勾股定理的应用2
勾股定理的应用 (2)
D
C
B
10尺 11尺 10尺
A
例1.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形， 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺， 如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边， 那么它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水 池的水深和这根芦苇的长度各是多少？
如图，某隧道的3.6m，宽3m满载 货物的货车能通过该隧道吗？
C
B
A
没办法，完全通不过
例2 .如图，某隧道的截面是一个半 径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m， 宽3m的货车能通过该隧道吗？
（必做）1、一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m， 若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙4m时，梯子的上端 恰好与窗户的下沿对齐，求梯子的长度。
1m
4m
（选做）2、小英想用一条36cm长的绳子围城一个直 角三角形，其中一条边的长度为12cm，求另外两条边 的长度。
水面D C
B
水池
A
有一个水池，水面是一个边长为6尺的 正方形，在水面正中央有一根9尺长的芦苇， 芦苇部分折断，尖端恰好落在池边的底部,求 折断处离水池底部有多高？
例2 .如图，某隧道的截面是一个半 径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m， 宽3m的货车能通过该隧道吗？
太好了，顺利通过了
可惜，刚好通不过
勾股定理的应用(2)
勾股定理的应用(二) 班级 姓名 学号教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。
发展学生的分析问题能力和表达能力。
3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。
积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。
重 难 点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用教学过程（一）创设情景，引入新课；这些图形都有什么共同特征？几组勾股数.3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1；.图1中的x 等于多少?图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正在数轴上画出表示5的点在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? （四）实践探索，揭示新知2；图1x 11z y 11x图2例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。
（五）尝试应用，反馈矫正2如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。
如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。
（六）实践探索，揭示新知3；如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？ （七）尝试应用，反馈矫正1如图9，在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用）（八）归纳小结，巩固提高 （九）布置作业D CBA图6图9D CBA。
18.9_勾股定理的应用(2)
资源信息表18.9（2）勾股定理的应用上海市尚文中学许敏教学目标能用勾股定理解决基本的有关证明和计算问题； 通过实际问题的解决增强数学的学习兴趣. 教学重点及难点 勾股定理的灵活应用 教学用具准备多媒体、黑板、粉笔、学生准备课堂练习本 教学流程设计教学过程设计一、 引入新课生活中勾股定理的应用随处可见： （学生可自由发言）篮球架，老房的房梁，电视机的英寸计数……二、 新课讲授例2 ：机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm ×36cm ×23cm 的长方体空间.①一位旅客携带一件长65cm 的画卷，这件画卷能平放入行李架吗？解：∵四边形ABCD 是长方形（已知） ∴∠B=90 °（长方形的四个角都是直角） ∴在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2(勾股定理）443236562222=+=+=BC AB AC )(6.66cm ≈ ∵65<66.6,∴长65cm 的画卷能平放入行李架. ②若这件画卷长67cm ，能放入行李架吗？AG =22CG AC +=222CG BC AB ++=222233656++≈70.4﹥67∴长67cm 的画卷能放入行李架.（但平放不行）【说明】这个例题课本上没有讲清，所以略微作一点修改：平放.这个题选取的素材很好，正好可以挖掘用两次勾股定理，故加入第二问.36 5623AEBD FH 36 5623AEBD FH例3：《九章算术》专设勾股章来研究勾股问题，共24个问题．按性质可分为三组，其中第一组的14个问题可以直接利用勾股定理来解决．很多是具有历史地位的世界著名算题． 《九章算术》勾股章第6题 :引葭(ji ā)赴岸 ：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”学生：现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上.请求出水深与芦苇的长各有多少尺？（解题过程见教材）三、体会练习校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？15 1314ABCDx14-x AB解：设CD=x 米，则BD=（14-x ）米 152-（14-x ）2=132-x 2 解得：x=5 ∴AD=12总价格=21×14×12×120=10080（元） 答：购买这种草皮至少需要支出10080元.【说明】增加一个练习题，联系生活又能很好体现勾股定理.若设AD=x 米，则会产生无理方程，学生不会解，所以选择设CD=x 米.四、应用推广已知长度为 （n 是大于１的整数）的线段，你能作出长度为的线段吗？五、课堂小结勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务.B 6B 3AB 1Cn 1 n。
数学人教版八年级下册勾股定理的应用(2)——作图
学习目标：1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。
3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。
学习重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段。
教学活动流程活动1：复习孕新，引入课题1.回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作辅助演示活动3：课件动画演示作图演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.活动4：动手实践，会“数形互变”以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.活动5：当堂检测教材第27页习题活动6：拓展应用，服务生活1.用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。
活动7：小结梳理数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模活动8：布置作业教学过程活动1：复习孕新，引入课题1.问题（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。
a=1 b=1 (c=)a=1 b= (c=)a=2 b=3 (c=)设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。
（3）如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。
设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。
2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。
活动3：课件动画演示作图1.对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。
2.“数学海螺”的作法活动4：动手实践，会“数形互变”1.在数轴上画出表示的点，的点呢？2.求点A在数轴上表示的点（1-）设计意图：以练习为画的思路导向，以活动3为类比模仿会作图也会求点，实现数形互变，以“数”化“形”，以“形”变“数”，渗透数形结合思想。
八年级上预科四讲-勾股定理的应用二
BD 2 CD 2 2 AD 2 。
16、如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 8cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角 板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与
点 C？若能，(1) 求 BP+CP 的值（2） 请你求出这时 AP 的长。
17．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a：b=3：4，c=20，
则 a=
，b=
．
18．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的角
平分线，若 BC=10，AD=12，则 AC=
．
19．如图，已知四边形 ABCD 中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，
4
底面的直径。一蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试
求出爬行的最短路程。
C
3)、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20 ㎝，高 AB 为 10 ㎝，在
圆柱的下底面 A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到
它的顶端 C 点处，那么它所行走的路程是多少？
4)、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， AD 是杯底直径，C 是 A 杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点 A 处爬到杯子的内 壁到达高 CD 的中点 E 处，最短该走多远呢？(杯子的厚度不计） 5)、为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，
（A）11
（B）10
（C）9
（D）8
5. 若三角形三边长为 a、b、c，且满足等式 (a b)2 c 2 2ab ，则此三角形是（ ）.
2.7勾股定理的应用 (2)
沭阳县广宇学校初二数学教案课题：2.7勾股定理的应用（2） 课型：新授 主备人：杨兴亚 集体备课时间： 10月16日 审核：葛恒良 教学目标：能运用勾股定理解决实际问题,在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力。
教学重点：解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题,从而进行勾股定理及直角三角形的判定条件的应用。
教学难点：“转化”思想的应用及进行勾股定理及直角三角形的判定条件的应用的区别． 教学过程：一.概念探究1、（1）图1中的x 等于多少?（2）图2中的x,y,z 分别是多少?（3）如果沿着图2按逆时针方向继续画直角 三角形,还能得到那些无理数?（4）利用图2你们能在数轴上画出表示5的点吗? （5）怎样在数轴上画出表示5 的点吗?（6）如图3，求四边形ABCD 周长和面积？请你算一算.二．例题分析例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。
（保留三个有效数字） 问题：等边三角形的高是多少？例2、（1）如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？（2）如图8，在△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边的中线AD=24， 求AC. 问题1：BD=______ DC=________ 问题2：三角形ABC 是什么三角形？图2图1x 11151612D CBA图3D C BA 图4CB A图7D CBA 图8三．展示交流变题1：如图4，等边三角形ABC 的角平分线AD 是6cm ，求△ABC 的面积。
变题2：如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。
变题3：如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。
四、提炼总结：从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系；把研究等腰三角形转化为研究直角三角形，这是研究问题的一种策略． 五、课堂小结本堂课学习了什么？你有哪些收获？六、练习巩固：作业纸：勾股定理应用（2）七、教后反思：D C BA 图4DCB A 图5D CB A图6沭阳县广宇学校初二数学作业纸课题：2.7勾股定理的应用（2） 主备人：杨兴亚姓名_____________ 班级____________ 学号____________ 课前练习：1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（ ）． （A ）4 （B ）4或34 （C ）16或34 （D ）42．以下列各组数线段a 、b 、c 为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）． （A ）a=1．5，b=2，c=3 （B ）a=7，b=24，c=25 （C ）a=6，b=8，c=10 （D ）a=3，b=4，c=53．若三角形的三边长a 、b 、c 满足（a+b ）2=c 2+2ab ，则这个三角形是（ ）． （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形（C ）直角三角形 （D ）何类三角形不能确定4.如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？课后作业:1．如图 ，一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中∠B=90º，AB=3m ，BC=4m ，CD=12m ，AD=13m ，求这块草坪的面积。
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
勾股定理的应用(二)
所以卡车能通过隧道.
书本P62复习题第4题
分析:DB=OD-OB,求BD,可以先求OD,必先求
OC,最先求出OA.
在Rt△AOB中，
AB2 BO2 2.52 0.72 2.4 OA _______________________ . C 2.5
A
在Rt△COD中， OC=OA-AC=2.4-0.4=2
分析 只需利用勾股定理看哪一
个矩形的对角线满足要求．
A
图1
B
解 (1) 图1中AB长度为2 2 ．
练习： 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） A
3
B
4
12
E
5
G
C
6
F
8
D
4．如图所示，公路MN和公路PQ在P处交汇， ∠QPM=30°，在A处有一所中学，AP=160米， 假设拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影 响，那么拖拉机在公路MN上以每秒8米的速度从 N往M方向行驶时，学校是否受到噪声影响？若受 到影响，影响的时间有多长？并说明理由． [提示：直角三角形中， 30°角所对的直角边 等于斜边的一半。]
A
D
？
CD OD OC
2 2
2
CD OD 2 OC 2
2.5 1.5
2 2
1.5m C 2(m) 分析：隧道宽度是足够的,所以卡车能 否通过，只要看卡车位于隧道中线一 因为2＞1.8，高 侧时，其右侧高度是否小于（ CD ）. 度上有0.2米的余量， 如何求CD呢？
O
.
连接OD，得到RtΔOCD
点C重合在一起,EF为折痕,若AB=8,BC=4.
勾股定理的应用
∵0.8×11=8.8(cm),8.82=77.44>74,
∴蚂蚁能在11 s内吃到食物.
作业：
《全品》第8,9页.
上底面的点B处,它爬行的最短路线是(注:P是SR的中点)
( C ).
A.A→R→B
B.A→Q→B
C.A→P→B
D.A→S→B
当堂检测
2.如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5
cm,若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达
点Q,则蚂蚁爬行的最短路程为 13 cm.
当堂检测
3.如图是一个长方体,它的长、宽、高分别为5 cm,3
B
1
AB32=26
B2
2
2
A
AB12=18
1
3
2
B3
1
变式练习
2.一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别
是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬
到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线
吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
B
B
8
12
12
A
A
8
8
8
巩固提高：
1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，
它怎么走最近？并求出最近距离。
20
B
3
2
A
AB 15 20 625 25
2
2
2
2
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1、根据题意正确画出图形.
2、弄清题中直角三角形及线段关系.
3、根据勾股定理求未知量,或恰当设
未知量，建立方程来求解.
当堂检测
1、如图,一只蚂蚁从正方体的底面点A处沿着表面爬行到
14.2勾股定理的应用2
14.2章勾股定理的应用（2）
教学目标：
１.在特殊三角形中要会找出直角三角形或构建直角三角形。
２.当三角形的三边是整式时，要会判断大小，从而判断三角形的形状。
思维激活：
以△ABC 三边a,b,c 为边向外
作正方形，以三边为直径作半圆，
若S 1+S 2=S 3成立，则△ABC 是直角
三角形吗？
问题研讨：
问题1：已知：等边△ ABC 的边长是6cm
(1)求高AD 的长.
(2)求S △ ABC.
解：（1）∵ △ ABC 是等边三角形，AD 是高，
在Rt △ ABD 中，AB=6，BD=3，根据勾股定理，
∵ AD 2=AB 2-BD 2
∴
＝
练一练：
1．等腰△ABC 的腰长为10cm ，底边长为16cm ，则底边上的高为 ，面积为__________．
2．等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，那么它的斜边上的高为 ．
问题2：
32
1==∴BC BD
知识拓展：
问题3：等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积。
解：作∆ABC的高AD，设BD为X，则AB为（16-X），由勾股定理得：
∴ S∆ABC＝
试一试：
等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，
AC=BC=1.
求：斜边的一半.
课堂小结：
和同学们交流一下这节课你学到了什么？
课堂作业：
课本60页，习题第１、５题
课后反思：。
17.1勾股定理的应用2
∵ AB=A’B’，AC= A’C’; ∴BC= B’C’; ∴ Rt△ABC≅Rt△A’B’C’(SSS)
练习：
1.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为 6 cm，则它的斜边长( ) A.4 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
2. 直角三角形两条直角边的差为3,积为12，则斜边为______. 3.如图，以Rt△ABC的三边为边作正方形，其面积分别为S1、 S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB长为_____. 4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,底边上的高为____
直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边是多少？ 作法：(如图)在数轴上找出表示3的点A，则OA=3， 过点A作直线l垂直于OA， 在l上取点B，使AB=2，
1 l 1B 1 1
O
1
2
A C 3
作法：(如图)在数轴上找出表示4的点A，则OA=4， 过点A作直线l垂直于OA， 在l上取点B，使AB=1， l
1 1B 1 1
A C O 1 2 3
练习：如图，等边三角形的边长是6. 求： (1) 高AD的长； (2) 这个三角形的面积.
练习：如图，等边三角形的边长是6. 求： (1) 高AD的长； (2) 这个三角形的面积.
解：AB=AC=BC=6 根据等边三角线“三线合一” (1) 在Rt△ABD中， (2) 这个三角形的面积：
勾股定理的证明(应用) 2
E
B F C
如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的 角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且 与AE重合，你能求出CD的长吗？ C
D
E
B
A
x2+22=(x+1)2
1 C
2 ┓
H
x ?
B
2.如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向 成直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，
AC= 20m ，你能求出A、B两点间的距离吗？
（结果保留整数）
3：如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面 的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′, 使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯 子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
二、利用勾股定理作长为（n为大于1的整 数）的线段
实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较 容易找到与它对应的点，若要在数轴上直接找到与无理数对 应的点较难。因此，我们可以借助勾股定理来作出。
例4 ： 作 长 2 ， 3 ， 5 为 的 线 段
三.回归生活之学以致用
1、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高 出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵 齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问 这里水深多少? A
a c b b
a
2 c 大正方形的面积可以表示为 1 2 ) 4 ab 也可以表示为 (ba 2 c 1 2 ) 4 ab ∵ c2= (ba 2 2-2ab+a2+ 2ab =b b =a2+b
；
a
a
b
第10课时 勾股定理的应用(2)
第10课时勾股定理的应用(2)预学目标l．初步了解在研究等腰三角形、梯形等问题时，通常通过作底边上的高等辅助线转化为直角三角形，利用勾股定理解决．2．尝试探索解决立体图形中两点间最短路线的问题，体会将立体图形展开转化为平面图形的数学思想方法．3．熟悉利用勾股定理解决拼接、折叠问题的方法：设未知数构造方程求解．知识梳理1．勾股定理在研究等腰三角形问题中的应用如图1，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且ADBD＝______(三线合一)．设BD＝x，则DC＝_______，AB＝BC＝______．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＋AD2＝AB2，即______2＋______2＝______2，解得x＝______，则BC＝2BD＝______，所以S△ABC＝12·BC·AD＝12×______×______＝______．2．勾股定理在研究折叠问题中的应用如图2，有一张直角三角形纸片，两直角边分别为AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，由题意，得△ACD≌_______，则AE＝_______＝_______cm，DE＝_______．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝_______cm，则BE＝______cm．设DE＝x，则DC＝_______，BD＝_______．在Rt△BDE中，由勾股定理，得_______2＋_______2＝_______2，解得x＝_______，所以DE＝_______，BD＝______．例题精讲例1 如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．(1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是______．(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．提示：第(1)题需展开成平面图形，分三类讨论蚂蚁行走的路线，第(2)题即求AG的长度．锯答：(1)蚂蚁从点A爬到点G可能经过长方体的前面和右面，也可能经过长方体的前面和上面，还可能经过长方体的下面和右面，展开成平面图形如图②．由勾股定理计算出AG55；12(2)如图③，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2．在Rt △ACG 中，由勾股定理，得AG 2＝AC 2＋CG 2＝AB 2＋BC 2＋CG 2＝42＋22＋12＝21，则AG点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段的长度为例2 如图，在△ABC 中，若AB>AC ，AE 为BC 边上的中线，AF 为BC 边上的高，试说明AB 2－AC 2＝2BC ·EF ．提示：利用勾股定理将AB 2和AC 2分别表示为另两条线段的平方和．解答：∵AF ⊥BC ，∴在Rt △AFB 中，由勾股定理，得AB 2＝AF 2＋BF 2．在Rt △AFC 中，由勾股定理，得AC 2＝AF 2＋FC 2，∴AB 2－AC 2＝BF 2－FC 2＝(BF ＋FC)(BF －FC)＝BC ·(BF －FC)．∵BF ＝BE ＋EF ，FC ＝EC －EF ，BE ＝EC ，∴BF －FC ＝2EF ．∴AB 2－AC 2＝B C ·2EF ＝2BC ·EF ．点评：此题是勾股定理和乘法公式的综合，当题目中出现线段的平方时，要有主动运用勾股定理的意识，题目中若没有垂直条件，则应尝试作垂线构造直角三角形．热身练习1．一个直角三角形的斜边长比一直角边长长2，另一直角边长为6，则斜边长为 ( )A ．6B ．8C ．10D ．122．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为 ( )A ．42B ．32C ．42或32D ．37或333．如图，AB ＝BC ＝DC ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，CD ⊥AC ，DE ⊥AD ，则AE 的长为_______．4．如图，在高5米、长13米的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少为______米．5．在棱长为1的正方体木箱中放入一根细长的直钢管，则钢管的最大长度是______．6．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是( )A．5 B．25C．15 D．357．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽，它是由如图②所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…，OA25这些线段中，有______条线段的长度为正整数．8．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AD＝10 cm，AB＝8 cm．求：(1)FC的长．(2)EF的长．参考答案1．C 2．C 3．2 4．17 56．B 7．5 8．(1) FC=4 cm (2) EF =5 cm3。
勾股定理的应用2
B1
A1
A A1
B B1
B1
课堂练习
如图，一棵小树在大风中被吹歪，小芳用一根棍子把小树扶直， 已知支撑点到地面的距离是３米，棍子的长度为５米，求棍子和地 面接触点Ｃ到小树的底部的距离是多少？
A
３ 米 ┏
B C
？
小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子 垂到地面还多１米，当他把绳子的下端拉开５米，
AC 2 BC 2
42 102
10.77(厘米）
D
答：蚂蚁爬行的最短路程是10.77厘米。
如图所示，已知正方体的棱长为2 则正方体表面上从A点到C1点 的最短距离是 2 5 C C1
AC 2 CC 2
1
C1
D1
=
=
4222
2 5
执教：金花初中
徐艳如
复习导入:
新课讲授
课堂练习 归纳总结
教 学 过 程
布置作业
复习导入:
• 勾股定理的内容:
a b c
c
a b c
2 2 2
2
c a b
2
a c2 b2
b
c2 a2
返回
将长为2.5米的梯子斜靠在墙上，
梯子的底部离墙的底端长0.7米。
A
2.5 米
B
0.7米
B
发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是多少？
解：设旗杆高度AB为X米， 则BC长为（X+1）米，AC为 5米，根据勾股定理可得： AB2 + AC2 = BC2 X + 52 = (X + 1)2 X= 12( 米 )
X
A
答：旗杆的高度为12米。
八年级数学勾股定理的应用练习题2
14．2勾股定理的应用（二）知识与基础1.在 Rt ΔABC 与 Rt ΔA`B`C`中∠C ＝∠C`＝90°，有下列几组条件（ ）.①AC ＝B`C`，BC ＝A`C`；②AC ＝A`C`，BC ＝B`C`；③AC ＝A`B`，∠A ＝∠A`；④BC ＝A`C`，AB ＝A`B`.其中能判定这两个直角三角形全等的有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个2.下面是直角三角形具备的几条性质：（ ）.①两个较小的内角之和等于较大的内角；②三个内角的和等于180°；③面积等于较短的两边的乘积的一半；④有斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等.其中一般三角形不具备的有（ ）.A.4条B.3条C.2条D.1条3.在下列语句中，不正确的是（ ）.A.有两条边对应相等的两个直角三角形全等；B.一般三角形所具备的性质，直角三角形都具备；C.直角三角形没有稳定性；D.两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等4.如图，0A ＝0B ，AD ⊥0B ，BC ⊥0A ，D 、C 为垂足，AD 、BC 相交于点P.下面给出的四个结论：①△A0D ≌△B0C ；②∠1＝∠2；③PC ＝PD ；④0P 平分∠A0B.其中，一定成立的有（ ）.A.4个B.3个C.2个D.1个5.如图，AB 是∠CAD 的平分线2，BC ⊥AC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C 、D ，E 是AB 上任意一点，下面给出的四个结论：①BC ＝BD ，②EC ＝ED ，③∠CAE ＝∠ADE ，④点B 在∠CED 的平分线上，其中，正确的结论有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝20㎝，AD 是角平分线，且BD ：CD ＝2：3，则点D 到AC 边上的距离是 ㎝。
7.如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，∠1≠∠4，∠2≠∠3。
如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙HL ﹚如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙HL ﹚如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙AAS ﹚如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙AAS ﹚O A A B C D E D CPD C CA8.如图，已知，AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，说明∠BAE ＝∠CAF 。
勾股定理的应用2档
例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？
例3：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
例5:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长.
1．在Rt△ABC中, ∠C=90°,
(1)已知: a=5, b=12, 求c.
(2)已知: b=6,•c=10 , 求a.
(3)已知: a=7, c=25, 求b.
2.一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长．
4.一架长为5的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距离墙的底端为3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移_____.
5.如图，要在高为3m,斜坡为5m的楼梯表面铺
地毯，地毯的长度至少需________m
6.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来
的3倍，则其斜边（）
A.不变
B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍
D.减小到原来的1/3
7．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。
8.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？。
14.2_勾股定理的应用(2)
4m
4m
求图中阴影部分的面积．
A
C D
B
解 在Rt△ADC中，由勾股定理得
C A D
AC² ＝AD² ＋CD² ＋8² ＝6² ＝100，
∴ AC＝10m． ∵ AC² ＋BC² ＝10² ＋24² ＝676＝AB² ， ∴ △ACB为直角三角形(如果三角形的三边
长a、b、c有关系：a² ＝c² ＋b² ，那么这个三角 形是直角三角形)，
（1）如果在例4的原图中没有线段AC，你会做吗？ （2）现在你能利用转化思想快速解决下面这个问题吗？如图，已 知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三 边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．
4.转化思想再体现：
如图是6级台阶侧面的示意图，如果要在台阶 上铺地毯，那么至少要买地毯多少米？
5、分类讨论再体现
14.2勾股定理的应用（例4）
（ “ 读、议、展、点、练”教学 法）
邓州城区五初中 乔永存
1、温故知新：你能借助上节课例3中求四边形ACBD 的面积的经验解决课本例4吗？请大家动脑、动手 试一试！ 例4 如图，已知CD＝６m, AD＝８m， ∠ADC＝90°,BC＝24m,AB＝26m．
2、迎刃而解：有了上面的知识储备，相信大家一定
能顺利完成例3，赶快试一试吧！
例3如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的 边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： (1) 从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点Ｂ在 格点(即小正方形的顶点)上，且长度为2 2 ； (2) 画出所有的以(1)中的ＡＢ为边的等腰三角形,使另 一个顶点在格点上,且另两边的长度都是无理数．
B
∴ S阴影部分＝S△ACB－S△ACD
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在解决上述问题时,每个直角三角形需已知 几个条件? A
（2）求AB的长
2 3
3
13
D 2 C
B 1
折叠三角形
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
D E A G B C
例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8， 先把它对折，折痕为EF，展开后再沿 BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二
次折痕BG的长。 提示：先证明正三角形AA B
1
C A1 E
B
F
D
G
A
构造直角三角形
例1、在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm， 求BC的长.
变式2、已知：如图，△ABC中,AC=4,∠A=45°， ∠B=60°，求AB. C
y
B
C
A B
A
O
x
添辅助线
勾股定理的使用
E
变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26， BC=25，AC=17，求△ABC的面积.
A
B
D
C
方程思想：两个直角三角形中，如果有一 条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.
例2、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°， AB=4，CD=2.求四边形ABCD的面积.
A
A E
D
A
F
D C
B
C
18.1勾股定理
——综合应用
复习：
（1）勾股定理的内容：
（2）勾股定理的应用： ①已知两边求第三边； ②已知一边和一锐角（30°、60°、45°的 特殊角），求其余边长； ③已知一边和另外两边的角形中未知的边
6 10
2
4
30°
2
8
8
45°
2 3
2
B
D B C M
变式训练：如图，在平面直角坐标系中，点C的坐 标为（0，4），∠B=90°，∠BCO=60°，AB=2， 求点B的坐标.
y C B O A x
补充练习：
1、在△ABC中，AD是BC边上的高，若 AB=l0，AD=8，AC=17，求△ABC的面积.
S△ABC=84或36
例3（1）已知直角三角形的两边长分别是3和 4, 则第三边长为 5 或 7 . （2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线 AD=8,求BC 21 或9
D
C
RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折叠, 使C落到AB上的E处,求CD的长度, C D
B
E
A
折叠四边形
例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 1.CF 2.EC. A
8 10 10
D
8-X
E
8-X X
B
6
F
4
C
例2：折叠矩形纸片，先折出折痕 对角线BD，在绕点D折叠，使点A 落在BD的E处，折痕DG，若AB=2， BC=1，求AG的长。
A
8 6 15
8 6
D
17
10 B C
15
练习5（1）已知直角三角形两边的长分别 是3cm和6cm，则第三边的长是 . （2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边 上的高，且BD与AB的夹角为300，求CD 的长.
A D B C
B
D A
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三 边时,应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D B
A E
C
例3：三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC
方向对折，再将CD折叠到CA边上， 折痕CE，求三角形ACE的面积
A
A
A
D1 E B D C D C
A
B
D
C
勾股定理在非直角三角形中的应用：见特殊角 作高构造直角三角形.
变式1、在△ABC中，∠B=120°，BC=4cm， AB=6cm，求AC的长.
C
A
B
D
变式2、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ， BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高.
A
A
A
两个直角三角形中，如果有一条公共边，可 利用勾股定理建立方程求解 . B C B C B D