数学3.3.2基本不等式与最大(小)值教案(北师大必修5)
3.3.2基本不等式与最大(小)值 教案(北师大版必修五)
本例中，如何求 ab 的最大值？ 【解】 法一 1 1 a＋2b2 1 ＝ ， ab＝2a· (2b)≤2· 8 2
1 a＝2 a＋2b＝1 1 当且仅当 ，即 时，ab 取得最大值8. 1 a＝2b b ＝ 4 法二 ∵a＋2b＝1，∴1＝a＋2b≥2 a· （2b）， 1 2 2 1 ，∴ab≤8，
1 1 当且仅当 x＝1－x，即 x＝ 时，f(x)有最大值 . 2 4 已知 x、y 都是正数 和定积 最大 积定和 s2 若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值 4
最小
若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，x＋y 取得最小值 2 p
(对应学生用书第 59 页)
法二
1 1 ∵0<x<3，∴3－x>0.
1 x＋3－x 1 ∴y＝x(1－3x)＝3· x(3－x)≤3· ( 2 )2 1 ＝12， 1 1 当且仅当 x＝3－x，即 x＝6时，等号成立． 1 1 ∴当 x＝6时，函数取得最大值12.
1．应用基本不等式的条件： “一正、二定、三相等” ，在求最值时必须同时 具备，解答本题易漏掉等号成立的条件． 2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一 定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项” 、 “添项” 、 “凑系数” 、 “常值代换”等．
4 当且仅当 x＝x 即 x＝2 时等号成立． x2＋5x＋4 故 y＝ (x>0)的最小值为 9. x (2)法一 1 ∵0<x<3，∴1－3x>0.
1 ∴y＝x(1－3x)＝ · 3x(1－3x)≤ 3 1 3x＋（1－3x） 2 1 ] ＝12. 3[ 2 1 当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝6时，等号成立． 1 1 ∴当 x＝6时，函数取得最大值12.
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 基本不等式与最大(小)值学案(含解析)北师大版必修5-北师大版
3．2 基本不等式与最大(小)值知识点 基本不等式与最大(小)值[填一填]已知x ，y 都是正数，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当且仅当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .[答一答]均值不等式可以解决什么问题？提示：均值不等式可以解决定积、定和问题．使用均值不等式解决问题时，常见的变形 常用的变形公式有：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(当且仅当a ＝b 时取等号)；(2)a ＋1a ≥2(a >0)(当且仅当a ＝1时取等号)；a ＋1a≤－2(a <0)(当且仅当a ＝－1时取等号)；(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)(当且仅当a ＝b 时取等号)； (4)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)(当且仅当a ＝b 时取等号)．类型一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)若x >0，求函数f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)若x <0，求函数f (x )＝12x＋3x 的最大值．【思路探究】 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立．三个条件缺一不可．对(1)，由x >0，可得12x >0,3x >0.又因为12x ·3x ＝36为定值，且12x ＝3x (x >0)时，x ＝2，即等号成立，从而可利用基本不等式求最值．对(2)，由x <0，得12x <0,3x <0，所以－12x >0，－3x >0，所以对⎝⎛⎭⎫－12x ＋(－3x )可利用基本不等式求最值．【解】 (1)因为x >0，所以12x >0,3x >0，所以f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝236＝12. 当且仅当12x ＝3x ，即x ＝2时，等号成立．所以当x ＝2时，f (x )取得最小值12. (2)因为x <0，所以－x >0， 所以－f (x )＝⎝⎛⎭⎫－12x ＋(－3x )≥2⎝⎛⎭⎫－12x ·(－3x )＝12，所以f (x )≤－12.当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时，等号成立．所以当x ＝－2时，f (x )取得最大值－12.规律方法 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正二定三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解．设x >0，求y ＝2－x －4x 的最大值．解：∵x >0，∴x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－4＝－2.当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立，y 取最大值－2.【例2】 (1)求函数y ＝x (5－2x )(0<x <2)的最大值； (2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值；(3)已知x >0，求函数y ＝2xx 2＋4(x >0)的最大值．【思路探究】 (1)中要注意构造2x ＋(5－2x )为定值；(2)中要注意挖掘出(x －1)·9x －1为定值．【解】 (1)y ＝x (5－2x ) ＝12·2x ·(5－2x )． ∵0<x <2，∴0<2x <4,1<5－2x <5， ∴y ≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(5－2x )22＝12×254＝258. 当且仅当2x ＝5－2x ， 即x ＝54时取等号，故y max ＝258.(2)y ＝x 2＋8x －1＝(x 2－1)＋9x －1＝x －1＋9x －1＋2，∵x >1，∴x －1>0，∴y ≥2(x －1)·9x －1＋2＝2×3＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时取等号．故y min ＝8.(3)∵x >0，∴y ＝2x ＋4x .又x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，∴y ≤24＝12.故当x ＝2时，y ＝2x x 2＋4(x >0)取得最大值12. 规律方法 运用基本不等式求函数的最值，主要是在定义域中构造出“和为定值”或“积为定值”，同时注意检验是否满足取等号的条件．(1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为6. (2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是116.解析：(1)因为x >2，所以x －2>0， 所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116.类型二 利用基本不等式比较大小【例3】 已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．【思路探究】 a ，b ，c 是非负数，两个待比较的式子的结构特征符合基本不等式的变形式：a ＋b2≤a 2＋b 22，所以借助它就可以比较大小． 【解】 ∵a 2＋b 22≥a ＋b2， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 同理可得b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]＝2(a ＋b ＋c )， 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．规律方法 利用基本不等式或其变形式比较大小时，一般有两种思路： (1)确定每个式子的范围，用不等式的传递性比较；(2)观察待比较式子的结构特征，合理选取基本不等式或其变形式，利用不等式的性质比较．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是(a －b )(b －c )≤a －c2.解析：观察题中两式的特点，发现(a －b )＋(b －c )恰好是a －c . ∵a －b >0，b －c >0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c2，当且仅当a －b ＝b －c 即2b ＝a ＋c 时，等号成立， ∴(a －b )(b －c )≤a －c 2. 类型三 利用基本不等式解决有关实际应用问题【例4】 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元(50<x ≤80)时，每天销售的件数为p ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？【思路探究】 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×(销售价格－进货价格)．再应用基本不等式解决最值问题．【解】 解法一：由题意知利润 S ＝(x －50)·105(x －40)2＝(x －50)·105(x －50)2＋20(x －50)＋100＝105(x －50)＋100(x －50)＋20.∵x －50>0，∴(x －50)＋100(x －50)≥20.∴S ≤10520＋20＝2 500，当且仅当x －50＝100x －50，即x ＝60或x ＝40(不合题意舍去)，即x ＝60时，取等号． 解法二：由题意知利润 S ＝(x －50)·105(x －40)2令x －50＝t ，x ＝t ＋50(t >0)， 则S ＝105t (t ＋10)2＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t ＋20≤10520＋20＝2 500.当且仅当t ＝100t，即t ＝10时取等号，此时x ＝60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多． 规律方法 1.解实际应用问题要遵循以下几点：(1)在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题(纯数学问题)；(3)在定义域内(使实际问题有意义的自变量取值范围)求出函数的最大值、最小值； (4)回到实际问题中，写出正确答案．2．本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解．若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑成基本不等式的形式，去求最值．现有一批货物用轮船从甲地运往乙地，甲地与乙地的距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元．已知轮船速度为20海里/小时，全程运输成本为30 000元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/小时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？解：(1)由题意得，每小时燃料费用为kx 2(0<x ≤45)，全程所用时间为500x 小时．则全程运输成本y ＝kx 2·500x ＋960·500x，x ∈(0,45]，当x ＝20时，y ＝30 000得k ＝0.6， 故所求的函数为y ＝300(x ＋1 600x)，x ∈(0,45]． (2)y ＝300(x ＋1 600x)≥300×2x ·1 600x＝24 000，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小．【例5】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其余各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若使每间虎笼的面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【思路探究】 设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则问题(1)是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值；而问题(2)则是在xy ＝24的前提下求4x ＋6y 的最小值．【解】 (1)设每间虎笼的长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，解得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网的总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a >0，b >0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.——多维探究系列—— 利用均值不等式解恒成立问题不等式的恒成立问题在高中数学中非常重要，在此类问题的解决中，均值不等式和不等式的传递性是最重要的一种方法．【例6】 已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．【规范解答】 原不等式化为1＋a ＋y x ＋axy ≥9，而1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ，(x >0，y >0)当且仅当y ＝ax 时取等号， ∴1＋a ＋2a ≥9，∴a ＋2a －8≥0， ∴a ≥2，即a ≥4，∴a min ＝4.若对任意x >0，ax 2＋(4a －1)x ＋a ≥0恒成立，则a 的取值范围是[16，＋∞)．解析：将原不等式等价转化x x 2＋4x ＋1≤a 恒成立，x >0时，x x 2＋4x ＋1＝1x ＋1x＋4≤12＋4＝16，∴a ≥16.一、选择题1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( C )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1解析：y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．2．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：因为1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ＝2( 1ab ＋ab )≥4，当且仅当1a ＝1b，且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，取“＝”号．二、填空题3．当x >0时，函数f (x )＝x ＋1x 的最小值为2.解析：∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x， 即x ＝1时，等号成立．4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1ab 的最小值为4.解析：∵3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1，∴2ab ≤1，∴ab ≤12，∴ab ≤14，∴1ab ≥4.三、解答题5．已知x <0，求函数f (x )＝x ＋9x ＋1的最大值．解：∵x <0，∴－x >0. ∴－x ＋9－x≥2(－x )·9－x＝6，当且仅当－x＝9，－x即x＝－3时，等号成立．∴x＋9x≤－6. ∴f(x)＝x＋9＋1≤－6＋1＝－5.x∴f(x)的最大值是－5.。
高中数学 第3章 不等式 3.2 基本不等式与最大(小)值讲义教案 北师大版必修5
学习资料3．2 基本不等式与最大（小）值学习目标核心素养1．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．(重点）2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点) 1．通过利用基本不等式求解最值问题，提升学生的逻辑素养．2．利用基本不等式解决实际问题，提升学生的数学建模素养．不等式与最大(小）值阅读教材P90～P91“例2"以上部分，完成下列问题．当x,y都为正数时，下面的命题成立(1）若x＋y＝s(和为定值），则当x＝y时,积xy取得最大值错误!；（2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2错误!．思考：(1) 函数y＝x＋错误!的最小值是2吗?［提示］不是，只有当x＞0时，才有x＋错误!≥2,当x＜0时,没有最小值．(2)设a＞0,2a＋错误!取得最小值时，a的值是什么？[提示]2a＋错误!≥2错误!＝2错误!，当且仅当2a＝错误!,即a＝错误!时，取得最小值．1．下列函数中，最小值为4的函数是(）A．y＝x＋错误!B．y＝sin x＋错误!（0＜x＜π)C．y＝e x＋4e－x D．y＝log3x＋log x81C[A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sin x＝2，D中x与1的关系不确定，选C．]2．当x〈0时，x＋错误!的最大值为．－6［因为x<0，所以x＋错误!＝－(－x）＋错误!≤－2错误!＝－6，当且仅当(－x)＝错误!，即x＝－3时等号成立．]3．当x∈（0，1）时，x(1－x)的最大值为．错误!［因为x∈（0，1），所以1－x＞0，故x(1－x)≤错误!错误!＝错误!，当x＝1－x,即x＝错误!时等号成立．］4．若点A(－2，－1）在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn〉0，则错误!＋错误!的最小值为．8［由已知点A在直线mx＋ny＋1＝0上所以2m＋n＝1，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝4＋错误!≥8．]利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x〉2，则y＝x＋4x－2的最小值为．（2)若0<x<错误!,则函数y＝错误!x（1－2x）的最大值是．（1)6(2）错误![(1)因为x〉2，所以x－2〉0，所以y＝x＋错误!＝x－2＋错误!＋2≥2错误!＋2＝6，当且仅当x－2＝错误!,即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋错误!的最小值为6．(2)因为0〈x<错误!,所以1－2x>0，所以y＝错误!x·（1－2x)＝错误!×2x×（1－2x）≤错误!错误!2＝错误!×错误!＝错误!，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝错误!时,y max＝错误!．］在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.错误!1．（1）已知t>0,则函数y＝错误!的最小值为．(2)设0〈x≤2,则函数ƒ(x)＝错误!的最大值为．(1)－2(2）2错误![(1)依题意得y＝t＋错误!－4≥2错误!－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝错误!（t>0）的最小值是－2．（2)因为0<x≤2，所以0〈2x≤4，8－2x≥4>0，故ƒ(x)＝错误!＝错误!＝错误!·错误!≤错误!×错误!＝2错误!，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号，所以当x＝2时,ƒ(x）＝错误!的最大值为2错误!．]利用基本不等式解实际应用题【例2】 如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？［解] 法一：设矩形广告牌的高为x cm ，宽为y cm,则每栏的高和宽分别为（x －20) cm ，错误!cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20）×错误!＝18 000,由此得y ＝错误!＋25，所以广告牌的面积S ＝xy ＝x 错误!＝错误!＋25x ，整理得S ＝错误!＋25（x －20）＋18 500．因为x －20>0，所以S ≥2错误!＋18 500＝24 500．当且仅当360 000x －20＝25（x －20）时等号成立， 此时有(x －20)2＝14 400,解得x ＝140，代入y ＝错误!＋25，得y ＝175．即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500．故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．法二：设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a 〉0，b 〉0．易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25）cm ．广告牌的面积S ＝（a ＋20)(2b ＋25）＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋2错误!＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝错误!a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75．即当a ＝120,b ＝75时，S 取得最小值24 500．故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值;(4)写出正确答案。
高二数学北师大版必修5教学教案3-3-2基本不等式与最大(小)值 (3) Word版含解析
变式：求 的值域
4.换元法变式：
5.双勾函数（均值不等式等号条件不成立时应用双勾函数的单调性）
例4.已知 求函数 的最小值.
6.整体代换例5.已知 且 ，求 的最小值.
变式1：已知 且 求 的最小值
变式2：（99全国）已知 则 的取值范围是.
理论依据：
（1）“积定和最小”：如果积 是定值 ,那么当 时，和 有最小值
（2）“和定积最大”：如果和 是定值 ,那么当 时，积 有最大值
注：基本不等式成立条件：一正、二定、三相等.
二、解题方法技巧（应用）
1.凑项：例1.已知 求函数 的最大值.
2.凑系数：例2.已知 求函数 的最大值.
变式：（07上海）若 ，且 则 的最大值为.
变式3：上式改为求 的取值范围
变式4：（201Βιβλιοθήκη 重庆）若 求 的最小值.变式5：（2011浙江文）若实数 满足 则 的最大值是.
（2011浙江理）设 为实数，若 则 的最大值是.
7.多元式巧组合
例6.（06重庆理）若 且 则 的最小值为.
变式（2010四川文）设 则 的最小值是.
课时小结：
1.理解用基本不等式求最值的条件“一正，二定，三取等”
2.掌握求最值的方法技巧，同时学会归纳总结；
课时作业：
完成本节课后作业，并选做近年高考题.
教学反思：
2.通过学生的积极参与，达到合作共赢的目的。
教学重点
利用基本不等式求最值
教学难点
基本不等式解题技巧的活用
教学方法
讲练结合
教学流程：
一、基础内容回顾
1.基本不等式若 ， .
高中数学第三章不等式3 2基本不等式与最大小值学案含解析北师大版必修5
3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标1.理解与两正数和积相关的命题.(数学抽象)2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理)3.会用基本不等式解决简单的实际问题.(数学建模、逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.如何记忆利用基本不等式求最值时是最大还是最小?2.利用基本不等式求最值时要满足什么条件?利用基本不等式求最值大前提条件结论三个注意点x,y均为正数若x+y=s,则当x=y 时积xy取得最大值一正:x,y必须是正数;二定:和“x+y”为定值或积“xy”为定值;三相等:等号是否能够取到若xy=p,则当x=y时和x+y取得最小值2在利用基本不等式求两个数或代数式的最值时必须注意的三个条件是什么?提示:①x,y必须是正数.②求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值.③等号成立的条件是否满足.综上,解决问题时要注意“一正、二定、三相等”.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于任意实数x,y,若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2. ( )(2)若两个正数的积是定值p,则这两个正数的和一定有最小值2. ( )(3)因为sin x·=1(x∈(0,2π))为定值,所以y=sin x+有最小值. ( )(4)若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集为M,则必有2∈M. ( )提示:(1)×.条件中没有说明x,y∈(0,+∞),故错误.(2)×.等号不一定能取到,故错误.(3)×.sin x可正可负,故不满足两数都为正数,故错误.(4)√.把x=2代入不等式可得(1+k2)×2≤k4+4,即k4-2k2+2≥0,因为k4-2k2+2=+1≥1恒成立,故k4-2k2+2≥0成立.2.若x>0,则x+的最小值为( )A.2B.3C.2D.4〖解析〗选D.因为x>0,所以x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以x+的最小值为4.3.(教材二次开发:例题改编)(2020·大连高一检测)设a,b是实数且a+2b=3,则2a+4b的最小值为.〖解析〗根据题意,有2a+4b≥2=2=2=2=4,当且仅当2a=4b时取最小值4.答案:4关键能力·合作学习类型一利用基本不等式求最值(逻辑推理)1.(2020·银川高一检测)已知x>2,y=x+,则y的最小值为( )A.2B.1C.4D.32.已知函数f(x)=x+(x<0),则下列结论正确的是 ( )A.f有最小值4B.f有最大值4C.f有最小值-4D.f有最大值-43.函数y=log2(x>1)的最小值为.〖解析〗1.选C.因为x>2,y=x+,所以y=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.2.选D.由题意,因为x<0,可得-x>0,则f(x)=x+=-≤-2=-4,当且仅当-x=,即x=-2时取等号,所以f(x)的最大值为-4.3.因为x++5=(x-1)++6≥2+6=8,所以log2≥3,所以y min=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.答案:3利用基本不等式求最值的两种形式及相应的策略(1)形式一:积定和最小.当a,b都为正数,且ab为定值时,有a+b≥2(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b 有最小值,即“积定和最小”.(2)形式二:和定积最大.当a,b都为正数,且a+b为定值时,有ab≤(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时ab 有最大值,即“和定积最大”.以上两类问题可简称为“积大和小”问题.〖补偿训练〗已知t>0,则函数y=的最小值为.〖解析〗y==t+-4≥2-4=-2,当且仅当t=,即t=1或t=-1(舍)时,等号成立,所以y的最小值为-2.答案:-2类型二利用基本不等式求范围(逻辑推理)角度1 一般求范围问题〖典例〗已知x>0,y>0,且满足+=2,则8x+y的取值范围是.〖思路导引〗利用已知条件,使代数式8x+y能利用基本不等式求最值.〖解析〗因为x>0,y>0,+=2,则+=1,所以8x+y=(8x+y)=5++≥5+2=9.当且仅当=⇒y=4x⇒x=,y=3时,等号成立.所以,8x+y的取值范围是〖9,+∞).答案:〖9,+∞)已知a,b为正实数,向量m=(a,a-4),向量n=(b,1-b),若m∥n,则a+b的取值范围为. 〖解析〗因为m∥n,所以a(1-b)-b(a-4)=0,所以a+4b=2ab,所以+=1,且a,b为正实数,所以a+b==++2+≥2+=,当且仅当=时取“=”.所以a+b的取值范围为.答案:角度2 含参数不等式的求参数问题〖典例〗不等式|x2-3x|+x2+32≥kx恒成立,则k的取值范围是.〖思路导引〗先分离参数,再利用基本不等式求最值,最后得出范围.〖解析〗当x∈〖1,9〗时,不等式|x2-3x|+x2+32≥kx等价为≥k,设f(x)=,当1≤x≤3时,f(x)=3+在〖1,3〗上单减,所以f(x)min=f(3)=,当3<x≤9时,f(x)=2x+-3≥2·-3=13,当且仅当2x=,即x=4时成立,所以f(x)的最小值为13.所以k≤13.综上所述,k的取值范围是(-∞,13〗.答案:(-∞,13〗含有参数的不等式问题解题策略(1)对于求不等式成立时的参数范围问题,在条件简单的情况下把参数分离出来,使不等式一端是参数,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为求函数的最大值或最小值.如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,就不要使用分离参数法.(2)一般地,a≥f(x)恒成立时,应有a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立时,应有a≤f(x)min.一般地,a≥f(x)能成立时,应有a≥f(x)min,a≤f(x)能成立时,应有a≤f(x)max.1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )A.〖0,2〗B.〖-2,0〗C.〖-2,+∞)D.(-∞,-2〗〖解析〗选D.因为2x+2y≥2,2x+2y=1,所以2≤1,所以2x+y ≤=2-2,所以x+y≤-2,即(x+y)∈(-∞,-2〗.2.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则实数m的最大值为( )A.8B.7C.6D.5〖解析〗选C.由已知,可得6=1,所以2a+b=6·(2a+b)=6≥6×(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,所以9m≤54,即m≤6.类型三基本不等式的实际应用(数学建模、数学运算)〖典例〗某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 四步内容理解题意(1)利用总收入≥原收入列关系式求解;(2)销售收入≥原收入+总投入.思路探求(1)设每件定价为t元,将实际问题转化为数学问题,即可解决;(2)分离参数求最值即可.续表书写表达(1)设每件定价为t元,依题意,有t≥25×8,整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解.因为+x≥2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a≥10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.题后反思正确列出不等关系是解决问题的关键在应用基本不等式解决实际问题时需要注意的四点(1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;(3)在定义域内,求出函数的最值;(4)写出正确答案.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.(1)试用x,y表示S;(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?〖解析〗(1)由题可得,xy=1 800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16)=1 832-6x-y(x>6,y>6,xy=1 800).(2)S=1 832-6x-y≤1 832-2=1 832-480=1 352,当且仅当6x=y,xy=1 800,即x=40,y=45时,S取得最大值1 352.课堂检测·素养达标1.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则+的最小值是( )A. B.1 C.4 D.8〖解析〗选C.由a>0,b>0,ln(a+b)=0,可得所以+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.所以+的最小值为4.2.函数y=3--x(x>0)的最大值为( )A.-1B.1C.-5D.5〖解析〗选 A.因为y=3--x=3-且x>0,故可得y=3-≤3-2=-1.当且仅当x=,即x=2时取得最大值.3.(教材二次开发:习题改编)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.〖解析〗因为直线+=1过点(1,2),所以+=1.因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a时等号成立.答案:84.已知x,y>0且x+y=1,则p=x++y+的最小值为.〖解析〗x++y+=x++y+=3+≥3+2=5,当且仅当x=y=时等号成立.答案:5。
3.2 基本不等式与最大(小)值 学案(高中数学必修五北师大版)
3.2 基本不等式与最大（小）值学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题3. 初步掌握不等式证明的方法学习重点会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题学习难点理解并掌握重要的基本不等式使用时注意的条件教学方法引导式教学【自学引导】1．阅读教材P 90—922．利用基本不等式求最值.3．应用均值不等式解决实际问题.4. 自主完成例2，例3.【新知梳理】1．重要不等式：若,a b R ∈，则222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）的变形：（1）2()4a b ab +≥（2）2222()()a b a b +≥+2．均值不等式：若,a b R +∈，则a b +≥（当且仅当a b =时取等号）的变形：（1）2≥（2）22()a b +≥3．基本不等式与最值已知,x y R +∈若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最 值 . 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最 值 . 上述命题可归纳得三个注意点：一正，二定，三相等.【存在问题】【例题应用】学生自主完成课本第90-第92页例题2,3【尝试练习】1．（1）若不等式210x ax++≥对一切(0,2]x∈成立，求a范围.（2）若不等式210x ax++≥对一切1(0,]2x∈成立，求a的范围.2．（1）已知,x y R+∈，且191x y+=，求x y+的最小值.（2）求226()(1)1x xf x xx-+=>-+的最小值.【总结引导】1．用均值不等式求最值的注意事项.2．如何有选择性地用重要不等式、均值不等式以及它们的变形来求最值？【目标检测】1．已知01x <<，则(1)x x -取最大值时x 的值为（ ）A ．13B ．12C ．14D ．232．若1a >，则11a a +-的最小值是（ ） A ．2 B ．aC D ．33．已知0,0a b >>，且1a b +=，则11a b+取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(4,)+∞D ．[4,)+∞4．设1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x 有（ ） A ．有最大值 B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年增长率为b ，这两年平均增长率为x ，则（ ）A ．2a b x +=B ．2a b x +≤ C ．2a b x +> D ．2a b x +≥【收获与不足】 参考答案【新知梳理】大 24s 小 【目标检测】。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_12
《基本不等式与最大（小）值》教学设计 一、学习目标
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式a ＋b 2
≥ab (a ＞0，b ＞0)，会用此不等式求某些函数的最大(小)值，能够解决一些简单的实际问题．
2．过程与方法：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力、创新能力和勇于探索的精神．
3．情感态度价值观：通过实例的引入及实际问题的探究，使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生的应用意识，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点．
四、教学方法
1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”,还要注意“反向”不等式
2b
a+
≤
22
2b
a+
.在解题中的灵活运用.
2.注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.
3.重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件，达到化归目的.。
北师大版高中必修53.2基本不等式与最大(小)值课程设计
北师大版高中必修53.2基本不等式与最大(小)值课程设计一、前言基本不等式是高中数学的重点中的重点，也是必修部分的难点之一。
掌握基本不等式的运用与推广可以提升学生对于不等式问题的解决能力与数学思维能力。
此次课程设计旨在挖掘基本不等式知识的深度与广度，并且通过实际问题进行引导，帮助学生理解基本不等式在实际问题中的意义。
二、课程目标1.理解基本不等式的定义，掌握基本不等式的运用；2.能够将基本不等式运用于解决实际问题；3.培养学生分析问题与抽象问题的能力。
三、课程内容与步骤3.1 第一步：简单情况1.引入基本不等式的概念，介绍几个简单的例子，比如求证$\\frac{1}{n+1}<\\ln(n+1)-\\ln n<\\frac{1}{n}$ 等；2.通过讲解实例，让学生在实践中理解基本不等式的应用。
3.2 第二步：不同类型的不等式1.介绍不同类型的不等式，如代数不等式、几何不等式等，提出使用基本不等式解决问题的思路；2.通过讲解不同类型的实例，让学生对基本不等式的应用有更加深刻的认识。
3.3 第三步：不等式的最大值与最小值1.介绍最大值与最小值的概念，讲解使用基本不等式求最大值与最小值的方法；2.通过讲解实例，让学生能够熟练运用基本不等式求解最大值与最小值问题。
3.4 第四步：实际问题的运用1.通过一些实际应用问题的引入，如找到最小的包裹盒体积、求能够生物多样性最高的动物群落等，让学生在实践中深入理解基本不等式的运用；2.让学生自行提出问题并解决，培养学生分析问题的能力。
四、教学方法1.讲授；2.实例演示；3.问题引导；4.分组探究。
五、课堂评价与课后作业1.课堂考核：随堂测验、讨论及课堂作业；2.课后作业：题目练习；3.提高型题目：已知x2+y2=8，求 $\\max\\{\\sqrt 3x+y\\}$；4.提出问题：同学自选一个与基本不等式相关的问题进行调研并展示。
六、课后拓展1.将基本不等式的思路与方法运用于其他数学领域的问题；2.阅读相关数学文章，积累基本不等式运用案例。
数学 第三章 不等式 3.2 基本不等式与最大(小)值教案 北师大版必修5 教案
3.2基本不等式与最大（小）值课标依据“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
教材分析求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
学情分析文一进入高中以后，随着学生逻辑思维能力和抽象思维能力的加强，不能再仅局限于一些结论的获得，而要注重结论的推导过程,揭示知识的来龙去脉，也就是不仅要知其然还要知其所以然。
教材也要求学生要对发现到的结论进行推理论证。
本节课着重于理解。
理一同上三维目标知识与能力会用基本不等式解决简单的最值问题，能通过变换的方法求解特定条件下的二元最值问题。
过程与方法通过教学培养学生分析问题和解决问题的能力，采用题组教学的方法。
情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生对最值问题有个整体把握，激发学生学习的兴趣。
教学重难点教学重点会用基本不等式求特定条件下的二元最值问题。
教学难点通过变换的方法求特定条件下的二元最值问题。
教法与学法启发式探究教学信息技术应用分析知识点学习目标媒体内容与形式使用方式媒体来源课程导入情感、态度与价值观视频教师播放下载创设情境知识与技能过程与方法电子白板（时钟计时器）教师演示教师制作揭示课题知识与技能过程与方法电子白板（特效交互功能）教师演示教师制作归纳公式知识与技能情感、态度与价值观电子白板（移动、智能笔、特效交互功能）教师演示学生操作教师制作课堂练习知识与技能过程与方法电子白板（特效交互功能、钢笔）学生操作演示教师制作教学活动设计师生活动设计意图批注新课导入今天我们要讨论的话题是基本不等式，先一起来看考纲对这块内容的要求：会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，前面我们学过哪些求最值的方法呢？函数的单调性、导数、线性规划等等。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.2基本不等式与最大（小）值》8
一道数学阅读题的研读张家口市第十中学 崔振梅教学目的：通过实例学习数学阅读题的方法与技巧。
教学重难点：数学阅读题的理解与转化。
教学方法：启发、引导教学过程：师：数学是一门语言学科，因而阅读技巧和方法与语文、英语学科有共同之处，但数学学科又有其自身的特点，因而阅读的技巧与方法就有所侧重和不同，也就是我们经常提倡地“数学地阅读数学”从而我们可以将文字语言、数学语言、符号语言进行相互转化。
今天我们通过一道典型的数学阅读题来学习其阅读的方法与解题技巧。
展示题目：（贵阳市2021～2021学年度高一年级第二学期期末试卷）对于两个正数a 和b ，我们有多种不同的方式来定义不同的平均值。
①利用加法，令x x b a +=+，得2b a x +=， 称2b a +为a 和b 的算术平均值。
这是因为我们可以在一条直线上顺次取三个点A 、B 、C ，使得AB=a ，BC=b ，取A 、C 的中点O ，则点O 分别到A 、C 的距离OA 、OC 都是 2b a +。
②利用乘法，令y y b a ⋅=⋅，可得ab y =，称ab 为a 和b 的几何平均值。
这是因为我们可以作一个正方形，使得其与长和宽分别为a 和b 的矩形面积相等，那么这个正方形的边③如果将a 和b 先取倒数为a 1和b 1，再求算术平均值为211b a +，再取倒数得ba 112+，即b a ab +2，称b a ab +2为a 和b 的调和平均值。
由于它是根据变量的倒数计算得到的，所以又称为倒数平均值。
调和平均值可以用在相同的距离但速度不同时，平均速度的计算。
如一般路程，前半段时速60公里，后半段时速30公里（两段路程相等），则其平均速度为两者的调和平均值，即时速40公里。
如图所示，以线段AB 为直径作圆O ，在线段AB 上取点C 使AC=a ，CB=b ，不妨设0>≥b a ，过 C 作AB 的垂线交圆于点D ，连接DO ，作DO CE ⊥于点E ，其中表示算术平均值的线段为OA 和OB ，表示几何平均值的线段是CD 。
(北师大版)必修五名师精品：3.3.2《基本不等式与最大(小)值》教案
教学设计3．2 基本不等式与最大(小)值整体设计教学分析本节的标题明确地说明了基本不等式的作用．从高考来看，基本不等式一直是个热点，它在不等式的证明和求最大(小)值的过程中有着广泛的应用，它作为一个工具，在电工学、力学、机械设计与制造等方面都有着广泛的应用．在本节教学过程中，要坚持协同创新的原则，把教材创新，教法创新以及学法创新有机地统一起来．教师创新的引导，学生创新的探究，才能营造一个有利于创新能力培养的良好环境．本节的中心任务就是巩固基本不等式的应用．本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃．本节的新课标要求是：会用基本不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，基本不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的灵活证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点．题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．三维目标1．进一步掌握基本不等式a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)，会用此不等式求某些函数的最大(小)值，能够解决一些简单的实际问题．2．通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力、创新能力和勇于探索的精神．3．通过实例的引入及实际问题的探究，使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生的应用意识，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点．重点难点教学重点：用基本不等式求函数的最大(小)值及解决一些简单的实际问题． 教学难点：基本不等式a ＋b2≥ab 等号成立条件的运用，及应用基本不等式解决实际问题．课时安排 2课时 教学过程 第1课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的基本不等式：如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时等号成立)．在这个不等式中，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，这样基本不等式就有了几何意义：半弦不大于半径．本节课我们进一步探究基本不等式的应用．由此展开新课．思路2.(直接导入)通过上节课a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步熟悉利用基本不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课新知探究 提出问题①回忆上节课探究的基本不等式，怎样理解基本不等式的意义？②基本不等式都有哪些方面的应用？③在应用基本不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的基本不等式．从代数、几何两个背景推导出基本不等式a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)．这个不等式有着广泛的应用．对这个重要不等式，要明确它成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b2≥ab 成立．基本不等式的主要作用是求某些函数的最值及解决一些实际问题．在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值．”本节课我们将进一步探究基本不等式的应用，例如：你可以把一段16 cm 长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为4 cm 的正方形；长5 cm 宽3 cm 的矩形；长6 cm 宽2 cm 的矩形……，你会发现边长为4 cm 的那个正方形的面积最大．这是因为：设矩形的长为x cm ，宽为y cm ，则x ＋y ＝8.这时，由基本不等式，得x ＋y2≥xy ，即xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立．由此可知，边长为4 cm 的那个正方形的面积最大．教师引导学生进一步探究，用类似上面的方法证明：在面积为16 cm 2的所有不同形状的矩形中，边长为4 cm 的那个正方形的周长最小．这表明，x ，y 都为正数时，下面的命题成立：(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 讨论结果：①～③略．应用示例例1 设x ，y 为正实数，且2x ＋5y ＝20，求u ＝lg x ＋lg y 的最大值． 活动：因为u ＝lg(xy )，所以问题成为：已知x ，y ＞0,2x ＋5y ＝20，求xy 的最大值．教师引导学生思考本例条件是否符合基本不等式的要求，同时提醒学生注意解答步骤．解：因为x ＞y ，y ＞0，所以由基本不等式，得2x ＋5y2≥2x ·5y ＝10xy .由于2x ＋5y ＝20，所以10xy ≤10，即xy ≤10.当且仅当2x ＝5y 时，等号成立，因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y .解得x ＝5，y ＝2.当x ＝5，y ＝2时，xy 有最大值10. 这样 u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以，当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. 点评：利用本小节命题求最大值或最小值时，应注意： ①x ，y 一定是正数；②求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，看积xy 是否为定值；③等号是否能够成立．以上三条我们习惯上简称为“一正、二定、三相等”. 变式训练设0＜x ＜2，求函数f (x )＝3x－3x 的最大值，并求相应的x 值．试问0＜x ＜43时，原函数f (x )有没有最大值？0＜x ≤1时，f (x )有没有最大值？若有，请你求出；若没有，请你说明理由． 解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0.∴f (x )＝3x －3x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时取“＝”．∴函数f (x )的最大值为4，此时x ＝43.又f (x )＝－9x 2＋24x ＝－x －2＋16，∵当0＜x ＜43时，f (x )递增；当x ＞43时，f (x )递减，∴当0＜x ＜43时，原函数f (x )没有最大值．当0＜x ≤1时，有最大值f (1)，即f (1)＝15.例2 (1)已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知a ，b 为实数，求函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值．活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号，又(4x －2)·14x －5不是常数，所以应对4x －2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x －a )＋(b －x )为定值，则用变形不等式m 2＋n 22≥⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22更简捷． 解：(1)∵x ＜54，∴5－4x ＞0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．∴当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵y ＝(x －a )2＋(x －b )2＝(x －a )2＋(b －x )2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －a ＋b －x 22＝a －b22，当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立，∴当x ＝a ＋b2时，y min ＝a －b22.点评：若x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p .若p 为定值，则当且仅当x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答中可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用基本不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求. 变式训练已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC ，BC 的距离乘积的最大值是__________．活动：本例可建立适当的直角坐标系，借助直线方程和基本不等式来解．也可运用相似三角形，找出P 到AC ，BC 的距离之间的关系，再利用基本不等式来解．解析：以CA ，CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB 方程为x 4＋y3＝1，设P (a ，b )，则a 4＋b3＝1(a ＞0，b ＞0)． ∴ab ＝12·a 4·b 3≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b 322＝3，当且仅当“a ＝4b3”时等号成立． 答案：3例3 已知y ＝x ＋1x(x ≠0)，证明：|y |≥2.活动：教师点拨学生注意，本例中的x 可正、可负．因此需要分类讨论，创造条件，应用基本不等式．证明：(1)当x ＞0时，由基本不等式，得y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．(2)当x ＜0时，－x ＞0，y ＝x ＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x . 由(1)可知(－x )＋1－x≥2，当且仅当x ＝－1时等号成立．所以－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x ≤－2，即y ＝x ＋1x≤－2. 综上，可知|y |≥2.点评：应用基本不等式必须有“一正、二定、三相等”的条件，当条件不够时，需创造符合基本不等式的条件．例4 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__________． 活动：这是一道高考题，题目优美精干，内容丰富、典型性强，较全面地考查了基本不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a ＋b 与ab 的关系联想到基本不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，现给出两种解法．解析：方法一：令ab ＝t (t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t 2≥2t ＋3，解得t ≥3，即ab ≥3，故ab ≥9.方法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b (a －1)＝a ＋3，∴b ＝a ＋3a －1(a ＞1)．∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝[(a －1)＋1]a ＋3a －1＝a ＋3＋a ＋3a －1＝a －1＋4＋a －1＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2a －4a －1＋5＝9， 当且仅当a －1＝4a －1时取等号，即a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)例5 当x ＞－1时，求函数f (x )＝x 2－3x ＋1x ＋1的值域．活动：教师引导学生观察函数f (x )的分子、分母特点，可作如下变形：f (x )＝x 3－3x ＋1x ＋1＝x ＋2－x ＋＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5.这样就可以应用基本不等式了． 解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴f (x )＝x 2－3x ＋1x ＋1＝x ＋2－x ＋＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5≥2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－5＝25－5，当且仅当(x ＋1)2＝5时，即x ＝5－1时取“＝”．另一解x ＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)． 点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性，图像法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用基本不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可. 变式训练已知x 1·x 2·x 3·…·x 2 006＝1，且x 1，x 2，x 3，…，x 2 006都是正数，则(1＋x 1)(1＋x 2)…(1＋x 2 006)的最小值是__________．解析：∵x 1＞0，则1＋x 1≥2x 1，同理，1＋x 2≥2x 2， …1＋x 2 006≥2x 2 006， 各式相乘，得(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)≥22 006·x1·x2·x3·…·x2 006＝22 006，取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2 006＝1.∴所求最小值为22 006.答案：22 006知能训练课本本节练习1 1～3.课堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用基本不等式解决了函数的一些最值问题，以及不等式的证明问题．在用基本不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用基本不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用基本不等式证明一些不等式时，也应注意基本不等式成立的条件及构建基本不等式的结构．作业课本习题3—3 A组4.设计感想1．本教案设计意在体现基本不等式的应用，应用基本不等式求解函数的最值并注意了一题多解的训练．2．本教案设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．3．本教案设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的操作活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．实际上，一堂课上下来，如果让人只感觉到学生和知识的存在，感觉不到老师存在的话，那才是教学的最高境界．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(直接导入)基本不等式不仅在求函数的最值、证明不等式的方面应用广泛，在解决实际问题，如在解决以“实际问题为背景，以函数、不等式为模型”的应用题中，也得到极为广泛的应用．本节课我们将探究基本不等式在解决实际问题中的应用，以提高我们分析问题、解决问题的能力．由此引入新课．思路2.(复习导入)不等式是与函数及方程联系极为密切的重点内容之一，作为解决数学问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出．教师用多媒体出示下面的题目：已知a，b∈R，且a1－b2＋b1－a2＝1，求证：a2＋b2＝1.教师先让学生探究，再点评：这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，如能联想到基本不等式，在“相等关系”中构造出“不等关系”另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，则又可别开生面，这就是数学的魅力所在．证明如下：证明：∵a1－b2≤a2＋1－b22，b1－a2≤b2＋1－a22，两式相加得a1－b2＋b1－a2≤1.又已知a1－b2＋b1－a2＝1，则上述两不等式必同时取等号，即a＝1－b2，b＝1－a2.∴a2＋b2＝1.下面我们再进一步探究基本不等式的综合应用，在学生的“余味缭绕”中展开新课．推进新课新知探究 提出问题①回忆上两节课对基本不等式2a b+的探究应用，你是怎样创设情境，如拆添项或配凑因式的？目的是什么？②对于实际问题的解决，最关键的是什么？③通过对基本不等式2a b+的探究及应用，你感受到数学的魅力了吗？ 活动：教师引导学生回忆前两节课所探究的知识方法与技巧．通过对基本不等式的一些简单应用，我们逐渐领悟到基本不等式a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)的深刻内涵及广泛应用．我们对基本不等式的结构特征有了充分认识，并能够灵活地把握．在这个应用过程中，我们亲身体验了数学的奥妙，数学的结构美、简洁美、严谨美．感受到数学探究的乐趣．本节课中，我们将进一步展开一些有关函数值域、最值的应用．更重要的是对基本不等式展开一些实际应用．通过一些实际应用，充分理解不等式的现实背景，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具．通过实际问题的分析解决，去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值．同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学．而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科．本节课我们将通过观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究等活动，对基本不等式展开实际应用．在用基本不等式解决实际问题和不等式有关的问题时，应抓住建立数学模型或转化为相应的不等式这一关键．讨论结果：①～③略．应用示例例1 如图1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．图1(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？活动：教师引导学生充分理解题意，抓住关键词语，如数据36 m 长的材料，即和为定值，求面积最大，即积有最大值．由此建立基本不等式模型．解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由“有可围网长36 m 的材料”，得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设面积S ＝xy .由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.答：每间虎笼设计长、宽分别为4.5 m 和3 m 时，可使面积最大． (2)略．点评：本例反映了利用基本不等式解决实际问题的两种类型，解决本例的关键是建立数学模型．本例中的第(2)小题未给出解答过程，其模式与第(1)小题一样，可让学生合作交流，给出规范解答．这体现出“注意学生操作，充分让学生占据思维时空”的新课标教育理念．例2 某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？活动：本例是教材中的例5，时代感强．教师引导学生先把这个实际问题抽象成数学问题，首先表示出年平均费用的函数解析式，再根据函数解析式的结构特点求出函数的最小值．解：设使用x 年汽车的年平均费用为y 万元，则 y ＝10＋0.9x ＋＋0.2x x 2x＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3， 当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．答：汽车使用10年平均费用最少. 变式训练某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．解析：设一年总费用为y 万元，则y ＝4·400x ＋4x ＝1 600x＋4x≥21 600x·4x ＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．答案：20例3 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920v v 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：(1)依题意，得y ＝9203＋⎝⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时)．(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理，得v 2－89v ＋1 600＜0， 即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．知能训练1．课本本节练习2 1,2,3.2．直线l 过点M (2,1)且分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求△AOB 面积最小时l 的方程．解：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即y ＝kx ＋1－2k (k ＜0)． 令x ＝0，得y ＝1－2k ；令y ＝0，得x ＝2k －1k ＝2－1k.∴S △AOB ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝2＋1－2k ＋(－2k )．∵k ＜0，∴－2k ＞0.∴S △AOB ≥2＋2＝4，当且仅当－12k ＝－2k ，即k ＝－12时取等号．此时l 的方程为y ＝－12x ＋2.课堂小结1．由学生总结本节课学习了哪些内容？学到了哪些探究问题的方法？对你影响最大的知识或方法是什么？2．教师在学生发表自己的见解后进一步强调，现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索．对于实际问题，关键是从实际问题中抽象出不等式的数学模型，但应注意最后的解答要符合实际意义．作业课本习题3—3 B 组2,3. 设计感想1．本教案设计重视了基本不等式与其他内容的交汇，这也是学好这部分内容的锦囊妙计．应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题．2．对于实际应用问题，要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物本身的主要特征与关系，建立起能够反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决问题．3．函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，代数的、三角的、几何的问题中都有大量的求最值问题．求函数的值域也常归结为函数的最值，许多实际问题的应用题也能利用最值解决．这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用基本不等式求出函数最值．备课资料算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为G ，即A ＝a 1＋a 2＋…＋ a nn，G ＝na 1a 2…a n ，即A ≥G ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，A ＝G .特别地，当n ＝2时，a ＋b2≥ab ，当n ＝3时，a ＋b ＋c3≥3abc .(2)用局部调整法证明均值不等式A ≥G .设这n 个正数不全相等．不失一般性，设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n .在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，…，a n －1，a 1＋a n －A .这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝A ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a 1＋a n －A n＝A ，②两组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G 1，则G 1＝nAa 2a 3…a n －1a 1＋a n －A ，∵A (a 1＋a n －A )－a 1a n ＝(A －a 1)(a n －A )，由a 1＜A ＜a n ，得(A －a 1)(a n －A )＞0，则A (a 1＋a n －A )＞a 1a n .∴Aa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A )＞a 1a 2…a n －1a n ，G 1＞G . 若第二组数全相等，则A 1＝G 1， 于是A ＝A 1＝G 1＞G 证明完毕．若第二组数不全相等，再作第二次替换．仍然是去掉第二组数中的最小数b 1和最大数b n ，分别用A 1(即A )和b 1＋b n －A 代替，因为有b 1＜A 1＜b n 且A 1＝A ，因而第二组数中的A 不是最小数b 1，也不是最大数b n ，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A ，经过n －2次替换，新数中至少出现n －2个A ，最多经过n －1次替换，得到一个全部是A 的新数组．此时新数组的算术平均值等于几何平均值．在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A ，而几何平均值不断增大，即G ＜G 1＜G 2＜…＜G k ，而G k ＝A k ＝A ，因而G ≤A 成立．(设计者：郑吉星)。
3.3.2《基本不等式与最大(小)值》课件(北师大版必修5)
2x＋3y＝18， 由 2x＝3y， x＝4.5， 解得 y＝3.
方法一：由于 2x＋3y≥2 2x· 3y＝2 6xy，
即 S≤ 2 ，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大．
3 方法二：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－2y. ∵x＞0，∴0＜y＜6，
1 1 1 12 ∴y＝2x(1－2x)＝4· (1－2x)≤4· 2x· 2 1 ＝ ， 16 1 1 即当 x＝ 时，ymax＝ 4 16
x2－1＋1 x2 1 (3)y＝ ＝ ＝x＋1＋ x－1 x－1 x－1 1 ＝x－1＋ ＋2≥2＋2＝4， x－1 1 当且仅当 ＝xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1， x－1 即(x－1)2＝1 时，等式成立，∵x＞1， ∴当 x＝2 时，ymin＝4.
9 当且仅当 x＋1＝ ，即 x＝2 时取等号， x＋1 ∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 2.
2 (2)设 f(x)＝2x＋ ，x∈(a，＋∞) x－a ∴x－a＞0 2 ∴f(x)＝2(x－a)＋ ＋2a≥2 x－a ＝4＋2a 2 当且仅当 2(x－a)＝ ，即 x＝a＋1 时等号成立， x－a ∴当 x∈(a，＋∞)时，f(x)min＝4＋2a 又∵f(x)≥7 在(a，＋∞)恒成立，
s2 时，积xy取 4
2 p
时，和x＋y取
• 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小 • •
值，需满足的条件 (1)x，y必须是 ． 正数 (2) 求 积 xy 的 最 大 值 时 ， 应 看 和 x ＋ y 是 否 为 定值 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是 定值 否为 ． (3)等号成立的条件是否满足． 综上，解决问题时要注意“一正、二定、三相 等”．
北师大版高中必修53.2基本不等式与最大(小)值教学设计
北师大版高中必修53.2基本不等式与最大(小)值教学设计一、教学目标1.知识与技能：掌握基本不等式的相关概念、性质及常用解法；理解最大(小)值的概念、意义及求解方法。
2.过程与方法：能够灵活运用基本不等式方法进行求解；能够通过分析问题和建立模型，有效地求出函数的最大(小)值，并能够熟练运用“一维无条件最值定理”直接求解。
3.情感态度和价值观：培养学生观察问题的能力和感悟力；锻炼学生思维的敏捷性和创造性；提高学生学习数学的兴趣和积极性。
二、教学重难点1.教学重点：基本不等式的概念、性质及应用；最大(小)值的意义、求解方法及应用。
2.教学难点：基本不等式的灵活应用；最大(小)值的建模思维和求解技巧。
三、教学过程与方法第一步：导入1.以一个生活实例引出最大(小)值的概念和意义，如赛跑选手的最好成绩、一栋楼房的最高、最低温度等等，引发学生对于本课内容的兴趣和探究欲。
第二步：讲解基本不等式1.引出基本不等式的概念、性质和相关定义；2.进行一些基本不等式的实例分析，如证明$(a+b)^2\\geqslant4ab$等等；3.落实不等式的具体应用，如利用基本不等式求解不等式$\\dfrac{1}{a+2}+\\dfrac{1}{b+3}+\\dfrac{1}{c+4}\\geqslant\\dfrac{ 9}{a+b+c+9}$。
第三步：最大(小)值求解1.简单介绍最大(小)值的求解方法，如一维无条件最值定理等等；2.通过一些实例分析，如求f(x)=x2−3x+2的最大值等等；3.通过实例的解析，培养学生的建模思维。
第四步：综合练习1.对于基本不等式和最大(小)值的综合运用，进行一些综合练习；2.提供一些知识点及技巧的巩固、延伸练习；3.注重实例的深度分析，细节的把握和方法的灵活运用。
第五步：作业布置1.布置一些基础、拓展的课后练习；2.要求学生必须整理笔记，查漏补缺，巩固知识。
四、教学评价1.利用作业、测试等方式对学生进行常态性评价；2.通过小组讨论、针对性辅导等方式对学生进行个性化评价；3.鼓励学生在日常学习中尝试创新、总结做法。
高中数学 第三章 不等式 3.2 基本不等式与最大(小)值学案 北师大版必修5-北师大版高一必修5数
3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一 基本不等式及变形 思考 使用基本不等式证明：21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立． 梳理 以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a >0，b >0时，有21a ＋1b____ab ____a ＋b 2____a 2＋b 22；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．知识点二 用基本不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？梳理 基本不等式求最值的注意事项 (1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；(3)等号成立的条件是否满足．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．类型一 基本不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 类型二 基本不等式在实际问题中的应用 命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2 生活中的最优化问题 引申探究若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 mD ．7.2 m3．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－24．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．1．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．答案精析问题导学 知识点一思考 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab>0，∴11a ＋1b≤ab2， 即21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时，等号成立． 梳理 ≤ ≤ ≤ a ＝b 知识点二思考 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x＝1时有公共点．梳理 (1)正数 (2)定值 定值 题型探究例1 解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －2·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －1y －9＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.跟踪训练1 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·3－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0， 得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋2x －16＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2x －8×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥28y x ·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.例2 解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m.由x ＋y2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长，宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长，宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2. 跟踪训练2 解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x) ＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x≥240 000＋720×2 x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元． 例3 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2. 则(9x 1＋900x 1＋10 809)－(9x 2＋900x 2＋10 809)＝9(x 1－x 2)＋900(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2.∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少． 跟踪训练3 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时． 当堂训练1．D 2.C 3.C 4.2－2 5。
数学：3.3.2基本不等式与最大(小)值 教案 (北师大必修5)
3.3.2基本不等式与最大（小）值授课类型：新授课【教学目标】12a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值。
22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】2a b +≤的应用 【教学难点】2a b +≤求最大值、最小值。
【教学过程】 1.课题导入1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a2．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3. 我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数。
2.讲授新课引例（见课本102页）由引例得出两个重要结论：设0,0x y >>，则：（1） 若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ；（2） 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值。
【例题讲解】例2、3 （见课本103页）补充例题：例1 已知m>0, 求证24624mm+≥。
[思维切入]因为m>0,所以可把24m和6m分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。
[证明] 因为 m>0,，由基本不等式得：246221224mm+≥==⨯=当且仅当24m=6m，即m=2时，取等号。
例2 求证:473aa+≥-.[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a aa a+=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]443(3)3337 33aa a+=+-+≥== --当且仅当43a-=a-3即a=5时,等号成立.规律技巧总结：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.例3 (1) 若x>0,求9()4f x xx=+的最小值;(2) 若x<0,求9()4f x xx=+的最大值.[思维切入]本题(1)x>0和94xx⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.解：（1) 因为 x>0 由基本不等式得：9()412f x xx=+≥==,当且仅当94xx=即x=32时,9()4f x xx=+取最小值12.(2)因为 x<0, 所以：-x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x xx x-=-+=-+-≥==, 所以：()12f x≤-.当且仅当94xx-=-即x=-32时,9()4f x xx=+取得最大值-12.规律技巧总结利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x xx=+-(x>5)的最小值.[思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y+=,求xy的最小值.3.随堂练习课本第104页的练习1、2。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.2基本不等式与最大（小）值》9
基本不等式与最大（小）值教学设计 学习目标：能利用基本不等式与最大（小）值。
学习重点、难点：能利用基本不等式与最大（小）值过程中的变形。
学习过程：一、 课前准备自主学习复习：,a b R +∈，222112a b a b a b a b ++++大小关系 阅读长细铁丝，弯成形状矩形，当矩形的边长为多少时，面积最大； ②如何判断这种情况下面积最大。
1、,x y R +∈,若x y s +=（和为定值），当且仅当x y =时，积xy 有最大值且为____________即有__________________2、,x y R +∈,若xy p =（积x y =x y +,x y R +∈lg lg u x y =+2533x y +3271x y ++320<<x ()(23)f x x x =-310<<x ()(13)f x x x =-1(0),2y x x y x =+>≥证明1(0),2y x x y x =+<≤-证明1(0),2y x x y x =+≠≥证明)1(,14)(>-+=x x x x f []4()1,4f x x x x=+∈，最小值n ,求m -n自主测评1、,x y R ∈，且5x y +=，则33x y +的最小值是（ ）A 、0 B、 C、 D、2、下列函数中最小值是2的为（ ）A 、1y x x =+B 、33x x y -=+C 、1lg (110)lg y x x x=+<< D 、1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 3、,x y R +∈，281x y+=，则有xy （ ） A 、最小值64 B 、最大值64 C 、最小值164 D 、最大值12四、总结提升1、利用上述两个结论时实数,,应该满足什么条件；2、若实数,为负，应该如何处理；3、利用上述两个结论时，若和（积）不为定值时应该如何转化。
高中数学必修五北师大版 3.3.2基本不等式与最大(小)值 学案
3.2 基本不等式与最大（小）值一、学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题3. 初步掌握不等式证明的方法二、学习重点会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题三、学习难点理解并掌握重要的基本不等式使用时注意的条件四、学习过程（一）、基础知识回顾：1、基本不等式的理解、证明及几何意义？2.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题？（二）、应用练习（1）试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a 2+b 2 ( ) （2）2b a + （ ） （3）a b ＋b a （ ） （4）x ＋x1 (x>0) （5）x ＋x 1 (x<0) （6）ab ≤ （ ）（2）⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)= x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－3x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。
（三）、例题讲解例1：已知x 、y 都是正数，求证：（1）222a b c ab bc ac ++≥++． （2）已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证： 2x y a b a b x y--+≥--.说明：在运用定理：ab b a ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.（四）、随堂练习1. 已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c 1≥9． 2.（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc例1：(1) 设.11120,0的最小值，求且y x y x y x +=+>>变式训练：已知x>0，y>0，且+x 1y9＝1，求x ＋y 的最小值。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.2基本不等式与最大（小）值》
根本不等式与最大〔小〕值教学分析本节主要目标是使学生了解根本不等式的代数、几何背景．本节一开始，首先从代数角度导出根本不等式，然后利用几何背景素材加以阐释，给出了根本不等式的几何解释，并进一步探究交流了根本不等式的其他解释．整小节的中心在于学生的探究，淡化不等式的证明，加强根本不等式与几何、日常生活的联系，特别是注重了根本不等式的几何背景．由于前面已经学习了不等式的概念、性质，不等式的解法，根据学生的认知规律及特点，大局部学生都积累了一定的成功经验，积累了一定的学习兴趣及信心，因此教学时教师可放手大胆地让学生进行合作探究．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对根本不等式的不同解释，渗透“转化〞的数学思想，提高学生换个角度看问题的思维意识．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，开展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．教学重难点教学重点：用数形结合的思想理解根本不等式，并从不同角度探索不等式a＋b2≥ab的多种解释．教学难点：发现并对根本不等式给出几何解释．根底知识，自主学习1．根本不等式1根本不等式成立的条件：______2等号成立的条件：当且仅当______时取等号．2．几个重要的不等式1．2．3以上不等式等号成立的条件均为3．利用根本不等式求最值问题，那么1如果积是定值，那么当且仅当____时，有最___值___简记：积定和最小2如果和是定值，那么当且仅当____时，有最___值___简记：和定积最大典列分析，深度剖析命题点1 通过常数代换法利用根本不等式例：1，那么的最小值．2，求的最小值．3，那么的最小值．引申探究：，求的最大值变式：求函数的最大值命题点2 通过配凑法利用根本不等式例：1，那么取得最大值时的值为______．2函数的最小值为______．思考：1当时，求的最大值2〔2021年全国2卷理科16题〕为圆的两条互相垂直的弦，垂足为点那么四边形的面积的最大值为________3〔2021年全国1卷理科16题〕假设函数的图像关于直线对称，那么的最大值为_______4〔2021年全国1卷理科10题〕为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，那么的最小值为。
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3.3.2基本不等式与最大（小）值
授课类型：新授课
【教学目标】
12
a b +≤
；会应用此不等式求某些函数的最值。
22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论
与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
2a b +≤
的应用 【教学难点】
2
a b +≤
求最大值、最小值。
【教学过程】 1.课题导入
1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
2．基本不等式：如果a,b 是正数，那么
).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3. 我们称b a b a ,2
为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后
者要求a,b 都是正数。
2.讲授新课
引例（见课本102页） 由引例得出两个重要结论：
设0,0x y >>，则：
（1） 若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ；
（2） 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值。
【例题讲解】
例2、3 （见课本103页）
补充例题：
例1 已知m>0, 求证24
624
m
m
+≥。
[思维切入]因为m>0,所以可把24
m
和6m分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等
式。
[证明] 因为 m>0,，由基本不等式得：
24
6221224
m
m
+≥==⨯=
当且仅当24
m
=6m，即m=2时，取等号。
例2 求证:
4
7
3
a
a
+≥
-
.
[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,
而左边
44
(3)3
33
a a
a a
+=+-+
--
.这样变形后,在用基本不等式即可得证.
[证明]
44
3(3)3337 33
a
a a
+=+-+≥== --
当且仅当
4
3
a-
=a-3即a=5时,等号成立.
规律技巧总结：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
例3 (1) 若x>0,求
9
()4
f x x
x
=+的最小值;
(2) 若x<0,求
9
()4
f x x
x
=+的最大值.
[思维切入]本题(1)x>0和
9
4x
x
⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解：（1) 因为 x>0 由基本不等式得：
9
()412 f x x
x
=+≥==,
当且仅当
9
4x
x
=即x=
3
2
时,
9
()4
f x x
x
=+取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以：-x>0, 由基本不等式得:
99
()(4)(4)()12
f x x x
x x
-=-+=-+-≥==, 所以：()12
f x≤-.
当且仅当
9
4x
x
-=-即x=-
3
2
时,
9
()4
f x x
x
=+取得最大值-12.
规律技巧总结利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.
随堂练习2
[思维拓展1] 求
9
()4
5
f x x
x
=+
-
(x>5)的最小值.
[思维拓展2] 若x>0,y>0,且28
1
x y
+=,求xy的最小值.
3.随堂练习
课本第104页的练习1、2。
4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
5.评价设计
课本第104页练习1第3题；107页习题3-3[A]组的第1、2、3题.
【板书设计】
【教后记】。