高中文科数学二轮复习资料
高中文科数学二轮复习资料,补习复习资料(含解析)：108高考冲刺：填空题的解题策略
高考冲刺：怎样解填空题【高考展望】数学填空题与选择题同属客观性试题，是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题。
它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量（计算）型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等。
近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。
在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。
为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
【方法点拨】在解决填空题时，时常用到以下几种方法：一：直接法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法。
它是解填空题的最基本、最常用的方法。
使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
二：特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。
这样可大大地简化推理、论证的过程。
三：数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果。
高三文科数学第二轮复习总结资料(立体几何)
高三文科数学第二轮复习资料——《立体几何》专题一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：二、练习题：1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交、异面都有可能2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ．V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 323．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 线A C 1上的点，若aPQ =2，则三棱锥P BDQ -的体积为A3 B3 C3D ．不确定5．圆台的轴截面面积是Q ，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 12Q B 23Q C 2πQ D 23πQ6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，O 为AC 与BD 的交点（如图），求证： （1）EG ∥平面BB 1D 1D ； （2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ； （3）A 1O ⊥平面BDF ； （4）平面BDF ⊥平面AA 1C ．7．如图，斜三棱柱ABC —A ’B ’C ’中，底面是边长为a 的正三角形， 侧棱长为 b ，侧棱AA ’与底面相邻两边AB 、AC 都成450角，求 此三棱柱的侧面积和体积．DD 1B 110． 如图10，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=a ， AA 1=2a ，M 、N 分别是BB 1、DD 1的中点． （1）求证：平面A 1MC 1⊥平面B 1NC 1；（2）若在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为V ， 三棱锥M-A 1B 1C 1的体积为V 1，求V 1：V 的值．11．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC AB ⊥，E 是A 1C 的中点，ED A C ⊥1且交AC 于D ，A A AB BC 122==(如图11) ． （I ）证明：B C 11//平面A BC 1； （II ）证明：A C 1⊥平面EDB ．图11DE A 1C BAC 1B 1 A NBCD A 1 B 1C 1D 1图 10M参考答案1．D 2．B 3．D 4．A 5．D6．解析：（1）欲证EG ∥平面BB 1D 1D ，须在平面BB 1D 1D 内找一条与EG 平行的直线，构造辅助平面BEGO ’及辅助直线BO ’，显然BO ’即是． （2）按线线平行⇒线面平行⇒面面平行的思路， 在平面B 1D 1H 内寻找B 1D 1和O ’H 两条关键的相交直线， 转化为证明：B 1D 1∥平面BDF ，O ’H ∥平面BDF ．（3）为证A 1O ⊥平面BDF ，由三垂线定理，易得BD ⊥A 1O ， 再寻A 1O 垂直于平面BDF 内的另一条直线．猜想A 1O ⊥OF ．借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A 1O 2+OF 2=A 1F 2⇒A 1O ⊥OF ．（4）∵ CC 1⊥平面AC ，∴ CC 1⊥BD又BD ⊥AC ，∴ BD ⊥平面AA 1C又BD ⊂平面BDF ，∴ 平面BDF ⊥平面AA 1C7．解析：在侧面AB ’内作BD ⊥AA ’于D ，连结CD ．∵ AC=AB ，AD=AD ，∠DAB=∠DAC=450∴ △DAB ≌△DAC∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD ∴ BD ⊥AA ’，CD ⊥AA ’∴ △DBC 是斜三棱柱的直截面 在Rt △ADB 中，BD=AB ·sin450=a 22 ∴ △DBC 的周长=BD+CD+BC=(2+1)a ，△DBC 的面积=4a 2∴ S 侧=b(BD+DC+BC)=(2+1)ab ∴ V=DBC S ∆·AA ’=4ba 210．解：（1）取CC 1的中点P ，联结MP 、NP 、D 1P(图18)， 则A 1MPD 1为平行四边形 ∴ D 1P ∥A 1M ，∵A 1B 1C 1D 1是边长 为a 的正方形，又C 1P=a ，∴C 1PND 1也是正方形，∴C 1N ⊥D 1P ．∴C 1N ⊥A 1M ． 又 C 1B 1⊥A 1M ，∴ A 1M ⊥平面B 1NC 1，又A 1M ⊂平面A 1MC 1，AND A 1 B 1C 1D 1M∴平面A 1MC 1⊥平面B 1NC 1； （2）V=32a ，V M-A 1B 1C 1=V C-MA 1B 1=23111326a a a ⋅=，∴ V 1：V =11211．证明：（I ）证： 三棱柱ABC A B C -111中B C BC 11//，又BC ⊂平面A BC 1，且B C 11⊂/平面A BC 1，∴B C 11//平面A BC 1（II ）证： 三棱柱ABC A B C -111中A A AB 1⊥，∴Rt A AB ∆1中，AB A B =221，∴=∴BC A B A BC 11，∆是等腰三角形． E 是等腰∆A BC 1底边A C 1的中点，∴⊥A C BE1①又依条件知 A C ED1⊥② 且ED BE E=③由①，②，③得A C 1⊥平面EDB ．图11DE A 1C BAC 1 B 1。
高考文科数学二轮复习 1-2-3
课 时 作 业
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂
第4页
二轮专题复习·课标版·数学（文） 课 时 作 业
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂
第5页
二轮专题复习·课标版·数学（文） 课 时 作 业
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
课
名 边形的一些定理．因此，在求向量时要尽可能转化到平行四边形
师
时 作 业
微 或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向
课
堂 量，运用向量加、减法运算及实数与向量相乘来求解，即充分利
用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形的加法法
第7页
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
重
难 点
因为 a 与 b 的夹角为 0 时，a·b>0；两个非零向量 a 与 b 的夹角
透
析 为钝角，则 a·b<0；反之也不成立，因为 a 与 b 的夹角为 π 时，a·b<0. 课
时
名 师
作 业
微
课
堂
第23页
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a
透
析
C．B、C、D D．A、C、D
课
时
名 师
作 业
微
课
堂
第20页
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
高三文科数学第二轮复习
课本基础知识回归复习及针对性训练
关注学生数学思想、数学方法的形成
具体操作方法：配方、消元、换元、特值、待定系数
推理方法：综合法、分析法、反证法、类比法、解析法、归纳法
宏观策略性思想方法：函数与方程、数形结合、分类与整合、转化与化归
第二轮复习以专题和数学思想方法为主
知识专题一三角函数与平面向量
知识专题二概率、算法、统计
知识专题三数列与不等式
知识专题四立体几何
知识专题五函数与导数
知识专题六解析几何
知识专题七极坐标与参数方程
知பைடு நூலகம்专题八不等式选讲
思想方法专题一分类讨论思想
思想方法专题二数形结合思想
思想方法专题三函数与方程思想
思想方法专题四转化与化归
高三文科数学第二轮复习资料
高三文科数学第二轮复习资料——《函数与导数》专题1．设 f ( x) 是定义在 ( , ) 上的函数，对一切 x R 均有 f (x)f ( x 3) 01 x 1 时，，且当f ( x) 2x 3，求当 2x 4 时， f (x) 的解析式．2. 已知定义域为R 的函数 f ( x)2xb是奇函数．（Ⅰ）求 a,b 的值；（Ⅱ）若对任意的 tR ，不等式2x 1af (t 2 2t) f (2t 2 k ) 0 恒成立，求 k 的取值范围 .3．集合 A 是由适合以下性质的函数f(x) 组成的：对于任意的 x ≥0， f(x)∈ (1,4] ，且 f(x)在[0 ，+∞)上是减函数 .（ 1）判断函数 f 1 (x)=2-x 及 f 2 (x)=1+3 ·( 1)x (x ≥ 0) 是否在集合 A 中？若不在集合 A 中，试说明2理由；（ 2）对于（ 1）中你认为是集合 A 中的函数 f(x) ，不等式 f(x)+f(x+2)≤ k 对于任意的 x ≥ 0 总成立 .求实数 k 的取值范围 .4. 对于函数 f ( x)ax 2 (b 1)x b 2 (a 0) ，若存在实数 x 0 ，使 f (x 0 )x 0 成立，则称 x 0 为 f ( x)的不动点．（ 1）当 a 2, b2 时，求 f ( x) 的不动点；（ 2）若对于任何实数b ，函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（ 3 ）在 (2) 的条件下，若yf ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是函数f ( x) 的不动点，且直线1是线段 AB 的垂直平分线，求实数 b 的取值范围．y kx2a 2 15. 已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx 2+c 的图像都过 P （ 2，0），且在点 P 处有相同的切线 .（ 1）求实数 a 、 b 、c 的值； （ 2）设函数 F(x)=f(x)+g(x)，求 F(x) 的单调区间 .6．设 x=1 与 x=2 是函数 f(x) = a lnx + bx2+ x 的两个极值点．（Ⅰ）试确定常数 a 和 b 的值；（Ⅱ）试判断 x=1， x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.7.2005 年 10 月 12 日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步 . 已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x 之和 . 在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：y k[ln( m x) ln( 2m)] 4ln 2(其中 k 0) .当燃料重量为( e1) m吨（e为自然对数的底数，e 2.72 ）时，该火箭的最大速度为4（ km/s） .（Ⅰ）求火箭的最大速度y(km / s) 与燃料重量x 吨之间的函数关系式y f ( x) ；（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是 544 吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？8．某工厂统计资料显示，产品次品率与日产量x（件）（x N且1x89 ）的关系符合如下规律：x1234,892121,29949974811又知每生产一件正品盈利元，每生产一件次品损失元(a0).2（Ⅰ）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取 3 1.7 计算）．9.某厂家拟在2006 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用 m万元（ m≥ 0）满足x3k（ k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能m1是 1 万件 . 已知 2006 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产 1 万件该产品需要投入16 万元，厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（ 1）将 2006 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m万元的函数；（ 2）该厂家2006 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40 元，出厂单价定为60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02 元，但实际出厂单价不能低于51 元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51 元？（Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P f ( x) 的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）11. 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数 f （x）、g（ x），当甲公司投入 x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于 f （ x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．（Ⅰ）试解释 f (0)10, g(0)20 的实际意义；1x 10, g( x)x 20 ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均（Ⅱ）设 f ( x)4无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？12. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10 万元 / 辆，出厂价为 13 万元 / 辆，年销售量为、5000 辆 . 本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 x（0＜ x＜ 1) ，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加 . 已知年利润 =（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？（Ⅱ）年销售量关于x 的函数为y3240( x 22x 5) ，则当x为何值时，本年度的年利润最大？3最大利润为多少？参考答案1. 解：由f ( x) f ( x3)0 有 f (x3) f ( x) ，当 1x1时， f (x3) f ( x)2x 3 .设 x3t ，则由1x 1 得 2t 4 ，又 x t3，于是 f (t)2(t 3) 32t9 ，故当 2 x 4 时， f (x)2x9 ．2. 解：（Ⅰ）因为 f ( x) 是奇函数，所以 f (0) =0，即b10 b 1 f (x)12x a2a2x 11211又由 f （ 1）= -f（-1）知2 a 2.a4a1（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x)12x11，易知 f (x) 在 (,) 上为减函数．22x 122x1又因 f (x) 是奇函数，从而有不等式： f (t 22t ) f (2t2k )0等价于 f (t 22t ) f (2t 2k) f (k2t 2 ) ，因 f (x) 为减函数，由上式推得：t 22t k2t 2．即对一切 t R 有： 3t22t k0，从而判别式412k0 k 1 .3３ . 解 : （ 1）∵ f( 49)=2-49=-5(1,4] ，∴ f( ) 不在集合A中．11x又∵ x≥ 0,∴0＜(1) x≤1，∴0＜3·(1)x≤3，从而1＜1+3·(1)x≤4．∴f2 (x) ∈ (1,4] ．222又 f2 (x)=1+3 · (1) x在[0，+∞ ) 上为减函数，∴ f2 (x)=1+3 · (1)x在集合 A 中 . 215 ·( 1)x≤ 23 ．2（ 2）当 x≥ 0 时， f(x)+f(x+2)=2+424又由已知 f(x)+f(x+2)≤ k 对于任意的 x≥0总成立 ,∴ k≥23．23,+∞)．4因此所求实数k 的取值范围是 [4４ . 解： f ( x) ax2(b1)x b2( a0) ，（ 1）当a2, b 2 时， f (x)2x2x4 ．设 x 为其不动点，即2x2x4x ，则 2x22x 40．所以 x1,x22 ，即 f (x)的不动点是1,2 .1（ 2）由 f ( x)x 得 ax 2 bx b 2 0 .由已知，此方程有相异二实根，所以ab 2 4a(b 2) 0，即 b 2 4ab8a 0 对任意 b R 恒成立．b0, 16a 2 32a0 ， 0 a2 ．（ 3）设 A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) ，直线 ykx1 是线段 AB 的垂直平分线，k1．2a 21记 AB 的中点 M ( x 0 , x 0 ) ，由 (2) 知 x 0b．2ab f ( x) xax 2 bx b 2 0, x 1x 2a M 在 ykx1上，b b 12a 22a2a2a 211化简得： ba11112，当 a2 时，等号成立．2a 2 2a2 2a 142aa即 b2, b2 ,445. 解：（ 1）∵ f(x),g(x) 的图像过 P （2， 0）∴ f(2)=0 即 2× 23+a × 2=0，所以 g(2)=0 即： 4×b+c=0又∵ f(x) ， g(x) 在 P 处有相同的切线，∴ 4b=16， b=4， c=－ 16，a=－ 8．∴ a=－18， b=4， c=－ 16．（ 2）由 F(x)=2x 3+4x 2－ 8x － 16，有 F ′(x)=6x 2+8x － 8解不等式 F ′ (x)=6x 2+8x － 8≥ 0 得 x ≤－ 2 或 x ≥ 2 即单调增区间为 ( , 2],[2, ) ．33同理，由 F ′ (x) ≤0 得－ 2≤ x ≤2，即单调减区间为[－2， 2]．336. 解：（Ⅰ） f ′ (x)= a+2bx+1，由极值点的必要条件可知： f ′ (1)=f′(2)=0, 即 a+2b+1=0, 且 a+4b+1=0,x2解方程组可得 a=－2,b= － 1, ∴ f(x)= － 2lnx － 1x 2+x ．36 3 6（Ⅱ） f ′ (x)= － 2x -1－ 1x+1,3 3当 x ∈(0,1) 时， f ′ (x) ＜ 0,当 x ∈(1,2) 时， f ′ (x) ＞ 0,当 x ∈(2,+ ∞ ) 时， f ′ (x) ＜ 0,故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值5, 在 x=2 处函数取得极大值4－ 2ln2.63 37. 解：（Ⅰ）依题意把x( e1) m, y 4 代入函数关系式y k[ln( m x)ln(2m)] 4 ln 2,解得 k8.所以所求的函数关系式为y 8[ln( m x)ln(2m)] 4 ln 2, 整理得y ln(m x)8.m（Ⅱ）设应装载 x 吨燃料方能满足题意，此时，m544x, y 8 ，代入函数关系式y ln( m x)8 ,得 ln544x1,解得 x 344(t).m544即应装载344 吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.8. 解 : （Ⅰ）由与 x 的对应规律得次品率为2(1x89, x N ) 100x故日产量 x 件中，次品数为x 件，正品数为 (x x) 件．则日盈利额 T a( x3x)(1x89, x N )．100x（Ⅱ） T a(x3x)a[103 (100x300)]( x N且1x 89) 100 x100 x（注：此步可由换元法令 100 x t 得到）100x300203x100300当且仅当 100x时取等号．100x由 100x300x ,得 x10010 3 83,100当 x83时， 100x300取得最小值，100x又0 ，当x83时,T取得最大值，因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83 件．9. 解（ 1）由题意可知当m 0 时， x 1 （万件）1 3 k即 k 2,x32 m 1每件产品的销售价格为 1.5816 x（元）x2006年的利润 y x[1.5816x] (8 16x m)2 )x4 8x m 48(3m ,n1[16 (m 1)] 29(m 0)m 1（ 2） m0时,16(m 1) 2 16 8,m1y8 2921, 当且仅当 16m 1m 3 （万元）时，ymax21 （万元）m1所以该厂家 2006 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大值为 21万元 .10. 解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51 元时，一次订购量为 x o 个，则 x o100 60 51550.0.02因此，当一次订购量为550 个时，每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元.（ 2）当 0 x100时, P 60;当 100x 550时, P 600.02(x 100)62x ;50当 x 550时, P 51.60,(0 x 100),所以 Pf (x)62x,(100 x 550), (x N ) 5051,( x 550),（ 3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则20x,(0 x 100),L (P40) x22xx 2 ,(100x 550), ( x N )5011x, (x 550),由于当 0 x100时, L2000； 当x550时, L6050.所以， 100x550,此时 L22 x x 2 .50由 22x x 26000解得 x500 ．50 100 x 500.因此，当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得利润 6000 元 .11. 解：（ I ）f （ 0）=10 表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入 10 万元宣传费； g （ 0）=20 表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入 20 万元宣传费． （Ⅱ）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当yf (x) 1 x 10 (1)4 成立，双方均无失败的风险． xg( y)y 20 (2)由（ 1）（ 2）得 y1 (y 20) 104 yy60 0( y4)(4 y15) 04 4 y 15 0y4y 16, xy 20 4 20 24xmin24ymin16答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24 万元，乙公司至少要投入 16 万元．12. 解：（I ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（ 1+x ）；出厂价为13×（ 1+0.7x ）； 年销售量为 5000×（ 1+0.4x ） . 因此本年度的利润为y [13(1 0.7 x) 10 (1 x)]5000 (1 0.4x)(3 0.9x) 5000(1 0.4 x)1800x 2 1500x 15000(0 x 1)（Ⅱ）本年度的利润为f ( x)(3 0.9x) 3240 ( x 22x5) 3240 (0.9x 3 4.8x 24.5x5)3则 f ' (x)3240 ( 2.7 x 2 9.6 x 4.5)972(9x 5)( x 3),由 f ' (x) 0,解得 x5或x3,9当 x5)' ( x )0, f ( ) 是增函数；(0,时， fx5 9当 x,1) '( ) 0, f ( x ) 是减函数 .(时， fx9∴当 x5 时， f ( x)取极大值 f ( 5)20000 万元，9 9因为 f （ x ）在（ 0， 1）上只有一个极大值，所以它是最大值．即当 x5 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000 万元．9。
高中总复习二轮文科数学精品课件 专题6 直线、圆、圆锥曲线 6.3 直线与圆锥曲线
=
由
=
1
- 2 + 3,
4+3 2
即(*)式成立.
所以直线HN过点(0,-2).
综上所述,直线HN恒过定点(0,-2).
-48-96
+
4+3 2
−
-24
=0=右边,
2
4+3
题后反思 1.求解定值和定点问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的
一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程
的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的
4
2
2
2
= 3,
= + ,
(2)依题意,直线 BC 的方程为 y-1=k(x+2)(k≠0),
-1 = ( + 2),
联立直线 BC 和椭圆 E 的方程,得 2
消去 y,
2
+ = 1,
4
整理得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,
由Δ>0可得(16k2+8k)2-4(1+4k2)(16k2+16k)>0,解得k<0.
2 6
3
+ 2 x-2,
所以直线HN过点(0,-2).
当过点P的直线MN的斜率存在时,
设直线MN的方程为y+2=k(x-1),点M(x1,y1),N(x2,y2).
+ 2 = (-1),
由 2 2
消去 y,得(4+3k2)x2-6k(k+2)x+3k(k+4)=0,
高中文科数学全国卷二轮复习资料,补习复习资料(含解析)：95【基础】高考冲刺：不等式
高考冲刺：不等式【高考展望】1.在选择题填空题中常考查比较大小，解不等式等，并且时常与函数、方程、三角等知识结合出题.2.在选择题与填空题中，需建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值的应用题.3.时常与函数、方程、数列、应用题、解几等知识综合，突出渗透数学思想和方法的考查.4.均值定理单独考查的可能性比较小，更多的是在考查相关知识时辅助考查.5.不等式证明中的综合法、比较法、分析法等重要证明方法的灵活运用.6.在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题，特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。
6.绝对值不等式、柯西不等式在不等式证明中的应用. 【知识升华】【高清课堂：不等式368991 知识要点】1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高分析问题、解决问题的能力以及计算能力． 2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力．5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．7.了解绝对值不等式、柯西不等式的几种不同形式，并会应用. 【典型例题】 类型一、解不等式【高清课堂：不等式368991 例2】例1.解关于x 的不等式22(1)20()kx k x k k R --++>∈【思路分析】这是一个二次型不等式，需要先从讨论k 是否等于0开始. 【解析】当0k =时，原不等式即220x +>，解得1x >-0k ≠时，4(14)k ∆=-当0∆<时14k >，解原不等式得x R ∈当0∆=时14k =，解原不等式得3x ≠-当00k >⎧⎨∆>⎩时104k <<，解原不等式得1k x k --<或1k x k -+>当00k <⎧⎨∆>⎩时0k <，解原不等式得x <综上，当0k <时，不等式解集为{x <当0k =时，不等式解集为{1}x x >-当104k <<时，不等式解集为{x x x <>当14k =时，不等式解集为{3}x x ≠- 当14k >时，不等式解集为x R ∈举一反三：【变式1】设2:200p x x -->，21:0||2x q x -<-，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】由题设可得2:200p x x -->即:5p x >或4x <-； 21:0||2x q x -<-即2x <-或1x -<<1或2x >，选(A)【变式2】记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．【思路分析】本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法.【解析】（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，． 例2（2015 河南模拟）已知函数f （x ）=x2+（lga+2）x+lgb 满足f （﹣1）=﹣2且对于任意x ∈R ，恒有f （x ）≥2x 成立． （1）求实数a ，b 的值； （2）解不等式f （x ）＜x+5．【解析】（1）由f （﹣1）=﹣2知，lgb ﹣lga+1=0①，所以②． 又f （x ）≥2x 恒成立，f （x ）﹣2x≥0恒成立， 则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立， 故△=（lga ）2﹣4lgb≤0， 将①式代入上式得：（lgb ）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb ﹣1）2≤0， 故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；（2）由（1）知f （x ）=x2+4x+1，f （x ）＜x+5， 即x2+4x+1＜x+5， 所以x2+3x ﹣4＜0， 解得﹣4＜x ＜1，因此不等式的解集为{x|﹣4＜x ＜1}． 【总结升华】①在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据: ax2+bx+c>0对任何x ∈R 恒成立⇔a>0且Δ=b2-4ac<0； ax2+bx+c<0对任何x ∈R 恒成立⇔a<0且Δ=b2-4ac<0。
高中文科数学全国卷二轮复习资料,补习复习资料(含解析)：85【基础】高考冲刺：函数
高考冲刺：函数【高考展望】函数知识是高中数学的重要内容之一，也是每年高考必考的重要知识点之一， 分析历年高考函数试题，大致有这样几个特点：1.常常通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象．2.在解答题的考查中，常常与不等式、导数、数列，偶尔也与解析几何等结合命题，以综合题的形式出现．3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查．4.每年高考题中都会涌现出一些函数新题型，但考查的重点仍然是对函数有关知识的深刻理解．【知识升华】1．了解映射的概念，理解函数的概念并能在简单的问题中应用．2．理解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．3.掌握基本初等函数的图像，掌握某些简单函数的图像变换. 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质． 5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【典型例题】类型一：函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1．函数y =( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 【思路点拨】此为复合函数的定义域求解，对数、根式等不能漏【解析】由24.log 20x x x >⎧⇒≥⎨-≥⎩，故选D.举一反三：【变式1】函数2()f x =的定义域为 ．【答案】[3,)+∞ 【解析】由210x --≥且10x ->且11x -≠得3x ≥例2．若函数f （x ）=loga （x+1）（a ＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a 等于A. 31B. 2C.22D.2【思路点拨】因为底数不确定，需要讨论.【解析】f （x ）=loga （x+1）的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2. 当a ＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；当0＜a ＜1时，loga2≤lo ga （x+1）≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾. 综上，a=2. 【答案】D 举一反三： 【变式1】函数y 的定义域为（ ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤【答案】C. 【解析】由()10x x -≥且0x ≥得1x ≥或0x =.类型二：复合函数问题复合函数问题属于偏难些的内容.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例3．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3 【思路点拨】对于复合函数的很多问题都是可以通过换元法来解决的. 【答案】B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t =+∈ 举一反三：【变式1】函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.【答案】15-【解析】由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.例4.已知132(0)()(01)log (1)xx f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩ 求((()))f f f a 。
高中文科数学全国卷二轮复习资料,补习复习资料(含解析)：104高考冲刺：数形结合的思想
高考冲刺数形结合的思想【高考展望】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测今后可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图象、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
【知识升华】纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
高三文科数学二轮复习考前冲刺三拉分大题巧得分数列
1 2
n2＋kn(其中k
∈N＋)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列9－22n an的前n项和Tn.
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航 第二部分 专题一 第三讲 第4课时
系列丛书
【解】 (1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－12n2＋kn取最大值， 即8＝Sk＝－12k2＋k2＝12k2， 故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝92－n(n≥2)． 又a1＝S1＝72，所以an＝92－n.
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航 第二部分 专题一 第三讲 第4课时
系列丛书
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， ∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1， 两式相减得an＋1－3an＝2n，则a2n＋n 1－32·2an－n 1＝1，
即a2n＋n 1＋2＝322an－n 1＋2.
系列丛书
第4课时 数列
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航 第二部分 专题一 第三讲 第4课时
系列丛书
题型策略 答题模板
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航 第二部分 专题一 第三讲 第4课时
系列丛书
题型策略
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航 第二部分 专题一 第三讲 第4课时
(2)若{bn}是首项为4，公比为
1 2
的等比数列，前n项和为
Tn，求证：当t>6时，对任意n，m∈N*，Sn<Tm＋t恒成立．
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航 第二部分 专题一 第三讲 第4课时
系列丛书
解：(1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，所以a1＝4， 所以an＝a1＋(n－1)d＝5－n， 从而Sn＝na12＋an＝n9－2 n.
高三文科数学第二轮复习资料
高三文科数学第二轮复习资料——《数列》专题1.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a .（1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n ；（3）若20-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值.2.等差数列}{n a 中，n S 为前n 项和，已知75,7157==S S .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n S b n n =，求数列}{n b 的前n 项和n T .3.已知数列}{n a 满足11=a ，)1(2111>+=--n a a a n n n ，记nn a b 1=. （1）求证:数列}{n b 为等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式.4.在数列{}n a 中，0≠n a ，211=a ，且当2≥n 时，021=⋅+-n n n S S a . （1）求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项n a ；（3）当2≥n 时，设n n a nn b 1--=，求证：n b b b n n n 1)(12)1(2132<+⋅⋅⋅++-<+.5.等差数列}{n a 中，2,841==a a .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；（3）设*)()12(1N n a n b n n ∈-=，*)(21N n b b b T n n ∈+++= ，是否存在最大的整数m 使得对任意*N n ∈，均有32m T n >成立，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.6.已知数列)}1({log 2-n a 为等差数列，且9,331==a a .（1）求}{n a 的通项公式；（2）证明：11...1112312<-++-+-+nn a a a a a a .7.数列{}n a 满足*1129,21(2,)n n a a a n n n N -=-=-≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b n =，则n 为何值时，{}n b 的项取得最小值，最小值为多少？8.已知等差数列}{n a 的公差d 大于0,且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根,数列}{n b 的前n 项和为n T ,且n n b T 211-=.（1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；（2）记n n n b a c =，求证:对一切+∈N n ,有32≤n c .9.数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上.（1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式（2）若数列{}n b 的前n 项和为n B ，比较12111nB B B +++与2的大小； （3）令1212n n nb b b T a a a =+++，是否存在正整数M ，使得n T M <对一切正整数n 都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由.11. 设数列{}n a .}{n b 满足：3,4,6332211======b a b a b a ，且数列}{1n n a a -+*)(N n ∈是等差数列，{b n －2}是等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在*N k ∈，使)21,0(∈-k k b a ．若存在，求出k ；若不存在，说明理由.12. 将等差数列{}n a 的项按如下次序和规则分组，第一组为1a ，第二组为23,a a ，第三组为4567,,,a a a a ，第四组，第n 组共有12n -项组成，并把第n 组的各项之和记作n P (1,2,3,)n =，已知236P =-，40.P =（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若以123,,,,n P P P P 为项构成数列{}n P ，试求{}n P 的前8项之和8A （写出具体数值）.13. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=,1≥n . ⑴写出求数列{}n a 的前3项321,,a a a ； ⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶证明：对任意的整数m >4，有4511178m a a a +++<. 参考答案1．102+=n a n ；11=n ；n T 的最小值为：-20．2.3-=n a n ； 492n n T n -=．3.121-=n a n ．4.)2(2212≥--=n nn a n ．5.⎩⎨⎧>+-≤-=)5(409)5(922n n n n n n S n ； 7=m ．6.12+=n n a ．7. 282+=n a n ；5=n 时，最小为553．8.12-=n a n ，1)31(32-⋅=n n b ．9.3261-⋅=-n n a ；不存在．10.n n a 2=；12-=n b n ；存在3=m ．11.2672+-=n n a n ；2)21(41+=-n n b ；不存在．12.232-=n a n ； 59415．13. （1）2,0,1321===a a a ；（2）])1(2[3212---+=n n n a （3）由已知得：232451113111[]221212(1)m m m a a a -+++=+++-+-- 23111111[]2391533632(1)m m -=++++++-- 11111[1]2351121=+++++ 11111[1]2351020<+++++ 511(1)1452[]12312m --=+-514221[]23552m -=+- 51311131041057()1552151201208m -=-<=<=. 故4511178m a a a +++<( m >4).。
高三数学二轮复习重点内容
高三数学二轮复习重点内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
专题一 第2讲 高考数学(文科)二轮复习讲义
第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．例1 (1)(2019·榆林模拟)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析 因为α，β都是锐角，且cos α＝55<12， 所以π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35，而12<35<22，所以3π4<α＋β<5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255， cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.(3)3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°＝________. 答案 32解析 因为3sin 220°－1cos 220°＝3cos 220°－sin 220°sin 220°cos 220°＝(3cos 20°＋sin 20°)(3cos 20°－sin 20°)14sin 240°＝2cos (20°－30°)2cos (20°＋30°)14sin 240°＝16cos 10°cos 50°sin 240°＝16sin 80°sin 40°＝32sin 40°cos 40°sin 40°＝32cos 40°，所以3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°＝32cos 40°＋64×12(1－cos 40°)＝32.跟踪演练1 (1)(2019·晋中模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α等于( ) A.63 B.223 C.33 D.13答案 D解析 由题意，根据诱导公式可得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α，又由余弦的倍角公式，可得cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝13. (2)(2019·吕梁模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos 2β1－sin 2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β＝(cos β＋sin β)(cos β－sin β)(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β， 又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＝π4＋β，即α－β＝π4.热点二 利用正弦、余弦定理解三角形1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. 3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .例2 (1)(2019·衡阳联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2bc －c b －bc＝3，△ABC 外接圆的半径为3，则a ＝________. 答案 3解析 由题意可得a 2－c 2－b 2bc ＝3，根据余弦定理可知cos A ＝－32， 所以sin A ＝12，根据正弦定理可得asin A ＝6，所以a ＝3.(2)(2019·广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为________． 答案 5＋7解析 因为A ＝π3，a ＝7，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得7＝b 2＋c 2－bc ； 又△ABC 的面积为332，所以12bc sin A ＝332，所以bc ＝6，所以b ＋c ＝(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝5， 所以周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.跟踪演练2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为S ，且a ＝1,4S ＝b 2＋c 2－1，则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2答案 D解析 由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a ＝1， 所以b 2＋c 2－1＝2bc cos A ， 又S ＝12bc sin A ,4S ＝b 2＋c 2－1，所以有4×12bc sin A ＝2bc cos A ，即sin A ＝cos A ，所以A ＝π4，由正弦定理得，1sin π4＝2R ，得R ＝22，所以△ABC 外接圆的面积为π2.(2)(2019·潮州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC 边上的高为a 2，则b2c ＋c2b 的最大值是________． 答案2解析 因为BC 边上的高为a2，所以12×a 2×a ＝12bc sin A ，即a 2＝2bc sin A ，可得b 2c ＋c 2b ＝b 2＋c 22bc ＝a 2＋2bc cos A 2bc＝2bc sin A ＋2bc cos A2bc＝sin A ＋cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤2， 当A ＝π4时，等号成立，故b 2c ＋c2b的最大值是 2. 热点三 正弦、余弦定理的实际应用1．用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等．2．解决三角形应用题的基本思路实际问题――→画图数学问题――――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 3．用正、余弦定理解决问题的一般步骤：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理．例3 (1)某游轮在A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°的方向上，距A 12 6 海里处，灯塔C 在A 的北偏西30°的方向上，距A 8 3 海里处，游轮由A 处向正北方向航行到D 处时再看灯塔B 在南偏东60°的方向上，则此时灯塔C 与游轮的距离为( ) A ．20 海里B ．8 3 海里C ．23 2 海里D ．24 海里答案 B解析 如图所示，在△ABD 中，∠DAB ＝75°，∠ADB ＝60°，∴B ＝180°－75°－60°＝45°， 由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，∴AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24.在△ACD 中，AD ＝24，AC ＝83，∠CAD ＝30°， 由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30° ＝242＋(83)2－2×24×83×32＝192， ∴CD ＝8 3.(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600 m ，在A 处测得∠DAB ＝30°，在B 处测得∠DBA ＝105°，且此时看楼顶D 的仰角∠DBC ＝30°，已知楼底C 和A ，B 在同一水平面上，则此楼高度CD ＝________m ．(精确到1 m)答案 212解析 在△ABD 中，由正弦定理， 得BD sin 30°＝ABsin (180°－105°－30°)，由AB ＝600，得 BD ＝600sin 30°sin 45°＝3002，在Rt △BCD 中，因为∠DBC ＝30°，所以CD ＝12BD ＝1502≈212.跟踪演练3 (1)如图，为了测量两山顶D ，C 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，在A 位置时，观察D 点的俯角为75°，观察C 点的俯角为30°；在B 位置时，观察D 点的俯角为45°，观察C 点的俯角为60°，且AB ＝ 3 km ，则C ，D 之间的距离为________km.答案5解析 在△ABD 中，∵∠BAD ＝75°，∠ABD ＝45°，∴∠ADB ＝60°，由正弦定理可得AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，即3sin60°＝AD sin45°， ∴AD ＝3sin45°sin60°＝ 2 km ，由题意得∠ABC ＝120°，∠BAC ＝∠BCA ＝30°， ∴BC ＝AB ＝ 3 km ，∴AC ＝3 km ，在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠DAC ＝5，即CD ＝ 5 km. (2)如图所示，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421m 的两点A ，B ，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________m.答案 12解析 设CD ＝x ，x >0.∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°， ∴BC ＝x .∵在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°， ∴AC ＝CD tan 60°＝x3. 在△ABC 中，∵∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，∴由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 150°，即(421)2＝13x2＋x2＋2·x3·x·32＝73x2，∴x＝12.∴旗杆CD的高度为12 m.真题体验1．(2016·全国Ⅲ，文，9)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310 B.1010C.55D.31010答案 D解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以sin A ＝31010.2．(2018·全国Ⅱ，理，15)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.3．(2018·全国Ⅰ，文，16)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________． 答案233解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C >0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc >0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.押题预测1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝________. 答案33解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝ 12cos α＋32sin α＋cos α ＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝33. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B ，C 是锐角，且a＝27，cos A ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 72解析 由正弦定理可得b cos C c cos B ＝sin B cos Csin C cos B ，又由余弦的倍角公式可得1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C2cos 2B ，所以sin B sin C ＝cos C cos B ，即sin 2B ＝sin 2C ，所以B ＝C 或B ＋C ＝π2，又cos A ＝13，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以B ＝C ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，整理得2b 2－2b 23＝28， 解得b ＝c ＝21，所以S ＝12bc sin A ＝7 2.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝30°，C ＝45°，c ＝3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC ＝60°，则△PBC 面积的最大值是________． 答案938解析 ∵A ＝30°，C ＝45°，c ＝3， ∴由正弦定理a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c ·sin Asin C ＝3×1222＝322.又∠BPC ＝60°，∴在△PBC 中，令PB ＝m ，PC ＝n ， 由余弦定理可得cos ∠BPC ＝m 2＋n 2－922mn ＝12，∴m 2＋n 2－92＝mn ≥2mn －92(当且仅当m ＝n ＝322时等号成立)，∴mn ≤92，∴S max ＝12mn sin ∠BPC ＝938.A 组 专题通关1．(2019·河南名校联盟联考)已知cos α＝24，则cos(π－2α)等于( ) A ．－328B ．－34C.328D.34答案 D解析 由题意，利用诱导公式求得cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝1－2⎝⎛⎭⎫242＝34. 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33C ．－33D ．－ 3答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2019·吕梁模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 由2cos B ＝ac 及余弦定理得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－b 2ac ＝a c ，整理得c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．4．(2019·黄冈调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且C ＝π4，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A.2<x <1 B.2<x <2 C ．1<x <2 D ．1<x < 2答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ， 即x sin A ＝2sin π4，可得sin A ＝12x ， 由题意得，当A ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4且A ≠π2时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2， 则x 的取值范围是()2，2.5．(2019·甘肃省静宁县第一中学模拟)某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．5 km B ．5 2 km C ．5 3 km D ．10 km答案 C解析 根据题意画出相应的图形，如图所示，其中C 为灯塔，A 为某船开始的位置，B 为船航行15 km 后的位置．由题意可得，在△ABC 中， ∠CAB ＝∠B ＝30°，AB ＝15， ∴∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin C，∴BC ＝AB ·sin ∠CAB sin C ＝15×sin 30°sin 120°＝15×1232＝53，即船与灯塔的距离是5 3 km.6．(2019·韶关调研)已知2cos ()α－βcos β－cos ()α－2β＝24，则1－tan 2α1＋tan 2α等于( )A ．－34B ．－43C.34D.43答案 A解析 2cos ()α－βcos β－cos ()α－2β＝2cos ()α－βcos β－cos ()α－β－β ＝2cos ()α－βcos β－cos ()α－βcos β－sin ()α－βsin β ＝cos ()α－βcos β－sin ()α－βsin β ＝cos ()α－β＋β＝cos α， ∴cos α＝24，sin 2α＝1－cos 2α＝78， ∴tan 2α＝7，从而1－tan 2α1＋tan 2α＝－34.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7答案 D解析 在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ，即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.8．已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 答案 D解析 方法一 由tan 2α有意义，α为锐角可得α≠π4，∵α为锐角，∴tan α>0，∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋3(1－tan 2α)2tan α＝12⎝⎛⎭⎫tan α＋3tan α≥12×2tan α·3tan α＝3，当且仅当tan α＝3tan α，即tan α＝3，α＝π3时等号成立．方法二 ∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＝4sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝12⎝⎛⎭⎫sin αcos α＋3cos αsin α≥12×2sin αcos α·3cos αsin α＝3， 当且仅当sin αcos α＝3cos αsin α，即α＝π3时等号成立．9．已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( ) A ．－43或0B.43或0 C ．－43D.43答案 A解析 因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2， 解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，即tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43.10．(2019·安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( ) ①若a 2＋b 2<c 2，则C >π2；②若ab >c 2，则C >π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若2ab >(a ＋b )c ，则C >π2；⑤若()a 2＋b 2c 2<2a 2b 2，则C <π3.A ．①②③B ．①②⑤C ．①③④D ．①③⑤答案 D 解析对于①，a 2＋b 2<c 2，可以得出cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C >π2，故正确；对于②，ab >c 2⇒cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12，得出C <π3，故错误； 对于③，其逆否命题为“若C ≥π2，则a 3＋b 3≠c 3”．当C ≥π2时，c 2≥a 2＋b 2⇒c 3≥ca 2＋cb 2>a 3＋b 3，即a 3＋b 3≠c 3成立，故正确；对于④，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足2ab >(a ＋b )c ，利用余弦定理得C <π3<π2，故错误；对于⑤，因为2abc 2≤(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以有c 2<ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12，所以C <π3，故正确，所以正确命题的序号是①③⑤.11．(2019·宜昌调研)已知锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23，则△ABC 周长的最大值为( ) A ．4 3 B ．6 3 C ．8 3D ．12 3答案 B解析 ∵锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23， ∴c sin C ＝2R ，即23sin C ＝4，∴sin C ＝32，又C 为锐角， ∴C ＝π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝4，∴a ＝4sin A ，b ＝4sin B ，c ＝23， ∴a ＋b ＋c ＝23＋4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B＝6sin B ＋23cos B ＋23＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋23， ∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，a ＋b ＋c 取得最大值43＋23＝6 3.12．(2019·黄冈调研)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝R 2与函数y ＝2sin x 的图象有唯一交点，且交点的横坐标为α，则4cos 2α2－α－2sin 2α等于( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3 答案 B解析 根据题意，圆C ：x 2＋(y －1)2＝R 2与函数y ＝2sin x 的图象有唯一交点， 则圆C 在交点处的切线与函数y ＝2sin x 在交点处的切线重合； 又由交点的横坐标为α，则交点的坐标为(α，2sin α)， 对于y ＝2sin x ，其导数y ′＝2cos x ，则有y ′|x ＝α＝2cos α，则有2sin α－1α－0＝－12cos α，变形可得α＝2cos α(1－2sin α)＝2cos α－4sin αcos α， 则4cos 2α2－α－2sin 2α＝2⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1－αsin 2α＝2cos α－(2cos α－4sin αcos α)2sin αcos α＝2.13．(2019·黄山质检)cos346°·cos419°＋sin14°·sin121°＝________. 答案22解析 cos346°·cos419°＋sin14°·sin121° ＝cos 14°cos 59°＋sin 14°sin 59°＝cos ()59°－14° ＝cos 45°＝22. 14．(2019·吕梁模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b ＝c ，若m ＝(a 2,2b 2)，n ＝(1，sin A －1)，m ·n ＝0，则∠A 等于________． 答案 π4解析 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为b ＝c ，则a 2＝2b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－cos A )，又由m ·n ＝a 2＋2b 2(sin A －1)＝0， 解得a 2＝2b 2(1－sin A )，所以1－sin A ＝1－cos A ，则tan A ＝1， 又0<A <π，所以A ＝π4.15.(2019·茂名模拟)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与底面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号)．答案 52＋5 6解析 如图所示， 设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠AOB ＝75°，∠ABO ＝45°， 所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝AB sin 75°＝10sin 60°，所以OA ＝1063(米)，AB ＝152＋563 (米)，所以OA ＋AB ＝52＋56(米)．16. 如图，在△ABC 中，BC ＝2，∠ABC ＝π3，AC 的垂直平分线DE 与AB ，AC 分别交于点D ，E ，且DE ＝62，则BE 2＝________.答案 52＋3解析 如图，连接CD ，由题设，有∠BDC ＝2A ，所以CD sin π3＝BC sin 2A ＝2sin 2A ， 故CD ＝3sin 2A. 又DE ＝CD sin A ＝32cos A ＝62， 所以cos A ＝22，而A ∈(0，π)，故A ＝π4， 因此△ADE 为等腰直角三角形，所以AE ＝DE ＝62. 在△ABC 中，∠ACB ＝5π12，所以AB sin 5π12＝2sin π4， 故AB ＝3＋1，在△ABE 中，BE 2＝(3＋1)2＋⎝⎛⎭⎫622－2×(3＋1)×62×22＝52＋ 3. B 组 能力提高17．(2019·广东省中山一中等七校联考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B, C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且∠BAC ＝π2， AB ＝AC ＝4，那么O, A 两点间距离的( )A ．最大值是42，最小值是4B ．最大值是8，最小值是4C ．最大值是42，最小值是2D ．最大值是8，最小值是2答案 A解析 设∠CBO ＝θ⎝⎛⎭⎫0≤θ<π2，E 为BC 的中点， 当θ＝0时，如图1，此时点C 与点O 重合，易知OA ＝4；图1 图2当0<θ<π4时，A ，O ，E 三点构成如图2的三角形，根据题意，可知∠OBC ＝∠BOE ，∠AEB ＝π2， AE ＝OE ＝2 2 ，则∠AEO ＝π2＋2θ， ∴cos ∠AEO ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－sin 2θ，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴OA 2＝OE 2＋AE 2－2OE ·AE cos ∠AEO＝16＋16sin 2θ，即 16<OA 2<32，解得4<OA <42；当θ＝π4时，如图3，四边形ABOC 是正方形，OA ＝42，图3 图4当π4<θ<π 2时，A ，O ，E 三点构成如图4的三角形， ∴∠AEO ＝π2＋()π－2θ， ∴cos ∠AEO ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋()π－2θ＝－sin 2θ，2θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 同理可求得4<OA <4 2.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若CD ＝1 且⎝⎛⎭⎫a －12b sin A ＝(c ＋b )(sin C －sin B )，则△ABC 面积的最大值是________．答案 155解析 如图，设∠CDA ＝θ，则∠CDB ＝π－θ，在△CDA 和△CDB 中，分别由余弦定理可得cos θ＝c 24＋1－b 2c ，cos(π－θ)＝c 24＋1－a 2c， 两式相加，整理得c 22＋2－(a 2＋b 2)＝0， ∴c 2＝2(a 2＋b 2)－4.①由⎝⎛⎭⎫a －12b sin A ＝(c ＋b )(sin C －sin B )及正弦定理得⎝⎛⎭⎫a －12b a ＝(c ＋b )(c －b )，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab 2，② 由余弦定理的推论可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14， ∴sin C ＝154.把①代入②整理得a 2＋b 2＋ab 2＝4， 又a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴4≥2ab ＋ab 2＝5ab 2，故得ab ≤85. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×85×154＝155. 即△ABC 面积的最大值是155.。
2024届高考二轮复习文科数学课件：等差数列、等比数列
3
9
列{bn}是递减数列,当 3≤p<q
2
∴
3
<
2
2bp=b1+bq,所以
3
1
时,3
1
+ ,①式不成立.故选
3
3
B.
>
-1
-1
2
, -1 − 3
-1
3
3
=
=
=
=
.若存在正整数
3
1
+ .
3
3
①
1
+
,解得 q=3.∵数
3
3
-3
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0,∴
3
3
<
1
-3nSn+1=2 +3nSn,即+1
− 2
=3nSn+1+3nSn,∴(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=3n(Sn+1+Sn).∵数列{an}的各项都是正数,即
n
n
Sn+1+Sn>0,∴Sn+1-Sn=3 ,即 an+1=3 ,∴当 n≥2
+1
时,
=
第 2 项起,构成以 a2=3 为首项,3 为公比的等比数列,
1-2
+ 11 = 15,
解得 k=4.
+ 1 = 5,
对点训练3
(1)(2023河南名校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn-2=2(an-2n),则
an=( D )
A.(n+1)·2n+1
高中文科数学二轮复习资料,补习复习资料(含解析)：107高考冲刺：选择题的解题策略
高考冲刺：怎样解选择题【高考展望】1.数学选择题在高考试卷中，不但题目数量多，且占分比例高。
考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为得分的关键，并且直接影响到解答题的答题时间及答题的情绪状态.2.高考中数学选择题属小题，具有概括性强、知识覆盖面宽、小巧灵活，有一定的综合性和深度的特点。
解题的基本原则是：“小题不能大做.”因而答题方法很有技巧性，如果题题都严格论证，个个都详细演算，耗时太多，以致于很多学生没时间做后面会做的题而造成隐性失分，留下终生遗憾。
3.夺取高考数学试卷高分的关键就是：“准”“快”“稳”地求解选择题。
准确是解答选择题的先决条件。
选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
迅速是赢得时间获取高分的必要条件.高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”（也叫“隐形失分”）是造成低分的一大因素. 【方法点拨】1.选择题的结构特点选择题有题干和４个可供挑选的选择项（其中一个正确答案，三个诱误项）。
选择题的结构中包含着我们解题的信息源（特别注意４个选择支也是已知条件） 2.选择题的求解策略充分利用题设和选择项两方面所提供的信息作出判断，一般来说，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的，也不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择项，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等等.一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择项联合考虑或从选项出发探求是否满足题干条件。
3.选择题的常用方法由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适用，结合数学选择题的结构特点及近几年的高考题，有以下几种常用解法： ①直接法；②排除法；③特例法；④图解法（数形结合法）；⑤代入法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中文科数学二轮复习资料(学生)第一部分三角函数类【专题1---三角函数部分】X1.函数f (x) 6cos23sin x 3( 0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、2C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形.(1 )求的值及函数f (x)的值域；(2)若f (x o)8 3，且x0(—-,—)，求 f (x o 1)的值.5 3 32. 已知函数f(x) —. 3si nxcosx 2cos— x 1(x R)，求f (x)的值域。
3. 已知向量a 2sinx, .3 cosx , b sinx,2sin x，函数f x a b1 )求f (x)的单调递增区间；2 )若不等式f(x) m对x [0, —]都成立，求实数m的最大值.24. 已知函数f(x) 2cos xsin(x —) .3sin2x sin xcosx .①求函数f (x)的最小正周期；②求f (x)的最小值及取得最小值时相应的x的值.两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为2 1)求f (x)的解析式；M (牛 2).2)当X [02]，求f(x)的值域.3的曲线与x 轴交于点(J,0),若 2 (1) 试求这条曲线的函数表达式；(2) 写出(1)中函数的单调区间.7 •已知函数 f (x) sin(2x —) 2COS 2X 1.(1)求函数f (x)的单调增区间;6.已知曲线 y Asin( x )(A 0, 0)上的一个最高点的坐标为(―八2),由此点到相邻最低点间2 (2丁1⑵在ABC中，a,b,c分别是A,B,C角的对边，且a 1,b c 2, f(A)—,求ABC的面积•28.平面直角坐标系内有点p(1,cosx), Q(cosx,1),x [ 一，一].4 4 uuu mur(1)求向量OP和OQ的夹角的余弦值；⑵令f(x) cos ,求f (x)的最小值.【专题2----解三角形部分】1. 设厶ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC ccosB asinA,则厶ABC的形状为()(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)不确定1 2. 在ABC 中，内角A, B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cosA 2cosC.cosB(1) 求sinC的值；sin A1(2) 若cosB ,b 2, ABC 的面积S.43. 在厶ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c.1)若sin(A -) 2cos A 求A 的值；12)若cos A ,b 3c，求sinC 的值.34. 在ABC中，a、b、c分别是角A B、C的对边,S为ABC的面积，且4sin B sin2B)cOs2B 1 31 ）求角B的度数；2 ）若a 4,S 5 3，求b的值。
5. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c, a 2bsinA.1）求B的大小；2）求cosA sinC的取值范围6. 已知A,B,C 是ABC 的三个内角，向量m ( 1, 3), n (cosA,sin A)，且mgi 1 .1) 求角A ;2) 若〔sin2B23，求tanC .cos B sin B7•一艘缉私巡逻艇在小岛A南偏西38方向，距小岛3海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一艘走私船正开始向岛北偏西22方向行驶，测得其速度为10海里/小时，问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向行驶，恰好用小时在C处截住该走私船？（14海里/小时，方向正北）:Z（参考数据sin38o 5 3 ,sin 22°3 3）14 14第二部分函数类【专题1----函数部分】2x 2x,x 01. 已知函数f（x） o, x 0 是奇函数•2x mx, x 01）求实数m的值;2)若函数y f (x)的区间［-1,a-2］上单调递增，求实数a 的取值范围2 x 2mx 4, x 2,5 ,的最大值g(m)与最小值h(m). 专题 2 --- 导函数部分 】c 的图象经过点 (0,1) ，且在 x 1处的切线方程是 y x 2.1 )求y f(x)的解析式；2 )求y f(x)的单调递增区间2.求函数 f (x)1. 已知 f (x) ax 4 bx 22. 已知函数f(x) .X,g(x) al nx,a R.若曲线y f(x)与曲线y g(x)相交,且在交点处有相同的切线求a的值及该切线的方程•1 23.设函数f (x) In x ax bx。
211) 当时a b § ,求函数f (x)的单调区间；4. 已知函数f(x) e x ,x R .1) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0) 2) 证明：曲线y = f (x) 与曲线y lx 2 25. 已知函数f(x) e x ,x R .1) 若直线y = kx + 1与f (x)的反函数的图像相切，求实数k 的值；2) 设x >0,讨论曲线y = f (x) 与曲线y mx 2(m 0)公共点的个数6.已知 f(x) xlnx,g(x) x 2 ax 3.处的切线方程； x 1有唯一公共点(1)求函数f (x)在［e,e2］上的最小值；(2)对一切x (0, ),2 f (x)> g(x)恒成立，求实数a的取值范围;7.已知函数f (x) ln x ax 1。
a的值;1) 若曲线y f (x)在点A 1, f(1)处的切线I与直线4x 3y 3 0垂直，求实数2) 若f (x) 0恒成立，求实数a的取值范围；1 1 13 )证明：ln(n 1)丄丄n N .2 3 n 1第三部分向量、不等式、数列类【专题1----向量部分】uur —. —. uuu —.1. 如图，平面内有三个向量OA、OB、0C,其中与OA与0B的夹角为120 ° ,uuu ——uu ————. ——mu ——.0A与0C 的夹角为30° ,且| 0A| = | 0B| = 1, | 0C | = 2 3，若0C = X 0A+口0B (入，口€ R)贝U入+ 口的值为.2. 若向量a,b都是单位向量，则| a b|取值范围是()A.(1,2)B.(0,2 )C.[1,2]D.[0,2]3. 设非向量a (x,2x),b ( 3x,2)，且：,b的夹角为钝角，贝U x的取值范围是________________ . ________4. 已知向量a (1, 2),b (2,)，且a,b的夹角为锐角，则实数的取值范围是5. a,b是两个非零向量，且a b a b，则a与a b的夹角为( )【专题2----不等式部分】1 •某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A. B • C • D •2 •若关于的不等式的解集为，则.3. 若关于的不等式a _____________________________ x 1 x 2存在实数解，则实数的取值范围是. __________________________________________4. __________________________________________________________ 若存在实数x使|x a| |x 1| 3成立，则实数a的取值范围是______________________________________________ . _________5 •不等式|x 3| |x 2| 3的解集为_____________________ ,6 •设a, b€ R | a-b|>2,则关于实数x的不等式|x a| |x b| 2的解集是.【专题3----数列部分】1.根据下列条件，求数列a n的通项公式.1）在数列a n中，a1 1耳1 a. 2n；2）在数列a n 中，a1 4,a n 1 - 2a n；n3）在数列a n中，a1 3, a n 1 2a n 1;22a n 中，若a i 1耳1 1 4a n 4a .(n N ),求该数列 a .通项公式.各项均为正数，数列 ｛b n ｝满足b n lga n ,d 18,b 6 12，数列｛b n ｝的前n 项和为3.设函数f(x) log a X ( a 为常数且a 0, a 1),已知数列f(x i ), f(X 2),f(x n ),是公差为2的等差数列，且X i a 2.(1) 求数列｛x n ｝的通项公式； 11 (2) 当 a 时，求证：X i X2 X n . 2 35) 在数列 a n 中, a 1 2,a n 1 2a n ;6) 在各项为正的数列 2. 已知等比数列 a nS n ,求S n 的值•4.已知数列｛a n｝满足3S n (n 2)a n (n N ),其中&为其前n项和，a“ 2.(1) 证明：数列｛a n｝的通项公式为a n n(n 1)；(2) 求数列｛丄｝的前n项和T n.a n5.数列｛a n｝的前n项和记为S n,已知a1 1,a n 1^-2S n(n 1,2,3丄).求证:数列｛-Sn｝是等比数列; n n6.已知正数数列｛a n｝的前n项和为S n，且满足S n2S n 1）求证：｛£｝是等差数列; 2 ）求该数列丄（n 2）,3, 2。
1 1a n通项公式.7 •已知正数数列｛a n｝的前n项和为Si，且对任意的正整数1）求数列｛a n｝的通项公式；n 满足2 S? a n 1.2 )设b n，求数列｛b n｝的前n项和B n.an 9a n 18.已知数列是正项数列,a11,其前项和为，且满足2S n1）求数列的通项公式；23n23n 1(n N ).第四部分一立体几何【证明类】立体几何综合应用1.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E 在棱PB 上.求证：平面；至AA 1,E 是C 1D 中点,求证：平面AAE 平面BBE. 23. 如图，垂直于矩形所在的平面，，八分别是、的中点1）求证：平面；2）若b 经2n ,数列前项和为Tn 32 •已知长方体,AB ..2, BC2）求证：平面平面;3 ）求四面体的体积4. 如图,已知P从矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC中点.1）求证:MN5.如图，平行四边形中, DAB 60o,AB 2,AD 4,，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB 平面ABD .1）求证：AB DE ）求三棱锥E ABD的侧面积•6. 如图3所示，在长方体中，AB=AD=1 AA=2, M是棱CC的中点1）求异面直线AM和CD所成的角的正切值；2）证明：平面ABML平面A i B i M7.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，MA 平面，PD//MA , E,G,F分别为MB,PB,PC的中点，且AD PD 2MA.1）求证：平面EFG 平面PDC ;2）求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比8. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEL AC,EF// AC,AB^ 2 , CE=EF=1.1）求证：AF//平面BDE2)求证：CF丄平面BDEPADL平面9. 在四棱锥P-ABCD中,平面PAD;2)求四棱锥P-ABCD的体积.第五部分直线与圆锥曲线类1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程2.已知双曲线的渐近线方程为2x 3y 0,若双曲线两顶点距离是6,求双曲线的标准方程3.设P是曲线y2=4x上的一个动点.1) 求点P至点A(-1,1)距离与点P到直线x=-1的距离之和最小值2) 若B(3,2),点F是抛物线的焦点,求PB+PF的最小值.4.已知圆C：x2 y2 Dx Ey 3 0，圆C关于直线x y 1 0对称，圆心在第二象限，半径为乙1)求圆C的方程；2)已知不过原点的直线1与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程。