微专题41 简单线性规划问题答案
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。
(整理版)高中学习资料简单线性规划答案
答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、设实数x，y满足，则的取值范围为（）A、B、C、D、考点：函数单调性的性质；简单线性规划。
分析：可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．解答：解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．故选C．点评：本题考查线性规划、利用函数的单调性求最值，注意换元法的应用．2、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则s的取值范围是（）A、s≥4B、0＜s≤2C、2≤s≤4D、0＜s≤2或s≥4考点：二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划。
专题：数形结合。
分析：①画x≥0，y≥0，y+2≤4②y+x≤s代表直线y+x=s下方区域．画直线y+x=0③平移直线从y+x=0至y+x=2时该不等式组区域都可构成三角形．从x+y=4开始继续右上平移也可构成三角形区域解答：解：如图，画x≥0，y≥0，y+2≤4，y+x≤s代表直线y+x=s下方区域．画直线y+x=0平移直线从y+x=0至y+x=2时，该不等式组区域都可构成三角形从x+y=4开始继续右上平移也可构成三角形区域故答案为D点评：本题通过简单的线性规划问题，考查可行域画法和数形结合思想．3、定义设实数x、y满足约束条件且z=max{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围为（）．A、[﹣6，0]B、[﹣7，10]C、[﹣6，8]D、[﹣7，8]故选B．点评：表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x﹣y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．本题看似风平浪静，实际暗藏玄机，化动为静，在静态状态下，从容破解问题．4、满足条件的可行域中共有整点的个数为（）A、3B、4C、5D、6点评：考查二元一次不等式与区域的关系，注意熟练掌握其判断规则．5、若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（）A、13B、15C、20D、28考点：简单线性规划。
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
线性规划题及答案
线性规划题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域？三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件0024x y y x sy x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)(C) (D)2七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95八、比值问题 当目标函数形如bx a y z --=时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
简单线性规划基础题及答案
简单线性规划1、不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）A ．()0,0B ．()1,1C ．()0,2D ．()2,02、原点和点()1,1在直线0x y a +-=两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．0a <或2a > B ．2a =或0a =C ．02a <<D ．02a ≤≤3、已知点()00,x y P 和点()1,2A 在直线:3280l x y +-=的异侧，则（ ） A ．00320x y +> B ．00320x y +< C ．00328x y +< D ．00328x y +>4、不等式2x －y －6＞0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的( D )A ．左上方且含坐标原点B ．右下方且含坐标原点C ．左上方且不含坐标原点D ．右下方且不含坐标原点 解析：不等式表示的平面区域如图所示，故选D.5、如图所示，不等式x (y －x －1)＞0表示的平面区域是( B )解析：由x (y －x －1)＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0y －x －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0y －x －1＜0.故选B.6、设x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥－1，x－2y≤2，则z＝x＋y (B)A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥－1，x－2y≤2，所表示的平面区域如图．x＋y在点A(2,0)处取最小值，∴x＋y＝2，无最大值．7、不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4，所表示的平面区域的面积等于(C)A.32 B.23 C.43 D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示．A(0，43)，B(1,1)，C(0,4)．∴S△ABC＝12|AC|·h＝12×(4－43)×1＝43.故选C.8、已知D是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2y≥0，x＋3y≥0，所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为(B)A.π4B.π2 C.3π4 D.3π2解析：如图，l1、l2的斜率分别是k1＝12，k2＝－13，不等式组表示的平面区域为阴影部分．∵tan∠AOB＝12＋131－12×13＝1，∴∠AOB＝π4，∴弧长＝π4·2＝π2，故选B.9、若实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≥0，x≤4，y≤5，则s＝x＋y的最大值为____9____．解析：如图，作出不等式组的可行域．可知，当直线s＝x＋y过点(4,5)时s取得最大值为9.10、在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤1y≤33x＋y－3≥0所表示的平面区域的面积是________．32解析：不等式组⎩⎨⎧x≤1y≤33x＋y－3≥0的可行域如图阴影所示，阴影部分的面积为12×1×2＝32.11、设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |－2≤0，y －3≤0，x －2y ≤2.所表示的平面区域为S ，则S 的面积为_______16_______；若A ，B为S 内的两个点，则|AB |的最大值为____41__________．解析：如图，A 1(2,0)，B 1(2,3)，C (－2,3)，D (－2，－2)，S ＝12(3＋5)×4＝16.A 、B 分别为A 1、D 时，|AB |最大为42＋52＝41.12、如图中的阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤52x ＋y ≤6x ≥0，y ≥0，在下列这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y取得最大值的点的坐标是( A )A ．(0,5)B ．(1,4)C ．(2,4)D ．(1,5)解析：.∵直线6x ＋8y ＝0的斜率k ＝－34，且－34>－1.∴目标函数z ＝6x ＋8y 在(0,5)处取得最大值，故选A.13、已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≤2x －y ≤0，则x ＋y 的最小值是( C )A ．4B ．3C ． 2D ．1解析：选C.可行域如图所示：设z ＝x ＋y ，z 表示直线z ＝x ＋y 的纵截距，作直线l 0：x ＋y ＝0，将直线移到C (1,1)处时，z min ＝1＋1＝2，故选C.14、若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为____3____．解析：不等式组表示的平面区域如图，平移直线2x ＋y ＝0，当平移到经过该平面区域内的点(2，－1)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是3.15、已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于_____2_____，最大值等于___10_____．解析：画出可行域如图，易得A (1,3)，B (1,1)，C (2,2)．则|PO |的最大值即为|OA |＝10，最小值即为|OB |＝ 2.16、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．4解析：选D.作出可行域，如图所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移至M (2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4，故选D.17、已知z ＝2y －2x ＋4，其中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出可行域如图所示．作直线l ：2y －2x ＝0，即y ＝x ，平移直线l ， 当l 经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当l 经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4. 18、设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( B )A ．1，－1B ．2，－2 C．1，－2 D ．2，－1解析：选B.画出可行域(如图所示阴影部分)．可知当直线u ＝x ＋2y 经过A (0,1)，C (0，－1)时分别对应u 的最大值和最小值．故u max ＝2，u min ＝－2，故选B.19、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]520、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为1221、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 522、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x23、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 24、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿25、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1226、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－627、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为（ B ）A ．π518 B ．π516 C ．π2581 D ．π256428、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 29、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23 .30、已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( B )A ．1B ．2C ．3D ．431、设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-≤-+04320206y x y x y x ，则y x z 2-=的最小值是 6-32、若实数,x y 满足10,0, x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 12 .33、若整数,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥+≤-2311y y x y x 则2xy 的最大值是 534、若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为935、若实数,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22y x +的最大值为 34 ，点(,)x y 所在的区域的面积为 1 ；36、设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是（ A ）(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是 ]6,23[-，选A. 37、若x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则y x z -=的最小值是 （ A ）（A ）-3 （B ）0 （C ）32（D ）3 【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C 则[3,0]t x y =-∈-。
线性规划题及答案
线性规划题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域？三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩(C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4 (C) (D)2七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80(B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如bx ay z --=时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划习题及答案
线性规划习题及答案线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要用于解决资源分配问题，以达到最大化或最小化目标函数。
下面是一个线性规划的习题及答案：习题：某工厂生产两种产品A和B，每种产品都需要使用机器时间和劳动力。
产品A每件需要3小时的机器时间和2小时的劳动力，产品B每件需要2小时的机器时间和3小时的劳动力。
工厂每天有24小时的机器时间和18小时的劳动力。
设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
1. 建立目标函数和约束条件。
2. 求解线性规划问题，找出最优生产计划。
答案：1. 目标函数：设目标是最大化利润，产品A的利润为40元/件，产品B的利润为30元/件。
因此，目标函数为：\[ \text{Maximize } P = 40x + 30y \]2. 约束条件：- 机器时间约束：\[ 3x + 2y \leq 24 \]- 劳动力时间约束：\[ 2x + 3y \leq 18 \]- 非负约束：\[ x \geq 0, y \geq 0 \]3. 图解法求解：- 首先在坐标系中画出约束条件所形成的可行域。
- 可行域的顶点坐标为：(0,0), (0,6), (4,2), (8,0)。
- 将这些点代入目标函数计算利润：- P(0,0) = 40*0 + 30*0 = 0- P(0,6) = 40*0 + 30*6 = 180- P(4,2) = 40*4 + 30*2 = 200- P(8,0) = 40*8 + 30*0 = 3204. 最优解：- 通过比较各点的利润，发现当生产8件产品A和0件产品B时，利润最大，为320元。
5. 结论：- 工厂应该生产8件产品A和0件产品B，以实现最大利润320元。
注意：本题答案仅为示例，实际解题时需要根据具体题目条件进行分析和计算。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种优化问题求解方法，旨在找到一组决策变量的最优值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一系列线性约束条件。
在实际应用中，线性规划广泛应用于生产调度、资源分配、运输问题等领域。
下面，我将为您提供一道线性规划题及其答案，以帮助您更好地理解和掌握线性规划的求解过程。
题目描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件利润为50元，产品B每件利润为40元。
生产一件产品A需要2小时，生产一件产品B需要3小时。
公司希望通过合理的生产安排，最大化每天的利润。
同时，公司还有以下约束条件：1. 产品A的生产数量不得超过100件；2. 产品B的生产数量不得超过80件；3. 每天生产的产品总件数不得超过120件。
求解过程：首先，我们定义决策变量：x1：生产的产品A的件数x2：生产的产品B的件数然后，我们建立目标函数和约束条件：目标函数：最大化利润Maximize Z = 50x1 + 40x2约束条件：2x1 + 3x2 ≤ 8 （生产时间约束）x1 ≤ 100 （产品A数量约束）x2 ≤ 80 （产品B数量约束）x1 + x2 ≤ 120 （总件数约束）x1, x2 ≥ 0 （非负约束）接下来，我们使用线性规划的求解方法，将目标函数和约束条件转化为标准格式：目标函数：最大化利润Maximize Z = 50x1 + 40x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4约束条件：2x1 + 3x2 + s1 = 8 （生产时间约束）x1 + s2 = 100 （产品A数量约束）x2 + s3 = 80 （产品B数量约束）x1 + x2 + s4 = 120 （总件数约束）x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0 （非负约束）最后，我们使用线性规划的求解方法，求解上述标准格式的线性规划问题，得到最优解。
答案：根据上述线性规划问题的标准格式，我们可以使用线性规划求解器进行求解。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种常见的数学建模方法，用于解决优化问题。
它在工程、经济学、运筹学等领域中得到了广泛应用。
本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相应的答案。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
1.2 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。
例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为决策变量向量，b为常数向量。
1.3 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
可行解的集合称为可行域。
二、线性规划问题的解题方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。
首先绘制可行域的图形，然后通过挪移目标函数的等高线来确定最优解。
最优解通常浮现在可行域的顶点处。
2.2 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。
该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是通过交换基本变量和非基本变量来改变目标函数值，直到找到最优解。
2.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法求解。
整数规划问题通常比线性规划问题更难解决，因为整数解的集合通常是离散的。
三、线性规划题的实例分析3.1 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的生产时间，每单位产品B需要2小时的生产时间。
工厂每天有8小时的生产时间，且产品A和B的利润分别为10元和8元。
求工厂每天应生产多少单位的产品A和B，才干最大化利润。
3.2 运输问题：某物流公司有3个仓库和4个配送点，每一个仓库的库存和每一个配送点的需求如下表所示。
每单位产品的运输成本如下表所示。
求如何安排运输，使得总运输成本最低。
仓库 | 库存----|----A | 50B | 80C | 70配送点 | 需求------|-----D | 30E | 40F | 50G | 60运输成本 | 仓库A | 仓库B | 仓库C--------|------|------|------配送点D | 10 | 12 | 15配送点E | 14 | 8 | 11配送点F | 7 | 16 | 9配送点G | 13 | 10 | 63.3 资源分配问题：某公司有3个项目需要分配资源，每一个项目的利润和资源需求如下表所示。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述假设某公司生产两种产品：产品A和产品B。
每天生产的产品A需要花费3小时的人工时间和2小时的机器时间，每天生产的产品B需要花费2小时的人工时间和4小时的机器时间。
公司每天有8小时的人工时间和10小时的机器时间可供使用。
产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。
公司希翼通过合理安排生产计划，使得每天的总利润最大化。
二、数学建模1. 定义变量：设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y。
2. 建立目标函数：总利润最大化，即Maximize Z = 200x + 300y。
3. 建立约束条件：3x + 2y ≤ 8（人工时间约束）2x + 4y ≤ 10（机器时间约束）x ≥ 0，y ≥ 0（非负约束）三、线性规划模型Maximize Z = 200x + 300ysubject to3x + 2y ≤ 82x + 4y ≤ 10x ≥ 0, y ≥ 0四、求解线性规划问题通过线性规划求解器进行计算，得到最优解。
1. 求解目标函数最大值：Z = 200x + 300y最大值为Z = 200 * 2 + 300 * 1 = 700。
2. 求解最优生产量：当x = 2，y = 1时，总利润最大，即每天生产2件产品A和1件产品B，总利润为700元。
五、结论根据线性规划模型的计算结果，为了使得公司每天的总利润最大化，应该安排每天生产2件产品A和1件产品B。
这样可以获得每天700元的总利润。
六、灵敏度分析在线性规划问题中，灵敏度分析可以匡助我们了解模型的稳定性和可行性。
下面对人工时间和机器时间的变化进行灵敏度分析。
1. 人工时间的变化：当每天的人工时间增加1小时，即约束条件变为3x + 2y ≤ 9时，重新求解线性规划问题。
结果显示，最大总利润仍然为700元，最优生产量为每天生产2件产品A和1件产品B。
2. 机器时间的变化：当每天的机器时间增加1小时，即约束条件变为2x + 4y ≤ 11时，重新求解线性规划问题。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划常常用于资源分配、生产计划、运输问题等领域。
本文将为您提供一道线性规划题目及其详细解答，帮助您更好地理解和掌握线性规划的基本原理和求解方法。
题目描述：某食品加工厂生产两种产品：A和B。
每单位产品A需要3小时的加工时间和2小时的包装时间，每单位产品B需要2小时的加工时间和4小时的包装时间。
加工厂每天有8小时的加工时间和10小时的包装时间可用。
已知产品A的利润为300元/单位，产品B的利润为400元/单位。
现在需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
解答步骤：1. 建立数学模型：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：最大化总利润，即最大化Z = 300x + 400y。
约束条件：加工时间和包装时间的限制。
加工时间约束：3x + 2y ≤ 8。
包装时间约束：2x + 4y ≤ 10。
非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
2. 图形解法：将约束条件转化为直线的形式，并绘制在坐标系中。
然后确定可行域，即满足约束条件的可行解区域。
加工时间约束对应的直线为：3x + 2y = 8。
包装时间约束对应的直线为：2x + 4y = 10。
将两条直线绘制在坐标系中，并找出它们的交点，即可行域的顶点。
3. 确定最优解：在可行域的顶点中，计算目标函数的值，找出使目标函数取得最大值的顶点。
计算Z = 300x + 400y 在可行域的顶点 (x, y) 处的值，并比较得出最大值。
4. 计算最优解：根据计算结果，确定最优解对应的生产数量。
解答过程：1. 建立数学模型：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：Z = 300x + 400y。
约束条件：3x + 2y ≤ 8，2x + 4y ≤ 10，x ≥ 0，y ≥ 0。
2. 图形解法：将约束条件转化为直线的形式：加工时间约束：3x + 2y = 8，即 y = (8 - 3x) / 2。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、题目描述：假设某公司生产两种产品：A和B。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
生产一单位产品A需要消耗2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y；生产一单位产品B需要消耗4个单位的原材料X和1个单位的原材料Y。
公司的生产能力限制为每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位。
原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位。
为了最大化利润，公司应如何安排生产计划？二、解题思路：本题是一个线性规划问题，可以使用线性规划模型来解决。
首先，我们需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：公司的利润最大化是我们的目标。
由于产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元，因此目标函数可以表示为：maximize 10x + 8y。
3. 约束条件：a) 生产能力限制：根据题目描述，每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位，可以得到以下约束条件：x ≤ 100y ≤ 80b) 原材料供应量限制：根据题目描述，原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150c) 非负约束：生产数量不能为负数，可以得到以下约束条件：x ≥ 0y ≥ 0综上所述，我们可以得到线性规划模型如下：maximize 10x + 8ysubject to:x ≤ 100y ≤ 802x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150x ≥ 0y ≥ 0三、求解线性规划问题：通过线性规划求解器，我们可以得到最优解。
假设使用某线性规划求解软件，输入上述模型后，运行求解器，得到最优解如下：x = 50，y = 30利润最大值为：10 * 50 + 8 * 30 = 860元四、答案解析：根据线性规划求解结果，为了最大化利润，公司应按照以下生产计划进行生产：每天生产50个单位的产品A和30个单位的产品B，此时公司的利润最大化为860元。
简单的线性规划问题 Word版
简单的线性规划问题一、选择题1．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yB.⎩⎨⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yC.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40yD.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝40x ＋20y2．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52 B ．－2 C ．－32D ．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32 4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )C ．17万元D ．18万元 二、填空题6．满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．7．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________.8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．三、解答题9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于多少？10．变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，求(x －2)2＋y 2[能力提升]1．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－122．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5D ．23．当实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．4．设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值．。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种优化问题求解的方法，广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域。
本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相关题目及其答案。
正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数常用来表示利润、成本等经济指标。
1.2 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或者不等式，称为约束条件。
约束条件可以表示资源限制、技术限制等。
1.3 变量：线性规划的解是一组变量的取值，这些变量表示决策变量，用来描述问题的决策方案。
2. 线性规划的解题方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。
通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到目标函数的最优解。
2.2 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。
该方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
2.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法求解。
这种方法在实际问题中更具实用性。
3. 线性规划题目及答案3.1 例题1：某工厂生产两种产品，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为15元。
生产A产品需要2小时，B产品需要3小时。
工厂每天有8小时的生产时间。
求如何安排生产，使得利润最大化。
答案：假设生产A产品x单位，B产品y单位，则目标函数为10x + 15y，约束条件为2x + 3y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
通过计算可得最优解为x = 2，y = 2，最大利润为70元。
3.2 例题2：某公司有两个部门，部门A和部门B。
部门A每月产生利润10万元，部门B每月产生利润15万元。
公司规定，部门A的人数不能超过100人，部门B的人数不能超过80人。
求如何分配人力资源，使得利润最大化。
答案：假设部门A的人数为x人，部门B的人数为y人，则目标函数为10x + 15y，约束条件为x ≤ 100，y ≤ 80，x ≥ 0，y ≥ 0。
简单的线性规划问题(含解析)
简单的线性规划问题班级___________ 姓名_____________ 学号_________层级一 学业水平达标1．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数个 2．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( )A ．(2,0)B ．(－1,2)C ．(1,1)D ．(－1,1)3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )4．已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系 5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥1，x ＋2y ≤4，则该不等式组所表示的平面区域的面积为( )A.12 B.32 C ．2D ．36．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有________个．7．平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是________．8．已知实数x ，y 满足不等式组Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．层级二 应试能力达标1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≥3y ≥1 B.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0x ＋y ≤3y ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3y ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≥3y ≥12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．453．4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是( )A ．0.5元B ．1元C ．4.4元D ．8元4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定5．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．6．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 7．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是________．参考答案1．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3D ．无数个解析：选A 作⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ，y ∈N 的平面区域，如图所示，符合要求的点P 的个数为10.2．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(2,0) B ．(－1,2) C ．(1,1)D ．(－1,1)解析：选D 将点(－1,1)代入3x ＋5y <4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x ＋5y <4表示的平面区域内，故选D.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )解析：选C 取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C 表示的阴影中，故选C.4．已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系解析：选B 因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M 与原点在直线l 的异侧，故选B.5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥1，x ＋2y ≤4，则该不等式组所表示的平面区域的面积为( )A.12 B.32 C ．2D ．3解析：选B 根据题中所给的不等式组，画出其对应的平面区域，如图中阴影部分的三角形区域所示．解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(2,1)，(4,0)，根据三角形的面积公式可以求得S ＝12×(4－1)×1＝32.故选B.6．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有________个．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x ＋y －10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点(5,0)．答案：17．平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形8．已知实数x ，y 满足不等式组Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫67，107， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫95，45， 所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AEF －S △BCF －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970.层级二 应试能力达标1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≥3y ≥1 B.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0x ＋y ≤3y ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3y ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≥3y ≥1解析：选B 由图易知平面区域在直线2x －y ＝0的右下方，在直线x ＋y ＝3的左下方，在直线y ＝1的上方，故选B.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z 5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z 5过点P 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即P (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21.3．4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是( )A ．0.5元B ．1元C ．4.4元D ．8元解析：选B 设1支水笔与1支铅笔的价格分别为x 元、y 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥22，6x ＋3y ≤24，x ，y ≥0.不等式组表示的可行域如图中阴影部分．设1支水笔与1支铅笔的价格之差为z ＝x －y ，即y ＝x －z ，则直线经过点A (3,2)时，z 取得最大值，为3－2＝1，所以1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是1元．故选B.4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定解析：选B 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *.求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)． 5．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A (1,3)，B (2,5)，C (3,4)，设目标函数为z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2,5)时，n －m 的最大值为3.答案：36．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示． 设z ＝2y －x ，即y＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案：37．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t 2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x＋2y的最小值为1.答案：1。
线性规划问题(含答案)
线性规划问题1、已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．[]57-，2、已知实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值为 .83、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是___57a <≤4、如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为_____32 5. 已知x 、y R ∈，|1|20y x y x x ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩, 则目标函数y x S -=2的最大值是 . 25 6. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≤-+,033,042,022y x y x y x 则函数z =x 2+y 2取得最大值时,x +y =___________.答案: 511 7.实数,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，函数z kx y =+的最大值为12，最小值为3，则实数k 为 ２8. 已知变量x 、y 满足条件6200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax y =+ (其中0a >)，仅在(4，2)处取得最大值，则a 的取值范围是 _ a>19. 已知A （3，3），O 为原点，点,002303),(y y x y x y x P ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-的坐标满足是 ，此时点P 的坐标是 . 15．)3,1(;310. 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是______.[1.8，6]； 11. 已知平面区域:M 11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，记M 关于直线y x =对称的区域为N ，点(,)P x y 满足平面区域N ，若已知OX 轴上的正向单位向量为i ，则向量OP 在向量i 上的投影的取值范围为_____________．1[1,]2-12. 设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 4 ．13.若x 、y 满足，⎩⎨⎧≥+-≤+-220y x y x 则目标函数)(log 21y x C +=的最大值为 ．-214、已知,M N 是11106x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所围成的区域内的不同．．两点，则||MN15. 已知：点P 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x 及A （2，0），则||·cos ∠AOP （O 为坐标原点）的最大值是 5 .16.D 是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+14032102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点),(y x P 到直线10=+y x 距离的最大值是___217.某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(4≤v ≤20)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是,x y 小时.(1)写出,x y 所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示,x y 范围的图形；(2)如果已知所需的经费1003(5)2(8)p x y =+-+-(元)，那么,v w 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？解：(1) 由题意得：v ＝y 50,w =x 300,4≤v ≤20,30≤w ≤100, ∴3≤x ≤10,25≤y ≤225.① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x +y 应在9至14小时之间，即9≤x +y ≤14,② 因此满足①②的点(x ,y )的存在范围是图中阴影部分(包括边界).(2) 因为p =100+3(5－x )+2(8－y ),所以3x +2y =131－p ,设131－p =k ,那么当k 最大时，p 最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点(10,4)，即当y =4时，p 最小，此时x =10,v =12.5,w =30,p 的最小值为93元.。
高考数学复习简单的线性规划问题专题训练(含答案)题型归纳
高考数学复习简单的线性规划问题专题训练（含答案）题型归纳线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支。
以下是整理的简单的线性规划问题专题训练，请考生练习。
一、填空题1.(____广东高考改编)若变量_，y满足约束条件，则z=2_+y的最大值等于________.[解析] 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y=-2_+z经过点A(4,2)时，z取最大值为10.[答案] 102.(____扬州调研)已知_，y满足约束条件则z=3_+4y的最小值是________.[解析] 可行区域如图所示.在P处取到最小值-17.5.[答案] -17.53.已知实数_，y满足若z=y-a_取得最大值时的最优解(_，y)有无数个，则a=________.[解析] 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示.要使z=y-a_取得最大值时的最优解(_，y)有无数个，则直线z=y-a_必平行于直线y-_+1=0，于是有a=1.[答案] 14.(____山东高考改编)在平面直角坐标系_Oy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为________.[解析] 线性约束条件表示的平面区域如图所示(阴影部分).由得A(3，-1).当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM=-.[答案] -5.(____陕西高考改编)若点(_，y)位于曲线y=|_|与y=2所围成的封闭区域内，则2_-y的最小值是________.[解析] 曲线y=|_|与y=2所围成的封闭区域如图阴影部分所示.当直线l：y=2_向左平移时，(2_-y)的值在逐渐变小，当l通过点A(-2,2)时，(2_-y)min=-6.[答案] -66.已知点P(_，y)满足定点为A(2,0)，则||sinAOP(O为坐标原点)的最大值为________.[解析] 可行域如图阴影部分所示，A(2,0)在_正半轴上，所以||sinAOP即为P 点纵坐标.当P位于点B时，其纵坐标取得最大值.[答案]7.(____兴化安丰中学检测)已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，若点P(_，y)S，则z=2_+y的最大值为________.[解析] 由约束条件可作图如下，得S=a2a=a2，则a2=4，a=2，故图中点C(2,2)，平移直线得当过点C(2,2)时zma_=22+2=6.[答案] 68.(____江西高考)_，yR，若|_|+|y|+|_-1|+|y-1|2，则_+y的取值范围为________.[解析] 由绝对值的几何意义知，|_|+|_-1|是数轴上的点_到原点和点1的距离之和，所以|_|+|_-1|1，当且仅当_[0,1]时取=.同理|y|+|y-1|1，当且仅当y[0,1]时取=.|_|+|y|+|_-1|+|y-1|2.而|_|+|y|+|_-1|+|y-1|2，|_|+|y|+|_-1|+|y-1|=2，此时，_[0,1]，y[0,1]，(_+y)[0,2].[答案] [0,2]二、解答题9.(____四川高考改编)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，试求公司共可获得的最大利润.[解] 设生产甲产品_桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则且z=300_+400y.作出可行域，如图阴影部分所示.作直线300_+400y=0，向右上平移，过点A时，z=300_+400y取最大值，由得A(4,4)，zma_=3004+4004=2 800.故公司共可获得的最大利润为2 800元.10.(____安徽高考改编)已知实数_，y满足约束条件(1)求z=_-y的最小值和最大值;(2)若z=，求z的取值范围.[解] 作约束条件满足的可行域，如图所示为ABC及其内部.联立得A(1,1).解方程组得点B(0,3).(1)由z=_-y，得y=_-z.平移直线_-y=0，则当其过点B(0,3)时，截距-z最大，即z最小;当过点A(1,1)时，截距-z最小，即z最大.zmin=0-3=-3;zma_=1-1=0.(2)过O(0,0)作直线_+2y=3的垂线l交于点N.观察可行域知，可行域内的点B、N到原点的距离分别达到最大与最小.又|ON|==，|OB|=3.z的取值范围是.简单的线性规划问题专题训练及答案的所有内容就是这些，希望对考生复习数学有帮助。
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
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微专题41
1．答案：5.
解析：如图，设z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，当x ＝4，y ＝3时，z max ＝5.
2．答案：[4
3，8]．
解析：如图，作出可行域，则得到x ＋
y ∈[4
3
，8]．
3．答案：6.
解析：作出可行域，可知z ＝3x ＋2y 的最大值为6.
4．答案：9.
解析：作出可行域，可知z ＝x ＋y 的最大值为9.
5．答案：(1，3
2]．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，若a >1，当对数函数的图象经过点A 时，满足条件，此时
⎩⎨
⎧y －3＝0，
2x ＋y －7＝0，
解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，
即A (2，3)，
则log a 2＝3，解得a ＝3
2，
所以当1<a ≤3
2时，满足条件，即实数a 的取值范围是(1，3
2]． 6．答案：
55
. 解析：(x ＋2y －1)(x －y ＋3)≤0⎩⎨
⎧x －y ＋3≥0，
x ＋2y －1≥0，
或
⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，x ＋2y －1≤0；如图，作出可行域图象，即可知d min ＝11＋4
＝5
5
.
7．答案：(23，3
2)．
解析：由题得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤2a ，b <a ＋c ≤2b ，c <a ＋b ，a >0，b >0，c >0，令x ＝b
a
，y ＝c
a
，则上述不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧1<x ＋y ≤2，x <y ＋1≤2x ，y <x ＋1，x >0，y >0如图，作
出可行域得23<x <32，于是b a 的
取值范围为(23，3
2
)．
8．答案：5.
解析：由f (a ，b )＝a 2－2ab ＋b 2＋4a －4b ＝(a －b )2＋4(a －b )；又点(a ，b )在两直线y ＝x －1和y ＝x －3之间的带状区域内(含边界)，得1≤a －b ≤3，根据二次函数知f (a ，b )＝a 2－2ab ＋b 2＋4a －4b 的最小值为5.。