过程测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．【答案】（1）7米；3米（2）18平方米【解析】【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．（1）根据题意得tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，即可确定CE 长度，再由45BFG ∠=︒得出4BE EF ==米，即可求解；（2）过点A 作AM GH ⊥于点M ，继续利用正切函数确定6AB ME ==米，即可求解面积．【小问1详解】解：∵GH CE ⊥，EF 的长为4米，60.3CFG ∠=︒，∴tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，∴7CE =米；∵45BFG ∠=︒，∴4BE EF ==米，∴3CB CE BE =-=米；【小问2详解】过点A 作AM GH ⊥于点M ，如图所示：∵21.8AFG ∠=︒，∴tan tan21.80.4AM AFG MF∠=︒=≈，∵4AM BE ==米，∴10MF =米，∴1046AB ME ==-=米，∴底座的底面ABCD 的面积为：3618⨯=平方米．25. 已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DC PDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．【答案】（1）29y x =-+（2）为定值3，证明见解析（3）374【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式，()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+，表示出()()23PD x x =+-+，13CD x =-+，代入DC PDQA S S △△即可求解；（3）设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，求出直线PQ 的解析式，把11x x =-代入即可求出线段MN 长度的最大值．【小问1详解】∵二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，∴54c =-+，∴9c =，∴29y x =-+；【小问2详解】当0y =时，209x =-+，∴123,3x x =-=，∴()3,0B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴2530k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴3y x =-+，设()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+，∴()()()2211111193623PD x x x x x x =-+--+=-++=+-+，13CD x =-+．∴()()()()()11111233332PDQ ADC S x x x x S x x +-++-==-++ ，∴DCPDQA S S △△的值为定值；【小问3详解】设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，∴2112119249mx n x mx n x ⎧+=-+⎨-+=-+⎩，∴12129m x n x =⎧⎨=-+⎩，∴12129y x x x -=+，当11x x =-时，()22111113712924y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，∴当12x =-时，线段MN 长度的最大值374．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠= ︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及A B B C的值．【答案】（1）30︒；①证明见解析；②补全图形见解析，43，12【解析】【分析】（1）可证OEA △是等边三角形，则60OAE ∠=︒，由直线l 是O 的切线，得到90OAC ∠=︒，故906030CAE ∠=︒-︒=︒；（2）①根据矩形的性质与切线的性质证明OAE FCD △≌△，则AE CD =，而BC AD =，由AD AE DE =+，得到BC CD DE =+；②过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，先证明点E 在线段OC 上，4tan 3AC AO α==，由等腰三角形的性质得12EOG α∠=，根据互余关系可得12EAH EOG α∠=∠=，可求4tan 3AH OH α==，解OAE △，求得1tan 2EAH ∠=，可证明12ACB α∠=，故在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【详解】解：（1）由题意得60AOE α∠==︒，∵OA OE =，∴OEA △是等边三角形，∴60OAE ∠=︒，∵直线l 是O 的切线，∴90OAC ∠=︒，∴906030CAE ∠=︒-︒=︒，故答案为：30︒；（2）①如图：∵OA OE =，∴OAE OEA ∠=∠，∵AOE α∠=，∴180OAE OEA α∠+∠+=︒，∴18019022OAE αα︒-∠==︒-，∵90OAC ∠=︒，∴12DAC α∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴FA DF =，12CF DF AC r ===，∴12DAC FDA α∠=∠=，∴1122DFC ααα∠=+=，∵OA OE r ==，∴,OA FC OE FD ==，∵AOE DFC ∠=∠，∴OAE FCD △≌△，∴AE CD =，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD =，∵AD AE DE =+，∴BC CD DE =+；②补全图形如图：过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，4,3OA r AC r ==，∴由勾股定理得53OC r =，∵23CEOE =，∴23CE r =，∴OC OE CE =+，∴点E 在线段OC 上，∴在Rt ACO ，4tan 3AC AO α==，∵OG AE ⊥，OA OE =，∴12EOG α∠=，∵AH OE ⊥，∴90EOG OEA EAH OEA ∠+∠=∠+∠=︒，∴12EAH EOG α∠=∠=，在Rt OAH △中，4tan 3AHOH α==，∴设4,3AH m OH m ==，∴由勾股定理得5OA OE m ==，∴532HE m m m =-=，∴在Rt AHE △中，1tan tan22HE EAH AH α∠===∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12ACB DAC α∠=∠=，而12EAH α∠=，∴12ACB α∠=，∴在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．。
2020年湖南省长沙中考数学试卷附答案解析版
者随机调查了 100 名市民，得到了如下的统计表：
次数 7 次及以上 6 5 4 3 2 1 次及以下
人数
8
12 31 24 15 6
4
这次调查的众数和中位数分别是________，________．
14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给 A、B、C 三个同学相同数
量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个
分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
在
0
1
17.计算： 3 10 1 2 cos 45 ．
4
此
x 2 x2 9 x
18.先化简，再求值
，其中 x 4 ．
x2 6x 9 x 2 x 3
卷
上 19.人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
------------- ------------------ ------------------ ------------------ ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ---------------
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共 25 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分. 上
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡
中填涂符合题意的选项.本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
2024年湖南省长沙市中考数学试题(解析版)
2024年长沙市初中学业水平考试试卷数学注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知定义：轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．【详解】解：A 中图形轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C 中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意，故选：B ．2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）A. 81.2910×B. 812.910×C. 91.2910×D. 712910×【答案】C 是【解析】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为91.2910×，故选：C ．3. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是180−℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（ ）A. 180−℃B. 150℃C. 30℃D. 330℃【答案】D【解析】【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可． 【详解】解：能够耐受的温差是()150180330−−=℃， 故答案为：D ．4. 下列计算正确的是（ ）A. 642x x x ÷=B.C. 325()x x =D. 222()x y x y +=+【答案】A【解析】【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则．【详解】解：A 、 642x x x ÷=，计算正确；BC 、326()x x =，原计算错误；D 、222()2x y x xy y +=++，原计算错误；故选A ．5. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ）A. 9.2B. 9.4C. 9.5D. 9.6【答案】B【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可．【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，∴中位数为：9.4，故选B ．6. 在平面直角坐标系中，将点()3,5P 向上平移2个单位长度后得到点P ′的坐标为（ ）A. ()1,5B. ()5,5C. ()3,3D. ()3,7【答案】D【解析】【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，将点()3,5P 向上平移2个单位长度后得到点P ′的坐标为()3,52+，即()3,7，故选：D ． 7. 对于一次函数21y x =−，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y 轴交于点()0,1−B. y 随x 的增大而减小C. 当12x >时，0y <D. 它的图象经过第一、二、三象限【答案】A【解析】【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：A.当0x =时，1y =−，即一次函数21y x =−的图象与y 轴交于点()0,1−，说法正确； B.一次函数21y x =−图象y 随x 增大而增大，原说法错误； C.当12x >时，0y >，原说法错误； D.一次函数21y x =−图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A ．的的8. 如图，在ABC 中，60BAC ∠=°，50B ∠=°，AD BC ∥．则1∠的度数为（ ）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得70C ∠=°，再根据平行线的性质即可解答．【详解】解：∵在ABC 中，60BAC ∠=°，50B ∠=°， ∴18070C BAC B ∠∠−∠−=°=°,∵AD BC ∥，∴170C ∠∠==°．故选：C ．9. 如图，在O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离4OE =，则O 的半径长为（ ）A. 4B.C. 5D. 【答案】B【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离4OE =，∴OE AB ⊥，142AE AB ==，在Rt AOE △中，OA， 故选：B ．10. 如图，在菱形ABCD 中，6AB =，30B ∠=°，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，DE ，过点A 作AF DE ⊥于点P ．设DE x =，AF y =，则y 与x 之间的函数解析式为（不考虑自变量x 的取值范围）（ ）A. 9y x =B. 12y x =C. 18y x =D. 36y x= 【答案】C【解析】【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x 、y 的关系式是解答的关键．过D 作DH BC ⊥，交BC 延长线于H ，则90DHE ∠=°，根据菱形的性质和平行线的性质得到6CD AD AB ===，ADF DEH ∠=∠，30DCH B ∠=∠=°，进而利用含30度角的直角三角形的性质132DH CD ==，证明AFD DHE ∽得到AF AD DH DE=，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D 作DH BC ⊥，交BC 延长线于H ，则90DHE ∠=°，∵在菱形ABCD 中，6AB =，30B ∠=°，∴AB CD ∥，AD BC ∥，6CD AD AB ===，∴ADF DEH ∠=∠，30DCH B ∠=∠=°， 在Rt CDH △中，132DH CD ==， ∵AF DE ⊥， ∴90AFD DHE ∠=∠=°，又ADF DEH ∠=∠，∴AFD DHE ∽， ∴AF AD DH DE=， ∵DE x =，AF y =，∴63yx =，∴18yx =，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．【答案】甲【解析】【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵3.610.815.8<<，∴甲种秧苗长势更整齐，故答案为：甲．12. 某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______．【答案】15##0.2【解析】【分析】本题考查概率公式，掌握概率的意义是解题的关键．利用概率公式直接进行计算．【详解】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为21 2355=++，故答案为：15．13. 要使分式619x−有意义，则x需满足的条件是______．【答案】19x≠【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：∵分式619x −有意义， ∴190x −≠，解得19x ≠，故答案为：19x ≠．14. 半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为______（结果保留π）．【答案】4π【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式2π360n r S =（n 为圆心角的度数，r 为半径）求解即可．【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为290π44π360×=， 故答案为：4π．15. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AC BC ，的中点，连接DE ．若12DE =，则AB 的长为______．【答案】24【解析】【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．【详解】解：∵D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是ABC 的中点，∴221224AB DE ==×=，故答案为：24．16. 为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______．【答案】2009【解析】【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x ，从九个数字中任取一个数字为a ，根据题意列二元一次方程，整理得1001109x a =+，根据a 的取值得到x 的9种可能，结合实际即可求解．【详解】解：设这位参与者的出生年份是x ，从九个数字中任取一个数字为a ，根据题意，得()10 4.6101978915a x +×+−=， 整理，得100461978915a x ++−=∴1001109x a =+， ∵a 是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，∴x 的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，∴x 只能是2009，故答案为：2009．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第2425题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：()011()π 6.84−−°−． 【答案】3【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．【详解】解：原式41=+3=．18. 先化简，再求值：()()()2233m m m m m −−++−，其中52m =． 【答案】49m −；1【解析】【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．【详解】解：()()()2233m m m m m −−++−22229m m m m =−++−49m =−． 当52m =时，原式54910912=×−=−=．19. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，AB =2AC =，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 和N ，作直线MN 分别交AB BC ，于点D ，E ，连接CD AE ，．（1）求CD 的长；（2）求ACE 的周长．【答案】（1（2）6【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得MN 是线段AB 的垂直平分线，故点D 是斜边AB 的中点．据此即可求解；（2）根据EA EB =、ACE 的周长AC CE EA AC CE EB AC BC =++=++=+即可求解；【小问1详解】解：由作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，∴在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 的中点．∴1122CD AB ==×． 【小问2详解】解：在Rt ABC △中，4BC =．∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴EA EB =．∴ACE 的周长246AC CE EA AC CE EB AC BC =++=++=+=+=．20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型人数 百分比 纯电m 54% 混动 n %a氢燃料 3%b 油车 5 %c请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中=a ______，b =______；（2）请补全条形统计图；（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？【答案】（1）50；30，6（2）见解析 （3）108°（4）3600人【解析】【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b ，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a ；（2）先求得n ，进而可补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；（4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解．【小问1详解】解：本次调查活动随机抽取人数为510%50÷=（人）， %350100%6%b =÷×=，则6b =，%154%6%10%30%a =−−−=，则30a =，故答案为：50；30，6；【小问2详解】解：∵5030%15n =×=，∴补全条形统计图如图所示：【小问3详解】解：扇形统计图中“混动”36030%108°×=°；【小问4详解】解：()400054%30%6%3600×++=（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．21. 如图，点C 在线段AD 上，AB AD =，B D ∠=∠，BC DE =．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）若60BAC ∠=°，求ACE ∠的度数． 【答案】（1）见解析 （2）60ACE ∠=°【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明ACE △是等边三角形是解答的关键．（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；（2）根据全等三角形的性质得到AC AE =，60CAE BAC ∠=∠=°，再证明ACE △是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．【小问1详解】证明：在ABC 与ADE 中，AB AD B D BC DE = ∠=∠ =， 所以()SAS ABC ADE ≌；【小问2详解】解：因为ABC ADE △≌△，60BAC ∠=°， 所以AC AE =，60CAE BAC ∠=∠=°，所以ACE △是等边三角形．所以60ACE ∠=°．22. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A 、B 两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元，购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元． （1）求A 种湘绣作品和B 种湘绣作品的单价分别为多少元？（2）该国际旅游公司计划购买A 种湘绣作品和B 种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A 种湘绣作品多少件？【答案】（1）A 种湘绣作品的单价为300元，B 种湘绣作品的单价为200元（2）最多能购买100件A 种湘绣作品【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设A 种湘绣作品的单价为x 元，B 种湘绣作品的单价为y 元，根据“购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元，购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可解题；（2）设购买A 种湘绣作品a 件，则购买B 种湘绣作品()200a −件，总费用=单价×数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．【小问1详解】设A 种湘绣作品的单价为x 元，B 种湘绣作品的单价为y 元．根据题意，得2700231200x y x y += +=， 解得300,200x y = = ．答：A 种湘绣作品的单价为300元，B 种湘绣作品的单价为200元．【小问2详解】设购买A 种湘绣作品a 件，则购买B 种湘绣作品()200a −件．根据题意，得()30020020050000a a +−≤，解得100a ≤．答：最多能购买100件A 种湘绣作品．23. 如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，90ABC ∠=°．（1）求证：AC BD =；（2）点E 在BC 边上，满足CEO COE ∠=∠．若6AB =，8BC =，求CE 的长及tan CEO ∠的值．【答案】（1）见解析 （2）5CE =，tan 3CEO ∠=【解析】【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．（1）直接根据矩形的判定证明即可；（2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得10AC =，OB OC =．进而可得152CO AC ==，再根据等腰三角形的判定得到5CE CO ==，过点O 作OF BC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得4CF =，1EF =，3OF =，然后利用正切定义求解即可．【小问1详解】证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，且90ABC ∠=°，所以四边形ABCD 是矩形．所以AC BD =；【小问2详解】解：在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，所以10AC =，因为四边形ABCD 是矩形， 所以152CO AC ==，OB OC =． 因为CEO COE ∠=∠，所以5CE CO ==．过点O 作OF BC ⊥于点F ，则142==CF BC ，所以541EF CE CF =−=−=，在Rt COF △中，3OF， 所以tan 3OF CEO EF∠==． 24. 对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．请你根据该约定，解答下列问题：（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则有=R ．（ ） （2）如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，四条边长满足：AB CD BC AD +≠+．①该四边形ABCD 是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若BAD ∠的平分线AE 交O 于点E ，BCD ∠的平分线CF 交O 于点F ，连接EF ．求证：EF 是O 的直径．（3）已知四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O 与AB BC CD AD ，，，分别相切于点E ，F ，G ，H ．①如图2．连接EG FH ，交于点P ．求证：EG FH ⊥．②如图3，连接OA OB OC ，，，，若2OA =，6OB =，3OC =，求内切圆O 的半径r 及OD 的长．【答案】（1）①×；②√；③√（2）①外接型单圆；②见解析（3）r =OD = 【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③；（2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明 EBF EDF=即可证得结论； （3）①连接OE 、OF 、OG 、OH 、HG ，根据四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，结合四边形的内角和定理可推导出180A EOH ∠+∠=°，180FOG C ∠+∠=°，180A C∠+∠=°，进而可得EOH C ∠=∠，180FOG EOH∠+∠=°，然后利用圆周角定理可推导出90HPG ∠=°，即可证得结论；②连接OE 、OF 、OG 、OH ，根据已知条件证明OAH COG ∠=∠，进而证明AOH OCG ∽得到32CG r =，再利用勾股定理求得r =，BE =BEO OHD ∽求解OD 即可． 【小问1详解】解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误；②∵内角不等于90°的菱形的对角不互补，∴该菱形无外接圆，∵菱形的四条边都相等，∴该菱形的对边之和相等，∴该菱形有内切圆，∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图，则OM r =，ON R =，OM MN ⊥，45ONM ∠=°，∴Rt OMN △为等腰直角三角形，∴ON =，即=R ；故③正确，故答案为：①×；②√；③√；【小问2详解】解：①∵四边形ABCD 中，AB CD BC AD +≠+，∴四边形ABCD 无内切圆，又该四边形有外接圆，∴该四边形ABCD 是“外接型单圆”四边形，故答案为：外接型单圆；的②∵BAD ∠的平分线AE 交O 于点E ，BCD ∠的平分线CF 交O 于点F ，∴BAE DAE ∠=∠，BCF DCF ∠=∠， ∴ BEDE =， BF DF =， ∴ BEBF DE DF +=+， ∴ EBF EDF=，即 EBF 和 EDF 均为半圆， ∴EF 是O 的直径．【小问3详解】①证明：如图，连接OE 、OF 、OG 、OH 、HG ，∵O 是四边形ABCD 的内切圆，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥，∴90OEA OHA ∠=∠=°，在四边形AEOH 中，3609090180A ∠+∠°−°−°=°，同理可证，180FOG C ∠+∠=°，∵四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，∴该四边形有外接圆，则180A C ∠+∠=°，∴EOH C ∠=∠，则180FOG EOH∠+∠=°， ∵12FHG FOG ∠=∠，12EGH EOH ∠=∠， ∴()1902FHG EGH FOG EOH ∠+∠=∠+∠=°， ∴()18090HPGFHG EGH ∠=°−∠+∠=°， ∴EG FH ⊥；②如图，连接OE 、OF 、OG 、OH ，∵四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O 与AB BC CD AD ，，，分别相切于点E ，F ，G ，H ，∴∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥，OE OF OG OH ===，∴180EAH FCG ∠+∠=°，OAH OAE ∠=∠，OCG OCF ∠=∠， ∴90OAH OCG ∠+∠=°，∵90COG OCG ∠+∠=°，∴OAH COG ∠=∠，又90AHO OGC ∠=∠=°，∴AOH OCG ∽， ∴OA OH OC CG=， ∵2OA =，3OC =， ∴23r CG =，则32CG r =， 在Rt OGC △中，由222OG CG OC +=得222332r r +=，解得r = 在Rt OBE 中，6OB =，∴BE 同理可证BEO OHD ∽， ∴BE OB OH OD=，6OD=，∴OD =【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、正方形的性质、菱形的性质、圆周角定理、内切圆的定义与性质、外接圆的定义与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、勾股定理、角平分线的判定等知识，理解题中定义，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判定是解题的关键．另外还要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战．25. 已知四个不同的点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y 都在关于x 的函数2y ax bx c ++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的图象上．（1）当A ，B 两点的坐标分别为()1,4−−，()3,4时，求代数式3202410127a b ++的值； （2）当A ，B 两点的坐标满足212122()40a y y a y y +++=时，请你判断此函数图象与x 轴的公共点的个数，并说明理由；（3）当0a >时，该函数图象与x 轴交于E ，F 两点，且A ，B ，C ，D 四点的坐标满足：222121222()0a y y a y y ++++=，222343422()0a y y a y y −+++=．请问是否存在实数(1)m m >，使得AB ，CD ，m EF ⋅这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3？若存在，求出m 的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m EF ⋅表示一条长度等于EP 的m 倍的线段）．【答案】（1）3320241012202477a b ++= （2）此函数图象与x 轴的公共点个数为两个，理由见解析（3）存在两个m 的值符合题意；当m =时，此时该函数的最小值为53a −；当m =此时该函数的最小值为2a −【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x 轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键.（1）将A B 、代入得到关于a 、b 的关系式，再整体代入求解即可;（2）解方程212122()40a y y a y y +++=求解，再根据a 的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个3060°°、的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可.【小问1详解】将()1,4A −−，()3,4B 代入2y ax bx c ++得4934a b c a b c −+=− ++=①②， ②-①得848a b +=，即22a b +=． 所以333202*********(2)2024777a ba b ++=++=． 【小问2详解】此函数图象与x 轴的公共点个数为两个． 方法1：由212122()40a y y a y y +++=，得12(2)(2)0a y a y ++=． 可得12a y =−或22a y =−． 当0a >时，<02a −，此抛物线开口向上，而A ，B 两点之中至少有一个点在x 轴的下方，此时该函数图象与x 轴有两个公共点；当0a <时，>02a −，此抛物线开口下，而A ，B 两点之中至少有一个点在x 轴的上方，此时该函数图象与x 轴也有两个公共点．综上所述，此函数图象与x 轴必有两个公共点．方法2：由212122()40a y y a y y +++=，得12(2)(2)0a y a y ++=． 可得12a y =−或22a y =−． 所以抛物线上存在纵坐标为2a −的点，即一元二次方程22a ax bx c ++=−有解． 所以该方程根的判别式24()02ab ac ∆=−+≥，即2242b ac a −≥． 因为0a ≠，所以240b ac −>．所以原函数图象与x 轴必有两个公共点．方法3：由()21212240a y y a y y +++=，可得12a y =−或22a y =−． 当12a y =−时，有2112a ax bx c ++=−，即2112a ax bx c ++=−， 所以2222211144()2(2)02ab ac b a ax bx a ax b ∆=−=+++=++>． 此时该函数图象与x 轴有两个公共点． 当22a y =−时，同理可得0∆>，此时该函数图象与x 轴也有两个公共点．综上所述，该函数图象与x 轴必有两个公共点．【小问3详解】因为0a >，所以该函数图象开口向上．由222121222()0a y y a y y ++++=，得()()22120a y a y +++=，可得12y y a ==−．由222343422()0a y y a y y −+++=，得2234()()0a y a y −+−=，可得34y y a ==． 所以直线AB CD ，均与x 轴平行．由（2）可知该函数图象与x 轴必有两个公共点，设()5,0E x ，()6,0F x ． 由图象可知244ac b a a−−>，即2244b ac a −>． 所以2ax bx c a ++=−的两根为1x ，2x，可得12AB x x =−= 同理2ax bx c a ++=的两根为3x ，4x，可得34CD x x =−= 同理20ax bx c ++=的两根为5x ，6x，可得56m EF m x x m ⋅=⋅−= 由于1m >，结合图象与计算可得AB EF m EF <<⋅，<AB CD ．若存在实数()1m m >，使得AB CD ，，m EF ⋅这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段AB 不可能是该直角三角形的斜边．①当以线段CD 为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为m EF AB ⋅>，所以必须同时满足：222()AB m EF CD +⋅=，m EF ⋅． 将上述各式代入化简可得2222288244a a m b ac a =<=−，且22223(44)4b ac a m b ac −−=−， 联立解之得222043a b ac −=，22286245a m b ac ==<−，解得1m =>符合要求．所以m =，此时该函数最小值为2220453443a acb a a a −−==−． ②当以线段m EF ⋅为斜边时，必有222()AB CD m EF +=⋅，同理代入化简可得的2222(4)(4)b ac m b ac −−，解得m =为斜边，且有一个内角为60°，而CD AB >，所以tan 60CD AB =⋅°， 化简得222484b ac a a −=>符合要求．所以m =2824a a a −==−． 综上所述，存在两个m 的值符合题意；当m =时，此时该函数的最小值为53a −；当m =2a −．。
2022年长沙市中考数学试卷含参考解析
2022年长沙市中考数学试卷含参考解析参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1．（3.00分）﹣2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．2D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：C．2．（3.00分）据统计，2022年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（）A．0.102某105B．10.2某103C．1.02某104D．1.02某103【分析】科学记数法的表示形式为a某10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：10200=1.02某104，故选：C．3．（3.00分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．3C．（某2）3=某5D．m5÷m3=m2【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；B、3﹣2=，故此选项错误；C、（某2）3=某6，故此选项错误；D、m5÷m3=m2，正确．故选：D．4．（3.00分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8+8=16，16＞15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确；C、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选：B．5．（3.00分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．6．（3.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：解不等式某+2＞0，得：某＞﹣2，解不等式2某﹣4≤0，得：某≤2，则不等式组的解集为﹣2＜某≤2，将解集表示在数轴上如下：故选：C．7．（3.00分）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果．【解答】解：绕直线l旋转一周，可以得到圆台，故选：D．8．（3.00分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．故选：C．9．（3.00分）估计+1的值是（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．【解答】解：∵32=9，42=16，∴∴，+1在4到5之间．故选：C．10．（3.00分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间某之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（）A．小明吃早餐用了25minB．小明读报用了30minC．食堂到图书馆的距离为0.8kmD．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min【分析】根据函数图象判断即可．【解答】解：小明吃早餐用了（25﹣8）=17min，A错误；小明读报用了（58﹣28）=30min，B正确；食堂到图书馆的距离为（0.8﹣0.6）=0.2km，C错误；小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min，D错误；故选：B．11．（3.00分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：某5某500某12某500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选：A．12．（3.00分）若对于任意非零实数a，抛物线y=a某2+a某﹣2a总不经过点P（某0﹣3，某02﹣16），则符合条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无穷多个【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=a某2+a某﹣2a总不经过点P（某0﹣3，某02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=a某2+a某﹣2a总不经过点P（某0﹣3，某02﹣16），∴某02﹣16≠a（某0﹣3）2+a（某0﹣3）﹣2a∴（某0﹣4）（某0+4）≠a（某0﹣1）（某0﹣4）∴（某0+4）≠a（某0﹣1）∴某0=﹣4或某0=1，∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13．（3.00分）化简：=1．【分析】根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减计算即可．【解答】解：原式=故答案为：1．14．（3.00分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为90度．=1．【分析】根据圆心角=360°某百分比计算即可；【解答】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°某（1﹣10%﹣30%﹣20%﹣15%）=90°，故答案为90．15．（3.00分）在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是（1，1）．【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案．【解答】解：∵将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，∴得到（1，3），∵再向下平移2个单位长度，∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）．故答案为：（1，1）．16．（3.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是．【分析】先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答．13．（3.00分）化简：=1．【分析】根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减计算即可．【解答】解：原式=故答案为：1．14．（3.00分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为90度．=1．【分析】根据圆心角=360°某百分比计算即可；【解答】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°某（1﹣10%﹣30%﹣20%﹣15%）=90°，故答案为90．15．（3.00分）在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是（1，1）．【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案．【解答】解：∵将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，∴得到（1，3），∵再向下平移2个单位长度，∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）．故答案为：（1，1）．16．（3.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是．【分析】先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答．。
2021年湖南省长沙市中考数学试卷含答案详解(高清word版)
2021年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列四个实数中，最大的数是( )A. −3B. −1C. πD. 42. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为( )A. 1.004×106B. 1.004×107C. 0.1004×108D. 10.04×1063. 下列几何图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4. 下列计算正确的是( )A. a3⋅a2=a5B. 2a+3a=6aC. a8÷a2=a4D. (a2)3=a55. 如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE=100°，则∠DHF的度数为( )A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°6. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠BOC的度数为( )A. 27°B. 108°C. 116°D. 128°7. 下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是( )A.B.C.D.8. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，249. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是( )A. 19B. 16C. 14D. 1310. 在一次数学活动课上，某数学老师将1∼10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是( )A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 分解因式：x2−2021x=______ ．12. 如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为______ ．13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE=6，则BC的长为______ ．14. 若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为．15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为______ ．16. 某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图.那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 计算：|−√2|−2sin45°+(1−√3)0+√2×√8．四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。
2023年湖南省长沙市中考数学试卷(含答案)163742
2023年湖南省长沙市中考数学试卷试卷考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1. 下列各数中，为无理数的是 A. B. C. D.2. 下列四个图案是四届冬奥会会徽图案上的一部分，其中为轴对称图形的是 A. B. C. D.3. 下列计算正确的是（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝4. 下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（ ）A.，，B.，，C.，，D.，，5. 年某市固定资产总投资计划为亿元，将亿用科学记数法表示为（ ）()()+m 4m 3m 7(m 4)3m 7m(m−1)−mm 22÷m 5m 3m 22242344243372020268026805. 年某市固定资产总投资计划为亿元，将亿用科学记数法表示为（ ）A.B.C.D.6. 如图，直线，且， ，则的度数为( )A.B.C.D.7. 在演讲比赛中，位选手的成绩统计图如图所示，则这位选手成绩的众数是( )A.B. C.D.8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B.C.D.9. 下列关于一次函数的说法，其中正确的是（ ）2020268026802.68×10112.68×10122.68×10132.68×1014AB//CD AC ⊥AD ∠ACD =58∘∠BAD 29∘42∘32∘58∘101080859095−2x+5≥3,<x−12x 3y =−2x+1A.图象经过第一、二、三象限B.图象经过点C.当时，D.随的增大而增大10. 育才学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的名同学（男女）组成了“关爱老人”志愿小分队.若从该小分队中任选名同学参加周末的志愿活动，则恰好是男女的概率是( )A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）11. 因式分解：＝________．12. 一组数据的平均数为________.13. 如图，四边形中，，点是对角线上一点，是等边三角形，，则的度数为 ________.14. 如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，若，则的值为________．15. 如图，在 中，直径垂直于弦，若 ，则 的度数是_________．16. 已知线段，则经过，两点的最小的圆的半径为________．三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ）(−2,1)x >1y <0y x 3122111323123425−20xy+4x 2y 2−2，−1，5，1，2，1ABCD ∠ABC =，BC =BD 50∘E BD △AED AE =BE ∠ADC y =(x >0)k x A AB ⊥x B OA =2S △AOB k ⊙O CD AB ∠C =25∘∠BOD AB =6cm A B sin ⋅++|1−|−217. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，＝． 19. 年月日时分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站、建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了坚实基础．某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在米的稳固支架上，他们先在水平地面点处测得天和核心舱最高点的仰角为，然后沿水平方向前进米，到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为米．求天和核心舱的高度．（结果精确到米，参考数据： ，，， 20. 月日是“世界读书日”，某校团委发起了“让阅读成为习惯”的读书活动，鼓励学生利用周末积极阅读课外书籍．为了解该校学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了八年级部分学生的读书时间（单位：分钟），把读书时间分为四组：，，，. 部分数据信息如下：．组和组的所有数据：．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：请根据以上信息，回答下列问题：被调查的学生共有________人，并补全频数分布直方图；在扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角是________：若该校八年级共有名学生，请估计八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的人数．21. 如图，，，，，垂足分别为，．如图，猜想，，之间的数量关系，并证明；如图，若，，当点在内部时，则的长为________．（直接用含，的式子表示）.22. 某学校为奖励学生分两次购买，两种品牌的圆珠笔，两次的购买情况如下表：第一次第二次2sin ⋅++|1−|60∘(π−2)0()13−23–√(a −b +a(2b −3a))2a =−12b 4202142911231B A 22∘MN 24C A 45∘MB 1.60.1sin ≈0.3722∘cos ≈0.9322∘tan ≈0.4022∘≈1.41)2–√423x A(30≤x <60)B(60≤x <90)C(90≤x <120)D(120≤x <150)a B C 859060701107565781008090809590b (1)(2)C ∘(3)40090∠ACB =90∘AC =BC AD ⊥CE BE ⊥CE D E (1)1BE DE AD (2)2AD =m DE =n D △ABC BE m n A B品牌圆珠笔支品牌圆珠笔支总计采购款元问，两种品牌圆珠笔的购买单价各是多少元？由于奖励人数增加，学校决定第三次购买，且购买品牌圆珠笔支数比品牌圆珠笔支数的倍多支，在采购总价不超过元的情况下，最多能购进多少支品牌圆珠笔？23. 如图，在中， ，点在边上，且若直线经过点，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点，用无刻度的直尺画出点连接，，判断四边形的形状，并说明理由．24. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．（1）求的长；（2）试探究、、之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过点、，过点作轴的平行线交抛物线于另一点．（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图，点是第一象限中上方抛物线上的一个动点，过点作于点，作轴于点，交于点，在点运动的过程中，的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图，连接，在轴上取一点，使和相似，请求出符合要求的点坐标．A /2030B /3040/102144(1)A B (2)B A 1.55213A 加ABCD AD =6E AD AE =2(1)1E F F;(2)AF CE AFCE ⊙O AB 10cm AC 6cm ∠ACB ⊙O D AD CA CB CD OD P ADB P PE ⊥OD E △OPE M P B A M y =−+bx+c 12x 2A(1,3)B(0,1)A x C 1M BC MH ⊥BC H ME ⊥x E BC F M △MFH 2AB y P △ABP △ABC P参考答案与试题解析2023年湖南省长沙市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】无理数的识别【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．【解答】解：、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；、属于无理数，故此选项符合题意．故选：．2.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：只有沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，其它三个不是轴对称图形.故选.3.【答案】C【考点】整式的混合运算【解析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】A =28–√32B =24–√2c 14D 10−−√D D D (4)313−m 22÷5322＝，故选项错误（1）＝，故选项正确（2）＝，故选项错误（3）故选：．4.【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】A【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】亿＝＝．6.【答案】C【考点】平行线的性质垂线【解析】先根据平行线的性质得出的度数，再由得出，进而可得出结论．【解答】解：直线，，.，，.故选．7.【答案】C(m 4)3m 13B m(m−1)−m m 2C 2÷m 5m 32m 2D C a ×10n 1≤|a |<10n n a n ≥10n <1n 2680268000000000 2.68×1011∠BAC AC ⊥AD ∠CAD =90∘∵AB//CD ∠ACD =58∘∴∠BAC =−∠ACD =−=180∘180∘58∘122∘∵AC ⊥AD ∴∠CAD =90∘∴∠BAD =∠BAC −∠CAD =−=122∘90∘32∘C折线统计图【解析】根据众数的定义和给出的数据可直接得出答案．【解答】解：根据统计图可得：分的人数有个，人数最多，则众数是．故选．8.【答案】B【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为.【解答】解：解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为.故选.9.【答案】C【考点】一次函数的性质【解析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：、∵函数中，，，∴该函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；、时，，故本选项错误；、∵函数中，，则随的增大而减小，直线与轴的交点为，∴当时，，故本选项正确；、∵函数中，，，∴当值增大时，函数值减小，故本选项错误；故选．10.90590C −2x+5≥3①<②x−12x 3x ≤1x <3x ≤1 −2x+5≥3①,<②,x−12x 3x ≤1x <3x ≤1B A y =−2x+1k =−2<0b =1>0B x =−2y =−2×(−2)+1=5C y =−2x+1k =−2<0y x x (,0)12x >1y <0D y =−2x+3k =−2<0b =1>0x y C列表法与树状图法概率公式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据列举法可得：（男，女1）（男，女2）（女1，女2）一共有种情况，恰好是一男一女的有种情况，所以，（恰好是一男一女）故选．二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）11.【答案】【考点】因式分解-运用公式法【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】原式＝．12.【答案】【考点】算术平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，这组数据的平均数为：.故答案为：.13.32P =.23B (5x−2y)2(5x−2y)21=1−2−1+5+1+2+161等边三角形的性质等腰三角形的性质三角形的外角性质三角形内角和定理【解析】由等边三角形的性质可得，再由等边对等角可得，利用三角形的外角性质可得的度数，再结合，可得的度数，利用，可得的度数，进而得到答案.【解答】解：是等边三角形，.，.，，.，.，，.故答案为：.14.【答案】【考点】反比例函数系数k 的几何意义【解析】根据＝利用反比例函数系数的几何意义即可求出值，再根据函数在第一象限有图象即可确定的符号，此题得解．【解答】解：∵轴于点，且，∴，∴.∵反比例函数在经过第一象限，∴．故答案为：15.【答案】【考点】∠AED =∠ADE =60∘∠BAE =∠ABE ∠ABE ∠ABC =50∘∠CBD BC =BD ∠CDB ∵△AED ∴∠AED =∠ADE =60∘∵AE =BE ∴∠BAE =∠ABE ∵∠AED =∠ABE+∠BAE ∴2∠ABE =60∘∴∠ABE =30∘∵∠ABC =50∘∴∠CBD =∠ABC −∠ABE =−=50∘30∘20∘∵BC =BD ∴∠C =∠BDC ===−∠CBD 180∘2−180∘20∘280∘∴∠ADC =∠ADE+∠BDC =+=60∘80∘140∘140∘4S △AOB 2k k k AB ⊥x B =2S △AOB =|k |=2S △AOB 12k =±4k =4 4.50∘圆周角定理垂径定理【解析】由垂径定理和“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知，得到答案．【解答】解：∵在中，直径垂直于弦，∴，∴．故答案为．16.【答案】【考点】圆的有关概念【解析】经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可．【解答】解：每个圆周上点就可以有一个内部交点，所以当这些交点不重合的时候，圆内交点最多，所以，本题等价于将个点个分组共有多少组，显然应该是：．三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ）17.【答案】解：原式.【考点】特殊角的三角函数值负整数指数幂零指数幂实数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：原式.18.【答案】∠DOB =2∠C ⊙O CD AB =ADˆBD ˆ∠DOB =2∠C =50∘50∘3cmAB AB 464=156×5×4×34×3×2×1=2×−1×9+−1=2+73–√23–√3–√=2×−1×9+−1=2+73–√23–√3–√−2ab ++2ab −3222−2+22原式＝＝，当，＝时，原式＝．【考点】整式的混合运算——化简求值【解析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．【解答】原式＝＝，当，＝时，原式＝．19.【答案】解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点．由题意知，四边形和四边形均为矩形．设．在中，，∴，在中，，，∵，∴，∵，∴，解得，∵，∴，∴ .答：天和核心舱的高度为.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点．由题意知，四边形和四边形均为矩形．设．−2ab ++2ab −3a 2b 2a 2−2+a 2b 2a =−12b 4−2×+16=14312a b −2ab ++2ab −3a 2b 2a 2−2+a 2b 2a =−12b 4−2×+16=14312A AF ⊥MN F BC E MBCN NCEF AE =xm Rt △AEC ∠AEC =90∘CE =AE =x Rt △ABE ∠AEB =90∘∠ABE =22∘tan =22∘AE BE BE =≈=x AE tan22∘x 0.4052BE−CE =BC x−x =2452x =16EF =BM =1.6AF =AE+EF =16+1.6=17.617.6−1=16.616.6m A AF ⊥MN F BC E MBCN NCEF AE =xm在中，，∴，在中，，，∵，∴，∵，∴，解得，∵，∴，∴ .答：天和核心舱的高度为.20.【答案】解：被调查的学生共有（人）.故答案为：.由数据信息可得，组有人，则组有人.补全频数分布直方图如图所示.（人）.答：八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的约有人．【考点】频数（率）分布直方图扇形统计图用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】解：被调查的学生共有（人）.故答案为：.由数据信息可得，组有人，则组有人.补全频数分布直方图如图所示.Rt △AEC ∠AEC =90∘CE =AE =x Rt △ABE ∠AEB =90∘∠ABE =22∘tan =22∘AE BE BE =≈=x AE tan22∘x 0.4052BE−CE =BC x−x =2452x =16EF =BM =1.6AF =AE+EF =16+1.6=17.617.6−1=16.616.6m (1)4÷20%=2020B 8D 2108(3)400×=1606+22090160(1)4÷20%=2020B 8D 2组所对应的扇形圆心角是.故答案为：.（人）.答：八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的约有人．21.【答案】解：．证明：∵，∴．∵，，∴，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴，即．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】无无【解答】解：．证明：∵，∴．∵，，∴，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴，即．同理可证，∴，，∴，∴．故答案为：．(2)C ×=620360∘108∘108(3)400×=1606+22090160(1)BE =DE+AD ∠ACB =90∘∠ACD+∠BCD =90∘AD ⊥CE BE ⊥CE ∠D =∠BEC =90∘∠CBE+∠BCD =90∘∠ACD =∠CBE △ACD △CBE ∠ACD =∠CBE,∠D =∠BEC,AC =BC,△ACD ≅△CBE(AAS)CE =AD BE =CD CD =CE+DE =AD+DEBE =DE+AD m−n(1)BE =DE+AD ∠ACB =90∘∠ACD+∠BCD =90∘AD ⊥CE BE ⊥CE ∠D =∠BEC =90∘∠CBE+∠BCD =90∘∠ACD =∠CBE △ACD △CBE ∠ACD =∠CBE,∠D =∠BEC,AC =BC,△ACD ≅△CBE(AAS)CE =AD BE =CD CD =CE+DE =AD+DE BE =DE+AD (2)△ACD ≅△CBE CE =AD BE =CD CE =CD+DE =BE+DE BE =AD−DE =m−n m−n22.【答案】解：设品牌圆珠笔的进货单价是元，品牌圆珠笔的进货单价是元，根据题意可得解得答：品牌圆珠笔的进货单价是元，品牌圆珠笔的进货价是元．设购进品牌圆珠笔支，购进品牌圆珠笔支，则，解得．经检验，不等式的解符合题意．答：最多能购进支品牌圆珠笔．【考点】二元一次方程组的应用——其他问题一元一次不等式的实际应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设品牌圆珠笔的进货单价是元，品牌圆珠笔的进货单价是元，根据题意可得解得答：品牌圆珠笔的进货单价是元，品牌圆珠笔的进货价是元．设购进品牌圆珠笔支，购进品牌圆珠笔支，则，解得．经检验，不等式的解符合题意．答：最多能购进支品牌圆珠笔．23.【答案】【考点】平行四边形的性质勾股定理列表法与树状图法反比例函数综合题二次函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答24.【答案】(1)A x B y {20x+30y =102,30x+40y =144,{x =2.4,y =1.8.A 2.4B 1.8(2)A n B (1.5n+5)2.4n+1.8(1.5n+5)≤213n ≤4040A (1)A x B y {20x+30y =102,30x+40y =144,{x =2.4,y =1.8.A 2.4B 1.8(2)A n B (1.5n+5)2.4n+1.8(1.5n+5)≤213n ≤4040A∵是的直径，∴＝＝，∵的平分线交于，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝＝＝；＝．证明如下：延长到，使＝，∵＝，＝，∴＝，在和中，，∴，∴＝，＝，∴＝＝，为等腰直角三角形，∴＝＝．连接，，∵，∴＝，∵点为的内心，∴＝，在和中，，∴，∴＝＝，∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）：设弧所在圆的圆心为，∵＝，∴＝，∴＝＝，∴的长为＝，∴点的路径长为．【考点】圆的综合题【解析】AB ⊙O ∠ACB ∠ADB 90∘∠ACB ⊙O D ∠ACD ∠BCD 45∘AD BD A +B D 2D 2AB 4AD BD AB CA+CB CD CA F AF CB ∠CBD+∠CAD 180∘∠FAD+∠CAD 180∘∠CBD ∠FAD △ADF △BDC △ADF ≅△BDC(SAS)CD FD ∠CDB ∠FDA ∠CDF ∠ADB 90∘△CDF CA+CB CF CD OM PM PE ⊥OD ∠PEO 90∘M △OPE ∠OMP 135∘△OMD △OMP △OMD ≅△OMP(SAS)∠OMD ∠OMP 135∘M OD 135∘OD OMD O ′∠OMD 135∘∠OO D ′90∘O O ′OD πM π此题暂无解析【解答】此题暂无解答25.【答案】将，，代入，，解得，，∴抛物线的解析式为，∴顶点坐标为；延长交轴于点，由对称性得．则＝，＝，设直线的解析式为＝，则有，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴＝，∵于点，轴，∴＝，＝，∴＝，∴在和中，，∴，∴＝，∴，，∴的周长＝，当＝时，的周长最大，最大值为 ，此时点的坐标为．∵，为公共角，∴．∴＝．当＝时，，∵，，＝，∴，∴．当＝时，，A(1,3)B(0,1)y =−+bx+c12x 2 −+b +c =312c =1 b =52c =1y =−+x+112x 252(,)52338CA y D C(4,3)CD 4BD 2BC y kx+m { 4k +m=3m=1 k =12m=1BC y =x+112M(a,−+a +1)12a 252F(a,a +1)12MF ME−EF =−+2a 12a 2MH ⊥BC H ME ⊥x ∠M +∠MFH 90∘∠C +∠MFH 90∘∠M ∠C Rt △MFH Rt △BDC tan ∠C ====tan ∠M BD CD 2412=FH MH 12FH :MH :MF 1:2:5–√FH =MF 5–√5MH =MF 25–√5△FMH FH+MH+MF =MF +MF +MF =(+1)MF =(+1)(−+2a)5–√525–√535–√535–√512a 2=(−)(a −2+3+55–√10)26+105–√5a 2△FMH 6+105–√5M (2,4)==AD BD DB CD 12∠CDB △ABD ∽△BCD ∠ABD ∠BCD 1∘∠PAB ∠ABC =PB AC AB BC BC ==2(0−4+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AB ==(0−1+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AC 3PB =32(0,)P 1522∘∠PAB ∠BAC =PB BC AB AC–√∴，∴，∴，综上所述满足条件的点有，．【考点】二次函数综合题【解析】（1）将，，代入抛物线，即可得出答案；（2）延长交轴于点，由点可求得，由＝，设，求得，则，由勾股定理得，，所以的周长可用表示，最后利用二次函数的性质解决问题；（3）由，为公共角，可得．从而＝．分当＝时，当＝时两种情况讨论即可得出答案．【解答】将，，代入，，解得，，∴抛物线的解析式为，∴顶点坐标为；延长交轴于点，由对称性得．则＝，＝，设直线的解析式为＝，则有，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴＝，∵于点，轴，∴＝，＝，∴＝，∴在和中，，∴，∴＝，∴，，∴的周长＝，=PB 25–√5–√3PB =103(0,)P 2133P (0,)52(0,)133A(1,3)B(0,1)y =−+bx+c12x 2CA y D C(4,3)=BD CD 12tan ∠C tan ∠M ==FH MH 12M(a,−+a +1)12a 252F(a,a +1)12MF =−+2a 12a 2FH =MF,MH =MF 5–√525–√5△MFH MF ==AD BD BD CD 12∠CDB △ABD ∽△BCD ∠ABD ∠BCD 1∘∠PAB ∠ABC 2∘∠PAB ∠BAC A(1,3)B(0,1)y =−+bx+c12x 2 −+b +c =312c =1 b =52c =1y =−+x+112x 252(,)52338CA y D C(4,3)CD 4BD 2BC y kx+m { 4k +m=3m=1 k =12m=1BC y =x+112M(a,−+a +1)12a 252F(a,a +1)12MF ME−EF =−+2a 12a 2MH ⊥BC H ME ⊥x ∠M +∠MFH 90∘∠C +∠MFH 90∘∠M ∠C Rt △MFH Rt △BDC tan ∠C ====tan ∠M BD CD 2412=FH MH 12FH :MH :MF 1:2:5–√FH =MF 5–√5MH =MF 25–√5△FMH FH+MH+MF =MF +MF +MF =(+1)MF =(+1)(−+2a)5–√525–√535–√535–√512a 2=(−)(a −2+3+55–√10)26+105–√56+10–√当＝时，的周长最大，最大值为 ，此时点的坐标为．∵，为公共角，∴．∴＝．当＝时，，∵，，＝，∴，∴．当＝时，，∴，∴，∴，综上所述满足条件的点有，．a 2△FMH 6+105–√5M (2,4)==AD BD DB CD 12∠CDB △ABD ∽△BCD ∠ABD ∠BCD 1∘∠PAB ∠ABC =PB AC AB BC BC ==2(0−4+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AB ==(0−1+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AC 3PB =32(0,)P 1522∘∠PAB ∠BAC =PB BC AB AC =PB 25–√5–√3PB =103(0,)P 2133P (0,)52(0,)133。
24年长沙中考数学试卷
选择题在直角坐标系中，点A(3, -2)关于x轴对称的点的坐标是：A. (-3, -2)B. (-3, 2)C. (3, 2)（正确答案）D. (2, -3)已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为：A. 8B. 10C. 11D. 11或13（正确答案）函数y = 2x - 1与y = -x + 4的交点坐标是：A. (1,3)B. (3,1)（正确答案）C. (-1,3)D. (3,-1)下列计算正确的是：A. 3a + 2b = 5abB. a2 · a3 = a6C. (a3)2 = a6（正确答案）D. a6 ÷ a3 = a1若关于x的一元二次方程x2 - 2x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为：A. -1B. 0C. 1（正确答案）D. 2下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是：A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正方形（正确答案）D. 梯形已知|x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2（正确答案）B. 2或-8C. 8D. -2下列不等式组中，解集为x > 2的是：A. {x > 1, x > 2}（正确答案）B. {x > 1, x < 2}C. {x < 1, x > 2}D. {x ≤ 1, x > 2}在圆内接四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C = 2:3:4，则∠D的度数为：A. 60°B. 90°（正确答案）C. 120°D. 150°。
2022年湖南省长沙市中考数学试卷含答案详解(高清word版)
2022年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −6的相反数是( )A. −16B. −6 C. 16D. 62. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是( )A.B.C.D.3. 下列说法中，正确的是( )A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B. “太阳东升西落”是不可能事件C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次4. 下列计算正确的是( )A. a7÷a5=a2B. 5a−4a=1C. 3a2⋅2a3=6a6D. (a−b)2=a2−b25. 在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是( )A. (−5,1)B. (5,−1)C. (1,5)D. (−5,−1)6. 《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4.则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 3，4B. 4，3C. 3，3D. 4，47. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为( )A. 8x元B. 10(100−x)元C. 8(100−x)元D. (100−8x)元8. 如图，AB//CD，AE//CF，∠BAE=75°，则∠DCF的度数为( )A. 65°B. 70°C. 75°D. 105°9. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，若∠AOB=128°，则∠P的度数为( )A. 32°B. 52°C. 64°D. 72°10. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：AB的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；①分别以点A，B为圆心，大于12②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧，交PQ于点M，连接AM，BM．若AB=2√2，则AM的长为( )A. 4B. 2C. √3D. √2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 若式子√x−19在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．12. 分式方程2x =5x+3的解是______．13. 如图，A，B，C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为______．14. 关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个不相等的实数根，则实数t的值为．15. 为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查，结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有______名．16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS(永远的神)：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD(懂的都懂)：2200等于2002；JXND(觉醒年代)：2200的个位数字是6；QGYW(强国有我)：我知道210=1024，103=1000，所以我估计2200比1060大．其中对2200的理解错误的网友是 (填写网名字母代号)．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
2020年湖南长沙中考数学试卷(解析版)
2020年湖南长沙中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）A.B.C.D.1.的值等于（ ）．A. B.C. D.2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）．A.B.C.D.3.为了将”新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，年月至月，全国累计办理出口退税元，其中数字用科学记数法表示为（ ）．4.下列运算正确的是（ ）．A.B.C.D.5.年月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式是（ ）．A.B.C.D.6.从一艘船上测得海岸上高为米的灯塔顶部的仰角为时，船离灯塔的水平距离是（ ）．A.米B.米C.米D.米7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）．A.B.RC.D.M8.一个不透明袋子中装有个红球，个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（ ）．A.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C.第一次摸出的球是红球的概率是D.两次摸出的球都是红球的概率是9.年月日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．国际数学日之所以定在月日，是因为“”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（ ）．A.②③B.①③C.①④D.②④10.如图：一块直角三角板的角的顶点与直角顶点分别在两平行线、上，斜边平分，交直线于点，则的大小为（ ）．A.B.C.D.11.随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万件产品，现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得（ ）．A.B.C.D.12.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃．臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间（单位：分钟）近似满足的函数关系为：（，，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）．A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.长沙地铁号线、号试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了名市民，得到如下统计表：次数次及以上次及以下人数这次调查中的众数和中位数分别是 ， ．14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给、、三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，同学拿出二张扑克牌给同学；第二步，同学拿出三张扑克牌给同学；第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学．请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为 ．15.已知圆锥的母线长为，底面半径为，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．16.如图，点在以为直径的半圆上运动（点不与，重合），，平分，交于点，交于点．（1）（2）．若，则．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17.计算：．18.先化简再求值：，其中．（1）（2）19.人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：．求作：的平分线．作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线，射线即为所求（如图）．请你根据提供的材料完成下面问题．这种作已知角的平分线的方法的依据是 （填序号）①②③④请你证明为的平分线．20.年月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图表：（1）（2）（3）（4）某学校学生一周劳动次数的条形统计图某学校学生一周劳动次数的扇形统计图人数次及以上次次次及以下一周劳动次数次及以上次及以上次次这次调查活动共抽取 人． ，．请将条形统计图补充完整．若该校学生总人数为人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动次及以上的学生人数．（1）（2）21.如图，为⊙的直径，为⊙上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分．求证：为⊙的切线．若，，求⊙的半径．（1）22.今年月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用、两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批型货车的辆数（单位：辆）型货车的辆数（单位：辆）累计运输物资的吨数（单位：吨）备注：第一批、第二批每辆货车均满载求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了吨生活物资，现已联系了辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？（1）（2）（3）23.在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．求证：．若，，求的长．若，记，，求的值．（1）（2）（3）24.我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“函数”的打“”．1.．（ ）2.．（ ）3.．（ ）若点与点是关于的“函数”的一对“点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求，，的值或取值范围．若关于的“函数”（，，是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该“函数”截轴得到的线段长度的取值范围．25.如图，半径为的⊙中，弦的长度为，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．【答案】解析:，故选．解析:轴对称是平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．所以是轴对称图形的有，是中心对称图形的有，所以答案选择．解析:用科学记数法表示为，故选．（1）（2）（3）求的度数．当点沿着劣弧从点开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度．分别记，的面积为，，当时，求弦的长度．D1.B2.A3.B4.在工程问题中，工作效率（速度）工作总量工作时间．故选．解析:船离灯塔的水平距离为（米）．故选．灯塔顶部船米解析:该不等式组解得．故选．解析:第一次摸出的是红球，第二次摸出绿球的概率是，选项错误；第二次摸出红球的概率是，选项正确；每次摸出红球的概率都是，选项正确；两次摸出的都是红球的概率是，选项正确；故选．解析:圆周率是一个无限不循环小数，是一个无理数,①说法错误，②说法正确；圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，③说法正确，④说法错误；正确的为②③，故选．A 6.D 7.A 8.A 9.因为斜边平分，所以，则（两直线平行，同旁内角互补），又因为，所以．故选．解析:根据题意可得，即．答案选择．解析:将三个点，，代入函数关系式，有，解得，即函数解析式为，化为顶点式，即当时，有最大值．故选．解析:众数就是出现次数最多的数，由可得这次调查中的众数是；中位数就是将一组数据从小到大排列，最中间的那个数即为这组数据第个数和第个数的平均数，即，B 11.原速现速C 12. ;13.（1）所以这次调查的中位数是．解析:设原来、、三个同学有张扑克，则由题意得：第一步时：有张，有张；第二步时：有张；有张；第三步时：有张，有张，∴同学手中有（张）．故答案为：．解析:圆锥的展开图的圆心角为（度），所以展开图的面积为．故答案为：．解析:过点作，∵平分，14.15.（1）（2）16.（2）∴，，∵为半圆的直径，，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，则，∵，∴，则．故答案为：．∵为半圆的直径，，∴，∴，∵，∴，∴，则，∵，∴，同理可证，∴，∴，则，∴，设，则，解得，（舍去），∴．（1）（2）故答案为：．解析:原式．解析:原式，将代入原式，所以原式．故答案为：．解析:这种作已知角的平分线的方法的依据是．故答案为：①．∵、在以点为圆心的弧上，∴，又∵分别以、为圆心，相同长度画弧，∴，∴在和中，有，∴≌，∴，∴是的角平分线．17.．18.（1）①（2）证明见解析．19.（1）（2）（3）（4）（1）解析:这次调查活动一共抽取了（人）．故答案为：．（人），．故答案为：；．一周劳动次数为次的有（人），如图：某学校学生一周劳动次数的条形统计图某学校学生一周劳动次数的扇形统计图人数次及以上次次次及以下一周劳动次数次及以上次及以上次次．该校一周劳动次数为次及以上的有（人）．故答案为：该校一周劳动次数为次及以上的有人．解析:连接，（1）（2）;（3）画图见解析．（4）人．20.（1）证明见解析．（2）⊙的半径为．21.（2）（1）（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴且，∴，∴，为圆的切线．作与点，∵，，∴，∴，∵，∴，∴半径为．解析:设货车满载可以运吨物资，型号货车满载可以运吨物资，则由题意可得，解得．答：货车满载可以运吨生活物资，型号货车满载可运吨生活物资．设至少需要联系辆型货车，由题意可得，解得，又为整数，所以最小取，答：至少需联系辆型货车．（1）货车满载可以运吨生活物资，型号货车满载可以运吨生活物资．（2）至少需联系辆型货车．22.（1）（2）（3）解析:∵，∴，又∵，∴，∴且，∴．设为，则，，∵，，∴，，在中有，解得，∴．故答案为：．∵，∴，设，，则可得，，根据勾股定理，可求得，，，∵，∴有，同时平方可得，∴，整理可得，即，，将代入可得．故答案为：．（1）证明见解析．（2）．（3）．23.（1）（2）（3）解析: 1 ：通过原点，有无数个点关于原点对称．2 ：也有无数个点关于原点对称．3 ：没有任何两个点关于原点对称．由题意得，两点关于原点对称，所以，，将，两点代入原方程可得：，，可得：，，又因为，所以，所以，综上所述：，，．设和是图象上关于原点对称的点的横坐标，得：，化简得：，所以，异号，，，又因为，将代入上式，可得：，即：，又因为，异号，故，，令，则，（1）✓✓×（2），，．（3）．24.（1）（2）所以，二次函数对称轴为且开口向上，所以当时，最小值为，当时，最大值为，所以．解析:如图，过作于，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．如图，连接，取的中点，连接、，（1）．（2）．（3）或．25.（3）∵是弦的中点，点是弦的中点，，∴，，即，∴，∴、、、四点共圆，为的外心，∴在以为圆心，为半径的圆上运动，∵,∴运动路径长为．当点靠近点时，如图，作交圆于，作交于，交于，作交于，交于，交于，连接，∵是弦的中点，点是弦的中点，∴，∵，，∴，设，，由题可知，，∴，，∴，，∵，∴，即，解得，∴，即，由于，∴，又∵，∴，同理当点靠近点时，可知，综上所述，或．。
2022年湖南长沙中考数学试题【含答案】
2022年湖南长沙中考数学试题注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，时量120分钟，．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 的相反数是（）6-A. B. C. D. 616-6-16D2. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（）A. B.C. D.B3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B. “太阳东升西落”是不可能事件C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次A4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D.752a a a÷=541a a -=236326a a a⋅=222()a b a b -=-A5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）(5,1)A. B. C. D.(5,1)-(5,1)-(1,5)(5,1)--D6. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. 3，4 B. 4，3C. 3，3D. 4，4A7. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本的费用为（ ）A. 元B. 元C. 元D.8x 10(100)x -8(100)x -元(1008)x -C8. 如图，，则的度数为（ ）75AB CD AE CF BAE ∠=︒∥，∥，DCF ∠A. B. C. D. 65︒70︒75︒105︒C9. 如图，PA ，PB 是的切线，A 、B 为切点，若，则的度数为（ O 128AOB ∠=︒P ∠）A. B. C. D. 32︒52︒64︒72︒B10. 如图，在中，按以下步骤作图：ABC ①分别过点A 、B 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点；12AB ②作直线PQ 交AB 于点D ；③以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M 、连接AM 、BM ．若AM 的长为（）AB=A. 4 B. 2B二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. ___________．19x≥【详解】在实数范围内有意义，，190x ∴-≥解得，19x ≥故．19x ≥12. 分式方程的解是_____________ .253x x =+x =2【详解】解：两边同乘x （x +3），得2（x +3）=5x ，解得x =2，经检验x =2是原方程的根；故x =2．13. 如图，A 、B 、C 是上的点，，垂足为点D ，且D 为OC 的中点，若O OC AB ⊥，则BC 的长为___________．7OA =7【详解】解：如图，连接，,OB CAA 、B 、C 是上的点，，O OCAB ⊥，AD DB ∴= D 为OC 的中点，，OD DC ∴=四边形是菱形，，∴AOBC 7OA =．7BC AO ∴==故7．14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数t 的值为220x x t ++=___________．1t <【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，x 220x x t ++=，22410t ∴∆=-⨯⨯>，1t ∴<故．1t <15. 为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有___________名．950【详解】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有（名）951000100⨯950=故95016. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数2002据二维码，现有四名网友对的理解如下：2002YYDS （永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；2002DDDD （懂的都懂）：等于；20022200JXND （觉醒年代）：的个位数字是6；2002QGYW （强国有我）：我知道，所以我估计比大．10321024,101000==20026010其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．2002DDDD【详解】是200个2相乘，YYDS （永远的神）的理解是正确的；2002，DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；200100222(2)200=≠，1234522,24,28,216,232===== 2的乘方的个位数字4个一循环，∴，200450÷= 的个位数字是6，JXND （觉醒年代）的理解是正确的；∴2002，，且2001020603202(2),10(10)== 10321024,101000==103210>，故QGYW （强国有我）的理解是正确的；20060210∴>故DDDD ．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：．1201|4|20353-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭6【详解】解：1201|4|20353-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=4321+-+=618. 解不等式组：38 2(1)6x x x >--⎧⎨-≤⎩①②24x -<≤【详解】解不等式①，得，2x >-解不等式②，得，4x ≤所以，不等式组的解集为．24x -<≤19. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB 表示该小区一段长为的斜坡，坡角20m 于点D ．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为30BAD BD AD ∠=︒⊥，．15︒（1）求该斜坡的高度BD ；（2）求斜坡新起点C 与原起点A 之间的距离．（假设图中C ，A ，D 三点共线）（1）10m （2）20m【小问1详解】， 30BAD BD AD ∠=︒⊥，20mAB =12BD AB∴=10m =【小问2详解】C ，A ，D 三点共线， 30BAD ∠=︒，15ACB ∠=︒∴15ABC BAD C ∠=∠-∠=︒20mAC AB ∴==20. 2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．成绩x /分频数频率6070x ≤<150.17080x ≤<a0.28090x ≤<45b 90100x ≤<60c（1）表中___________，___________，___________；=a b =c =（2）请补全频数分布直方图：（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．（1）30，0.3，0.4（2）见解析（3）选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为12【小问1详解】，150********a =---=，450.3150b ==，600.4150c ==故30，0.3，0.4；【小问2详解】频数分布直方图如图所示：【小问3详解】用分别表示3名女生，用d 表示1名男生，列表如下：,,A B C AB C d A BACA dA B AB CBdB C AC BC dCdAdBdCd共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），P ∴61122==∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．1221. 如图，AC 平分，垂足分别为B ，D ．BAD CB AB CD AD ∠⊥⊥，，（1）求证：；ABC ADC △△≌（2）若，求四边形ABCD 的面积．43AB CD ==，（1）见解析（2）12【小问1详解】AC 平分，BAD CB AB CD AD ∠⊥⊥，，，,CAB CAD B D ∴∠=∠∠=∠，AC AC = ；()ABC ADC AAS ∴≅ 【小问2详解】，，ABC ADC ≅ △△4,3AB CD ==，4,3AB AD BC CD ∴====，90B D ∠=∠=︒ ，11114364362222ABC ACD S AB BC S AD CD ∴=⋅⋅=⨯⨯==⋅⋅=⨯⨯= ，四边形ABCD 的面积．∴6612ABC ACD S S =+=+= 22. 电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（ ）②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．（1）√，×，×（2）数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只【小问1详解】根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案，∴∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，∴答案不是无数种，∴①√，②×，③×，故√，×，×；【小问2详解】设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，x (40)x +由题意得：，3(40)300x x ++=解得，45x =（只），4085x +=所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．23. 如图，在中，对角线AC ，BD 相交于点O ，．ABCD AB AD=（1）求证：；AC BD ⊥（2）若点E ，F 分别为AD ，AO 的中点，连接EF ，，求BD 的长及四边形322EF AO ==，ABCD 的周长．（1）见解析（2），四边形ABCD 的周长为6BD=【小问1详解】证明：四边形是平行四边，，ABCD AB AD =四边形是菱形，∴ABCD ；∴AC BD ⊥【小问2详解】解：点E ，F 分别为AD ，AO 的中点，是的中位线，EF ∴AOD △，12EF OD∴=，32EF =，3OD ∴=四边形是菱形，ABCD，26BD OD ∴==，AC BD ⊥在中，，，Rt AOD 2AO =3OD =∴AD===菱形形的周长为∴ABCD 24. 如图，四边形ABCD 内接于，对角线AC ，BD 相交于点E ，点F 在边AD 上，连接O EF ．（1）求证：；ABE DCE ∽△△（2）当时，则2DC CB DFE CDB =∠=∠，___________；___________；___________．AE DE BE CE -=AF FE AB AD +=111AB AD AF +-=（直接将结果填写在相应的横线上）（3）①记四边形ABCD ，的面积依次为ABE CDE ，△△12,,S S S =+试判断，的形状，并说明理由．ABE CDE ，△△②当，时，试用含m ，n ，p 的式子表示． DC CB =AB m AD n CD p ===，，AE CE ⋅（1）见解析（2）0，1，0（3）①等腰三角形，理由见解析，②22p mnp mn+【小问1详解】证明：，AD AD = ，ACD ABD ∴∠=∠即，ABE DCE ∠=∠又，DEC AEB ∠=∠；∴ABE DCE ∽△△【小问2详解】，ABE DCE ∽△△，AB BE AE DC CE DE ∴==，AE CE BE DE ∴⋅=⋅，0AE DE AE CE BE DE BE CE BE CE ⋅-⋅∴-==⋅，1802CDB CBD BCD DAB CDB ∠+∠=︒-∠=∠=∠ ， 2DFE CDB ∠=∠，DFE DAB ∴∠=∠，EF AB ∴∥，FEA EAB ∴∠=∠ DC CB =，DAC BAC∴∠=∠，FAE FEA ∴∠=∠，FA FE ∴=，EF AB ∥ ，DFE DAB ∴ ∽，EF DF AB AD ∴=，∴AF FE AB AD +=1EF AF DF AF AD AB AD AD AD AD +=+==， 1AF AF AF EF AB AD AB AD +=+=，1AF AF AB AD ∴+=，1110AB AD AF ∴+-=故0，1，0【小问3详解】①记的面积为，,ADE EBC 34,S S 则，1234S S S S S =+++，1432S S BE S S DE == ①1234S S S S ∴==即，12S S S =++②34S S ∴+=由①②可得，34S S +=即，20=，34S S ∴=，∴ABE ADE ABE EBC S S S S +=+ 即，ABD ADC S S = ，CD AB ∴∥，,ACD BAC CDB DBA ∴∠=∠∠=∠，ACD ABD CDB CAB ∠=∠∠=∠ ，，EDC ECD EBA EAB ∴∠=∠=∠=∠都为等腰三角形；,ABE DCE ∴ ②，DC BC = ，DAC EAB ∴∠=∠，DCA EBA ∠=∠ ，DAC EAB ∴ ∽，AD AC EA AB ∴=， AB m AD n CD p ===，，，EA AC DA AB mn ∴⋅=⨯=，BDC BAC DAC ∠=∠=∠ ，CDE CAD ∴∠=∠又，ECD DCA ∠=∠，∴DCE ACD ∽，CD CE AC CD ∴=，22CE CA CD p ∴⋅==，22EA AC CE AC AC mn p ∴⋅+⋅==+则，2CD AC EC AC ===，AE AC CE ∴=-=．22mnpAE EC mn p ∴⋅=+25. 若关于x 的函数y ，当时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函1122t x t -≤≤+数，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．2M N h -=（1）①若函数，当时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；4044y x =1t =②若函数（，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；y kx b =+0k ≠（2）若函数，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；21y x x =≥（）（3）若函数，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共24y x x k =-++同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（1）①；②时，，时，20220k >2k h =0k <2k h =-（2）12（3）时，存在2t =318k =-【小问1详解】解：①当时，则，即，1t =111122x -≤≤+1322x ≤≤，，随的增大而增大， 4044y x =4044k =0>y x ，314044404422202222M N h ⨯-⨯-∴===②若函数，当时，，y kx b =+0k >1122t x t -≤≤+，∴11,22M k t b N k t b ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22M N k h -∴==当时，则，0k <11,22M k t b N k t b ⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22M N k h -∴==-综上所述，时，，时，，0k >2k h =0k <2k h =-【小问2详解】解：对于函数，()21y x x =≥，，函数在第一象限内，随的增大而减小，20>1≥x y x ，112t ∴-≥解得，32t ≥当时，1122t x t -≤≤+，∴2424,11212122M N t t t t ====-+-+，()()()()()()2221221144442221212121212141t t M N h t t t t t t t +---⎛⎫∴==-=== ⎪-+-+-+-⎝⎭∵当时，随的增大而增大，32t ≥241t -t 当时，取得最小值，此时取得最大值，∴32t =241t -h 最大值为；()()4412121242h t t ===-+⨯【小问3详解】对于函数，24y x x k =-++()224x k =--++，抛物线开口向下，10a =-<时，随的增大而增大，2x <y x 时，随的增大而减小，2x >y x 当时，函数y 的最大值等于，2x =4k +在时，1122t x t -≤≤+①当时，即时，，122t +<3t 2<211422N t t k ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211422M t t k ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴h =2M N -=22111114422222t t k t t k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++---+-+⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2t -的最小值为（当时），∴h 1232t =若，124k =+解得，72k =-但，故不合题意，故舍去；32t <72k =-②当时，即时，，122t ->5t 2>211422M t t k ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211422N t t k ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴h =2M N -=2t -的最小值为（当时），∴h 1252t =若，124k =+解得，72k =-但，故不合题意，故舍去52t >72k =-③当时，即时，，11222t t -≤≤+3522t ≤≤4M k =+i )当时，即时112222t t ⎛⎫⎛⎫--≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322t ≤≤211422N t t k ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22114415252222228k t t k M N h t t ⎛⎫⎛⎫++---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+对称轴为，，抛物线开口向上，在上， 52t =102>322t ≤≤当2时，有最小值，t =h 18148k ∴=+解得318k =-i i )当 时，即时，，112222t t ⎛⎫⎛⎫--≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭522t ≤≤4M k =+，N =211422t t k ⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2211441392222228k t t k M N h t t ⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+对称轴为，，抛物线开口向上，在上， 32t =102>522t <≤当2时，有最小值，t =h 18148k ∴=+解得318k =-综上所述，时，存在．2t =318k =-。
湖南省长沙市中考真题数学
2021年湖南省长沙市中考真题数学一、选择题(共12小题，每题3分，总分值36分)1.以下实数中，为无理数的是( )12解析：∵-5是整数，∴-5是有理数；∵是有限小数，∴是有理数；∵1 2=，是有限小数，∴12是有理数；=是无理数.答案：C.2.以下运算中，正确的选项是( )+x=x4B.(x2)3=x6=1D.(a-b)2=a2-b2解析：A、x3与x不能归并，错误；B、(x2)3=x6，正确；C、3x-2x=x，错误；D、(a-b)2=a2-2ab+b2，错误.答案：B3. 2021年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地减缓了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线天天承动力约为185000人次，那么数据185000用科学记数法表示为( )解析：将185000用科学记数法表示为×105.答案：A4.以下图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( ) A.B.C.D.解析：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误.答案：B5.以下命题中，为真命题的是( )A.六边形的内角和为360度B.多边形的外角和与边数有关C.矩形的对角线相互垂直D.三角形两边的和大于第三边解析：A、六边形的内角和为720°，错误；B、多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确.答案：D6.在数轴上表示不等式组20260xx+⎧⎨-≤⎩＞，的解集，正确的选项是( )A.B.C.D.解析：由x+2＞0得x＞-2，由2x-6≤0，得x≤3，把解集画在数轴上为：答案：A7.一家鞋店在一段时刻内销售了某种女鞋30双，各类尺码鞋的销售量如下表所示，你以为商家更应该关注鞋子尺码的( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差解析：∵众数表现数据的最集中的一点，如此能够确信进货的数量，∴鞋店最喜爱的是众数.答案：C8.以下说法中正确的选项是( )A.“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件B.某种彩票的中奖概率为1，说明每买1000张，必然有一张中奖1000C.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，显现正面朝上的概率为13D.想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采纳抽样调查解析：A、“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件，故A错误；B、某种彩票的中奖概率为1，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故1000B错误；C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，显现正面朝上的概率为1，故C错误；2D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采纳抽样调查，故D正确.答案：D9.一次函数y=-2x+1的图象不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵一次函数y=-2x+1中k=-2＜0，b=1＞0，∴此函数的图象通过一、二、四象限，不通过第三象限.答案：C10.如图，过△ABC的极点A，作BC边上的高，以下作法正确的选项是( )A.B.C.D.解析：为△ABC中BC边上的高的是A选项.答案：A.11.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，那么树OA的高度为( )A.30tanα米α米α米α米解析：在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO为α，∴AO=BOtanα=30tanα(米).答案：C12.长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，假设按标价打八折销售该电器一件，那么可获利润500元，其利润率为20%.现若是按同一标价打九折销售该电器一件，那么取得的纯利润为( )元元元元解析：设该商品的进价为x元，标价为y元，由题意得50020%0.8500yy x=⎧⎨-=⎩，，解得：x=1500，y=2500.那么2500×=750(元).答案：D.二、填空题(共6小题，每题3分，总分值18分)13.一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他不同.在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，那么摸出白球的概率是 .解析：∵一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他不同，∴随机从袋中摸出1个球，那么摸出白球的概率是：22325=+. 答案：2514.圆心角是60°且半径为2的扇形面积为 (结果保留π).解析：由扇形面积公式得：S=2602360π⨯=23π. 答案：23π.15.进行化简，取得的最简结果是 (结果保留根号).解析：原式.答案：16.分式方程572x x =-的解是x= . 解析：去分母，得5(x-2)=7x ，解得：x=-5，经查验：x=-5是原方程的解.答案：-517.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，13AD AB =，DE=6，那么BC 的长是 .解析：∵DE ∥BC ，∴DE ：BC=AD ：AB=13，即6：BC=1：3，∴BC=18. 答案：18.18.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，假设BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，那么OD 的长为 .解析：∵OD ⊥BC ，∴BD=CD=12BC=3，∵OB=12AB=5，∴ 答案：4.三、解答题(共8小题，第1九、20题每题6分，第2一、22题每题6分，第23、24题每题6分，第2五、26题每题6分，总分值66分.解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤)19.计算：(12)-1+4cos60° 解析：原式第一项利用负整数指数幂法那么计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用算术平方根概念计算即可取得结果. 答案：原式=2+4×12-3+3=4.20.先化简，再求值：(x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy ，其中x=(3-π)0，y=2.解析：第一去掉括号，然后归并同类项，最后把x=1，y=2代入化简式进行计算即可.答案：(x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy=x2-y2-x2-xy+2xy=xy-y2，∵x=(3-π)0=1，y=2，∴原式=2-4=-2.21.中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发觉所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩散布情形，随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，取得以下不完整的统计图表：请依照所给信息，解答以下问题：(1)a= ，b= ；(2)请补全频数散布直方图；(3)这次竞赛成绩的中位数会落在分数段；(4)假设成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，那么该校参加这次竞赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人解析：(1)依照第一组的频数是10，频率是，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；(2)依照(1)的计算结果即可补全频数散布直方图；(3)依照中位数的概念，将这组数据依照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据(或中间两数据的平均数)即为中位数；(4)利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可.答案：(1)样本容量是：10÷=200，a=200×=60，b=30÷200=；(2)补全频数散布直方图，如下：(3)一共有200个数据，依照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，因此这次竞赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；(4)3000×=1200(人).即该校参加这次竞赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人.故答案为60，；80≤x＜90；1200.22.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)后得直线l，直线l与AD、BC两边别离相交于点E和点F.(1)求证：△AOE ≌△COF ；(2)当α=30°时，求线段EF 的长度.解析：(1)第一证明AE=CF ，OE=OF ，结合AO=CO ，利用SSS 证明△AOE ≌△COF ；(2)第一画出α=30°时的图形，依照菱形的性质取得EF ⊥AD ，解三角形即可求出OE 的长，进而取得EF 的长.答案：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AO=OC ，∴AE OE AO CF OF OC===1，∴AE=CF ，OE=OF ， 在△AOE 和△COF 中，AO CO OE OF AE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，∴△AOE ≌△COF.(2)当α=30°时，即∠AOE=30°，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴∠OAD=60°，∴∠AEO=90°，在Rt △AOB 中，sin ∠ABO=122AO AO AB ==，∴AO=1， 在Rt △AEO 中，cos ∠AOE=cos30°=OE AO =23.现代互联网技术的普遍应用，催生了快递行业的高度进展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数别离为10万件和万件，现假定该公司每一个月投递的快递总件数的增加率相同.(1)求该快递公司投递总件数的月平均增加率；(2)若是平均每人每一个月最多可投递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员可否完成今年6月份的快递投递任务若是不能，请问至少需要增加几名业务员解析：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增加率为x，依照“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数别离为10万件和万件，现假定该公司每一个月投递的快递总件数的增加率相同”成立方程，解方程即可；(2)第一求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数.答案：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增加率为x，依照题意得10(1+x)2=，解得x1=，x2=(不合题意舍去).答：该快递公司投递总件数的月平均增加率为10%；(2)今年6月份的快递投递任务是×(1+10%)=(万件).∵平均每人每一个月最多可投递万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：×21=＜，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务人).∴需要增加业务员1160答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员.24.如图，在直角坐标系中，⊙M通过原点O(0，0)，点，0)与点B(0，)，点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求现在点E的坐标.解析：(1)由点，0)与点B(0，)，可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；(2)由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；(3)第一过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易患△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，那么可求得点E的坐标.答案：(1)∵点，0)与点B(0，)，∴，，∴，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴⊙M.(2)∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO.(3)如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt △AOB 中，tan ∠OAB=OB OA ==，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°-∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=12∠ABO=30°，∴OC=OB ·tan30°3=3∴AC=OA-OC=3，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴AE=AC=3，∴AF=12AE=3，EF=2，∴，∴点E 的坐标为：). 25.在直角坐标系中，咱们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”.(1)求函数x+2的图象上所有“中国结”的坐标；(2)假设函数y=k x(k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；(3)假设二次函数y=(k 2-3k+2)x 2+(2k 2-4k+1)x+k 2-k(k 为常数)的图象与x 轴相交取得两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包括有多少个“中国结”解析：(1)因为x 是整数，x ≠0x 是一个无理数，因此x ≠0不是整数，因此x=0，y=2，据此求出函数x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可.(2)第一判定出当k=1时，函数y=k x(k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)、(-一、-1)；然后判定出当k ≠1时，函数y=k x (k ≠0，k 为常数)的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标即可.(3)第一令(k 2-3k+2)x 2+(2k 2-4k+1)x+k 2-k=0，那么[(k-1)x+k][(k-2)x+(k-1)]=0，求出x 1、x 2的值是多少；然后依照x 1、x 2的值是整数，求出k 的值是多少；最后依照横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判定出该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包括有多少个“中国结”即可.答案：(1)∵x 是整数，x ≠0是一个无理数，∴x ≠0不是整数，∴x=0，y=2，即函数x+2的图象上“中国结”的坐标是(0，2).(2)①当k=1时，函数y=k x (k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”： (1，1)、(-一、-1)；②当k=-1时，函数y=k x(k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”： (1，-1)、(-1，1). ③当k ≠1时，函数y=k x(k ≠0，k 为常数)的图象上最少有4个“中国结”： (1，k)、(-1，-k)、(k ，1)、(-k ，-1)，这与函数y=k x (k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，综上可得，k=1时，函数y=k x (k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)、(-一、-1)；k=-1时，函数y=k x(k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，-1)、(-一、1).(3)令(k 2-3k+2)x 2+(2k 2-4k+1)x+k 2-k=0，那么[(k-1)x+k][(k-2)x+(k-1)]=0， ∴12112k x k k x k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，，∴k=12122111x x x x +=++，整理，可得x 1x 2+2x 2+1=0，∴x 2(x 1+2)=-1， ∵x 1、x 2都是整数，∴21121x x =⎧⎨+=-⎩，或21121x x =-⎧⎨+=⎩，，∴123 1x x =-⎧⎨=⎩，或1211xx=-⎧⎨=-⎩，，①当123 1x x =-⎧⎨=⎩，时，∵12kk--=1，∴k=32.②当121 1x x =-⎧⎨=-⎩，，时，∵11kk=--，∴k=k-1，无解；综上，可得k=32，x1=-3，x2=1，y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=[(32) 2-3×32+2]x2+[2×(32)2-4×32+1]x+(32)2-32=-14x2-12x+34.①当x=-2时，y=-14x2-12x+34=-14×(-2)2-12×(-2)+34=34.②当x=-1时，y=-14x2-12x+34=-14×(-1)2-12×(-1)+34=1.③当x=0时，y=34，另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：(-2，0)、(-一、0)、(0，0).综上，可得：假设二次函数y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k为常数)的图象与x轴相交取得两个不同的“中国结”，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包括有6个“中国结”：(-3，0)、(-2，0)、(-1，0)(-1，1)、(0，0)、(1，0).26.假设关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a＞0，c＞0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象极点为点M，点O 为坐标原点.(1)当x 1=c=2，a=13时，求x 2与b 的值； (2)当x 1=2c 时，试问△ABM 可否为等边三角形判定并证明你的结论；(3)当x 1=mc(m ＞0)时，记△MAB ，△PAB 的面积别离为S 1，S 2，假设△BPO ∽△PAO ，且S 1=S 2，求m 的值.解析：(1)设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，把a 、c 代入得：13x 2+bx+2=0，依照x 1=2是它的一个根，求出b ，再依照13x 2-53x+2=0，即可求出另一个根. (2)依照x 1=2c 时，x 2=12a ，得出b=-(2ac+12)，4ac=-2b-1，依照M 的坐标为(-2b a ，244ac b a -)，得出当△ABM 为等边三角形时244ac b a-=2(12a -2c)，求出b 1=-1，b 2=2-1(舍去)，最后依照4ac=-2b-1=1，得出2c=12a ，A 、B 重合，△ABM 不可能为等边三角形；(3)依照△BPO ∽△PAO ，得出OP BO AO OP =，ac=1，由S 1=S 2得出b 2=4a ·2c=8ac=8，求出1cx 2得出-1)c ，从而求出m. 答案：(1)设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，把a=13，c=2代入得：13x 2+bx+2=0， ∵x 1=2是它的一个根，∴13×22+2b+2=0，解得：b=-53， ∴方程为：13x 2-53x+2=0，∴另一个根为x 2=3.(2)当x 1=2c 时，x 2=1ca x =12a ，现在b=-a(x 1+x 2)=-(2ac+12)，4ac=-2b-1， ∵M(-2b a ，244ac b a -)， 当△ABM 为等边三角形时|244ac b a -，即244ac b a-(12a -2c)， ∴244ac b a -=2·1212b a++，∴b 2，解得：b 1=-1，b 2舍去)，现在4ac=-2b-1=1，即2c=12a ，A 、B 重合，∴△ABM 不可能为等边三角形. (3)∵△BPO ∽△PAO ， ∴OP BO AO OP =，即x 1x 2=c 2=c a，∴ac=1， 由S 1=S 2得c=|244ac b a-|=24b a -c ，∴b 2=4a ·2c=8ac=8， ∴b 1，b 2(舍去)， 方程可解为1c x 2x+c=0，∴x 122c c=⋅⋅-1)c ，∴-1.。
2020年湖南省长沙市中考数学试卷和答案解析
2020年湖南省长沙市中考数学试卷和答案解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（﹣2）3的值等于（）A．﹣6B．6C．8D．﹣8解析：根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果．参考答案：解：（﹣2）3＝﹣8，故选：D．点拨：此题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解本题的关键．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．参考答案：解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．点拨：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（）A．6.324×1011B．6.324×1010C．632.4×109D．0.6324×1012解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．参考答案：解：632 400 000 000＝6.324×1011，故选：A．点拨：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列运算正确的是（）A．+＝B．x8÷x2＝x6C．×＝D．（a5）2＝a7解析：根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．参考答案：解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．B、原式＝x8﹣2＝x6，计算正确，故本选项符合题意．C、原式＝＝，计算错误，故本选项不符合题意．D、原式＝a5×2＝a10，计算错误，故本选项不符合题意．故选：B．点拨：本题主要考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与合并同类项以及同底数幂的除法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解答．5．（3分）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）A．v＝B．v＝106t C．v＝t2D．v＝106t2解析：按照运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，列出等式，然后变形得出v关于t 的函数，观察选项可得答案．参考答案：解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，∴106＝vt，∴v＝，故选：A．点拨：本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键．6．（3分）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42米B．14米C．21米D．42米解析：在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．参考答案：解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）故选：A．点拨：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．解析：根据解不等式组的方法可以求得该不等组的解集，从而可以将该不等式组的解集在数轴上表示出来，本题得以解决．参考答案：解：由不等式组，得﹣2≤x＜2，故该不等式组的解集在数轴表示为：故选：D．点拨：本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．8．（3分）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（）A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C．第一次摸出的球是红球的概率是D．两次摸出的球都是红球的概率是解析：根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．参考答案：解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；C、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项正确；D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确；故选：A．点拨：此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．（3分）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（）A．②③B．①③C．①④D．②④解析：根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．参考答案：解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，所以表述正确的序号是②③；故选：A．点拨：此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．10．（3分）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C 分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH 于点E，则∠ECB的大小为（）A．60°B．45°C．30°D．25°解析：依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数．参考答案：解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAD＝2∠BAC＝120°，又∵DF∥HG，∴∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，故选：C．点拨：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．11．（3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．＝B．＝C．＝D．＝解析：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．参考答案：解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：＝．故选：B．点拨：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．12．（3分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟解析：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．参考答案：解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，，解得，所以函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t ＝﹣＝﹣＝3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．故选：C．点拨：本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：次数7次及以上654321次及以下人数81231241564这次调查中的众数和中位数分别是5，5．解析：根据中位数和众数的概念求解即可．参考答案：解：这次调查中的众数是5，这次调查中的中位数是，故答案为：5；5．点拨：本题考查中位数和众数的概念；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．14．（3分）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为7．解析：本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求出答案．参考答案：解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有（x+2+3）张牌，A同学有（x﹣2）张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x ﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．故答案为：7．点拨：本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．15．（3分）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为3π．解析：根据圆锥的侧面积公式：S侧＝2πr•l＝πrl．即可得圆锥的侧面展开图的面积．参考答案：解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴S侧＝πrl＝3×1π＝3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．故答案为：3π．点拨：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式．16．（3分）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）+＝1．（2）若PN2＝PM•MN，则＝．解析：（1）证明△PEN∽△QFN，得①，证明△NPQ∽△PMQ，得②，再①×②得，再变形比例式便可求得结果；（2）证明△NPQ∽△NMP，得PN2＝NQ•MN，结合已知条件得PM ＝NQ，再根据三角函数得，进而得MQ与NQ的方程，再解一元二次方程得答案．参考答案：解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°，∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴，即①，∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°，∴△NPQ∽△PMQ，∴②，∴①×②得，∵QF＝PQ﹣PF，∴＝1﹣，∴+＝1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM，∴△NPQ∽△NMP，∴，∴PN2＝QN•MN，∵PN2＝PM•MN，∴PM＝QN，∴，∵cos∠M＝，∴，∴，∴NQ2＝MQ2+MQ•NQ，即，设，则x2+x﹣1＝0，解得，x＝，或x＝﹣＜0（舍去），∴＝，故答案为：．点拨：本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键是灵活地变换比例式．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：|﹣3|﹣（﹣1）0+cos45°+（）﹣1．解析：首先化简绝对值，求零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，再按顺序进行加减运算．参考答案：解：原式＝3﹣1+4＝2+1+4＝7．点拨：本题主要考查了化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键．18．（6分）先化简再求值：•﹣，其中x＝4．解析：根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．参考答案：解：•﹣＝＝＝，当x＝4时，原式＝＝3．点拨：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①．（填序号）①SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．解析：（1）直接利用角平分线的作法得出基本依据；（2）直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案．参考答案：解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS．故答案为：①（2）由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，则在△OMC和△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，即OC为∠AOB的平分线．点拨：此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．20．（8分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：（1）这次调查活动共抽取200人；（2）m＝86，n＝27；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．解析：（1）从统计图中可知，“1次及以下”的频数为20，占调查人数的10%，可求出调查人数；（2）“3次”的占调查人数的43%，可求出“3次”的频数，确定m的值，进而求出“4次以上”的频率，确定n值，（3）求出“2次”的频数，即可补全条形统计图；（4）“4次以上”占27%，因此估计3000人的27%是“4次以上”的人数．参考答案：解：（1）20÷10%＝200（人），故答案为：200；（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，m＝86，n＝27，故答案为：86，27；（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：（4）3000×27%＝810（人），答：该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．点拨：本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C 点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．解析：（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC ＝，可得∠DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．参考答案：解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，∴tan∠DAC＝＝，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝2，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE＝EC＝AC＝，∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA＝＝2，∴⊙O的半径为2．点拨：本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．22．（9分）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）35累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？解析：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送62.4吨生活物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．参考答案：解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，依题意，得：，解得：．答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，依题意，得：10×3+6m≥62.4，解得：m≥5.4，又∵m为正整数，∴m的最小值为6．答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．点拨：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（9分）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE 翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．解析：（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得＝，由此即可解决问题．（3）首先证明tanα+tanβ＝+＝+＝＝，设AB ＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．参考答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF＝＝＝2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴x＝，∴EC＝．（3）∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴tanα+tanβ＝+＝+＝＝，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF＝，CF＝＝，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax＝b2，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴a2﹣ax＝•，∴b2＝•，整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴＝，∴tanα+tanβ＝＝．点拨：本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．24．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（√）；②y＝（m≠0）（√）；③y＝3x﹣1（×）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y ＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．解析：（1）根据“H函数”的定义判断即可．（2）先根据题意求出m，n的取值范围，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．（3）设“H“点为（p，q）和（﹣p，﹣q），代入y＝ax2+2bx+3c 得到ap2+3c＝0，2bp＝q，得到a，c异号，再根据a+b+c＝0，代入（2c+b﹣a）（2x+b+3a）＜0，求出的取值，设函数与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），t＝，利用根与系数的关系得到|x1﹣x2|＝＝2，再利用二次函数的性质即可求解．参考答案：解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H 函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．故答案为：√，√，×．（2）∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴﹣＞2，∴﹣＞2，∴﹣1＜a＜0，∵a+c＝0，∴0＜c＜1，综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），代入得到，解得ap2+3c＝0，2bp＝q，∵p2＞0，∴a，c异号，∴ac＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，∴c2＜4a2，∴＜4，∴﹣2＜＜2，设t＝，则﹣2＜t＜0，设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，∴|x 1﹣x2|＝＝＝＝＝2＝2，∵﹣2＜t＜0，∴2＜|x 1﹣x2|＜2．点拨：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，“H函数”，“H点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．25．（10分）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C 是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．解析：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．利用等腰三角形的性质求出∠AOH即可．（2）连接OC，证明O，D，C，E四点共圆，OC的中点即为△ODE外接圆的圆心，再利用弧长公式计算即可．（3）如图3中，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．证明△CDE∽△CAB，推出＝（）2＝，推出S△ABC＝4S2，因为S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，推出S 四边形ODCE＝S四边形OACB，可得S1+S2＝（4S2+4）＝2S2+2，推出S 1＝S2+2，因为S12﹣S22＝21，可得S22+4S2+12﹣S22＝21，推出S2＝，利用三角形的面积公式求出CK，解直角三角形求出AK即可解决问题．参考答案：解：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，∴AH＝HB＝AB＝2，∠AOH＝∠BOH，∴sin∠AOH＝＝，∴∠AOH＝60°，∴∠AOB＝2∠AOH＝120°．（2）如图2中，连接OC，取OC的中点P，连接DP，∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，∴OD⊥AC，OE⊥CB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴∠ODC+∠OEC＝180°，∴O，D，C，E四点共圆，∴OC是直径，∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，∴OP＝OC＝2，∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动，∵∠AOB＝120°，∴点P的运动路径的长＝＝．（3）当点C靠近A点时，如图3中，当AC＜BC时，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．∵AD＝CD，CE＝EB，∴DE∥AB，AB＝2DE，∴△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝4S2，∵S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，∴S四边形ODCE＝S四边形OACB，∴S 1+S2＝（4S2+4）＝2S2+2，∴S 1＝S2+2，∵S12﹣S22＝21，∴S 22+4S2+12﹣S22＝21，∴S2＝，∴S △ABC＝3＝×AB×CK，∴CK＝，∵OH⊥AB，CK⊥AB，∴OH∥CK，∴△CKJ∽△OHJ，∴＝，∴＝＝，∴CJ＝×4＝，OJ＝×4＝，∴JK＝＝＝，JH＝＝＝，∴KH＝，∴AK＝AH﹣KH＝2﹣，∴AC＝＝＝＝﹣．当AC＞BC时，同法可得AC＝+，同理，当点C靠近B点时，可知AC＝＝+．综上所述，满足条件的AC的值为±．点拨：本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2023年湖南省长沙市中考数学真题(解析版)
2023年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.【答案】B【解析】解：A 选项，17是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；B 选项，π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意；C 选项，﹣1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D 选项，0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B ．2.【答案】D【解析】解：根据轴对称图形的定义可知：A 、B 、C 都不是轴对称图形，只有D 是轴对称图形．故选：D ．3.【答案】A【解析】解：A 选项，235x x x ×=，本选项符合题意；B 选项，()339x x =，本选项不符合题意；C 选项，()21x x x x +=+，本选项不符合题意；D 选项，()2221441a a a -=-+，本选项不符合题意；故选：A ．4.【答案】C【解析】解：134+= ，∴1，3，4不能组成三角形，故A 选项不符合题意；227+< ，∴2，2，7不能组成三角形，故B 不符合题意；457+> ，754-<∴4，5，7能组成三角形，故C 符合题意；336+= ，∴3，3，6不能组成三角形，故D 不符合题意，故选：C ．5.【答案】A【解析】解：∵科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，∴121400000000000 1.410⨯＝，故选：A ．6.【答案】C【解析】解：如图所示，∵直线m ∥直线n ，∴2180CAD ∠+∠=︒，∴12180BAC ∠+∠+∠=︒∵AC AB ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵140∠=︒，∴40902180∠︒+︒+=︒，∴250∠=︒，故选：C ．7.【答案】B【解析】解：A 选项，由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A 不符合题意；B 选项，这组数据的中位数是27，原说法错误，故B 符合题意；C 选项，这组数据的众数是24，说法正确，故C 不符合题意；D 选项，周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为32248-=（℃），说法正确，故D 不符合题意；故选：B ．8.【答案】A【解析】解：由240x +>得2x >-，由10x -≤得1x ≤，解集在数轴上表示为：，则不等式组的解集为21x -<≤．故选：A ．9.【答案】D【解析】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x 系数小于0时，y 随x 的增大而减小，1y x =-+，10-<故只有D 符合题意，故选：D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）10.【答案】（n -10）（n +10）【解析】解：n 2-100=n 2-102=（n -10）（n +10）．故答案为：（n -10）（n +10）．11.【答案】9【解析】解：()109108859++++÷=（小时）．即该学生这5天的平均睡眠时间是9小时．故答案为：9．12.【答案】65【解析】解：根据题意可得：BD BE =，∴BDE BED ∠=∠，∵18050ABC BDE BED ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒，，∴65BDE BED ∠=∠=︒．故答案为：65．13.【答案】196##136【解析】解：AOB 的面积为||192212k k ==，所以k =196．故答案为：196．14.【答案】1【解析】解：如图，连接OB ，∵60ACB ∠=︒，∴2120AOB ACB ∠=∠=︒，∵OD AB ⊥，∴ AD BD=，90OEA ∠=︒，∴1602AOD BOD AOB ∠=∠=∠=︒，∴906030OAE ∠=︒-︒=︒，∴112122OE OA ==⨯=，故答案为：1．15.【答案】4【解析】解：设地球的半径为r 万里，则2π8r =，解得4πr =，∴火星的半径为2π万里，∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为2π⨯2π4(=万里)．故答案为：4．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.【答案】1-【解析】解：原式1222=+-⨯-12=+--1=-．17.【答案】46a -，6【解析】解：()()()222233a a a a a -+-++，2224263a a a a =---+，46a =-；当13a =-时，原式1464263⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．18.【答案】（1）4km （2）飞船从A 处到B 处的平均速度约为0.3km /s【解析】（1）解：在Rt AOC 中，90AOC ∠=︒ ，30ACO ∠=︒，8km AC =，AO ∴=12AC =1842⨯=()km ，（2）在Rt AOC 中，90AOC ∠=︒ ，30ACO ∠=︒，8km AC =，OC ∴=24AC =()km ，在Rt BOC 中，90BOC ∠=︒ ，45BCO ∠=︒，45BCO OBC ∠∠∴==︒，4OB OC ∴==km ，(4AB OB OA ∴=-=4)km ，∴飞船从A 处到B 处的平均速度=410()0.3km /s ≈．19.【答案】（1）150，36；（2）见解析（3）144（4）估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人【解析】（1）6040%150n =¸=，∵54%100%36%150m =⨯=，∴36m =；故答案为：150，36；（2）D 等级学生有：150********---=（人），补全的频数分布直方图，如图所示：（3）扇形统计图中B 等级所在扇形的圆心角度数为36040%144⨯︒=︒；故答案为：144；（4）300016%480´=（人），答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．20.【答案】（1）见解析（2）4BD =【解析】（1）证明：CD AB ⊥ ，BE AC ⊥，90AEB ADC ∴∠=∠=︒，在ABE 和ACD 中，AEB ADC BAE CAD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE ACD ∴ ≌；（2）解：ABE ACD ≌，6AD AE ∴==，在Rt ACD中，AC ==，10AB AC == ，1064BD AB AD ∴=-=-=．21.【答案】（1）该班级胜负场数分别是13场和2场；（2）该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．【解析】（1）解：设胜了x 场，负了y 场，根据题意得：15341x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得132x y =⎧⎨=⎩，答：该班级胜负场数分别是13场和2场；（2）设班级这场比赛中投中了m 个3分球，则投中了()26m -个2分球，根据题意得：()322656m m +-≥，解得4m ≥，答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．22.【答案】（1）见解析（2）3BF =；ADF △的面积为【解析】（1）证明：在ABCD Y 中，∴AB CD ∥，∴CDE F ∠=∠，∵DF 平分ADC ∠，∴ADE CDE ∠=∠，∴F ADF ∠=∠，∴AD AF =．（2）解：∵63AD AF AB ===，，∴3BF AF AB =-＝；过D 作DH AF ⊥交FA 的延长线于H ，∵120BAD ∠=︒，∴60DAH ∠=︒，∴30ADH ∠=︒，∴132AH AD ==，∴2233D H A D A H =-=∴ADF △的面积1163922AF DH =⋅=⨯⨯=．23.【答案】（1）BD 是O 的切线，证明见解析（2）152+（3）()01y x x =<≤【解析】（1）解：BD 是O 的切线．证明：如图，在ABC 中，222AB BC AC =+，∴90ACB ∠=︒．又点A ，B ，C 在O 上，∴AB 是O 的直径．∵90ACB ∠=︒，∴90CAB ABC ∠+∠=︒．又DBC CAB ∠=∠，∴90DBC ABC ∠+∠=︒．∴90ABD Ð=°．∴BD 是O 的切线．（2）由题意得，12112122S BC CD S BC AC S AD BC ⋅⋅===⋅，，．∵()212S S S ⋅=，∴2112122BC CD AD BC BC AC =⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭．∴2•CD AD AC =．∴()2CD CD AC AC +=．又∵9090D DBC ABC A DBC A ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，∴D ABC ∠=∠．∴tan tan BC AC D ABC CD BC∠==∠=．∴2BC CD AC=．又()2CD CD AC AC +=，∴4222BC BC AC AC+=．∴4224BC AC BC AC +⋅=．∴241AC AC BC BC ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由题意，设()2tan D m =，∴2AC m BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴21m m +=．∴12m =．∵0m >，∴12m =．∴()22t an 1D =．（3）设A α∠=，∵90A ABC ABC DBC ABC N ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴A DBC N α∠=∠=∠=．如图，连接OM ．∴在Rt OFM △中，OF ==∴1BF BO OF =+=1AF OA OF =-=∴在Rt AFE 中，(tan 1tan EF AF αα=⋅=-⋅，1cos cos AF AE αα==．在Rt ABC △中，sin 2sin BC AB αα=⋅=．（∵1r =，∴2AB =）cos 2cos AC AB αα=⋅=．在Rt BFN △中，11sin sin BF BN αα+==，11tan tan BF FN αα+==．∴y FE FN =⋅2x =2x =2x =21x x =⋅x =．即y x =．∵FM AB ⊥，∴FM 最大值为F 与O 重合时，即为1．∴01x <≤．综上，()01y x x =<≤．24.【答案】（1）k 的值为1-，m 的值为3，n 的值为2；（2）①函数y 2的图像的对称轴为13x =-；②函数2y 的图像过两个定点()01，，2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，理由见解析；（3）能构成正方形，此时2S >．【解析】（1）解：由题意可知：2212120a c a c b b ===-≠，，，∴321m n k ===-，，．答：k 的值为1-，m 的值为3，n 的值为2．（2）解：①∵点()P r t ，与点()()Q s t r s ≠，始终在关于x 的函数212y x rx s =++的图像上运动，∴对称轴为222r s r x +==-，∴3s r =-，∴2221y sx xx =-+，∴对称轴为2123r r x s s -=-==-．答：函数2y 的图像的对称轴为13x =-．②()222321321y rx rx x x r =--+=-++，令2320x x +=，解得1220,3x x ==-，∴过定点()01，，2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．答：函数y 2的图像过定点()01，，2,13⎛⎫-⎪⎝⎭．（3）解：由题意可知21y ax bx c =++，22y cx bx a =-+，∴224,,2,4244b ac b b ac b A B aa c c ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴CD a =，11EF =-，∵CD EF =且240b ac ->，∴a c ＝；①若a c =-，则2212,y ax bx a y ax bx a =+-=--+，要使以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能构成正方形，则CAD CBD ，为等腰直角三角形，∴2A CD y =，∴2242||||4a b a a--=⋅，∴224b a =+，∴2244b a +=，∴2222222114142222b ac b a S CD a a a-+==⋅=⋅=正，∵22440b a =->，∴201a <<，∴2S >正；②若a c =，则A 、B 关于y 轴对称，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能构成正方形，此时2S >．。
2022年湖南省长沙市中考数学试题(含答案)
2022年长沙市初中学业水平考试试卷数 学注意事项：考试时量120分钟，满分120分。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．6-的相反数是（ ） A ．16-B ．6-C ．16D ．62．如下右图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列说法中，正确的是（ ）A ．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B ．“太阳东升西落”是不可能事件C ．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D ．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次 4．下列计算正确的是（ ） A ．752a a a ÷= B ．541a a -= C ．236326a a a ⋅= D ．()222a b a b -=-5．在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（5-，1）B ．（5，1-）C ．（1，5）D ．（5-，1-）6．《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．3，4B ．4，3C ．3，3D ．4，47．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本的费用为（ ） A ．8x 元 B ．()10100x -元 C ．()8100x -元 D ．()1008x -元 8．如图，AB//CD ，AE//CF ，∠BAE =75°，则∠DCF 的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．105°第8题图 第9题图 第10题图9．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，若∠AOB =128°，则∠P 的度数为（ ）A ．32°B ．52°C ．64°D ．72°10．如图，在⊙ABC 中，按以下步骤作图： ⊙分别过点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点； ⊙作直线PQ 交AB 于点D ；⊙以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M 、连接AM 、BM ．若AB =AM 的长为（ ）A ．4B ．2C D二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11x 的取值范围是________． 12．分式方程253x x =+的解为________． 13．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，OC ⊥AB ，垂足为点D ，且D 为OC 的中点，若OA =7，则BC 的长为________．14．关于x 的一元二次方程220x x t ++=有两个相等的实数根，则实数t 的值为________．15．为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查，结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有________名．16．当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力，看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2002个不同的数据二维码，现有四名网友对2002的理解如下：YYDS （永远的神）：2002就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD （懂的都懂）：2002等于2200；JXND （觉醒年代）：2002的个位数字是6；QGYW （强国有我）：我知道1021024=，3101000=，所以我估计2002比6010大．其中对2002的理解错误．．的网友是________（填写网名字母代号）．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：1201420353-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭．18．解不等式组：()38216x x x >--⎧⎪⎨-≤⎪⎩，①．②19．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB 表示该小区一段长为20 m 的斜坡，坡角∠BAD =30°，BD ⊥AD 于点D ．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°． （1）求该斜坡的高度BD ；（2）求斜坡新起点C 与原起点A 之间的距离．（假设图中C ，A ，D 三点共线）20．2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两 幅不完整的统计图表．（1）表中a=________，b=________，c=________； （2）请补全频数分布直方图；（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．21．如图，AC 平分∠BAD ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，垂足分别为B ，D ． （1）求证：⊙ABC ≌⊙ADC ；（2）若AB =4，CD =3，求四边形ABCD 的面积．22．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．⊙刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（）⊙刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（）⊙该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（）（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．23．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．（1）求证：AC⊥BD；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长．24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 相交于点E ，点F 在边AD 上，连接EF ． （1）求证：⊙ABE⊙⊙DCE ；（2）当DC CB =，∠DFE =2∠CDB 时，则AE DE BE CE -=________；AF FEAB AD+=________；111AB AD AF+-=________．（直接将结果填写在相应的横线上）（3）⊙记四边形ABCD ，⊙ABE ，⊙CDE 的面积依次为S ，S 1，S 2，=试判断⊙ABE ，⊙CDE 的形状，并说明理由．⊙当DC CB =，AB =m ，AD =n ，CD =p 时，试用含m ，n ，p 的式子表示AE CE ⋅．25．若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M Nh -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．（1）⊙若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；⊙若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；（2）若函数2y x=（1x ≥），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值； （3）若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2022年长沙市初中学业水平考试试卷数学 参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．19x ≥ 12．2x = 13．7 14．1 15．950 16．DDDD三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．原式=618．解集为24x -<≤ 19．（1）10BD m = （2）斜坡新起点C 与原起点A 之间的距离为20 m 20．（1）表中a=____30___，b=___0.3___，c=____0.4___；（2）补全频数分布直方图如图所示：（3）12P =21．（1）证明：∵AC 平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC 又∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ∴∠ABC=∠ADC=90° 在△ABC 与△ADC 中BAC DACABC ADC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴⊙ABC ≌⊙ADC （AAS ） （2）四边形ABCD 的面积12 22．（1）√ × × （2）较少的狗群有45只，较多的狗群有85只 23．（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，且AB =AD ∴四边形ABCD 为菱形 ∴AC ⊥BD （2）6BD =；四边形ABCD 的周长为24．（1）证明：∵AD AD = ∴∠ABE=∠ACD又∵∠AEB=∠CED ∴⊙ABE⊙⊙DCE（2）AE DE BE CE -=___0___；AF FE AB AD +=___1___；111AB AD AF+-=____0___． （3）⊙⊙ABE ，⊙CDE 的形状都为等腰三角形⊙22mnp AE CE mn p⋅=+ 25．（1）⊙2022h =⊙当0k >时，2k h =； 当0k <时，2kh =-； （2）h 的最大值为12（3）318k =-。
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相关资料湖南省长沙市2013 年中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本题共10 个小题，每小题3 分，共30 分）1．（3 分）（2013•长沙）下列实数是无理数的是（）B．0 C． D．A．﹣1考点：无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：A、是整数，是有理数，选项错误；B、是整数，是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、是无理数．故选D．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3 分）（2013•长沙）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A．617×105 B．6.17×106 C．6.17×107 D．0.617×108考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将61700000 用科学记数法表示为6.17×107．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（3 分）（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2 和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：三角形三边关系．分析：已知三角形的两边长分别为2 和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．÷ 2 2 2解答：解：设第三边长为 x ，则由三角形三边关系定理得 4﹣2＜x ＜4+2，即 2＜x ＜6．因此，本题的第三边应满足 2＜x ＜6，把各项代入不等式符合的即为答案． 2，6，8 都不符合不等式 2＜x ＜6，只有 4 符合不等式．故选 B ．点评：本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．（3 分）（2013•长沙）已知⊙O 1 的半径为 1cm ，⊙O 2 的半径为 3cm ，两圆的圆心距 O 1O 2 为 4cm ，则两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案． 解答：解：∵⊙O 1 和⊙O 2 的半径分别为 1cm 和 3cm ，圆心距 O 1O 2=4cm ，∴O 1O 2=1+3=4， ∴两圆外切． 故选 B ． 点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则 P ＞R+r ；外切，则 P=R+r ；相交，则 R ﹣r ＜P ＜R+r ；内切，则 P=R ﹣r ；内含，则 P ＜R ﹣r ． （P 表示圆心距，R ，r 分别表示两圆的半径）．5．（3 分）（2013•长沙）下列计算正确的是（ ） A ．a 6 a 3=a 3 B ．（a 2）3=a 8 C ． D ．a 2+a 2=a 4（a ﹣b ） =a ﹣b考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 解答：解：A 、正确；B 、（a 2）3=a 6，选项错误；C 、（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2，选项错误；D 、a 2+a 2=2a 2，选项错误． 故选 A ．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．人数 1 2 5 3 1则该校篮球队12 名同学身高的众数是（单位：cm）（）A．192 B．188 C．186 D．180考点：众数分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格信息即可得出答案．解答：解：身高188 的人数最多，故该校篮球队12 名同学身高的众数是188cm．故选B．点评：本题考查了众数的知识，掌握众数的定义是解题的关键．7．（3 分）（2013•长沙）下列各图中，∠1 大于∠2 的是（）A．B．C．D．考点：等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；平行公理及推论；平行线的性质．分析：根据等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、∵AB=AC，∴∠1=∠2，故本选项错误；B、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；C、根据对顶角相等，∠1=∠3，∵a∥b，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，故本选项错误；D、根据三角形的外角性质，∠1＞∠2，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质，熟记各性质是解题的关键．8．（3 分）（2013•长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形考点：多边形内角与外角．分析：设多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理即可求解．解答：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=360，解得n=4．故选A．点评：本题考查了多边形的内角和定理的计算公式，理解公式是关键．9．（3 分）（2013•长沙）在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）A．B．C．D．考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．分析：根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可．解答：解：A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；B、利用了轴对称，故本选项错误；C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项错误；D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了轴对称及旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及旋转对称的定义．10．（3 分）（2013•长沙）二次函数y=ax2+bx+c 的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（）D．a+b+c＞0A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线的开口向上得出a＞0，根据抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得出c ＞0，根据抛物线与x 轴有两个交点得出b2﹣4ac＞0，把x=1 代入抛物线的解析式得出y=a+b+c＜0，根据以上内容判断即可．解答：解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，正确，故本选项错误；B、∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c＞0，正确，故本选项错误；C、∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确，故本选项错误；﹣﹣ D 、把 x=1 代入抛物线的解析式得：y=a+b+c ＜0，错误，故本选项正确； 故选 D ．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和运用能力．二、填空题(本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）（2013•长沙）计算： = ．考点：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 解答：解：原式=2 = ．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．12．（3 分）（2013•长沙）分解因式：x 2+2x+1= （x+1）2 ．考点：因式分解-运用公式法．分析：本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的 2 倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解． 解答：解：x 2+2x+1=（x+1）2．点评：本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；（3）另一项为这两个数（整式）的积的 2 倍（或积的 2 倍的相反数）． 13．（3 分）（2013•长沙）已知∠A=67°，则∠A 的余角等于 23 度． 考点：余角和补角分析：根据互余两角之和为 90°即可求解． 解答：解：∵∠A=67°，∴∠A 的余角=90°﹣67°=23°．故答案为：23．点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为 90°是解题关键．14．（3 分）（2013•长沙）方程的解为 x= 1．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：最简公分母为（x+1）x ，方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果要检验．解答：解：方程两边都乘（x+1）x，得2x=x+1，解得x=1，检验：当x=1 时，（x+1）x≠0．∴原方程的解是x=1．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程需代入最简公分母验根．15．（3 分）（2013•长沙）如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE⊥BA 于点E，PE=4cm，则点P 到边BC 的距离为 4 cm．考点：角平分线的性质．分析：BD 是∠ABC 的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P 到BC 的距离．解答：解：∵BD 是∠ABC 的平分线，PE⊥AB 于点E，PE=4cm，∴点P 到BC 的距离=PE=4cm．故答案为4．点评：本题考查了角平分线的性质．由已知能够注意到P 到BC 的距离即为PE 长是解决的关键．16．（3 分）（2013•长沙）如图，在△ABC 中，点D，点E 分别是边AB，AC 的中点，则△ADE 和△ABC 的周长之比等于1：2 ．考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：D、E 分别是AB、AC 边的中点，则DE 是△ABC 的中位线；根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因而中位线分三角形得到的小三角形与原三角形一定相似，且相似是1：2，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．解答：解：∵点D，点E 分别是边AB，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，且DE：BC=1：2，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE 与△ABC 的周长比为1：2．故答案为1：2．点评：本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定与性质，难度中等．17．（3 分）（2013•长沙）在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2 个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是10 ．考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解答：解：由题意可得，=0.2，解得，n=10．故估计n 大约有10个．故答案为：10．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．18．（3 分）（2013•长沙）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD 交BC 于点E，若AD=2，BC=5，则边CD 的长是 3 ．考点：梯形；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．分析：先判定四边形AECD 是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AD=EC，再求出BE 的长度，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠AEB=∠C，再根据三角形的内角和定理求出∠BAE=50°，从而得到∠B=∠BAE，再根据等角对等边得到AE=BE，从而得解．解答：解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD 是平行四边形，∴AD=EC=2，CD=AE，∵AD=2，BC=5，∴BE=BC﹣EC=5﹣2=3，∵AE∥CD，∠C=80°，∴∠AEB=∠C=80°，在△ABE 中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=180°﹣50°﹣80°=50°，∴∠B=∠BAE，∴AE=BE=3，∴CD=3．故答案为：3．点评：本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，根据度数确定出相等的角，从而得到相等的边是解答本题的关键．三、解答题本题共2 小题，每小题6 分，共12 分）19．（6 分）（2013•长沙）计算：．考点：实数的运算；零指数幂．分析：分别进行绝对值、平方及零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．解答：解：原式=3+4﹣1=6．点评：本题考查了实数的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．20．（6 分）（2013•长沙）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解答：解：由①得，x≤1；由②得，x＞﹣2，故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示为：点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）21．（8 分）（2013•长沙）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013 年1 月份至4 月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了100 天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式．分析：（1）根据良的天数是70 天，占70%，即可求得统计的总天数；（2）利用360 度乘以对应的百分比即可求解；（3）利用概率公式即可求解．解答：解：（1）70÷70%=100（天），故答案是：100；（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%=72°；（3）班级的40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8 分）（2013•长沙）如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．考点：切线的判定；扇形面积的计算分析：（1）求出∠ADB 的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；（2）分别求出等边三角形 DOB 面积和扇形 DOB 面积，即可求出答案． 解答：（1）证明：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°， ∵∠DBC=∠BAC ， ∴∠DBC+∠ABD=90°， ∴AB ⊥BC ， ∵AB 为直径， ∴BC 是⊙O 切线；（2）解：连接 OD ，过 O 作 OM ⊥BD 于 M ， ∵∠BAC=30°，∴∠BOD=2∠A=60°， ∵OB=OD ，∴△OBD 是等边三角形， ∴OB=BD=OD=2， ∴BM=DM=1， 由勾股定理得：OM=，∴阴影部分的面积 S=S 扇形 DOB ﹣S △DOB =×2×= π﹣．点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD+⊕DBC=90°和分别求出扇形 DOB 和三角形 DOB 的面积．五、解答题（本题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 23．（9 分）（2013•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁 1、2 号线．已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元．（1） 求 1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2） 除 1、2 号线外，长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网．据预算，这 91.8 千米地铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍，则还需投资多少亿元？考点：二元一次方程组的应用分析：（1）假设 1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是 x 亿元，y 亿元，根据“修建地铁 1号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线的平均造价多 0.5 亿元”分别得出等式求出即可；﹣（2）根据（1）中所求得出建91.8 千米的地铁线网，每千米的造价，进而求出即可．解答：解：（1）设1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是x 亿元，y 亿元，由题意得出：，解得：，答：1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是6 亿元和 5.5 亿元；（2）由（1）得出：91.8×6×1.2=660.96（亿元），答：还需投资660.96 亿元．点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．24．（9 分）（2013•长沙）如图，在▱ABCD 中，M、N 分别是AD，BC 的中点，∠AND=90°，连接CM 交DN 于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C 作CE⊥MN 于点E，交DN 于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN 的长．考点：平行四边形的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N 分别是AD，BC 的中点，即可利用SAS 证得△ABN≌△CDM；（2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性质求解即可求得答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N 分别是AD，BC 的中点，∴BN=DM，∵在△ABN 和△CDM 中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵M 是AD 的中点，∠AND=90°，∴MN=MD= AD，∴∠1=∠MND，∵AD∥BC，∴∠1=∠CND，∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC，∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∴∠2=∠PNE=30°，∵PE=1，∴PN=2PE=2，∴CE=PC+PE=3，∴CN==2 ，∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM 是等边三角形，∵△ABN≌△CDM，∴AN=CM=2 ．点评：此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．六、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分）25．（10 分）（2013•长沙）设a、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y=x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b 的值．考点：二次函数综合题；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：（1）根据反比例函数y= 的单调区间进行判断；，解得] （2） 根据新定义运算法则列出关于系数 k 、b 的方程组或，通过解该方程组即可求得系数 k 、b 的值；（3） y=x 2﹣x ﹣=（x ﹣2）2﹣，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当 x ＜2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x ＞2 时，y 随 x 的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数 a 、b 的方程组 或 ，通过解方程组即可求得 a 、b 的值． 解答：解：（1）反比例函数 y= 是闭区间[1，2013 上的“闭函数”．理由如下：反比例函数 y=在第一象限，y 随 x 的增大而减小，当 x=1 时，y=2013；当 x=2013 时，y=1，所以，当 1≤x ≤2013 时，有 1≤y ≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数 y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k ＞0 或 k ＜0．①当 k ＞0 时，一次函数 y=kx+b （k ≠0）的图象是 y 随 x 的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，．∴此函数的解析式是 y=x ；②当 k ＜0 时，一次函数 y=kx+b （k ≠0）的图象是 y 随 x 的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，．∴此函数的解析式是 y=﹣x+m+n ；（3）∵y=x 2﹣x ﹣=（x ﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣ ，且当 x ＜2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x ＞2 时，y 随 x 的增大而增大；，解得，解得，∵ ＜0，①当 b ≤2 时，此二次函数 y 随 x 的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或 ；②当 a ＜2＜b 时，此时二次函数 y=x 2﹣ x ﹣ 的最小值是﹣=a ，根据“闭函数”的定义知，b=a 2﹣a ﹣、b=b 2﹣b ﹣； a ）当 b=a 2﹣a ﹣时，由于 b=（﹣）2﹣×（﹣）﹣=＜2，不合题意，舍去；b ）当 b=b 2﹣b ﹣时，解得 b=，由于 b ＞2， 所以 b=；③当 a ≥0 时，此二次函数 y 随 x 的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，∴舍去．综上所述，或 ．点评：本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论” 数学思想的应用．26．（10 分）（2013•长沙）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2 与x 轴，y 轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB 相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON 的面积为定值2．（1）求∠OAB 的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE，EF，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF 的面积为S2．试探究：S1+S2 是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题分析：（1）当x=0 或y=0 时分别可以求出y 的值和x 的值就可以求出OA 与OB 的值，从而就可以得出结论；（2）根据平行线的性质可以得出，，就可以得出．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论；（3）先根据E、F 的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF 为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+2，∴当x=0 时，y=2，B（0，2），当y=0 时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．∵∠AOB=90°∴∠OAB=45°；（2）∵四边形OAPN 是矩形，∴PM∥ON，NP∥OM，∴，，∴BE=OM，AF= ON，∴BE•AF= OM•ON=2OM•ON．∵矩形PMON 的面积为2，∴OM•ON=2∴BE•AF=4．∵OA=OB=2，∴OA•OB=4，∴BE•AF=OA•OB，即．∵∠OAF=∠EBO=45°，∴△AOF∽△BEO；（3）∵四边形OAPN 是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，∴△AME、△BNF、△PEF 为等腰直角三角形．∵E 点的横坐标为a，E（a，2﹣a），∴AM=EM=2﹣a，∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8．∵F 的纵坐标为b，F（2﹣b，b）∴BN=FN=2﹣b，∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8．∴PF=PE=a+b﹣2，∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8．∵ab=2，∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16∴EF2=AE2+BF2．∴线段AE、EF、BF 组成的三角形为直角三角形，且EF 为斜边，则此三角形的外接圆的面积为S1=EF2=•2（a+b﹣2）2=（a+b﹣2）2．∵S 梯形OMPF= （PF+ON）•PM，S△PEF= PF•PE，S△OME= OM•EM，﹣∴S 2=S 梯形 OMPF ﹣S △PEF ﹣S △OME ，=（PF+ON ）•PM ﹣PF •PE ﹣OM •EM ， =[PF （PM ﹣PE ）+OM （PM ﹣EM ）]， =（PF •EM+OM •PE ）， =PE （EM+OM ）， =（a+b ﹣2）（2﹣a+a ）， =a+b ﹣2． ∴S 1+S 2=（a+b ﹣2）2+a+b ﹣2．设 m=a+b ﹣2，则 S 1+S 2=m 2+m=（m+）2﹣，∵面积不可能为负数， ∴当 m ＞﹣时，S 1+S 2 随 m 的增大而增大．当 m 最小时，S 1+S 2 最小． ∵m=a+b ﹣2=a+ ﹣2=（ ）2+2﹣2，∴当= ，即 a=b=时，m 最小，最小值为 2﹣2∴S 1+S 2 的最小值=（2 ﹣2）2+2﹣2，=2（3﹣2）π+2﹣2．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，梯形的面积公式的运用，圆的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用二次函数的顶点式的运用，在解答时运用二次函数的顶点式求最值是关键和难点．。