集合与函数的概念

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01集合与函数概念(fxb)

第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（）A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解] C ；显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

第讲集合与函数

f ( x) 的定义域为
D f (, 0) (0, ) ,
g ( x) 的定义域为
Dg (0, ) ,
D f Dg
f ( x) 与 g ( x) 不相同。
例7 解
函数 f ( x) | x | 与 g ( x) x 2 是否相同？
f ( x) 与 g ( x) 的定义域均为实数域 R ,
。 2 。 1 。 3 2 1 。 x O 1 2 3 4 。 1 。 2 。 3
想想取整函数的图形是什么样子？
y [ x]
例5
已知 f ( x 1)
x 2， 0 x 1 ，求 f ( x) 的表达式。 2 x， 1 x 2，
解
令 t x 1，得 f (t )
确定的法则 f 有唯一确定的 y B 与之对应，则称 f
为从 A 到 B 的一个引映射，记为 f ：A B，或记为 f ：x y，x A，习惯上也记为 y f ( x)，x A。
其中， y 称为 x 在映射 f 下的像， x 称为 y 在映射 f 下
的一个原像 , A 称为映射 f 的定义域 , 记为 D( f ); A中
在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加, 记为 f ( x) I 。
设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义， x1，x2 I ,
若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区间 I 上是单调减少的。若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区间 I 上是严格单调减少的。
实质上，函数 y f ( x) 就是映射 f : A R

集合与函数概念

集合与函数概念
集合和函数是数学中的基本概念。

集合是指将具有相同性质的元素汇集在一起形成一个整体。

集合通常用大写字母表示，其中的元素用小写字母表示。

集合中的元素是无序的，且每个元素在集合中是唯一的，
即不会重复出现。

例如，可以将所有大写英文字母组成的集合表示为A = {A, B, C, ..., Z}，表示包含了所有大写英文字母的集合。

函数是集合之间的一种特殊关系。

一个函数将一个集合中
的元素映射到另一个集合中的元素。

函数通常用小写字母
表示，例如f，g等。

函数包括一个定义域（即输入的集合）和一个值域（即输出的集合）。

对于定义域中的每一个元素，函数都有唯一的映射结果。

例如，可以定义一个函数f，它将自然数集合N中的每个元素n映射到其平方值，即f(n) = n^2。

在这个例子中，定义域为N，值域为平方数的集合。

集合和函数在数学中有广泛的应用，包括在代数、几何、概率论等领域。

它们是数学研究和应用的基础。

高考数学分类汇总-集合与函数概念

集合与函数概念（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法0)〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211yxo性质函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

高中集合数学知识点

高中集合数学知识点高中集合数学知识点一集合与函数概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.2、集合的中元素的三个特性：元素的确定性;元素的互异性;元素的无序性.集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法二、函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数.记作： y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f：A B〞给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b 的原象说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性〞,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f：A→B来说,则应满足：(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.学习数学的方法第一，兴趣。

高中数学必修知识点集合与函数概念

高中数学必修知识点集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M，或者a M，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图(1)A AA BA中的任一元(2) A子集（或(3)若A B且BC，则素都属于BB A) AC(4)若A B且BA，则AB真子A B AB，且B （1）A（A为非空子集）(2)若A B且BC，则AC（或中至少有一元集B A）素不属于AA中的任一元集合A B素都属于B，(1)A BB中的任一元(2)B A相等素都属于A（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有集，它有2n1个非空子集，它有2n2非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算A(B)或B AB AA(B)2n1个真子（8）交集、并集、补集名记意义性质示意图称号（1）A A A交AB {x|xA,且（2）A（3）A AB集xB} BAA B B并集补集（1）A A AAB{x|xA,或（2）A AxB}（3）AA BB AA B B{x|xU,且xA}痧(A B) ( A) (?B)1 A(eU A)e U A UU U痧(A B) ( A) (?B)2AUU U(e U A)U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0){x|a x a}|x|a(a0)x|x a或x a}把ax b看成一个整体，化成|ax b|c,|ax b|c(c0)|x|a，|x|a(a0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式000 b24ac二次函数y ax2bx c(a0)O 的图象一元二次方程b b2 4ac2 x1,22ax1x2bax bxc 0(a 0)无实根2a（其中x1 x2)的根ax2 bxc 0(a 0)或xx2}{x|x b}{x|xx1 R 的解集2aax2 bxc 0(a 0){x|x1 x x2}的解集〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:A B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：对于集合{x|a x b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ytanx中，xk(kZ)．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a g(x)b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)x c(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:A B．②给定一个集合A到集合B的映射，且a A,b B．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 、x,当x<x2121．．．y y=f(X)f(x 2)时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么f(x 1)．．．．．．．．．o1x 2xx（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图就说 f(x) 在这个区间上是增函数．．．．函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量yy=f(X)的值x 、x ，当x<1 2 1．．f(x 1)x 2时，都有f(x 2)．象上升为增）（4）利用复合函数（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个f(x 1)>f(xox 1x 2x区间图2)，那么．．．．．．．．．就说f(x)象下降为减）在这个（4）利用复合区间上是减函数．．．．函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，u g(x)为增，则y f[g(x)]为增；若yf(u)为减，u g(x)为减，则y f[g(x)]为增；若y f(u)为增，u g(x)为减，则y f[g(x)]为减；若y f(u)为减，u g(x)为增，则y f[g(x)]为减．（2）打“√”函数f(x)x a(a0)的图象与性质yxf(x)分别在(,a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义o x①一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作f max(x)M．②一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作f max(x)m．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于函数（1）利用定义f(x)定义域内任意（要先判断定一个x，都有f(－．．义域是否关于x)=－f(x),那么函．．．．．．．．原点对称）数f(x)叫做奇函．．（2）利用图象数．．（图象关于原函数的点对称）奇偶性如果对于函数（1）利用定义f(x)定义域内任意（要先判断定一个x，都有f(－．．义域是否关于x)=f(x),那么函数．．．．．．．原点对称）f(x)叫做偶函数．．．．（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换y f(x) yf(x)h0,左移h 个单位h0,右移|h|个单位 k0,上移k 个单位k0,下移|k|个单位y f(x h) yf(x)k②伸缩变换y f(x) yf(x)0 1,伸1,缩 0A1,缩A1,伸y f( x)yAf(x)③对称变换y f(x) yf(x)x轴原点y f(x) y f(x)y轴yf( x)yf(x)y f(x)直线yxyf 1(x)yf(x)去掉y 轴左边图象yf(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象y f(x)保留x轴上方图象y |f(x)| 将x轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

【精华】人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--

【精华】人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念一、集合的概念集合是数学中最基本的概念之一，它是某些指定对象的总体。

这些对象被称为集合的元素。

集合可以是有序的，也可以是无序的。

例如，自然数集合{1, 2, 3, }是无序的，而有序对集合{(1, 2), (2, 3), }是有序的。

集合的表示方法有两种：列举法和描述法。

列举法是将集合中的所有元素一一列出，用花括号{}括起来。

例如，集合{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。

描述法是使用文字描述集合中元素的特征，例如，自然数集合可以表示为{所有大于0的整数}。

集合的基本运算包括交集、并集、差集、补集等。

交集是指两个集合共同拥有的元素组成的集合；并集是指两个集合所有元素组成的集合；差集是指一个集合中有而另一个集合中没有的元素组成的集合；补集是指一个集合中所有不属于另一个集合的元素组成的集合。

二、函数的概念函数是数学中另一个基本的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。

在函数中，一个变量被称为自变量，另一个变量被称为因变量。

函数的表示方法有三种：解析法、表格法和图像法。

解析法是使用数学公式来表示函数的方法，例如，y = x^2 表示一个二次函数。

表格法是使用表格来表示函数的方法，表格中的每一行都代表一个函数值。

图像法是使用图形来表示函数的方法，图形中的每个点都代表一个函数值。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的；奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值也取相反数；周期性是指函数在一定区间内重复出现。

三、集合与函数的关系集合与函数有着密切的关系。

集合可以用来表示函数的定义域和值域，而函数可以用来描述集合中元素之间的关系。

例如，一个函数可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，从而建立两个集合之间的对应关系。

在解决数学问题时，集合与函数的概念常常被结合起来使用。

例如，在求解函数的值域时，需要先确定函数的定义域，然后根据函数的性质来求解值域。

高中数学第一章集合与函数概念函数的概念课件新人教A必修1

❖ 本节重点：函数的概念、定义域、值域的求法．
❖ 本节难点：(1)函数概念的理解．
❖ (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数定义域．
❖ (一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以下几点：
❖ ①“A，B是非空数集”，若求得自变量取值范围为∅，则此函数不存在．
❖ ②定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相等，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同．
❖ (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
❖ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁
[解析] (1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的车辆数为：(3600－3000)÷50＝12，所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月收益为： f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得：f(x) ＝－5x02 ＋162x－2100＝－510(x－4050)2＋307050.所以当 x＝ 4050 元时，f(x)最大，其最大值为 307050.即当每辆车的月租金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大值为 307050 元．
❖ [分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应”进行判断．
❖ (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域到值域的对应法则，只要将自变量允许值代入，就可以求得对应的函数值．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．

高一数学知识点集合与函数概念

高一数学知识点集合与函数概念高一数学知识点：集合与函数概念在高一数学的学习中，集合与函数概念是非常重要的基础知识。

它们不仅是后续数学学习的基石，也在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解一下这两个重要的概念。

一、集合集合，简单来说，就是把一些确定的、不同的对象放在一起组成的一个整体。

就好像把一堆苹果放在一个篮子里，这个篮子里的苹果就构成了一个集合。

集合中的对象称为元素。

如果一个元素属于某个集合，我们就说这个元素在这个集合中。

例如，集合 A ＝｛1, 2, 3}，那么 1、2、3 就是集合 A 的元素。

集合通常有两种表示方法：列举法和描述法。

列举法就是把集合中的元素一一列举出来，像上面的集合 A 就是用列举法表示的。

描述法是用元素所具有的共同特征来描述集合，比如集合 B ＝｛x ｜ x 是小于 5 的正整数}，这里“｜”前面的 x 表示集合中的元素，“｜”后面的是元素所满足的条件。

集合之间存在着一些关系，比如子集、真子集和相等。

如果集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，那么集合 A 就是集合 B 的子集，记作 A⊆ B。

如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不在 A 中，那么 A 就是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。

如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。

集合的运算也是重要的一部分，包括交集、并集和补集。

集合 A 和集合 B 的交集，就是由既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合，记作 A ∩ B。

集合 A 和集合 B 的并集，是由属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合，记作 A ∪ B。

而补集呢，是指在给定的全集 U 中，不属于集合A 的元素组成的集合，记作 CUA。

二、函数概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的一种对应关系。

比如说，汽车行驶的路程与时间之间就存在着函数关系。

当时间发生变化时，路程也会相应地发生变化，而且对于每一个确定的时间值，都有唯一确定的路程值与之对应。

高中数学第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示学

1.2 函数及其表示1．2.1 函数的概念预习课本P15～18，思考并完成以下问题(1)在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？(2)如何用区间表示数集？(3)相等函数是指什么样的函数？[新知初探]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．[点睛] 对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3．其它区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[点睛] 关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．函数y＝1x＋1的定义域是( )A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) 答案：C3．已知f(x)＝x2＋1，则f ( f (－1))＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D4．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．(2){x|x>1}用区间表示为________．答案：(1)[10,100] (2)(1，＋∞)[例1] (1)设M＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ① f ：把x 对应到3x ＋1； ② g ：把x 对应到|x |＋1； ③ h ：把x 对应到1x； ④ r ：把x 对应到x .(1)[解析] ①中，因为在集合M 中当1<x ≤2时，在N 中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M 中的任意一个数x ，在N 中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x ＝2对应元素y ＝3∉N ，所以③不是；④中，当x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.[答案] B(2)[解] ①是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如x ＝－1，则3x ＋1＝－2与之对应．同理，②也是实数集R 上的一个函数．③不是实数集R 上的函数．因为当x ＝0时，1x的值不存在．④不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x 轴的直线l . (2)在定义域内平行移动直线l .(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．函数的判断[活学活用]1．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A ．A ＝R ，B ＝R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1解析：选B A 错误，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.[例2] 下列各组函数中是相等函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1 C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0) D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2[解析] 对于选项A ，前者定义域为R ，后者定义域为{x |x ≠1}，不是相等函数；对于选项B ，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C ，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D ，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．[答案] B判断函数相等的方法判断函数是否相等，关键是树立定义域优先的原则． (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． [活学活用]2．下列各组式子是否表示同一函数？为什么？相等函数(1)f (x )＝|x |，φ(t )＝t 2； (2)y ＝x 2，y ＝(x )2；(3)y ＝1＋x ·1－x ，y ＝1－x 2； (4)y ＝3－x2，y ＝x －3.解：(1)f (x )与φ(t )的定义域相同，又φ(t )＝t 2＝|t |，即f (x )与φ(t )的对应关系也相同，∴f (x )与φ(t )是同一函数．(2)y ＝x 2的定义域为R ，y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，两者定义域不同，故y ＝x 2与y ＝(x )2不是同一函数．(3)y ＝1＋x ·1－x 的定义域为{x |－1≤x ≤1}，y ＝1－x 2的定义域为{x |－1≤x ≤1}，即两者定义域相同．又∵y ＝1＋x ·1－x ＝1－x 2，∴两函数的对应关系也相同．故y ＝1＋x ·1－x 与y ＝1－x 2是同一函数．(4)∵y ＝3－x 2＝|x －3|与y ＝x －3的定义域相同，但对应关系不同，∴y ＝3－x2与y ＝x －3不是同一函数.[例3] 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[解] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．求函数的定义域[活学活用]3．求下列函数的定义域： (1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. 解：(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0.解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0.解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1，且x ≠1}.[例4] (1)已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)，则f (2)＝________，f (g (2))＝________.(2)求下列函数的值域： ①y ＝x ＋1；②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x －1x ＋1；④y ＝2x －x －1.(1)[解析] ∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，求函数值和值域∴g (2)＝22＋2＝6，∴f ( g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.[答案] 13 17(2)[解] ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y ≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.1．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．[活学活用]4．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x21＋x2.解：(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].层级一学业水平达标1．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.2．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝x 2x和g (x )＝x x2解析：选D A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35D ．－35解析：选Bf 2 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 2 ＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1. 5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析：选B y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意知3a －1>a ，则a >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 7．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________．解析：∵x ＝1,2,3,4,5， ∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}．答案：{－1,1,3,5,7}8．设f (x )＝11－x，则f ( f ( x ))＝________.解析：f ( f (x ))＝11－11－x ＝11－x －11－x ＝x －1x . 答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1) 9．已知f (x )＝x 2－4x ＋5. (1)求f (2)的值．(2)若f (a )＝10，求a 的值．解：(1)由f (x )＝x 2－4x ＋5，所以f (2)＝22－4×2＋5＝1. (2)由f (a )＝10，得a 2－4a ＋5＝10，即a 2－4a －5＝0，解得a ＝5或a ＝－1. 10．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．解：要使函数解析式有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，6－2x ≥0，6－2x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≤3，x ≠52，所以－2≤x ≤3且x ≠52.所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤3且x ≠52. 用区间表示为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，52 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，3.层级二应试能力达标1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析：选A 对于A ，由x ＝y 2＋1得y 2＝x －1.当x ＝5时，y ＝±2，故y 不是x 的函数；对于B ，y ＝2x 2＋1是二次函数；对于C ，x －2y ＝6⇒y ＝12x －3是一次函数；对于D ，由x ＝y 得y ＝x 2(x ≥0)是二次函数．故选A.2．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合A 表示函数y ＝x －1的定义域，则A ＝{x |x ≥1}，集合B 表示函数y ＝x 2＋2的值域，则B ＝{y |y ≥2}，故A ∩B ＝{x |x ≥2}．3．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f ( f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选A ∵f (x )＝ax 2－1，∴f (－1)＝a －1，f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1.∴a (a －1)2＝0. 又∵a 为正数，∴a ＝1.4．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等的函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选A 由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．5．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝2x ＋6 的值域是B ，则A ∩B ＝________(用区间表示)．解析：要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝2x ＋6 ≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝{x |0≤x <2，或x >2}．答案：[0,2)∪(2，＋∞)6．函数y ＝6－x|x |－4的定义域用区间表示为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧6－x ≥0，|x |－4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，x ≠±4，∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6] 7．试求下列函数的定义域与值域：(1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1； (3)f (x )＝5x ＋4x －1；(4)f (x )＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54.8．已知函数f (x )＝x 21＋x2. (1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016的值．解：(1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，…，f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝1.∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝2 015.1．2.2 函数的表示法第一课时函数的表示法预习课本P19～21，思考并完成以下问题(1)表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？(2)函数的各种表示法各有什么特点？[新知初探][点睛] 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．( ) (2)函数f (x )＝2x ＋1不能用列表法表示．( )(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )1 23A.1C．3 D．不存在答案：C3.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案：C4．已知反比例函数f (x)满足f(3)＝－6，f (x)的解析式为________．答案：y＝－18x[例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来[解] (1)列表法：x/台1234 5y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000(2)图象法：(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．理解函数的表示法3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满函数的表示法足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．[活学活用]1．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出．x 1 2 3 f (x )211则f ( g (1))的值为________；当g ( f (x ))＝2时，x ＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f ( g (1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1.答案：1 1[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[解] (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．x 1 2 3 g (x )321函数图象的作法及应用由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数y＝f(x)图象的方法(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．[活学活用]2．作出下列函数的图象：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．解：(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．[例3] 求下列函数的解析式：(1)已知函数f (x＋1)＝x＋2x，求f (x)；(2)已知函数f (x)是二次函数，且f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求f (x)．[解] (1)[法一换元法]设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f (t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f (x)＝x2－1(x≥1)．函数解析式的求法[法二配凑法]∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，整理，得2ax ＋(a ＋b )＝2x .由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.求函数解析式的4种常用求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[活学活用]3．已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )．解：法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6.法二(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6.4．已知函数f (x )是一次函数，若f ( f (x ))＝4x ＋8，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ( f (x ))＝f ( ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .又f ( f (x ))＝4x ＋8， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.5．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )．解：∵f (x )＋2 f (－x )＝x 2＋2x ， ① ∴将x 换成－x ，得f (－x )＋2 f (x )＝x 2－2x . ② ∴由①②得3 f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .层级一学业水平达标1．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.2．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析：选B 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.3．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －3解析：选B 设f (x )＝ax ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧22a ＋b －3a ＋b ＝5，20·a ＋b －－a ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.4．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7解析：选B ∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.5．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C 令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4t －12－1(t ≠1)，即f (x )＝4x －12－1(x ≠1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16－1＝15. 6．已知函数f (x )由下表给出，则f ( f (3))＝________.x 1 2 3 4 f (x )3241＝1. 答案：17．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．解析：将点(5,4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 答案：58．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －239．(1)已知函数f (x )＝x 2，求f (x －1)； (2)已知函数f (x －1)＝x 2，求f (x )．解：(1)f ( x －1)＝(x －1)2＝x 2－2x ＋1.(2)法一(配凑法)：因为f (x －1)＝x 2＝(x －1)2＋2(x －1)＋1，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.法二(换元法)：令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，可得f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，即f (x )＝x 2＋2x ＋1.10．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3 f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.层级二应试能力达标1．已知函数f (x ＋1)＝x 2－x ＋3，那么f (x －1)的表达式是( ) A ．f (x －1)＝x 2＋5x －9 B ．f (x －1)＝x 2－x －3 C ．f (x －1)＝x 2－5x ＋9D ．f (x －1)＝x 2－x ＋1解析：选C f (x ＋1)＝(x ＋1)2－3(x ＋1)＋5，所以f (x )＝x 2－3x ＋5，f (x －1)＝(x －1)2－3(x －1)＋5＝x 2－5x ＋9，故选C.2．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 C ．(－1,3)D ．(－2,1)解析：选A 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.3．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－2解析：选B 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.4．函数y ＝f (x )(f (x )≠0)的图象与x ＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0或1D ．1或2解析：选C 结合函数的定义可知，如果f ：A →B 成立，则任意x ∈A ，则有唯一确定的B 与之对应，由于x ＝1不一定是定义域中的数，故x ＝1可能与函数y ＝f (x )没有交点，故函数f (x )的图象与直线x ＝1至多有一个交点．5．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2.答案：x 2＋26．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f (f (－3))的值．解：因为f (2)＝1，所以22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2，①又因为f (x )＝x 有唯一解，即x ax ＋b＝x 有唯一解，所以ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.代入①得a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2.所以f (f (－3))＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－6－1＝f (6)＝2×66＋2＝32.8．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋bx.且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝100，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35，代入y ＝ax ＋bx中，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x(x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 197 100 68.353 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8依据上表，画出函数y 的图象如图所示，是由20个点构成的点列．第二课时分段函数与映射预习课本P21～23，思考并完成以下问题(1)什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？(2)怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？(3)映射的定义是什么？映射和函数的关系怎样？[新知初探]1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．[点睛] (1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．2．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[点睛] 映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( )(2)分段函数由几个函数构成．( )(3)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x≤1，－x＋3，x>1是分段函数．( )(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，x≤0，x2，x>0.则f(－2)＝( )A．2 B．4C．－2 D．2或4答案：A3．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是( )答案：C4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，1≤x<2，3，x≥2的定义域为________．答案：[1，＋∞)[例1] 下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N*，f：x→|x－3|；(2)A＝N，B＝Q，f：x→1x；(3)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|2≤y≤5}，f：x→y＝2x.[解] (1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3在B中没有元素与之对应，所以(1)不是映射．映射的概念(2)当x ＝0∈A 时，1x无意义，即A 中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以(2)不是映射．(3)当1≤x ≤2时，2≤2x ≤4，而且对于A 中每一个x 值，按照对应关系y ＝2x ，在B 中都有唯一的元素与之对应，所以(3)是映射．判断一个对应是不是映射的2个关键(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应． (2)B 中的对应元素是不是唯一的．[点睛] “一对一”或“多对一”的对应才可能是映射． [活学活用]1．已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1.(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？解：(1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得x 2x ＋1＝12×1＋1＝13，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13.(2)B 中元素49，即x 2x ＋1＝49，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x2，|x |>1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值；(2)若f (x )＝13，求x 的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝413.(2)f (x )＝13，若|x |≤1，则|x －1|－2＝13，分段函数求值得x ＝103或x ＝－43.因为|x|≤1，所以x 的值不存在；若|x |>1，则11＋x 2＝13，得x ＝±2，符合|x |>1.所以若f (x )＝13，x 的值为± 2.1．求分段函数的函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[活学活用]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋2，x ≤0，则f (－5)的值等于________．解析：f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2.答案：23．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，45x ，x >2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析：当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6， ∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)；当x 0>2时，f (x 0)＝45x 0，∴x 0＝10.综上可知，x 0＝－6或x 0＝10. 答案：－6或10题点一：分段函数的图象的判定 1．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )分段函数的图象及应用解析：选B 法一：函数的解析式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1.画出此分段函数的图象，故选B.法二：由f (－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A 、C 、D ，故选B. 题点二：分段函数图象的作法2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，画出f (x )的图象．解：利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．题点三：由函数的图象确定其解析式3．已知函数f (x )的图象如右图所示，则f (x )的解析式是________．解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1题点四：分段函数的图象及应用 4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．层级一学业水平达标1．下列对应关系f 中，能构成从集合A 到集合B 的映射的是( ) A ．A ＝{x |x >0}，B ＝R ，f ：x →|y |＝x 2B ．A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1x2D ．A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x2解析：选D 对于A ，集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应；对于B ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应．故A 、B 、C 均不能构成映射．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：选A ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：选D 函数y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D.4．已知集合M ＝{x |0≤x ≤4}，N ＝{0|0≤y ≤2}，按对应关系f 不能构成从M 到N 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉N ，所以C 中的对应关系f 不能构成从M 到N的映射．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：选B 先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥1，1x，x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.解析：依题意，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝113＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (3)＝32－1＝8.答案：87．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，若f (x )＝3，则x 的值是________．解析：当x ≤－1时，x ＋2＝3，得x ＝1舍去，当－1<x <2时，x 2＝3得x ＝3或x ＝－3(舍去)．答案： 38．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与A 中的元素(－1,2)对应的B 中的元素为________．解析：由题意知，与A 中元素(－1,2)对应的B 中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．答案：(－3,1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.10．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f (x )； (2)画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．层级二应试能力达标1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈0，1]，则函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1,0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．故选A.2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，使函数值为5的x 的值是( ) A ．－2 B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52解析：选A 当x ≤0时，令x 2＋1＝5，解得x ＝－2；当x >0时，令－2x ＝5，得x ＝－52，不合题意，舍去．3．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素在A 中都能找到元素与之对应，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 注意到对应法则是f ：a →|a |，因此3和－3对应集合B 中的元素3；2和－2对应集合B 中的元素2；1和－1对应集合B 中的元素1；4对应集合B 中的元素4.所以B ＝{1,2,3,4}，有4个元素．4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米解析：选A 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x <0，的值域是________．解析：当x ≥0时，f (x )≥1，当－2≤x <0时，2<f (x )≤4，∴f (x )≥1或2<f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝12a －1>1，解得a >4，符合a ≥0；当a <0时，f (a )＝1a>1，无解．答案：(4，＋∞)7.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．(1)求f (f (0))的值；(2)求函数f (x )的解析式．解：(1)直接由图中观察，可得f (f (0))＝f (4)＝2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝b ，0＝2k ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，k ＝－2.∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6.8．A ，B 两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s (公里)关于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．解：(1)汽车从A 地到B 地，速度为50公里/小时，则有s ＝50t ，到达B 地所需时间为15050＝3(小时)． (2)汽车在B 地停留2小时，则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地，速度为60公里/小时，则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t ，从B 地到A 地用时15060＝2.5(小时)．综上可得：该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50t ，0≤t ≤3，150，3<t ≤5，450－60t ，5<t ≤7.5.函数图象如图所示．。

高一数学必修一集合与函数的概念

⾼⼀数学必修⼀集合与函数的概念集合与函数都是⾼⼀的数学学习的知识点，需要学⽣学习和掌握，下⾯店铺的⼩编将为⼤家带来关于集合与函数的概念的分析介绍，希望能够帮助到⼤家。

⾼⼀数学必修⼀集合与函数概念介绍第⼀章集合与函数概念⼀：集合的含义与表⽰ 1、集合的含义：集合为⼀些确定的、不同的东西的全体，⼈们能意识到这些东西，并且能判断⼀个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把⼀些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则⼀元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

(2)元素的互异性：⼀个给定集合中的元素是唯⼀的，不可重复的。

(3)元素的⽆序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表⽰：{…} (1)⽤⼤写字母表⽰集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表⽰⽅法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素⼀⼀列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语⾔描述法：例：{不是直⾓三⾓形的三⾓形} ③Venn图:画出⼀条封闭的曲线，曲线⾥⾯表⽰集合。

4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)⽆限集：含有⽆限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合⾥，则元素属于集合，即：aA (2)元素不在集合⾥，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常⽤数集及其记法：⾮负整数集(即⾃然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—⼦集定义：如果集合A的任何⼀个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的⼦集。

必修一第一章集合与函数概念

必修一第一章集合与函数概念第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（一）集合的概念一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。

（1）关于集合的元素的特征①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

③无序性 .（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a ∈M ，或者a ∉M ，两者必居其一.（二）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

③描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。

{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x，y)|y=2x +1}，{直角三角形}，…；强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.{(x，y)|y= x +3x+2}与 {y|y= x +3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集 Z 。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

数学必修一集合与函数概念知识点梳理

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【∅=∅ B A ⊆A ∅=B A ⊇2(A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法）含绝对值的不等式的解法不等式（2）一元二次不等式的解法〖1.2〗函数及其表示【（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，)()(U B A =()()()UU U A B A B =在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【（1）函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【（4）函数的奇偶性函数的性质定义图象判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换 ②伸缩变换 ③对称变换（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

第一章集合与函数概念

第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（）A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2[正解] C ；显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用V enn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 4．集合的运算性质（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ； ④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ； ④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ；（3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D题型2：集合间的基本关系[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（）A ．X Y ；B ．Y X ；C ．Y X =；D ．Y X ≠[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能；同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C [新题导练]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）A ．B A ⊆ B.C B ⊆ C.C B A = D. A C B = [解析]D ；因为全集为A ，而C B =全集=A2．(2006•山东改编）定义集合运算:{}B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 22,设集合{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ⊗A 的所有元素之和为 [解析]18，根据B ⊗A 的定义，得到{}12,6,0A =⊗B ，故B ⊗A 的所有元素之和为18 3．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于[解析] {}31<<x x ；因为{})3,0(1log3=<=x x P ，{})1,1(1-=<=x x Q ，所以)3,1(=-Q P4．研究集合{}42-==x y x A ，{}42-==x y y B ，{}4),(2-==x y y x C 之间的关系[解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而BA ；因为{}42-==x y x A 表示42-=x y 的定义域，故R A =；{}42-==x y y B 表示函数42-=x y 的值域，),4[+∞-=B ；{}4),(2-==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，BA ，而A与C ，B 与C 都无包含关系考点二：集合的基本运算[例3] 设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B（1）若{}2=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ，[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。

集合与函数关系

集合与函数关系集合与函数是数学中常见且重要的概念，它们在数学各个领域中发挥着重要的作用。

本文将深入探讨集合与函数之间的关系，并通过具体的例子加以说明。

一、集合的定义与性质在数学中，集合是指具有某种共同特征的事物的总体。

我们可以用大括号来表示一个集合，例如集合A={1, 2, 3, 4}。

集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素。

1.1 集合的元素与子集集合中的每个事物都被称为元素，例如在集合A中，1, 2, 3, 4都是其元素。

另外，集合中的一些元素组成的集合也可以是一个集合的元素，这种集合称为子集。

1.2 交集、并集与补集当两个集合存在公共元素时，我们可以将这些公共元素组成一个新的集合，这个集合被称为两个集合的交集。

而将两个集合中的所有元素组成一个新的集合，这个集合被称为两个集合的并集。

另外，若集合A中的元素在集合B中不存在，我们可以将这些元素组成一个新的集合，这个集合被称为A相对于B的补集。

二、函数的定义与性质函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了输入与输出之间的关系。

函数可以理解为一种映射关系，通常用f(x)或y来表示。

在函数中，x被称为自变量，y被称为因变量。

2.1 定义域和值域函数中的自变量可以取某些特定的值，这些值被称为函数的定义域。

而函数的因变量所能取到的值的集合被称为函数的值域。

2.2 单射、满射和双射函数的单射性描述了函数中的每个自变量对应着唯一的因变量，即不同的自变量对应不同的因变量。

而函数的满射性描述了函数值域中的每个值都能由定义域中的某个自变量得到。

若函数既是单射又是满射，则称其为双射。

三、集合与函数的关系集合与函数之间有着密切的关系，下面通过几个例子来具体说明。

例1：集合与函数的定义和关系设有两个集合A={1, 2, 3}和B={4, 5}，函数f：A→B定义为f={(1,4)，(2,4)，(3,5)}。

这个函数的定义域是集合A，值域是集合B。

可以看出，函数f中的每个自变量都对应着唯一的因变量，因此该函数是单射函数。

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第一章集合与函数的概念龙港高中林长豪课题：§1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系、集合相等的含义；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：引入课题引例１：（数学家和牧民的故事）牧民非常喜欢数学，但不知道集合是什么，于是他请教一位数学家．集合是不定义的概念，数学家很难回答牧民的问题．有一天他来到牧场，看到牧民正把羊往羊圈里赶，等到牧民把全部羊赶入羊圈关好门．数学家灵机一动，高兴地告诉牧民：“你看这就是集合！”２：军训时当教官一声口令：“高一（１4）班同学到操场集合”在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容新课教学（一）集合的有关概念集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA（举例）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；例1．（课本例1）思考2，(课本P4思考)引入描述法说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|x是直角三角形}，…；例2．（课本例2）说明：（课本P5最后一段）思考3：（课本P5思考）强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y)|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{x|x是全体整数}。

下列写法{x|x是实数集}，{R}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（三）课堂练习（课本P5练习）归纳小结本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

作业布置书面作业：习题1.1，第1- 4题板书设计（略）课题:§1.1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课型：新授课教学目的：（1）理解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn图表达集合间的关系；（4）理解空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N；（2）Q；（3）-1.5 R类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B的子集（subset）。

记作：读作：A含于（is contained in）B，或B包含（contains）A当集合A不含于集合B时，记作A B用Venn图表示两个集合间的“包含”关系集合与集合之间的“相等”关系；，则中的元素是一样的，因此即练习结论：任何一个集合是它本身的子集真子集的概念若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。

记作：A B（或B A）举例（由学生举例，共同辨析）空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

结论：，且，则例题（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x5}，并表示A、B的关系；课堂练习归纳小结，强化思想两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；作业布置书面作业：习题1.1 第5题提高作业：已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。

设集合，，试用Venn图表示它们之间的关系。

板书设计（略）课题：§1.3集合的基本运算（一）教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课型：新授课教学重点：集合的交集与并集的概念；教学难点：集合的交集与并集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；教学过程：引入课题我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？观察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？(1)A={1,2,3,4,5},B={2,5,8,9},C={2,5}(2) A={1,2,3,4,5},B={2,5,8,9},C={1,2,3,4,5,8,9}引入并集、交集概念。

新课教学并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B 读作：“A并B”即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}Venn图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

例题（P9-10例4、例5）说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。

交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。

记作：A∩B 读作：“A交B”即：A∩B={x|∈A，且x∈B}交集的Venn图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

例题（P9-10例6、例7）拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集求集合的并、交是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

集合基本运算的一些结论：（A∩B）A，（A∩B）B，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩AA（A∪B），B（A∪B），A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A若A∩B=A，则AB，反之也成立若A∪B=B，则AB，反之也成立若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B三、课堂练习P11、1~3四、作业布置：略课题：§1.3集合的基本运算（二）教学目的：（1）理解全集以及在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课型：新授课教学重点：集合的全集、补集的概念；教学难点：集合的全集、补集以及求集合中元素个数问题。

教学过程：引入课题问：我班全体同学有一部分参加了校运动会，在这个问题需关注的集合有几个？二、新课教学全集、补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，记作：CUA即：CUA={x|x∈U且x∈A}补集的Venn图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制例题（P12例8、例9）例10、设全集U={-1,1,a2-2a-3}, A={1, |b|-3}若：CUA={5}, 求a, b的值求集合的补集运算，运算结果仍然还是集合，在处理有关交集与并集、补集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

补集的结论：（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=4．元素个数问题：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)例8、（1）开运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳和田径比赛的有3人, 同时参加游泳和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,那么同时参加球类和田径比赛的有几人?只参加游泳一项比赛的有几人?设S={1, 2, 3, 4, 5} , A∩B={2} , (CSA)∩B={4}，(CSA)∩(CSB)={1, 5}，求集合A和B。