等差数列前n项和的最值问题
等差数列的前n项和的最值及应用
法二 同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 又由因aann为＝＋1n＝－∈－2Nn2*＋（，2n7＋≥10），＋27≤0得nn≤ ≥11321212， . 所以当n＝13时，Sn有最大值，为S13＝169.
索引
法三 因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值. 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，又a1＝25， 解得d＝－2， 所以 S13＝13×25＋13×2 12×(－2)＝169， 所以 Sn 的最大值为 169.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( D )
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列. 又 a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋n（n2－1）×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2252＋6425. ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 最大.
索引
3.做一做 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天 起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天 16
计)共织390尺布，则每天比前一天多织___2_9____尺布(不作近似计算). 解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中 a1＝5，S30＝390， 设其公差为 d，则 S30＝30×5＋30×2 29d＝390，解得 d＝1269.故该女子织布每天增 加1269尺.
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
高考数学复习等差数列的前n项和Sn的最值问题
10×9 15×14 解法 2 设公差为 d.因为 S10＝S15，所以 10a1＋ 2 d＝15a1＋ 2 d， nn－1 5 5 2 125 代入 a1＝20，得 d＝－3.所以 Sn＝na1＋ 2 d＝－6n ＋ 6 n＝ 12×11 5 2 －6(n －25n)， 所以当 n＝12 或 13 时， Sn 取得最大值为 12a1＋ 2 5 ×－3＝130.
S7<S8， 所以 S9<S8， 49＋21d<56＋28d， 7 即 解得－1<d<－8. 63＋36d<56＋28d，
即d
7 的取值范围为－1，－8 .
a11 5．在等差数列{an}中，a <－1，若它的前 n 项和 Sn 有最大值，则使 Sn 10 取得最小正数的 n＝
1 3 － － q∈ . 2 2，2 7
8．在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15，求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最大值．
答案：当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值为 130.
解法 1 因为 S10＝S15，所以 S15－S10＝0，即 a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， 也即 5a13＝0，所以 a13＝0，即 a1>a2>…>a12>a13＝0>a14>a15>…， 13a1＋a13 13×20＋0 故当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值为 ＝ ＝ 2 2 130.
微专题47
等差数列的前n项和Sn的最 值问题
2 4 1．已知等差数列{an}：5,47，37，…，当 n＝
7 或8
时，数列
{an}的前 n 项和 Sn 最大？
等差数列前n项和的最值问题(精品文档)
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列前n项和的最值问题及拓展 Word版含解析
姓名，年级：时间：求等差数列前n项和S n最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式S n＝an2＋bn＝a错误!2－错误!，求“二次函数”最值． (2）邻项变号法①当a1＞0，d＜0时，满足错误!的项数m使得S n取得最大值为S m②当a1＜0,d＞0时,满足错误!的项数m使得S n取得最小值为S m.例题：1。
等差数列{a n｝中，已知a6＋a11＝0，且公差d〉0，则其前n项和取最小值时的n的值为( )A．6 B．7 C．8 D．9解析解法一：因为a6＋a11＝0,所以a1＋5d＋a1＋10d＝0，解得a1＝－152 d，所以S n＝na1＋错误!d＝错误!·n＋错误!d＝错误!（n2－16n)＝错误![（n－8）2－64]．因为d>0，所以当n＝8时,其前n项和取最小值．解法二：由等差数列的性质可得a8＋a9＝a6＋a11＝0.由公差d〉0得等差数列｛a n｝是递增数列，所以a8<0，a9〉0,故当1≤n≤8时，a n〈0；n≥9时,a n>0,所以当n＝8时,其前n项和取最小值．2.在等差数列{a n}中，a1＝29,S10＝S20，则数列｛a n}的前n项和S n的最大值为( ）A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17解法一:∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋错误!d＝20a1＋错误!d，解得d＝－2,∴S n＝29n＋错误!×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15）2＋225.∴当n＝15时,S n取得最大值．解法二：S10=S20,∴a11+a12+⋯a20=0a11+a20×10=0，即a11+a20=0,∴a15+a16=02又因为a1=29，可知等差数列｛a n}为递减数列，则a15> 0,a16<0∴当n＝15时，S n取得最大值．拓展：(2016·全国卷Ⅰ）设等比数列｛a n}满足a1＋a3＝10,a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为________．解析：解法一：等比数列｛a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，可得q（a1＋a3)＝5，解得q＝错误!。
高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》知识点讲解及重点练习
第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，了解等差数列前n 项和的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题．知识点一 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{S n n }也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1.思考 在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？答案 中间两项，中间项．知识点二 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n .当d ≠0时，S n 关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组Error!确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组Error!确定．(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 7＋a 8等于( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，由等差数列的性质得a 5＋a 6＝6，a 7＋a 8＝8.2．已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( )A.98 B.94C ．1 D ．0答案 C解析 由a 4＝a 2＋(4－2)d ，得－2＝0＋2d ，故d ＝－1，a 1＝1，故S n ＝n ＋n (n －1)2·(－1)＝－n 22＋3n2＝－12(n －32)2＋98.所以当n ＝1或2时，S n 的最大值为1.3．(多选)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为( )A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案 BC解析 由a n ≤0即2n －48≤0得n ≤24.∴所有负项的和最小，即n ＝23或24.4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.答案 2 020解析 由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6，∴d ＝1，∴S nn ＝S 11＋(n －1)d ＝n －2 019.故S 2 0202 020＝2 020－2 019＝1，∴S 2 020＝2 020.一、等差数列前n 项和的性质例1 (1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.答案 2解析 由Error!得Error!所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .解 方法一 在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m2m ＝S mm ＋S 3m3m.即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟 利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．答案 －4解析 设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28，∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②由①②得d ＝－4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解 S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110.二、等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解 方法一 因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二 同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由Error!得Error!又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三 因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四 设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n＝13时，S n取得最大值．由题意得Error!解得Error!所以S n＝－n2＋26n，所以S13＝169，即S n的最大值为169.反思感悟 (1)等差数列前n项和S n最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则S n存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则S n存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和S n最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用Error!或Error!来寻找．②运用二次函数求最值．跟踪训练2 在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．解 (1)设等差数列的公差为d，因为在等差数列{a n}中，a10＝18，S5＝－15，所以Error!解得a1＝－9，d＝3，所以a n＝3n－12，n∈N*.(2)因为a1＝－9，d＝3，a n＝3n－12，所以S n＝n(a1＋a n)2＝12(3n2－21n)＝32(n－7 2)2－1478，所以当n＝3或4时，前n项的和S n取得最小值S3＝S4＝－18.三、求数列{|a n|}的前n项和例3 数列{a n}的前n项和S n＝100n－n2(n∈N*)．(1)判断{a n}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和．解 (1)当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2.②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝Error!n ∈N *.反思感悟 已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由Error!得Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2(－32×172＋1032×17)－(－32n 2＋1032n)＝32n 2－1032n ＋884.∴S n ＝Error!等差数列前n 项和公式的实际应用典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升] (1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．1．已知数列{a n}满足a n＝26－2n，则使其前n项和S n取最大值的n的值为( ) A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案 D解析 ∵a n＝26－2n，∴a n－a n－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{a n}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴S n＝24n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－252)2＋6254.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n最大．2．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A．0.5,0.5 B．0.5,1C．0.5,2 D．1,0.5答案 A解析 由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，∴d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋10×92×0.5，得a1＝0.5.3．(多选)设{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是( ) A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案 ABD解析 ∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．4．已知在等差数列{a n}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n 的值是________．答案 6或7解析 ∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴－a5＝a9，即a5＋a9＝0.由等差数列的性质，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正．∴S n 取得最小值时的n 为6或7.5．已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d ＝________.答案 5解析 由题意得Error!故S 偶＝192，S 奇＝162，所以6d ＝S 偶－S 奇＝30，故d ＝5.1．知识清单：(1)等差数列前n 项和的一般性质．(2)等差数列前n 项和的函数性质．2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想．3．常见误区：求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( )A ．10B ．100C ．110D ．120答案 B解析 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴{S n n }也是等差数列且首项为S 11＝1.又S 88－S 66＝2，∴{S n n }的公差是1，∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数 B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数 D ．无最大值和最小值答案 B解析 易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案 AB 解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确；S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确；数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019 D ．2 020答案 D解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 018，S k＝S2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k2，解得k＝2 020.6．已知在等差数列{a n}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案 99解析 由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.7．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案 5解析 ∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则S n取得最小值时n的值为________．答案 6解析 由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－173.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝d2x2＋(a1－d2)x的图象的对称轴为x＝12－a1d＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n取得最小值时n的值为6.9．已知在等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴a n＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)方法一 a1＝9，d＝－2，S n＝9n＋n(n－1)2·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，S n取得最大值．方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{a n}是递减数列．令a n≥0，则11－2n≥0，解得n≤11 2 .∵n∈N*，∴当n≤5时，a n>0；当n≥6时，a n<0.∴当n＝5时，S n取得最大值．10．在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.解 (1)∵a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，∴a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，∴{a n}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，a n＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝8n＋n(n－1)2×(－2)＝9n－n2.∵a n＝10－2n，令a n＝0，得n＝5.当n>5时，a n<0；当n＝5时，a n＝0；当n<5时，a n>0.∴当n≤5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝9n－n2.当n>5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋a n)＝S5－(S n－S5)＝2S5－S n＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，∴T n＝Error!11．若数列{a n}的前n项和是S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( ) A．15 B．35 C．66 D．100答案 C解析 易得a n ＝Error!|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则{S n n }是公差为d2的等差数列．因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________.答案 310解析 设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列．所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.所以S12＝6k，S16＝10k.S8S16＝3 10.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案 11 7解析 设等差数列{a n}的项数为2n＋1(n∈N*)，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)(a1＋a2n＋1)2＝(n＋1)a n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n(a2＋a2n)2＝na n＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝a n＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1<2,6S n＝(a n＋1)(a n＋2)．(1)求证：{a n}是等差数列；(2)令b n＝3a n a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1.证明 (1)因为6S n＝(a n＋1)(a n＋2)，所以当n≥2时，6S n－1＝(a n－1＋1)(a n－1＋2)，两式相减，得到6a n＝(a2n＋3a n＋2)－(a2n－1＋3a n－1＋2)，整理得(a n－a n－1)(a n＋a n－1)＝3(a n＋a n－1)，又因为a n>0，所以a n－a n－1＝3，所以数列{a n}是公差为3的等差数列．(2)当n＝1时，6S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，因为a1<2，所以a1＝1，由(1)可知a n－a n－1＝3，即公差d＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，所以b n＝3a n a n＋1＝3(3n－2)(3n＋1)＝13n－2－13n＋1，所以T n＝1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝1－13n＋1<1.。
等差数列的前n项和·例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a 6=a 1＋5d ，也可以不必求出a n 而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a 2a 9d =28a 4d =25a 5d =36111⎧⎨⎩ 即a 6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N －3若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3即＝＋ n N 213()N - 若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)．又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴ 两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d ①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212 由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1 ⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n () 12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++ 解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S=(a+a)n2n1n·×=-=-+=--+()()633232632 322123218222n nn n n∵n∈N，∴当n=10或n=11时，S n取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n－1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证⇒由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件．说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再 解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169． 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列的前n项和的最值问题
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解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15× 2 14d， ∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635. ∴a13＝0. 即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13＝12×20＋12× 2 11×－53＝130.
S2 009＝0.
(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；
(2)求 n 的取值集合，使 an≥Sn.
解 方法一 (1)设公差为 d，则由 S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n09n－n2)
∵a1<0，n∈N*，
∴当
n＝1
004
或
1
005精品时资料，Sn
取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 100050－ 4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值 问题
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前n项和Sn最大（最小）
1）在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最大， 可由不等式组 aann100来确定n 2)在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最小， 可由不等式组 aann100来确定n
等差数列的前n项和
(3)a1 14.5, d 0.7, an 32.
n 26, S 26
n(a1 an ) Sn 2
26 (14 .5 32 ) 604 .5. 2
(1)
n(n 1) S n na1 d (2) 2
习题1.设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B ) A.63 B.45 C.36 D.27
2. 从1到200的所有整数中，既不是2的倍数， 又不是3的倍数的所有整数和是多少？ 解： 从1到200的所有整数中， 所有2的倍数 2，4，6，8，… ，200 构成的等差数列. 所有3的倍数 3，6，9，12，… ，198 构成的等差数列.
S2k 1 (2k 1)ak T2k 1 (2k 1)bk
ak S 2 k 1 bk T2 k 1
a11 S21 23 . 21 2 b11 T21 3 21 4 67
练习题:
1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则 前多少项和最大？ (2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n－17, 则前多少项和最小?
n
n(n 1) sn 2 这种求和法称为倒序相加法
1.公式推导
如何求等差数列an 的前n项和Sn ? 问题2：
sn a1 a2
a3
an a1
sn an a n 1 an 2 n(a1 an ) sn 2
1.公式推导
n(a1 an ) 公式1 S n 2
例2:等差数列－10，－6， －2，2，… 前多少项和是54?
必修五等差数列前n项和公式的变形及应用
§2.3.2 等差数列前n项和公式的变形及应用学习目标1. 会利用等差数列性质简化求和运算.2. 会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.知识点一 等差数列前n 项和与等差中项的关系 思考 等差数列{a n }中，若a 3＝2，求S 5. 答案 S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5·a 1＋a 52＝5a 3＝10.梳理 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2，其中a 1＋a n2为a 1，a n 的等差中项，若结合性质“m ＋n＝p ＋q 得a m ＋a n ＝a p ＋a q ，”还可把a 1＋a n 换成a 2＋a n －1，a 3＋a n －2，….知识点二 等差数列前n 项和的最值思考 我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的前n 项和S n 何时有最大值？何时有最小值？答案 由二次函数的性质可以得出：当a 1<0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1＞0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值.梳理 等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关.(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值. (2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值. (3)若a 1>0，d >0，则{S n }是递增数列，S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则{S n }是递减数列，S 1是{S n }的最大值.1.等差数列的前n 项和一定是常数项为0的关于n 的二次函数.( × )2.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 3＋a n －2)2(n ≥3).( √ )3.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列.( √ )类型一 等差数列前n 项和的性质的应用例1 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值.考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列连续m 项和成等差数列解 (1)方法一 在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m . 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.(2)a 5b 5＝12(a 1＋a 9)12(b 1＋b 9)＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512.反思与感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.跟踪训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和性质其他问题解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝12n －52，∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .类型二 等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值. 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求等差数列前n 项和的最值解 方法一 ∵S 9＝S 17，a 1＝25，∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2d ，解得d ＝－2.∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169.方法二 同方法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.方法三 同方法一，求出公差d ＝－2. ∵S 9＝S 17，∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0. 由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169.方法四 同方法一，求出公差d ＝－2.设S n ＝An 2＋Bn . ∵S 9＝S 17，∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.反思与感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形：①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和. ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法：①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找.②运用二次函数求最值.跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)方法一 由(1)知，a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值.方法二 由(1)知，a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值.类型三 求数列{|a n |}的前n 项和例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .考点 等差数列前n 项和绝对值之和 题点 求等差数列前n 项和绝对值之和 解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104. ∵n ＝1也符合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *). 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.(1)当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；(2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}. 若原等差数列{a n }中既有正项，也有负项，那么{|a n |}不再是等差数列，求和关键是找到数列{a n }的正负项分界点处的n 值，再分段求和.跟踪训练3 已知等差数列{a n }中，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .考点 等差数列前n 项和绝对值之和 题点 求等差数列前n 项和绝对值之和 解 设等差数列{a n}的首项为a 1，公差为d ，由S 2＝16，S 4＝24得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *). ①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5且n ∈N *，n 2－10n ＋50，n ≥6且n ∈N *.1. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A.13B.35C.49D.63 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7·a 2＋a 62＝7·3＋112＝49.2. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A.12B.13C.14D.15 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 B解析 ∵S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5，∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2，∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.故选B. 3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.63B.45C.36D.27 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列连续m 项和成等差数列 答案 B解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A.5B.6C.7D.8 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 B解析 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173. 又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0. 因为函数y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5. 若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________. 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和性质其他问题 答案 2A1. 等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形(1)S n ＝n ·a 1＋a n 2； (2)S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ； (3)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2⎝⎛⎭⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列. 2. 求等差数列前n 项和最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观.(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值.3. 求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.一、选择题1. 数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A.－2B.－1C.0D.1 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和性质其他问题 答案 B解析 ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝An 2＋Bn ，∴λ＝－1.2. 在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A.2 014B.2 015C.2 016D.2 017考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 C解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k2，解得k ＝2 016.故选C.3. 若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A.6B.7C.8D.9 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 B解析 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，即193≤k ≤223.因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.4. 含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列奇偶项和问题 答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .5. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A.38B.20C.10D.9 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.6. 已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )A.11或12B.12C.13D.12或13考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 D解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列. 又a 1＝24，d ＝－2， ∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大，故选D.7. 已知等差数列{a n }中，a 1 008＝4，S 2 016＝2 016，则S 2 017等于( )A.－2 017B.2 017C.－4 034D.4 034考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以S 2 016＝1 008(a 1＋a 2 016)＝1 008(a 1 008＋a 1 009)＝2 016，则a 1 008＋a 1 009＝2.又a 1 008＝4，所以a 1 009＝－2，则S 2 017＝2 017(a 1＋a 2 017)2＝2 017a 1 009＝－4 034.二、填空题8. 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则它的通项公式是________. 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2. 9. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________. 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 4或5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1，∴a 5＝a 1＋4d ＝0，∴S 4＝S 5且同时最大. ∴n ＝4或5.10. 已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n ，则S n 取最小值时对应的n 值为________. 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 7或8解析 ∵S n ＝2n 2－30n ＝2⎝⎛⎭⎫n －1522－2252，∴当n ＝7或8时，S n 最小. 11. 若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 013＋a 2 014＞0，a 2 013·a 2 014<0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________.考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和有关的不等式问题 答案 4 026解析 由条件可知数列是递减数列，故知a 2 013＞0，a 2 014<0，故S 4 026＝4 026(a 1＋a 4 026)2＝2 013(a 2 013＋a 2 014)＞0，S 4 027＝4 027(a 1＋a 4 027)2＝4 027×a 2 014<0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 026.三、解答题12. 设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的自然数n 的值.考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n ，n ∈N *.(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值. 13. 数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .考点 等差数列前n 项和绝对值之和 题点 求等差数列前n 项和绝对值之和 解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n .(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2. ∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0. ∴当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *. 四、探究与拓展14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n 等于( )A.12B.14C.16D.18 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 B解析 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 15. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－15，S 5＝－55.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式S n >t 对于任意的n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围. 考点 等差数列综合 题点 数列与不等式综合解 (1)S 5＝5·a 1＋a 52＝5a 3＝－55，∴a 3＝－11，∴d ＝a 3－a 13－1＝－11＋152＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－15＋(n －1)×2＝2n －17.(2)由(1)知，a n ＝2n －17，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－15＋2n －17)2＝n (n －16)＝(n －8)2－64， ∴(S n )min ＝－64. S n >t 对任意n ∈N *恒成立等价于(S n )min >t ，即－64>t . ∴t ∈(－∞，－64).。
专题6.2 等差数列及其前n项和(讲)(解析版)
专题6.2 等差数列及其前n 项和1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 知识点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．知识点三 等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．知识点四 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．知识点五 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d, 则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d.考点一 等差数列基本量的运算 【典例1】【2019年高考全国I 卷理数】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =- B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。
等差数列前n项和的最值问题
当 ， 时，n为使 成立的最大的自然数时， 最大，这是因为：当 时， ，即 递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最大
当 时， ，即 递减。类似地，当 ， 时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列 的通项为 ，则使得 最大的 的值是？
又 ，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解： 抛物线对称轴方程为 ，则可设 ，
由
等差数列及其前n项和(解析版)
等差数列及其前n 项和一、学习目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 二、知识讲解知识点一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 知识点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 通项公式的推广：a n ＝ (2)等差数列的前n 项和公式 S n ＝知识点三 等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 知识点四 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 知识点五 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 三、例题辨析考点一 等差数列基本量的运算【典例1】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。
等差数列的前n项和Sn的最值问题
等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。
等差数列前n项和的性质及应用
第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用(教师独具内容)课程标准：1.掌握等差数列前n 项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题．教学重点：等差数列前n 项和的性质及其应用． 教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题.1．等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系一般地，对于等差数列{a n }，如果a 1，d 是确定的，前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，上式可写成S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0(即d ≠0)时，S n 是关于n 的二次函数，那么(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上．因此，当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．可以证明：{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 2．等差数列的前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n}的前n项和为S n，则S n一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n}的前n项和为S n，则数列S m，S2m，S3m，…(m∈N*)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n}的公差d>0，则该数列S n一定有最小值，d<0，则该数列S一定有最大值．( )n2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S奇＝________，偶数项之和S偶＝________.(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝________.(3)在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时，S取最大值，则d的取值范围为________.n题型一等差数列前n项和性质的应用例1 等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m 项的和．[跟踪训练1] 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝( )A．270 B．108C．162 D．150题型二等差数列前n项和在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[跟踪训练2] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A.12尺B．815尺C．1629尺D．1631尺题型三等差数列前n项和的最值问题例3 等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．[条件探究] 本例中将“a1＝25”改为“a1<0”，其他条件不变，则n为何值时，S n最小？[跟踪训练3] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．题型四等差数列的奇(偶)项和问题例4 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．[跟踪训练4] (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.题型五等差数列前n项和的比例问题例5 (1)已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n且SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .[结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？[跟踪训练5] 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A nB n＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a nb n.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．122．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．30 B ．25 C ．20D ．153．(多选)设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1>0且S 6＝S 9，则( ) A ．d >0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5>S 64．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，求数列{a n }的通项公式．A级：“四基”巩固训练一、选择题1．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( ) A．36 B．18C．72 D．92．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7C．8 D．93．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d<0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0D．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列4．已知等差数列{a n}和等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，且(n＋1)S n＝(7n＋23)T n，则使anbn为整数的正整数n的个数是( )A．2 B．3C．4 D．55．(多选)等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则下面结论正确的是( ) A．a1>0 B．S9<S6C．a7最大D．(S n)max＝S7二、填空题6．在等差数列{a n}中，a n＝4n－52，a1＋a2＋…＋a n＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 7＝28，则a n ＝________，a 1＋a nS n ＋4的最大值是________.三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 10．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .B 级：“四能”提升训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上，数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝32a n －112b n －1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用(教师独具内容)课程标准：1.掌握等差数列前n 项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题．教学重点：等差数列前n 项和的性质及其应用． 教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题.1．等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系一般地，对于等差数列{a n }，如果a 1，d 是确定的，前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，上式可写成S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0(即d ≠0)时，S n 是关于n 的二次函数，那么(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上．因此，当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．可以证明：{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 2．等差数列的前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列S m ，S 2m ，S 3m ，…(m ∈N *)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n }的公差d >0，则该数列S n 一定有最小值，d <0，则该数列S n 一定有最大值．( )答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S 奇＝________，偶数项之和S 偶＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________.(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取最大值，则d 的取值范围为________.答案 (1)102 100 (2)20 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78题型一 等差数列前n 项和性质的应用例1 等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，试求前3m 项的和．[解] 解法一：利用等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋n n －12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S m＝ma 1＋m m －12d ＝30，S 2m＝2ma 1＋2m 2m －12d ＝100，解得a 1＝10m ＋20m 2，d ＝40m 2，所以S 3m ＝3ma 1＋3m3m －12d ＝210.解法二：记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m－S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.等差数列前n项和的常用性质解决此类问题的方法较多，可利用方程的思想方法确定出系数，从而求出S n；也可利用等差数列的“片断和性质”，构造出新数列，从而使问题得到解决．[跟踪训练1] 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝( )A．270 B．108C．162 D．150答案 A解析∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270.题型二等差数列前n项和在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[解]设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)．即第10个月应付款55.5元．由于{a n}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S20＝60＋60－19×0.52×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．[跟踪训练2] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A.12尺B．815尺C．1629尺D．1631尺答案 C解析由题意可得，每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝5，S30＝9×40＋30＝390，设公差为d，则30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.故选C.题型三等差数列前n项和的最值问题例3 等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．[解]由题意，可知a1＝25，S17＝S9，则17a1＋17×162d＝9a1＋9×82d，d＝－2.解法一：S n＝25n＋n n－12×(－2)＝－(n－13)2＋169.故前13项之和最大，最大值是169.解法二：S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n(d<0)，S n 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为9＋172，即S13最大．如右图所示，最大值为169.解法三：∵S 17＝S 9， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1＝25>0，∴a 13>0，a 14<0. ∴S 13最大，最大值为169.解法四：∵a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n <0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n >1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[条件探究] 本例中将“a 1＝25”改为“a 1<0”，其他条件不变，则n 为何值时，S n 最小？解 ∵S 17＝S 9，∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， ∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1<0，∴a 13<0，a 14>0，∴S 13最小，∴当n ＝13时，S n 最小．求解等差数列前n项和最值问题的常用方法(1)二次函数法，即先求得S n 的表达式，然后配方．若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n 的值有两个，有时可能为1个．(2)不等式法①当a 1＞0，d ＜0时，由⎩⎨⎧ a m ≥0，a m ＋1＜0⇒S m 为最大值；②当a 1＜0，d ＞0时，由⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1＞0⇒S m 为最小值．(3)寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负数项交替变换的位置，其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项)，然后确定S n 的最值．[跟踪训练3] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧ 24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎨⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大.题型四 等差数列的奇(偶)项和问题例4 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．[解] 解法一：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧12k a 1＋a 2k －1＝24，12k a 2＋a2k＝30，2k －1d ＝212，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k [a 1＋k －1d ]＝24，k a 1＋kd ＝30，2k －1d ＝212，解得a 1＝32，d ＝32，k ＝4，∴首项为32，公差为32，项数为8.解法二：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧S 偶－S 奇＝6，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧kd ＝6，2k －1d ＝212，∴⎩⎨⎧k ＝4，d ＝32.代入S 奇＝k 2(a 1＋a 2k －1)＝24，可得a 1＝32.∴首项为32，公差为32，项数为8.等差数列的奇(偶)项和的性质(1)设等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N *)，则有： ①S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n(S 奇，S 偶分别是数列{a n }的所有奇数项和、偶数项和)．(2)设等差数列{a n }的项数为2n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n是数列的中间项)，S奇－S偶＝a n，S奇S偶＝nn－1.[跟踪训练4] (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.解(1)等差数列{a n}共有1006个奇数项，1005个偶数项，∴S奇＝1006a1＋a20112，S偶＝1005a2＋a20102.∵a1＋a2011＝a2＋a2010，∴S奇S偶＝10061005.(2)前20项中，奇数项和S奇＝13×75＝25，偶数项和S偶＝23×75＝50，又S偶－S奇＝10d，∴d＝50－2510＝2.5.题型五等差数列前n项和的比例问题例5 (1)已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n且SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.[解析](1)解法一：a5b5＝S9T9＝7×9＋29＋3＝6512.解法二：可设S n＝(7n＋2)nt，T n＝(n＋3)nt(t≠0)．则a5＝S5－S4＝65t，b5＝T5－T4＝12t.故a5b5＝65t12t＝6512.(2)由题意，知⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎨⎧S 偶＝192.S 奇＝162.因为S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. [答案] (1)6512(2)见解析 [结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？ 答案6516解析 设S n ＝(7n ＋2)nt ，T n ＝(n ＋3)nt (t ≠0)， ∴a 5＝65t ，b 7＝T 7－T 6＝(7＋3)×7t －(6＋3)×6t ＝16t .∴a 5b 7＝65t 16t ＝6516.解决等差数列前n 项和问题的两种思路(1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n 项和的性质求解．(2)涉及两个等差数列项的比，可以转化为两等差数列前n 项和之比来处理． [跟踪训练5] 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a nb n. 解 ∵等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝dn 22＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，A n B n ＝7n ＋14n ＋27， ∴设A n ＝k (7n 2＋n )，B n ＝k (4n 2＋27n )．当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝7kn 2＋kn －7k (n －1)2－k (n －1)＝k (14n －6)，b n＝B n －B n －1＝k (4n 2＋27n )－k [4(n －1)2＋27(n －1)]＝k (8n ＋23)．∴a n b n ＝14n －68n ＋23，当n ＝1时，也成立．1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．12答案 A 解析 S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．30 B ．25 C ．20 D ．15答案 D解析 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以S 10＋(S 30－S 20)＝2(S 20－S 10)，所以12＋(S 30－17)＝2×(17－12)，解得S 30＝15.3．(多选)设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1>0且S 6＝S 9，则( ) A ．d >0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5>S 6答案 BC解析 因为S n ＝na 1＋n n －12d ，所以S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，又因为a 1>0，S 6＝S 9，所以d <0，二次函数y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 图象的对称轴为x ＝6＋92＝152，所以二次函数图象的开口向下，所以二次函数y ＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，152上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，＋∞上单调递减，所以S 5<S 6，故A ，D 错误；在最靠近152的整数n ＝7或n ＝8时，S n 取得最大值，故C 正确；因为S 7＝S 8，所以a 8＝0，故B 正确．故选BC.4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________.答案 18解析 设第一个人分到的橘子个数为a 1，由题意，得S 5＝5a 1＋5×42×3＝60，解得a 1＝6.则a 5＝a 1＋(5－1)×3＝6＋12＝18，∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，求数列{a n }的通项公式．解 依题意得，S nn＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 因为a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( ) A ．36 B ．18 C ．72 D ．9答案 A解析 由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列，可知S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×－6＋182＝36.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5＝－6，即a 5＝－3，则d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2，∴{a n }是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a 6＝－1，a 7＝1，∴当n ＝6时，S n 取得最小值．3．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A ，B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．4．已知等差数列{a n }和等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且(n ＋1)S n＝(7n ＋23)T n ，则使a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析由题意，可得SnTn＝7n＋23n＋1，则anbn＝2a n2b n＝n a1＋a2n－12n b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1＝14n＋162n＝7n＋8 n ＝7＋8n，经验证，知当n＝1,2,4,8时，anbn为整数，即使anbn为整数的正整数n的个数是4，故选C.5．(多选)等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则下面结论正确的是( ) A．a1>0 B．S9<S6C．a7最大D．(S n)max＝S7答案ABD解析等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则a7>0，a8<0，故d<0.a1＝a7－6d>0，A正确；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，故S9<S6，B正确；因为a6>a7，故C错误；因为a7>0，a8<0，故(S n)max＝S7，D正确．故选ABD.二、填空题6．在等差数列{a n}中，a n＝4n－52，a1＋a2＋…＋a n＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.答案－1解析∵a n＝4n－52，∴a1＝32.设等差数列{a n}的公差为d，则d＝a n＋1－a n＝4.∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋a n＝32n＋n n－12×4＝2n2－12n.∴a＝2，b＝－12，故ab＝－1.7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案2000解析假设开始时将树苗集中放置在第n棵树坑旁边(其中1≤n≤20且n∈N*)，则20名同学往返所走的路程总和为S＝20＋40＋…＋20(n－1)＋20＋40＋…＋20(20－n)＝20[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋…＋(20－n)]＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1＋1n －12＋20－n ＋120－n 2＝20(n 2－21n ＋210)＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋210－2124因为n ∈N *且1≤n ≤20，所以当n ＝10或11时，S 取最小值，且最小值为2000米．8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 7＝28，则a n ＝________，a 1＋a n S n ＋4的最大值是________.答案 n 17解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 7＝7a 1＋21d ＝28，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .S n ＝n a 1＋a n2＝n n ＋12，∴a 1＋a n S n ＋4＝21＋nn ＋5n ＋4，令t ＝n ＋1，则t ≥2且t ∈N ，a 1＋a n S n ＋4＝2tt ＋4t ＋3＝2t ＋12t＋7，由对勾函数的单调性可知，函数y ＝t ＋12t＋7在t ∈(0,23)时单调递减，在t ∈(23，＋∞)时单调递增，当t ＝3或t ＝4时，a 1＋a n S n ＋4取得最大值为17. 三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 解 (1)设{a n }的首项、公差分别为a 1，d .则⎩⎨⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或n ＝4时，前n 项的和取得最小值为－18.10．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .解 (1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝n b 1＋b n2＝n [5＋8－3n ]2＝13n －3n 22，当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋n －2[1＋3n －8]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13n －3n 22，1≤n ≤2，n ∈N *，3n 2－13n ＋282，n ≥3，n ∈N *.B 级：“四能”提升训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)对于(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1， ①n ＝1时，(a 1＋2)2＝4a 1＋5，a 21＝1，而a n >0，则a 1＝1.又(a n ＋1＋2)2＝4S n ＋1＋4(n ＋1)＋1， ②由②－①可得(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2＝4a n ＋1＋4，a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，而a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)∵b n ＝(－1)n ·(2n －1)，∴T n ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n (2n －1)， 当n 为偶数时，T n ＝＝n ； 当n 为奇数时，T n ＝－(2n －1)＝－n . 综上所述，T n ＝(－1)n ·n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上，数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝32a n －112b n －1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k 57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值． 解 (1)由已知，得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式，∴a n ＝n ＋5(n ∈N *)．由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列． 由{b n }的前9项和为153，可得9b1＋b92＝9b5＝153，得b5＝17，又b3＝11，∴{b n}的公差d＝b5－b32＝3.∵b3＝b1＋2d，∴b1＝5.∴b n＝3n＋2(n∈N*)．(2)c n＝32n－16n＋3＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，∴T n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1.∵n增大时，T n增大，∴{T n}是递增数列．∴T n≥T1＝1 3 .若T n>k57对一切n∈N*都成立，只要T1＝13>k57，∴k<19，则k max＝18.。
等差数列的前n项和性质及应用
3、三种题型
数列{an}为等差数列
题型(一)——等差数列前n项和旳有关计算
知三求二
★注意 a a 旳整体代换
1
n
题型(二)——已知Sn，求通项公式an
an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n＞1，n∈N*.
题型(三)——等差数列前n项和Sn旳最值问题
4．求等差数列前n项和旳最值措施 (1)二次函数法：用求二次函数旳最值措施来求其 前n项和旳最值，但要注意n∈N*，结合二次函数 图象旳对称性来拟定n旳值，愈加直观． (2)通项法：当 a1＞0，d＜0，aann≥＋1≤0 0 时，Sn 取 得最大值；当 a1＜0，d＞0，aann≤ ＋1≥0 0 时，Sn 取 得最小值．
例3.一种等差数列旳前10项旳和为100, 前100项旳和为10,则它旳前110项旳和 为 －110 .
例4.两等差数列{an} 、{bn}旳前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
求 a5 和 an . b5 bn
Tn 4n 27
a5 64 an 14n 6 b5 63 bn 8n 23
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中
间两项), 此时有:S偶－S奇= nd
,
S奇 S偶
an an1
2024年10月9日星期三
性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an 0
an1
重难点06两种数列最值求法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)
重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）题型一：单调性法求数列最值一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5711125,26,n n na S a ab a +=-+==，则数列{}n b （ ）A ．有最大项，无最小项B ．有最小项，无最大项C ．既无最大项，又无最小项D ．既有最大项，又有最小项【答案】D【分析】根据等差数列的首项1a ,公差d 列方程,可得1a 和d ,进而可得{}n a ,{}n b 通项,进而根据{}n b 的单调性,即可得最值.【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 由571125,26,S a a =-+=得1115102511216263a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ ,故()1131314n a n n =-+-=-11=13-14n n n a b a n +=+ 当5,n n N ≥∈时, {}n b 单调递减,故5671b b b >>>>,且52b =当15,n n N ≤<∈时, {}n b 单调递减,故12341b b b b >>>>,且14101112b b ==， 故{}n b 有最大值为2,最小值为12 故选:D2．（2022·北京·二模）已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为－3，且31a =，448a b =，则数列{}n n a b （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式,n n a b ，得出n n a b ，确定数列{}n n a b 中奇数项都是负数，偶数能力拓展项都是正数，然后设n n n c a b =，用作差法得出{}n c 的单调性，从而可得数列{}n n a b 的最值． 【详解】13a =-，31a =，则1(3)22d --==，32(1)25n a n n =-+-=-， 4438a b ==，438b =，34118b q b ==-，12q =-，111(1)33()22n n n n b ---⋅=-⨯-=，1(1)3(25)2n n n n n a b --⋅-=，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数， 设13(25)2n n n n n c a b --==，则113(23)3(25)3(72)222n n n n nn n n c c +-----=-=， 3.5n <，即3n ≤时，10n n c c +->，1n n c c +>，4n ≥时，10n n c c +-<，1n n c c +<，即数列{}n c ，从1c 到4c 递增，从4c 往后递减，由于{}n n a b 中奇数项都是负数，偶数项都是正数， 所以{}n n a b 中，44a b 最大， 又334c =，5153164c =>，所以55a b 是最小项． 故选：A ．3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列{}n a 的首项11a =，且4329a a =+，正项等比数列{}n b 的首项112b =，且24332b b =，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n n b S 的最大项的值为（ ） A ．89B ．1C ．98D ．2【答案】C【分析】先求出n a ，的得到n S ，再求出n b ，从而得出n n b S ，然后分析出数列{}n n b S 的单调性，得出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的公比为d ，由4329a a =+，则()112932a a d d =+++ 即()211329d d ++=+，故2d =，则()1121n a a n d n =+-=- 则()2112n n n n S na d -=+⨯=设正项等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由24332b b =，则()2321132b q b q =所以232113222q q ⎛⎫⨯=⨯ ⎪⎝⎭，解得12q =，则1112n n n b b q -==22n n n b S n =，设22=n n n c ，则()221122n n n n c n c n++==当02n <≤时，11n nc c +>，即123c c c << 当3n ≥时，11n nc c +<，即345c c c >>>所以233333928c b S ===最大.故选：C4．（2022·广东·一模）已知正项数列{}n a 满足1*()n n a n n =∈N ，当n a 最大时，n 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】先令1x y x =，两边取对数，再分析ln ()xf x x=的最值即可求解. 【详解】令1xy x =，两边取对数，有1ln ln ln xxy x x==， 令ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，当()0f x '>时，0e x <<；当()0f x '<时，e x >. 所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减. 所以e x =时，()f x 取到最大值，从而y 有最大值，因此，对于1*()nn a n n =∈N ，当2n =时，1222a =；当3n =时，1333a =.而113232>，因此，当n a 最大时，3n =. 故选：B 二、多选题5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a =，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211n n n a n n ++=+B ．211n n n S n +-=+C ．32n a ≤D ．满足2021n S ≤的n 的最大值为2020 【答案】ACD【分析】A 选项，对n a =B 选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消法求和；C 选项，{}n a 是单调递减数列，故132n a a ≤=；D 选项，在B 选项的基础上进行求解即可..【详解】()211n n n a n n +++，故A 正确； 因为()1111111n a n n n n =+=+-++，所以2111111211223111n n n S n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 因为()()()1111112n n n n +>++++，所以1n n a a +>，所以{}n a 是单调递减数列，所以132n a a ≤=，故C 正确； 因为11101n a n n =+->+，所以n S 单调递增，且20202021S <，20212021S >，所以满足2021n S ≤的n 的最大值为2020，故D 正确． 故选：ACD6．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 各项均为正数，120a =，43220a a a +-=，数列{}n a 的前n 项积为n T ，则（ ） A ．数列{}n a 单调递增 B ．数列{}n a 单调递减 C ．当5n =时，n T 最大 D ．当5n =时，n T 最小【答案】BC【分析】由等比数列基本量求得等比数列{}n a 的公比，由0n a >可得数列{}n a 的增减性，然后由1+n nT T 判断数列{}n T 的单调性，从而得到n T 的最值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，43220a a a +-=，222220a q a q a ∴+-=，等比数列{}n a 各项均为正数，20a ∴>，2210q q ∴+-=，12q ∴=， 120a =，1202nn a ⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 单调递减；121n n n T a a a a -=，11211n n n n T a a a a a +-+∴=，111202nn n n T a T ++⎛⎫∴==⨯ ⎪⎝⎭，当14n ≤≤时，1112012n n n n T a T ++⎛⎫==⨯> ⎪⎝⎭；当5n ≥时，1112012nn n n T a T ++⎛⎫==⨯< ⎪⎝⎭；∴数列{}n T 中，从1T 到5T 递增，从5T 开始递减，5n ∴=时，数列{}n T 中5T 最大.故选：BC7．（2021·河北·高三阶段练习）已知d ，n S 分别是等差数列{}n a 的公差及前n 项和，798S S S >>，设12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ）A ．满足0n S >的最小n 值为17B ．89a a <C ．78910a a a a ⋅>⋅D ．8n =时，n T 取得最小值【答案】AC【分析】由已知可得80a <，90a >，890a a +<，公差0d >，利用等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可判断A ；由890a a +<可判断B ；作差结合890a a +<可判断C ；由n T 的单调性以及n b 的符号即可求出n T 的最小值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由题意知：8870a S S =-<，9980S a S =->，97890S S a a -=+<， 选项A 中：()()89116161616022a a a a S ++==<，()117179171702a a S a +==>，所以满足0n S >的最小n 值为17，故选项A 正确；选项B 中：89890a a a a -=-->，即89a a >，故选项B 错误； 选项C 中：由80a <，90a >可知公差0d >，则91078a a a a -=()()()88882a d a d a a d ++--()2882422d da d d a =+=+()8920d a a =+<所以78910a a a a ⋅>⋅，故选项C 正确；选项D 中：当8n ≤时，0n a <，当9n ≥时，0n a >，所以当6n ≤时，0n b <，1n n T T +<；77890b a a a >=，889100b a a a =<，当9n ≥时，0n b >， 所以76T T >，78T T >；当8n ≥时，1n n T T +>，()()867878989108971089890T T b b a a a a a a a a a a a a a a -=+=+=+=+>，所以86T T >，所以当6n =时，n T 取得最小值，故选项D 不正确，故选：AC.8．（2022·江苏·高三专题练习）在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n nA B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ）A ．n n n ABC 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值D ．{}n S 有最小值【答案】ABD【解析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由222124n n n a c b++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bS S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD.【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断. 9．（2021·江苏·盐城中学一模）对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【答案】ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确； B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确； D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----， 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数，当n 为偶数时，11()(0,1)2nn a =-∈，∴10n nnb a a =-<， 当n 为奇数时，11()2nn a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的，即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>，∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值． 三、填空题10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________．【答案】3(,)32-∞ 【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当[)1,2x ∈，[)2,3x ∈，[),,1x n n ∈+时，()f x 的解析式，进而求出21nn a =-，然后，得到存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max272n n λ-⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，进而求出max 272n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即可求解. 【详解】当[)0,1x ∈时，()3f x x =，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，()()312121f x f x x +=+=+，令11t x =+，则11x t =-，所以，当[)11,2t ∈时，有311()2(1)1f t t =-+，所以，当[)1,2x ∈时，3()2(1)1f x x =-+，()()31214(1)3f x f x x +=+=-+，令21t x =+，则21x t =-，[)22,3t ∈，有322()4(2)3f t t =-+，所以，当[)2,3x ∈时，3()4(2)3f x x =-+，同理可得，[)3,4x ∈时，3()8(3)7f x x =-+，根据规律，明显可见当[),1x n n ∈+，()2()21n n n f x x n =-+-，且此时的()f x 必为增函数，又因为n a 为()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值，所以，1231,3,7,21n n a a a a ===⋯=-，所以，若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max 272n n λ-⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，根据该函数的特性，明显可见，当5n =时，有max 273232n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，此时有332λ<故答案为：3(,)32-∞ 11．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为___________.（用数字作答） 【答案】1【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前n 和公式，可判定数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，进而可得到该数列的最大项.【详解】由题，等差数列{}n a 的各项均为正数，所以10a >，0d >， 且()()111n a a n d nd a d =+-=+-， 所以数列{}n a 是递增数列，又()12n n a a n S +⋅=，所以()1111222n n n n S a a a na a nd a d +==+⎡⎤+-⎣⎦， 即nnSna 是递减数列，所以当1n =时，得到数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为1111a a =⨯， 故答案为：112．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an }对任意m ，n ∈N *都满足am +n =am +an ，且a 1=1，若命题“∀n ∈N *，λan ≤2n a +12”为真，则实数λ的最大值为____.【答案】7【分析】先求出{}n a 的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令m =1，则an +1=an +a 1，an +1－an =a 1=1，所以数列{an }为等差数列，首项为1，公差为1，所以an =n ，所以λan ≤2n a +12⇒λn ≤n 2+12⇒λ≤n +12n， 又函数12y x x=+在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增， 当3n =或4n =时，min 12()7n n+= 所以7λ≤ 故答案为：713．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ . 【答案】6或7【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项. 【详解】()71()08nn a n =+>，令()()1172()27817181()8n n n n n a n a n n ++++==⨯≥++，解得6n ≤， 即6n ≤时，1n n a a +≥，当6n >时，1n n a a +<， 所以6a 或7a 最大， 所以6n =或7. 故答案为：6或7.14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1＝32，an ＋2an ＋1＝0，则Sn －1n S 的最大值与最小值的积为________. 【答案】－3572【分析】先计算出公比，求出Sn ，分奇偶性讨论得出Sn －1nS 的最大值与最小值，即可求解. 【详解】因为an ＋2an ＋1＝0，所以112n n a a +=-， 所以等比数列{an }的公比为12-，因为a 1＝32，所以Sn ＝31122111212nn ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.①当n 为奇数时，Sn ＝112n⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Sn 随着n 的增大而减小，则1＜Sn ≤S 1＝32，又Sn －1n S 随着Sn 的增大而增大，故0＜Sn －1n S ≤56； ②当n 为偶数时，Sn ＝112n⎛⎫- ⎪⎝⎭，Sn 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤Sn ＜1，又Sn －1n S 随着Sn 的增大而增大，故712-≤Sn －1n S ＜0.综上，Sn －1n S 的最大值与最小值分别为56，712-.故Sn －1n S 的最大值与最小值的积为567351272⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：－3572. 15．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{}()*n a n N ∈满足11,2,n n n n a n α-+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则21n n n a a a ++的最大值为________．【答案】43【分析】令21n n n n a b a a ++=，n 分为奇偶性，分别求出21n n n a a a ++，通过判断{}n b 的单调性可求出其最大值【详解】令21n n n n a b a a ++=， 当n 为奇数时，21112222n n n a nn n a n n b a a n n ++++++===⋅⋅， 因为32214(4)(2)2124(2)2n n n n n b n n n n b n n ++++++⋅==<++⋅，所以2n n b b +<， 所以当n 为奇数时，数列{}n b 为递减数列， 所以当n 为奇数时，1b 最大，134b =， 当n 为偶数时，11122112242(1)2(1)1n n a n n n a n n n a b a a n n n +-+++++====⋅+++，当n 增大时，n b 在减小， 所以n 为偶数时，2b 最大，243b =， 因为4334>， 所以数列{}n b 的最大值为43，故答案为：4316．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列4021n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项为1，公差为1，则2n n S S -的最大值为__________. 【答案】656【分析】由题意求出n n a S 和，再求出2n S ，令2n n n M S S =-，求出n M 的单调性即可求出n M 的最大值. 【详解】由题意知4021n n a =+，则2012n a n =-，则111201232n nS n ⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 2111201232n S n n ⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 令2111201222n n n nM S S n n n ⎛⎫=-=+++-⎪++⎝⎭，则111111112020232221222n n n n M M n n n n n n +⎡+⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+++--+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()111111120120202122122122221222n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭. 由*n ∈N ，易得当2n ≤时，12010562n n M M +-≥->⨯， 所以321M M M >>；当3n ≥时，12010782n n M M +-≤-<⨯， 所以345M M M >>>…，故n M 的最大值为31113652045626M ⎛⎫=⨯++-= ⎪⎝⎭，即当3n =时，2n n S S -取得最大值，为656. 故答案为 :656. 四、解答题17．（2022·湖北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项之积．．为n b ，且()2*12122n n a a a n n n N b b b +++⋅⋅⋅+=∈． (1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和{}n a 的通项公式；(2)求()12212n n n n n f n b b b b b ++-=+++⋅⋅⋅++的最大值． 【答案】(1)()*nn a n n N b =∈，1n n a n =+(2)56 【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥即项与和的关系方法求得nna b ，再利用1(2)n n n b a b n -=≥求得n a ； （2）再由定义求得n b ，并利用作差法得出()f n 是递减的，从而易得最大值．(1)∵212122n n a a a n n b b b +++⋅⋅⋅+=①，∴()()21121211212n n n n a a an b b b --+-++⋅⋅⋅+=≥-②， 由①②可得()2n n a n n b =≥，由①111ab =也满足上式，∴()*n n a n n N b =∈③， ∴()1112n n a n n b --=-≥④，由③④可得()1121n n n n a b n n b a n --=≥-， 即()1121n nn a n -=≥-，∴()112n n a n n --=≥，∴1n n a n =+． (2)由（1）可知1n na n =+，则121212311n n n b a a a n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++，记()121111221n n n f n b b b n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++， ∴()11112323f n n n n +=++⋅⋅⋅++++， ∴()()1111110222312322f n f n n n n n n +-=+-=-<+++++， ∴()()1f n f n +<，即()f n 单调递减， ∴()f n 的最大值为()121151236f b b =+=+=． 18．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()*N n n a S n -=∈321.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记()()n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩12123，为奇数，为偶数，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，若不等式()n n n n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】(1)13-=n n a (2)⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，.【分析】（1）利用n a 与n S 的关系即可求解；（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.(1)由题意,当1n = 时，1113211a a a -=⇒=, 当2n ≥ 时， 11321n n a S ---=，所以()n n n n a a S S -----=113320， 即 13n n a a -=，∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=故数列{}n a 的通项公式为13-=n n a . (2)()()12123n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，由 (1)，得当n 为偶数时，13n n n n nb a -==， 当n 为奇数时， 11142123n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设数列{}n b 的前2n 项中奇数项的和为n A ，所以n nA n n n ⎛⎫=-+-+⋯+-=⎪-++⎝⎭11111114559434141， 设数列{}n b 的前2n 项中偶数项的和为n B ，n n B n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1321111242333①n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352111112429333②，由-①②两，得()n n n n n n B n ++-⎛⨯⎫⎛⎫=⨯+⋯-⎛⎫=-⨯ ⎪++-⎪⎝⎭⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-21211321111139281111229332331319，整理得()nn n B +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭38927132329，故，()nn n n n n T A B n +⎛⎫=+=+-⋅ ⎪+⎝⎭23892714132329，n nn n n T n ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2241272713294132329.∴ 不等式()nnn n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立, 即不等式()nnλ⎛⎫-<-⋅ ⎪⎝⎭27271132329对一切*N n ∈恒成立,()xf x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭2727132329在R 上是单调增所以，易知n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭2727132329在*N n ∈上为递增数列，∴ 当n 为偶数时，λ⎛⎫<-⋅ ⎪⎝=⎭2272713232956，当n 为奇数时, λ-<-⨯=272713232934， 解得34λ>-，所以λ的取值范围为⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，.19．（2022·天津·高三专题练习）设数列{}n a 的前n 项和2n n S a n =-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若22log 13nn b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求n b 的前n 项和n T 取最小值时n 的值； (3)证明：1214.9ni i a =<∑【答案】(1)21nn a =-(2)5或6(3)证明见解析【分析】（1）利用递推关系，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--，两式相减得121n n a a -=+，再用构造法得：1121n n a a -+=+，即可求出{}n a 的通项公式； （2）先求出{}n b 的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.（3）对21141i i a =-进行放缩得：()111111111()14144134444i i i i i ----=<=⨯--⎛⎫- ⎪⎝⎭，再求111()34i -⨯的前n 项和即可证明此题.()1因为2n n S a n =-，①1n =时，1121S a =-，11;a =2n ≥时，()1121n n S a n --=--②①-②得121n n a a -=+，所以1121n n a a -+=+，112a +=， 所以数列{}1n a +是2为首项，2为公比的等比数列，故1221;n nn n a a +=∴=-(2)2222226log 13log 2113log 23322n nn n b n n a n ⎛⎫⎛⎫-=+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()62n n n b -=，于是当15n <<时，0n b <；60b =；当6n >时，0n b >.所以当5n =或6时，n T 取最小值. (3)()12111112211111111111111441434()()()1121414413434994914444n nni n i i i i i i i i i i a a ----==-⎛⎫- ⎪⎝⎭===<=⨯<⨯==-<---⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑，．故1214.9ni i a =<∑20．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项10a =，()134N n n a a n n *+=+∈. (1)证明：数列{}21n a n ++是等比数列； (2)求数列{}100n a -的前n 项和n S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析(2)304-【分析】（1）由已知等式变形得出()()1211321n n a n a n ++++=++，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）分析数列{}n b 的单调性，确定{}n b 的符号，由此可求得n S 的最小值.(1)解：因为()134N n n a a n n *+=+∈，则()()1211321n n a n a n ++++=++，且133a +=，所以，数列{}21n a n ++是以3为首项，3为公比的等比数列. (2)解：由（1）知，121333n n n a n -++=⋅=，则321n n a n =--.所以，10032101nn n b a n =-=--，所以，113322320n n nn n b b ++-=--=⋅->，故数列{}n b 为递增数列，1100b =-，296b =-，380b =-，428b =-，5132b =，，故当14n ≤≤时，0n b <；当5n ≥时，0n b >. 所以，n S 的最小值为4304S =-.21．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*21N n na S n n=+∈ (1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)(,2][7,)m ∈-∞-⋃+∞.【分析】（1）利用,n n a S 关系可得1(2)(1)1n n n a n a --=--，即有1(1)1n n n a na +-=-，将两式相减并整理有112n n n a a a +-+=，即可证结论.（2）由（1）结论及题设可得143n b n =-，令21n n n c T T +=-、1231n n n c T T +++-=，应用作差法比较它们的大小，即可确定21}{n n T T +-的单调性并求其最大值，结合恒成立求m 的取值范围． (1)由题设，(1)2n n n a S +=，则11(1)(1)2n n n a S ---+=(2)n ≥， 所以111(1)(1)(1)(1)1222n n n n n n n n a n a na n a a S S ---+-+--+=-=-=，整理得1(2)(1)1n n n a n a --=--，则1(1)1n n n a na +-=-，所以11(1)(2)1(1)1n n n n n a n a na n a +----=---+，即11(1)()2(1)n n n n a a n a +--+=-，10n -≠， 所以112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 为等差数列，得证.(2)由1121S a =+，可得11a =，又25a =，结合（1）结论知：公差214d a a =-=， 所以43n a n =-，故1143n n b a n ==-，则21111 (414581)n n n n n T n c T +-=++++++=， 所以123111111...4549818589n n n n n c T T n n n +++-=+++++++=+++，且*N n ∈， 所以111140310858941(41)(85)(89)n n c c n n n n n n n +++-=-<++++++-=，即1n n c c +<， 所以，在[1,)n ∈+∞且*N n ∈上21n n T T +-递减，则max 32111114)594(5n n T T T T +-=-=+=，要使()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，即2514(7)(2)0m m m m --=-+≥，所以(,2][7,)m ∈-∞-⋃+∞. 题型二：不等法求数列最值 一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知曲线()23e xy x x =+在点()0,0处的切线为l ，数列{}n a 的首项为1，点()()1,n n a a n N *+∈为切线l 上一点，则数列6nna ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为（ ）A ．623-B ．523-C ．613-D ．613 【答案】C【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则13n n a a +=，从而求出{}n a 的通项公式，再构造不等式组求出数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项；【详解】因为()23e x y x x =+，所以()()()22321e 3e 3e 31x x xx x x x y x =+++++'=，所以曲线()23e xy x x =+在点()0,0处的切线的斜率03x k y ='==.所以切线l 的方程为3y x =. 所以13n n a a +=.所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以1663n n n na ---=. 所以由11265336733n nn n n nn n-----⎧≤⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩，解得131522n ≤≤.因为n *∈N ，所以7n =.所以数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为6667133-=-.故选：C.2．（2021·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足14a =，*1144(2,N )n n n a a n n a ---=≥∈，若124(6)na n nb na -=⋅-，且存在*N n ∈，使得2460n b m m +-≥成立，则实数m 的取值范围是（ ） A．⎣⎦ B．1⎡⎣C ．10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据题意，令12n n c a =-，进而证明数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，故可得22n n a n+=，242n nn b -=，在结合题意将问题转化为()2max 460n b m m +-≥，再求数列{}n b 的最大值代入解一元二次不等式即可得答案. 【详解】()*11442,n n n a a n n a ---=∈N ，()()*11412,n n n a a a n n --∴=-∈N ． 令12n nc a =-， 111111122422n n n n n n n n n n a a c c a a a a a a ------∴-=-=----+ ()11142241n n n n n a a a a a ----==--+-()*1112,222n n n n a a n n a a ---=-≥∈-N ，又111122c a ==--， ∴数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，11(1)222n n c n ∴=---=-，即122n n a =--， 22n n a n +∴=，()1224462na n n nn b na --∴=⋅-= ∵存在*n ∈N ，使得2460n b m m +-≥成立，()2max 460n b m m ∴+-．令11,,n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩得112426,222422,22n n nn n n n n -+--⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩则34n ≤≤，*n ∈N ，3n ∴=或4n =．()34max 14n b b b ∴===， 2160m m ∴+-≥，即2610m m --≤，解得1132m -≤≤，∴实数m 的取值范围是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：D ．3．（2021·浙江·高三期中）已知数列{}n a 满足11a =，)*1n a n N +=∈，则（ ） A ．2021512a << B ．20211219a << C ．20211926a << D ．20212633a <<【答案】B【分析】由题意化简可得1n n a a +>，根据3311n n a a +->，利用累加法可得n a 2211n n na a a +-=，利用累加法计算化简可得13132n an +<n a <2021n =计算即可.【详解】解：显然，对任意*n N ∈，0n a >．1n a +=化简可得22110n n na a a +-=>，所以1n n a a +>，则()3322111nn n n n a a a a a ++->-=， 累加可得3311n a a n->-，所以n a又2211n n n a a a +-=，所以()1221311122n n n n n na a a a a a n ++-=<<+，则()()()111121n n n n n a a a a a a a a ++--=-+-++-()()2222223333331111131112221311332n n n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥<+++=++++⎢⎥⎢⎥--⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 注意到()()()()11332211233333111311k k k k k k kk k --<=--+-+-，所以()1133222333311113311222231331n n n n ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+++<+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭-⨯⎢⎥⎣⎦，则13132n a n +<， 所以13132n n a a n +<<n a <当2021n =n a <<1219n a <<. 故选：B4．（2020·江西·鹰潭一中高三期中（文））数列{}n a 通项公式为：2202122021n n a n +=--，则{}n a 中的最大项为（ ）A ．第1项B ．第1010项C ．第1011项D ．第1012项【答案】B【分析】数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n n a a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得1010n =，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n n a a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即220212202112201922023n n n n +--+--且220232201912202122021n n n n +--+--，n Z ∈，解得1010n =，故最大项为第1010项， 故选：B ． 二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，an ＝(n ＋1)7()8n ，则数列{an }中的最大项可以是（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】AB【分析】假设an 最大，则有11,,n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩解不等式组，可求出n 的范围，从而可得答案【详解】假设an 最大，则有11,,n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩即177(1)()(2)()88n n n n +++≥且177(1)()()88n n n n -+≥，所以7(1)(2)()87(1)()8n n n n⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即6≤n ≤7，所以最大项为第6项和第7项．故选：AB6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()*,01n n a n k n N k =⋅∈<<，下列命题正确的有（ ）A ．当12k =时，数列{}n a 为递减数列 B ．当45k =时，数列{}n a 一定有最大项 C ．当102k <<时，数列{}n a 为递减数列 D ．当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项 【答案】BCD 【分析】分别代入12k =和45k =计算判断AB 选项；再利用放缩法计算判断C 选项；按k 的范围分类，可判断D ；【详解】当12k =时，1212a a ==，知A 错误；当45k =时，1415n n a n a n ++=⋅，当4n <，11n n a a +>，4n >，11n n a a +<， 所以可判断{}n a 一定有最大项，B 正确； 当102k <<时，11112n n a n n k a n n +++=<≤，所以数列{}n a 为递减数列，C 正确； 当1k k -为正整数时，112k >≥，当12k =时，1234a a a a =>>>，当112k >>时，令*1k m N k =∈-， 解得1mk m =+，则()()111n n m n a a m m ++=+，当n m =时，1n n a a +=， 结合B ，数列{}n a 必有两项相等的最大项，故D 正确； 故选：BCD.7．（2020·河北·沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，22n n n S a a =+，著不等式()4111n nn S ka +≥-对任意的*n N ∈恒成立，则下列结论正确的为（ ） A ．n a n = B ．()12n n n S +=C ．k 的最大值为232D ．k 的最小值为15-【答案】ABC【分析】先用两式相减的方法消去n S ，求出n a ，判断A 选项；再代入已知求出n S ，判断B 选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C ，D 选项.【详解】依题意得当1n =时，21112a a a =+，由于20n a >，解得11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，因此有：22112n n n n n a a a a a --=-+-；整理得：11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差1d =的等差数列， 因此n a n =，故A 正确； ()12n n n S +=，故B 正确； 由()4111n nn S ka +≥-得：()11221nn k n++≥-， 令1122n c n n=++，则n 取2时，n c 取最小值，所以 ①当n 为偶数时，1123222n n ++≥，232k ∴≤， ②当n 为奇数时，1135223n n ++≥， 353k ∴-≤，353k ∴≥-，352332k ∴-≤≤故C 正确，D 错误.所以A 、B 、C 正确；D 错误. 故选：ABC【点睛】知识点点睛：（1）已知n S 求n a ，利用前n 项和n S 与通项公式n a 的关系()()1*112,n nn S n a S S n n N -⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩，此时一定要注意分类讨论.（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意n 只能取正整数. 三、填空题8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知数列{}n a 满足14a =，()1222nn n a a n -=+≥，若不等式()2231n n n a λ--<-对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是___________.【答案】5,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得n a ，由参变量分离法可得出2312n n λ-->，利用数列的单调性求得数列232n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项的值，可得出关于实数λ的不等式，进而可求得实数λ的取值范围.【详解】当2n ≥时，在等式122nn n a a -=+两边同时除以2n 可得11122n n n n a a ---=且122a =， 故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，以1为公差的等差数列，则2112n n a n n =+-=+，()12nna n ∴=+⋅， 因为()()()2123231n a n n n n λ->--=-+对任意*n ∈N 恒成立，即2312nn λ-->， 令232n n n b -=，则()()1111212232123522222n nn n n n n n n n nb b ++++-------=-==. 当12n ≤≤时，1n n b b +>，即123b b b <<； 当3n ≥时， 1n n b b +<，即345>>>b b b .故数列{}n b 中的最大项为333328b ==，318λ∴->，解得58λ<. 故答案为：5,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.9．（2021·湖北·高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项119a =-，其前n 项和为n S ，且满足()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=，则当n S 取得最小值时，n =___________.【答案】5【分析】首先根据()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=得到11111111n n a n a n ++=++，令111n n b a n=+得到2n b =，从而得到211n na n =-，再求当n S 取得最小值时n 的值即可.【详解】由题意，()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=可得111111111(1)1n n a a n n n n +-==-++，11111111n n a n a n++=++. 令111n n b a n=+，则1n n b b +=，即{}n b 是常数列， 所以111111112n n b b a n a =+==+=，故211n n a n =-. 当05n <≤时，0n a <；当6n ≥时，0n a >. 故当5n =时，n S 取得最小值. 故答案为：5 四、解答题10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足11a =，且()*123n a a a a n n N ⋅⋅⋅⋅⋅=∈⋅．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()11,221,1n nn a n n n b n n ⎧-⋅+≥⎪=⎨⨯⎪=⎩，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()32n S n λ≥-+恒成立，求λ的取值范围．【答案】(1)(),211,1n nn a n n ⎧≥⎪=-⎨⎪=⎩(2)23λ≥ 【分析】（1）当2n ≥时，有12211n n a a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-，两式作商求得,21n na n n =≥-，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得到12n nn b +=，结合乘公比错位相减法求得111322nn n n S -+=--，进而求得()322n n n λ+≥+⋅，再根据()()322n n g n n +=+⋅的单调性，即可求解.(1)解：数列{}n a 满足11a =，且()*123n a a a a n n N ⋅⋅⋅⋅⋅=∈⋅，当2n ≥时，有12211n n a a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-， 两式作商，可得,21n na n n =≥-，又由11a =，得,211,1n nn a n n ⎧≥⎪=-⎨⎪=⎩. (2)解：当2n ≥时，()()111122n n nnn n n n b n -⋅++-==⋅，当1n =时，111212b a ===，所以对任意的*n N ∈，均有12nn n b +=， 则12231222n nn S +=++⋅⋅⋅+， 可得2312312222n n S n ++=++⋅⋅⋅+②， 两式相减可得123111111421111131111122222222212n n n n n n n n n S n -+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=+-=---，求得111322n n n n S -+=--，由()32nS n λ≥-+，可得()322n n n λ+≥+⋅， 令()()322n n g n n +=+⋅，则()()()()()()()124132********n n n g n n n n n g n n n ++++⋅++==<+++⋅， 因为()0g n >，所以()()1g n g n +<，即随着n 增大，()g n 减小， 所以()()max 213g n g λ≥==． 11．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足()*121224N 2n n n a a na n -+++=-∈， (1)求3a 的值；(2)求数列{}n a 前n 项和n T ； (3)令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+． 【答案】(1)14；(2)1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)证明见解析.【分析】(1)根据已知条件，分别取n ＝1，2，3即可依次算出123,,a a a ； (2)用作差法求出{}n a 的通项公式，再求其前n 项和； (3)求123,,S S S ，猜想n S ，用数学归纳法证明n S ；用导数证明()ln 1(0)1x x x x<+>+，令1x n =，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，用这个不等式对n S 放缩即可得证. (1)依题()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭，314a ∴=； (2)依题当2n ≥时，()()121211212122144222n n n n n n n n nna a a na a a n a ----++⎛⎫⎡⎤=++-++-=---= ⎪⎣⎦⎝⎭， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又1012412a +=-=也适合此式， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-； (3)111b a ==，1111S b T ∴==⨯，1221122T b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ()1212121221111112222T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2323232331111111111123232323T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，猜想：1112n n S T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭① 下面用数学归纳法证明： (i)当n ＝1，2时，已证明①成立；(ii)假设当n k =时，①成立，即1112k k S T k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.从而1111111112121k k k k k k T S S b T a k k k +++⎛⎫⎛⎫=+=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()111121kk T a k +⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭111121k T k +⎛⎫=+++⎪+⎝⎭. 故①成立. 先证不等式()ln 1(0)1xx x x<+>+ ② 令()()ln 11xg x x x=+-+， 则()22110(0)1(1)(1)x g x x x x x '=-=>>+++.。