第四章相似图形单元测试题.doc
人教版七年级上册数学第四章图形认识初步单元全章测试题
人教版七年级数学测试卷（考试题）第四单元《图形认识初步》单元测试ABCD班级 姓名 号数一、填空题 （每题3分，共30分）1、 三棱柱有 条棱， 个顶点， 个面；2、 如图1，若是中点，AB=4，则DB= ；3、42.79= 度 分 秒；4、 如果∠α=29°35′，那么∠α的余角的度数为 ；5、 如图2，从家A 上学时要走近路到学校B ，最近的路线为 （填序号），理由是 ；6、 如图3，OA 、OB 是两条射线，C 是OA 上一点，D 、E 分别是OB 上两点，则图中共有 条线段,共有 射线，共有 个角；7. 如图4，把书的一角斜折过去，使点A 落在E 点处，BC 为折痕，BD 是∠EBM 的平分线，则∠CBD ＝8. 如图5，将两块三角板的直角顶点重合，若∠AOD=128°，则∠BOC= ； 9. 2：35时钟面上时针与分针的夹角为 ；10. 经过平面内四点中的任意两点画直线，总共可以画 条直线； 二选择题（每题3分，共24分）7、 将一个直角三角形绕它的直角边旋转一周得到的几何体是（ ） 12、 如果与互补，与互余，则与的关系是（ ）题号 123456789答案C BADE F（1）（2）（3）图2图3图5图4A.=B.C.D.以上都不对13、对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（）14、下面图形经折叠后可以围成一个棱柱的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15、已知M是线段AB的中点，那么，①AB=2AM；②BM=12AB；③AM=BM；④AM+BM=AB。
上面四个式子中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16、在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）方向A.南偏西50度B.南偏西40度C.北偏东50度D.北偏东40度17、如右图，AB、CD交于点O，∠AOE=90°，若∠AOC：∠COE=5：4，则∠AOD等于（）A．120° B．130° C．140° D．150°18、图中(1)-(4)各图都是正方体的表面展开图，若将他们折成正方体，各面图案均在正方体外面，则其中两个正方体各面图案完全一样，他们是（）A. (1)(2)B.（2）（3）C.（3）（4）D.（2）（4）三、作图题（各7分，共21分）19、已知、求作线段AB使AB=2a－b（不写作法，保留作图痕迹）ab20、按照要求，在图中画出表示下列方向的射线：(1)南偏东300 (2)北偏西600 (3)西南方向四、解答题（8+8+9分，共25分）21、若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。
八年级下学期单元测试四(相似图形B卷)
八年级下学期单元测试四（相似图形B 卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 如图，下列条件中不能判定ACD ABC △∽△的是（ ）(A)AB ADBC CD= (B)ADC ACB ∠=∠ (C)ACD B ∠=∠(D)2AC AD AB =2. 下列两个图形一定相似的是 ． Ａ．三角形与四边形 Ｂ．两个正五边形 Ｃ．两个六边形 Ｄ．两个四边形3. 若a cb d =，则下列式子中正确的是 Ａ．ac n bd c +=+ Ｂ．ac bd = Ｃ．c n n nb d++=Ｄ．a a cb b d+=+ 4. 若32xx y=+，则y x 的值为(A)12 (B)23 (C)13(D)255. 如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过P 点作直线截ABC △，使截得的三角形与ABC △相似，满足这样条件的直线共有（ ）条Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46. 已知532x y y x -=-，则xy=Ａ．87Ｂ．78-Ｃ．78Ｄ．87-7. 如图，D 为ABC △的边BC 上的一点，连接AD ，要使ABD CBA △∽△，应具备下列条件中的（ ）Ａ．AC ABCD BD = Ｂ．2AB BD BC =Ｃ．AB BCCD AD=Ｄ．2AC CD CB =8. 下列各组线段中，能成比例的是Ａ．3679，，， Ｂ．2568，，， Ｃ．36918，，， Ｄ．11121314，，，9. 如图，将DEF △缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P ，连接DP ，取DP 的中点A ，再连接EP FP 、，取它们的中点B C 、，得到ABC △，则下列说法正确的有（ ） ①ABC △与DEF △是位似图形； ②ABC △与DEF △是相似图形；班级______________________________________ 姓名____________________ 考场号________________ 考号_______________----------------------------------------------------密---------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ＡＣＤ Ｂ ACＡ Ｂ Ｄ③ABC △与DEF △的周长比是1：2； ④ABC △与DEF △的面积比是1：2． (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个10. 如果两个等腰直角三角形斜边的比是1:2，那么它们面积的比为（ ） (A)1:1(B)(C)1:2(D)1:4二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中横线上．11. 两个矩形相似，它们的对角线之比为1:3，那么它们的相似比为 ，周长比为 ，面积比为 ． 12. 若65x y =，则x y y += ．13. 两个相似五边形的相似比为1:2，则它们的周长的比为 ．14. 如图，在ABC △中，点D E 、分别在边AC AB 、上，且23AE AD AC AB ==，若4DE =cm ，则BC = cm ．15. 已知250x y -=，则:x y = ；x y y -= ；yx y=+ ．三、运算题：本大题共3小题，共15分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 16.(本小题5分) 如图，如果AD AE AB AC =，那么AD BD 与AECE的比值是否相等？请说明理由．17.(本小题5分) 小胖和小瘦去公园玩标准的．．．跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我 就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明． 解：ＡＥＢＣＤＡＥＤ Ｂ Ｃ地面 第23题图18.(本小题5分) 解答题．（1）在平面直角坐标系描出点(42)(24)(04)(02)(20)A B C D E ，，，，，，，，，，顺次连结点A B C D E A ，，，，，得到一个五边形ABCDE ．（2）将点A B C D E ，，，，的横坐标和纵坐标都除以2，得到五个新的点，顺次连结这五个点，得到一个新的五边形，这两个五边形相似吗？是位似图形吗？为什么？ 如果将点A B C D E ，，，，的横坐标和纵坐标都乘以3呢？四、画图题：本大题共2小题，共10分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 19.(本小题5分) 如图，在大小为44×的正方形网格上，有一ABC △，现要求在网格上再画A B C '''△，使ABC A B C '''△∽△（相似比不为1），且点A B C '''都在单位正方形的顶点上．20.(本小题5分) 如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2：1．五、合情推理题：本大题共2小题，共16分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．21.(本小题8分) 如下图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下面图形并回答有关问题：（1）在第n 上图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖行共有 块瓷砖．（均用含n 的代数式表示）（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数关系式．（不要求写自变量n 的取值范围）（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值．（4）若黑瓷砖每块4块，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共须花多少元钱购买瓷砖？ （5）通过计算说明，是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．22.(本小题8分) 你能用4个全等的正三角形拼出一个大正三角形吗？这个大正三角形与每一个小正三角形相似吗？为什么？Ａ Ｂ1n = 2n = 3n =六、证明题：本大题共2小题，共14分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 23.(本小题7分) 已知：如图，等腰ABC △中，AB AC AD BC =，⊥交于D ，CG AB ∥，BG 分别交AD AC ，于E F ，． 求证：2BE EF EG =24.(本小题7分) 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB DC =∥，，P 为梯形ABCD 外一点，PA 、PD 分别交线段BC 于点E 、F ，且PA PD =．（１） 写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（２） 选择你在（１）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. (A)2. Ｂ3. Ｄ4. A5. C6. Ａ7. Ｂ8. Ｃ9. (C)10. (D)二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中横线上． 11. 1:3 1:3 1:9 12.11513. 1:2 14. 615. 325:227，，三、运算题：本大题共3小题，共15分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 16.(本小题5分) 相等．理由略．17.(本小题5分) 解：（1）小胖的话不对．ＡＢ Ｄ Ｇ Ｆ ＥC B 班级______________________________________ 姓名____________________ 考场号________________ 考号_______________----------------------------------------------------密---------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1 米高”，情形如图（1）所示，OP 是标准跷跷 板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最 高高度1米，BC 是地面．.OP BC AC BC OBP ABC OBP ABC ∠=∠∴ ⊥，⊥，，△∽△.BO OPBA AC∴= 又 此跷跷板是标准跷跷板，BO OA =， 12BO BA ∴=，而1AC =米，得0.5OP =米． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a 米(0)a >． 如图（2）所示，BD a =米，AE a =米 BO OA BO a OA a =∴+=+ ，，即DO OE =．12DO DE ∴=，同理可得DOP DEF △∽△． DO OP DE EF ∴=，由0.5OP =米，得1EF =米．综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度， 跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP 高度的两倍， 所以不可能翘得更高．（2）方案一：如图（3）所示，保持BO 长度不变．将 OA 延长一半至E ，即只将小瘦一边伸长一半．使12AE OA =，则25BO BE =． 由BOP BEF △∽△，得.BO OPBE EF= 1.25EF ∴=米．方案二：如图（4）所示，只将支架升高0.125米．12B O B O P B AC B A ''''''''='' ，△∽△， 又0.50.1250.625O P ''=+=米．B O O P B A AC ''''∴=''''． 1.25A C ''∴=米．（注：其它方案正确，可参照上述方案评分！）18.(本小题5分) 略四、画图题：本大题共2小题，共10分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 19.(本小题5分) 略20.(本小题5分) 略五、合情推理题：本大题共2小题，共16分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．21.(本小题8分) （1）3n +，2n +．（2）(3)(2)y n n =++，即256y n n =++．（3）当506y =时，256506n n ++=，即255000n n +-=，120n =，225n =-（舍去）．（4）白瓷砖的块数是(1)20(201)420n n +=⨯+=，黑瓷砖的块数是50642086-=（块），故共须花86442031604⨯+⨯=（元）．（5）由2(1)(56)(1)n n n n n n +=++-+得2360n n --=，得13n =，2302n -=<（舍去），n 的值不是正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．本小题8分) 解：能并出一个大正三角形，如图所示：ABC AFE FBD EDC DEF △∽△∽△∽△∽△． 下面以ABC AFE △∽△为例说明： 由于正三角形每个角都等于60，所以6060BAC FAEABC AFE BCA FEA ∠=∠=∠=∠=∠=∠，，60.=Ｃ （3）F'（4）PB 'Ｃ由于正三角形三边相等，所以AF FE AEAB BC AC ==． 所以ABC AFE △∽△．六、证明题：本大题共2小题，共14分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 23.(本小题7分) 证明：连接EC ． 证明ECF △与ECG △相似．2.EC EGEF EC EC EF EG ∴=∴= 又EC BE = ， 2BE EF EG ∴= ．24.(本小题7分) （１）以下四对．①ABP DCP △≌△；②ABE DCF △≌△；③BEP CFP △≌△； ④BFP CEP △≌△．（２）下面就ABP DCP △≌△给出参考答案．证明：AD BC AB DC = ∥，， ∴梯形ABCD 为等腰梯形， BAD CDA ∴∠=∠． 又PA PD = ，..PAD PDA BAD PAD CDA PDA ∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠即.BAP CDP ∠=∠在ABP △和DCP △中，.PA PD BAP CDP AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，，.ABP DCP ∴△≌△Ａ ＦＥ Ｄ ＢCB。
图形的相似单元测试【含答案】
DC B A 图形的相似 单元测试（时间：60分钟，共100分）一、选择题（每小传统3分，共30分） 1．下列语句正确的是 ( )A ．在△ABC 和△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∠C′=60°， 则△ABC 和△A′B′C′不相似B ．在△ABC 和△A′B′C′中，AB=5，BC=7，AC=8，A′C′=16，B′C′=14，A′B ′=10，则△ABC ∽△A′B′C′C ．两个全等三角形不一定相似D ．所有的菱形都相似2．如图所示，△ABC ∽△ADE ，AE=30cm ，EC=15cm ，BC=60cm ，则DE 的长为 ( ) A ．40cm B ．50cm C ．45cm D ．35cm 3．如图所示，能保证△ACD ∽△ABC 的条件是 ( ) A ．AB:BC=AC:CD B ．CD:AD=BC:AC C ．CD 2=AD ．DC D ．AC 2=AB ．AD 4．如果两个相似多边形的面积比为9:4，那么这两个相似多边形的相似比为 ( ) A ．9:4 B ．2:3 C ．3:2 D ．81:16 5．小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，如图 所示给出的四个图案中，符合图示胶滚图案的是 ( )6．语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有边长相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有 ( )A ．4句B ．3句C ．2句D ．1句 7．下列语句中不正确的是 ( )A ．求两条线段的比值，必需采用相同的长度单位B ．求两条线段的比值，只需采用相同的长度单位，与选用何种长度单位无关C ．两个相似三角形中，任意两组边对应成比例D ．不相似的两个三角形中，也有可能两组边对应成比例 8．下列各组图形有可能不相似的是 ( ) A ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是50°的两个直角三角形 D ．两个等腰直角三角形9．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．301250800xy ╯ ╮ 650 536╭α ╰ ╯ 803 10． 已知cba b a c a c b +=+=+＝k ，则k=（ ） A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D ．0二、填空题（每小题3分，共24分）11．如果一个三角形的面积扩大9倍，那么它的边长扩大_____________倍．12．如图所示，有一块呈三角形的草坪，其一边长为20m ，在这个草坪的图纸上，若这条边的长为5cm ，其他两边的长都是3．5cm ，则该草坪其他两边的实际长度为______________．13．如图所示的两个三角形是相似的x=_________，m=___________，n=____________．x2a 55︒m ︒45︒103a n ︒80︒45︒14． 已知如图，两个矩形相似， 则x= ，y= ，α= ．15． 在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1．5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是＿＿＿米．16．如图中的两个矩形相似，则x=___________．17． 请把下列各组图形是否相似的结论写在下面的括号里．18．如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 ．三、解答题（19小题6分，其余各小题8分，共46分） 19．把上下对应的相似图形用线连起来20．如图所示，写出多边形ABCDEF 各个顶点的坐标，并画出多边形ABCDEF 关于y 轴的轴对称图形，它们相应的对称点的坐标有什么变化?－3 －2 －1 32 1 O －1 －212 3 xy21．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．222．以下列正方形网络的交点为顶点，分别画出两个相似比不为1的相似三角形，使它们：(1)都是直角三角形；(2)都是锐角三角形；(3)都是钝角三角形．23．如果一个图形经过分割，能成为若干个与自身相似的图形，我们称它为“能相似分割的图形”，如图所示的等腰三角形和矩形就是能相似分割的图形． (1)你能否再各举出一个 “能相似分割”的三角形和四边形？(2)一般的三角形是否“能相似分割的图形”？如果是的话给出一种分割方案，否则说明原因．24．我们通常用到的一种复印纸，整张称为A 1纸，对折一分为二裁开成为A 2纸，再一分为二成为A 3纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值(精确到千分位)．参考答案1．B ；对应边成比例 2．A ；根据对应边成比例 3．D ；比例性质 4．C ；相似形的性质 5．C ；图形的相似 6．B ；②③④ 7．C ；注意对应 8．A ；不符合对应关系 9． 由相似多边形对应边成比例，设最长边为x ．∴x662 ，∴2x=36，x=18．答案：B 10．C ．2或－1二、11．3倍 12．14m 13．20314．根据相似形的性质，得x=2.5，y=1.5，α=900；⑵x=22.5． 15．在相同时刻的物高与影长成比例，设古塔的高为xm ，则505.25.1x=，解得x=30（m ） 16．已知两个矩形相似，根据相似形的性质，有x201530=，∴30x ＝15×20，解得x ＝10；又152030=x ，∴x ＝22．5 17． ①相似，②不相似，③不相似，④相似，⑤不相似，⑥不相似 18． 由左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，不难发现左右眼睛之间的距离2个单位；平移后的图形右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标的纵坐标不变，横坐标为3＋2＝5，即右图案中右眼的坐标是（5，3）． 三、19．相似形连线如（1）－（a ），（2）-(d)，（3）－(g)20．提示:A(-2，0)，B(0，-3)，C(3，-3)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3)，A′(2，0)，B′(0， 3)，C′(-3，-3)，D′(-4，0)，E′(-3，3)，F′(0，3)．21．只有正方形才能做到，设矩形的一边为a ，另一边为b ，等宽的纸边宽为c ，按小华的要求，应有cb ca b a 22--=，化简得a=b ． 22．作图如下23．例如直角三角形，一组底角是60°、三边相等的等腰梯形． 三角形都是“能相似分割的图形”（提示：顺次连结三角形三边中点，将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似）24． 1．414（提示：设 A 1纸的长为a ，观为b ，由A 1，A 2纸的长余观对应成比例，得a:b=b:21a ）。
北师版九年级数学 第四章 图形的相似(单元综合测试卷)
第四章图形的相似（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若23a b =，则a a b +等于（）A ．15B ．25C ．35D ．452．如果两个相似三角形的面积之比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为（）A ．81:16B ．27:12C ．9:4D ．3:23．已知，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），若线段2AB cm =，则线段AP 的长是（）Acm B ．1）cm C ．（3cm D ．（2cm4．如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，4AB =，9AC =，4EF =，则DE 的长为（）A ．165B ．169C ．5D ．95．如图，下列条件不能判定BDC ABC ∽ 的是（）A ．∠=∠BDC ABCB ．DBC BAC ∠=∠C ．2D C A B C C =⋅D ．AD AB AB BC=6．如图，在ABCD Y 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么EF 与CF 的比是（）A ．21：B ．13：C ．12：D ．31：7．如图，BE 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P 处与地面BE 的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足32FD FA =，若盲区BE 的长度是6米，则车宽FA 的长度为（）米．A ．117B ．127C ．137D ．28．如图，在平面直角坐标中，已知()()1030A D ，，，，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心．若 1.5AB =，则DE 长为（）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．99．如图，ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且60ADE ∠=︒，6AB =，2BD =，则CE 的长等于（）A ．1B ．43C ．53D ．210．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ∠=︒，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③13412DEC S =-△；④12DH HC =．则其中正确的结论有（）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，则a ∠的度数是．12．如图，在ABC 中，DE CB ∥，DE 分别与AC AB 、相交于点D 、E ，若4=AD ，8DC =，则:AE EB 的值为．13．如图，在ABC ∆中，点P 为AB 上一点，连接CP .若再添加一个条件，使APC ACB ∆∆∽，则需添加的一个条件是.14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边0.6=DE 米，0.3EF =米，测得边DF 离地面的高度 1.5AC =米，10CD =米，则树高AB 为米．15．如图，已知ABC 和A B C ''△是以点()1,0C -为位似中心，位似比为1:2的位似图形，若点B 的对应点B '的横坐标为a ，则点B 的横坐标为．16．如图，AD 是ABC 的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，那么AF AC =．17．如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 边的中点，连接DE 交AC 于点F ．若6AC =，则EF 的长为．18．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，点E 是AB 的中点，点M 是BC 的动点．将BEM △沿EM 翻折至PEM △．再将CFM △沿MF 翻折至QFM △，使点M ，P ，Q 在同一直线上，折痕MF 交射线CD 于点F ．则：（1）EMF ∠=°；（2）当点M 是BC 的中点时，DF 的长为．三、解答题（本大题共9小题，共66分）19．（1）若234x y z ==，且328x y z -+=，求234x y z -+的值；（2）若23a eb f ==，则a e b f +=+______．20．如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别截直线4l 于点A ，B ，C ，截直线5l 于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥．若4AB =，8BC =，10EF =，求DF 的长．21．如图，在ABC ∆中，点D ，E 在AB 上，点G 在AC 上，连接,,DG CE EG ，DG EC EG BC ∥∥,．求证：AE AD AB AE=22．如图，线段BD 、CE 是ABC 的两条高．(1)求证：ACE ABD ∽；(2)若6AD =，5DE =，10AB =，求BC 的长．23．小琛周末去检查视力，发现该店老板利用平面镜来解决房间小的问题．已知正常情况下，人与视力表之间的距离应为5米，而测得该店两面墙的距离为3米，如图，根据平面镜成像原理作出光路图，视力表AB 的上下边沿A ，B 上发出的光线经平面镜'MM 的上下边反射后射入人眼C 处．已知视力表AB 的全长为0.8米，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，请计算出镜长至少为多少米？24．图①、图②、图③均是55⨯的正方形网格，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹．(1)在图①中，在ABC 的边BC 上找一点D ，连结AD ，使BAD BCA △∽△；(2)在图②中，在ABC 的边AB 上找一点P ，在边BC 上找一点Q ，连结PQ ，使BPQ BAC ∽，且相似比为1:2；(3)在图③中，在ABC 的边BC 上找一点E ，连结AE ，使2ABE ACE S S = ．25．在正方形网格中，OBC △的顶点分别为()00O ，，()31B -，，()21C ，．(1)以点()00O ，为位似中心，以位似比21：在位似中心的异侧将OBC △放大为OB C ''△，放大后点B ，C 两点的对应点分别为B '，C '，请画出OB C ''△；(2)在（1）中，若点()M a b ，为线段BC 上任一点，直接写出变化后点M 的对应点M '的坐标．（用含a ，b 的代数式表示）26．已知四边形ABCD 的一组对边AD DC ，的延长线相交于点E ．(1)如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，求证：••ED EA EC EB =；(2)如图2．若12060510ABC ADC CD AB ∠=︒∠=︒==，，，，CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积．27．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，以BC 为边在ABC 右侧作正方形DEFG ．(1)问题提出：图I 中线段AF 与线段BE 的数量关系为（直接写出答案）；(2)深入探究：如图2，将正方形DEFG 绕点D 在平面内旋转，连接AF BE ，．判断线段AF 与线段BE 的数量关系并说明理由；(3)拓展延伸：若2AC =，正方形DEFG 绕点D 在平面内旋转的过程中，当点A ，E ，请直接写出线段BE 的长．28．如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，点E 为边BC 上一点，将CDE 沿DE 翻折得到C DE ' ，连接AC '并延长交DE 于点F ，交BC 于点G ．(1)设2ADC α'∠=，探究AFD ∠的大小是否为定值，请说明理由；(2)在DF 上截取FH FA =，连接AH ，求证：DH C F '=；(3)若54AC FG '=，5BE =，求菱形的边长．第四章图形的相似（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、单选题1．若23a b =，则a a b +等于（）A ．15B ．25C ．35D ．452．如果两个相似三角形的面积之比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为（）A ．81:16B ．27:12C ．9:4D ．3:2【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解此题的关键．【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为9:4，∴两个相似三角形的相似比为3:2，∵相似三角形的周长比等于相似比，∴这两个三角形的周长之比为3:2，故选：D ．3．已知，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），若线段2AB cm =，则线段AP 的长是（）Acm B ．1）cm C ．（3cm D ．（2cm4．如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，4AB =，9AC =，4EF =，则DE 的长为（）A ．165B ．169C ．5D ．95．如图，下列条件不能判定BDC ABC ∽ 的是（）A ．∠=∠BDC ABCB ．DBC BAC ∠=∠C ．2D C A B C C=⋅D ．AD AB AB BC=【答案】D 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解析】解：A 、∵∠=∠BDC ABC ，C C ∠=∠，∴BDC ABC ∽ ，故此选项不合题意；B 、∵DBC BAC ∠=∠，C C ∠=∠，∴BDC ABC ∽ ，故此选项不合题意；C 、∵2D C A B C C =⋅，∴BC AC DC BC=，又∵C C ∠=∠，∴BDC ABC ∽ ，故此选项不合题意；D 、AD AB AB BC=不能判定BDC ABC ∽ ，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.6．如图，在ABCD Y 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么EF 与CF 的比是（）A ．21：B ．13：C ．12：D ．31：【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据平行四边形的性质得到AB CD =，进而推得12BE CD =，再证明BEF DCF ∽△△，根据相似三角形的性质，即得答案．7．如图，BE 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P 处与地面BE 的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足32FD FA =，若盲区BE 的长度是6米，则车宽FA 的长度为（）米．A ．117B ．127C ．137D ．2则 1.6PM =，设FA x =米，由32FD FA =得，8．如图，在平面直角坐标中，已知()()1030A D ，，，，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心．若 1.5AB =，则DE 长为（）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．99．如图，ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且60ADE ∠=︒，6AB =，2BD =，则CE 的长等于（）A ．1B ．43C ．53D ．210．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ∠=︒，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③14DEC S =-△；④12DH HC =．则其中正确的结论有（）A．①②③B．①②③④C．①②④D．①③④ ≌，ABE ADE(SAS)∴．∠=∠ABE ADE∴∠=∠，CBE CDE，BC CF=在Rt ADC 中，根据勾股定理求出由面积公式得：1122AD DC AC ⨯=22DM ∴=，45DCA ∠=︒ ，二、填空题11．如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，则a ∠的度数是．【答案】100︒/100度【分析】利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解．【解析】解： 四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，70B B '∴∠=∠=︒，3601306070100C '∴∠=︒-︒-︒-︒=︒100C α'∴∠=∠=︒，故答案为：100︒．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．12．如图，在ABC 中，DE CB ∥，DE 分别与AC AB 、相交于点D 、E ，若4=AD ，8DC =，则:AE EB 的值为．【答案】1:2【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键，根据DE CB ∥，由平行线分线段成比例定理可得::AE EB AD CD =，将已知条件代入即可求解．【解析】解：∵DE CB ∥，4=AD ，8DC =，∴::4:81:2AE EB AD CD ===．故答案为1:2．13．如图，在ABC ∆中，点P 为AB 上一点，连接CP .若再添加一个条件，使APC ACB ∆∆∽，则需添加的一个条件是.【答案】∠ACP =∠B 或∠APC =∠ACB 或AP ：AC =AC ：AB【分析】利用相似三角形的判定可求解．【解析】解：①当∠ACP =∠B ，∠A =∠A ，可得△APC ∽△ACB ，故可添加∠ACP =∠B ；②当∠APC =∠ACB ，∠A =∠A ，可得△APC ∽△ACB ，故可添加∠APC =∠ACB ；③当AP ：AC =AC ：AB ，∠A =∠A ，可得△APC ∽△ACB ，故可添加AP ：AC =AC ：AB ；故答案为∠ACP =∠B 或∠APC =∠ACB 或AP ：AC =AC ：AB ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边0.6=DE 米，0.3EF =米，测得边DF 离地面的高度 1.5AC =米，10CD =米，则树高AB 为米．15．如图，已知ABC 和A B C ''△是以点()1,0C -为位似中心，位似比为1:2的位似图形，若点B 的对应点B '的横坐标为a ，则点B 的横坐标为．【答案】32a +-【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出1112x a --=+是解题的关键．设B 点横坐标为x ，过B 作BM x ⊥轴于点M ，过B '作B N x '⊥轴于点N ，根据平行线分线段成比例定理得到CM BC CN B C ='，根据相似三角形的性质求出1112x a --=+，计算即可．【解析】设B 点横坐标为x ，如图，过B 作BM x ⊥轴于点M ，过B '作B N x '⊥轴于点NBM B N '∴∥，BCM B CN ∴'△∽△，CM BC CN B C∴'=，∵ABC 和A B C ''△是位似比为1:2的位似图形，即1112x a --=+，解得32a x +=-，B ∴点横坐标为32a +-．16．如图，AD 是ABC 的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，那么AC =．∵D为BC中点，DG BF∥∴12CG CDCF CB==，即：CG又E为AD的中点，BE的延长线交∴12AE AFAD AG==，即：AF17．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC、BD相交于点O，E为BC边的中点，连接DE交AC于点F．若6AC=，则EF的长为．18．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，点E 是AB 的中点，点M 是BC 的动点．将BEM △沿EM 翻折至PEM △．再将CFM △沿MF 翻折至QFM △，使点M ，P ，Q 在同一直线上，折痕MF 交射线CD 于点F ．则：（1）EMF ∠=°；（2）当点M 是BC 的中点时，DF 的长为．（2）如图，点M 是BC 的中点时，由折叠知，,MB MP MC =∴MP MQ =,即,P Q 两点重合．△MPE 中，MPE B ∠=∠=【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质；由折叠得到角相等，线段相等是解题的关键．三、解答题19．（1）若234x y z ==，且328x y z -+=，求234x y z -+的值；（2）若23a eb f ==，则a e b f +=+______．20．如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别截直线4l 于点A ，B ，C ，截直线5l 于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥．若4AB =，8BC =，10EF =，求DF 的长．【答案】15DF =【分析】本题考查了平行线分线段成比例；根据平行线分线段成比例列式求出DE ，再根据DF DE EF =+计算即可．【解析】解：∵123l l l ∥∥，∴AB DE BC EF =，即4810DE =，∴5DE =，∴51015DF DE EF =+=+=．21．如图，在ABC ∆中，点D ，E 在AB 上，点G 在AC 上，连接,,DG CE EG ，DG EC EG BC ∥∥,．求证：AE AD AB AE=【答案】证明见解析【分析】根据平行线分线段成比例可得=AG AE AC AB 和AG AD AC AE=，即得AE AD AB AE =【解析】证明：∵EG BC ∥，∴=AG AE AC AB ，∵DG EC ∥，∴AG AD AC AE =，∴AE AD AB AE=．【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例．22．如图，线段BD 、CE 是ABC 的两条高．(1)求证：ACE ABD ∽；(2)若6AD =，5DE =，10AB =，求BC 的长．【答案】(1)见解析(2)253【分析】（1）根据高线的定义，得到90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据A A ∠=∠，即可得证；（2）证明ADE ABC △△∽，列出比例式进行求解即可．【解析】（1）解：∵线段BD 、CE 是ABC 的两条高，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵A A ∠=∠，∴ACE ABD ∽；（2）∵ACE ABD ∽，∴AD AB AE AC =，∴AD AE AB AC=，∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △△∽，∴AD DE AB BC =，即：6510BC=，∴253BC =．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．23．小琛周末去检查视力，发现该店老板利用平面镜来解决房间小的问题．已知正常情况下，人与视力表之间的距离应为5米，而测得该店两面墙的距离为3米，如图，根据平面镜成像原理作出光路图，视力表AB 的上下边沿A ，B 上发出的光线经平面镜'MM 的上下边反射后射入人眼C 处．已知视力表AB 的全长为0.8米，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，请计算出镜长至少为多少米？∵AB MM A B '''∥∥，CE A B ∴⊥''，CMM CA B ''' ∽，MM CD '24．图①、图②、图③均是55⨯的正方形网格，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹．(1)在图①中，在ABC 的边BC 上找一点D ，连结AD ，使BAD BCA △∽△；(2)在图②中，在ABC 的边AB 上找一点P ，在边BC 上找一点Q ，连结PQ ，使BPQ BAC ∽，且相似比为1:2；(3)在图③中，在ABC 的边BC 上找一点E ，连结AE ，使2ABE ACE S S = ．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）在BC 上取一点D ，使得AD BC ⊥即可；（2）取AB 的中点P ，取格点T ，连接PT 交BC 于点Q ，线段PQ 即为所求；（3）取格点P ，Q ，连接PQ 交BC 于点E ，连接AE 即可，本题考查作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．【解析】（1）解：如图①中，线段AD 即为所求；（2）解：如图2中，线段PQ 即为所求；（3）解：如图③中，点E 即为所求．25．在正方形网格中，OBC △的顶点分别为()00O ，，()31B -，，()21C ，．(1)以点()00O ，为位似中心，以位似比21：在位似中心的异侧将OBC △放大为OB C ''△，放大后点B ，C 两点的对应点分别为B '，C '，请画出OB C ''△；(2)在（1）中，若点()M a b ，为线段BC 上任一点，直接写出变化后点M 的对应点M '的坐标．（用含a ，b 的代数式表示）【答案】(1)见详解(2)()22M a b '--，【分析】（1）利用位似变换的性质，2OC OC '=，2OB OB '=，再结合()00O ，，()31B -，，()21C ，，即可分别作出B ，C 的对应点B '，C '，再连接即可作答；（2）探究坐标变化规律，可得结论．【解析】（1）解：如图，OB C ''△即为所求：（2）解：因为()31B -，，()21C ，，且由（1）的图可知()62B '-，，()42C '--，，所以变化后点()M a b ，的对应点M '的坐标为()22a b --，．【点睛】本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．26．已知四边形ABCD 的一组对边AD DC ，的延长线相交于点E ．(1)如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，求证：••ED EA EC EB =；(2)如图2．若12060510ABC ADC CD AB ∠=︒∠=︒==，，，，CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)18【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理等知识点，熟记相关定理内容是解题关键．（1）证EDC EBA ∽ 即可；（2）过C 作CF AD ⊥于F ，AG EB ⊥于G ．可求出,,EF CF AG ；证EFC EGA ∽V V 得::EF EG CF AG =，即可求解；【解析】（1）证明：∵90ADC ∠=︒，180EDC ADC ∠+∠=︒，∴90EDC ∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴EDC ABC ∠=∠，∵E E ∠=∠，∴EDC EBA∽，V V ∴::ED EB EC EA =，∴··ED EA EC EB =；（2）解：如图2中，过C 作CF AD ⊥于F ，AG EB ⊥于G ．在Rt CDF △中，60ADC ∠=∴30DCF ∠=°，∵5CD =，∴15,22DF CD ==CD CF =27．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，以BC 为边在ABC 右侧作正方形DEFG ．(1)问题提出：图I 中线段AF 与线段BE 的数量关系为（直接写出答案）；(2)深入探究：如图2，将正方形DEFG 绕点D 在平面内旋转，连接AF BE ，．判断线段AF 与线段BE 的数量关系并说明理由；(3)拓展延伸：若2AC =，正方形DEFG 绕点D 在平面内旋转的过程中，当点A ，E ，请直接写出线段BE 的长．【答案】(1)2AF BE=(2)2AF BE =，理由见解答过程(3)62-或62+【分析】（1）根据ABC 是等腰直角三角形，得2AF BC =，再由正方形的性质即可解答；（2）连接BD CD ，，根据ABD △和DEF 都是等腰直角三角形，可证明BDE ADF ∽，然后根据线段比例即可解答；（3）分当点F 在线段AE 上或点F 在线段AE 的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求得AF ，再由（2）得出BE 的长度即可．【解析】（1）解：∵ABC 是等腰直角三角形，∴2AF BC =，∵四边形DEFG 是正方形，∴BC GF BE ==，∴2AF BE =．故答案为：2AF BE =．（2）解：2AF BE =，理由如下：如图2，连接BD ，在Rt BAC 中，45BAC ∠=∴2sin 2BD BAC AD ∠==，在正方形DEFG 中，sin ∠∴BD DE AD DF=，∴45EDF BDA ∠=∠=︒，∴EDF BDF BDA ∠-∠=∠∴BDE ADF ∽，∴2AF AD ==，即AF 由（1）知，DE FE DG ==在Rt ADE △中，2,DE =∴222AE AD DE =-=∴23AF AE FE =-=-由（2）知，2AF BE =由（1）知，2DE FE DG ===，在Rt ADE △中，2DE =，∴2223AE AD DE =-=，∴232AF AE FE =-=+，由（2）知，2AF BE =，∴()223223226222222BE +++====⨯∴当正方形DEFG 旋转到A 、E 、F 三点共线时【点睛】本题主要考查四边形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．28．如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，点E 为边BC 上一点，将CDE 沿DE 翻折得到C DE ' ，连接AC '并延长交DE 于点F ，交BC 于点G ．(1)设2ADC α'∠=，探究AFD ∠的大小是否为定值，请说明理由；(2)在DF 上截取FH FA =，连接AH ，求证：DH C F '=；(3)若54AC FG '=，5BE =，求菱形的边长．【答案】(1)AFD ∠的大小为定值，理由见解析(2)见解析∵AD DC =，60ADC ∠=∴ADC △为等边三角形，∴AC AD =，60CAD ∠=︒∵FH FA =，60AFD ∠=︒∴AFH 为等边三角形，∴AF AH =，60FAH ∠=∵CAF CAH CAH ∠+∠=∠∴CAF DAH ∠=∠，∴AFC AHD ≌，∴DH CF =，∵CD C D ¢=，CDF C ∠=∠∴CDF C DF ' ≌，∴C F CF '=，∴DH C F '=；（3）解：如图：由54AC FG '=，可设5AC a ='则4FG a =，DH C F CF '==∵AFH 为等边三角形，∴60AHF AFH ∠=∠=︒，∴120AHD ∠=︒由（2）AFC AHD ≌，。
七年级数学上学期第四单元几何图形初步测试卷5套带答案
第4章 单元测试题(时间100分钟 满分100分)一、选择题:(每小题3分,共30分)1.如图1所示的棱柱有( )A.4个面B.6个面C.12条棱D.15条棱C(2)A DB2.如图2,从正面看可看到△的是( )3.如图3,图中有( )A.3条直线B.3条射线C.3条线段 D.以上都不对4.下列语句正确的是( )A.如果PA=PB,那么P是线段AB的中点;B.作∠AOB的平分线CDC.连接A、B两点得直线AB;D.反向延长射线OP(O为端点)5.如图4,比较∠α、∠β、∠γ 的大小得( )A. ∠γ>∠β>∠α;B. ∠α=∠β;C. ∠γ>∠α>∠β;D. ∠β>∠α>∠γ.6.5点整时,时钟上时针与分钟之间的夹角是( )A.210°B.30°C.150°D.60°7.两个角,它们的比是6:4,其差为36°,则这两个角的关系是( )A.互余B.互补C.既不互余也不互补D.不确定8.∠α=40.4°,∠β=40°4′,则∠α与∠β的关系是( )A. ∠α=∠β;B. ∠α>∠β;C. ∠α<∠β;D. 以上都不对9.如果∠α=3∠β, ∠α=2∠θ,则必有( )2310.如图5所示,已知∠AOB=64°,OA1平分∠AOB,OA2平分∠AOA1,OA3平分∠AOA2,OA4平分∠AOA3,则∠AOA4的大小为( )A.8°B.4°C.2°D.1°二、填空题:(每小题3分,共30分)11.已知线段AB=8cm,延长AB 至C,使AC=2AB,D 是AB 中点,则线段CD=______.12.如图,从城市A 到城市B 有三种不同的交通工作:汽车、火车、飞机,除去速度因素,坐飞机的时间最短是因为___________.13.57.32°=_______°_______′_______″;27°14′24″=_____°.14.已知∠a=36°42′15″,那么∠a 的余角等于________.15.∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,根据________,得∠1=∠3.16.表示O 点南偏东15°方向和北偏东25°方向的两条射线组成的角等于____17.如图,∠AOC=90°,∠AOB=∠COD,则∠BOD=______°.航线铁路公路(6)A B18.102°43′32″+77°16′28″=________;98°12′25″÷5=_____.19.已知线段AB=acm,点A 1平分AB,A 2平分AA 1,A 3平分AA 2,……,____________cm.20.在平面上有任意四点,过其中任意两点画直线,能画_______条直线.三、解答题:(21、24、25、26每题6分,22、23题每题8分)21.根据下列语句画图:(1)画∠AOB=120°;(2)画∠AOB 的角平分线OC;(3)反向延长OC 得射线OD;(4)分别在射线OA、OB、OD 上画线段OE=OF=OG=2cm;(5)连接EF、EG、FG;(6)你能发现EF、EG、FG 有什么关系?∠EFG、∠EGF、∠GEF 有什么关系?22.已知线段AB=10cm,直线AB 上有一点C ,且BC=4cm,M 是线段AC 的中点,求AM 的长.23.如图,直线AB、CD 交于O 点,且∠BOC=80°,OE 平分∠BOC,OF 为OE 的反向延长线.(1)求∠2和∠3的度数.(2)OF平分∠AOD吗?为什么?24.一个角的补角与它的余角的度数之比是3:1,求这个角的度数.25.测量员沿着一块地的周围测绘.从A向东走600米到B,再从B向东南(∠ABC= 135°)走500米到C,再从C向西南(∠BCD=90°)走800米到D.用1厘米代表100米画图, 求DA的长(精确到10米)和DA的方向(精确到1°).北D CA B26.利用线段、角、三角形、圆等图形为你的学校设计一个校标,并简述你的设计思路.参考答案一、选择题1.D2.C3.C4.D5.C6.C7.B8.B9.C 10.B二、填空题11.12cm 12.两点之间,线段最短 13.57、19、12;27.2414. 53°17′45″ 15.同角的补角相等16.140° 17.90 18.180°;19°38′29″. 19. 20.1或4或6三、解答题21.(6)EF=EG=FG,∠EFG=∠EGF=∠FEG=60°22.AM=7cm或3cm23.(1)∠2=100°,∠3=40°;(2)∠AOF=40°,OF平分∠AOD24.设这个角为x0,( 180-x):(90-x)=3:1,x=45.第4章 单元测试题2检测时间：45分钟，满分：100分班级 学号 姓名 得分一、填空题：（每空2分，共46分）1．正方体有______条棱，_____个顶点， 个面.2．圆柱的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面展开图是一个 ，棱柱的侧面展开图是一个 。
相似图形单元测试题(含答案)
第四章相似图形单元测试题时间120分钟，满分120分一.选择题(每小题3分,共30分)1、如图，在Rt ABC △内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a ，b ，c 满足的关系式是（ ）A ．b a c =+B ．b ac =C ．222b ac =+ D ．22b a c ==2、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )3、如下左图，五边形ABCDE和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，且PA 1=32PA ，则AB ׃A 1B 1等于( ) A ．32 B ．23 C ． 53 D ．354、如上中图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）.Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．①和③ Ｄ．②和④5、厨房角柜的台面是三角形，如上右图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）A ．14B ．41C ．13D ．346、在△MBN 中，BM =6,点A ,C,D 分别在MB 、NB 、MN 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠NDC =∠MDA 则□ABCD 的周长是( )A ．24B ．18C ．16D ．127、下列说法“①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1∶2；④两个相似多边形的面积比为4∶9，则周长的比为16∶81.”中,正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM=CN ，CMBMAN AM =，下列结论正确的是（ ） A ．∆ABM ∽∆ACB B ．∆ANC ∽∆AMB C ．∆ANC ∽∆ACM D ．∆CMN ∽∆BCA9、已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过而且落在离网5米的位置上（网球运行轨迹为直线），则球拍击球的高度h 应为（ ）.Ａ．0.9m Ｂ．1.8m Ｃ．2.7m Ｄ．6m10、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度A ．增大1.5米B ．减小1.5米C ．增大3.5米D ．减小3.5米BA C第8题图ABCN ME 1D1C 1B 1A 1BDACEP二、填空题：（30分）11、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= .12、如图，将①∠BAD = ∠C ；②∠ADB = ∠CAB ； ③BC BD AB ⋅=2；④DBABAD CA =；⑤DA AC BA BC =； ⑥ACDABA BC =中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是__________，结论是_______.（注：填序号）13、如图，Rt ∆ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC=8，BC=6，则AD=_________。
人教版七年级上册数学第四章《几何图形》单元测试卷(Word版,含答案)
人教版七年级上册数学第四章《几何图形》单元测试卷（满分100分，时间90分钟）一、选择题（本大题共十小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1.下列说法不正确的是（）A．用一个平面去截一个正方体可能截得五边形B．五棱柱有10个顶点C．沿直角三角形某条边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆柱D．将折起的扇子打开，属于“线动成面”的现象2.下列图形中，经过折叠不能围成一个正方体的是（）A．B．C．D．3.图1是一个正六面体，把它按图2中所示方法切割，可以得到一个正六边形的截面，则下列展开图中正确画出所有的切割线的是（）A．B．C．D．4.已知∠1=27°18′，∠2=27.18°，∠3=27.3°，则下列说法正确的是（）A．∠1=∠3B．∠1=∠2C．∠1＜∠2D．∠2=∠35.如图是顺义区地图的一部分，小明家在怡馨家园小区，小宇家在小明家的北偏东约15°方向上，则小宇家可能住在（）A．裕龙花园三区B．双兴南区C．石园北区D．万科四季花城6.一个正方体的展开图如图所示，将它折成正方体后，数字“0”的对面是（）A．数B．5 C．1 D．学7.如图，∠AOB是一直角，∠AOC=40°，OD平分∠BOC，则∠AOD等于（）A．65°B．50°C．40°D．25°8.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的为（）A．B．C．D．9.如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至点B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC的余角是（）A．15°B．30°C．45°D．75°10.某乡镇的4个村庄A,B,C,D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）在上述四个方案中最短的道路系统是方案（）A．一B．二C．三D．四二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.有一正角锥的底面为正三角形.如果这个正角锥其中两个面的周长分别为27,15，则此正角锥所有边的长度和为.12.有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是.13.如图是一个立方体的平面展开图形，每个面上都有一个自然数，且相对的两个面上两数之和都相等，若13,9,3的对面的数分别是a,b,c，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为.14.用一根长28分米的木条截开后刚好能搭一个长方体的架子，这个长方体的长、宽、高的长度都是整数分米，且都不相等，那么这个长方体的体积等于立方分米.15.经过A,B两点的直线上有一点C，AB=10，CB=6，D和E分别是AB,BC的中点，则DE 的长是.16.上午8：30钟表的时针和分针构成角的度数是.17.下列几何体属于柱体的有个.18.平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，平面内不同的七个点最多可确定条直线.19.用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为：①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱（写出所有正确结果的序号）.20.已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的矩形，长为6π，宽为4π，那么这个圆柱底面圆的半径为.三、解答题（21 ~23题每题7分，25题8分，26题8分，27题8分）21.如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M,N分别为AC,BC的中点．（1）求线段BC,MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M,N分别是线段AC,BC的中点，求MN的长度．22.如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，已知正方体相对两个面上的代数式的值相等．求a+的值．。
2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)
第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。
第四章相似图形测试题
图７
三、 解答题 （ ４ 共 ０分 ）
．
ｃ
图 ８
２ ． ８ ） 图 ９ 梯形 Ａ Ｃ 中，Ｄ∥Ｂ Ｅ是 Ａ １（ 分 如 ， ＢＤ Ａ Ｃ， Ｂ上 的一点 ，Ｆ Ｃ 并且 Ｅ ＃Ｂ ，
将梯 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ分成 的两个 梯形 Ａ Ｆ Ｅ Ｃ Ｅ Ｄ、Ｂ Ｆ相似 ， Ａ ４ Ｂ ９ 求 Ａ ：Ｅ ． 若 Ｄ＝ ， Ｃ＝ ， Ｅ Ｂ
（ Ａ）ＡＡ肋 △Ａ∞
）
Ｃ Ｅ Ｂ Ｄ
（ Ａ Ａ Ｂ △Ａ Ｂ） Ｅ
（ △ Ｂ Ｅ △Ａ Ｅ Ｃ） Ａ Ｃ （ △ Ｅ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ） Ｃ Ａ
图 １
３ 梯形 Ａ Ｃ ． Ｂ Ｄ中 ，Ｂ／Ｃ Ａ Ｂ Ａ ／ Ｄ，Ｃ、Ｄ相交 于 ０， 下面所列 比例式 中 ， 错误 的有 （
ＡＢ Ａ Ｄ
—
） 个
ＡＯ ＢＯ
ＡＯ Ｂ０
Ａ０ ＤＯ
Ｃ Ｄ
● ●
；
丽 ；
； 一 Ｂ Ｏ
（ ３ Ｂ）
‘
（ ） Ｃ２ （ １ Ｄ）
Ｃ
（ ４ Ａ）
４ 如 图 ２ 在 平 行 四 边 形 Ａ Ｃ 中 ， 为 Ｃ 中 点 ， Ｅ交 Ｂ ． ， ＢＤ Ｅ Ｄ Ａ Ｄ
（ ） 对 Ａ １
（ ３对 Ｃ）
）
（） Ｂ ２对
（ ４对 Ｄ） Ｂ
９ 如果 ．
＝
＝
＝Ｉ且 。 ＋ ≠０ 则 ｋ的值为 （ ｝ ｉ ， ＋６ ｃ ．
）
图３
（－ Ａ２ ） １ －
（ ０ １８ Ａ） ．６
（÷ Ｂ ）
（ ） ．８ Ｂ ６ １
（扣 一 ｃ ｌ ）
（ ） ．２ Ｃ ３ ８
(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，:3:2DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF 与DAF △的面积之比为（ ）A ．2:5B ．3:5C ．4:25D ．9:25 2．如图，////AB CD EF ，若3BF DF =，则AC CE 的值是（ ）A ．2B ．12C ．13D ．33．点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB AB AC =＝k ，那么k 的值为（ ） A ．512+ B ．51- C ．5＋1 D ．5－1 4．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG 、GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足512MG GN MN MG -==，后人把512-这个数称为“黄金分割数”，把点G 称为线段MN 的“黄金分割点”．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若点D 是边BC 边上的一个“黄金分割点”，则△ADC 的面积为（ ）A ．55B ．355C ．205-D ．1045-5．若2x ＝5y ，则x y的值是（ ） A ．25 B ．52 C ．45 D ．546．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A ．∠C ＝∠AEDB ．∠B ＝∠DC ．AB BC AD DE = D ．AB AC AD AE = 7．若275x y z ==，则2x y z x z +-+的值是（ ） A ．67 B ．13C ．49D ．4 8．若34,x y =则x y=（ ） A ．34 B ．74 C ．43D ．73 9．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），2AB =，那么AP 的长约为（ ）A ．0.618B ．1.382C ．1.236D ．0.764 10．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记PA x =，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，E 是平行四边形ABCD 的BA 边的延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．下列各式：①AE AB ＝AF BC ；②AE AB ＝AF DF ；③AE AB ＝FE FC；④AE BE ＝AF BC ．其中成立的是（ ）A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④ 12．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DC AB AC= D ．2AC BC CD =⋅ 二、填空题13．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．14．如图，已知在Rt ABC 中，C 90∠=︒，AC 3=，BC 4=，分别将Rt ABC 的三边向外平移2个单位并适当延长，得到111A B C △，则111A B C △的面积为______．15．如图，直线122y x =-+与坐标轴分别交于点,A B ，与直线12y x =交于点,C Q 是线段OA 上的动点，连接CQ ，若OQ CQ =，则点Q 的坐标为___________．16．如图，在平面直角坐标系中，点(0,6)A ，(8,0)B ，点C 是线段AB 的中点，过点C 的直线l 将AOB 截成两部分，直线l 交折线A O B --于点P ．当截成两部分中有三角形与AOB 相似时，则点P 的坐标为__________．17．在Rt △ABC 中，AB =6，AC =5，点D 在边AB 上，且AD =2，点E 在边AC 上，当△ADE ∽△ABC 时，AE =____．18．已知点P 在线段AB 上，且AP ∶PB =2∶3，则PB ∶AB =____．19．如图，若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则DEF 与ABC 的周长比为_________．20．如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =6BC =E 在对角线BD 上，且1.8BE =，连结AE 并延长交DC 于点F ，则CF CD=________．三、解答题21．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =．将ADE 沿AE 翻折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．（1）求证：BG GC =；（2）求CFG △的面积．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AC 上一点，射线BE 与CD 的延长线交于点P ，与边AD 交于点F ，连接FC ．（1）若∠ABF ＝∠ACF ，求证：CE 2＝EF •EP ；（2）若点D 是CP 中点，BE ＝23，求EF 的长．23．体验：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，点M 在BC 边上，当∠AMD ＝90°时，可知△ABM △MCD （不要求证明）．探究：如图2，在四边形ABCD 中，点M 在BC 上，当∠B ＝∠C ＝∠AMD 时，求证：△ABM ∽△MCD ．拓展：如图3，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若∠B ＝∠C ＝∠DME ＝45°，BC ＝2CE ＝6，求DE 的长．24．如图，Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，P 为ABC 内部一点，且135APB BPC ∠=∠=︒．（1）求证：PAB PBC △∽△；（2）若2PA =，求PB ；（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为123,,h h h ，请直接写出123,,h h h 之间满足关系．25．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,3),(2,3),(2,1)A B C ----．（1）画出ABC 关于原点O 成中心对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在x 轴上方画出ABC 放大2倍后的222A B C △，并直接写出点2C 的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点为()()()2,1,1,3,4,1A B C ，若111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形，且1A 的坐标为()4,2，请画出111A B C △，并给出顶点11,B C 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由平行四边形的性质得出CD ∥AB ，进而得出△DEF ∽△BAF ，再利用相似三角形的性质可得35EF DE AF BA ==，然后利用高相同的三角形面积比等于底的比得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠EDF=∠ABF ，∠DEF=∠BAF ，∴△DEF ∽△BAF ．∵DE ：EC=3：2， ∴33325DE BA ==+， ∴35EF DE AF BA ==， 设点D 到AE 的距离为h ， ∴D 132152DEF AF EF h S S AF AF E h F ⋅===⋅． 故选择：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握同高三角形的面积比等于底的比．2．A解析：A【分析】由BF=3DF ，得BD=2DF ，使用平行线分线段成比例定理计算即可.【详解】∵BF=3DF ，∴BD=2DF ，∵////AB CD EF ， ∴AC CE =BD DF ， ∴AC CE =2DF DF=2， 故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是定理的对应关系是解题的关键.3．B解析：B【分析】设AC=1，由题意得AB=k ，BC=2k ，由AC=AB+ BC=1得到关于k 的一元二次方程，解方程即可．【详解】设AC=1， ∵BC AB AB AC==k ，且0k >， ∴AB=k ，BC=2k ，∵AC=AB+ BC=1，∴21k k +=，即210k k +-=，∵1a =，1b =，1c =-，()224141150b ac =-=-⨯⨯-=>，∴12k -±=(负值舍去)，∴k = 故选：B ．【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键．4．A解析：A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出CD 的长度，利用三角形面积公式即可解题．【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2， 在Rt ABF ，AF=2222325AB BF -=-=，∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴51CD BC -=即514CD -=， 解得CD=252-，∴12ADC C AF S D ⨯⨯==()125252⨯-⨯=55-， 故选：A ．【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC 和AF 的长是解题的关键．5．B解析：B【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断．【详解】解：∵2x ＝5y ，∴52x y =． 故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质）．6．C解析：C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE ＝∠BAC∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．7．C解析：C【分析】 根据275x y z k ===，则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ，代入2x y z x z+-+进行计算即可． 【详解】 解：275x y z k ===（k≠0）， 则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ， ∴2x y z x z+-+＝2754495k k k k k +-+=， 故选：C ．【点睛】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．8．C解析：C【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．【详解】由比例的性质，由34,x y =得43x y =． 故选C ．【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．9．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义，由题意知AP 是较长线段；则AP=15-+AB ，代入数据即可． 【详解】解：∵线段AB=2，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >）， ∴AP=15-+AB=15-+≈1.236 故选：C 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．10．A解析：A【分析】①点P 在AB 上时，点D 到AP 的距离为AD 的长度，②点P 在BC 上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD ，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y 与x 的关系式，从而得解．【详解】解：①当点P 在AB 上运动时，D 到PA 的距离8y AD ==，∴当06x ≤≤时，8y =，②当P 在BC 上运动时，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD ，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP ∽△DEA ，∴AB AP DE AD=，即：68x y =， ∴当610x <≤时，48y x =，∴()()80648610x y x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩， 即当06x ≤≤时，函数图象为平行于x 轴的线段，且8y =；当610x <≤时，函数图象为反比例函数，故选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查动点问题函数图象，解题关键是利用相似三角形的判定与性质，难点在于根据点Ｐ的位置分情况讨论．11．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，由△AEF ∽△DCF 得到AE AF EF CD DF FC ==，用AB 等量代换CD ，得到AE AF EF AB DF FC==；再利用AF ∥BC ，由△AEF ∽△BEC 得AE AF BE BC=，由此可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ；∴△AEF ∽△DCF ， ∴AE AF EF CD DF FC ==，而AB=CD ， ∴AE AF EF AB DF FC== ∴②③正确；又∵AF ∥BC ，∴△AEF ∽△BEC ， ∴AE AF BE BC=， ∴④正确，①不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线； ②AD DC AB AC=； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP 根据相似三角形的性质求出AP 根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m ）BQ ∥AP ∴△OBQ ∽△OAP ∴即解解析：44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP ，根据相似三角形的性质求出AP ，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ，∴△OBQ ∽△OAP ，∴BQ OQ AP OP =，即0.823AP =， 解得，AP=1.2（m ）， 则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），故答案为：1.44π．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．54【分析】作于点D 作于点E 作于点F 分别证明△和△求出和再根据三角形面积公式求解即可【详解】解：作于点D 作于点E 作于点F ∵三边向外平移个单位∴∵∴∠且∠∴△∴又∵∠且∠∴△∴∴∴又∵△∴∴∴【点睛】 解析：54【分析】作11CD B C ⊥于点D ，作11BE B C ⊥于点E ，作11BF A B ⊥于点F ，分别证明△ACB BFG ∆∽和△1GHB ACB ∆∽，求出11A C 和11B C ，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：作11CD B C ⊥于点D ，作11BE B C ⊥于点E ，作11BF A B ⊥于点F ，∵Rt ABC ∆三边向外平移个单位，∴1=22,2,C D CD BE GH BF ====，∵11//AB A B∴∠ABC AGC =∠且∠90ACB BFG =∠=︒∴△ACB BFG ∆∽ ∴103BG = 又∵∠11B A GC ABC =∠=∠，且∠190GHB ACB =∠=︒∴△1GHB ACB ∆∽ ∴1AC GH BC B H= ∴183B H = ∴1111C B CD DE EH HB =+++1082433=+++12=又∵△111ABC A B C ∆∽ ∴1111AC B C AC BC= ∴119A C = ∴111111112A B C S AC B C ∆=⨯⨯ 11292=⨯⨯ 54=【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，能正确作出辅助线证明三角形是解答此题的关键．15．【分析】与联立组成方程组求出点C 的坐标为（21）从而可判断点C 是AB 的中点所以OC=AC 从而得到∠AOC=∠OAC 又因为所以∠AOC=∠OCQ 从而可判断△OCQ ∽△OAC 再根据相似三角形的性质可得最 解析：5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】122y x =-+与12y x =联立组成方程组求出点C 的坐标为（2，1）从而可判断点C 是AB 的中点，所以OC=AC ，从而得到∠AOC=∠OAC ，又因为OQ CQ =，所以∠AOC=∠OCQ ，从而可判断△OCQ ∽△OAC ，再根据相似三角形的性质可得OQ OC OC OA =，最后把数值代入求出OQ 的长，从而得到Q 点的坐标．【详解】解：如图所示，依题意得：12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：21x y =⎧⎨=⎩ ∴点C 的坐标为（2，1） 对于直线122y x =-+，令x=0，解得y=2， 令y=0，解得x=4．∴点A ，B 的坐标分别为（4，0），（0，2）．∴点C 是AB 的中点．∵△OAB 为直角三角形，∴OC=AC ，∴∠AOC=∠OAC ，∵OQ CQ =，∴∠AOC=∠OCQ ，∴∠AOC=∠OCQ=∠OAC ，∴△OCQ ∽△OAC ， ∴OQ OC OC OA = 又∵△OAB 为直角三角形，OA=4，OB=2，∴222224AB OB OA =+=+=25 ∴OC=AC=12AB =5 ∴55=， 解得：OQ=54， ∴点Q 的坐标为（54，0）．故答案为：（54，0）． 【点睛】 本题考查了一次函数与二元一次方程，等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．16．或或【分析】分三种情况讨论当时则则当时由则当时则则再利用相似三角形的性质求解的坐标即可【详解】解：点是线段的中点当时则如图当时由如图当时则综上：或或故答案为：或或【点睛】本题考查的是坐标与图形三角形 解析：(0,3)或(4,0)或70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】分三种情况讨论，当PC OA ⊥时，则//,PC OB 则APC AOB ∽，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠ 则BCP BOA △∽△，当CP OB ⊥时，则//,PC OA 则,BCP BAO ∽ 再利用相似三角形的性质求解P 的坐标即可．【详解】解：()()06,8,0,A B ， 点C 是线段AB 的中点， 226,8,6810,OA OB AB ∴===+= 15,2AC AB == 当PC OA ⊥时，则//,PC OB ∴ APC AOB ∽，,AP AC AO AB ∴= 162AP ∴=， ()3,0,3,AP P ∴=如图，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠∴ BCP BOA △∽△，,BC BP BO BA∴= 5,810BP ∴= 25,4BP ∴= 2578,44OP ∴=-=7,0,4P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭如图，当CP OB ⊥时，则//,PC OA,BCP BAO ∴∽,BC BP BA BO∴= 1,28BP ∴= 4,BP ∴=4,OP ∴=()4,0.P ∴综上：()0,3P 或7,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,0.P 故答案为：()0,3P 或7,04P ⎛⎫⎪⎝⎭或()4,0.P 【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 17．【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案【详解】解：∵△ADE ∽△ABC ∴即解得：AE ＝；故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的性质掌握相似三角形的性质是解题的关键 解析：53【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解，即可求得答案．【详解】解： ∵△ADE ∽△ABC ， ∴AD AE AB AC=，即265AE =， 解得：AE ＝53； 故答案为：53． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．掌握相似三角形的性质是解题的关键．18．3∶5（或）【分析】根据比例的性质直接求解即可【详解】解：由题意AP:PB=2:3∴PB:AB=PB:(AP+PB)=3:(2+3)=3:5；故答案是：3:5（或）【点睛】本题主要考查比例问题关键是解析：3∶5（或35） 【分析】根据比例的性质直接求解即可．【详解】解：由题意AP:PB=2:3，∴PB :AB = PB :(AP+PB)=3:(2+3)=3:5；故答案是：3:5（或35）． 【点睛】本题主要考查比例问题，关键是根据比例的性质解答． 19．【分析】设正方形网格的边长为1根据勾股定理求出△EFD △ABC 的边长运用三边对应成比例则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC 即可解决问题【详解】解：设正方形网格的边长为1由勾股定理得：D【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC ，即可解决问题．【详解】解：设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE＝EF ＝同理可求：AC ，BC∵DF ＝2，AB ＝2，∴1EF DE DF BC AB AC ===∴△EDF ∽△BAC ，∴DEF 与ABC，．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．20．【分析】根据勾股定理求出BD 的长度得到DE 的长根据相似三角形的性质得到对应线段成比例计算可求出DF 的长求出CF 计算得出CF 与CD 的比值即可【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∵∴∵∴∵∴∴解得：则∴ 解析：13【分析】根据勾股定理求出BD 的长度，得到DE 的长，根据相似三角形的性质得到对应线段成比例，计算可求出DF 的长，求出CF ，计算得出CF 与CD 的比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒， ∵AB ==BC ∴3BD ==．∵ 1.8BE =，∴3 1.8 1.2DE =-=．∵//AB CD ，∴ABE FDE ∽△△ ∴ 1.21.8DF DE AB BE ==，解得：DF =，则CF CD DF =-=∴13CF CD ==． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）18 5【分析】（1）由条件可以求出ED的值，设FG=x，则BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，由勾股定理可以求出x的值，从而可以求出BG和CG的值，得出结论．（2）过点F作FN⊥CG于点N，可以得出∠FNG=∠DCG=90°，通过证明△GFN∽△GEC，得出GF FNGE EC=，可以求出FN的值，最后利用三角形的面积公式可以求出其面积．【详解】解：（1）证明：∵AB=6，CD=3DE，∴DC=6，∴DE=2，CE=4，∴EF=DE=2，设FG=x，则BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得，42+（6-x）2=（x+2）2，解得x=3，∴BG=FG=3，CG=6-x=3，∴BG=CG．（2）过点F作FN⊥CG于点N，则∠FNG=∠DCG=90°，又∵∠EGC=∠EGC，∴△GFN∽△GEC，∴GF FN GE EC=，∴354FN =，∴FN=125，∴S△CGF=12CG•FN＝112325⨯⨯=185．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及三角形面积公式的运用．在解答中注意相似三角形的对应顶点在对应的位置．22．（1）见解析；（2）EF=【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABF BPC =∠，又∠ABF ＝∠ACF ，可得ACF BPC ∠=∠，又FEC PEC ∠=∠可证△FEC CEP ∆∽，从而可得结论；（2）证明△PFD PBC ∆∽得1122DF BC AD ==，由∠,AEB PEC ABE BPC =∠∠=∠可证明△ABE CPE ∆∽可求得PE =EF EP PF =-可得结论．【详解】解：（1）由题可知，∠ABF ＝∠ACF ，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD∴∠ABF BPC =∠∴∠ABF ACF BPC =∠=∠∴∠,ACF BPC FEC PEC =∠∠=∠∴△FEC CEP ∆∽ ∴CE EP EF CE= 即CE 2＝EF •EP ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC∴△PFD PBC ∆∽ ∴FD PD BC PC= ∵D 是CP 的中点， ∴PD=12PC ∴12FD BC = ∴1122DF BC AD == 即F 为AD 的中点，F 为BP 的中点∵∠,AEB PEC ABE BPC =∠∠=∠∴△ABE CPE ∆∽ ∴12BE AB PE CP ==∴22PE BE ==⨯=∴12EF EP PF BP =-= 1()2BE EP =+==故EF =【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想．23．体验：∽；探究：△ABM ∽△MCD ；拓展：DE ＝103 【分析】体验：根据同角的余角相等得到∠BAM=∠DMC ，根据平行线的性质得到∠C=∠B=90°，根据两角相等的两个三角形相似证明结论；探究：根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明；拓展：根据相似三角形的性质求出BD ，根据等腰直角三角形的性质求出AD ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：体验：∵∠AMD ＝90°，∴∠AMB +∠DMC ＝90°，∵∠B ＝90°，∴∠AMB +∠BAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DMC ，∵AB ∥CD ，∠B ＝90°，∴∠C ＝∠B ＝90°，∴△ABM ∽△MCD ，故答案为：∽；探究：∵∠AMC ＝∠BAM +∠B ，∠AMC ＝∠AMD +∠CMD ，∴∠BAM +∠B ＝∠AMD +∠CMD ．∵∠B ＝∠AMD ，∴∠BAM ＝∠CMD ，∵∠B ＝∠C ，∴△ABM ∽△MCD ；拓展：同探究的方法得出，△BDM ∽△CME ， ∴BD CM ＝BM CE，∵点M 是边BC 的中点，∴BM ＝CM ＝，∵CE ＝6，∴＝6， 解得，BD ＝163， ∵∠B ＝∠C ＝45°，∴∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝90°，∴AC ＝AB ＝2BC ＝8， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝8﹣163＝83，AE ＝AC ﹣CE ＝2，在Rt △ADE 中，DE 103． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解本题的关键是判断出△ABM ∽△MCD ．24．（1）见解析；（23）2123h h h =⋅【分析】（1）根据45PBA PBC PAB PBA ∠+∠=∠+∠=︒，利用两角分别相等的两个三角形相似即可证得结果；（2）由题意可得AB BC =1）的结论可得，AB PA BC PB=，从而即可求得PB ； （3）根据两角分别相等的两个三角形相似，可证得Rt AEP Rt CDP △△∽，求得322h h =，由PAB PBC △∽△可得32h ，从而得出结论．【详解】（1）∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴45ABC PBA PBC ∠=︒=∠+∠，又∵135APB ∠=︒，∴45PAB PBA ∠+∠=︒，∴PBC PAB ∠=∠，又∵135APB BPC ∠=∠=︒，∴PAB PBC △∽△；（2）由题可知，△ABC 为等腰直角三角形，∴AB BC=由（1）可知，AB PA BC PB =， ∴222BC PB PA AB ==⨯=； （3）如图，过点P 作PD BC ⊥，PE AC ⊥，PF BA ⊥，∴1PF h =，2PD h =，3PE h =，∵135135270CPB APB ∠+∠=︒+︒=︒，∴90APC ∠=︒，∴90EAP ACP ∠+∠=︒，又∵90ACB ACP PCD ∠=∠+∠=︒，∴EAP PCD ∠=∠，∴Rt Rt AEP CDP △∽△，由（1）可进一步得出，2PA PB =，2PB PC =， ∴2PA PC =，∴2PE AP DP PC==，即322h h =， ∴322h h =，∵PAB PBC △∽△，∴122h AB h BC== ∴122h h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=，即：2123h h h =⋅．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．25．（1）画图见解析；1(2,1)C -；（2）画图见解析；2(4,2)C -．【分析】（1）根据题意得到A ，B ，C 关于原点O 的对称点连接即可；（2）根据位似图形的作图方法作图即可；【详解】解：（1）根据题意可得()11,3A -，()12,3B ，()12,1C -，如图，1(2,1)C -， （2）根据题意可得，()22,6A -，()24,6B ，()24,2C -连接即可，如图，2(4,2)C -．【点睛】本题主要考查了旋转变换和位似变换，准确作图是解题的关键．26．见解析，11(),(2,6)8,2B C【分析】根据点A 、1A 的坐标求出位似比为2：1，再利用位似图形的性质得出对应点的位置即可得出答案．【详解】111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形，点A 坐标为()2,1，点1A 的坐标为()4,2∴111A B C △与ABC 的位似比为2：1∴如图所示：111A B C △即为所求；11(),(2,6)8,2B C .【点睛】本题考查了位似三角形的性质，在直角坐标系中作位似图形，解题关键是熟练掌握位似的性质．。
《相似图形》单元基础测试题
第四章 相似图形单元测试题姓名： 成绩：一、选择题1．已知4x －5y=0，则x∶y 的值为（ ）A ．5∶4B ．4：5C ．4D ．52．已知dc b a =，那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． bd c a = B ．bd ac b c = C ． d d c b b a 22+=+ D ．dc b a 11+=+ 3．地图上的比例尺为1：200000，小明家到单位的图距为20cm ，则实际距离为( )A ． 40000米B ．4000米C ．10000米D ． 5000米4.已知△ABC ∽△DEF ，AB=6cm ，BC=4cm ，AC=9cm ，且△DEF 的最短边边长为8cm ，则最长边边长为（ ）A 、16cmB 、18cmC 、4.5cmD 、13cm5.△ABC ∽△DEF ，它们的周长之比为2:1，则它们的对应高比及面积比分别为（ ）A 、1:2，2 :1B 、2:1，2 :1C 、2:1，2:1D 、1:2，2:16. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）7. 如图, 在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,CD⊥AB 于D ， 若AD=1，BD=4，则CD=（ ）A 、2B 、4 C、38. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，且AP=BQ,则两路灯之间的距离是（ ）A ．24mB ．25mC ．28mD ．30m9. 如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．B ．C ．D ． D CB A （第7题） （第8题）（第9题）10.已知：如图在△ABC 中，AE=ED=DC ，FE//MD//BC ，FD 的延长线交BC 的延长线于N ，则BNEF 为（ ） A 、21 B 、31 C 、 41 D 、5111. 如图，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ）A.2B.4C.5D.612. 如图，在Rt△ABC 中，AB AC =， D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ;②△ABE ∽△ACD ；③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=其中一定正确的是( )A 、②④B 、①③C、②③ D 、①④二、填空题13.已知d c b a ,,,是成比例线段，且5,8,2===c b a ，那么=d 。
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册考生注意：本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，时量120分钟注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）1.在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m2.如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转3．已知＝，则下列式子中正确的是（）A．a：b＝c2：d2B．a：d＝c：bC．a：b＝（a+c）：（b+d）D．a：b＝（a﹣d）：（b﹣d）4．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似5．以下四组线段中，成比例的是（）A．3，4，6，8B．2，3，4，5C．1，2，3，4D．5，6，7，8 6．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）A．2：1B．1：4C．1：D．1：27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．D．（10，6）9．如图，在▱ABCD中，E是AB边的中点，则S△AEG：S平行四边形ABCD的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．3二．填空题（6小题，每题3分，共18分）11．若，则＝．12．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6，那么DF的长等于.13．如图，在▱ABCD中，AD＝16，∠ABC的平分线交AD于点F，交CD的延长线于点E，若S△EDF：S四边形FBCD＝9：55，则AB＝．14．若，则k＝．15．如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则AP＝．第II卷第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________一、选择题12345678910题号答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．已知，求的值．18．如图，AB∥CD∥EF，BF＝20．（1）若AC＝3，CE＝5，求DF的长；（2）若AC：CE＝2：3，求DF的长．19.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．20.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝2，求AE的长．21.如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．（1）求证：△AEB∽△ADC．（2）求△BDE与△ABC的面积比．22.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，过点D作DK⊥BE于K，且DK＝．（1）若AE＝ED，求正方形ABCD的周长；（2）若∠EDK＝22.5°，求正方形ABCD的面积．23.如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．（1）若AE＝3，求ED的长．（2）求EF的长．24.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝8，AB＝12．求的值．25．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD＝3时，＝；（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．。
2020年浙教版九年级数学第4章 相似三角形单元综合测试卷(含解答)
2020年浙教版九年级数学第4章 相似三角形单元综合测试卷解析版一、选择题（共10题；共30分）1.已知三条线段的长分别为1．5，2，3，则下列线段中，不能与它们组成比例线段的是（ ）A. 1B. 2.25C. 4D. 22.如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且 CD BD ＝ 32 ，则 CE CA 的值为（ ）A. 35B. 23C. 45D. 323.如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ， 交AD 于点F ， 交CD 的延长线于点G ， 若AF ＝2FD ， 则 BE EG 的值为（ ）A. 12B. 13C. 23D. 344.生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C 将线段AB 分成AC 、CB 两部分，且AC ＞BC ，如果 AB AC =AC CB ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．若C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2，则分割后较短线段长为（ ）A. √5−1B. 3−√5C. 2√5−3D. √5−25.一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）A. 一种B. 两种C. 三种D. 四种6.如图，在 ΔABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点， S 四边形BCED =15 ，则 S ΔABC = （ ）A. 30B. 25C. 22．5D. 207.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（）A. √5B. 2C. 4D. 2 √58.下列说法正确的个数是( )①位似图形一定是相似图形;②相似图形一定是位似图形;③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间;④若五边形ABCDE与五边形A＇B＇C＇D＇E＇位似，则其中△ABC与△A＇B＇C＇也是位似的且相似比相等.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE ∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个10.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB=∠GAD；②ΔAFC∼ΔAGD；③2AE2=AH⋅AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共8题；共24分）11.如图，在△ABC与△AED中，ABAE =BCED，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需填一个条件）12.如图，AB//CD//EF．若ACCE =12，BD=5，则DF=________．13.如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0),O(0,0),B(3,6)，以点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________.14.如图，点C在∠AOB的内部，BD=2√3，∠OCA与∠AOB互补，若AC=1.5，BC=2，则OC=________．15.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D观察井水水岸C ，视线DC与井口的直径AB交于点E ，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为________米．16.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(−4,0)、(0,4)，点C(3,n)在第一象限内，连接AC、BC .已知∠BCA=2∠CAO，则n=________.17.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝√2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________.18.如图，正方形纸片ABCD的边长为5，E是边BC的中点，连接AE．沿AE折叠该纸片，使点B 落在F点．则CF的长为________．三、综合题（共7题；共66分）19.如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD.∠ABD=∠C，AB=6，AD=4 .（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）求线段CD的长.20.如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．（1）求证：AE＝ED；（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．21.已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC ，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E ，求BE的长．22.如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．（1）以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1，与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1，（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；（2）直接写出点A1、B1的坐标________；23.如图，AE为△ABC外接圆⊙O的直径，AD为△ABC的高．求证：（1）∠BAD=∠EAC；（2）AB•AC=AD•AE24.已知：如图，在△ABC中，AB=AC ，点D、E分别在边BC、DC上，AB2 =BE ·DC ，DE:EC=3:1 ，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G ．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；（3）如图，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．25.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点物线对称轴为直线x＝12F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1.解：A、1.5×2=3×1，故A不符合题意；B、1.5×3=2×2.25，故B不符合题意；C、2×3=1.5×4，故C不符合题意；D、1.5，2，3，2不能组成比例线段，故D符合题意. 故答案为：D.2.解：∵DE//AB，∴CEAE =CDBD=32∴CECA 的值为35.故答案为：A.3.解：由AF＝2DF ，可以假设DF＝k ，则AF＝2k ，AD＝3k ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ，AB∥CD ，AB＝CD ，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG ，∠ABF＝∠G ，∵BE平分∠ABC ，∴∠ABF＝∠CBG ，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G ，∴AB＝CD＝2k ，DF＝DG＝k ，∴CG＝CD+DG＝3k ，∵AB∥DG ，∴△ABE∽△CGE ，∴BEEG =ABCG=2k3k=23，故答案为：C ．4.解：根据黄金分割点的概念得：AC= √5−12AB=√5−12×2=√5−1∴BC=AB-AC= 2−(√5−1)=3−√5；故答案为：B．5.解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，当长60cm的木条与100cm的一边对应，则x75=y120=60100，解得：x＝45，y＝72；当长60cm的木条与120cm的一边对应，则x75=y100=60120，解得：x＝37.5，y＝50.答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段.故答案为：B.BC，故可以判断出△ADE 6.解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE= 12∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知SΔADE：SΔABC=1：4，则S四边形BCED：S=3：4，题中已知S四边形BCED=15，故可得SΔADE=5，SΔABC=20ΔABC故本题选择D7.解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF＝√(2−6)2+(4−2)2＝2 √5 .故答案为：D.8.利用位似的定义可知，位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形，因为它是一种特殊的相似，所以①符合题意，②不符合题意；两个位似图形若全等，根据对应点一定相交于一点，可得到位似中心可能在两个图形之间，也可能在三角形内部或边上，所以③不符合题意；若五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1位似，则在五边形中连线组成△ABC与△A1B1C1，可得它也是位似且相似比相等，故④符合题意.所以①④符合题意.故答案为：B.9.解：△ABC的三边之比为AB:AC:BC=√5:√5:√2，如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，故答案为：C.10.解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①符合题意②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴AD=DC，AG=FG∴AC= √2AD，AF= √2AG∴ACAD =√2，AFAG=√2即ACAD =AFAG又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴ΔAFC∼ΔAGD∴②符合题意③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴AFAH =ACAF即AF2=AC·AH又∵AF= √2AE∴2AE2=AH⋅AC∴③符合题意④由②知ΔAFC∼ΔAGD又∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG在正方形另外一条对角线上∴DG⊥AC∴④符合题意故答案为：D．二、填空题11.添加条件：∠B=∠E；∵ABAE ＝BCED，∠B=∠E，∴△ABC∽△AED，故答案为：∠B=∠E（答案不唯一）．12.解：∵AB//CD//EF，∴ACCE =BDDF，又∵ACCE =12，BD=5，∴5DF =12，∴DF=10，故答案为：10．13.解：∵以点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，∴点B(3,6)的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）.故答案为：（2，4）或（-2，-4）.14.解：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，∴△ACO∽△OCB，∴OCAC =BCOC，∴OC2＝2×32＝3，∴OC＝√3，故答案为：√3．15.解：∵BD⊥AB ，AC⊥AB ，∴BD //AC ，∴△ACE∽△DBE ，∴ACBD =AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC=7(米)，故答案为：7(米)．16.解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y轴，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴△AOE∽△CDE，∴AOCD =OEDE，∴43=2n−44−n，解得：n=145，故答案为：145.17.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，∵E为CD的中点，∴DE＝12CD＝12AB，∴△ABP∽△EDP，∴ABDE ＝PBPD，∴21＝PBPD，∴PBPD ＝23，∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，∴△BPQ∽△DBC，∴PQCD ＝BPBD＝23，∵CD＝2，∴PQ＝43，故答案为： 43 .18.根据折叠的性质，△ABE ≅ △BFE ，AE 垂直平分BF ，且E 是边BC 的中点， ∴BE=EF=EC ，∠BEA=∠FEA ，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF =∠BEA+∠FEA=∠EFC+∠ECF ，∴∠BEA=∠ECF ，∴AE ∥FC ，∵四边形 ABCD 是边长为5的正方形，且E 是边BC 的中点，∴∠ABC=90 ° ，AB=5，BE= 52 ，∴ AE =√AB 2+BE 2=√52+(52)2=5√52， 连接BF 交AE 于点G ，如图：∵AE 垂直平分BF ，∴∠BGE=90 ° ，∴Rt △EBG ∽Rt △EAB ，∴ BE AE=GE BE ，即525√52=GE 52 ， ∴ GE =√52 ，∵GE ∥FC ，E 是边BC 的中点，∴CF=2GE= √5 ，故答案为： √5 ．三、解答题19.（1）解：∵∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A （公共角），∴△ABD ∽△ACB（2）解：由（1）知：△ABD ∽△ACB ，∵相似三角形的对应线段成比例 ，∴ AD AB = AB AC ，即 46 ＝ 64+cD ，解得：CD ＝520. （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠CDE ＝90°，∵∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴AE＝ED（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，∴BC＝2DE，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴S△DEFS△BCF =(DEBC)2=1421. （1）解：Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC= √AB2+AC2=5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴ABBD =BCDC=ACBC，3 BD =5DC=45，∴BD= 154，CD= 254（2）解：在Rt△BDC中，S△BDC= 12BE•CD= 12BD•BC，∴BE= BD•BCCD =154×5254=322. （1）解：如图2，△OA1B1即为所求；（2）（4，0）和（2，﹣4）解：（1）由图2可知，A1、B1的坐标为（4，0）和（2，﹣4）；故答案为：（4，0）和（2，﹣4）；23. （1）证明：如图，连接CE，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠EAC+∠E=90°，又∵∠B=∠E，∴∠BAD=∠EAC（2）在△ABD与△AEC中，{∠BAD=∠EAC∠ADB=∠ACB)，∴△ABD∽△AEC，∴ABAE =ADAC,∴AB•AC=AD•AE24. （1）解：与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2 =BE ·DC ，∴BEAB =ABDC．∵AB=AC，∴∠B=∠C，BEAB =ACDC，∴△ABE∽△DCA．∴∠AED=∠DAC．∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，∴∠DAE=∠C．∴△ADE∽△CDA ．（2）解：∵△ADE∽△CDA，DF平分∠ADC，∴DGDF =DEAD=ADCD，设CE=a，则DE=3CE=3a，CD=4a，∴3aAD =AD4a，解得AD=2√3a（负值已舍）∴DFDG =ADCD=2√3a4a=√32；（3）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∴∠DAE=∠C=45°，∵DG⊥AE，∴∠DAG=∠ADF=45°，∴AG=DG= √22AD=√22⋅2√3a=√6a，∴EG=√DE2−DG2=√3a，∵∠AED=∠DAC ，∴△ADE∽△DFA，∴ADDF =AEAD，∴DF=AD2AE=4（√6−√3）a，∴DGDF =2+√24.25. （1）解：设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝12＝12（2t﹣t），解得：t＝1，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）解：对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；（3）解：存在，理由：点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE =OBOC或OCOB，即DEOE＝2或12，即−m2+m+2m＝2或12，解得：m＝1或﹣2（舍去）或1+√334或1−√334（舍去），故m＝1或1+√33．4。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(包含答案解析)(5)
一、选择题1．在ABC 中，10AB AC ==，72ABC ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．5B ．555-C ．1555-D ．551-2．下列各组长度的线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ）A ．2，3，4，5B ．1，3，4，10C ．2，3，4，6D ．1，5，3，123．如图，A B C '''是ABC 以点О为位似中心经过位似变换得到的，若:1:2OA A A ''=，则A B C '''的周长与ABC 的周长比是（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．4：94．如图，已知,//,//ABC DF BC DE AC △，四边形DECF 的面积为12,若DE 经过ABC 的重心，则ABC 的面积为（ ）A ．25B ．26C ．27D ．285．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，点D 是AB 的中点，点P 是直线BC 上一点，将BDP △沿DP 所在的直线翻折后，点B 落在1B 处，若1B D BC ⊥，则点P 与点B 之间的距离为（ ）A ．1或5B ．1或3C ．54或3 D ．54或56．已知等腰△ABC 的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC 相似的是（ ） A ．顶角为30°的等腰三角形 B ．顶角为40°的等腰三角形 C ．等边三角形D ．顶角为75°的等腰三角形7．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①2BE AE =；②DFP BPH ∽△△；③PFD PDB ∽△△；④2DP PH PC =⋅．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④8．两个相似三角形面积比是4:9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（ ） A ．12B ．12或24C ．27D ．12或279．若ad=bc ，则下列不成立的是( ) A ．a cb d= B ．a c ab d b-=- C ．a b c db d++= D ．1 111a cb d ++=++ 10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ．若GO GP =，下列结论：①GOP BCP ∠=∠，②BC BP =，③:21BG PG =+，④DP PO =．正确的是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③11．若ABC 的每条边长增加各自的20%得A B C '''，则B '∠的度数与其对应角B 的度数相比（ ） A ．增加了20%B ．减少了20%C ．增加了()120%+D ．没有改变12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8．E 是AC 边上一动点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ，D 为线段EF 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AE 的长度是（ ）A ．1613B ．3013C ．4013D ．4813二、填空题13．已知高为2m 的标杆在水平地面上的影子长1.5m ，此时测得附近旗杆的影子长7.5m ．则旗杆的高为__m ．14．已知35a b =，则aa b+的值为______．15．在平面直角坐标中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （4，2），C （3，5），以点A 为位似中心，相似比为1：2，把三角形ABC 缩小，得到△AB 1C 1，则点C 的对应点C 1的坐标为_________．16．已知线段AB 长是2,P 是线段AB 上的一点，且满足2·,AP AB BP =那么AP 长为____．17．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，32OE EA =，则FGBC=________．18．如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，P 为CD 边上的动点，当DP =_________时，ADP △与BCP 相似．19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC ，BC 上，有两个顶点在斜边AB 上则图中阴影部分的面积为__________．20．如图，若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则DEF 与ABC 的周长比为_________．三、解答题21．如图，已知直线CD 过点C(-2，0)和D(0，1)，且与直线AB ：y=-x+4交于点A ． （1）求直线CD 的解析式； （2）求交点A 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得PBCABCS S？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图1，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 的中点， （1）CFDE的值为 ； （2）①将△AEF 绕点A 旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情况进行证明；如果不成立，请说明理由；②如果AB ＝2，当以点E ，F ，C 在一条直线上时，请直接写出CF 的值．23．如图，a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若AB ＝3，BC ＝5，DE ＝4，求EF 的长．24．如图，ABC 的顶点坐标分别为()1,3A 、()4,2B 、()2,1C ． （1）以原点O 为位似中心，在原点另一侧画出111A B C △，使1112AB A B = （2）写出1A 的坐标______． （3）111A B C △的面积是______．25．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 上的点，点F 在边CD 上，90BEF ︒∠=且3CF FD =．（1）求证：ABE DEF ∆∆；（2）若4AB =，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求CG 的长．26．在如图的方格纸中，OAB 的顶点坐标分别为(00)(21)(13)----,,,,,O A B ，111O A B △与OAB 是关于点P 为位似中心的位似图形．（1）在图中标出位似中心P 的位置，并写出点P 及点B 的对应点1B 的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在位似中心的同侧画出OAB 的一个位似22OA B △，使它与OAB 的位似比为2∶1，并写出点B 的对应点2B 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】证明△ABC ∽△BCD ，得到AB BCBC CD=，设CD=x ，表示出BC ，代入得到方程，解之即可． 【详解】解：如图，∵AB=AC ，∠ABC=72°， ∴∠C=72°，∴∠A=180°-2×72°=36°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∴AD=BD ，∠BDC=72°， ∴BC=BD ，在△ABC 和△BCD 中， ∠A=∠CBD ，∠ABC=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ， ∴AB BCBC CD=， 设CD=x ，则BD=AD=BC=10-x ， ∴101010xx x-=-，解得：x=1555+（舍）或1555-， 故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件证明出△ABC ∽△BCD ．2．C解析：C 【分析】判定四条线段是否成比例，计算前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A.2:3≠4:5，故四条线段不成比例，不合题意； B.1:3≠4:10，故四条线段不成比例，不符合题意； C.2:3=4:6，故四条线段成比例，符合题意； D.1:5≠3:12，故四条线段不成比例，不合题意； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟记概念并准确计算是解题的关键．3．B解析：B 【分析】根据位似变换的概念得到，A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵:1:2OA A A ''=， ∴13OA OA ':=:，∵A B C '''是ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的， ∴A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△， ∴13A B OA AB OA '''==， ∴A B C '''的周长与ABC 的周长比为1：3， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行是解题的关键．4．C解析：C 【分析】 设重心为G ，则2BGGH=，根据三角形相似的判定与性质可得49BDE ABCS S =，19ADF ABCSS=，列出方程组并求解即可． 【详解】解：∵DE 经过ABC 的重心，设重心为G ，则2BGGH=，∵//,//DF BC DE AC ，∴△BDE ∽△BAC ，△ADF ∽△ABC ， ∴23DE BG BD AC BH AB ===， ∴13AD AB =， ∴49BDE ABCS S=，19ADF ABCS S=， ∴45BDEADFDECFS SS =+，18ADFBDEDECFSSS =+， ∴41251128BDEADF ADF BED S SS S ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得12BDES=，3ADFS=，∴27△ABC S =， 故选：C ． 【点睛】本题考查重心的性质、相似三角形的判定与性质，得到面积的比例关系是解题的关键．5．D解析：D【分析】分点B 1在BC 左侧，点B 1在BC 右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线可证△BED ∽△BCA ，可得12BD BE DE AB BC AC ===，可求BE ，DE 的长，由勾股定理可求PB 的长． 【详解】解：如图，若点B 1在BC 左侧，B 1D 交BC 于E ，∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴225AC BC +， ∵点D 是AB 的中点， ∴BD=12BA=52， ∵B 1D ⊥BC ，∠C=90°， ∴B 1D ∥AC ，∴∠BDE=∠A ，∠EBD=∠CBA ， ∴△BED ∽△BCA ， ∴12BD BE DE AB BC AC ===， ∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32， ∵折叠，∴B 1D=BD=52，B 1P=BP ， ∴B 1E=B 1D-DE=1，∴在Rt △B 1PE 中，B 1P 2=B 1E 2+PE 2， ∴BP 2=1+（2-BP ）2， ∴BP=54， 如图，若点B 1在BC 右侧，延长B 1D 交BC 与E ，∵B 1D ⊥BC ，∠C=90°， ∴B 1D ∥AC ，∴∠BDE=∠A ，∠EBD=∠CBA ， ∴△BED ∽△BCA ， ∴12BD BE DE AB BC AC ===， ∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32， ∵折叠，∴B 1D=BD=52，B 1P=BP ， ∵B 1E=DE+B 1D=32+52， ∴B 1E=4，在Rt △EB 1P 中，B 1P 2=B 1E 2+EP 2， ∴BP 2=16+（BP-2）2， ∴BP=5，则点P 与点B 之间的距离为54或5． 故选择：D ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，相似三角形判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．6．A解析：A 【分析】根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵等腰△ABC 的底角为75°，∴等腰△ABC 的三角的度数分别为30°，75°，75° ∴一定与△ABC 相似的是顶角为30°的等腰三角形 故选：A ． 【点睛】本题考查了想做浅咖人判定，关键是根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数解答．7．D解析：D 【分析】由正方形ABCD ，与BPC △是等边三角形的性质求解，求解30,EBA ∠=︒ 从而可判断①；证明60,PFE BPC ∠=∠=︒ =15,PBH PDF ∠=∠︒ 可判断②；由15,30,15,60,PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒ 可判断③； 证明30,PDH PCD ∠=︒=∠ 再证明,PDH PCD ∽ 可得,DP PHPC PD=从而可判断 ④． 【详解】 解：正方形ABCD ，90,,ABC A BCD ADC CB CD AB ∴∠=∠=∠=∠=︒==BPC △是等边三角形，60,PBC PCB BPC ∴∠=︒=∠=∠ 906030,EBA ∴∠=︒-︒=︒2,BE AE ∴= 故①符合题意；正方形ABCD ，//,45,AD BC CBD ∴∠=︒ 60,PFE PCB ∴∠=∠=︒ 60,PFE BPC ∴∠=∠=︒BPC △是等边三角形，,PC BC CD ∴==而906030,PCD ∠=︒-︒=︒()11803075,2CDP ∴∠=︒-︒=︒ 907515,PDF ∴∠=︒-︒=︒由60,45,PBC CBD ∠=︒∠=︒15,PBH ∴∠=︒ ,PBH PDF ∴∠=∠,BPH DFP ∴∽ 故②符合题意；15,30,15,60,PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒ ,PFD BPD ∴不相似，故③不符合题意；正方形ABCD ，45CDB ∴∠=︒，90451530,PDH PCD ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠,DPH CPD ∠=∠ ,PDH PCD ∴∽ ,DP PHPC PD∴= ∴ 2DP PH PC =⋅，故④符合题意，综上：符合题意的有：①②④． 故选：.D 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含30的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．8．D解析：D 【分析】把面积之比转化为周长之比，后分周长为较大三角形或较小三角形的两种情形求解即可. 【详解】∵两个相似三角形面积比是4:9， ∴两个相似三角形周长比是2：3， 当较大三角形的周长为18时，较小三角形的周长为18×23=12； 当较小三角形的周长为18时，较大三角形的周长为18×32=27； 故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形面积之比，周长之比，解答时，熟练将面积之比转化为周长之比，会用分类思想求解是解题的关键.9．D解析：D 【分析】根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论． 【详解】 A 由a cb d=可以得到ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； B 、由a c ab d b-=-可得：（a-c ）b=（b-d ）a ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； C 、由a b c db d++=可得（a+b ）d=（c+d ）b ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意；D 、由1?111a cb d ++=++，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c ，不能得到ad=bc ，故本选项错误，符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．10．D解析：D 【分析】由正方形的性质证明180BOG BCG ∠+∠=︒，结合180BOG GOP ∠+∠=︒， 从而可判断①；由GO GP =，可得,GOP GPO ∠=∠从而可得,GPO BCP ∠=∠可判断②；设,,BG a CG b == 则,DH CG BF b === 再证明,DHP BGP ∽ 可得,DH HPBG PG= 求解2,b HP a= 再证明,PG b = 利用,HG HP PG =+ 列方程2,b a b b a -=+解关于a 的方程并检验即可判断③；证明,DHP CHD ∽求解DP =再证明,BCP GPO ∽ 求解PO = 由,a b ≠ 可判断④，从而可得答案．【详解】解：正方形ABCD 与正方形EFGH ．45,45,DBC EGF ∴∠=︒∠=︒ 90,BGC ∠=︒4590135,EGC ∴∠=︒+︒=︒36036045135180,BOG BCP OBC OGC ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ 180,BOG GOP ∠+∠=︒∴ GOP BCP ∠=∠，故①符合题意；GO GP =，,GOP GPO ∴∠=∠ ,GPO BCP ∴∠=∠ ,BC BP ∴= 故②符合题意；正方形,FGHE//,EH FG ∴ ,DHP BGP ∴∽,DH HPBG PG∴= 设,,BG a CG b == 则,DH CG BF b ===,,BC BP BG PC =⊥ ,PG CG b ∴==,b HP a b∴= 2,b HP a∴=,FG HG HP PG a b ==+=-2,b a b b a∴-=+2220,a ba b ∴--=(21,2b a b ±∴==±经检验：(1a b =-不合题意，舍去，(1,a b ∴=+(11b BG a PG b b∴===+故③符合题意；,,BC BP BG CP =⊥,CBG PBG ∴∠=∠ //,DE BG ,HDP PBG ∴∠=∠ ,CBG DCH ∠=∠ ,HDP DCH ∴∠=∠ ,DHP CHD ∠=∠ ,DHP CHD ∴∽,DH DPCH CD∴= ,,DH b CH BG a ===CD ∴=b a∴=DP ∴=45,,,CBP PGO BC BP GP GO ∠=︒=∠==,BC BPPG GO∴= ,BCP GPO ∴∽ ,BC CPGP PO∴=22,BC CD PC CG b ====2,b PO =PO ∴=,a b ≠,DP PO ∴≠ 故④不符合题意；故选：.D 【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．11．D解析：D 【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′， ∴△ABC 与△A′B′C′的三边对应成比例， ∴△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B′=∠B ． 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．12．B解析：B 【分析】根据角平分线、中点及平行线的性质，得出FD=ED= FB ，设FD=ED= FB=x ，再根据△CEF ∽△CAB ，得出x 的值，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠FBD∵EF ∥AB ∠FDB=∠ABD ∴∠FDB=∠FBD ∴△FBD 为等腰三角形 ∴FB=FD∵D 为线段EF 的中点 ∴FD=ED ∴FD=ED= FB 设FD=ED= FB=x ∴EF=2x ∵EF ∥AB ∴△CEF ∽△CAB∴CF EFCB AB= ∴CB FB EFCB AB -= 即8-2810x x= 解得：x=4013∴CF=8-BF=8-4013=6413 EF=2×4013=8013∵∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8∴=在Rt △CEF 中=4813∴AE=AC-CE=6-4813=3013故选：B ． 【点睛】本题主要考查了角平分线、中点及平行线的性质，也考察了相似三角形的性质，勾股定理的应用；解题关键是熟练掌握角平分线、平行线以及相似三角形的性质以及利用方程解决实际问题．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】根据题意标杆光线影长组成的三角形与旗杆旗杆影长光线所组成的三角形相似故可利用相似三角形的性质解答【详解】解：设旗杆的高度为x 米根据题意得：解得：x ＝10故答案为：10【点睛】本题考查了相似三 解析：10【分析】根据题意，标杆、光线、影长组成的三角形与旗杆、旗杆影长、光线所组成的三角形相似，故可利用相似三角形的性质解答． 【详解】解：设旗杆的高度为x 米，根据题意得：21.57.5x =， 解得：x ＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出树的高度，体现了方程的思想．14．【分析】根据比例的性质求解即可；【详解】∵设∴；故答案是【点睛】本题主要考查了比例的性质准确计算是解题的关键 解析：38【分析】根据比例的性质求解即可； 【详解】∵35a b =， 设3a k =，5b k =，∴33358a k ab k k ==++； 故答案是38．【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．15．(23)或(0-1)【分析】以A 点为坐标原点建立新的直角坐标系得知C 点在新的直角坐标系中的坐标再根据相似比可求出C1在新的直角坐标系中的坐标最后即可知道点C1在原坐标系中的坐标【详解】以A 点为坐标原解析：(2，3)或(0，-1) 【分析】以A 点为坐标原点建立新的直角坐标系，得知C 点在新的直角坐标系中的坐标，再根据相似比，可求出C 1在新的直角坐标系中的坐标，最后即可知道点C 1在原坐标系中的坐标． 【详解】以A 点为坐标原点建立新的直角坐标系，则在新的直角坐标系中，C 点的坐标为(3-1，5-1)，即C(2，4)．根据题意可知在新的直角坐标系中11AB C △是以点A 为位似中心，相似比为1：2，把ABC 缩小后得到的三角形．∵点C 在新的直角坐标系中的坐标为(2，4)，∴点C 的对应点C 1在新的直角坐标系中的坐标为()112422⨯⨯，或()112422⨯-⨯-，，即(1，2)或(-1，-2)．∴点C 1在原坐标系中的坐标为(1+1，2+1)或(-1+1，-2+1)，即(2，3)或(0，-1)． 故答案为(2，3)或(0，-1)． 【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键．16．【分析】先证出点P 是线段AB 的黄金分割点再由黄金分割点的定义得到把AB=2代入计算即可【详解】解：∵点P 在线段AB 上AP2=AB•BP ∴点P 是线段AB 的黄金分割点AP ＞BP 故答案为：【点睛】本题考查1【分析】先证出点P 是线段AB 的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到12AP AB =，把AB=2代入计算即可． 【详解】解：∵点P 在线段AB 上，AP 2=AB•BP ， ∴点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，21AB AP ===∴，1． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，较长线段是整个线段的12倍． 17．【分析】由得即得到位似比根据位似的性质计算即可【详解】∵∴即∵四边形与四边形位似∴故答案为【点睛】本题考查了图形的位似准确将线段的比转化为位似图形的位似比是解题的关键解析：35. 【分析】由32OE EA =，得323OE EA OE =++即35OE OA =，得到位似比，根据位似的性质计算即可. 【详解】∵32OE EA =，∴323OE EA OE =++，即35OE OA =， ∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，∴FG BC =35OE OA =， 故答案为35. 【点睛】本题考查了图形的位似，准确将线段的比转化为位似图形的位似比是解题的关键.18．2或8或5【分析】需要分类讨论：△ADP ∽△BCP 和△ADP ∽△PCB 根据该相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度【详解】∵四边形ABCD 是矩形AD ＝4AB ＝10∴BC ＝AD ＝4CD ＝AB ＝10设D解析：2或8或5 【分析】需要分类讨论：△ADP ∽△BCP 和△ADP ∽△PCB ，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度． 【详解】∵四边形ABCD 是矩形，AD ＝4，AB ＝10 ∴BC ＝AD ＝4，CD ＝AB ＝10，设DP ＝x ，则CP ＝10－x ， 分两种情况进行讨论： ①当△ADP ∽△BCP 时，AD DPBC CP =，即4410x x=- ∴()4104x x ⨯-=， 解得：5x =； ②当△ADP ∽△PCB 时， AD DP PC BC=，即4104xx =-， ∴()1016x x -= 解得：x=2或x=8， 故答案为：2或8或5． 【点睛】本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x 的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案．在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位．19．10【分析】由题意得是直角三角形四边形DEGC 是矩形易证再根据ASA 证明然后根据相似三角形的性质和全等三角形的性质得出从而求出AG 的值根据即可求出三角形ABC 的面积再减去6个边长为1的小正方形的面积解析：10 【分析】 由题意得BDE 、EHF 、EGA △是直角三角形，四边形DEGC 是矩形，//,////,231BC EG DE HF AC DE HF DC EG HE =====，，,易证EHF EGA △△，再根据ASA 证明BDE EHF ≅△△，然后根据相似三角形的性质和全等三角形的性质得出123AG=，从而求出AG 的值，根据 ABC BDE EGA DEGC S S S S =++△△△矩形即可求出三角形ABC 的面积，再减去6个边长为1的小正方形的面积即为阴影部分的面积． 【详解】 解：如图：由题意得：BDE 、EHF 、EGA △是直角三角形，四边形DEGC 是矩形，//,////,231BC EG DE HF AC DE HF DC EG HE =====，，,90BDE EHF EGA ∴∠=∠=∠=︒∠∠∠，DEB=HFE=GAEEHFEGA ∴△△ HE HF EG AG∴= 在BDE 和EHF 中BDE EHF DE HFDEB HFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()BDE EHF ASA ∴≅△△，1DB HE ∴==，123AG∴=， 6AG ∴=，11=123623=1622ABC BDE EGA DEGC S S S S ∴=++⨯⨯+⨯⨯+⨯△△△矩形， ∴S 阴影=S △ABC -6=16-6=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．20．【分析】设正方形网格的边长为1根据勾股定理求出△EFD △ABC 的边长运用三边对应成比例则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC 即可解决问题【详解】解：设正方形网格的边长为1由勾股定理得：D【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC ，即可解决问题．【详解】解：设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE ＝EF ＝同理可求：AC，BC∵DF ＝2，AB ＝2，∴1EF DE DF BC AB AC === ∴△EDF ∽△BAC ，∴DEF 与ABC，．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题21．（1）y=12x+1；（2）(2，2)；（3）存在，(0，2)或(0，-2) 【分析】（1）直线CD 过点C(-2，0)和D(0，1)，设直线CD 解析式为y kx b =+，将C(-2，0)和D(0，1)代入得-2=01k b b +⎧⎨=⎩解方程组即可； （2）联立方程1124y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解方程组即可； （3）△PBC 与△ABC 的底均为BC ，当面积相等时，则高也相等，由△ABC 的底BC 边上的高为A 点的纵坐标2，可求P 点的纵坐标的绝对值为2，点P 在y 轴上，分类考虑点P 的位置即可求出．【详解】解：（1）直线CD 过点C(-2，0)和D(0，1)，设直线CD 解析式为y kx b =+，将C(-2，0)和D(0，1)代入得，-2=01k b b +⎧⎨=⎩， 解得1=21k b ⎧⎪⎨⎪=⎩，直线CD 的解析式为y=12x+1； （2）联立方程1124y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩， A 点坐标为（2，2）；（3）△PBC 与△ABC 的底均为BC ，当面积相等时，则高也相等，∵△ABC 的底BC 边上的高为A 点的纵坐标2，∴P 点的纵坐标的绝对值为2，点P 在y 轴上，①当点P 在x 轴上方时，则P 点坐标为（0，2）；②当点P 在x 轴下方时，则P 点坐标为（0，-2）；综上所述，点P 的坐标为（0，2）或（0，-2）．【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，两直线交点坐标，同底等高三角形面积问题，掌握待定系数法求直线解析式，两直线交点坐标联立两直线方程解方程组，同底等高三角形面积分类处理是解题关键．22．（12；（2）①仍然成立，理由见解析；7．【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形可知2AC ＝．又因为E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 的中点，即可推出2=22CF DE ，即=2CF DE． （2）①因为△AFE 和△ACD 都是等腰直角三角形，可推出△AFE ∽△ACD ，即得出结论，=2AF AC AE AD=∠FAE ＝∠CAD ＝45°，可推出∠FAC ＝∠EAD ，即证明△ACF ∽△ADE ，即得出结论2CF AC DE AD= ②由题意可知AD ＝CD ＝AB ＝2， EF ＝AE ＝12AD ＝1，∠ADC ＝90°，∠AEF ＝90°．因为点E ，F ，C 在一条直线上，说明∠AEC ＝90°．在Rt AEC 中，利用勾股定理可求出CE 的长度，即可求出CF 的长度．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠D ＝90°，∴2AC AD ＝， ∵E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 的中点，∴=2=2AD DE AC CF ，，∴2=22CF DE ⨯，即=2CF DE． （2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵△AFE 和△ACD 都是等腰直角三角形，∴△AFE ∽△ACD ，∴=2AF AC AE AD=， ∵∠FAE ＝∠CAD ＝45°，∴∠FAE +∠CAE ＝∠CAD +∠CAE ，即∠FAC ＝∠EAD ，∴△ACF ∽△ADE ，∴=2CF AC DE AD=． ②如图3所示： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝AB ＝2，∠ADC ＝90°，∴222AC AD ==同②得：EF ＝AE ＝12AD ＝1，∠AEF ＝90°， ∵点E ，F ，C 在一条直线上，∴∠AEC ＝90°，在Rt AEC 中，22==81=7CE AC AE --，∴CF ＝CE +EF ＝71+．【点睛】本题为四边形综合题，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理是解答本题的关键．23．203【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：∵a ∥b ∥c ，AB ＝3，BC ＝5，DE ＝4，∴AB DE BC EF =，即345EF=， 解得，EF 203=， 故答案为：203． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）()12,6A --；（3）10【分析】 （1）根据位似图形的性质即可以原点O 为位似中心，在原点另一侧画出111A B C △，使1112AB A B =； （2）结合（1）即可写出A 1的坐标；（3）根据网格利用割补法即可求出111A B C △的面积．【详解】解：（1）如图，111A B C △为所求．（2）由图可知：()12,6A --．故答案为：()2,6--．（3）111A B C △的面积是：1114626242410222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题考查了作图−位似变换，解决本题的关键是掌握位似图形的性质．25．（1）见解析；（2）6【分析】（1）先根据正方形的性质得到90A D ︒∠=∠=，AB BC CD AD ===，//AD BC ；然后再说明ABE DEF ∠=∠即可证明ABE DEF ∆∆；（2）先求得1DF =、3CF =，再根据相似三角形的性质得到AE AB DF DE =，进而求得DE=2,然后再根据EDFGCF ∆∆的性质求得CG 即可．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 为正方形， 90A D ︒∴∠=∠=，AB BC CD AD ===，//AD BC ，90BEF ︒∠=，90ABE AEB DEF AEB ︒∴∠+∠=∠+∠=，ABE DEF ∴∠=∠，ABE DEF ∴∆∆；（2）解：4AB BC CD AD ====，3CF DF =，1DF ∴=，3CF =，ABE DEF ∆∆，AE AB DF DE ∴=，即441DE DE-=，解得：2DE =， //AD BC ，EDF GCF ∆∆，DE DF CG CF ∴=，即213CG =， 6CG ∴=．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键．26．（1）画图见解析，1(5,1),(3,5)---P B（2）画图见解析，226)(--，B 【分析】（1）连接1O O 并延长与1A A 的延长线相交，交点即为位似中心P ，再根据平面直角坐标系写出点P 和1B 的坐标；（2）延长OA 到2A ，使2=AA OA ，延长OB 到2B ，使2=BB OB ，连接22A B ，再根据平面直角坐标系写出点2B 的坐标；【详解】解：（1）位似中心P 如图所示，1(5,1),(3,5)---P B ；（2）22OA B △如图所示，226)(--，B ；【点睛】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键．。
北师大版九上数学第四章 图形的相似 2016秋《名校课堂》单元测试(含答案)
单元测试(四) 图形的相似(BJ )(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1、如果mn ＝ab ，那么下列比例式中错误的是( )A 、a m ＝n bB 、a n ＝m bC 、m a ＝n bD 、m a ＝b n2．若△ABC ∽△DEF ，且AB ∶DE ＝2∶3，则AB 与DE 边上的高h 1与h 2之比为( ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．4∶9 D ．9∶4 3．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，∠A ＝40°，∠B ＝110°，则∠C ′＝( )A ．40°B ．110°C ．70°D ．30°4．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F 、若AB BC ＝23，DE ＝4，则EF 的长是( )A 、83B 、203 C ．6 D ．105．下列说法不正确的是( )A ．两角对应相等的三角形是相似三角形B ．两边对应成比例的三角形是相似三角形C ．三边对应成比例的三角形是相似三角形D ．两个等边三角形一定是相似三角形6．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形( ) A ．一定不相似 B ．不一定相似 C ．一定相似 D ．不能确定7．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7、5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，若想得到这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长是下列的( )A ．2 cm ，3 cmB ．4 cm ，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm8．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A ．12、36 cmB ．13、6 cmC ．32、36 cmD ．7、64 cm9．如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A ，B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的长为12 m ，由此他就知道了A ，B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A ．AB ＝24 m B ．MN ∥ABC ．△CMN ∽△CABD ．CM ∶MA ＝1∶2 10．如图，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为( )A ．6B ．8C ．10D ．12(第10题) (第11题) (第12题)11．如图，在□ABCD 中，E 为AD 的中点，△DEF 的面积为1，则△BCF 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．小明在打网球时，为使球恰好能过网(网高0、8米)，且落在对方区域离网5米的位置上，已知她的击球高度是2、4米，则她应站在离网( )A ．7、5米处B ．8米处C ．10米处D ．15米处13．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，以O 为位似中心，把△ABC 放大2倍得到△A ′B ′C ′，那么A ′的坐标为( )A ．(－8，－4)B ．(－8，4)C ．(8，－4)D ．(－8，4)或(8，－4)14．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件：①∠APB ＝∠EPC ；②∠APE ＝∠APB ；③P 是BC 的中点；④BP ∶BC ＝2∶3、其中能推出△ABP ∽△ECP 的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个(第14题) (第15题) (第17题)15．如图，D 是△ABC 一边BC 上一点，连接AD ，使△ABC ∽△DBA 的条件是( ) A ．AC ∶BC ＝AD ∶BD B ．AC ∶BC ＝AB ∶AD C ．AB 2＝CD ·BC D ．AB 2＝BD ·BC二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 16．若x ∶y ＝1∶2，则x －yx ＋y＝________、17．如图，∵∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∴△ABC ∽△________、18．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．(第18题) (第19题) (第20题)19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，点D 是AC 上的动点，当∠BDC ＝________时，△ABC ∽△BD C 、 20．如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE ＝1，则 DF 的长为________．三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)如图，已知：在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝44°，∠B ＝73°，∠D ＝44°，∠F ＝63°、求证：△ABC ∽△DEF 、22．(8分)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F 、求证：△ACB ∽△DCE ；23．(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，2)，B (－3，4)，C (－2，6)． (1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2、24．(12分)如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD ＝CD BD 、(1)求证：△ACD ∽△CBD ； (2)求∠ACB 的大小．25．(12分)如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与底面保持平行并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE ＝0、5米，EF ＝0、25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1、5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米，求旗杆的高度．26、(14分)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD＝x、(1)求证：△ABC∽△BCD；(2)求x的值．27．(16分)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝B D、连接MF，NF、(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论；(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．参考答案1． C 2、A 3、D 4、C 5、B 6、C 7、C 8、A 9、D 10、B 11、D 12、C 13、D 14、C 15、D16、－13 17、DEF 18、(9，0) 19、70° 20、32 21、证明：在△DEF 中，∠E ＝180°－∠D －∠F ＝180°－44°－63°＝73°、∵∠A ＝∠D ＝44°，∠B ＝∠E ＝73°，∴△ABC ∽△DEF 、 22、证明：∵AC DC ＝32，BC CE ＝64＝32，∴AC DC ＝BCCE、又∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴△ACB ∽△DCE 、 23、(1)(2)图略． 24、(1)证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°、∵AD CD ＝CDBD，∴△ACD ∽△CB D 、(2)∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BC D 、在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°、∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°、 25、根据题意，得∠DEF ＝∠DCA ＝90°，∠EDF ＝∠ADC ，∴△DEF ∽△DC A 、∴EF AC ＝DE DC 、已知DE ＝0、5米，EF ＝0、25米，DC ＝20米．∴0.25AC ＝0.520、解得AC ＝10米．∵四边形BCDG 是矩形，∴BC ＝DG ，而DG ＝1、5米，则BC ＝1、5米．因此AB ＝AC ＋BC ＝10＋1、5＝11、5(米)．答：旗杆的高度是11、5米． 26、(1)证明：∵等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°、∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝36°、∵∠CBD ＝∠A ＝36°，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BC D 、(2)∵∠A ＝∠ABD ＝36°，∴AD ＝B D 、∵∠CBD ＝36°，∠C ＝72°，∴∠BDC ＝72°、∴BD ＝B C 、∴AD ＝BD ＝BC ＝1、设CD ＝x ，则有AB ＝AC ＝x ＋1、∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC ＝BC CD ，即x ＋11＝1x ，整理得：x 2＋x －1＝0、解得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(负值，舍去)，则x ＝5－12、经检验，x ＝5－12为方程的解．∴x ＝5－12、 27、(1)△BMN 是等腰直角三角形．证明如下：∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BA C 、∵BN 平分∠ABE ，AC ⊥BD ，∴∠AEB ＝90°、∴∠EAB ＋∠EBA ＝90°、∴∠MNB ＝∠NAB ＋∠ABN ＝12(∠BAE ＋∠ABE )＝45°、∴△BMN 是等腰直角三角形．(2)△MFN ∽△BD C 、理由：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，∴FM ∥AC ，FM ＝12A C 、∵AC ＝BD ，∴FM ＝12BD ，即FM BD ＝12、∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM ＝BM ＝12BC ，即NM BC ＝12、∴FM BD ＝NMBC 、∵AM ⊥BC ，∴∠NMF ＋∠FMB ＝90°、∵FM ∥AC ，∴∠ACB ＝∠FM B 、∵∠CEB ＝90°，∴∠ACB ＋∠CBD ＝90°、∴∠CBD ＋∠FMB ＝90°、∴∠NMF ＝∠CB D 、∴△MFN ∽△BD C 、http://www 、czsx 、com 、cn。
【易错题】浙教版九年级数学上册《第四章相似三角形》单元测试卷含答案解析.doc
【易错题解析】浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1•已知「夕，则?的值是（）3 4 y2. 如图1, A ABC和4GAF是两个全等的等腰直角三角形，图屮相似三角形（不包括全等）共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点PB.点OC.点MD.点N4. 在ZiABC 和△ DEF 屮，ZA=40°, ZD=60°, ZE=80°,字=器，那么ZB 的度数是（）AC FEA.40°B.60°C.80°D.100°5. 如图，锐角AABC的高CD和BE相交于点0,图中与△ ODB相似的三角形有（）6. 如图，在平行四边形ABCD中，AE： AD=2： 3,连接BE交AC于点F,若△ ABF和四边形CDEF的面积分别记为Si , S2 ,贝iJSi： S2% （）A. 2： 3B.4： 9C. 6： 11D. 6： 137. 如图，在AABC中，点D, E分别是AB, C的中点，则S AADE：S A ABC=（）A. 1： 2B. 1： 3C. 1： 4D. 1： 58. （2017*淄惮）如图，在RtA ABC 中，ZABC=90°, AB=6, BC=8, ZBAC, ZACB 的平分线相交于点E,过点E作EF〃BC交AC于点F,则EF的长为（）9.如图，点D是AABC的边AC的上一点，且ZABD=ZC；如果= |，那么譽=（）CD 3 D LF八…! f►•10.如图，RtA ABC 中，BC=2V3 ，ZACB=90°, ZA=30°, 6 是斜边 AB 的中点，过 6 作 DiEi 丄AC 于 Ei二、填空题（共10题；共30分）AB=4, CD=3, OD=2,那么线段OA 的长为22.如果两个相似三角形周长的比是2:3 ,那么它们面积的比是 ____________ •13. 如图，已知直线 I] || l 2 II $，分别交直线 m 、n 于点 A^ C^ D 、E 、F, AB = 5cm, AC=15cm, DE = 3cm,则EF 的长为 ________ cm.14. ________________________________________________________________________________ 已知AABCsADEF,相似比为3:5, A ABC 的周长为6,则△ DEF 的周长为 ___________________________________ .15. ________________________________________________________________________________________________ 已知△ ABC^ADEF, △ ABC 的周长为1, △ DEF 的周长为3,则厶ABC 与氐DEF 的面积之比为 _________________ .16. 若两个相似三角形的周长之比为2：3,较小三角形的面积为8crY?,则较大三角形面积是 ____________ cm 2 . 17. 如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线4C 于点F ,若AB = 4 f18. 如图，已知ZAOB=60。
(典型题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．如图，ABC 的两个顶点B 、C 均在第一象限，以点()0,1A 为位似中心，在y 轴左侧作ABC 的位似图形ADE ，ABC 与ADE 的位似比为1：2若点C 的纵坐标是m ，则其对应点E 的纵坐标是（ ）A ．32m -+B ．23m +C ．()23m -+D ．23m -+ 2．点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB AB AC =＝k ，那么k 的值为（ ） A ．512+ B ．512- C ．5＋1 D ．5－1 3．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，DE ，AC 相交于点F ，S △CEF ＝1，则S △ADC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线BD 上的一点，且12OD OB =，连接CO 并延长交AD 于点E ，若△COD 的面积是2，则四边形ABOE 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，已知□ABCD ，以B 为位似中心，作□ABCD 的位似图形□EBFG ，位似图形与原图形的位似比为23，连结CG ，DG ．若□ABCD 的面积为30，则△CDG 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．如图，CD ，BE 分别是ABC 两条中线，连结DE ，则:EDC ABC S S 的比值是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．237．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，线段AE ，AF 与对角线BD 分别交于点G .设矩形ABCD 的面积为S ，则下列结论不正确的是（ ）A ．:2:1AG GE =B ．::1:1:1BG GH HD =C ．12313S S S S ++=D ．246::1:3:4S S S = 8．若34,x y =则x y =（ ） A ．34 B ．74 C ．43 D ．739．如图，已知ABC ，DCE ，FEG ，HGI 是四个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且4AB =，2BC =，连接AI 交FG 于点Q ，则QI 的值为（ ）A ．4B ．103C ．3D ．8310．如图，梯形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，已知AD ∥BC ，AD =2，BC =4，S △AOD =1，则梯形ABCD 的面积为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．611．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR FG ⊥于点R ，再过点C 作PQ CR ⊥分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若2QH PE =，9PQ =，则CR 的长为（ ）A ．14B ．9C ．425D ．36512．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE CE =， 1.MN =线段MN 的两端在CD ，AD 上滑动，当ABE 与以D ，M ，N 为顶点的三角形相似时，DM 的长为（ ）A ．13B ．13或23C ．55D ．55或255二、填空题13．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN ＝32NF ；③38BM MG =；④S 四边形CGNF ＝12S 四边形ANGD ，其中正确的结论的序号是_____．14．如图，小静在横格纸上画了两条线段AB ，CD ，点A ，D 在同一条格线上，点B ，C 在同一条格线上，AB 与CD 的交点也在格线上，横格纸的横线平行且相邻横线间的距离相等，若4=AD ，则BC =______．15．如图，在ABC ∆中，点111,,A B C 分别是,,AC BC AB 的中点，连接1111,AC A B ，四边形111A B BC 的面积记作1S ；点222,,A B C 分别是1111,,A C B C A B 的中点，连接2222,A C A B ，四边形2212A B B C 的面积记作2S …，按此规律进行下去，若ABC S a ∆=，则3S =__________；n S =__________．（n 为正整数）16．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为_____．17．已知AEF ABC ∽，且:1:3AE AB =，四边形EBCF 的面积是8，则ABC S =____________．18．如图，在正方形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,O E 是OB 的中点，连接AE 并延长交BC 于点,F 若BEF ∆的面积为1,则正方形ABCD 的面积为________________________．19．线段AB 、CD 在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 均在格点上，线段AB 、CD 是位似图形，位似中心的坐标是__________．20．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.8米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为____米．三、解答题21．如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是多少米？22．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数+6y x =-的图象1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(),5C m（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOC S 的值；（3）垂直于x 轴的直线x a =与直线12,l l 分别交于点,P Q ，若线段2PQ =，求a 的值； （4）一次函数64y kx k =-+的图象与线段AB （含端点）有公共点，且满足y 随x 的增大而减小，设直线与x 轴的交点横坐标为,x 直接写出x 的取值范围．23．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF AE ⊥于点F ，设()0AD AEλλ=>．（1）若1λ=，求证：CE FE =；（2）若3,4AB AD ==，且D B F 、、在同一直线上时，求λ的值．24．如图，在△ABC 中，∠C =∠ADE ，AB =3，AD =2，CE =5，求证：（1）△ADE ∽△ACB ；（2）求AE 的长．25．如图，小明想测量河对岸建筑物AB 的高度，在地面上C 处放置了一块平面镜，然后从C 点向后退了2.4米至D 处，小明的眼睛E 恰好看到了镜中建筑物A 的像，在D 处做好标记，将平面镜移至D 处，小明再次从D 点后退2.52米至F 处，眼睛G 恰好又看到了建筑物顶端A 的像，已知小明眼睛距地面的高度ED ，GF 均为1.6米，求建筑物AB 的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）26．如图1，在等边ABC 中，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EDF=60．（1）求证：BDE CFD △∽△；（2）若点D 移至BC 的中点，如图2，求证：FD 平分EFC ∠．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设点C 的纵坐标为m ，然后表示出AC 、EA 的纵坐标的距离，再根据位似比列式计算即可；【详解】设点C 的纵坐标为m ，则A 、C 间的纵坐标的长度为()1m -，∵△ABC 放大到原来的2倍得到△ADE ，∴E 、A 间的纵坐标的长度为()21m -,∴点E 的纵坐标为()()2112323m mm ⎡⎤---=--=-+⎣⎦；故答案选D ．【点睛】 本题主要考查了位似变换，坐标与图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 2．B解析：B【分析】设AC=1，由题意得AB=k ，BC=2k ，由AC=AB+ BC=1得到关于k 的一元二次方程，解方程即可．【详解】设AC=1， ∵BC AB AB AC==k ，且0k >， ∴AB=k ，BC=2k ，∵AC=AB+ BC=1，∴21k k +=，即210k k +-=，∵1a =，1b =，1c =-，()224141150b ac =-=-⨯⨯-=>，∴k =负值舍去)，∴12k =， 故选：B ．【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据已知可得△CEF ∽△ADF ，及EF 和DF 的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD=BC ，△CEF ∽△ADF ， ∴EC EF AD DF= ∵E 是BC 的中点，∴EC=1122BC AD = ∴12EC EF AD DF == ∴2211()()24CEF ADF S EF S DF ∆∆=== ∵S △CEF ＝1，∴S △ADF ＝4， ∵12EF DF = ∴DF=2EF ∴S △D CF ＝2 S △CEF ＝2，∴S △ADC ＝S △ADF + S △D CF =4+2=6故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．4．C解析：C【分析】由题意可得△BOC 的面积为4，通过证明△DOE ∽△BOC ，可求S △DOE ＝1，即可求解．【详解】解：∵12 ODOB，△COD的面积是2，∴△BOC的面积为4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2＋4＝6，∴△DOE∽△BOC，∴DOEBOCSS.（ODOB）2＝14，∴S△DOE＝1，∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．5．C解析：C【分析】连接BG，根据位似变换的概念得到点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，根据相似三角形的性质得到BGBD＝FGCD＝23，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接BG，∵▱ABCD和▱EBFG是以B为位似中心的位似图形，∴点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，面积为30，∴△CDB的面积为15，∵FG∥CD，∴△BFG∽△BCD，∴BGBD＝FGCD＝23，∴DGBD＝13，∴△CDG的面积＝15×13＝5，故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、平行四边形的性质，掌握位似图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行是解题的关键．6．B解析：B【分析】利用三角形中位线定理证明三角形的相似，根据相似三角形的性质确定面积之比，利用中线的性质等量代换三角形即可得证．【详解】∵CD ，BE 分别是ABC 两条中线，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴ADE S =14ABC S , ∴ADE S：ABC S =1：4， ∵点E 是AC 的中点， ∴ADE S=EDC S ， ∴EDC S ：ABC S =1：4， 故选B ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形相似的判定与性质，中位线的性质，熟练掌握定理，灵活运用性质，规范进行代换是解题的关键．7．D解析：D【分析】 根据平行线分线段成比例定理和线段中点的定义得：21AG AD GE BE ==，可判断选项A 正确；同理根据平行线分线段成比例定理得：13BG BD =，13DH BD =即可判断B 选项；设1S x =根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，等底同高三角形面积的关系依次用x 表示各三角形的面积，即可判断C 和D 选项．【详解】 ①四边形ABCD 是矩形,//BC AD BC AD ∴=点E 是BC 的中点1122//BE BC AD AD BE∴== ∴21AG AD GE BE == 故选项A 正确；②//BE AD1213BG BE DG AD BG BD ∴==∴= 同理得：13DH BD =::1:1:1BG GH HD BG GH HD ∴==∴=故选项B 正确 ③//BE ADDAG ∴△BEG ∽△ 13453414S S S BG GH HD S S S ∴=+==∴==设1S x =则5342S S S x ===12S x ∴=同理可得：2S x =1231243S S S x x x x S ∴++=++== 故选项C 正确；④由③可知：664S x x x x =--=246::1:2:4S S S ∴=故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质,三角形相似的性质和判定,平行线分线段成比例定理,三角形面积等知识,解题的关键是理解题意,掌握等底同高三角形面积相等,相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．C解析：C【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．【详解】由比例的性质，由34,x y =得43x y =． 故选C ． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键． 9．D解析：D【分析】先求出BP ，进而利用勾股定理求出AP 的平方，即可求AI=8，最后判断出QG ∥AC ，即可通过全等得出结论．【详解】解：如图，过点A 作AP ⊥BC 垂足为P ，∵AB=AC ，BC=2，∴BP=12BC ＝1，BC=CE=EG=GI=2， 在Rt △ABP 中，根据勾股定理得，AP 2=AB 2-BP 2= 42-12=15 ，在Rt △API 中，PI=772BC =，根据勾股定理得222=1578AI AP PI ++= ， ∵△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，∴∠ACB=∠QGC ，∴QG ∥AC ，∴△IGQ ∽△ICA ， ∴QI IG AI IC ＝ ， ∴268QI ＝， ∴QI=83， 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求出AI 是解本题的关键．10．A解析：A【分析】先根据AD ∥BC ，得到△AOD ∽△COB ，从而得出△COB 的面积，再根据△AOB 与△COB 等高，从而得出△AOB 的面积，同理得出△DOC 的面积即可得出梯形ABCD 的面积．【详解】解：∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB∵AD =2，BC =4， ∴12AD BC = ∴114AOD COB COB S S S == ∴COB S △ =4∵△AOB 与△COB 等高，又∵12AO CO = ∴142AOB AOB COB S S S == ∴AOB S =2同理，DOC S =2∴ABCD S 梯形=AOD COB AOB DOC SS S S +++ =1+4+2+2=9．故选：A ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．11．C解析：C【分析】连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，先证得△ECP ∽△HCQ ，可得12PC CE EP CQ CH HQ ===，进而可求得CQ ＝6，AC :BC ＝1:2，由此可设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝6，再根据勾股定理求得AC =，5BC =125CJ =，进而可求得CR 的长． 【详解】解：如图，连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，∵四边形ACDE ，四边形BCIH 都是正方形，∴∠ACE ＝∠BCH ＝45°，∵∠ACB ＝90°，∠BCI ＝90°，∴∠ACE ＋∠ACB ＋∠BCH ＝180°，∠ACB ＋∠BCI ＝180°，∴点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上，∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ，∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴12PC CE EP CQ CH HQ ===， ∵PQ ＝9，∴PC ＝3，CQ ＝6，∵EC :CH ＝1:2，∴AC :BC ＝1:2，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ，∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 为平行四边形，∴AB ＝CQ ＝6，∵222AC BC AB +=，∴2536a =，∴5a =（舍负）∴AC =，BC = ∵1122AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅，∴125565CJ ==， ∵JR ＝AF ＝AB ＝6，∴CR ＝CJ ＋JR ＝425， 故选择：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 12．D解析：D【分析】根据90B D ∠=∠=，所以只有两种可能，假设ABE △∽NDM 或ABE △∽MDN △，分别求出DM 的长即可．【详解】 解：正方形ABCD 边长是2，BE CE =，1BE ∴=，225AE AB BE ∴+=当ABE △∽NDM 时::DM BE MN AE ∴=，1.MN = 5DM ∴=． 当ABE △∽MDN △时，::DM BA MN AE ∴=，2=1，=AB MN25DM ∴ 5DM ∴=25． 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM 与AB 是对应边时，②当DM 与BE 是对应边时这两种情况．二、填空题13．①②③【分析】由BE＝EF＝FCCG＝2GD可得BF=CG易证△ABF≌△BCG 即可解题；②易证△BNF∽△BCG即可求得的值即可解题；③作EH⊥AF令AB=3即可求得MNBM的值即可解题；④连接A解析：①②③【分析】由BE＝EF＝FC，CG＝2GD可得BF=CG，易证△ABF≌△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得BNNF的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．【详解】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF和△BCG中，90AB BCABF BCGBF CG⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，90CBG NBFBCG BNF∠∠⎧⎨∠∠︒⎩＝＝＝，∴△BNF∽△BCG，∴32BN BCNF CG==，∴BN=32NF；②正确；作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，22AF AB BF=+13∵S △ABF =12AF•BN =12AB•BF ， ∴BN =61313，NF =23BN =41313， ∴AN =AF -NF =913， ∵E 是BF 中点，∴EH 是△BFN 的中位线，∴EH =313，NH =213，BN ∥EH ， ∴AH =111313，AN MN AH EH =，解得：MN =2713143， ∴BM=BN-MN =31311，MG=BG-BM =81311， ∴38BM MG =；③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，则NG=BG-BN 713 ∵S 四边形CGNF =S △CFG +S △GNF =12CG•CF +12NF•NG =1+1413=2713， S 四边形ANGD =S △ANG +S △ADG =12AN•GN +12AD•DG =6335126213+=， ∴S 四边形CGNF ≠12S 四边形ANGD ，④错误； 故答案为 ①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB =3求得AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．14．6【分析】过点O 作OE ⊥AD 于点EOF ⊥CB 于点F 则EOF 三点共线根据平行线分线段成比例可得代入计算即可解答【详解】解：如图过点O 作OE ⊥AD 于点EOF ⊥CB 于点F 则EOF 三点共线∵横格纸的横线平行解析：6【分析】过点O 作OE ⊥AD 于点E ，OF ⊥CB 于点F ，则E 、O 、F 三点共线，根据平行线分线段成比例可得AD OE BC OF=，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点O 作OE ⊥AD 于点E ，OF ⊥CB 于点F ，则E 、O 、F 三点共线，∵横格纸的横线平行且相邻横线间的距离相等，∴AD OE BC OF =， 即423BC =， ∴CD=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．15．【分析】根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S1的值进而可得出S2的值找出规律即可求值【详解】解：∵是的中位线∴∴∴同理∴；同理可得∴故答案为：；【点睛】本题考查的是相似三角形的性质 解析：a 32 212n a - 【分析】根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S 1的值，进而可得出S 2的值，找出规律即可求值．【详解】解：∵1111,AC A B 是ABC ∆的中位线，∴11111,//2AC BC AC BC =， ∴11AC A ABC ∆∆， ∴111144AC A ABC S S a ∆∆==，同理111144A CB ABC S S a ∆∆==，∴1111442S a a a a =--=； 同理可得，2335,,2232a a a S S ===， ∴212n n aS -=．故答案为：a 32；212n a - 【点睛】 本题考查的是相似三角形的性质及三角形中位线定理，正确得出面积变化规律是解答此题的关键．16．【分析】根据矩形的性质可得出AB ∥CD 进而可得出∠FAE ＝∠FCD 结合∠AFE ＝∠CFD （对顶角相等）可得出△AFE ∽△CFD 利用相似三角形的性质可得出＝＝2利用勾股定理可求出AC 的长度再结合CF ＝解析：103【分析】根据矩形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出∠FAE ＝∠FCD ，结合∠AFE ＝∠CFD （对顶角相等）可得出△AFE ∽△CFD ，利用相似三角形的性质可得出CF AF ＝CD AE ＝2，利用勾股定理可求出AC 的长度，再结合CF ＝CF CF AF +•AC ，即可求出CF 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD， ∴∠FAE ＝∠FCD ，又∵∠AFE ＝∠CFD ，∴△AFE ∽△CFD ，∴CF AF ＝CD AE＝2． ∵AC 22AB BC +5， ∴CF ＝CF CF AF+•AC ＝221+×5＝103． 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF 是解题的关键．17．9【分析】根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9设列方程即可求解【详解】解：∵∴∴设则解得x=9故答案为：9【点睛】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形性质求出面积比设出未知数列解析：9【分析】根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9，设ABC S x =△，列方程即可求解．【详解】解：∵AEF ABC ∽，:1:3AE AB =， ∴219AEF ABC S AE S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△, ∴设ABC S x =△， 则189x x -=， 解得x=9．故答案为：9【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形性质求出面积比，设出未知数列出方程是解题关键．18．【分析】根据正方形的性质得OB ＝ODAD ∥BC 根据三角形相似的性质和判定得：根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得结论【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴OB ＝ODAD ∥BC ∴△BEF ∽△DE解析：24【分析】根据正方形的性质得OB ＝OD ，AD ∥BC ，根据三角形相似的性质和判定得：13BE EF ED AE ==，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴△BEF ∽△DEA ， ∴BE EF ED AE=， ∵E 是OB 的中点， ∴13BE EF ED AE ==，∴S △BEF ：S △AEB ＝EF ：AE ＝13， ∵△BEF 的面积为1，∴△AEB 的面积为3，∵13BE ED ， ∴S △AEB ：S △AED ＝13， ∴△AED 的面积为9，∴S △ABD =9+3=12， ∴正方形ABCD 的面积=12×2=24．故答案为：24．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键．19．(00)或(4)【分析】分①点A 和点C 为对应点点B 和点D 为对应点；②点A 和点D 为对应点点B 和点C 为对应点两种情况根据位似中心的概念解答【详解】解：①当点A 和点C 为对应点点B 和点D 为对应点时延长CAB解析：(0，0)或(143，4) 【分析】分①点A 和点C 为对应点，点B 和点D 为对应点；②点A 和点D 为对应点，点B 和点C 为对应点两种情况，根据位似中心的概念解答．【详解】解：①当点A 和点C 为对应点，点B 和点D 为对应点时，延长CA 、BD 交于点O ，则位似中心的坐标是（0，0），②当点A 和点D 为对应点，点B 和点C 为对应点时，连接AD 、BC 交于点P ，则点P 为位似中心，∵线段AB 、CD 是位似图形，∴AB ∥CD ，∴△PAB ∽△PDC ，∴12AP AB PD CD ===，即152AP AP =-， ∴AP 53=， ∴位似中心点P 的坐标是(533+，4)，即(143，4)， 综上所述，位似中心点的坐标是(0，0)或(143，4)， 故答案为：(0，0)或(143，4)． 【点睛】 本题考查了位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．20．8【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【详解】解：∵BD ⊥ABAC ⊥AB ∴BD ∥AC ∴△ACE ∽△BDE ∴∴∴AC=8（米）故答案为：8【点睛】本题考查了相似三角形的应用正确的识别图形解析：8【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴BD ∥AC ，∴△ACE ∽△BDE ， ∴AC AE BD BE =， ∴ 1.80.210.2AC -=， ∴AC=8（米），故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题21．6米【分析】先根据DE ∥BC 得出△ADE ∽△ACB ，再根据相似三角形的对应边成比例求出AD 的值，由AC ＝AD+CD 得出结论．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC ＝AD AC， 设AD ＝x ，则有1.51.8＝1x x +， 解得x ＝5． 甲的影长AC ＝1+5＝6米．答：甲的影长是6米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意判断出△ADE ∽△ACB 是解题的关键． 22．（1）1m =， 5y x =；（2）15AOC S =；（3）43a =或23a =；（4）18x ≥． 【分析】（1）由一次函数+6y x =-的图象1l 过点(),5C m ，可得+65m -=求出m ，设2l 的解析式为y kx =过点C(1,5)，求出k 即可；（2） 由y=0时，+60,6x x -==，OA=6，12AOC C S OA y =⋅； （3）当x a =时，与直线1l 交于点P （,6a a -），与直线2l 交于点Q （,5a a ），PQ=()562a a --=解之即可；（4）由一次函数64=-+y kx k 的图象横过定点(6,4) ，一次函数64=-+y kx k 的图象过B （0,6），13k =-，一次函数为163y x =-+ ，与x 轴交点，当18x ≥时即可． 【详解】解：（1）∵一次函数+6y x =-的图象1l 过点(),5C m ，∴+65m -=，∴1m =，设2l 的解析式为y kx =过点C ，∴k=5，∴2l 的解析式为5y x =；（2）一次函数+6y x =-与x 轴交点为A ，当y=0时，+60,6x x -==，∴OA=6， 11651522AOC C S OA y =⋅=⨯⨯=； （3）当x a =时，与直线1l 交于点P （,6a a -），与直线2l 交于点Q （,5a a ），PQ=()56612a a a --=-=，113a -=， 113a -=±， 43a =或23a =； （4）一次函数整理得()64y k x =-+，由64x y =⎧⎨=⎩， ∴一次函数64=-+y kx k 的图象横过定点(6,4) ，A （6,0），B （0,6），一次函数64=-+y kx k 的图象过B （0,6），∴646k -+=，∴13k =-，∴一次函数163y x =-+， ∴y=0，x=18，当18x ≥时一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点且满足y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查直线解析式，三角形面积，两直线l 1，l 2与x=a 交点距离，一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点范围问题，掌握待定系数法求直线解析式，三角形面积求法，会求两直线l 1，l 2与x=a 交点距离，一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点范围方法是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）1615 【分析】（1）根据矩形的性质可得，90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，再根据已知条件DF AE ⊥，即可证明DFA ≌ABE △，则AF BE =，进而通过线段的和差关系求得；（2）由勾股定理求得BD 的长度，再由ABD △的面积求得AF 的长度，则可用勾股定理求得DF 的长度，则可得BF 的长度，再由DFA ≌ABE △，求得EB 的长度，在Rt ABE △中，根据勾股定理即可求得AE ，即可求得λ的值．【详解】（1）∵1λ=，∴1AD AE=， ∴AD AE =，又∵四边形ABCD 是矩形，∴90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，∴DAF AEB ∠=∠，∵DF AE ⊥，∴90DFA B ∠=∠=︒，∴在DFA 和ABE △中，DFA B DAF AEB AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DFA ≌ABE △，∴AF BE =，∵=AE AD BC =，∴AE AF BC BE -=-， ∴CE FE =；（2）如图，D B F 、、三点共线，∵3,4AB AD ==，∴5BD ==，∵DF AE ⊥， ∴1122ABD S AB AD BD AF =⋅=⋅△， ∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴165DF ===， ∴169555BF BD DF =-=-=， ∵//AD BE ， ∴在ADF 和EBF △中，FAD FEB ADF EBF AFD EFB ∠=∠∠=∠∠=∠，，，∴ADF ∽EBF △， ∴AD DF EB BF=， 即164595EB=， ∴94EB =，∴154AE ===， ∴14161554AD AE λ===．【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长．24．（1）见解析；（2）1【分析】（1）利用“两角法”进行证明；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来求AE 的长度．【详解】解：（1）证明：∵∠C =∠ADE ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB（2）解：由（1）知，△ADE ∽△ACB ，AC AB∵AB =3，AD =2，CE =5， ∴253AE AE =+， 得：121,6AE AE ==-（舍去）∴AE 的长是1【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．25．32米【分析】易得△ABC ∽△EDC 以及△ABD ∽△GFD ，根据相似三角形的性质得到关于x 和y 的方程组，求解即可．【详解】解：设AB 为xm ，BC 为ym ，根据题意知，△ABC ∽△EDC ，有 1.62.4x y =①． △ABD ∽△GFD ，有 1.62.4 2.52x y =+②． 联立①②，得x ＝32．答：建筑物AB 的高度为32m ．【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．26．（1）见解析 （2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，根据三角形的内角和定理和平角的定义得到∠BED=∠CDF ，于是得到△BDE ∽△CFD ；（2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例，等量代换得到比例式，判定相似三角形，最后根据相似三角形的性质得出FD 平分∠EFC ．【详解】解：（1）∵AB=AC=BC ，∴∠B=∠C=60°，∵∠BED=180°-∠B-∠BDE=120°-∠BDE ，∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=120°-∠BDE ，∴∠BED=∠CDF ，∴△BDE ∽△CFD ；（2）∵△BDE ∽△CFD ，CF DF∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∴CD DE=CF DF∵∠EDF=∠C=60°，∴△DEF∽△CDF，∴∠DFE=∠CFD，∴FD平分∠EFC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。
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第四章《相似图形》单元测验卷
当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部
刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是
1.5m ，两个路灯的高度都是 9m,且
AP=BQ 则两路灯之间的距离是（ 如图,AB 是斜靠在墙上的长梯，梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m 则梯子
班级: 姓名: 学号: 成绩: 1. 2. 3. 选择题: A. 3 (3 分 X 10=30 分) ,则 3x — 2y=( 甲、乙两地相距3.5km ,画在地图上的距离为7cm 则这张地图的比例尺为（ A. 2: 1 B . 1: 50000 C . 1: 2 D . 50000: 1 已知△ ABSA DEF 且AB DE=1 2,则厶ABC 勺面积与△ DEF 的面积之比为（ .1: 4 C . 2: 1 D .4: 1 与左图中的三角形相似的是（ ) A . B . D .
A . 1: 2
B 4.下列四个三角形, (第 4 题) 5.如图,在 Rt △ AB
C 中, / ACB=90 ,C
D 丄AB 于 D,
C . 若 AD=1 BD=4 贝U CD=(
A 、2 6.如图，丁轩同学在晚上由路灯
AC 走向路灯BD , 当他走到点P 时，发现身后他影子的顶
部刚好接触到路灯AC 的底部, B . 25m C . 28m
D . 30m
7. Q R
（第5题）
（第6题）
如图，△ DEF 是由厶ABC 经过位似变换得到的，
点 OC 的中点，则△ DEF 与△ ABC 的面积比是（
A. 1:2
B. 1:4
C. 1: 5
D. 1:6
第8题）
O 是位似中心，D, E , F 分别是OA OB ）
8. 的长为（
A.3.85m
B.4.00m
C.4.40m
D.4.50m 9.如图所示, 给出下列条件：①
B ACD :② ADC
A. 24m
③AC AB :④AC2 AD? AB •其中单独能够判定△ ABC ACD CD BC
的个数有（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.已知点C是线段AB的黄金分割点，且CB>AC则下列等式中成立的是（）
A. AB=AC・ CB
B. CB=AC・ AB C . AC=CB・ AB D. AC=2BC・ AB
二、填空题：（4分X 5=20分）
11.__________________________________________________________________ 已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a = 2 cm, b = 0.6 cm, c=4 cm,那么d=
_____________________________________________________________________________ cm .
12.已知a -—-,则皂亠= .
b d f 3 b f
13.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得OA 20cm, AA 50cm ,
这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是____________ .
14.如图，在△ ABC中, A吐4cm, AO 2cm,在AB上取一点D,当AD- ______________ cm 时,
△ ACSA ABC.
15.如图，D是厶ABC勺边AB上的一点，过点D作DE// BC交AC于E,若AD BD = 4 : 3,
则Sx ADE：S 四边形BCED= ____________________________ .
三、解答题：（共50分）
16.（9 分）如图，AD = 2, AC = 4, BC = 6,Z B = 36°, / D = 117, △ ABCDAC.
（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求/ BAD勺大小.
D
A
X
17. （7分）如图，在8X8的网格中，每个小正方形的顶点 叫做
格点，△ OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画出.△ OAB 的一个位似图形，使两个图形以 0为位似中心，且所画图形 与厶OAB 的位似比为2： 1.
18. （10分）如图，△ ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm 高AD=80mm 要把它加工 成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边 AB AC 上，若这个矩形的长PN 是宽 PQ 的2
倍，求长、宽各是多少？
19. （12分）已知：Rt △OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P （3,4）为0B 的中点，点C 为折
线OAB 上的动点，线段PC 把Rt △OAB 分割成两部分. 问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与 Rt A OAB 相似？
（注：在图上画出所有符合要求的线段 PC ,并求出相应的点C 的坐标）.
O 1
（第19题）
A
20. （12分）如图,△ ABC是等边三角形，点D,E分别在BC,AC上，且BD=CE,A与BE相交于点
F. （AEF与厶ABE相似吗？说说你的理由.（2）BD2=AD • DF吗？请说明理由.
附加题：21.（10分）在RtA ABC中， BAC 90o, AB AC 2，点D在BC所在的直线上
运动，作 ADE 45°（ A, D，E按逆时针方向）.如图，若点D在线段BC上运动，DE交AC 于
E .①求证：△ ABD DCE ;②当△ ADE是等腰三角形时，求AE的长
.
X
(2 )设边宽为xmm ，则长为2xmm ,
•/ PNMQ 为矩形，
/• PQ // BC , PN // AD ,
PN BP PQ AP 根据平行线的性质可以得岀：
P — T7、一.< P
由题意知 PN=2xmm , AD=80mm , BC=120mm , AP=xmm , 即于—二7,=
•/ AP+BP=AB ,
____ E
F 丄盘F
m 三―zr 77=1, 解得 x=30 , 2x=60 . 即长为60mm ,宽为30mm .
则厶 C 3PBOAB
匸 . （6 分）
符合要求的点C 有三个，其连线段分别是 PC i , PC 2, PC 3 (如图).(10分) 解：(1)①由/ BAC=90 , AB=AC ，推出/ B= / C=45 .
由/ BAD+ / ADB=135 ，/ ADB+ / EDC=135 得到/ BAD= / EDC . 推出△ ABD
DCE .
②分三种情况：
(i)
当 AD=AE 时，/ ADE= / AED=45 时，得到/ DAE=90，点 D 、E 分别与 B 、C 重合，所以 AE=AC=2 .
(ii) 当 AD=DE 时，由①知厶 ABDDCE ,
又 AD=DE ，知△ ABD DCE .
所以 AB=CD=2，故 BD=CE=2$\sqrt{2}-2$ ,
所以 AE=AC-CE=4-2$\sqrt{2}$ ．
易知 OB=10 , BP=5 , BA=8 ,
7-4
(8分)
7-4
3
9分)
则^ OC i POAB .
点C i 坐标是（3, 0） . （2分） 过P 作PC 2丄AB ，垂足是C 2, 则厶 PC 2BOAB .
点C 2坐标是（6, 4） . （4分） 过P 作PC 3丄0B ,垂足是P （如图）,
(iii)当AE=DE 时，有/ EAD= /ADE=45 =/ C, 故/ ADC= / AED=90 . 所以DE=AE=$\frac{1}{2}$AC=1 ．。